LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn nhiệt tình Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy hướng dẫn truyền cho tác giả kinh nghiệm quý báu học tập nghiên cứu khoa học Thầy động viên khích lệ để tác giả vươn lên học tập vượt qua khó khăn chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán tổ Giải tích quý thầy cô tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục đào tạo Bắc Giang, trường THPT Chuyên Bắc Giang, tổ Toán tin đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập hoàn thành tốt luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2011 Tác giả Đỗ Thuý Mai LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp Tiến sĩ Bùi Kiên Cường Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 10 năm 2011 Tác giả Đỗ Thuý Mai Mục lục Bảng kí hiệu viết tắt v Mở đầu viii Một số khái niệm kết chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Không gian hàm suy rộng 1.1.1 Không gian hàm 1.1.2 Không gian hàm suy rộng D (Ω) 1.1.3 Không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) 1.1.4 Không gian hàm suy rộng tăng chậm Biến đổi Fourier 1.2.1 Biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược 1.2.2 Một số toán tử 1.2.3 Hàm Gauss 10 Giải tích thời gian–tần số nguyên lý không chắn 12 1.3.1 Giải tích thời gian–tần số 12 1.3.2 Nguyên lý không chắn 13 1.4 Biến đổi Fourier thời gian ngắn 15 1.5 Biểu diễn thời gian–tần số 23 1.5.1 Ảnh phổ 24 1.5.2 Phân bố Wigner 25 Lớp phân bố Cohen 30 1.6 iii iv 1.7 1.8 Biểu diễn tích phân τ -Wigner 33 1.7.1 Các định nghĩa 33 1.7.2 Một số tính chất biểu diễn τ -Wigner 35 1.7.3 Nguyên lí không chắn τ -Wigner 41 Tích phân biểu diễn τ -Wigner 44 Tích phân có trọng biểu diễn Wigner 47 2.1 Mở đầu mở rộng tích phân có trọng biểu diễn Wigner 47 2.2 Tích phân có trọng biểu diễn Wigner 48 2.3 Biểu diễn ( )-Wigner 52 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 67 Bảng kí hiệu viết tắt Zn+ : Tập hợp số nguyên dương R : Tập hợp số thực Rn : Không gian Euclide n chiều C : Tập hợp số phức Rez : Phần thực số phức z Imz : Phần ảo số phức z z : Số phức liên hợp số phức z |z| : Mô đun số phức z C ∞ : Không gian hàm khả vi vô hạn  p1  f p : Chuẩn không gian Lp (Ω), f p |f (x)|p dx , Ω ⊂ Rn = Ω Lp : Không gian hàm đo Lebesgue, có chuẩn Lp hữu hạn n αi , α = (α1 , , αn ) ∈ Zn+ |α| : Bậc α, |α| = i=1 Dα f : Đạo hàm cấp α f X α f : Toán tử nhân f với X α f (x) = xα f (x) suppf : Giá hàm f ∈ Lp (Ω) v vi C k (Ω) : Là tập hợp hàm liên tục khả vi k lần Ω C0k (Ω) : Tập hàm C k (Ω) có giá compact ∞ C0∞ (Ω) : = ∩ Cok (Ω) k=0 X[a,b] : Hàm đặc trưng [a, b] D (Ω) : Không gian hàm D (Ω) : Không gian hàm suy rộng S (Rn ) : Không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) : Không gian hàm suy rộng tăng chậm f (x) e−2πixω dx f , F (f ) : Biến đổi Fourier hàm f với f (ω) = Rn F −1 (f ) : Biến đổi Fourier ngược hàm f F2 , Ft→ω : Biến đổi Fourier riêng theo biến thứ hai f (x, t) e−2πitω dt hàm f R2n với F2 f = Ft→ω f = Rn F t→x : Biến đổi Fourier theo biến thứ thứ hai ξ→ω hàm f R2n Tx f : Phép tịnh tiến theo x hàm f Tx f (t) = f (t − x) Tx[t] f : Phép tịnh tiến theo x hàm f với biến dịch chuyển t Tx[t] f = f (t − x) Mω f : Sự điều biến theo ω hàm f Mω f (t) = e2πiωt f (t) vii Mω[t] f : Sự điều biến theo ω hàm f với t biến biến điệu ϕa (x) : Là hàm Gauss với ϕa (x) = e− πx2 a Ta : Phép biến đổi tọa độ không đối xứng với Ta f (x, t) = f (t, t − x) Ts : Phép biến đổi tọa độ đối xứng với Ts f (x, t) = f t t x + ,x − 2 Vg f : Biến đổi Fourier thời gian ngắn hàm f f (t) g (t − x)e−2πitω dt hàm cửa sổ g, Vg f (x, ω) = Rn f ⊗ g : Tích ten sơ hàm f g, (f ⊗ g) (x, t) = f (x) g (t) f ∗ g : Tích chập hàm f g W ig (f ) : Phân bố Wigner hàm f W ig (f, g) : Phân bố Wigner chéo hàm f g C (f ) , Qσ f : Lớp phân bố Cohen W igτ (f ) : Phân bố τ -Wigner hàm f W igτ (f, g) : Phân bố τ -Wigner chéo hàm f g R (f, g) : Biểu diễn Rihaczek hai hàm f , g R∗ (f, g) : Biểu diễn Rihaczek liên hợp hai hàm f , g Q (f, g) : Tích phân biểu diễn τ -Wigner SP ECg f, Spg f : Ảnh phổ hàm f hàm cửa sổ g Spφ,ψ (f, g) : Ảnh phổ tổng quát hàm f , g hàm cửa sổ φ, ψ (τ ,τ2 ) Spφ,ψ1 (f, g) : Hai tham số hóa ảnh phổ Mở đầu Lí chọn đề tài Giải tích thời gian–tần số bắt đầu phát triển từ sớm vào khoảng năm 1930, học lượng tử H Weyl, E Wigner J von Neumann với mục đích tìm kiếm phân phối xác suất đồng thời biến vị trí xung lượng Đến năm 1946, D Gabor phát triển lý thuyết tảng lý thuyết thông tin giải tích tín hiệu thông qua báo ông lý thuyết truyền tin, giải tích thời gian–tần số xem lĩnh vực khoa học phụ thuộc vào toán học Giải tích thời gian–tần số trở thành lĩnh vực toán học độc lập vào khoảng năm 1980 công Guido Janssen, nghiên cứu ông bao trùm khía cạnh giải tích thời gian–tần số Từ 1990, phát triển giải tích thời gian-tần số tăng lên nhờ xuất lý thuyết sóng nhỏ, từ hai lý thuyết phát triển song song Ngày nay, giải tích thời gian–tần số có nhiều ứng dụng, mặt giải vấn đề giải tích tín hiệu, lý thuyết truyền tin xử lí hình ảnh, vật lí, nhiều khía cạnh giải tích thời gian–tần số xuất tên giải tích không gian pha lý thuyết trạng thái thống (coherent states) Mặt khác, giải tích thời gian–tần số liên quan đến nhiều ngành toán học ứng dụng như: giải tích Fourier, giải tích phức, giải tích hàm điều hòa nhóm Heisenberg, lý thuyết viii ix biểu diễn, lý thuyết phương trình vi phân toán tử giả vi phân, lý thuyết đại số toán tử, giải tích số Các biểu diễn thời gian–tần số trở thành công cụ thiết yếu giải tích tín hiệu đặc biệt phân bố Wigner tin tưởng công cụ toán học lý tưởng giải tích thời gian–tần số Sự hiểu biết phân bố Wigner thiết yếu việc phân tích toán tử giả vi phân để tìm hiểu phát triển vượt bậc gần thuật toán số lý thuyết sóng nhỏ giải tích thời gian–tần số Theo kết nghiên cứu, biểu diễn Wigner cho ta thấy hình ảnh tần số giả hai tần số thực, tần số gọi tần số ảo