TÍNH TOÁN kết cấu BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN tử hữu hạn

PHAN ĐÌNH HUẤN LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN Trang 2 1.1 Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn 1.1.1 khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn PP

Trang 1

Đề tài :

TÍNH TOÁN KẾT CẤU BẰNG PHƯƠNG

PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

GVHD : PHAN ĐÌNH HUẤN SVTH : TRẦN ĐÌNH TÍN LỚP : CK98

Trang 2

LỜI NÓI ĐẦU

Trong xu thế ngày nay, sự phát triển của máy tính điện tử đã thúc đẩy các lĩnh vực liên quan khác phát triển theo, trong ngành kỹ thuật nói chung và ngành cơ khí nói riêng đã có một ảnh hưởng rất lớn đến tác động đó Một cánh nhìn tổng quát, sự ảnh hưởng đó xuất phát từ sự ra đời của các phần mềm đồ

hoạ, AutoCAD, 3D Studio, SolidWorks, Pro/ENGINEER v.v các phần mềm tính toán Sap, RDM, Ansys

Ansys là một phần mềm mang tính chuyên môn hoá cao, nó chủ yếu được

ứng dụng trong ngành xây dựng, đặc biệc là ngành cơ khí: Tính toán nhiệt, dòng chảy, từ, chuyển vị ,ứng suất và dao động.Cùng với sự phát triển của máy tính các thế hệ của Ansys đã dần dần phát triển từ phiên bản 4.4 đến 5.4 và cho đến nay là phiên bản 7.4 Đối với nước ta sự ứng dụng phần mềm này cũng chưa được phổ biến, nó chỉ được giới hạn trong các trường đại học cũng như chỉ được dùng tính toán trong các đồ án môn học và luận văn tốt nghiệp Chính

vì sự mới lạ và một vốn kiến thức đã có về phần mềm này, đã đưa em đến quyết định chọn đề tài “ Tính toán kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn ( Sử dụng phần mềm tính toán Ansys) làm đề tài tốt nghiệp Do thời gian và kiến thức còn hạn hẹp cho nên không tránh khỏi những thiếu xót, do đó em mong rằng sẽ nhận thêm được nhiều sự gợi ý và chỉ dẫn thêm của các thầy, cô

Trần Đình Tín

Trang 3

LỜI CẢM ƠN

Để có được kiến thức vô cùng quí giá và hoàn thành tốt đề tài tốt nghiệp được giao như ngày hôm nay, em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trường Đại học Bách Khoa Thành Phố Hồ Chí Minh nói chung và thầy cô Bộ môn Cơ Sở Thiết Kế Máy nói riêng, đặc biệt là thầy Phan Đình Huấn đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để em hoàn thành tốt nhiệm vụ được giao và giáo viên chủ nhiệm thầy Nguyễn Hữu Lộc đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tâïp tại trường Một lần nữa em xin chúc thầy, cô luôn dồi dào sức khoẻ và chấp cánh cho các thế hệ sau, bước vào tương lai

Một lần nữa xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn đã giành nhiều thời gian để giúp đỡ em hoàn thành luận án này

Cuối cùng con xin cảm ơn gia đình và cùng tất cả các bạn bè đã gúp đỡ vật chất và tinh thần trong suốt quá trình học tập

Ngày 30 tháng12 năm 2002

Trần Đình Tín

Trang 4

GVHD: Ts PHAN ĐÌNH HUẤN LUẬN ÁN TỐT NGHIỆP

Trang 5

SVTH:TRẦN ĐÌNH TÍN Trang 2

1.1 Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn

1.1.1 khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của nó Tuy nhiên PP PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác định V Do đó phương pháp này rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kỹ thuật trong đó hàm cần tìm được xác định trên những miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính hình học, vật lý khác nhau, chịu những điều kiện khác nhau Phương pháp ra đời từ trực quan phân tích kết cấu, rồi được phát biểu một cách chặt chẽ và tổng quát như một phương pháp biến phân hay phương pháp dư có trọng số nhưng được xấp xỉ trên mỗi phần tử

Trong PP PTHH miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con,

gọi là phần tử Các phần tử này được nối kết với nhau tại các điểm định trước trên biên phần tử, gọi là nút Trong phạm vi mỗi phần tử đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ trong dạng một hàm đơn giản được gọi là các hàm xấp xỉ

