Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn thân thực hiện, hướng dẫn khoa học Thầy giáo, TS Lê Hồng Sơn Các kết trích luận văn hoàn toàn trung thực Tác giả Lương Duy Tân Lời cảm ơn Luận văn kết có cố gắng thân hướng dẫn Thầy giáo, TS Lê Hồng Sơn Tôi xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến Thầy, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tận tình suốt thời gian thực luận văn Trong thời gian làm luận văn này, nhận tình cảm quan tâm, yêu thương động viên lớn lao từ gia đình, bạn bè, điều quan trọng để hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp Do kiến thức thời gian có hạn nên chắc luận văn mắc phải nhiều thiếu sót Vậy kính mong quý Thầy, Cô bạn quan tâm đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cám ơn! Tác giả Lương Duy Tân Mục lục CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.2 Biến ngẫu nhiên 1.1.1 Ánh xạ đo 1.1.2 Biến ngẫu nhiên 1.1.3 Phân phối xác suất 1.1.4 Hàm phân phối 1.1.5 Kỳ vọng 1.1.6 Phương sai 11 1.1.7 Các biến ngẫu nhiên độc lập 11 Một số định lý giới hạn 12 1.2.1 Các dạng hội tụ 12 1.2.2 Một số đẳng thức 14 1.2.3 Luật số lớn 15 LUẬT YẾU SỐ LỚN CHO MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN DƯỚI ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH ĐỀU 16 2.1 Điều kiện khả tích khả tích theo nghĩa Cesàro 16 2.2 Luật yếu số lớn tổng quát 22 Lời nói đầu Trong lý thuyết xác suất, định lý giới hạn nói chung luật số lớn nói riêng đóng vai trò quan trọng Luật số lớn Bernoulli phát vào năm 1713 Kolmogorov phát triển, hoàn thiện vào năm 30 kỉ XX Cho đến nay, định lý giới hạn nói chung luật số lớn nói riêng vấn đề có tính thời có ảnh hưởng to lớn đến phát triển lý thuyết xác suất, thống kê toán học ứng dụng chúng Các định lý giới hạn cổ điển lý thuyết xác suất thường quan tâm đến biến ngẫu nhiên độc lập Do vậy, câu hỏi đặt điều kiện định lý giới hạn biết điều kiện biến ngẫu nhiên độc lập thay điều kiện phụ thuộc độc lập đôi một, martingale, phụ thuộc âm, phụ thuộc dương, phụ thuộc đôi một, trực giao, phụ thuộc theo khối, tựa trực giao theo khối Luật yếu số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện khả tích theo nghĩa cổ điển nhiều tác giả thiết lập Landers Rogge thiết lập luật yếu số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi khả tích Cũng theo hướng nghiên cứu này, mạnh dạn nghiên cứu đề tài: Luật yếu số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên với điều kiện khả tích Luận văn chia làm chương Trong chương 1, trình bày số kiến thức liên quan đến chương sau Đó khái niệm tính chất tính độc lập biến ngẫu nhiên, luật số lớn định lý giới hạn Đồng thời, đưa số bất đẳng thức bổ đề để làm công cụ để chứng minh định lý giới hạn Chương thiết lập luật yếu số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên h-khả tích, khái niệm khả tích yếu khái niệm khả tích theo nghĩa Cesàro Huế, ngày tháng năm 2015 Học viên thực Lương