tần số giao thoa, điều xuất khó khăn việc giải thích ý nghĩa vật lí phân bố Wigner Từ đó, người ta mở rộng nghiên cứu phân bố τ -Wigner phụ thuộc tham số τ ∈ [0, 1], có xuất tham số τ , tần số ảo tách dịch chuyển phụ thuộc vào τ , tần số thực xuất vị trí với giá trị τ Lợi dụng điều này, người ta đưa biểu diễn dạng Q tích phân biểu diễn τ -Wigner theo τ [0, 1], hiệu biên độ tần số ảo giảm đáng kể so với biên độ tần số thực, hình ảnh thu gần với thực tế vật lí Tuy nhiên τ -Wigner Q gặp phải vấn đề khoanh vùng xấu mặt phẳng thời gian tần số Để cân việc quy gọn giao thoa Q khoanh vùng tốt mặt phẳng thời gian–tần số Wigner cổ điển người ta nhân τ -Wigner với hàm khả tích [0, 1] (mà ta gọi hàm trọng) lấy tích phân theo τ [0, 1] Biểu diễn tích phân gọi tích phân có trọng biểu diễn Wigner Với mong muốn hiểu biết sâu tích phân có trọng biểu x diễn Wigner, đồng ý hướng dẫn Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, lựa chọn đề tài nghiên cứu "Tích phân có trọng biểu diễn Wigner " để thực luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu tích phân có trọng biểu diễn Wigner nói chung Nghiên cứu trường hợp đặc biệt ( )-Wigner Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tích phân có trọng biểu diễn Wigner Trình bày tích phân ( )-Wigner Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Tích phân có trọng biểu diễn Wigner Phạm vi nghiên cứu: Các báo tài liệu nước liên quan đến tích phân có trọng biểu diễn Wigner Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm để tiếp cận vấn đề Thu thập nghiên cứu tài liệu có liên quan, đặc biệt báo nước vấn đề mà luận văn đề cập tới 54 cho W ig(u, v)(x, ω) = F t→ω ξ→x sin(2π tξ) 2π tξ (2.11) Xét trường hợp đơn giản n = Giả sử ngược lại, tồn hàm u, v ∈ S (Rn ) thoả mãn (2.11) Ta biết W ig(u, v)(x, ω) = Ft→ω Ts (u ⊗ v)(x, ω) u ⊗ v(x, t) tích ten sơ u với v Ts F (x, t) = F (x + t/2, x − t/2) phép đổi trục toạ độ đối xứng Ta có: sin(2π tξ) 2π tξ Ts (u ⊗ v)(x, t) = Fξ→x Mà Ts−1 F (x, t) = F (u ⊗ v)(X, T ) = x+t ,x = χ[− t, t] , 2t (t = 0) − t ta có χ[− (X−T ), (X−T )] (X − T ) X +T , (X = T ) 1+2 Trong tập A = (X, T ) ∈ R2 : − 1−2 1+2 T < X < − 1−2 T , hàm suy rộng u ⊗ v trùng với hàm (X−T ) IX × IT ⊂ A Khi u ⊗ v = Ta cố định hai đoạn IX IT cho (X−T ) IX × IT Ta chọn hàm ψ0 ∈ C0∞ (R) với giá compact chứa IT cho (v, ψ0 ) = 0, với hàm φ ∈ C0∞ (R) với giá compact chứa IX ta có     1 (u, φ) = ψ (T )dT φ(X)dX  (v, ψ0 ) X − T  R R Suy u hàm C ∞ IX Tương tự ta có v hàm C ∞ IT Do u(X)v(T ) = (X − T ) IX × IT Xét hai điểm T0 , T1 phân biệt với X ∈ IX ta có v(T1 ) v(T0 ) = X − T0 , X − T1 ∀X ∈ IX Điều vô lí Vậy định lí chứng minh 55 Tiếp theo chứng minh ( )-Wigner xấp xỉ Wigner cổ điển → tiến tới Q → 1/2 Chú ý W ig ( ) : L2 (Rn ) × L2 (Rn ) → L2 (R2n ) bị chặn Điều kéo theo từ tính liên tục W igτ : W igτ (f, g) ≤ f g với τ ∈ [0, 1] f, g ∈ L2 (Rn ) Định lí 2.3.4 ([2]) (i) Nếu → ( )-Wigner tiến tới phân bố Wigner