(approximation function) Và các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị hàm (và có khi cả các giá trị của đạo hàm của nó) tại các điểm nút trên phần tử

Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn số cần

tìm của bài toán

Với bài toán cơ vật rắn biến dạng và cơ kết cấu tùy theo ý nghĩa vật lý của hàm xấp xỉ, người ta có thể phân tích bài toán theo ba loại mô hình sau:

1.1.1.1Theo mô hình tương thích

Người ta xem chuyển vị là đại lượng cần tìm trước và hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng,

Trang 6

hay nguyên lý biến phân Lagrange

1.1.1.2 Theo mô hình cân bằng

Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý năng lượng toàn phần dừng hay nguyên lý biến phân về ứng suất (nguyên lý Castigliano)

1.1.1.2 Theo mô hình hỗn hợp

Coi các đại lượng chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập Các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Reisner

Sau khi tìm được các ẩn số bằng việc giải một hệ phương trình đại số vừa nhận được thì cũng có nghĩa là ta tìm được các xấp xỉ biểu diễn đại lượng cần tìm trong tất cả các phần tử và từ đó cũng tìm được tất cả các đại lượng còn lại Trong ba mô hình trên, mô hình tương thích được sử dụng rộng rãi hơn cả

1.1.2 Trình tự tính toán bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn

Bước 1: Rời rạc hóa miền khảo sát

Trong bước này, miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve hay thành các phần tử có dạng hình học thích hợp

Với bài toán cụ thể, số phần tử, hình dạng hình học của phần tử, cũng như kích thước các phần tử phải được xác định rõ Số điểm nút phần tử không lấy được

một cách tuỳ tiện mà tuỳ thuộc vào hàm xấp xỉ định chọn

Các phần tử thường có dạng hình học đơn giản (Hình 1.1.1)

Trang 7

Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp

Vì đại lượng cần tìm là chưa biết, nên ta giả thiết dạng xấp xỉ của nó sao cho đơn giản đối với tính toán bằng máy tính nhưng phải thoả mãn các tiêu chuẩn hội tụ, và thường chọn ở dạng đa thức, rồi biểu diễn hàm xấp xỉ theo tập hợp giá trị và có thể cả các đạo hàm của nó tại các nút phần tử { }q e

Bước 3: Xây dựng phương trình phần tử, hay thiết lập ma trận độ cứng phần tử [Ke] và vector tải phần tử { }P e

Có nhiều cách thiết lập: trực tiếp, hoặc sử dụng nguyên lý biến phân, hoặc các phương pháp biến phân, …

Kết quả nhận được có thể biểu diễn một cách hình thức như một phương trình phần tử: [Ke] { }eq ={ }P e

Bước 4: Ghép nối các phần tử trên cơ sở mô hình tương thức mà kết quả là hệ thống phương trình:

[ ]K{ }q ={ }P

Trong đó, có thể gọi:

[ ]K : ma trận độ cứng tổng thể (hay ma trận hệ số toàn miền)

{ }q : vector tập hợp các giá trị đại lượng cần tìm tại các nút (còn gọi là vector chuyển vị nút tổng thể)

{ }P : vector các số hạng tự do tổng thể (hay vector tải tổng thể)

Hình1.1.1 – Dạng hình học đơn giản của các phần tử

Trang 8

Đây chính là phương trình hệ thống hay còn gọi là phương trình để giải

Bước 5: Giải hệ phương trình đại số

Nhưng với bài toán phi tuyến thì nghiệm sẽ đạt được sau một chuỗi các bước lặp mà sau mỗi bước ma trận cứng [ ]K thay đổi (trong bài toán phi tuyến vật lý) hay vector lực nút { }P thay đổi (trong bài toán phi tuyến hình học)

Bước 6: Hoàn thiện

Từ kết quả trên, tiếp tục tìm ứng suất, chuyển vị hay biến dạng của tất cả các phần tử

1.1.3 các phương trình cơ bản

Khi giải bài toán theo mô hình tương thích (còn được gọi là phương pháp chuyển vị) đại lượng cơ bản cần tìm trước tiên là chuyển vị Chuyển vị được xấp

xỉ hoá và nội suy theo vector chuyển vị nút phần tử { }eq Sau khi tìm được ma trận các hàm dạng, chúng ta biểu diễn được trường chuyển vị theo các chuyển vị nút phần tử { }q e

