Lời nói đầu Một kết Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn định lý Brauer đặc trưng cảm sinh: Mỗi đặc trưng nhóm hữu hạn G tổ hợp tuyến tính với hệ số nguyên đặc trưng cảm sinh từ đặc trưng nhóm sơ cấp G Nói cách khác, định lý Brauer vành đặc trưng nhóm hữu hạn G sinh (như nhóm abel) tập đặc trưng cảm sinh từ đặc trưng họ nhóm sơ cấp G Định lý Brauer chứng minh vào năm 1946 Trong chứng minh mình, Brauer khai thác cấu trúc vành vành đặc trưng tính nguyên đại số đặc trưng nhóm Một câu hỏi tự nhiên đặt liệu có tồn họ nhóm “nhỏ hơn” họ nhóm sơ cấp để định lý Brauer không? Câu trả lời J A Green đưa vào năm 1955 Trong đó, ông khẳng định không tồn họ nhóm Các kết không trường số phức C mà trường đóng đại số với đặc số Tuy nhiên, xét trường K có đặc số 0, không đóng đại số định lý Brauer không Thay vào đó, kết tổng quát định lý Brauer Witt Berman đồng thời đưa Kết để có định lý Brauer trường hợp này, cần phải thay họ nhóm sơ cấp họ “rộng hơn” nhóm G, gọi họ nhóm ΓK −sơ cấp Cùng với kết trên, nghiên cứu cấu trúc vành biểu diễn nhóm hữu hạn K, người ta thu số kết quan trọng như: tính xác định trường chia đường tròn, số Schur, biểu diễn thực, Bản luận văn gồm chương: Chương kiến thức chuẩn bị luận văn Trong chương này, nhắc lại số kết Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn như: biểu diễn cảm sinh, công thức tương hỗ Frobenius, vành biểu diễn Những kết sử dụng phần lại luận văn Nội dung chương viết theo J P Serre [7] N H V Hưng [1] Chương hai chương luận văn Phần đầu chương này, trình bày chứng minh cho định lý Artin, định lý Brauer đặc trưng cảm sinh số ứng dụng định lý Brauer như: tính chất đặc trưng, định lý i Frobenius, định lý Green Nội dung phần viết chủ yếu theo J P Serre [7] Phần lại chương này, đưa số ví dụ minh họa cho kết trên, đặc biệt cho định lý Artin định lý Brauer Chương dành cho việc nghiên cứu cấu trúc vành biểu diễn nhóm hữu hạn trường không đóng đại số với đặc số Nội dung chương chứng minh chi tiết cho kết tổng quát định lý Brauer Đồng thời, trình bày số kết câu hỏi hữu tỉ như: số Schur, tính xác định trường chia đường tròn, biểu diễn thực Chương trình bày chủ yếu theo J P Serre [7], có tham khảo thêm C W Curtis and I Reiner [3] G James and M Liebeck [4] Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học mình, TS Lê Minh Hà, người tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt thầy cô tổ môn Đại số - Hình học - Tôpô, cho tác giả học tập môi trường khoa học Cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp gia đình động viên giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 01 năm 2009 Học viên Khuất Văn Thanh ii Bảng ký hiệu Card(G) cấp nhóm G G/H họ tất lớp kề trái H G HK tập {hk|h ∈ H, k ∈ K} nhóm sinh a Z(G) tâm G Sn nhóm đối xứng An nhóm thay phiên Z/nZ nhóm cộng số nguyên modulo n C[G] đại số nhóm G C HomG (V1 , V2 ) không gian đồng cấu C[G]−môđun từ V1 đến V2 χ, ψ ρ⊕ρ tích đặc trưng χ, ψ tổng trực tiếp biểu diễn ρ ρ Tr(A) vết ma trận A W ⊕W tổng trực tiếp hai không gian W W GL(V ) nhóm tuyến tính tổng quát không gian véctơ V GLn (C) nhóm ma trận vuông cấp n khả nghịch C hợp rời z liên hợp phức z |G : H| số nhóm H G conj(y) lớp liên hợp phần tử y [F : K] bậc mở rộng trường F K iii Mục lục Lời nói đầu i Kiến thức chuẩn bị 0.1 Biểu diễn cảm sinh 1 0.2 Vành biểu diễn Định lý Brauer ứng dụng 1.1 Định lý Artin 6 1.2 Định lý Brauer 1.3 Ứng dụng định lý Brauer 15 1.4 Các ví dụ 22 Các câu hỏi hữu tỉ 2.1 Các vành RK (G) RK (G) 2.2 Chỉ số Schur 33 33 36 2.3 Tính xác định trường chia đường tròn 2.4 Hạng RK (G) 49 49 2.5 Định lý Artin tổng quát 2.6 Định lý Brauer tổng quát 53 53 2.7 Biểu diễn thực 60 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 iv Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số kết biểu diễn cảm sinh, công thức tương hỗ Frobenius vành biểu diễn Các kết dùng thường xuyên phần lại luận văn Chương trình bày chủ yếu theo J P Serre [7], có tham khảo thêm N H V Hưng [1] Trong suốt chương toàn luận văn, nói G nhóm, ta hiểu G nhóm hữu hạn 0.1 0.1.1 Biểu diễn cảm sinh Định nghĩa biểu diễn cảm sinh