cổ điển L2 , nghĩa W ig ( ) (f, g) → W ig(f, g) L2 (R2n ) → với f, g ∈ L2 (Rn ) (ii) Nếu → 1/2 ( )-Wigner tiến tới Q (được định nghĩa (1.50)) L2 , nghĩa W ig ( ) (f, g) → Q(f, g) L2 (R2n ) → 1/2 với f, g ∈ L2 (Rn ) Chứng minh (i) Do S(Rn ) trù mật L2 (Rn ) nên ta cần chứng minh hội tụ với f, g ∈ S(Rn ) Mà biến đổi Fourier đẳng cự L2 nên ta chứng minh F −1 W ig ( ) (f, g) − F −1 (W ig(f, g)) →0 (2.12) → 0+ , với f, g ∈ S(Rn ) Theo (2.10) (2.12) tương đương với sin(2π tξ) − F −1 (W ig(f, g)) 2π tξ →0 (2.13) → 0+ Do sin(2π tξ) −1 2π tξ 2 F −1 (W ig(f, g)) ≤ F −1 (W ig(f, g)) ∈ L2 (R2n ) 56 sin(2π tξ) − → với hầu hết (t, ξ) ∈ R2n , theo định lí hội tụ trội 2π tξ ta có (2.13) (ii) Theo định lí 1.8.3 ta có Q(f, g) = F ξ→x t→ω sin (πtξ) πtξ ∗ W ig(f, g) Tương tự phần (i), ta phải chứng minh sin(2π tξ) sin(πtξ) − F −1 (W ig(f, g)) 2π tξ πtξ →0 → 1/2 Điều suy từ định lí hội tụ trội Phần tìm hiểu toán tử lượng tử hoá liên kết với biến đổi ( )-Wigner Trước hết ta nhắc lại liên kết - dạng song tuyến tính bị chặn toán tử tuyến tính bị chặn qua mệnh đề sau Mệnh đề 2.3.5 ([2]) Cho E1 , E2 E không gian Banach, E2 phản xạ (a) Giả sử ϕ : E2∗ × E1 → E ∗ ánh xạ tuyến tính lệch bị chặn Khi tồn ánh xạ tuyến tính bị chặn a ∈ E → Ta ∈ B(E1 , E2 ) (2.14) cho với v ∈ E2∗ ta có (v, Ta u) = (ϕ(v, u), a) (2.15) (b) Ngược lại, cho tương ứng a ∈ E → Ta ∈ B(E1 , E2 ) ánh xạ tuyến tính bị chặn (2.15) xác định ánh xạ tuyến tính lệch bị chặn ϕ : E2∗ × E1 → E ∗ Chứng minh 57 (a) Cố định u ∈ E1 , a ∈ E, xét phiếm hàm không tuyến tính v ∈ E2∗ → ϕ(v, u), a ∈ C (2.16) Từ tính liên tục ϕ ta có ϕ(v, u), a ≤ C1 a ϕ(v, u) E ≤C a E∗ E v E2∗ u E1 Do (2.16) thuộc vào E2∗∗ ≡ E2 (do E2 phản xạ) Khi tồn w = w(a, u) ∈ E2 cho ϕ(v, u), a = v, w Đặt Ta u := w ta có (2.15) Tiếp theo ta chứng minh tính bị chặn ánh xạ (2.14) Vì v ∈ E2∗ tuỳ ý nên từ (2.15) ta có Ta u E2 ≤C a u E E1 Vì ánh xạ (2.14) liên tục (b) Từ (2.15) ta có ϕ ánh xạ tuyến tính lệch Để có tính liên tục ϕ ta để ý rằng: từ tính liên tục (2.14) ta có ϕ(v, u), a ≤ C1 v E2∗ Ta u ≤ C2 v E2∗ Ta ≤ C3 v E2∗ E2 u B(E1 ,E2 ) a E ≤ C3 v E2∗ u E1 u E1 E1 Mà a ∈ E tuỳ ý nên ta có ϕ(v, u) E∗ Vậy ϕ liên tục ( ) Theo mệnh đề trên, toán tử lượng tử hoá Ta liên kết với W ig ( ) thoả mãn đẳng thức sau g, Ta( ) f L2 (Rn ) = W ig ( ) (g, f ), a L2 (R2n ) , (2.17) 58 ( ) với f, g ∈ S(Rn ) a ∈ S(R2n ) Do Ta xác định công thức 1/2+ Ta( ) f (t) = Wτa f (t)dτ, 1/2− Wτa toán tử lượng tử hoá liên kết với biểu diễn τ -Wigner, cho e2πi(t−s)ω a((1 − τ )t + τ s, ω)f (s)dsdω Wτa f (t) = R2n ( ) Nghiên cứu tính bị chặn không gian Lp toán tử Ta ta có Định lí 2.3.6 ([2]) Cho q ≤ p cố định thoả mãn q ≤ p ≤ q Khi đó, ánh xạ tuyến tính a ∈ Lq (R2n ) → Ta( ) ∈ B (Lp (Rn )) liên tục với ∈ (0, 1/2) Nếu np np , n+p n+p max (2.18) = 1/2 toán tử (2.18) liên tục với < q ≤ {p, p } , n số chiều không gian Chứng minh Theo mệnh đề 2.3.5 (2.17), hai mệnh đề sau tương đương ( ) (i) a ∈ Lq (R2n ) → Ta ∈ B (Lp (Rn )) liên tục (ii) W ig ( ) : Lp (Rn ) × Lp (Rn ) → Lq (R2n ) liên tục Theo [4, mệnh đề 6.4], với q ≤ q ≤ p ≤ q ta có W igτ (f, g) q ≤ 1 f |1 − τ |n(1/p−1/q ) |τ |n(1−1/p−1/q ) p g p, 59 với τ ∈ (0, 1) Do 1/2+ W ig ( ) (f, g) q ≤ W igτ (f, g) q dτ 1/2− 1/2+ ≤ f g p p n(1/p−1/q ) |1 − τ | 1/2− n(1−1/p−1/q ) |τ | dτ (2.19) Đặt η = 2τ − 1, (2.19) trở thành 2n(1− q ) f ≤ 2 W ig ( ) (f, g) q p g p −2 |1 − η|n(1/p−1/q ) |1 + η|n(1−1/p−1/q ) dη (2.20) Mà ∈ (0, 1/2] nên ta có hai trường hợp - Nếu < < 1/2 tích phân (2.20) hội tụ với p, q W ig ( ) (f, g) q ≤C f p g p với q ≤ q ≤ p ≤ q - Nếu = 1/2 tích phân (2.20) có hai điểm đơn η = ±1 Vì tích phân hội tụ 1/p − 1/q < 1/d − 1/p − 1/q < 1/d, hay max np np , n+p n+p < q; mà điều kiện q ≤ p ≤ q , q ≤ tương đương với q ≤ min{p, p } nên ta có điều phải chứng minh Phần phân tích hạt nhân biểu diễn W ig ( ) (f, g), ∈ (0, 1/2] Xét trường hợp n = 1, đưa công thức rõ ràng hạt nhân dáng điệu tiệm cận Theo (2.10) ta có W ig ( ) (f, g) = σ ( ) ∗ W ig(f, g) 60 với sin(2π ξt) 2π ξt σ ( ) (x, ω) = F = sin(2π ξt) −2πi(xξ+tω) e dtdξ π t R2 (2.21) Đặt u = ξt, v = t, ta có ξ = u/v, t = v, (2.21) trở thành σ ( ) (x, ω) = u e−2πi(x v +vω) sin(2π u) dudv πu |v| R2   = R Mà F sin2πt πt x e−2πivω  e−2πi v u sin(2π u)  du dv πu |v| R = χ[−1,1] (ξ) Ta có x dv v |v| e−2πivω χ[− , ] σ ( ) (x, ω) = R   1, với |v| ≥ x ; x =  0, với trường hợp lại v χ[− , ] Vì − |x| +∞ ( ) σ (x, ω) = e −2πivω dv |v| = |v|≥| x | +∞ =2 |x| e e−2πivω dv v −2πivω v dv − −∞ |x|    −2Ci 2π|x|ω , với ω > 0; cos2πvω dv =  v  −2Ci − 2π|x|ω , với ω < Trong Ci(x) = C + lnx − Cin(x), với Cin(x) = x 1−cost t C số Euler-Mascheroni (xem [7]), m C = lim m→+∞ Vậy ta có kết sau k=1 − logm k 61 Định lí 2.3.7 ([2]) Phân bố ( )-Wigner thuộc vào lớp Cohen với ∈ (0, 1/2] hạt nhân σ ( ) thoả mãn σ ( ) (x, ω) = −2Ci 2π |xω| (2.22) với x = 0, ω = Cũng theo [1], ta có Cin(x) = C + lnx − sinx cosx f1 (x) + f2 (x), x ∈ R, x x (2.23) f1 , f2 hàm có khai triển tiệm cận x tiến đến +∞: 4! 2! + − x2 x4 3! 5! f2 (x) ∼ − + − x x x Từ (2.22), (2.23), (2.24), (2.25), với > cố định, ta có f1 (x) ∼ − σ ( ) (x, ω) = −2Ci 2π |xω| |xω| → +∞ Cụ thể, với = (2.25) 2π|xω| sin ∼ −2 (2.24) 2π|xω| ta có σ (1/2) (x, ω) ∼ − sin (4π |xω|) 2π |xω| Như trình bày chương I, để phát triển tiếp hệ thống nguyên lí không chắn biểu diễn thời gian–tần số đưa nguyên lí không chắn τ -Wigner (mục 1.7.3) nguyên lí không chắn ( )-Wigner Mệnh đề 2.3.8 Cho η ≥ 0, U ⊆ R2n f ∈ Lp (Rn ) ∩ Lp (Rn ) với 1 + = cho p p W ig ( ) (f )(x, ω)dxdω ≥ (1 − η) f U p f p 62 2+ i) Nếu ∈ (0, 21 ) |U | ≥ ρ1 (1 − η) , ρ = ii) Nếu = |U | ≥ 2− τ (1 − τ ) p 1 ρ (1 − η) , ρ 21 = n n p 1 p τ (1 − τ ) p dτ dτ với n = Chứng minh Ta có 2+ W ig ( ) (f, g)(x, ω) = W igτ (f, g)(x, ω)dτ 2− với ∈ (0, 21 ] Áp dụng bổ đề 1.8.1 ta thu 2+ W ig ( ) (f ) ∞ ≤ 1 2− f n n p τ (1 − τ ) p p f p dτ n dτ 2+ = f p f n p p τ (1 − τ ) p 2− i) Với ∈ (0, 21 ) tích phân (2.26) hội tụ Đặt 2+ ρ = 1 n n p 2− τ (1 − τ ) p dτ Ta có (1 − η) f p f p W ig ( ) (f )(x, ω)dxdω ≤ U W ig ( ) (f ) ≤ ∞ U ≤ρ f Do |U | ≥ ρ (1 − η) p f p |U | dxdω (2.26) 63 ii) Với = tích phân (2.26) hội tụ n p < n p < hay n = Khi đó, đặt 1 ρ 12 = p τ (1 − τ ) p dτ Tương tự trường hợp ta đánh giá |U | ≥ (1 − η) ρ 12 Mệnh đề chứng minh Nhận xét 2.3.9 - Từ nguyên lí không chắn nêu ta thấy xét miền U nhỏ tuỳ ý ( )-Wigner ý nghĩa vật lí Như ( )-Wigner, biểu diễn bảo toàn ưu điểm đồng thời cân số nhược điểm Wigner cổ điển biểu diễn tích phân Q, xem mật độ lượng đồng thời thời gian tần số tín hiệu - Để chứng minh nguyên lí ta suy từ kết định ( ) lí 2.3.6 tính Lp - bị chặn toán tử Ta Tuy nhiên để thống với hệ thống nguyên lí không chắn biểu diễn thời gian–tần số loại Wigner, trình bày phần chứng minh Kết luận chương Nội dung chương trình bày vấn đề sau: • Quá trình mở rộng từ biến đổi Wigner cổ điển đến tích phân có trọng biểu diễn Wigner (W ig Φ ) • Các tính chất biểu diễn Wigner - Φ: Điều kiện hàm trọng Φ để W ig Φ thuộc lớp Cohen, thỏa mãn điều kiện phân phối biên, điều kiện bảo toàn lượng 64 • Nghiên cứu tính chất ( ) - Wigner (một trường hợp đặc biệt Wigner - Φ ): thoả mãn điều kiện phân bố biên, điều kiện bảo toàn lượng, tính chất giá; không thuộc lớp ảnh phổ tổng quát; mối quan hệ với biểu diễn Q Wigner cổ điển; toán tử lượng tử hoá liên kết với ( ) - Wigner; tính Lp bị chặn cuối phân tích hạt nhân trường hợp n = 1, đưa công thức rõ ràng dáng điệu tiệm cận hạt nhân • Bổ sung nguyên lí không chắn ( )-Wigner Kết luận Nội dung luận văn trình bày tổng quan kết về: • Giải tích thời gian–tần số biểu diễn thời gian–tần số • Mở rộng biểu diễn Wigner cách nhân thêm hàm trọng Φ(t) ∈ L1 (R) vào tích phân biểu diễn τ -Wigner để lớp tích phân có trọng biểu diễn Wigner Nghiên cứu tính chất lớp tích phân này: thuộc vào lớp Cohen, điều kiện hàm trọng Φ(t) để tích phân thoả mãn điều kiện biên, điều kiện bảo toàn lượng • Khai thác trường hợp đặc biệt ( )-Wigner Φ = với χ[1/2− ,1/2+ ] ∈ (0, 1/2] với nhiều tính chất tốt: thoả mãn điều kiện biên, điều kiện bảo toàn lượng, tính chất giá, trường hợp tổng quát Wigner cổ điển biểu diễn Q, không thuộc lớp ảnh phổ tổng quát, mối quan hệ với toán tử giả vi phân tính Lp bị chặn, phân tích dáng điệu tiệm cận hạt nhân biểu diễn ( )-Wigner • Bổ sung nguyên lí không chắn τ -Wigner ( )-Wigner, góp phần hoàn thiện hệ thống nguyên lí không chắn biểu diễn thời gian–tần số Với lực hạn chế thời gian có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý thầy cô bạn 65 66 học góp ý để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [2] P Boggiatto, Bui Kien Cuong, G De Donno and A Oliaro (2010), "Weighted integrals of Wigner representations", J pseudo-Differ Oper Appl, (no 4), 401-405 [3] P Boggiatto, Bui Kien Cuong, G De Donno and A Oliaro (2010), "Generalized spectrograms and τ -Wigner transforms", Cubo, 12(no 