{ }ue = [N]{ }qe (1.1.1) Từ đó theo các phương trình liên hệ giữa chuyển vị và biến dạng (các phương trình Cauchy), biến dạng của một điểm trong phần tử sẽ là:

{ }ε =[∂]{ }u e =[∂][N]{ }q e =[B]{ }q e (1.1.2)

Trang 9

Trong đó [B]=[∂][N]

Và [B] được gọi là ma trận tính biến dạng

Ứng suất tại một điểm thuộc phần tử, trong trường hợp vật liệu tuân theo định luật Hooke sẽ là:

o e

Thế năng toàn phần của phần tử :

{ }

( ) { } { } dV { } { }g u dV { } { }p u dS

2

1u

e e

e T V

e

T e

e e q [B] [D][B] q dV

2

1q

V

T e o V

T e o S

e T V

e T

qdV]B[2

1dV]B][

D[2

1dSupdVug

e e

++

T e e e T e

D[]B[ Ma trận cứng phần tử (1.1.7)

Trang 10

o T V S

e

T e

T

2

1dV]

D[]B[2

1dSp]N[dVg]

{ được gọi là vector tải phần tử

Dễ thấy rằng vì [D] là ma trận đối xứng nên tích [B]T[D][B] cũng đối xứng và do đó [K]e là ma trận đối xứng

1.1.4 Tính toán hệ thanh

1.1.4.1 Tính toán hệ thanh dàn

Phương pháp phân tích bài toán hệ thanh theo PP PTHH với mô hình tương thích cũng không nằm ngoài các bước đi chung đã nói Vấn đề còn lại là tuỳ thuộc đặc tính của từng loại bài toán mà áp dụng Trước hết cần thấy rằng bài toán hệ thanh là bài toán thuộc loại bài toán một chiều khi các thành phần chuyển vị của các phần tử chỉ là hàm của một biến tọa độ x

Như đã biết dàn là một hệ gồm các thanh chỉ chịu kéo nén đúng tâm hay là một trường hợp cụ thể của thanh chỉ chịu biến dạng dọc trục Vậy trước tiên ta xét đến thanh chịu biến dạng dọc trục

1.1.4.1.1 Phần tử thanh chịu biến dạng dọc trục

Xét một phần tử thanh có hai điểm nút chịu biến dạng dọc trục, chịu tải trọng phân bố dọc trục p(x) như hình 1.1.2

Rõ ràng phần tử chỉ có hai bậc tự do là hai chuyển vị của hai nút đầu và cuối Do đó chuyển vị dọc trục u(x) của phần tử chỉ có thể là một xấp xỉ tuyến tính

u(x) = a1 + a2x

Trang 11

Trong đó: { }q e=

e 2 1 e 2

1

u

uq

x1

Trong bài toán này, vector biến dạng { } { }ε = εx , vector ứng suất cũng chỉ còn { } { }σ = σx

Trong phương trình quan hệ chuyển vị biến dạng: [ ]∂ = 

Trong phương trình định luật Hooke, ma trận [D] chỉ còn [D] = [E] hay x

x =Eε

σ (với E là module đàn hồi Young)

Do đó ma trận tính biến dạng:

x1

Hay [B]=− L

1L1

Và ma trận độ cứng phần tử:

D[]B[

1E1

1L

11L

Trang 12

x1dxxp]N[P

x1p

L

0 o

P

Do nhiệt độ:

{ }i e

e

V

o T

dV]D[]B[

=

∆α

L

0

(1.1.12)

Trong đó:

∆T: độ biến thiên nhiệt độ

1.1.4.1.2 Phần tử thanh trong dàn phẳng

Trong dàn phẳng, khi tính theo PP PTHH, người ta xem mỗi mắc dàn là một đỉnh nút, và mỗi thanh dàn là một phần tử chịu biến dạng dọc trục Rõ ràng nút i bất kỳ của dàn có 2 bậc tự do: là chuyển vị theo phương ngang và phương đứng của nó Các bậc tự do được đánh số lần lượt là 2i-1 và 2i

Xét phần tử thanh bất kỳ mà nút 1 và nút 2 của nó tương ứng nút i và j theo chỉ số tổng thể Các nút này có các chuyển vị (q’2i-1, q’2i) và (q’2j-1) và sẽ gây ra chuyển vị tại hai nút theo phương dọc trục thanh là q1 và q2