Cho ρ : G → GL(V ) biểu diễn tuyến tính G H nhóm G Gọi ρH hạn chế ρ xuống H Giả sử W biểu diễn ρH Nói cách khác, W không gian vectơ V , ổn định tác động ρt , với t ∈ H Kí hiệu biểu diễn H W θ : H → GL(W ) Với s ∈ G, không gian vectơ ρs W phụ thuộc vào lớp kề trái sH s Thật vậy, ta thay s st với t ∈ H ρst W = ρs ρt W = ρs W Như vậy, σ lớp kề trái H, ta xác định không gian vectơ Wσ V ρs W , với s ∈ σ Khi đó, Wσ hoán vị với ρs , s ∈ G Do tổng chúng, σ∈G/H Wσ , biểu diễn V Định nghĩa 0.1.1 Ta nói biểu diễn ρ G V cảm sinh biểu diễn θ H W V tổng trực tiếp Wσ , với σ ∈ G/H, V = ⊕σ∈G/H Wσ Cũng định nghĩa biểu diễn cảm sinh theo ngôn ngữ “môđun” sau Định nghĩa 0.1.2 Với H nhóm G, ta định nghĩa môđun cảm sinh C[H]−môđun W C[G]−môđun V = C[G] ⊗C[H] W Sự tồn tính biểu diễn cảm sinh thể định lý sau Định lý 0.1.3 ([7], Định lý 11) Giả sử H nhóm G (W, θ) biểu diễn tuyến tính H Khi đó, tồn biểu diễn tuyến tính (V, ρ) G, cảm sinh (W, θ) Hơn nữa, (V, ρ) nhất, sai khác đẳng cấu Giả sử (V, ρ) cảm sinh (W, θ) với đặc trưng tương ứng χρ χθ Khi χρ tính từ χθ Định lý 0.1.4 ([7], Định lý 12) Giả sử h cấp nhóm H R lớp đại diện G/H Với u ∈ G, ta có χθ (r −1 ur) = χρ (u) = r∈R r −1 ur∈H h χθ (s−1 us) s∈G s−1 us∈H Nếu f hàm lớp H, xét hàm f G định nghĩa công thức f (s) = h f (t−1 st), h = Card(H) t∈G t−1 st∈H Ta nói f cảm sinh từ f kí hiệu IndG H (f ) Ind(f ) Mệnh đề 0.1.5 ([7], Mệnh đề 20) (i) Ind(f ) hàm lớp G (ii) Nếu f đặc trưng biểu diễn W H Ind(f ) đặc trưng biểu diễn cảm sinh Ind(W ) G 0.1.2 Công thức tương hỗ Frobenius Trước đưa công thức tương hỗ Frobenius, ta nhắc lại số khái niệm dùng phần sau Giả sử ϕ1 , ϕ2 hai hàm lớp G Đặt ϕ1 , ϕ2 G = g ϕ1 (s−1 )ϕ2 (s), s∈G với g cấp G Khi ϕ1 , ϕ2 G dạng song tuyến tính đối xứng Đôi khi, đơn giản, ta dùng kí hiệu ϕ1 , ϕ2 thay cho ϕ1 , ϕ2 G Nếu V1 V2 hai C[G]−môđun, ta đặt V1 , V2 G = dim HomG (V1 , V2 ) Bổ đề 0.1.6 ([7], Bổ đề 2) Nếu ϕ1 , ϕ2 tương ứng đặc trưng V1 V2 ϕ1 , ϕ2 G = V1 , V2 G Nếu ϕ (tương ứng, V ) hàm lớp G (tương ứng, biểu diễn G), ta kí hiệu Res ϕ (tương ứng, Res V ) hạn chế xuống nhóm H Định lý quan trọng nói tính tương hỗ Frobenius Định lý 0.1.7 ([7], Định lý 13) Nếu ψ hàm lớp H ϕ hàm lớp G, ta có ψ, Res ϕ H = Ind ψ, ϕ G (1) Nhận xét 0.1.8 ([7], Nhận xét) (1) Từ Định lý 0.1.7, suy ánh xạ Res Ind liên hợp với (2) Nếu α β hàm giá trị phức G ta có tích vô hướng (α|β) không gian hàm giá trị phức G, cho công thức (α|β) = g α(t)β(t), t∈G với g = Card(G) Thay tích vô hướng (α|β) cho dạng song tuyến tính α, β (1) trở thành (ψ| Res ϕ)H = (Ind ψ|ϕ)G (2) (3) Chúng ta có công thức quan trọng sau: Ind(ψ · Res ϕ) = (Ind ψ) · ϕ (3) Mệnh đề 0.1.9 (Xem [7], Mệnh đề 21) Giả sử W biểu diễn bất khả qui H E biểu diễn bất khả qui G Khi đó, số bội W Res E với số bội E Ind W 0.2 Vành biểu diễn Giả sử ρ1 , , ρh tập tất biểu diễn bất khả qui đôi không đẳng cấu G Khi đó, biểu diễn ϕ G phân tích thành tổng ϕ = m1 ρ1 ⊕ · · · ⊕ mh ρh , với hệ số mi nguyên không âm Nếu ψ = n1 ρ1 ⊕ · · · ⊕ nh ρh biểu diễn G ta có ϕ ⊕ ψ = (m1 + n1 )ρ1 ⊕ · · · ⊕ (mh + nh )ρh , ϕ⊗ψ = i,j mi nj (ρi ⊗ ρj ) Mỗi biểu diễn ρi ⊗ ρj lại có phân tích qua ρ1 , , ρh Thế phân tích vào đẳng thức trên, ta thu phân tích ϕ ⊗ ψ Bây giờ, gọi R(G) tập hợp tổng hình thức ϕ = m1 ρ1 ⊕ · · · mh ρh , hệ số mi số nguyên Mỗi phần tử R(G) gọi biểu diễn suy rộng biểu diễn ảo G Tổng ϕ ⊕ ψ tích ϕ ⊗ ψ hai biểu diễn suy rộng ϕ ψ xác định công thức nêu cho trường hợp ϕ ψ biểu diễn Khi R(G) lập thành vành giao hoán phép toán ⊕ ⊗ Định nghĩa 0.2.1 R(G) gọi vành biểu diễn nhóm G Giả sử χi đặc trưng biểu diễn ρi Khi R(G) đồng với tập hàm tổ hợp tuyến tính χ1 , , χh , χ = m1 χ1 + · · · + mh χh , với hệ số mi nguyên Mỗi hàm gọi đặc trưng suy rộng hay đặc trưng ảo G Hai phép toán định nghĩa sau: mi χi + mi χi ni χi = nj χj = (mi + ni )χi , mi nj (χi χj ) Vì R(G) gọi vành đặc trưng G Đối với phép cộng, R(G) nhóm abel tự tập hợp {χ1 , , χh } Nói cách khác, ta có phân tích R(G) = Zχ1 ⊕ · · · ⊕ Zχh Vì χi lập thành sở trực chuẩn không gian FC (G) hàm lớp G, nên C ⊗Z R(G) đồng với FC (G) Gọi ρ biểu diễn đơn vị G, tức biểu diễn cấp ρ : G → GL(C) xác định ρ(s) = idC , với s ∈ G Khi đó, đặc trưng χtriv xác định χtriv (s) = với s ∈ G Ta có χtriv đơn vị vành R(G) Tóm lại, ta có kết sau Mệnh đề 0.2.2 ([1], Chương VI, Tiết 7, Mệnh đề 7.1) Các đặc trưng ảo G lập thành vành giao hoán R(G) với đơn vị đặc trưng χtriv biểu diễn đơn vị Nếu H nhóm G, toán tử hạn chế xác định đồng cấu vành từ R(G) tới R(H), kí hiệu ResG H Res Tương tự, ta có toán tử cảm sinh IndG H đồng cấu vành từ R(H) tới R(G), xác định bởi: IndG H (χ)(s) = Card(H) χ(t−1 st) t∈G t−1 st∈H Theo Định lý 0.1.7, đồng cấu Ind Res liên hợp với nhau, tương ứng với dạng song tuyến tính ϕ, ψ H ϕ, ψ G Hơn nữa, công thức (3) ảnh Ind : R(H) → R(G) iđêan vành R(G) Nếu A vành giao hoán, đồng cấu Res Ind mở rộng tuyến tính tới ánh xạ A− tuyến tính: A ⊗ Res : A ⊗ R(G) → A ⊗ R(H), a ⊗ χ → a ⊗ Res χ A ⊗ Ind : A ⊗ R(H) → A ⊗ R(G), a ⊗ χ → a ⊗ Ind χ Chương Định lý Brauer ứng dụng Trong phần đầu chương này, đưa chứng minh chi tiết cho định lý Artin định lý Brauer biểu diễn phức (biểu diễn C) số kết ứng dụng định lý Brauer như: định lý Frobenius, định lý Green Nội dung phần trình bày theo J P Serre [7] Phần lại chương này, đưa số ví dụ minh họa cho định lý Artin định lý Brauer 1.1 Định lý Artin Trước đưa phát biểu chứng minh định lý Artin, cần số kết sau Gọi A nhóm xyclic cấp a Ta định nghĩa hàm θA A công thức   a, x phần tử sinh A, θA (x) =  0, trường hợp khác Khi đó, θA hàm lớp A Hơn nữa, ta có kết sau Mệnh đề 1.1.1 ([7], Mệnh đề 27) Nếu G nhóm hữu hạn cấp g IndG A (θA ), g= A⊂G với A chạy tập tất nhóm xyclic G (Trong công thức này, g kí hiệu hàm với giá trị g) Chứng minh Đặt θA = IndG A (θA ) Với x ∈ G, ta có θA (x) = a θA (yxy −1) = y∈G yxy −1 ∈A a a= y∈G yxy −1 sinh A y∈G yxy −1 sinh A nhận chọn đồng cấu χ : C → L∗ Kí hiệu Kχ trường L∗ sinh χ(C) định nghĩa ρ : C → GL(Kχ ) công thức ρ(s)ω = χ(s)ω, s ∈ C, ω ∈ K Nhóm ΓK = Gal(L/K) tác động K−tuyến tính Kχ Nếu y ∈ P , chọn t ∈ ΓK cho yxy −1 = xt định nghĩa ρ(y) hạn chế σt tới Kχ Ta thấy ρ(y) không phụ thuộc cách chọn t ρ(y)ρ(x)ρ(y)−1 = ρ(xt ) Suy đồng cấu C P vào GL(Kχ ) mở rộng tới đồng cấu H vào GL(Kχ ) (c): Suy từ (b) Bổ đề 2.6.13 ([7], Bổ đề 18) Giữ kí hiệu Bổ đề 2.6.12, tồn ψ ∈ A ⊗ RK (H), cho hàm cảm sinh ψ = IndG H ψ có tính chất sau: (i) ψ (x) ≡ (mod pi ), i = 1, , h (ii) ψ (s) = với p −phần tử s G mà s không ΓK −liên hợp với x Chứng minh Kí hiệu c cấp C gọi ψC hàm xác định C ψC (y) = c y có dạng xt với t ∈ ΓK ψC (y) = trường hợp khác Suy ψC nhận giá trị gA ΓK −lớp C Theo Bổ đề 2.6.10, ψC ∈ A ⊗ RK (C) Từ Bổ đề 2.6.12, suy tồn ψ ∈ A ⊗ RK (H) cho ResH C ψ = ψC −1 Nếu s p −phần tử G y ∈ G ysy p −phần tử Do đó, ysy −1 ∈ H ysy −1 ∈ C ψ(ysy −1) = ysy −1 dạng xt , t ∈ ΓK (hay s không ΓK −liên hợp với x) Mặt khác, ψ (s) = Card(H) ψ(ysy −1) y∈G,ysy −1 ∈H Suy ψ (s) = s không ΓK −liên hợp với x Suy (ii) Hơn nữa, đặt Z tập xt , t ∈ ΓK , ψ (x) = Card(H) c= yxy −1 ∈Z c c Card(P ) 1= yxy −1 ∈Z,y∈G Card(N(x)) Card(P ) Lại P p−nhóm Sylow N(x) nên ψ (x) số nguyên, nguyên tố với p Suy (i) Bổ đề 2.6.14 (Xem [7], Chương 12, Bổ đề 19) Tồn ϕ ∈ A ⊗ VK,p cho ϕ(x) ≡ (mod pi ), với x ∈ G i = 1, , h 57 Chứng minh Gọi (xλ )λ∈Λ hệ đại diện cho ΓK −lớp p −phần tử qui, tức lớp gồm p −phần tử Với λ ∈ Λ, Bổ đề 2.6.13, cho phép xây dựng ϕλ ∈ A ⊗ VK,p cho ϕλ (xλ ) ≡ (mod pi ) ϕλ (xµ ) = λ = µ Đặt ϕ = λ ϕλ ϕ ∈ A ⊗ VK,p ta có ϕ(x) ≡ (mod pi ), với p −phần tử x G Theo Bổ đề 2.6.11, điều cho x ∈ G Hoàn thành chứng minh Định lý 2.6.4 Giả sử ϕ ∈ A ⊗ VK,p thỏa mãn điều kiện Bổ đề 2.6.14 Với x ∈ G i, lớp ϕ(x) môđunlô pi thuộc nhóm nhân trường A/pi Do A/pi trường hữu hạn nên tồn M cho ϕM (x) ≡ (mod pi ), với i x ∈ G Theo Bổ đề 2.6.9, ta có ϕM N (x) ≡ (mod pA), tăng ϕM N tới lũy thừa n, ta nhận ψ ∈ A ⊗ VK,p cho ψ(x) ≡ (mod pn A), ∀x ∈ G Như vậy, hàm l(ψ − 1) có giá trị pn lA = gA Theo Bổ đề 2.6.10, ta có l(ψ − 1) ∈ A ⊗ VK,p Suy l ∈ A ⊗ VK,p , theo Bổ đề 2.6.8, ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2.6.15 (Minh họa cho định lý Artin định lý Brauer tổng quát) Xét nhóm đối xứng S3 = {1, (12), (13), (23), (123), (132)} S3 có nhóm thực gồm nhóm xyclic cấp nhóm