3), 171-185 [4] P Boggiatto, G De Donno and A Oliaro (2010), "Time–frequency representations of Wigner type and pseudo-differential operators", Trans Am Math Soc, 362(9), 4955-4981 [5] P Boggiatto, G De Donno and A Oliaro (2007), "Uncertainty principle, positivity and Lp -boundedness for generalized spectrograms", J Math Anal Appl, 355(1), 93-112 [6] P Boggiatto, G De Donno and A Oliaro (2006), "A class of quadratic time–frequency representations based on the short-time Fourier transform", Oper Theory Adv Appl, 172, 235-249 67 68 [7] L Gatteschi (1973), Funzioni Speciali, Unione Tipografica Editrice Torinese [8] Gerd Grubb (2009), Distributions and Operators, Springer Science and Bussiness Media, USA [9] Karlheinz Gr¨ochenig (2001), Foundation of Time-Frequency Alalysis, Birkh¨auser Boston, USA [10] Lokenath Debnath, Piotr Mikusinski (2005), Hilbert Spaces with Applications, Elsevier Academic Press, USA [11] A P Robertson, Wendy Robertson (1964), Topological Vector Spaces, The Syndics of the Cambridge University Press, UK [...]... chất của biểu diễn tích phân có trọng của biểu diễn Wigner Chương 1 Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị 1.1 Không gian hàm suy rộng 1.1.1 Không gian hàm cơ bản Cho Ω là một tập mở trong Rn Định nghĩa 1.1.1 Không gian hàm cơ bản được kí hiệu là D(Ω), là không gian gồm các hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) với khái niệm hội tụ sau: dãy ∞ ∞ {ϕj }∞ j=1 các hàm trong C0 (Ω) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ0 ∈ C0 (Ω) nếu i, Có. .. vào hàm cửa sổ g 25 1.5.2 Phân bố Wigner Phân bố Wigner được phát minh vào năm 1932 bởi E .Wigner trong bối cảnh cơ học lượng tử và được giới thiệu trong giải tích tín hiệu bởi J.Ville Phân bố Wigner thoả mãn hầu hết các tính chất được hy vọng về một biểu diễn thời gian–tần số lí tưởng và là tối ưu đối với một vài tiêu chuẩn Định nghĩa 1.5.2 Phân bố Wigner của một hàm f ∈ L2 (Rn ), kí hiệu W ig (f... khó khăn 1.5 Biểu diễn thời gian–tần số Trong lịch sử các biểu diễn thời gian–tần số đã được nghiên cứu từ rất sớm với mục đích tìm ra xác suất phân bố đồng thời giữa các biến vị trí và xung lượng Chúng là những công cụ thiết yếu trong giải tích tín hiệu mà phân bố Wigner được xem như là sự mô tả toán học lí tưởng dáng điệu thời gian–tần số của tín hiệu Tuy nhiên tính không tuyến tính của nó cũng gây... nhanh có thể được tính Như vậy dù có sử dụng phương pháp linh hoạt nhất, giải tích Fourier cũng không đáp ứng đủ nhu cầu thực tiễn Nói cách khác, quang phổ Fourier không cung cấp bất cứ miền thời gian thông tin về dấu hiệu Cho nên trong giải tích tín hiệu, chúng ta đi tìm những biểu diễn kết hợp những đặc trưng của f và f vào một hàm đơn giản, được gọi là biểu diễn thời gian–tần số Vậy mục tiêu của giải... một sự nhiễu nhỏ của hàm tại bất kì điểm nào dọc theo trục x đều ảnh hưởng đến mọi điểm trên trục ω và ngược lại Nếu chúng ta tưởng tượng dấu