Trang 13

ij i 2 ij 1 i 2 1

m'ql'qq

T e 2

i,v' ,u' ,v''

j 2 1 j 2 i 2 1 i

2 ,q' ,q' ,q''

ij

ml00

00mlij

Trang 14

m0

l0

0m

0l

11

ij ij

ml00

00ml

Cuối cùng: [K’]e =

LEF

ij ij

2 ij

2 ij ij

ij

2 ij

ij ij

2 ij ij

ij

2 ij

m

mll

mm

lm

mll

Chú ý : lij, mij là cosin chỉ phương của trục phần tử (trục x) trong hệ tọa độ tổng thể và nó cũng là cosin của góc nghiêng giữa đường thẳng nối các nút i và j với các trục x’, và y’ và chúng được tính qua tọa độ các điểm nút trong hệ tọa độ tổng thể như sau:

lij = cos (x,x’) =

L

x'

Trang 15

2 i

j x' y' y''

+ Cũng có thể thấy rõ hơn ma trận [T]e nếu ta gọi α là góc nghiêng giữa trục phần tử (nối từ điểAm đầu i đến điểm cuối phần tử là j) đối với trục ngang x’ thì dễ thấy rằng: lij = cosα , mij = sinα

α α

sincos00

00sincos

2 2

scss

cs

csc

scss

cs

csc

L

với c = cosα và s = sinα

α là góc nghiêng giữa trục phần tử (đường nối ij) với trục x’

Nội lực trong thanh dàn:

Vì εx = [B]{ }q e

σx = Eεx

nên lực dọc trục trong thanh dàn, tính theo { }q e được tính là:

Ne = σxF = EF[B]{ }q e Còn trong hệ tọa độ tổng thể, ta có thể tính lực dọc trục theo vector chuyển vị nút { }q'e bằng cách thay { }qe = [T]e{ }q'e, ta tính được:

Ne = EF[B][T]e{ }q'e = [S’e] { }q'e (1.1.20) Trong đó: Ma trận tính nội lực [S’e] = EF [B][T]e

hay [S’e] = EF− L

1L

ij ij

ml00

00ml

Trang 16

Cụ thể:

1.1.4.1.3 Dàn không gian

Nếu xem mỗi mắt dàn là một điểm nút và một thanh dàn là một phần tử, thì dễ thấy rằng mỗi điểm nút có ba bậc tự do: đó là 3 chuyển vị thành phần theo

3 phương x’; y’; z’ của hệ tọa độ kết cấu Và vector chuyển vị nút phần tử trong hệ tọa độ kết cấu là: (Cụ thể với phần tử mà điểm đầu và điểm cuối là nút i và nút j)

{ }q' ( )e ≡ { }T

j j j i i

i,v' ,w' ,u' ,v' ,w''

u

(6 × 1)

i 3 1 i 3 2 j 3 i 3 1 i 3 2 i

3 ,q' ,q' ,q' ,q' ,q''

Trang 17

ij ij ij

nml000

000nml

với lij, mij, nij là các cosin chỉ phương của đường nối ij trong hệ tọa độ kết cấu x’y’z’ và được xác định qua hệ tọa độ các đỉnh nút I, j bằng các công thức quen thuộc:

L

'x'x

L

'y'y

L

'z'z

=

i j

2 i j

2 i

j x' y' y' z' z''

Ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ địa phương [K]e là đã biết Vậy

ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ kết cấu là:

[K’]e = [ ]T

e

(6 × 6) (6 × 2) (2 × 2) (2 × 6) Cụ thể:

Trang 18

ij ij

2 ij

ij ij ij ij

2 ij

2 ij ij

ij ij ij

2 ij

ij ij

2 ij ij

ij ij ij

2 ij

ij ij ij ij

2 ij ij

ij ij ij

2 ij

n

nmm

nlmll

nm

nnln

lmm

mlnmm

nlmll

LEF

xứngđối

Trong đó

E: module đàn hồi Young của vật liệu F: diện tích mặt cắt ngang thanh L: chiều dài phần tử

