BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN NAM THẮNG QUÁ TRÌNH BESSEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN NAM THẮNG QUÁ TRÌNH BESSEL Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS VÕ THỊ HỒNG VÂN Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Mục lục 1 Kiến thức sở 1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.2 Chuyển động Brown Martingale 1.3 Quá trình Markov 1.4 Tích phân ngẫu nhiên Itô 1.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 14 Quá trình Bessel 17 2.1 Các khái niệm 17 2.2 Một số tính chất 20 KẾT LUẬN 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO 28 MỞ ĐẦU Lý thuyết trình ngẫu nhiên bắt đầu tập trung nghiên cứu năm cuối kỷ 19 Từ đến nay, với phát triển mạnh mẽ ngành Lý thuyết xác suất, lý thuyết trình ngẫu nhiên chứng tỏ hướng nghiên cứu quan trọng Lý thuyết xác suất Một họ trình ngẫu nhiên thông dụng trình Markov, trình ngẫu nhiên mà tương lai khứ độc lập với biết Nói cách khác trình Markov mô tả hệ thống trí nhớ Quá trình Bessel trình Markov, có vai trò quan trọng không nghiên cứu trình ngẫu nhiên, đặc biệt chuyển động Brown, mà nhiều ứng dụng thực tế lý thuyết khác, chẳng hạn để hỗ trợ việc tìm hiểu thị trường tài chính, Marc Yor nói "quá trình Bessel có khắp nơi" Theo hiểu biết chúng tôi, trình Bessel đề cập nhiều tài liệu nước ngoài, đề cập tài liệu tiếng Việt Vì vậy, chọn đề tài cho luận văn “Quá trình Bessel” Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương Chương 1: Kiến thức sở Trong chương này, trình bày số kiến thức lý thuyết xác suất để phục vụ cho chương 2: trình ngẫu nhiên, chuyển động Brown Martingale, trình Markov, tích phân ngẫu nhiên Itô phương trình vi phân ngẫu nhiên Chương 2: Quá trình Bessel Chương nội dung luận văn Trong chương trình bày định nghĩa trình Bessel bình phương trình Bessel tính chất chúng Luận văn thực trường Đại học Vinh, hướng dẫn TS Võ Thị Hồng Vân Tác giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới cô Võ Thị Hồng Vân, người tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình làm đề tài Tác giả xin cảm ơn thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 21 chuyên ngành Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học Đồng thời xin cảm ơn ban chủ chiệm, thầy cô khoa Sư phạm Toán học, phòng Đào tạo Sau đại học tập thể lớp Cao học 21 chuyên ngành Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy cô bạn đọc Vinh, tháng năm 2015 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, làm việc không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P) với lọc (Ft , t ≥ 0) thỏa mãn điều kiện thông thường, tức (Ft , t ≥ 0) họ tăng σ -đại số F thỏa mãn • Ft = Ft+ , với t ≥ >0 • F0 chứa tập có xác suất 1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.1 Định nghĩa (Quá trình ngẫu nhiên) Họ biến ngẫu