xyclic cấp 3: H1 =< (12) >, H2 =< (13) >, H3 =< (23) >, H4 =< 123 > Trường hợp 1: Xét biểu diễn C S3 có biểu diễn bất khả qui với bảng đặc trưng: S3 (12) (123) χ1 1 χ2 -1 χ3 -1 Vì phần tử H1 , H2 H3 nằm lớp liên hợp nên đặc trưng cảm sinh lên S3 Vì ta cần xét với H1 Nó có biểu diễn bất khả qui với bảng đặc trưng: H1 (12) ϕ1 1 ϕ2 -1 H4 ∼ = C3 có biểu diễn bất khả qui với bảng đặc trưng: 58 H4 (123) (132) ψ1 1 ψ2 ω ω2 ψ3 ω2 ω với ω = e2πi/3 Bằng công thức tương hỗ Frobenius, ta tính đặc trưng cảm sinh từ nhóm S3 lên S3 sau: Ind ϕ1 = χ1 + χ3 , Ind ϕ2 = χ2 + χ3 , Ind ψ1 = χ1 + χ2 , Ind ψ2 = Ind ψ3 = χ3 Như vậy, ảnh Z−đồng cấu Ind : ⊕H∈X R(H) → R(S3 ), (với tập X tất nhóm xyclic S3 ) nhóm abel sinh tập phần tử: {χ1 + χ3 , χ2 + χ3 , χ3 } Với χ ∈ R(S3 ), χ = aχ1 + bχ2 + cχ3 , a, b, c ∈ Z, xét phương trình aχ1 + bχ2 + cχ3 = n1 (χ1 + χ3 ) + n2 (χ2 + χ3 ) + n3 χ3 Vì {χi } sở R(S3 ), từ phương trình trên, suy n1 = a, n2 = b, n3 = c − a − b Do đó, số Im(Ind) R(S3 ) Mặt khác, nhóm xyclic S3 nhóm sơ cấp S3 nên định lý Brauer thỏa mãn Nói cách khác, đồng cấu Ind : ⊕H∈V R(H) → R(S3 ), (với tập V tất nhóm sơ cấp S3 ) toàn cấu Trường hợp 2: Xét biểu diễn R Các biểu diễn S3 xác định R nên RR (S3 ) nhóm abel sinh {χ1 , χ2 , χ3 } Ta có biểu diễn H1 xác định R Riêng H4 ∼ = C3 theo Ví dụ 2.4.6, R có hai biểu diễn bất khả qui với bảng đặc trưng: H4 (123), (132) ν1 1 ν2 -1 Suy Ind ν1 = χ1 + χ2 , Ind ν2 = 2χ3 Như vậy, ảnh Z−đồng cấu Ind : ⊕H∈X RR (H) → RR (S3 ), (với tập X tất nhóm xyclic S3 ) nhóm abel sinh tập phần tử: {χ1 + χ3 , χ2 + χ3 , 2χ3 } Với χ ∈ RR (S3 ), χ = aχ1 + bχ2 + cχ3 , a, b, c ∈ Z, xét phương trình aχ1 + bχ2 + cχ3 = n1 (χ1 + χ3 ) + n2 (χ2 + χ3 ) + 2n3 χ3 59 Vì {χi } sở RR (S3 ), từ phương trình trên, suy n1 = a, n2 = b, n3 = c−a−b Suy số Im Ind RR (S3 ) 2, tức định lý Artin thỏa mãn Mặt khác, tập nhóm xyclic S3 tập tất nhóm sơ cấp nên định lý Brauer trường hợp không Nói cách khác, đồng cấu Ind : ⊕H∈V RR (H) → RR (S3 ) (với tập V tất nhóm sơ cấp S3 ) toàn cấu Bây giờ, ta mở rộng họ nhóm sơ cấp thành họ nhóm ΓR −sơ cấp họ chứa S3 Do đó, định lý Brauer tổng quát thỏa mãn, tức đồng cấu Ind : ⊕H∈X RR (H) → RR (S3 ) (với tập X tất nhóm ΓR −sơ cấp S3 ) toàn cấu 2.7 Biểu diễn thực 2.7.1 Đặc trưng thực Định nghĩa 2.7.1 Một phần tử s G gọi thực s liên hợp với s−1 Nếu s thực lớp liên hợp conj(s) s G gọi thực Nhận xét 2.7.2 Giả sử s ∈ G thực Nếu x ∈ conj(s) x = t−1 st x−1 = t−1 s−1 t = t−1 u−1 sut = (ut)−1 s(ut) Do x−1 ∈ conj(s) Như vậy, lớp liên hợp thực chứa phần tử ngược phần tử Định nghĩa 2.7.3 Một đặc trưng phức χ G gọi thực χ(s) số thực với s ∈ G Định nghĩa 2.7.4 Với đặc trưng χ G, ta định nghĩa χ : G → C hàm xác định χ(s) = χ(s), s ∈ G Như vậy, giá trị χ liên hợp phức giá trị χ Hơn nữa, ta có kết sau Mệnh đề 2.7.5 ([4], Mệnh đề 13.15) Nếu χ đặc trưng G χ đặc trưng G Hơn nữa, χ bất khả qui χ bất khả qui Chứng minh Giả sử χ đặc trưng biểu diễn ρ : G → GLn (C), tức χ(s) = Tr(ρ(s)), với s ∈ G Nếu A = (aij ) ma trận vuông cỡ n C ta kí hiệu A = (aij ) Giả sử B = (bij ) ma trận vuông cỡ n C Khi ¯ AB = A¯B 60 Do đó, hàm ρ : G → GLn (C) xác định ρ(s) = ρ(s) biểu diễn G Vì Tr(ρ(s)) = Tr(ρ(s)) = Tr(ρ(s)) = χ(s) nên đặc trưng biểu diễn ρ χ Hơn nữa, ρ bất khả qui χ bất khả qui Do χ bất khả qui ρ bất khả qui Định lý 2.7.6 ([4], Định lý 23.1) Số đặc trưng bất khả qui thực nhóm G số lớp liên hợp thực Chứng minh Kí hiệu X bảng đặc trưng của G X ma trận liên hợp phức ma trận X Theo Mệnh đề 2.7.5, với đặc trưng bất khả qui χ G, χ đặc trưng bất khả qui G Như vậy, X nhận từ X hoán vị dòng Do đó, tồn ma trận hoán vị3 P cho P X = X Với lớp liên hợp conj(s) G, hệ số cột X tương ứng với conj(s) liên hợp phức của hệ số cột X tương ứng với conj(s−1 ) Do X nhận từ X hoán vị cột, tức tồn ma trận hoán vị Q cho XQ = X Ta có X khả nghịch4 Do Q = X −1 X = X −1 P X Suy P Q có vết Mặt khác, vết ma trận hoán vị với số điểm bất động hoán vị tương ứng Do đó, số đặc trưng bất khả qui thực G Tr(P ) số lớp liên hợp thực G Tr(Q) Định lý chứng minh Ví dụ 2.7.7 Xét nhóm dihedral D8 = a, b : a4 = b2 = 1, b−1 ab = a−1 Các lớp liên hợp