1.1.4.2 Hệ khung phẳng

1.1.4.2.1 Phần tử dầm chịu uốn – Dầm liên tục

Xét phần tử dầm chịu uốn có chiều dài L, mặt cắt ngang không đổi

Chuyển vị theo phương vuông góc trục thanh v(x) được chọn là đa thức xấp xỉ bậc 3

v(x) = a1 + a2x + a3x2 + a4x3

Với P[ (x) ] = [ 2 3]

xxx

Và vector tham số: { }a ={ }T

4 3 2

Trang 19

e 4 3 2

L3L210

LLL1

0010

0001

và tồn tại nghịch đảo

2 3

3 2

2

L/1L/2L/1L/2

L/1L/3L/2L/3

00

10

00

01

Từ đó { }a =[A ]-1{ }q e

Thay { }a vào (*) ta biểu diễn được hàm chuyển vị v(x) theo vector chuyển

vị nút { }q e

v(x) = P[(x)][A]-1{ }q e =[N]{ }q e (1.1.23) Với [N] là ma trận các hàm dạng và [N] = [N1 N2 N3 N4]

Trong đó

N1(x) = 1-3

3

3 2 2

L

x2L

x+

N2(x) = x(1-2

2 2

L

xL

L

x2L

x

−

N4(x) =

x(-2 2

L

xLx

Trang 20

Trong đó y là khoảng cách từ điểm đang xét tới đường trung hoà

Khi đó biến dạng dọc trục: εx =

dx

2 2

dx

vd

Sử dụng (1.1.23)

εx = - y

2 2

dx

]N[

d { }eq =[B]{ }eq

2 2

dx

]N[d

2 2 3

xL

2L

12L

6L

4L

12L

Ứng suất tại mọi điểm của dầm chịu uốn

σx =Eεx

A B y

Trang 21

Hay ở dạng ma trận { }σ =[D]{ }εx

Ở đây ma trận [D]=[E]

Sử dụng công thức (1.1.7), ma trận độ cứng phần tử dầm chịu uốn được xác định như sau

[K]e = [B] [D][B]dV E [B] [B]dF.dx

F

T L V

3 z

L4

L612

L2L6L4

L612L612

LEJ

xứng đối

i

T M n

1 i

i

T Q L

T

dx

dNQ

)]

x(N[dx)x(q]N[

Trong đó:

q(x): cường độ lực phân bố trên chiều dài phần tử

Qi và xQi: Lực tập trung và hoành độ điểm đặt lực trên hệ trục địa phương

Mi và

i

M

x : Moment tập trung và hoành độ điểm đặt trên hệ trục phần tử

nQ và nM: Số lực tập trung và số moment tập trung trên chiều dài phần tử đang xét

Sử dụng (1.1.26) xác định vector tải phần tử cho một vài trường hợp cụ

Trang 22

2

3 2 3

3 2 2

2

3 2 3

3 2

2

4 3 2 1

e

12qL2qL2qL2qL

qdx

L

xLxL

xLx

L

xL

xx

L

x2L

x1

PPPP

Trang 23

3 2 2

2

3 2 3

3 2

2

T

e 4 3 2 1

e

L

aLaL

a2L

a3

L

aL

a2a

L

a2L

a31

QQ)]

a(N[PPPPP

- Trường hợp đặc biệt, khi Q đặt tại giữa nhịp phần tử

M=EJ

2 2

dx

vd

Vậy nếu tính theo vector chuyển vị nút phần tử { }q e thì:

M(x) = EJ

2 2

Trang 24

Ở đây [N’’] =

2 2

dx

d [N] = [N’’1 N’’2 N’’3 N’’4 ]

Từ (1.1.27) dễ nhận thấy rằng, khi các hàm dạng Ni(x) là các hàm nội suy Hecmit bậc 3, thì N’’i(x) là bậc nhất và do đó moment uốn M(x) là hàm tuyến tính trong phần tử

Nếu gọi

{ } ( ( ) )

e e

M

MM

1nút tại

là vector moment uốn tại các đầu nút phần tử thì

Lx('N[

)]

0x('N

)]

0('N

2 2

3 6L 2L 6L 4L

L2L6L4L6L

(2 × 4) Cũng có thể nhận thấy rằng, tương tự như trong phương pháp chuyển vị của Giáo trình Cơ kết cấu, moment uốn M(x) = EJ[N ’’]{ }eq la ø moment do ca ùc

chuyển vị nút gây ra Để đầy đủ, trong trường hợp trên chiều dài phần tử có lực tác dụng cần cộng thêm moment Modulus do tải trọng này gây ra tên phần tử khi xem xét tất cả các nút được gắn cứng