nhiên (Xt , t ≥ 0) xác định (Ω, F, P) gọi trình ngẫu nhiên X ký hiệu X = (Xt , t ≥ 0) (1) (2) (n) Trong trường hợp Xt biến ngẫu nhiên n-chiều, tức Xt = (Xt , Xt , , Xt ) (i) với Xt , i = 1, n biến ngẫu nhiên (Ω, F, P), ta gọi X = (Xt , t ≥ 0) trình ngẫu nhiên n-chiều 1.1.2 Định nghĩa (Quá trình tương thích với lọc) Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0) gọi tương thích với lọc (Ft , t ≥ 0) với t ≥ 0, Xt đo Ft 1.1.3 Định nghĩa (Quá trình đo được) Giả sử X = (Xt , t ≥ 0) trình ngẫu nhiên Khi ta xem X hàm hai biến X : [0, ∞) × Ω → R Gọi G σ -đại số Borel [0, ∞) Nếu X ánh xạ đo σ -đại số tích G × F , ta nói X = (Xt , t ≥ 0) trình đo 1.1.4 Định nghĩa (Quá trình liên tục) Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0) gọi liên tục quỹ đạo t → Xt liên tục hầu chắn Chú ý trình ngẫu nhiên liên tục có quỹ đạo liên tục phải (hoặc trái) X đo 1.1.5 Định nghĩa (Bộ lọc tự nhiên) Giả sử X = (Xt , t ≥ 0) trình ngẫu nhiên Với t ≥ 0, gọi Ft σ -đại số sinh Xt , tức Ft = σ(Xs , ≤ s ≤ t), t ≥ Khi đó, họ (Ft , t ≥ 0) gọi lọc tự nhiên trình ngẫu nhiên X Chú ý trình ngẫu nhiên tương thích với lọc tự nhiên 1.2 Chuyển động Brown Martingale 1.2.1 Định nghĩa (Chuyển động Brown 1-chiều) Quá trình ngẫu nhiên (Bt , t ≥ 0) gọi chuyển động Brown 1-chiều xuất phát từ x ∈ R trình liên tục thỏa mãn (i) B0 = x h.c.c (ii) Bt − Bs ∼ N (0, t − s), với ≤ s < t (iii) Quá trình có gia số độc lập, tức với ≤ t1 < t2 < · · · < tn Btn − Btn−1 , , Bt2 − Bt1 , Bt1 độc lập Chuyển động Brown gọi chuẩn tắc x = 1.2.2 Định nghĩa (Chuyển động Brown m-chiều) Quá trình ngẫu nhiên (1) (2) (m) m-chiều (Bt , t ≥ 0) Bt = (Bt , Bt , , Bt ) gọi chuyển (i) động Brown m-chiều thành phần Bt , i = 1, m chuyển động Brown 1-chiều chúng độc lập với 1.2.3 Định nghĩa (Martingale) Quá trình ngẫu nhiên (Xt , t ≥ 0) gọi Ft -martingale (i) (Xt , t ≥ 0) tương thích với (Ft , t ≥ 0) (ii) E|Xt | < ∞, với t ≥ (iii) E(Xt |Fs ) = Xs , với ≤ s ≤ t Định lý Lévy sau kết quan trọng để chứng minh martingale chuyển động Brown 1.2.4 Định lý Nếu (Xt , t ≥ 0) martingale liên tục X, X t = t với t ≥ (Xt , t ≥ 0) chuyển động Brown Ở ( X, X t , t ≥ 0) trình biến phân bậc trình ngẫu nhiên (Xt , t ≥ 0), tức với t ≥ n−1 X, X t = (Xti+1 − Xti )2 , lim max |ti+1 −ti |→0 i i=0 = t0 < t1 < · · · < tn = t 1.3 Quá trình Markov Quá trình Markov trình ngẫu nhiên mà tương lai khứ độc lập với biết tại, Markov đưa vào năm 1906 Chẳng hạn Xt dân số thời điểm t, hệ (sinh thái, vật lý, học ) nhớ sức ỳ lớn trình Markov Định nghĩa cụ thể trình Markov sau 1.3.1 Định nghĩa (Quá trình Markov) Quá trình ngẫu nhiên (Xt , t ≥ 0) gọi trình Markov với t ≥ có P(AB|Xt ) = P(A|Xt ) P(B|Xt ), A ∈ Ft , B ∈ F≥t Ft = σ(Xs , ≤ s ≤ t) F≥t = σ(Xu , u ≥ t) Có nhiều dạng định nghĩa khác trình Markov, tùy vào trường hợp cụ thể để dùng định nghĩa cho thích hợp