Duy Tân Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.1.1 Biến ngẫu nhiên Ánh xạ đo Định nghĩa 1.1 Giả sử (Ω1 , F1 ) (Ω2 , F2 ) hai không gian đo Ánh xạ X : Ω1 → Ω2 gọi ánh xạ F1 F2 đo với B ∈ F2 X −1 (B) ∈F1 Tính chất Giả sử F1 , G1 hai σ− đại số tập Ω1 ; F2 , G2 hai σ− đại số tập Ω2 Khi đó, F1 ⊂ G1 , G2 ⊂ F2 X : Ω1 → Ω2 ánh xạ F1 F2 đo X ánh xạ G1 G2 đo Giả sử ánh xạ X : Ω1 → Ω2 ánh xạ F1 F2 đo được, ánh xạ Y : Ω2 → Ω3 ánh xạ F2 F3 đo Khi Y ◦ X : Ω1 → Ω3 ánh xạ F1 F3 đo Giả sử F2 = σ(C) Khi X : (Ω1 , F1 ) → (Ω2 , F2 ) ánh xạ F1 F2 đo X −1 (C) ∈ F1 với C ∈ C 1.1.2 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.2 Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất, G σ− đại số σ− đại số F Khi ánh xạ X : Ω → R gọi biến ngẫu nhiên G− đo ánh xạ G/B(R) đo (tức với B ∈ B(R) X −1 (B) ∈ G) Nếu biến ngẫu nhiên X nhận hữu hạn giá trị gọi biến ngẫu nhiên đơn giản Biến ngẫu nhiên gọi đại lượng ngẫu nhiên Trong trường hợp đặc biệt, X biến ngẫu nhiên F- đo X gọi cách đơn giản biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên G−đo biến ngẫu nhiên Mặt khác, X biến ngẫu nhiên họ σ(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(R)} lập thành σ−đại số σ−đại số F, σ- đại số gọi σ−đại số sinh X Đó σ−đại số bé mà X đo Từ suy X biến ngẫu nhiên G− đo σ(X) ⊂ G Định lý 1.1 X biến ngẫu nhiên điều kiện sau thỏa mãn (X < a) : = (ω : X(ω) < a) ∈ F với a ∈ R (X ≤ a) : = (ω : X(ω) ≤ a) ∈ F với a ∈ R (X > a) : = (ω : X(ω) > a) ∈ F với a ∈ R (X ≥ a) : = (ω : X(ω) ≥ a) ∈ F với a ∈ R Định lý 1.2 Giả sử X1 , X2 , , Xn dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P ), f : Rn → R hàm B(Rn )/B(R) đo Khi Y = f (X1 , X2 , , Xn ) : Ω → R xác định ω −→ f (X1 (ω), , f (Xn (ω)) biến ngẫu nhiên Hệ 1.1 Giả sử X Y biến ngẫu nhiên xác định không gian (Ω, F, P ), f : R → R hàm liên tục, a ∈ R Khi aX, X±Y, XY, |X|, f (X), X + = max(X, 0), X − = max(−X, 0), X Y (Y = 0) biến ngẫu nhiên Định lý 1.3 Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P ) Khi inf Xn , supXn hữu hạn inf Xn , supXn , n n n n limXn , limX, lim Xn (nếu tồn tại) biến ngẫu nhiên n→∞ Định lý 1.4 Nếu X biến ngẫu nhiên không âm tồn dãy biến ngẫu nhiên đơn giản, không âm {Xn , n ≥ 1} cho Xn 1.1.3 X n → ∞ Phân phối xác suất Định nghĩa 1.3 Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất, X : Ω → R biến ngẫu nhiên Khi hàm tập PX : B(R) → R B → PX (B) = P (X −1 (B)) gọi phân phối xác suất X Tính chất PX độ đo xác suất B(R) Nếu Q độ đo xác suất B(R) Q phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X Chú ý Tương ứng biến ngẫu nhiên phân phối xác suất chúng tương ứng − Những biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất gọi biến ngẫu nhiên phân phối 1.1.4 Hàm phân phối Định nghĩa 1.4 Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất, X : Ω → R biến ngẫu nhiên Khi đó, hàm số FX (x) = P (X < x) = P (ω : X(ω) < x) gọi hàm phân phối X Như FX (x) = P (X −1 (−∞, x)) = PX [(−∞, x)] Tính chất ≤ F (x) ≤ Nếu a < b F (b) − F (a) = P (a ≤ X < b); F (x) hàm không giảm lim F (x) = 1, lim F (x) = x→+∞ x→−∞ limF (x) = F (a), limF (x) = P (X ≤ a) Do F (x) liên tục trái x↑a x↓a điểm, F (x) liên tục a P (a) = Chú ý Để thuận tiện, người ta thường dùng ký hiệu F (+∞) = lim F (x), F (−∞) = lim F (x) x→+∞ x→−∞ Khi tính chất (3) viết F (+∞) = F (−∞) = 1.1.5 Kỳ vọng Một số tính chất cuả biến ngẫu nhiên xác định qua số đặc trưng Kỳ vọng số đặc trưng quan trọng biến ngẫu nhiên nghiên cứu thuận lợi dựa vào kết tích phân Lebesgue Định nghĩa 1.5 Giả sử X : (Ω, F, P ) → (R, B(R)) biến ngẫu nhiên Khi tích phân Lebesgue X theo độ đo P ( tồn ) gọi kỳ vọng X ký hiệu EX Vậy ˆ EX = XdP Ω Nếu tồn E|X|p < ∞(p > 0) ta nói X khả tích bậc p Đặc biệt, E|X| < ∞ X gọi biến ngẫu nhiên khả tích Tính chất Nếu X ≥ EX ≥ Nếu X = C EX = C Nếu tồn EX với C R, ta có E(CX) = CEX Nếu tồn EX EY E(X ± Y ) = EX ± EY Nếu X ≥ EX = X = ( Định lý B.Levi hội tụ đơn điệu) Nếu Xn X (tương ứng Xn X) tồn n để EXn− < ∞ ( tương ứng EXn+ < ∞) EXn ↑ EX ( tương ứng EXn ↓ EX) ( Bổ đề Fatou) Nếu Xn ≥ Y với n ≥ EY > −∞ ElimXn ≤ limEXn Nếu Xn ≤ Y với n ≥ EY < +∞ ElimXn ≥ limEXn Nếu |Xn | ≤ Y với n ≥ EY < ∞ ElimXn ≤ limEXn ≤ limEXn ≤ ElimXn ( Định lý Lebesgue hội tụ bị chặn) Nếu |Xn | ≤ Y với n ≥ 1, EY < ∞ Xn → X X khả tích, E|Xn − X| → EXn → EX n → ∞ 10 Chương LUẬT YẾU SỐ LỚN CHO MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN DƯỚI ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH ĐỀU Trong chương trình bày khái niệm tính khả tích đều, khả tích Cesàro với mũ r luật yếu số lớn điều kiện khả tích 2.1 Điều kiện khả tích khả tích theo nghĩa Cesàro Trong mục này, ta giả sử {un , n ≥ 1} {vn , n ≥ 1} hai dãy số nguyên dương, {vn ≥ n, ∀n ≥ 1} , {kn , n ≥ 1} dãy số nguyên dương kn → ∞ n → ∞ Định nghĩa 2.1 Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi khả tích nếu: lim sup (E |Xn | I (|Xn | > a)) = a→∞ n≥1 16 Định nghĩa 2.2 Dãy biến ngẫu nhiên khả tích {Xn , n ≥ 1} gọi có tính khả tích theo nghĩa Cesàro nếu: k n lim sup (E |Xi | I (|Xi | > a)) = a→∞ kn i=1 với {kn , n ≥ 1} dãy số nguyên dương kn −→ ∞ n → ∞ Định nghĩa 2.3 Giả sử Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ mảng biến số ngẫu nhiên ani , un ≤ i ≤ , n ≥ mảng số thực, |ani | ≤ C, ∀n ∈ N C > i=un Mảng Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ gọi {ani } −khả tích |ani | (E |Xni | I (|Xni | > a)) = lim sup a→∞ n≥1 i=un Dưới điều kiện ani - khả tích đều, Ordonez Cabrera thiết lập luật yếu số lớn cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên độc lập đôi Định nghĩa 2.4 Giả sử Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ mảng biến số ngẫu nhiên r > Dãy Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ gọi khả tich theo nghĩa c với số mũ r nếu: v n r E |Xni | < ∞ sup n≥1 kn i=u n v n r r lim sup (E |Xni | I (|Xni | > a)) = a→∞ n≥1 kn i=u n Định nghĩa 2.5 Giả sử