1.1.4.2.2 Phần tử dầm chịu uốn trong hệ tọa độ tổng thể – Khung phẳng

Như trên đã biết: Trong hệ tọa độ địa phương xyz chuyển vị v(x) của dầm chịu uốn được biểu diễn qua vector chuyển vị nút phần tử { }q e và

2 2 1

Trang 25

4 3 2

1 v' ' u' v' ''

(6 × 1)

6 5 4 3 2

1 q' q' q' q' q''

5 y 4 y 3

3 3 z 2

2 y 1 y 1

'qnq

'qm'qlq

'q'qnq

'qm'qlq

hay { }q = e [T]e { }q'e Với ma trận biến đổi trục tọa độ

Trang 26

0ml000

000100

0000ml

y y

Trong đó ly, my: cosin chỉ phương của trục y trong hệ tọa độ tổng thể Nếu gọi α là góc nghiêng giữa trục phần tử với trục phương ngang (trục x’) thì có thể sử dụng [T]e ở dạng sau:

2

2 2

3

L4

Lc6c

12

Ls6cs12s

12

L2Lc6Ls6L4

Lc6c12cs12Lc6c

12

Ls6cs12s12Ls6cs12s

12

LEJ

xứng đối

000

0cossin

000

100

000

0cossin

α α

(6 × 6)

Trang 27

{ }M e=

e 2

2 2

3 6Ls 6Lc 2L 6Ls 6Lc 4L

L2Lc6Ls6L4Lc6Ls6L

e 2

Trang 28

Do vậy cộng tác dụng của hai trường hợp chịu biến dạng dọc trục và uốn

ta có ma trận cứng phần tử của phần tử khung vừa chịu uốn + kéo (nén)

− +

−

− +

−

− +

=

J 4

s 2

BL Bs

Ac

s 2

BL cs ) B A ( Bs Ac

J 2 c

2

BL s

2

BL J

4

c 2

BL ) Bs Ac ( cs ) B A ( c 2

BL Bs Ac

s 2

BL cs ) B A ( ) Bs Ac ( s 2

L B cs B A Bs Ac

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2

e

xứng đối

(1.1.33)

Trong đó c = cosα = ly

s = sinα = my

B = 2

L

J

12

A = diện tích mặt cắt ngang phần tử

1.1.4.3 Khung không gian

Phần tử khung không gian là dầm thẳng có tiết diện không đổi mà trên mặt cắt ngang của nó có thể tồn tại cả lực dọc, m oment uốn trong hai mặt phẳng quán tính chính và moment xoắn Và tương ứng các bậc tự do chuyển vị đặc trưng cho trạng thái chuyển vị – biến dạng của phần tử dầm hai điểm nút được thấy như trong hình 1.1.8 Trong đó hệ trục tọa độ địa phương xyz gồm trục x là trục dầm, y và z là hai trục chính của mặt cắt ngang

Trang 29

Vector chuyển vị phần tử hai điểm nút là:

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

q2 và q8: chuyển vị thẳng theo phương trục y

q6 và q12: góc xoay trong mặt phẳng xy

q3 và q6: chuyển vị thẳng theo phương trục z

q5 và q11: góc xoay trong mặt phẳng xz

Như vậy 12 bậc tự do chuyển vị này chỉ gây ra 4 nhóm biến dạng độc lập nhau và có thể xét riêng lẻ N ên ma trận cứng phần tử [K ]e có kích thước (12 ×

12) sẽ được thiết lập từ 4 ma trận con gồm hai ma trận kích thước (2 × 2) và hai

11l

Trang 30

b) Biến dạng xoắn (do q4 và q10): Do chỉ có 2 bậc tự do nên ta giả thiết

hàm góc xoắn θx(x) là hàm xấp xỉ nhất là (hình 18b):

xx

Trang 31

r (r: khoảng cách từ tâm đến điểm khảo sát)

{ }σ ≡ { }τyz và { }σ = [D]{ }ε

Với [D ]=[G] (G : module đàn hồi trượt của vật liệu)

Cuối cùng ma trận cứng phần tử ứng với các bậc tự do { }q xoắn là:

D[]B

1l1l

1l

1dFrdx

Vậy [Kxoắn](e) =

11

Ở đây Jx là m oment quán tính độc cực của m ặt cắt ngang

Trường hợp mặt cắt ngang là chữ nhật kích thước (a × b) thì Jx được tính bằng Jx = cab3 Trong đó c là hằng số được lấy theo bảng sau và phụ thuộc tỷ số a/b với a ≥ b

c) Biến dạng uốn trong mặt phẳng xy (do { } { }T

12 8 6 2

3 z

l4

l612

l2l6l4

l612l612

lEJ

xứng đối

(1.1.39)

d) Biến dạng uốn trong mặt phẳng xz (do { } { }T

11 9 5 3

xz q ,q ,q ,q

tương tự như với biến dạng uốn trong mặt phẳng xy Dễ thấy là (Hình 1.1.14c):

11 9 5

q

Trang 32

[Kxz](e) =

11 9 5 3

2

2 3

y

qqqq

l4

l612

2l6l4

l612l612

Cuối cùng ta có:

0 l

EJ 4

0 0

l GJ

0 l EJ 6 0 l

EJ 12

l EJ 6 0 0 0

l EJ 12

0 0

0 l EF

l EJ 2 0 0 0

l

EJ 6 0 l EJ 4

0 l

EJ 2 0 l

EJ 6 0 0 0 l EJ 4

0 0

l

GJ 0

0 0 0 0 l GJ

0 l

EJ 6 0 l

EJ 12 0

0 0 l EJ 6 0 l

EJ 12

l EJ 6 0 0 0

l EJ 12 0 l EJ 6 0 0 0 l

EJ 12

0 0

0 l EF 0 0 0 0 0

l

EF

K

z y x

2 z 3

y

2 z 3

z

z 2

z z

y 2

y y

x x

2 y 3

y 2

z 3

y

2 z 3

z 2

z 3

z

e

xứng đối

Đây là ma trận cứng của phần tử khung không gian trong hệ trục tọa độ địa phương xyz của phần tử Tuy nhiên, nói chung hệ trục tọa độ này là không trùng phương với hệ trục tọa độ tổng thể x’y’z’ Do đó trước khi “ghép nối phần tử” phải thực hiện phép chuyển trục tọa độ, hay nói cách khác cần tìm [K’]e là

ma trận độc cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng thể

Theo công thức :

[K ’]e = T

e

]T[ [K]e[T]e

Trang 33

0n00

00n0

000n

000

0000

y y y

x x x

nml

Trong đó

lx, mx, nx là cosin chỉ phương của trục x (trục phần tử và cũng là đường ij nối hai điểm nút đầu và cuối phần tử ),

ly, my, ny là cosin chỉ phương của trục y

lz, mz, nz là cosin chỉ phương của trục z lấy đối với các trục x’, y’, z’ của hệ tọa độ tổng thể

[n] được gọi là ma trận biến đổi tọa độ Nó xác định quan hệ giữa các tọa độ

của một điểm bất kỳ theo các hệ trục tọa độ khác nhau Trong trường hợp đang xét, ta có quan hệ giữa các tọa độ địa phương và các tọa độ tổng thể là:

'y

'xnzyx

Trang 34

e) Xây dựng ma trận biến đổi tọa độ [n] theo tọa độ các điểm nút

Dễ thấy rằng, có thể tìm được nhanh chóng các cosin chỉ phương của trục

x theo tọa độ các nút đầu (x’i, y’i, z’i) và nút cuối (x’j, y’j, z’j) của phần tử trong hệ trục tọa độ tổng thể

lx =

l

'x'

, mx =

l

'y'

, nx =

l

'z'

(1.1.43) với l là chiều dài phần tử và

i j

2 i j

2 i

j x' y' y' z' z''

Tuy nhiên để xác định thành phần còn lại của ma trận [n] là các cosin chỉ phương các trục y và đối với hệ trục tổng thể x’y’z’ thì ta phải lần lượt thực hiện theo hai giai đoạn như sau

Ở giai đoạn đầu, ta sẽ xây dựng m a trận [n1] mô tả quan hệ giữa các tọa độ của hệ trục tổng thể x’y’z’ và các tọa độ của hệ trục trung gian xyz Mà trong đó trục z là song song với mặt phẳng tọa độ x’z’ (hình 3.23a), trục x là trục phần tử Khi đó

'y

'xnzy

x

Trong giai đoạn sau, ta tìm ma trận [n2] biểu diển mối quan hệ giữa các toạ độ của hệ trục trung gian x yz và hệ trục địa phương xyz của phần tử (có các trục y và z là các trục chính)

xnzyx

Trang 35

r, từ đó chúng ta có:

a Trục x ≡ trục x, trục z// my x’z’