hiệu f (x) như là hàm điều biến cho eiωx , một sự nhiễu tại bất kì điểm nào trên trục x sẽ lan truyền qua toàn bộ trục ω Mặt khác chúng ta thực hiện trên biến đổi Fourier, ở một thời điểm tích phân chỉ có thể được đánh giá tại một tần số Mặc dù có những thuật toán... giải tích thời gian–tần số vấp phải những trở ngại là các nguyên lí không chắc chắn nhưng người ta vẫn cố gắng đưa ra những biểu diễn thời gian–tần số đồng thời Để thu được các thông tin về các tính chất địa phương của tín hiệu f , chúng ta thu hẹp f vào một đoạn và lấy biến đổi Fourier của thu hẹp này, ta được một biểu diễn thời gian–tần số gọi là biến đổi Fourier thời gian ngắn Lý thuyết giải tích. .. Khi đó tích fb (x) = f (x) ϕ (x − b) chứa đựng những thông tin về f (x) gần x = b Đặc biệt nếu ϕ (x) là hàm đặc trưng X[−τ,τ ] (x) thì chúng ta có fb (x) = f (x) , x ∈ [b − τ, b + τ ] 0 x∈ / [b − τ, b + τ ] , 16 Bằng cách thay đổi tham số b ta có thể trượt hàm cửa sổ dọc theo trục Ox để phân tích dáng điệu địa phương của hàm f (x) trong những khoảng thời gian khác nhau Hai tham số quan trọng nhất của. .. gian ngắn Lý thuyết giải tích thời gian–tần số hầu hết dựa trên biến đổi Fourier thời gian ngắn vì đa số các biểu diễn thời gian–tần số khác đều có thể được diễn đạt theo quan điểm của biến đổi Fourier thời gian ngắn Khi thu hẹp f vào một đoạn bằng vết cắt sắc đem đến sự gián đoạn giả tạo và có thể đem lại những vấn đề không mong muốn nên người ta chọn những hàm cắt trơn như một hàm cửa sổ Trước hết... của nó cũng gây ra những khó khăn trong xử lí tín hiệu Các biểu diễn thời gian–tần số được nghiên cứu vì vài lí do: Trong giải tích tín hiệu, chúng cung cấp mật độ năng lượng trên mặt phẳng thời gian–tần số: năng lượng của tín hiệu trong quãng thời gian [x, x+∆x] được tập trung trên giải tần số [ω, ω+∆ω] Do |f (x)|2 ∆x biểu 2 diễn năng lượng của f trong quãng thời gian [x, x + ∆x] và f (ω) ∆ω là năng... a2 (η − ω) 2 12 1.3 Giải tích thời gian–tần số và nguyên lý không chắc chắn 1.3.1 Giải tích thời gian–tần số Trong công nghệ và trong vật lý, f (x) được coi như biên độ của sự dao động của dấu hiệu f tại x, còn f (ω) được coi như biên độ của tần số ω Từ định nghĩa biến đổi Fourier (1.1), không làm mất tính tổng quát ta xét số chiều n = 1, chúng ta thấy rằng phép lấy tích phân không thể thực hiện được ... biểu diễn τ -Wigner 44 Tích phân có trọng biểu diễn Wigner 47 2.1 Mở đầu mở rộng tích phân có trọng biểu diễn Wigner 47 2.2 Tích phân có trọng biểu diễn Wigner 48 2.3 Biểu diễn. .. nghiên cứu tích phân có trọng biểu diễn Wigner nói chung Nghiên cứu trường hợp đặc biệt ( ) -Wigner Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tích phân có trọng biểu diễn Wigner Trình bày tích phân ( ) -Wigner. .. gian–tần số Wigner cổ điển người ta nhân τ -Wigner với hàm khả tích [0, 1] (mà ta gọi hàm trọng) lấy tích phân theo τ [0, 1] Biểu diễn tích phân gọi tích phân có trọng biểu diễn Wigner Với mong