a > Dãy {Xn , n ≥ 1} biến ngẫu nhiên Xn , n ≥ gọi Cesàro α−khả tích nếu: n E |Xi | < ∞ sup n≥1 n i=1 17 n lim sup (E |Xi | I (|Xni | > iα )) = n→∞ n≥1 n i=1 Với điều kiện Cesàro α−khả tích với α > 12 Chandra Goswami [2] thiết lập luật yếu số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi Định nghĩa 2.6 Giả sử Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ mảng biến số ngẫu nhiên |ani | ≤ C, Cesàro α−khả tích , ani , un ≤ i ≤ , n ≥ mảng số thực, i=un ∀n ∈ N C > Giả sử h (n) , n ≥ dãy cho h (n) ∞ n → ∞ Dãy Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ gọi h−khả tích dãy số {ani } |ani | E |Xi | < ∞ sup n≥1 i=un lim n→∞ i=un |ani | E |Xni | I (|Xni | > h (n)) = Định nghĩa 2.7 Giả sử Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ mảng biến số ngẫu nhiên r > Giả sử h (n) , n ≥ dãy tăng với < h (n) ∞ n → ∞ Mảng Xni gọi h−khả tích với số mũ r v n r sup E |Xni | < ∞ n≥1 kn i=u n v n r r lim (E |Xni | I (|Xni | > h (n))) = n→∞ kn i=u n Chú ý khái niệm h−khả tích với số mũ r yếu khái niệm khả tích với số mũ r theo nghĩa Cesàro Khái niệm khả tích liên quan đến luật yếu số lớn tổng quát Gut Bổ đề 2.1 Nếu mảng Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ mảng biến số ngẫu nhiên 18 r > thỏa mãn điều kiện khả tích Cesàro với số mũ r, thỏa mãn điều kiện h- khả tích với số mũ r Chứng minh Chú ý điều kiện khả tích Cesàro với số mũ r điều kiện h−khả tích với số mũ r giống Do đó, ta cần chứng minh điều kiện thứ hai h−khả tích với số mũ r Nếu Xni thỏa mãn điều kiện thứ hai khả tích c tồn A > để v n r r (E |Xni | I (|Xni | > a)) < ε, a>A sup n≥1 kn i=u n Do h (m) ∞ m → ∞ nên tồn M để h (m) > A m > M Với m > M ta có v m r r E |Xmi | I (|Xmi | > h (m)) km i=u m v n r r ≤ sup E |Xni | I (|Xni | > h (n)) n≥1 kn i=u n < ε Do điều kiện thứ hai h- khả tích với số mũ r thỏa mãn Lưu ý 2.1 Khái niệm h- khả tích với số mũ r yếu hoàn toàn khái niệm khả tích Cesàro với số mũ r, nghĩa tồn dãy Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ h−khả tích với số mũ r, khả tích h−khả tích với số mũ r Bổ đề 2.2 Giả sử Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ mảng biến ngẫu nhiên h−khả tích với số mũ r với r>0, kn → ∞, h (n) ∞ h(n) kn → mệnh đề sau thỏa mãn: α α/r α E |Xni | I (|Xni | > kn ) = o kn (i) i=un β β/r α E |Xni | I (|Xni | > kn ) = o kn (ii) i=un 19 < α ≤ r, r ≤ β Chứng minh Từ điều kiện h(n) kn → n → ∞, tồn số nguyên dương N để h (n) < kn n > N Khi < α < r n > N vm α r E |Xni | I (|Xni | > kn ) α/r kn i=um v n r r ≤ E |Xni | I (|Xni | > kn ) kn i=u n ≤ r r E |Xni | I (|Xni | > h (n)) kn i=u n Do (i)được chứng minh điều kiện h- khả tích với số mũ r Bây ta chứng minh (ii) Từ kết Bổ dề Sung [13], ta có: β/r kn ≤ + β/r kn vm r r r i=um vm E |Xni | I (|Xni | > 0) i=um kn−1 (j + 1) β/r kn β E |Xni | I (|Xni | > kn ) (β/r)−1 β i=un j=1 = An + Bn , An ≤ β/r−1 kn v sup n≥1 r − j (β/r)−1 E |Xni | I (|Xni | > j) n r E |Xni | kn i=u → n Do β/r > điều kiện h−khả tích với số mũ r Mặt khác: ∀n > N , ta có: 20 Bn = ≤ + β/r kn β/r kn (β/r)−1 β r − j (β/r)−1 E |Xni | I (|Xni | > j) i=un j=1 kn−1 (j + 1) (β/r)−1 β r − j (β/r)−1 E |Xni | I (|Xni | > j) i=un j=[h(n)+1] r r r r E |Xni | I (|Xni | > 1) ([h (n)] + 1) (β/r)−1 −1 i=un E |Xni | I (|Xni | > [h (n)] + 1) kn(β/r−1) − ([h (n)] + 1) β/r kn ≤ (j + 1) β/r kn + [h(n)] (β/r)−1 i=un [h (n)] + kn (β/α)−1 v n r E |Xni | + ε sup k n≥1 n i=u n Với [a] phần nguyên a a-1 < [a]< a Do lim sup Bn ≤ ε, h (n) /kn → n→∞ Kết hợp với điều kiện h- khả tích với số mũ r Với ε > 0, Bn −→ n → ∞ ta thấy hàng mảng Xni − ani , un ≤ i ≤ , n ≥ hiệu martingale Định nghĩa 2.8 Hai biến ngẫu nhiên X Y gọi phụ thuộc âm (NQD) hay trường hợp phụ thuộc âm thấp (LCND) P (X ≤ x, Y ≤ y) ≤ P (X ≤ x) P (Y ≤ y) , ∀x, y Định nghĩa 2.9 Một tập hữu hạn Xi , ≤ i ≤ n cho liên kết âm (NA) cho cặp tập hợp rời A B 1,2, ,n với f g hàm không giảm theo tọa độ, ta có 21 Cov (f (Xi , i ∈ A) , g (Xj , j ∈ B)) ≤ Nhận xét: Tập vô hạn biến ngẫu nhiên liên kết âm họ hữu hạn NA Bổ đề 2.3 Giả sử Xn , n ≥ dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm (phụ thuộc âm đôi một) Giả sử fn , n ≥ dãy hàm số không giảm Khi fn (Xn ) , n ≥ dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm (phụ thuộc đôi một) Bổ đề 2.4 Giả sử Xi , ≤ i ≤ n dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm với p kỳ vọng E |Xi | < ∞ (1 ≤ i ≤ n) với < p ≤ Khi p k E max Xi 1≤k≤n 2.2 k p 3−p ≤2 i=1 E |Xi | i=1 Luật yếu số lớn tổng quát Bổ đề 2.5 Giả sử Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ mảng biến ngẫu nhiên hkhả tích với số mũ < r < kn → ∞, h(n) ∞ h(n) kn → n → ∞ Khi (Xni − ani ) i=un −→ n → ∞, 1/r kn Lr nên hội tụ theo xác suất Với ani = < r ≤ ani = E (Xni | Fn, i−1 ) ≤ r < Bổ đề 2.6 Giả sử Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ mảng biến ngẫu nhiên thỏa mãn tính khả tích Cesàro với số mũ r, (0 kn ) Xni = Xni − Xni Khi Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ mảng biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo hàng, ta có v n (Xni − EXni ) kn i=u n = kn i=u v Xni − EXni n n + kn i=u n = An + Bn Tiếp theo ta chứng minh An −→ L2 Với α = r = β = 2, ta có 23 Xni − EXni E |An | = 2E kn = Xni − EXni i=un E Xni − EXni kn2 i=u + n ≤ E Xni − EXni kn2 i=u kn2 Xni , Xnj i=j n ≤ E Xni kn2 i=u n = kn2 i=u E Xni I (Xni ≤ kn ) + kn2 P (|Xni |) > kn n ≤ E Xni I (Xni ≤ kn ) + kn2 P (|Xni |) > kn v n + E Xni I (|Xni |) > kn → kn i=u n Lưu ý X ≤ |Xni | I((|Xni |) > kn ), đó: E E |Bn | = kn ≤ Xni − EXni i=un E Xni kn i=u n ≤ E |Xni | I (|Xni |) > kn → kn i=u n Hệ 2.1 Giả sử Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ mảng biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo hàng, ani , un ≤ i ≤ , n ≥ dãy số Giả sử 24 điều kiện sau thỏa mãn: (i)Xni h- khả tích ứng với dãy ani (ii)h (n) sup |ani | −→ un ≤i≤vn ani (Xni − EXni ) −→ với n → ∞ i=un Chứng minh