Tìm hiểu quá trình ổn định

Tìm hiểu quá trình ổn định , quá trình Ergodic và các ứng dụngBài tập lớn môn : Quá trình ngẫu nhiên ứng dụng 1... Nội DungPhân công công việc Tìm hiểu quá trình ổn định , tính dừng Er

Tìm hiểu quá trình ổn định , quá trình Ergodic và các ứng dụng

Bài tập lớn môn : Quá trình ngẫu nhiên ứng dụng

1

Giáo viên hướng dẫn : PGS.TS Nguyễn Thị Hoàng Lan

2

Nội Dung

Phân công công việc

Tìm hiểu quá trình ổn định , tính dừng Ergodic và các ứng dụng

Thực hành bằng MatLab

Bài tập ví dụ

3

Phân công công việc

Nguyễn Văn Thanh:Tìm hiểu quá trình ổn định, quá trình ổn định theo nghĩa hẹp

Phan Văn Tân:Tìm hiểu quá trình ổn định theo nghĩa rộng

Vũ Xuân Quỳnh:Tìm hiểu tính dừng Egodic

Phạm Văn Tiến:Thực hành Matlab

Hoàng Anh Chiến & Đinh tuấn hiệp : Làm bài tập

4

Quá trình ổn định theo nghĩa chặt bậc 1

Từ (1.1) ta có fx(x,t) ≡ fx(x,t+c)Với bất kì c =-t ta được :

fx(x,t) ≡ fx(x)Nghĩa là hàm mật độ bậc 1 của X(t) là phụ thuộc t.Như vậy :

E[X(t)]=∫ xf(x)dx =μ, μ constant

7

Quá trình ổn định theo nghĩa chặt bậc 2

Đối với quá trình ổn định bậc 2 theo nghĩa chặt,ta có từ quan hệ (1.1) như sau :

fx(x1,x2,t1,t2) ≡ fx(x1,x2, t1+c,t2+c)Với c nào đó, c=-t2 ta đạt được :

fx(x1,x2,t1,t2…tn) ≡ fx(x1,x2,t1-t2)Như vậy hàm mật độ bậc 2 của quá trình ngẫu nhiên ổn định theo nghĩa chặt chỉ phụ thuộc sự khác nhau các chỉ số thời gian t1-t2 = τ

8

Trong trường hợp này tương quan được xác định bởi:

Rxx(t1,t2)= E{X(t1)X(t2)}

=∫∫x1x2 fx (x1x2, τ = t1-t2) dx1dx2

=Rxx(t1,t2) = Rxx(τ) = Rxx(-τ),Nghĩa là hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên ổn định bậc 2 theo nghĩa chặt chỉ phụ thuộc sự khác nhau của các chỉ số thời gian τ= t1 – t2

Mặt khác,các điều kiện cơ bản đối với ổn định bậc 1 và bậc 2 của quá trình ngẫu nhiên ổn định thường khó khắn để kiểm trứng

9

Ổn định theo nghĩa rộng-WSS

Định nghĩa WSSMột quá trình ngẫu nhiên X(t) được gọi là ổn định theo nghĩa rộng hay quá trình

10

Hàm Rxx(τ) còn có thể viết dưới dạng

Rxx(τ) = E{X(t + )X*(t - )} (2-3)Đặc biệt E{|X(t)|2}= R(0)

Vì thế năng lượng trung bình của quá trình ổn định không phụ thuộc vào t và có giá trị bằng R(0)

11

12

Từ (2-2) cho ta hàm tự tương quan của 1 quá trình WSS chỉ phụ thuộc vào τ = t1 – t2- :

Ví dụ 2

: Nếu x(t) là WSS và

thì

(2-5) 14

Trường hợp đặc biệt :

(a) Nếu C(τ) = qδ(τ) (quá trình nhiễu trắng) thì (b) Nếu tiến trình x(t) tương quan phụ thuộc a (a-dependent) và a T thì từ (2.5) thu được : Điều này chỉ ra rằng, 1 quá trình phụ thuộc a với a T có thể thay thế bằng nhiễu trắng với 15

Tính dừng Ergodic

Khái niệm : Tính dừng Ergodic đảm bảo rằng nếu một tham số thống kê nào đó của quá trình được tính bằng kỳ vọng tức là trung bình tổng thể thì tham số đó cũng có thể tính theo trung bình đối với một quỹ đạo đơn lẻ

Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu về hai dạng của tính ergodic : ergodic kỳ vọng

và ergodic hiệp phương sai

17

Egodic kỳ vọng

Ergodic kỳ vọng

Định nghĩa: quá trình ngẫu nhiên dừng nhân giá trị thực {X(t)} được gọi là ergodic kỳ vọng nếu kỳ vọng µ

của quá trình trung bình thời gian của một quỹ đạo bất kỳ E[X(t)]=

Giới hạn theo phương trung bình.

Đặt XT =

XT là giá trị trung bình thời gian trên [-T;T] của {X(t)}

Khi T→∞, giới hạn T là giá trị trung bình của quỹ đạo trên toàn trục số.

Đối với QTNN tổng quát,giới hạn đã nêu là một BNN,tức là phụ thuộc vào ζ S

18

 Ergodic phương saiĐịnh nghĩa: quá trình dừng nhận giá trị thực {X(t)} được gọi là ergodic phương sai nếu phương sai V của nó bằng phương sai theo thời gian của một quỹ đạo bất kỳ, cụ thể là :

V=E[(X(t) - µ)2]= )2dt

19

Ergodic phương sai

 Trường hợp kỳ vọng đã biết

 Trường hợp chưa biết kỳ vọng

 Ergodic tự hiệp phương sai

 Ergodic hiệp phương sai chéo

20

Giới hạn theo bình phương trung bình

Trường hợp đã biết kỳ vọng ta thay kỳ vọng vào công thức tính ra như bình thường

Trường hợp chưa biết kỳ vọng thì cần dùng trung bình thời gian XT để ước lượng,rồi sau đó

tính ước lượng

T = XT)2dt=2(t)dt-X2T 21

Eg odic hiệp phương sai

lưu ý rằng kết quả khác chính xác với T lớn.

Như vậy có thể giả sử rằng quá trình là quy tâm, tức là E(Xt) = 0 22

Ergodic hiệp phương sai chéo

Hai quá trình nhận giá trị thực, dừng đồng thời {X(t)} và {Y(t)} được gọi là ergodic hiệp phương sai chéo nếu quá trình dừng ergodic tự hiệp phương sai,hơn nữa hiệp phương sai của chúng

CXY(τ)=E[(X(t+ τ)-µX)(Y(t)- µY)]

 Tính chất ergodic kỳ vọng và ergodic tự hiệp phương sai hay được sử dụng hơn cả Chính vì thế quá trình có hai tính chất này còn được gọi là ergodic suy rộng

23

Thực hành Matlab

Giới thiệu Matlab

Matlab là 1 chương trình tính toán số và lập trình được sử dụng rất phổ biến hiện nay Nó cho phép tính toán số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu diễn thông tin, thực hiện thuật toán… 24

Cám ơn cô và các bạn đã chú ý lắng nghe

26