thực D8 gồm: K1 = {1}, K2 = {a2 }, K3 = {a, a3 }, K4 = {b, a2 b}, K5 = {ab, a3 b} Như vậy, lớp liên hợp thực D8 trùng với lớp liên hợp D8 Ta biết C, D8 có đặc trưng bất khả qui đặc trưng thực D8 χ1 χ2 {a2 } {a, a3 } {b, a2 b} {ab, a3 b} 1 -1 -1 χ3 1 -1 -1 χ4 1 -1 -1 χ5 -2 0 1 1 Là ma trận có hệ số khác không dòng cột, đồng thời, hệ số Theo[4], Mệnh đề 16.2 61 2.7.2 Đặc trưng xác định R Định nghĩa 2.7.8 Đặc trưng χ nhóm G gọi xác định R tồn biểu diễn ρ : G → GLn (C) với đặc trưng χ cho tất hệ số ma trận ρ(s), s ∈ G số thực Ví dụ 2.7.9 ([4], Ví dụ 23.3(1)) Cho G = D8 = a, b : a4 = b2 = 1, b−1 ab = a−1 χ đặc trưng bất khả qui hai chiều G Khi đó, χ xác định R ρ(a) = −1 ( −1 ) , ρ(b) = ( ) cho ta biểu diễn ρ G với đặc trưng χ Ví dụ 2.7.10 ([4], Ví dụ 23.3(2)) Xét G = Q8 = a, b : a4 = 1, b2 = a2 , b−1 ab = a−1 χ đặc trưng bất khả qui hai chiều G Bảng giá trị χ: Q8 χ {a2 } -2 {a, a3 } {b, a2 b} {ab, a3 b} 0 Như χ thực, χ không xác định R (xem Ví dụ 2.7.22) 2.7.3 R[G]−môđun Mục dành cho việc tìm hiểu mối quan hệ R[G]−môđun C[G]−môđun Ta bắt đầu việc xây dựng R[G]−môđun từ C[G]−môđun cho trước Giả sử V C[G]−môđun với sở {v1 , , } s ∈ G Khi đó, tồn số phức zjk cho n svj = zjk vk , j n k=1 Gọi VR không gian véctơ R với sở {v1 , , , iv1 , , ivn } Ta viết zjk = xjk + iyjk , xjk , yjk ∈ R định nghĩa phép nhân VR s sau: n svj = n (xjk vk + yjk (ivk )), s(ivj ) = (−yjk vk + xjk (ivk )), j n (2.13) k=1 k=1 Bằng cách mở rộng tuyến tính, ta định nghĩa sv, với v ∈ VR Nếu coi vj phần tử C[G]−môđun V , ta có t(svj ) = (ts)vj , với t, s ∈ G, j n Nếu coi vj ivj phần tử VR , ta có t(svj ) = (ts)vj t(s(ivj )) = (ts)(ivj ) Do đó, với phép nhân (2.13), VR trở thành R[G]−môđun Gọi χ đặc trưng V χ(s) = n zkk Trong đó, đặc trưng VR s k=1 là: n xkk = χ(s) + χ(s) k=1 Suy đặc trưng VR χ + χ Các tính chất VR tóm tắt mệnh đề sau 62 Mệnh đề 2.7.11 ([4], Mệnh đề 23.6) Giả sử V C[G]−môđun với đặc trưng χ Khi đó: (a) R[G]−môđun VR có đặc trưng χ + χ Nói riêng, dim VR = dim V (b) Nếu V C[G]−môđun bất khả qui VR R[G]−môđun khả qui χ xác định R Chứng minh (a) Đã chứng minh (b) Giả sử V C[G]−môđun bất khả qui VR R[G]−môđun khả qui Theo (a), VR = U ⊕ W , U R[G]−môđun với đặc trưng χ W R[G]−môđun với đặc trưng χ Như vậy, tồn R[G]−môđun U với đặc trưng χ, tức χ xác định R Ví dụ 2.7.12 Xét G = C3 = x : x3 = V C[G]−môđun chiều với sở √ v1 cho xv1 = (−1 + i 3)v1 Khi VR có sở {v1 , iv1 } sở này, x  √  −1/2 3/2  biểu diễn ma trận  √ − 3/2 −1/2 Tính xác định R đặc trưng cho trước liên quan đến tồn dạng song tuyến tính C[G]−môđun tương ứng Nhưng trước đưa kết liên quan đến vấn đề này, ta cần nhắc lại số kết sau Định lý 2.7.13 ([4], Định lý 23.8) Nếu V R[G]−môđun tồn dạng song tuyến tính đối xứng G−bất biến β V cho β(v, v) > 0, với v ∈ V, v = Chứng minh Giả sử {v1 , , } sở V Với u = R, ta định nghĩa n n λj vj , v = j=1 j=1 µj vj , λj , µj ∈ n γ(u, v) = λj µ j j=1 Khi đó, γ dạng song tuyến tính đối xứng V Hơn nữa, v ∈ V, v = n µ2j > γ(v, v) = j=1 Đặt β(u, v) = x∈G γ(xu, xv), u, v ∈ V Khi β dạng song tuyến tính đối xứng G−bất biến V thỏa mãn β(v, v) > 0, với v ∈ V, v = Mệnh đề 2.7.14 ([4], Mệnh đề 23.9) Giả sử V R[G]−môđun β dạng song tuyến tính G−bất biến V Nếu U R[G]−môđun V W = U ⊥ = {w ∈ V : β(u, w) = 0, ∀u ∈ U} R[G]−môđun V 63 Chứng minh Ta có W không gian véctơ V Mặt khác, giả sử w ∈ W s ∈ G Khi đó, với u ∈ U, ta có s−1 u ∈ U β(u, sw) = β(s−1 u, s−1 sw) = β(s−1 u, w) = Do sw ∈ W Vậy W R[G]−môđun V Mệnh đề 2.7.15 ([4], Mệnh đề 23.10) Giả sử β dạng song tuyến tính đối xứng G−bất biến R[G]−môđun V tồn u, v ∈ V với β(u, u) > 0, β(v, v) < Khi V R[G]−môđun khả qui Chứng minh Giả sử β1 dạng song tuyến tính đối xứng G−bất biến V cho β1 (w, w) > 0, với w ∈ V, w = Theo Lý thuyết đại số tuyến tính, tồn sở {v1 , , } V cho β1 (vi , vj ) = β(vi , vj ) = i = j β1 (vi , vi ) = với i, β(v1 , v1 ) > 0, β(v2, v2 ) < Giả sử β(v1 , v1 ) = x định nghĩa γ sau: γ(u, v) = β1 (u, v) − β(u, v), u, v ∈ V x Khi đó, γ dạng song tuyến tính đối G−bất biến V Mặt khác, với n v= i=1 λi vi ∈ V, λi ∈ R, ta có γ(v, v1 ) = λ1 γ(v1 , v1 ) = Đặt W = {w ∈ W : γ(v, w) = 0, ∀v ∈ V } Khi đó, theo Mệnh đề 2.7.14, ta có W = 0, đồng thời R[G]−môđun V Do γ(v2 , v2 ) = − β(v2 , v2 ) > nên x W = V Vậy V R[G]−môđun khả qui Định lý 2.7.16 ([4], Định lý 23.11) Giả sử χ đặc trưng bất khả qui G Khi đó, khẳng định sau tương đương: (a) χ xác định R (b) Tồn C[G]−môđun V với đặc trưng χ dạng song tuyến tính đối xứng G−bất biến khác không V Chứng minh (b)⇒ (a): Giả sử V C[G]−môđun với đặc trưng χ β dạng song tuyến tính đối xứng G−bất biến khác không V Khi đó, tồn u, v ∈ V cho β(u, v) = β(v, u) = Vì β(u + v, u + v) = β(u, u) + β(v, v) + 2β(u, v) nên tồn w ∈ V cho β(w, w) = Giả sử β(w, w) = z v1 = z −1/2 w Khi β(v1 , v1 ) = 64 Mở rộng v1 tới sở {v1 , , } V , ta có {v1 , , , iv1 , , ivn } sở R[G]−môđun VR Định nghĩa hàm δ từ VR vào V n δ: n n λj vj + j=1 j=1 µj (ivj ) → j=1 (λj + iµj )vj , λj , µj ∈ R Khi δ song ánh Với w1 , w2 , v ∈ VR , λ ∈ R với s ∈ G, ta có δ(w1 + w2 ) = δw1 + δw2 , δ(λv) = λδv, δ(sv) = s(δv) (2.14) Bây giờ, định nghĩa hàm β cặp có thứ tự phần tử VR β(u, v) = phần thực β(δu, δv), với u, v ∈ VR Sử dụng (2.14), ta thấy β dạng song tuyến tính đối xứng G−bất biến VR Mặt khác β(v1 , v1 ) = 1, β(iv1 , iv1 ) = −1 Do đó, theo Mệnh đề 2.7.15, VR R[G]−môđun khả qui Theo Mệnh đề 2.7.11, χ xác định R (a)⇒ (b): Giả sử χ xác định R U R[G]−môđun với đặc trưng χ Theo Định lý 2.7.13, tồn dạng song tuyến tính đối xứng G−bất biến khác không γ U Giả sử {u1 , , un } sở U Gọi V không gian véctơ C với sở {u1 , , un } Khi đó, V C[G]−môđun (tác động G lên V tác động G lên U) Ta định nghĩa γ V γ µk u k λj u j , j=1 n n n n λj µj γ(uj , uk ), = j=1 k=1 k=1 λj , µk ∈ C Khi đó, γ dạng song tuyến tính đối xứng G−bất biến khác không C[G]−môđun V V có đặc trưng χ Giả sử V C[G]−môđun với đặc trưng χ χ2σ , χ2λ tương ứng đặc trưng bình phương đối xứng bình phương thay phiên V Theo [7], Mệnh đề 3, ta có χ2 = χ2σ + χ2λ , χ2 đặc trưng C[G]−môđun V ⊗ V Ta có χ2 , χtriv = Card(G) χ(s)χ(s) = χ, χ s∈G Do đó, với đặc trưng bất khả qui χ, ta có   0 , χ không thực, triv χ ,χ =  1 , χ thực Như vậy, χ2 , χtriv = có đặc trưng χ2σ , χ2λ chứa đặc trưng đơn vị χtriv 65 Định nghĩa 2.7.17 Nếu χ đặc trưng bất khả qui G ta định nghĩa hàm đặc trưng ιχ χ    0,    ιχ = 1,      −1, χtriv không thành phần χ2σ χ2λ , χtriv thành phần χ2σ , χtriv thành phần χ2λ Khi đó, ι gọi hàm đặc trưng tập đặc trưng bất khả qui G Chú ý 2.7.18 ιχ = χ thực Định lý 2.7.19 ([4], Định lý 23.14) Với x ∈ G, ta có χ (ιχ )χ(x) = Card({y ∈ G : y = x}), tổng lấy tất đặc trưng bất khả qui χ G Chứng minh Gọi δ : G → C hàm xác định δ(x) = Card({y ∈ G : y = x}) Khi đó, với s ∈ G, ta có y = x ⇔ (s−1 ys)2 = s−1 xs Suy δ hàm lớp G Do đó, δ tổ hợp tuyến tính đặc trưng bất khả qui G Theo định nghĩa ιχ [7], Mệnh đề 3, ta có: ιχ = χ2σ − χ2λ , χtriv = = Card(G) x∈G Do δ = Card(G) χ(s2 ) s∈G χ(s2 ) = s∈G:s2 =x δ(x)χ(x) = δ, χ Card(G) x∈G (ιχ )χ Định lý 2.7.20 ([4], Định lý 23.16) Giả sử V C[G]−môđun bất khả qui với đặc trưng χ Khi đó: (a) Tồn dạng song tuyến tính G−bất biến khác không V ιχ = (b) Tồn dạng song tuyến tính đối xứng G−bất biến khác không V ιχ = (c) Tồn dạng song tuyến tính phản xứng G−bất biến khác không V ιχ = −1 Chứng minh Trong chứng minh này, ta coi C C[G]−môđun tầm thường với tác động G: sλ = λ, λ ∈ C, s ∈ G (a) Giả sử ιχ = Khi χtriv thành phần χ2 Do đó, C[G]−môđun V ⊗ V 66 có C[G]−môđun tầm thường Vậy tồn C[G]−đồng cấu khác không từ V ⊗ V vào C[G]−môđun tầm thường Như vậy, tồn C[G]−đồng cấu δ từ V ⊗ V vào C[G]−môđun tầm thường C Bây giờ, ta định nghĩa β β(u, v) = δ(u ⊗ v), u, v ∈ V Khi đó, β dạng song tuyến tính khác không V với u, v ∈ V, s ∈ G, ta có: β(su, sv) = δ(su ⊗ sv) = δ(s(u ⊗ v)) = s(δ(u ⊗ v)) = δ(u ⊗ v) = β(u, v) Do β G−bất biến Ngược lại, giả sử tồn dạng song tuyến tính G−bất biến β V Gọi {v1 , , } sở V Khi đó, {vi ⊗ vj , V ⊗ V Ta định nghĩa δ : V ⊗ V → C δ(vi ⊗ vj ) = β(vi , vj ), i i n, n, n} sở j j n mở rộng tuyến tính tới toàn V ⊗ V Với s ∈ G, ta có δ(s(vi ⊗ vj )) = δ(svi ⊗ svj )β(svi, svj ) = β(vi , vj )(vì β G − bất biến ) = δ(vi ⊗ vj ) Do δ C[G]−đồng cấu khác không từ V ⊗ V vào C[G]−môđun tầm thường C Như