Ta có kn = sup |ani | Khi kn → ∞ h(n) kn → ∞ Do (ii), ta có: un ≤i≤vn ani (Xni − EXni ) i=un a+ ni (Xni − EXni ) = i=un a− ni (Xni − EXni ) − i=un = An + Bn Với a+ = maxa, a− = max − a, , Xni dãy phụ thuộc âm đôi theo hàng nên dẫn đến kn a+ Xni kn a− Xni hai dãy phụ thuộc âm đôi theo hàng Lấy kn a+ Xni thay Xni , ta có v v n n + |ani | E |Xni | < ∞ E kn a Xni ≤ sup sup n≥1 n≥1 kn i=u i=u n n từ kn |a+ n | ≤ (i), ta có: v n sup E kn a+ Xni I k n≥1 n i=u kn a+ Xni > h (n) n ≤ |ani | E |Xni | I (|Xni | > h (n)) → i=un Do An −→ L1 Tương tự, có Bn −→ L1 25 Lưu ý 2.2 Cho Xn , n ≥ dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một, E |Xn | < ∞ với < r < Đặt un = 1, = n, kn = n Với n ≥ Xni = Xi , với ≤ i ≤ n n ≥ Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo hàng h- khả tích với số mũ r, n (Xni − EXni ) i=un ani (Xi − EXi ) = 1/r kn i=1 n1/r Chúng ta tổng quát hóa luật yếu lớn thành hội tụ Lr hội tụ hầu chắn cho trường hợp r = Định lý 2.2 Giả sử Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ mảng biến ngẫu nhiên liên kết âm đôi h- khả tích với số mũ ≤ r < , kn → ∞, h (n) ∞ h (n) /kn −→ (Xni − EXni ) i=un 1/r kn −→ Lr , n → ∞ Chứng minh Đặt Xni = Xni I |Xni | ≤ kn1/r − kn1/r I Xni < −kn1/r + kn1/r I Xni > kn1/r Và Xni = Xni − Xni , ta thấy Xni Xni hai mảng liên kết âm theo hàng Do 26 (Xni − EXni ) 1/r kn i=un = Xni − EXni 1/r kn i=un + 1/r kn i=un = An + Bn Xni − EXni Với α = r β = 2, có E |An | ≤ + 2/r kn i=un ≤ r E |Xni | I (|Xni | ≤ kn ) r r E |Xni | I (|Xni | ≤ kn ) kn i=u n −→ Áp dụng bất đẳng thức Jensen, ta có: v E |Bn | r 23−r n ≤ E Xni − EXni kn i=u r n ≤ r E Xni + EXni kn i=u r n ≤ E Xni kn i=u r n ≤ r E |Xni | I (|Xni | > kn ) −→ kn i=u n 27 Định lý 2.3 Với ≤ r < Giả sử Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm, ani , un ≤ i ≤ , n ≥ dãy số Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: r r (i)|Xni | dãy h−khả tích ứng với |ani | , (ii)h (n) sup |ani | −→ ∞ un ≤i≤vn ani (Xni − EXni ) −→ Lr n → i=un sup |ani | Chứng minh Đặt kn = kn → ∞ h(n) kn → Do kn −→ ∞ un ≤i≤vn n → ∞ nên tồn N để sup |ani | ≤ 1, n > N un ≤i≤vn Với n > N , ta có: r r kn |ani | = |ani | ≤ sup |ani | un ≤i≤vn r |ani | r ≤ sup |ani | un ≤i≤vn Từ ta có điều phải chứng minh 28 Kết luận Luận văn thu kết sau: Luận văn nghiên cứu luật yếu số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên điều kiện khả tích Hệ thống lại khái niệm mảng phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm, phụ thuộc âm đôi theo hàng Thiết lập luật yếu số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên h- khả tích Thiết lập luật yếu số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm, phụ thuộc âm đôi theo hàng 29 Tài liệu tham khảo [1] T.K Chandra (1989), “Uniform intergrability in the Cesaro sense and the weak law of large numbers” , Sankhya Ser A 51, No 3, 309-317 [2] T.K Chandra, A Goswami, (2003), “Cesaro α−integrability and laws of large numbers I, J” Theoret Probab 16, No 3, 655-669 [3] A Gut, (1992), “The weak law of large numbers for arrays”, Statist Probab Lett 14, No 1, 49-52 [4] D H Hong, K S Oh, (1995), “On the weak law of large numbers for arrays”, Statist Probab Lett 22, No 1, 55-57 [5] D Landers, L Rogge, (1987).”Law of large numbers for pairwise indepen-dent uniformly integrable randomvariables”, Math Nachr 130, 189-192 [6] D Li, A Rosalsky, A Volodin, (2006),”On the strong law of large numbers for sequences of pairwise negative quadrant dependent random variables”, Bull, Inst Math Acad Sin, 11, No 2, 281-305 [7] S H Sung, (1999),”Weak law of large numbers for arrays of random variables”, Statist Probab Lett 42, No 3, 239-298 [8] S H Sung, T C Hu, A Volodin, (2005),”On the weak laws for arrays of random variables”, Statist Probab Lett 72, No 4, 291-298 30 [...]... ta có điều phải chứng minh 28 Kết luận Luận văn đã thu được các kết quả chính sau: 1 Luận văn nghiên cứu về luật yếu số lớn cho mảng các phần tử ngẫu nhiên dưới điều kiện khả tích đều 2 Hệ thống lại các khái niệm về mảng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm, phụ thuộc âm đôi một theo hàng 3 Thiết lập luật yếu số lớn cho mảng các phần tử ngẫu nhiên h- khả tích 4 Thiết lập luật yếu số lớn cho mảng các phần... ≥ 1} tuân theo luật yếu số lớn 15 Chương 2 LUẬT YẾU SỐ LỚN CHO MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN DƯỚI ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH ĐỀU Trong chương này trình bày khái niệm về tính khả tích đều, khả tích đều Cesàro với mũ r và luật yếu số lớn dưới điều kiện khả tích đều 2.1 Điều kiện khả tích đều và khả tích đều theo nghĩa Cesàro Trong mục này, ta giả sử rằng {un , n ≥ 1} và {vn , n ≥ 1} là hai dãy số nguyên dương,... h khả tích với số mũ r yếu hơn khái niệm khả tích đều với số mũ r theo nghĩa Cesàro Khái niệm khả tích liên quan đến luật yếu số lớn tổng quát của Gut Bổ đề 2.1 Nếu mảng Xni , un ≤ i ≤ vn , n ≥ 1 là một mảng biến số ngẫu nhiên 18 và r > 0 thỏa mãn điều kiện khả tích đều Cesàro với số mũ r, thì cũng thỏa mãn điều kiện h- khả tích đều với số mũ r Chứng minh Chú ý rằng điều kiện đầu tiên của khả tích đều. .. Do đó điều kiện thứ hai của h- khả tích với số mũ r được thỏa mãn Lưu ý 2.1 Khái niệm của h- khả tích với số mũ r là yếu hơn hoàn toàn khái niệm của khả tích đều Cesàro với số mũ r, nghĩa là tồn tại dãy Xni , un ≤ i ≤ vn , n ≥ 1 là h khả tích với số mũ r, nhưng không phải khả tích h khả tích với số mũ r Bổ đề 2.2 Giả sử Xni , un ≤ i ≤ vn , n ≥ 1 là mảng các biến ngẫu nhiên h khả tích với số mũ r với. .. i ≤ vn , n ≥ 1 là một mảng biến số ngẫu nhiên vn và ani , un ≤ i ≤ vn , n ≥ 1 là mảng các số thực, |ani | ≤ C, ∀n ∈ N và C > 0 i=un Mảng Xni , un ≤ i ≤ vn , n ≥ 1 được gọi là {ani } khả tích đều nếu vn |ani | (E |Xni | I (|Xni | > a)) = 0 lim sup a→∞ n≥1 i=un Dưới điều kiện ani - khả tích đều, Ordonez Cabrera đã thiết lập luật yếu số lớn cho tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một... 1.2.3 Luật số lớn Giả sử {X n ,n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P ) Khi đó Dãy các biến ngẫu nhiên {X n ,n ≥ 1} được gọi là tuân theo luật yếu số lớn tổng quát nếu tồn tại hai dãy số (an ), (bn ), 0 < bn ↑ ∞ sao cho Sn − an P →0 bn khi n → ∞ • Luật yếu số lớn Markov Định lý 1.9 Nếu {X n ,n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một và thỏa mãn điều kiện. .. iα )) = 0 n→∞ n≥1 n i=1 Với điều kiện Cesàro α khả tích với α > 12 Chandra và Goswami [2] đã thiết lập luật yếu số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một Định nghĩa 2.6 Giả sử Xni , un ≤ i ≤ vn , n ≥ 1 là một mảng biến số ngẫu nhiên vn |ani | ≤ C, và Cesàro α khả tích , ani , un ≤ i ≤ vn , n ≥ 1 là mảng các số thực, i=un ∀n ∈ N và C > 0 Giả sử h (n) , n ≥ 1 là dãy sao cho h (n) ∞ khi n → ∞... hàm số không giảm Khi đó fn (Xn ) , n ≥ 1 là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm (phụ thuộc đôi một) Bổ đề 2.4 Giả sử Xi , 1 ≤ i ≤ n là một dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm với p kỳ vọng 0 và E |Xi | < ∞ (1 ≤ i ≤ n) với 1 < p ≤ 2 Khi đó p k E max Xi 1≤k≤n 2.2 k p 3−p ≤2 i=1 E |Xi | i=1 Luật yếu số lớn tổng quát Bổ đề 2.5 Giả sử rằng Xni , un ≤ i ≤ vn , n ≥ 1 là mảng các biến ngẫu nhiên hkhả tích với. .. nếu họ các σ- đại số sinh bởi chúng {σ(X i ),i ∈ I} độc lập Họ các biến cố {Ai ,i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu nhiên {IAi ,i ∈ I} độc lập Tính chất 1 Giả sử {Xi , i ∈ I} là họ các biến ngẫu nhiên độc lập, fi : R → R(i ∈ I) là các hàm đo được Khi đó họ {fi (Xi ), i ∈ I} là họ các biến ngẫu nhiên độc lập 2 Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} độc lập khi và chỉ khi với mọi n ≥ 1, các σ−... Lưu ý 2.2 Cho Xn , n ≥ 1 là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một, E |Xn | < ∞ với 1 < r < 2 Đặt un = 1, vn = n, kn = n Với n ≥ 1 và Xni = Xi , với 1 ≤ i ≤ n và n ≥ 1 thì Xni , un ≤ i ≤ vn , n ≥ 1 là một dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo hàng h- khả tích với số mũ r, khi đó vn n (Xni − EXni ) i=un ani (Xi − EXi ) = 1/r kn i=1 n1/r Chúng ta có thể tổng quát hóa luật yếu lớn thành ... theo luật yếu số lớn 15 Chương LUẬT YẾU SỐ LỚN CHO MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN DƯỚI ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH ĐỀU Trong chương trình bày khái niệm tính khả tích đều, khả tích Cesàro với mũ r luật yếu số. .. 1.2.3 Luật số lớn 15 LUẬT YẾU SỐ LỚN CHO MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN DƯỚI ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH ĐỀU 16 2.1 Điều kiện khả tích khả tích theo nghĩa Cesàro 16 2.2 Luật yếu. .. ngẫu nhiên 18 r > thỏa mãn điều kiện khả tích Cesàro với số mũ r, thỏa mãn điều kiện h- khả tích với số mũ r Chứng minh Chú ý điều kiện khả tích Cesàro với số mũ r điều kiện h khả tích với số mũ