(các trục chính y và z xem như trùng

Trang 36

d1010

kml

'k'j'id

1ji

jik

rr

rrrr

r

rrr

ta có thể biểu diễn j

r như tích của hai vector k

r và i

v như sau

z z n

nml

'k'j'iikj

rrrrrr

d

lnm

2 x

2 x y

d/n

d/)nm(d/)nl(d/)ml(

nm

l

nml

nml]

n

[

x x

2 x

2 x x

x

x x

x

z z z

y y y

x x x

trong đó lx, mx, nx đã được xác định bởi (1.1.432) và d bởi (1.1.49)

Trang 37

Để tìm [n2] ta chỉ cần nhớ rằng khi các trục địa phương xyz cua phần tử là bất kỳ thì phép xoay quanh trục x góc α sẽ cho ta biểu diễn quan hệ giữa 2 hệ trục xyz và hệ trục x y z như sau:

cossin

0

sincos

0

00

cossin0

sincos

0

00

1.Nếu α = 0 thì ma trận [n2] sẽ trở thành ma trận đơn vị

2 K hi phần tử thanh đang xét có

phương thẳng đứng, tức là khi trục x (hay

x)

là trùng với trục tổng thể y’ thì cosin chỉ

phương của nó là

lx = 0, mx = 1, nx = 0

thì giá trị của d trong (1.1.52) là bằng 0

Điều này làm nhiều thành phần trong ma

trận [n1] là không xác định Vậy việc xác

định ma trận [n] như trên là không thích

hợp nữa

x y’

Trang 38

Tuy nhiên, trường hợp này lại dễ dàng xác định được ma trận [n] Nếu gọi

α là góc giữa các trục z’ và z và nằm trong m ặt phẳng nằm ngang x’z’ (α là

dương khi quay từ z’ đến z là ngược chiều kim đồng hồ (hình 1.1.16) Cũng dẫn giải như trên ta sẽ nhận được ma trận [n] như sau:

α α

cos0

sin

sinm0cosm

0m

0

x x

x

(1.1.54)

Ở đây mx = 1 trong trường hợp này

1.1.5 Tấm chịu uốn

1.1.5.1 các phương trình cơ bản của tấm chịu uốn

Tấm là một kết cấu được giới hạn bởi hai mặt phẳng song song và cách nhau một khoảng là t (gọi là chiều dày tấm) Mặt trung gian là m ặt phẳng cách đều hai mặt phẳng tấm Tùy theo tỷ số giữa bề dày tấm và kích thước nhỏ nhất của mặt phẳng tấm 

b t

Và độ võng lớn nhất

Ta có thể tính toán tấm mỏng theo cả hai lý thuyết: lý thuyết tấm cổ điển

Trang 39

(hay còn gọi là lý thuyết K irchhoff) và lý thuyết Mindlin có kể đến cả biến dạng trượt trong tấm

Chúng ta cũng sẽ đưa ra các phương trình cơ bản trong bài toán tấm dạng

đa giác và dạng chữ nhật trên cơ sở hai lý thuyết này ngõ hầu qua đó thấy được cách phân tích bài toán theo phương pháp PTHH

1.1.5.1.1 Lý thuyết cổ điển của Kirchhoff

Lý thuyết Kirchhoff dựa trên cơ sở các giả thuyết sau:

a)Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm vẫn còn thẳng và vuông góc với mặt trung bình khi chịu uốn và độ dài của chúng là không đổi b)Khi tấm bị uốn, mặt trung bình không bị kéo nén hay trượt Nó là mặt trung hòa

Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc mặt phẳng tấm

c) Xét tấm chịu uốn bởi các lực vuông góc mặt phẳng tấm với hệ trục tọa độ

xyz sao cho mặt phẳng tọa độ xy trùng với mặt trung gian tấm và trục z là vuông góc với mặt phẳng tấm (hình 1.1.17) Trên cơ sở các giả thiết trên, các thành phần chuyển vị u và văn bản của tấm được biểm diễn theo độ võng u và các góc xoay θx,θy của mặt trung gian hay mặt trung hòa của tấm (hình 1.1.18) như sau:

Hình 1.1.17 Tấm chịu uốn trong

hệ trục toạ độ xyz

Trang 40

Hình 1.1.18 Quan hệ giữa

các góc xoay của mặt trung

hoà và đạo hàm của độ võng

Hình 1.1.19 các thành phần

của nội lực