vậy, V ⊗ V có C[G]−môđun tầm thường Điều chứng tỏ đặc trưng tầm thường χtriv thành phần χ2 Vậy ιχ = (b) Giả sử ιχ = Khi χtriv thành phần χ2σ , với χ2σ đặc trưng C[G]−môđun đối xứng Sym2 (V ) Do đó, tồn C[G]−đồng cấu khác không δ từ Sym2 (V ) vào C[G]−môđun tầm thường C Ta định nghĩa β(u, v) = δ(u ⊗ v + v ⊗ u), u, v ∈ V Khi β dạng song tuyến tính đối xứng G−bất biến khác không V Ngược lại, giả sử tồn dạng song tuyến tính đối xứng G−bất biến khác không β V Giả sử {v1 , , } sở V , ta định nghĩa δ : Sym2 (V ) → C δ(vi ⊗ vj + vj ⊗ vi ) = β(vi, vj ), i, j n mở rộng tuyến tính Do β đối xứng nên định nghĩa tốt δ C[G]−đồng cấu khác không từ Sym2 (V ) vào C Do đó, đặc trưng tầm thường χtriv thành phần χ2σ Vì ιχ = (c) Chứng minh phần tương tự phần (b) 67 Bây giờ, đưa mối quan hệ biểu diễn thực G đối hợp G Ở đó, đối hợp G nghĩa phần tử G có cấp Kết thường dùng để đếm số đối hợp G Hệ 2.7.21 (Frobenius - Schur)([4], Hệ 23.17) Với đặc trưng bất khả qui χ G, ta có     0, χ không thực,    ιχ = 1, χ xác định R,      −1, χ thực, χ không xác định R Hơn nữa, với x ∈ G, ta có (ιχ )χ(x) = Card({y ∈ G : y = x}), χ tổng lấy tất đặc trưng bất khả qui χ G Nói riêng, (ιχ )χ(1) = + t, χ t số đối hợp G Chứng minh Phần thứ hệ suy trực tiếp từ Định lý 2.7.16 Định lý 2.7.20 Mặt khác, theo Định lý 2.7.19, χ (ιχ )χ(1) số phần tử y G thỏa mãn y = Các phần tử gồm đối hợp G phần tử đơn vị Vậy χ (ιχ )χ(1) = + t Ví dụ 2.7.22 ([4], Ví dụ 23.18) (a) Đối với nhóm abel, Hệ 2.7.21 số đặc trưng tuyến tính bất khả qui thực nhóm abel số lớp liên hợp thực Vì trường hợp này, s liên hợp với s−1 s2 = (b) Theo Ví dụ 2.7.9, tất đặc trưng bất khả qui nhóm D8 = a, b : a4 = b2 = 1, b−1 ab = a−1 xác định R Như vậy, ιχ = với đặc trưng bất khả qui χ D8 Vì vậy, (ιχ )χ(1) = + + + + = χ Vậy D8 có đối hợp, cụ thể là: a2 , b, ab, a2 b a3 b (c) Trong nhóm Q8 = a, b : a4 = 1, a2 = b2 , b−1 ab = a−1 , có đối hợp a2 Suy χ (ιχ )χ(1) = Mặt khác, ιχ = với đặc trưng bất khả qui bậc Q8 Vì vậy, theo Hệ 2.7.21, ψ đặc trưng bất khả qui bậc Q8 ιψ = −1 Nói riêng, ψ không xác định R (d) Nhóm đối xứng S4 có đối hợp: sáu phần tử liên hợp với (12), ba phần tử liên hợp với (12)(34) Bậc đặc trưng bất khả qui S4 1,1,2,3,3, có tổng 10 Vì tất đặc trưng S4 xác định R 68 Ví dụ 2.7.23 Xét nhóm dihedral D2n = a, b : an = 1, b2 = 1, (ab)2 = Nếu n lẻ D2n có n đối hợp gồm b(0 n − 1) Theo Ví dụ 2.2.27, trường n−1 hợp này, D2n có đặc trưng bất khả qui bậc đặc trưng bất khả qui cấp 2 n−1 =n+1 Do χ(1) = 2.1 + 2 Nếu n chẵn đối hợp trên, D2n có thêm đối hợp an/2 Cũng theo Ví n dụ 2.2.27, D2n có đặc trưng bất khả qui bậc − đặc trưng bất khả qui bậc n Do χ(1) = 4.1 + 2.( − 1) = n + 2 Vì ιχ với χ, theo Hệ 2.7.21, ιχ = với χ Nói cách khác tất i biểu diễn bất khả qui D2n xác định R 69 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 1999 [2] J L Alperin, R B Bell, Groups and Representations, Springer - Verlag, New York, 1995 [3] C W Curtis and I Reiner, Representations theory of finite groups and associative algebras, John Wiley & Sons, New York - London, 1962 [4] G James and M Liebeck, Representations and characters of groups, Second Edition, Cambridge University Press, 2001 [5] J J Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, Fourth Edition, Springer - Verlag, New York, 1995 [6] B R Sagan, The Symmetric Group - Representations, Combinatorial Algrorial Algorithms, and Symmetric Functions, 2nd Edition, Springer - Verlag, New York, 2000 [7] J P Serre, Linear Representation of Finite Groups, Springer - Verlag, New York, 1977 71 [...]