Sau ta đưa số định nghĩa tương đương 1.3.2 Định lý Quá trình ngẫu nhiên n-chiều (Xt , t ≥ 0) trình Markov thỏa mãn tính chất sau • P(B|Ft ) = P(B|Xt ), B ∈ F≥t • P(A|F≥t ) = P(A|Xt ), A ∈ Ft x ∈ Rn , ≤ s ≤ t • P(Xt ≤ x|Fs ) = P(Xt ≤ x|Xs ), • P(Xt ≤ x|Xt1 , , Xtk ) = P(Xt ≤ x|Xtk ), x ∈ Rn , ≤ t1 < t2 < < tk < t • P(Xt ≤ x|Xt1 = x1 , , Xtk = xk ) = P(Xt ≤ x|Xtk = xk ), x, xi ∈ Rn , ≤ t1 < t2 < < tk < t • P(Xt ∈ B|Xt1 , , Xtk ) = P(Xt ∈ B|Xtk ), B ∈ B(Rn ), ≤ t1 < t2 < < tk < t • E(f (Xt )|Fs ) = E(f (Xt )|Xs ), ≤ s ≤ t, f : Rn → R hàm Borel bị chặn 1.3.3 Ví dụ Chuyển động Brown 1-chiều (Bt , t ≥ 0) trình Markov Chứng minh Giả sử ≤ s ≤ t f : R → R hàm Borel bị chặn Khi E(f (Bt )|Fs ) = E(f (Bt − Bs + Bs )|Fs ) Nhắc lại kì vọng có điều kiện có tính chất sau: Nếu X G -đo được, Y độc lập với G ϕ(x, y) hàm thỏa mãn E|ϕ(X, Y )| < ∞ E(ϕ(X, Y )|G) = Eϕ(x, Y )|x=X Ở đây, Bs Fs -đo được, Bt − Bs độc lập với Fs f bị chặn nên áp dụng tính chất với ϕ(x, y) = f (x + y) X = Bs , Y = Bt − Bs ta E(f (Bt − Bs + Bs )|Fs ) = Ef (Bt − Bs + Bs ) = Ef (Bt ) Do E(f (Bt )|Fs ) = Ef (Bt ) Cũng theo tính chất kì vọng, trường hợp đặc biệt X Y độc lập, E(ϕ(X, Y )|X) = Eϕ(x, Y )|x=X Do ta E(f (Bt )|Bs ) = E(f (Bt − Bs + Bs )|Bs ) = Ef (Bt − Bs + Bs ) = Ef (Bt ) Vậy E(f (Bt )|Fs ) = E(f (Bt )|Bs ), nên theo định lý 1.3.2, (Bt , t ≥ 0) trình Markov 1.4 Tích phân ngẫu nhiên Itô 1.4.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô Giả sử (Bt , t ≥ 0) chuyển động Brown 1-chiều (Ft , t ≥ 0) lọc tự nhiên nó: Ft = σ(Bs , ≤ s ≤ t) Với T ≥ 0, ta định nghĩa tích phân T Yt dBt (Yt , t ≥ 0) trình ngẫu nhiên thỏa mãn số điều kiện định 1.4.1.1 Định nghĩa (Quá trình ngẫu nhiên đơn giản) Gọi V họ trình ngẫu nhiên (Yt , t ≥ 0) đo được, tương thích với lọc (Ft , t ≥ 0) thỏa T EYt2 dt < ∞ Quá trình ngẫu nhiên Y ∈ V gọi đơn giản mãn tồn dãy biến ngẫu nhiên X0 , X1 , , Xn thỏa mãn Xi Fti -đo được, EXi2 < ∞ n Yt = Xi−1 1[ti−1 ,ti ) (t) + Xn 1{T } i=1 = t0 < t1 < · · · < tn = T 1.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.5.1 Định nghĩa (Phương trình vi phân ngẫu nhiên) Giả sử (Bt , t ≥ 0) chuyển động Brown m-chiều Phương trình vi phân ngẫu nhiên n-chiều phương trình có dạng dXt = b(t, Xt ) dt + σ(t, Xt ) dBt , X0 = ξ (1.1) b : [0, ∞) × Rn → Rn σ : [0, ∞) × Rn → Rn×m hàm đo ξ biến ngẫu nhiên n-chiều độc lập với Bt Phương trình (1.1) viết dạng t Xt = ξ + t b(s, Xs ) ds + σ(s, Xs ) dBs 1.5.2 Định nghĩa (Nghiệm mạnh phương trình vi phân ngẫu nhiên) Giả sử (Bt , t ≥ 0) chuyển động Brown m-chiều Nếu (Xt , t ≥ 0) trình ngẫu nhiên liên tục thỏa mãn (i) (Xt , t ≥ 0) tương thích với lọc tự nhiên (Bt , t ≥ 0) (ii) Với t ≥ 0, t |b(t, Xt )| dt < ∞ h.c.c t |σ(t, Xt )|2 dt < ∞ h.c.c (iii) X0 = ξ h.c.c (iv) Với xác suất 1, t Xt = ξ + t b(s, Xs ) ds + σ(s, Xs ) dBs , t≥0 Xt gọi nghiệm mạnh phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu ξ 14 1.5.3 Định nghĩa (Nghiệm nhất) Nghiệm mạnh (Xt , t ≥ 0) gọi với nghiệm mạnh (Xt , t ≥ 0) ta có P(Xt = Xt , ∀t ≥ 0) = 1.5.4 Định lý (Điều kiện tồn nghiệm) Giả sử hệ số b σ thỏa mãn điều kiện (i) (Điều kiện Lipschitz): Với t ≥ x, y ∈ Rn , tồn số K1 > cho |b(t, x) − b(t, y)| + |σ(t, x) − σ(t, y)| ≤ K1 |x − y| (ii) (Điều kiện tăng tuyến tính): Với t ≥ x ∈ Rn , tồn số K2 > cho |b(t, x)| + |σ(t, x)| ≤ K2 (1 + |x|) Khi đó, với biến ngẫu nhiên ξ độc lập với Bt E|ξ|2 < ∞, phương trình (1.1) có nghiệm mạnh Xt thỏa mãn điều kiện ban đầu ξ Đối với phương trình vi phân ngẫu nhiên 1-chiều, để xét tính tồn nghiệm, ta sử dụng tiêu chuẩn Yamada-Watanabe sau (xem [7], chương V, §40) 1.5.5 Định lý Với n = 1, điều kiện tồn nghiệm mạnh thỏa mãn điều kiện Lipschitz (i) thay điều kiện • b bị chặn Lipschitz • σ thỏa mãn điều kiện Holder với α ≥ đó, tức với t ≥ x, y ∈ R, tồn số C > cho |σ(t, x) − σ(t, y)| ≤ C|x − y|α 1.5.6 Ví dụ Phương trình dXt = α dt + |Xt | dBt có nghiệm mạnh với α ≥ 15 (1.2) Chứng minh Rõ ràng b(t, x) = α bị chặn Lipschitz √ √ Với σ(t, x) = |x|, | x − y| ≤ |x − y| với x, y ≥ 0, nên |σ(t, x) − σ(t, y)| ≤ |x − y|1/2 Hơn |x| ≤ α + α|x| + + |x| = (1 + α)(1 + |x|) |b(t, x)| + |σ(t, x)| = α + Do đó, theo định lý 1.5.5, phương trình (1.2) có nghiệm mạnh Định lý Ikeda-Watanabe sau (xem [7], chương V, §43) so sánh nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 1-chiều 1.5.7 Định lý Giả sử Xt Yt nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 1-chiều t X t = X0 + t b(s, Xs ) ds + σ(s, Xs ) dBs t Yt = Y0 + t b (s, Ys ) ds + σ(s, Ys ) dBs σ thỏa mãn Định lý 1.5.5 b, b hàm Borel bị chặn, b ≤ b thỏa mãn điều kiện Lipschitz Khi đó, X0 ≤ Y0 h.c.c Xt ≤ Yt với t ≥ h.c.c 16 CHƯƠNG QUÁ TRÌNH BESSEL 2.1 Các khái niệm Giả sử Bt chuyển động Brown chuẩn tắc 1-chiều Với x ≥ 0, xét phương trình vi phân ngẫu nhiên t |Xs | dBs Xt = x + αt + Theo ví dụ 1.5.6, phương trình có nghiệm mạnh với α ≥ Mặt khác, x = α = Xt = với t ≥ Do đó, theo Định lý 1.5.7 ta có Xt ≥ với x, α ≥ 0, dấu giá trị tuyệt đối phương trình không cần thiết Khi đó, nghiệm mạnh phương trình gọi có chiều α ta có định nghĩa sau 2.1.1 Định nghĩa (Quá trình Bessel bình phương α-chiều xuất phát từ x) Giả sử Bt chuyển động Brown chuẩn tắc 1-chiều Với x ≥ α ≥ 0, nghiệm mạnh phương trình t Zs dBs Zt = x + αt + gọi trình Bessel bình phương α-chiều xuất phát từ x ký hiệu Z ∼ BESQα (x) 2.1.2 Ví dụ Giả sử Bt chuyển động Brown chuẩn tắc không âm 1-chiều Đặt Zt = Bt2 Theo ví dụ 1.4.2.3, ta có dZt = dt + 2Bt dBt Do dZt = dt + Zt dBt 17 Mặt khác, Z0 = B02 = Vậy Zt ∼ BESQ1 (0) 2.1.3 Định nghĩa (Quá trình Bessel α-chiều xuất phát từ x) Giả sử x ≥ √ Z ∼ BESQα (x2 ) Khi Rt = Zt gọi trình Bessel α-chiều xuất phát từ x, ký hiệu R ∼ BES α (x) 2.1.4 Ví dụ Giả sử Bt = (B1 (t), B2 (t), , Bm (t)) chuyển động Brown m-chiều xuất phát từ a = (a1 , , am ) ∈ Rm Khi Rt = |Bt | = (t) B12 (t) + B22 (t) + · · · + Bm trình Bessel m-chiều xuất phát từ |a| = a21 + · · · + a2m Thật vậy, đặt Xt = Bt Zt = Rt2 Chọn hàm F : [0, ∞) × Rm → R xác định F (t, x) = x21 + x22 + · · · + x2m với x = (x1 , x2 , , xm ) Khi đó, Zt = F (t, Xt ) đạo hàm riêng sau liên tục ∂F ∂F (t, x) = (t, x) = 2xi ∂t ∂xi ∂ 2F (t, x) = ∂xi ∂xi ∂ 2F (t, x) = với i = j ∂xi ∂xj Áp dụng công thức Itô, ta dZt = m dt + 2[B1 (t) dB1 (t) + B2 (t) dB2 (t) + · · · + Bn (t) dBn (t)] Mặt khác Z0 = R02 = B12 (0) + B22 (0) + · · · + Bm (0) = a21 + a22 + · · · + a2m = |a|2 Do m Zt = |a|2 + mt + t Bi (s) dBi (s) i=1 18 Bi (s) Rs Vì tập {s : Rs = 0} có độ đo ≤ nên ta đặt t m Bi (s) dBi (s) Rs Bt = i=1 Khi (i) Vì Bi (t), Rt tương thích với Ft lọc tự nhiên chuyển động Brown Bt , với i = 1, m nên Bt tương thích với Ft (ii) Với t ≥ 0, ta có t m EBt2 Bi (s) dBi (s) Rs =E i=1  t m ≤ E m i=1 Bi (s) dBi (s) Rs t m =m E i=1 t m =m E i=1 t Bi (s) dBi (s) Rs Bi2 (s) Rs2   ds ds =m = mt EBt2 < ∞ Do E|Bt | ≤ (iii) Với ≤ s ≤ t, ta có  t m E(Bt |Fs ) = E  i=1  m = E i=1 s  Bi (u) dBi (u) Fs  Ru   m Bi (u) dBi (u) Fs  + E  Ru i=1 19 t s  Bi (u) dBi (u) Fs  Ru s m  t m  Bi (u) Bi (u) dBi (u) + E  dBi (u) R R u u i=1 s i=1  t  m Bi (u) = Bs + E dBi (u) R u i=1 = s = Bs Từ (i)-(iii), suy Bt martingale Nhắc lại Xt trình ngẫu nhiên có vi phân dXt t X, X t (dXs )2 = m Vì dBt = i=1 Bi (t) Rt dBi (t) nên áp dụng kết trên, ta t B ,B t m = i=1 Bi (s) dBi (s) Rs t m = i=1 Bi2 (s) ds = Rs2 t ds = t Hơn B0 = Do đó, theo định lý 1.2.4, Bt chuyển động Brown chuẩn tắc 1-chiều Mặt khác t t Zs dBs = m Rs i=1 Bi (s) dBi (s) = Rs m t Bi (s) dBi (s) i=1 Vậy t Zt = |a| + mt + Zs dBs Điều chứng tỏ Zt = Rt2 ∼ BESQm (|a|2 ) Suy Rt ∼ BES m (|a|) 2.2 Một số tính chất 2.2.1 Định lý Quá trình Bessel bình phương trình Markov 20 Chứng minh Giả sử Zt ∼ BESQα (x) Để chứng minh Zt trình Markov, ta chứng minh với z ∈ R ≤ s ≤ t, P(Zt ≤ z|Zs ) = P(Zt ≤ z|Fs ), Fs lọc tự nhiên Zs , tức Fs = σ(Zu , ≤ u ≤ s) Thật vậy, Zt ∼ BESQα (x) nên Zt thỏa mãn phương trình t Zt = x + αt + Zu dBu , t≥0 (2.1) x, α ≥ Bt chuyển động Brown chuẩn tắc 1-chiều Với y ≥ 0, xét phương trình vi phân ngẫu nhiên t Zt = y + α(t − s) + Zu dBu , t≥s s Gọi Zts,y nghiệm phương trình Khi đó, với điều kiện ban đầu Zs = y ≥ 0, nghiệm Zts,y độc lập với σ -đại số Fs với t ≥ s, nên với biến ngẫu nhiên X Fs -đo được, ta có E(1Z s,X ≤z |Fs ) = E(1Zts,y ≤z )|y=X t Chọn X = Zs , ta E(1Z s,Zs ≤z |Fs ) = E(1Zts,y ≤z )|y=Zs (2.2) t Mặt khác, từ (2.1) ta suy Zt thỏa mãn phương trình s Zt = x + αs + α(t − s) + t Zu dBu + Zu dBu s t = Zs + α(t − s) + Zu dBu s Nhưng Zts,Zs nghiệm phương trình này, nên từ tính nghiệm ta có Zt = Zts,Zs Vì vậy, phương trình (2.2) viết E(1Zt ≤z |Fs ) = E(1Zts,y ≤z )|y=Zs 21 nên E(1Zt ≤z |Fs ) đo Fs Do P(Zt ≤ z|Zs ) = E(1Zt ≤z |Zs ) = E[E(1Zt ≤z |Fs )|Zs ] = E(1Zt ≤z |Fs ) = P(Zt ≤ z|Fs ) Vậy Zt trình Markov 2.2.2 Định lý Nếu Xt ∼ BESQα (x) c > cXt/c ∼ BESQα (cx) Chứng minh Vì Xt ∼ BESQα (x) nên Xt thỏa mãn phương trình t Xt = x + αt + Xs dBs x, α ≥ Bt chuyển động Brown chuẩn tắc 1-chiều Đặt Zt = cXt/c Khi đó, Z0 = cX0 = cx dZt = c dXt/c = c α d(t/c) + Xt/c dBt/c √ = α dt + c Zt dBt/c Do t √ Zt = cx + αt + c Đặt Bt = √ Zs dBs/c cBt/c Ta có (i) Vì Bt liên tục c > nên Bt liên tục √ (ii) B0 = cB0 = (iii) Với ≤ s ≤ t, Bt chuyển động Brown nên Bt/c − Bs/c ∼ N (0, t/c − s/c) 22 Do Bt − Bs = √ c(Bt/c − Bs/c ) √ ∼ N (0, ( c)2 (t/c − s/c)) ∼ N (0, t − s) (iv) Với ≤ t1 < t2 < t3 < t4 , Bt chuyển động Brown nên Bt4 /c − Bt3 /c Bt2 /c − Bt1 /c độc lập Do Bt4 − Bt3 = Bt2 − Bt1 = √ √ c(Bt4 /c − Bt3 /c ) c(Bt2 /c − Bt1 /c ) độc lập Từ (i)-(iv), ta có Bt chuyển động Brown chuẩn tắc 1-chiều Hơn t Zt = cx + αt + Zs dBs Vậy Zt = cXt/c ∼ BESQα (cx) 2.2.3 Hệ Nếu Xt ∼ BES α (x) c > cXt/c2 ∼ BES α (cx) Chứng minh Vì Xt ∼ BES α (x) nên Xt2 ∼ BESQα (x2 ) Theo Định lý 2.2.2, α 2 α c2 Xt/c ∼ BESQ (c x ) Do đó, cXt/c2 ∼ BES (cx) 2.2.4 Định lý Nếu X ∼ BESQα (x), Y ∼ BESQβ (y) X , Y độc lập, X + Y ∼ BESQα+β (x + y) 23 Chứng minh Vì X ∼ BESQα (x), Y ∼ BESQβ (y) X , Y độc lập, nên Xt Yt tương ứng thỏa mãn phương trình t Xs dBs(1) Xt = x + αt + t Ys dBs(2) Yt = y + βt + (1) (2) α, β, x, y ≥ Bt , Bt hai chuyển động Brown chuẩn tắc 1-chiều độc lập Đặt Zt = Xt + Yt Ta có t ( Xs dBs(1) + Zt = x + y + (α + β)t + Ys dBs(2) ) (3) Gọi Bt (1) chuyển động Brown chuẩn tắc 1-chiều độc lập với Bt (2) Bt Đặt t Bt = 1{Zs >0} Xs dBs(1) + Zs Ys dBs(2) Zs t 1{Zs =0} dBs(3) + Tương tự chứng minh Ví dụ 2.1.4, ta có Bt martingale Hơn B0 = t B, B t = 1{Zs >0} Xs dBs(1) + Zs Ys dBs(2) Zs + 1{Zs =0} dBs(3) t = 1{Zs >0} Xs Ys + Zs Zs + 1{Zs =0} ds t = ds = t Do đó, theo Định lý 1.2.4, Bt chuyển động Brown chuẩn tắc 1-chiều 24 Mặt khác, Zt dBt = Zt 1{Zt >0} = Xt dBt + (1) Xt (1) dBt + Zt Yt (2) dBt Zt (3) + 1{Zt =0} dBt (2) Yt dBt nên t Zs dBs Zt = x + y + (α + β)t + Vậy Z = X + Y ∼ BESQα+β (x + y) 2.2.5 Định lý Giả sử Rt ∼ BES α (x) với x > Nếu α ≥ Rt thỏa mãn phương trình t α−1 Rt = x + ds + Bt , Rs Bt chuyển động Brown chuẩn tắc 1-chiều Chứng minh Vì Rt ∼ BES α (x) nên Zt = Rt2 ∼ BESQα (x2 ) Do đó, Zt thỏa mãn phương trình t Zt = x2 + αt + Zs dBs Bt chuyển động Brown chuẩn tắc 1-chiều √ Đặt F : [0, ∞) × R+ → R+ xác định F (t, x) = x Khi Rt = F (t, Zt ) Vì α ≥ nên Zt > với t ≥ (xem [7], chương V, §48) Do đó, đạo hàm riêng sau liên tục ∂F ∂F (t, x) = (t, x) = √ ∂t ∂x x ∂ F (t, x) = − √ ∂x∂x 4x x 25 Áp dụng công thức Itô, ta 1 √ dRt = + α √ + 4Zt − Zt 4Zt Zt α−1 dt + dBt = 2Rt dt + Zt √ dBt Zt Vậy t α−1 Rt = x + 26 ds + Bt Rs KẾT LUẬN Luận văn thu số kết sau - Trình bày