... là đặc trưng đơn Đến đây, định lý được suy ra từ Định lý 1.2.10 14 1.3 Ứng dụng của định lý Brauer Mục này trình bày một số kết quả ứng dụng của định lý Brauer 1.3.1 Tính chất của đặc trưng Trong mục này, B là vành con của C Định lý 1.3.1 ([7], Định lý 21) Giả sử ϕ là một hàm lớp trên G và H là một nhóm con sơ cấp của G sao cho ResG H (ϕ) ∈ B ⊗ R(H) Khi đó ϕ ∈ B ⊗ R(G) Chứng minh Gọi X là tập tất cả... các Định lý 1.2.2 và 1.2.3 được chứng minh 1.2.3 Định lý Brauer Trước tiên, ta cần định nghĩa sau Định nghĩa 1.2.9 Một nhóm con của G được gọi là sơ cấp nếu nó là một nhóm con p−sơ cấp đối với ít nhất một số nguyên tố p Định lý 1.2.10 (Brauer) ([7], Định lý 19) Mỗi đặc trưng của G là một tổ hợp tuyến tính với các hệ số nguyên của các đặc trưng cảm sinh từ các đặc trưng của các nhóm con sơ cấp Chứng... của R(G), xác định như trong Định lý 1.2.2 Ta chỉ cần chứng minh tổng V của các Vp với p nguyên tố là bằng R(G) Ta có V chứa Vp Suy ra chỉ số của V trong R(G) chia hết chỉ số của Vp trong R(G) Do đó, theo Định lý 1.2.2, chỉ số của V trong R(G) là nguyên tố với p Từ điều này đúng với mọi số nguyên tố p, ta có chỉ số của V trong R(G) bằng 1 Định lý được chứng minh Định lý 1.2.11 ([7], Định lý 20) Mỗi đặc... và ψi (xj ) ≡ 0 (mod p), j = i ψi Khi đó ψ ∈ A ⊗ Vp và có giá trị nguyên Với x ∈ G, p −thành phần của x là liên hợp với một xi duy nhất Theo Bổ đề 1.2.6, ta có ψ(x) ≡ ψ(xi ) ≡ ψi (xi ) ≡ 0 13 (mod p) Bây giờ, ta sẽ áp dụng các bổ đề trên để hoàn thành chứng minh Định lý 1.2.2 và Định lý 1.2.3 Giả sử g = pn l là cấp của G, với (p, l) = 1 Theo Mục 1.2.2, để hoàn thành chứng minh các Định lý 1.2.2 và. .. nhóm con sơ cấp của G Theo Định lý 1.2.10, ta có thể viết hàm hằng 1 dưới dạng 1= H∈X IndG H fH , fH ∈ R(H) Suy ra ϕ= H∈X ϕ · IndG H fH = H∈X G IndG H (fH · ResH ϕ) Do fH thuộc R(H) và ResG H thuộc B ⊗ R(H) nên tích của chúng thuộc B ⊗ R(H) Vậy ϕ thuộc B ⊗ R(G) Bằng lập luận tương tự và sử dụng Định lý 1.1.4, ta có kết quả sau Định lý 1.3.2 ([7], Định lý 21’) Giả sử B chứa Q và ResG H ϕ ∈ B ⊗ R(H) Khi... chỉ số của Vp trong R(G) chia hết m Như vậy, để hoàn thành chứng minh định lý trên, ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại của một số m như vậy Thực tế, ta chứng minh được kết quả chính xác hơn dưới đây Định lý 1.2.3 ([7], Định lý 18’) Nếu g = pn l là cấp của G, với (p, l) = 1, thì l ∈ Vp 10 Hướng chứng minh của định lý trên như sau: Giả sử A là vành con của C sinh bởi các căn bậc g của đơn vị Khi đó A là một... Vì vậy Định lý 1.3.8 Ψn fc ∈ A ⊗ R(G) khi và chỉ khi (g, n) (g, n) xn ∈c có thể phát biểu như sau Suy ra Định lý 1.3.9 ([7], Định lý 23”) Với mỗi lớp liên hợp c của G và mỗi đặc trưng χ của G, ta có 1 χ(x) ∈ A (g, n) xn ∈c Áp dụng định lý trên cho trường hợp χ là đặc trưng đơn vị, ta có kết quả sau Hệ quả 1.3.10 ([7], Chương 11, Hệ quả 1) Số các phần tử x ∈ G sao cho xn ∈ c là bội của (g, n) Chứng minh... Điều này có nghĩa là nếu f ∈ A ⊗ R(G) thì f = g g Ψn f = (g, n) (g, n) 17 ac fc , với ac ∈ A Suy ra ac Ψn fc c g g Ψn f ∈ A ⊗ R(G) khi và chỉ khi Ψn fc ∈ A ⊗ R(G), với mọi c Do đó, (g, n) (g, n) Định lý 1.3.7 tương đương với định lý sau Vậy Định lý 1.3.8 ([7], Định lý 23’) Với mỗi lớp liên hợp c của G, ta có g Ψn fc ∈ A ⊗ R(G) (g, n) Giả sử χ là đặc trưng của G Khi đó χ, 1 g g χ(x)(Ψn fc (x))∗ = χ(x)... theo, ta chứng minh đối hạch của Res là không xoắn Thật vậy, giả sử tồn tại f ∈ ⊕H∈X R(H) và số nguyên n 1 sao cho nf ∈ Im(Res) Khi đó, tồn tại ϕ ∈ R(G) sao cho Res ϕ = nf Áp dụng Định lý 1.3.1 cho hàm ϕ/n và vành Z, ta có f ∈ Im(Res) Như vậy ⊕R(H)/ Im(Res) là nhóm abel hữu hạn sinh và không xoắn nên nó là nhóm abel tự do Do Res là đơn ánh nên có thể coi Im(Res) là nhóm con của ⊕R(H) Ta cần chứng minh... con sơ cấp, theo giả thiết của định lý, ta có cω thuộc B Suy ra ResH ϕ thuộc B ⊗ R(H) Từ Định lý 1.3.1 suy ra ϕ thuộc B ⊗ R(G) Hệ quả 1.3.5 ([7], Mục 11.1, Hệ quả) Để ϕ là đặc trưng ảo của G, điều kiện cần và đủ là nếu H là nhóm con sơ cấp của G và χ : H → C∗ là đồng cấu thì χ, ResH ϕ H ∈ Z Chứng minh Áp dụng Định lý 1.3.4 cho trường hợp B = Z, ta có điều kiện đủ Mặt khác, χ, ResH ϕ H chính là số lần ... Chương Định lý Brauer ứng dụng Trong phần đầu chương này, đưa chứng minh chi tiết cho định lý Artin định lý Brauer biểu diễn phức (biểu diễn C) số kết ứng dụng định lý Brauer như: định lý Frobenius,... Vành biểu diễn Định lý Brauer ứng dụng 1.1 Định lý Artin 6 1.2 Định lý Brauer 1.3 Ứng dụng định lý. .. , Định lý 1.2.2 1.2.3 chứng minh 1.2.3 Định lý Brauer Trước tiên, ta cần định nghĩa sau Định nghĩa 1.2.9 Một nhóm G gọi sơ cấp nhóm p−sơ cấp số nguyên tố p Định lý 1.2.10 (Brauer) ([7], Định lý