có hệ thống số khái niệm tính chất trình ngẫu nhiên nói chung chuyển động Brown, Martingale, trình Markov nói riêng - Trình bày có hệ thống tích phân ngẫu nhiên Itô phương trình vi phân ngẫu nhiên - Trình bày có hệ thống khái niệm trình Bessel bình phương, trình Bessel số tính chất chúng Nhiệm vụ - Tìm hiểu ứng dụng trình Bessel thực tế - Nghiên cứu trình Cox-Ingersoll-Ross trình tổng quát trình Bessel 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mô hình xác suất ứng dụng, Phần III: Giải tích ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] N Ikeda, S Watanabe (1989), Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes, 2ed., North Holland [4] K Itô, H P McKean (1996), Diffusion Processes and their Sample Paths, Springer [5] B Oksendal (2003), Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York [6] D Revuz, M Yor (1999), Continuous Martingales and Brownian Motion, 3ed, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York [7] L C G Rogers, D Williams (2000), Diffusions, Markov Processes and Martingales, Vol.2 Itô Calculus, 2ed., CUP 28 [...]... 26 ds + Bt Rs KẾT LUẬN 1 Luận văn đã thu được một số kết quả sau - Trình bày có hệ thống một số khái niệm và tính chất của quá trình ngẫu nhiên nói chung và của chuyển động Brown, Martingale, quá trình Markov nói riêng - Trình bày có hệ thống về tích phân ngẫu nhiên Itô và phương trình vi phân ngẫu nhiên - Trình bày có hệ thống các khái niệm quá trình Bessel bình phương, quá trình Bessel và một số tính... tiếp theo - Tìm hiểu các ứng dụng của quá trình Bessel trong thực tế - Nghiên cứu quá trình Cox-Ingersoll-Ross là quá trình tổng quát hơn của quá trình Bessel 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mô hình xác suất và ứng dụng, Phần III: Giải tích ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] N...1.4.1.2 Định nghĩa (Tích phân Itô của quá trình ngẫu nhiên đơn giản) Với quá trình ngẫu nhiên đơn giản Y ∈ V , ta định nghĩa n T Xi−1 (Bti − Bti−1 ) Yt dBt = 0 i=1 1.4.1.3 Bổ đề (Tính chất đẳng cự Itô) Nếu Y ∈ V là quá trình ngẫu nhiên đơn giản, thì 2 T Yt dBt E T EYt2 dt = 0 0 1.4.1.4 Bổ đề Với mọi quá trình ngẫu nhiên Y ∈ V , luôn tồn tại dãy các quá trình ngẫu nhiên đơn giản (Y (n) , n ≥ 1)... (0) 2.1.3 Định nghĩa (Quá trình Bessel α-chiều xuất phát từ x) Giả sử x ≥ 0 √ và Z ∼ BESQα (x2 ) Khi đó Rt = Zt được gọi là quá trình Bessel α-chiều xuất phát từ x, ký hiệu R ∼ BES α (x) 2.1.4 Ví dụ Giả sử Bt = (B1 (t), B2 (t), , Bm (t)) là chuyển động Brown m-chiều xuất phát từ a = (a1 , , am ) ∈ Rm Khi đó Rt = |Bt | = 2 (t) B12 (t) + B22 (t) + · · · + Bm là quá trình Bessel m-chiều xuất phát... 2.2 Một số tính chất cơ bản 2.2.1 Định lý Quá trình Bessel bình phương là quá trình Markov 20 Chứng minh Giả sử Zt ∼ BESQα (x) Để chứng minh Zt là quá trình Markov, ta sẽ chứng minh với z ∈ R và 0 ≤ s ≤ t, thì P(Zt ≤ z|Zs ) = P(Zt ≤ z|Fs ), trong đó Fs là bộ lọc tự nhiên của Zs , tức Fs = σ(Zu , 0 ≤ u ≤ s) Thật vậy, vì Zt ∼ BESQα (x) nên Zt thỏa mãn phương trình t Zt = x + αt + 2 Zu dBu , t≥0 (2.1)... trình trên là không cần thiết Khi đó, nghiệm mạnh của phương trình được gọi là có chiều α và ta có định nghĩa sau 2.1.1 Định nghĩa (Quá trình Bessel bình phương α-chiều xuất phát từ x) Giả sử Bt là chuyển động Brown chuẩn tắc 1-chiều Với mọi x ≥ 0 và α ≥ 0, nghiệm mạnh duy nhất của phương trình t Zs dBs Zt = x + αt + 2 0 được gọi là quá trình Bessel bình phương α-chiều xuất phát từ x và được ký hiệu là... (Yt ) là chuyển động Brown , i = 1, n, j = 1, m) là quá trình ngẫu nhiên n × m- chiều với các thành phần (ij) Yt T ∗ ∈ V Khi đó tích phân Itô Yt dBt là biến 0 ngẫu nhiên n-chiều với các thành phần xác định bởi (i) T Yt dBt 0 m T = (ij) Yt j=1 (j) dBt , i = 1, n 0 1.4.2 Công thức Itô 1.4.2.1 Định nghĩa (Quá trình Itô) Một quá trình Itô n-chiều là quá trình 10 ngẫu nhiên (Xt , t ≥ 0) có dạng t Xt = X0... 16 CHƯƠNG 2 QUÁ TRÌNH BESSEL 2.1 Các khái niệm Giả sử Bt là chuyển động Brown chuẩn tắc 1-chiều Với x ≥ 0, xét phương trình vi phân ngẫu nhiên t |Xs | dBs Xt = x + αt + 2 0 Theo ví dụ 1.5.6, phương trình này có nghiệm mạnh duy nhất với mọi α ≥ 0 Mặt khác, nếu x = α = 0 thì Xt = 0 với mọi t ≥ 0 Do đó, theo Định lý 1.5.7 ta có Xt ≥ 0 với mọi x, α ≥ 0, và dấu giá trị tuyệt đối trong phương trình trên... 0 T 0 Yt dBt (ii) E EYt2 dt = =0 0 t Ys dBs là Ft -đo được, với mọi t ∈ [0, T ] (iii) 0 t   Ys dBs , t ∈ [0, T ] là Ft -martingale (iv) Quá trình ngẫu nhiên  0 t   Ys dBs , t ∈ [0, T ] có quỹ đạo liên tục (v) Quá trình ngẫu nhiên  0 Gọi V ∗ là họ các quá trình ngẫu nhiên (Yt , t ≥ 0) đo được, tương thích và T Yt2 dt < ∞ h.c.c Khi đó, khái niệm tích phân ngẫu nhiên Itô thỏa mãn 0 n-chiều được... (t) 13 1.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.5.1 Định nghĩa (Phương trình vi phân ngẫu nhiên) Giả sử (Bt , t ≥ 0) là chuyển động Brown m-chiều Phương trình vi phân ngẫu nhiên n-chiều là phương trình có dạng dXt = b(t, Xt ) dt + σ(t, Xt ) dBt , X0 = ξ (1.1) trong đó b : [0, ∞) × Rn → Rn và σ : [0, ∞) × Rn → Rn×m là các hàm đo được và ξ là biến ngẫu nhiên n-chiều độc lập với Bt Phương trình (1.1) còn ... ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN NAM THẮNG QUÁ TRÌNH BESSEL Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS VÕ THỊ HỒNG... ngẫu nhiên Chương 2: Quá trình Bessel Chương nội dung luận văn Trong chương trình bày định nghĩa trình Bessel bình phương trình Bessel tính chất chúng Luận văn thực trường Đại học Vinh, hướng dẫn... chúng tôi, trình Bessel đề cập nhiều tài liệu nước ngoài, đề cập tài liệu tiếng Việt Vì vậy, chọn đề tài cho luận văn Quá trình Bessel Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia