ụ ụ r ụ ụ tr ó ột số ế tứ ị ó tr tr ó ự tồ t ể t ộ ộ ố tr tr ó ó tứ tự ộ ột số ết q ề tồ t ể t ộ ộ ố tr tr ó ó tứ tự ộ ột số ết q ề tồ t ể t ộ ộ ố tr tr ó ó tứ tự ộ ết ệ t ý tết ể t ộ ột tr ữ ứ ủ tí ó ó ề ứ ụ tr tí ột số t ọ ó ó ợ t ọ q t ứ t ợ ề ết q ị í ể t ộ ố tr tr ủ ủ ợ rộ ề ột tr ữ rộ ó ớt ề ệ tr ị ĩ tr ể t ợ ết q tổ qt ó t ứ tồ t ể t ộ ủ tr ủ ị ĩ ữ t ợ ề ết q t tt sr st r ệ ể t ộ ộ ứ ột số ị í ề tồ t ủ ể t ộ ộ tr tr ủ ó tứ tự ộ ệ ể t ộ ộ ợ tệ ứ r rt rr ệ ể t ộ ộ ố ủ từ tí X X ứ ột số ị í ề tồ t ể t ộ ộ ố tr tr ủ ó tứ tự ộ rộ tr t t ợ số tự R ột tự ó tứ tự ộ r ệ tr ó ó ề ề tồ t ể t ộ tr tr ó ợ ề q t ứ t ợ ề ết q ị tệ tr ó ứ tồ t ể t ộ tr tr ó ột ề t r ết q ề tồ t ể t ộ ộ ố tr tr tr ó ó rộ ợ tr ó ể tì ể ề ý tết ể t ộ t ợt ứ ọ ú t tế ứ r ệ ể t ộ ộ ố tr tr ó ét ết q t tự tồ t ể t ộ ộ ố tr tr ò ú ể t ộ ộ ố tr tr ó ữ ó ú t ọ ề t ự tồ t ể t ộ ộ ố tr tr ó ó tứ tự ộ ủ ì ụ í ó ợ tr ó r t ú t ột số ệ ủ t tí ó q ế ộ ủ rì ị ĩ í ụ tí t ủ tr ó ự tồ t ể t ộ ộ ố tr tr ó ó tứ tự ộ r ú t r ệ ể t ộ ộ ố ể ộ ố ể t ộ ộ ố tr tr ó ó ú t rộ ột số ết q ề tồ t ể t ộ ể t ộ ộ ố tr tr ó tứ tự ộ tr ó ó tứ tự ộ r ứ ị í ệ q ợ tự ệ t trờ ọ t tì ủ P tỏ ò ết s s ủ ì ế t ủ ệ Pò s ọ ủ ệ P qý t tr tổ tí ủ rờ ọ rờ ọ ò ú ỡ t tr tờ ọ t r ệ t t ế ệ rờ P Pú ủ ứ ố í t ọ ề ệ t ợ t tr sốt tờ ọ t ố ù ì ệ ệt tr ọ tí ộ t ú ỡ ộ t tr sốt q trì ọ t ứ ù ó ề ố s tr ỏ ữ ế tế sót ú t rt ợ ữ ý ế ó ó ủ ý t ọ ể ợ tệ ệ t ế tr ó trì ột số ệ tí t ề tr tr tụ ú ù tr ột số ế ứ ị ụ ệ tệ ột số ệ ết q sở ù tr t ợ ọ ị ĩ t tr T t ủ ợ ọ ế tỏ ề ệ s (i) ỉ T (ii) ế Gi T , i I tì Gi T iI (iii) ế G1 , G2 T tì G1 ợ ù t T tr ó ợ ọ t ý ệ (X, T ) tử ủ tử tộ sử ợ ọ ủ t T ợ ọ t tr ợ ọ t ó tr ế X \ E t t X t A ủ X ợ ọ ủ ể x X ế tồ t t V X s x V A t X B(x) U(x) ợ ọ t ể ị ĩ G2 T x X U(x) ọ tt t x ọ sở ủ ế ọ U U(x) tồ V B(x) s V U ị ĩ ộ tụ tớ {xn } tr t X ợ ọ x X ế ọ U ủ x tồ t n0 N s xn U ọ n n0 ó t í ệ xn x lim xn = x n ị ĩ ế ợ tứ t t ế t ỗ ể X ợ ọ tỏ t ề x X ó ột sở B(x) ó ự ợ ế ợ t tồ t X ợ ọ T1 ế x, y X, x = y U x V ủ y s y U x X t X ợ ọ T2 s r ế ể t ỳ x, y X, x = y tồ t t ứ Ux , Uy ủ x, y s Ux Uy = ỉ ế X sr tì ỗ tr X ộ tụ tì ộ tụ tớ ột ể t ị ĩ sử X, Y t f f ợ ọ tồ t tr t tụ : X Y x X ế ỗ V ủ f (x) U ủ x s f (U ) V f ợ ọ tụ X ó ọ tụ ế ó tụ t ọ ể ủ ị í sử X Y t f : X Y ó ề ệ s t f tụ tr ế ế E E X t tr t ó tr ị ĩ sử d ợ ọ ột tr tì Y f (E) tr X tì f (E) ó tr X X t rỗ d : X ì X R tr X ế ề ệ s ợ tỏ d(x, y) ọ x, y X d(x, y) = ỉ x = y d(x, y) = d(y, x) ọ x, y X Y d(x, y) d(x, z) + d(z, y) ọ x, y, z X X ù ột tr tr ó ợ ọ ệ tr ý (X, d) X ị ĩ t X rỗ d :X ì X R (x, y) d(x, y) d ợ ọ tr t ề s t ỳ x, y, z tộ d(x, y), d(x, y) = ế x = y d(x, y) = d(y, x) X tr X ế d tỏ d(x, z) d(x, y) + d(y, z) X ù d ợ ọ tr ý ệ (X, d) ị ĩ sử E ét tr trờ K = R K = C p : E R tỏ ề ệ s p(x) 0, x E p(x) = x = p(x) = ||p(x) ọ x E ọ K p(x + y) p(x) + p(y) ọ x, y E ợ ọ tr ét E ố p(x) ợ ọ ủ x E tờ í ệ ủ x ét E ét ù ột ị tr ó ợ ọ ệ í ị (E, ) ệ ề ế E ị tì tứ d(x, y) = x y , x, y E ị ột tr tr E ọ tr tr s tr ị ĩ ột ị ủ t tr s tì ợ ọ ột ị í ế E ị tì x x , x E; é ộ x + y x + y, (x, y) E ì E é (, x) x, (, x) K ì E tụ ị í sử E ị ó ỗ a E ỗ K, = xx+a x x, x E é từ E E ó tr ụ trì ột số ề ề ó tr ị ĩ E tr trờ số tự R P ủ E ợ ọ ó ế tỏ ề ệ s P t ó P = P = {0} ọ ế x P x P tì x = í ụ tờ t x, y P, ọ a, b R, a, b t ó ax + by P ; r số tự R t P = {x R : x 0} ột ó E = R2 , P = {(x, y) E : x, y 0} R2 ó P tỏ sử ề ệ P t ó P = {0}, P = ; ọ (x, y), (u, v) P ọ a, b R, a, b t ó a(x, y) + b(u, v) P ; (x, y) P (x, y) P t ó (x, y) = (0, 0) P ột ó tr E sử C[a,b] t tt số trị tự tụ tr [a, b] ết C[a,b] f = sup |f (x)|, f C[a,b] x[a,b] r C[a,b] ó q ệ tứ tự ộ t tờ ợ ị f, g C[a,b] f g f (x) g(x), x [a, b] t P = {f C[a,b] : f } ó P tỏ ề ệ P t ó P = , P = {0} ọ a, b R, a, b ọ f, g P t ó af (x) + bg(x) , x [a, b] ó af + bg P ; f P f P t ó f = P ột ó tr E P ột ó tr E ó tr E ét q ệ tứ tự ị P s x t q y ế ỉ ế y x P ú x < y ế x y x = y ò x y ế y x intP intP tr ủ P ổ ề sử P ó tr E a, b, c E số tự ó a ế ế b b c tì a c; a b b c tì a c; ế a b, c > x intP, tồ t < < s x < ; ỗ c2 b + d; intP intP ; ỗ d tì a + c c1 intP c2 intP tồ t d intP s c1 d d; ọ ế ế c1 , c2 intP aP E tồ t e intP x ọ x intP a e s tì tự ó c1 e c2 ; a = 0; P ế a a a P < < tì a = 0; ế tì xn yn ỗ limn xn = x, limn yn = y x y ổ ề tr sử P ó tr E {xn } P ó ế xn tì ỗ c intP ứ ì nN sử tồ t n0 N s xn c ọ n n0 {xn } tr P xn ọ c intP intP t tồ t > s c + BE (0, ) intP ó ế t x E x < tì c x intP > ị tr tồ n0 N s xn < n > n0 r c x intP ọ n n0 ó xn c ọ n n0 tr ó ề s t q E s intP = P ột ó tr tự tứ tự ộ tr E ợ ị P ị ĩ sử X t rỗ d: X ìX E (x, y) d(x, y) ợ ọ ó tr ó tr X ế tỏ ề ệ s d(x, y) ọ x, y X, d(x, y) = ế x = y; d(x, y) = d(y, x) ọ x, y X; d(x, y) d(x, z) + d(z, y) ọ x, y, z X X ù ó d tr X ợ ọ tr ó ợ í ệ í ụ tr sử (X, d X L[a,b] t trị tự tí [a, b] d : L[a,b] ì L[a,b] R ợ d(f, g) = b a |f (x) g(x)|dx f, g L[a,b] ó d tr ó tr L[a,b] ó L[a,b] tr ó ứ t P = [0, ) ó P ó tr số tự R ữ tứ tự ộ tr R ợ ị P í tứ tự ỏ t tờ tr R õ r d(f, g) 0, d(f, g) = ế f = g d(f, g) = d(g, f ) ì ệ t {g(an )} ộ tụ tớ g(a) g(b) g(c) g(d) n + g(an ) g(b) g(cn ) g(c) g(dn ) tồ t số tự g(a) g(bn ) g(d) ó ọ c intP nc s ọ n nc t ó d(g(an ), g(a)) d(g(bn ), g(b)) d(g(cn ), g(c)) d(g(dn ), g(d)) tr ó {g(bn )} {g(cn )} {g(dn )} ợt c, 5( + 1) c, 5( + 1) c, 5( + 1) c, 5( + 1) = max{1 , , , } r ọ n nc t ó d(g(a), F (a, b, c, d)) d(g(a), g(an+1 )) + d(g(an+1 ), F (a, b, c, d)) = d(g(a), g(an+1 )) + d(F (an , bn , cn , dn ), F (a, b, c, d)) d(g(a), g(an+1 )) + d(g(an ), g(a)) + d(g(bn ), g(b)) + d(g(cn ), g(c)) + d(g(dn ), g(d)) [c + c + c + c + c] 5( + 1) [c + c + c + c + c] 5( + 1) + = c 5( + 1) c d(g(a), F (a, b, c, d)) tì c ọ c intP ó t ổ ề d(g(a), F (a, b, c, d)) = tự t ũ ứ ợ d(g(b), F (a, d, c, b)) = d(g(c), F (c, b, a, d)) = d(g(d), F (c, d, a, b)) = ó (a, b, c, d) ể ộ ố ủ F g ế F tụ X ó tí t tì F g ó ể ộ ố ệ q g : X X F : X X ó tí ệ ỗ ợ tỏ ề ệ s g tụ ủ ủ t [0; 1) s ọ F (x, y, z, w), (u, v, r, t) X [d(g(x), g(u)) + d(g(y), g(v)) + d(g(z), g(r)) + d(g(w), g(t))]; (x0 , y0 , z0 , w0 ) X s g(x0 ) F (x0 , y0 , z0 , w0 ), g(y0 ) F (x0 , w0 , z0 , y0 ), g(z0 ) F (z0 , y0 , x0 , w0 ), g(w0 ) F (z0 , w0 , x0 , y0 ); tụ ó tí ệ X ó tí t {xn } t xn x s r xn x ọ n N, {yn } yn y y ó F t ứ g (g(x), g(y), g(z), g(w)) t ó d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) t X (g(u), g(v), g(r), g(t)) F F (X ) g(X) g(X) s r yn ọ n N ó ể ộ ố = = = = /4 ó ề ệ tr ị í ợ tỏ ó ó ể ộ ố r ị ý ế ọ g t tì t ó ệ q s ệ q X sử X tr ó ủ F : X ó tí ệ ỗ ợ tỏ ề ệ s t (u, v, r, t) [0; 1) s ọ t F (x, y, z, w) t ó d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) (x, y, z, w), (u, v, r, t) X d(x, u) + d(y, v) + d(z, r) + d(w, t); (x0 , y0 , z0 , w0 ) X s x0 F (x0 , y0 , z0 , w0 ), y0 F (x0 , w0 , z0 , y0 ), z0 F (z0 , y0 , x0 , w0 ), w0 F (z0 , w0 , x0 , y0 ); tụ X ó tí t F ó {xn } t xn x s r xn x ọ n N, {yn } yn y y ọ n N = = = = [0, 1) g t tì t ó ệ q s ệ q X yn ó ể t ộ ộ ố r ị ý ế ọ s r sử X tr ó ủ F : X ó tí ệ ỗ ợ tỏ ề ệ s t (u, v, r, t) [0; 1) s ọ t F F [d(x, u) + d(y, v) + d(z, r) + d(w, t)]; (x0 , y0 , z0 , w0 ) X s x0 F (x0 , y0 , z0 , w0 ), y0 F (x0 , w0 , z0 , y0 ), z0 F (z0 , y0 , x0 , w0 ), w0 F (z0 , w0 , x0 , y0 ); tụ ó X ó tí t {xn } t xn x s r xn x ọ n N, {yn } yn y y s r yn F : X4 X g : X X ề ệ ủ ị ý sử ọ X4 ọ n N ó ể t ộ ộ ố ị í tộ (x, y, z, w) t ó d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) (x, y, z, w), (u, v, r, t) X tồ t a, b, c, d X s tỏ (x, y, z, w); (u, v, r, t) (g(x), g(y), g(z), g(w)) (g(a), g(b), g(c), g(d)) (g(u), g(v), g(r), g(t)) (g(a), g(b), g(c), g(d)) g(a) F (a, b, c, d), g(b) F (a, d, c, b), g(c) F (c, b, a, d), g(d) F (c, d, a, b) ó F g ó t ột ể t ộ ộ ố t ĩ ế ể t ộ ủ F g tì d(x, x ) = d(y, y ) = d(z, z ) = d(w, w ) = õ r t ứ tr ị ý tì t ể ứ ộ ố ủ F g rỗ ó sử (x, y, z, w), (u, v, r, t) ể ộ ố ủ F g ó d(F (x, y, z, w), g(x)) = d(F (u, v, r, t), g(u)) = d(F (x, w, z, y), g(y)) = d(F (u, t, r, v), g(v)) = d(F (z, y, x, w), g(z)) = d(F (r, v, u, t), g(u)) = d(F (z, w, x, y), g(w)) = d(F (r, t, u, v), g(t)) = tết tồ t (a, b, c, d) X tỏ (g(x), g(y), g(z), g(w)) (g(a), g(b), g(c), g(d)) (g(u), g(v), g(r), g(t)) (g(a), g(b), g(c), g(d)) ú t tết {an } {bn } {cn } {dn } tr X s n = 0, 1, a0 = a, b0 = b, z0 = c, d0 = d, g(an+1 ) = F (an , bn , cn , dn ), g(bn+1 ) = F (an , dn , cn , bn ), g(cn+1 ) = F (cn , bn , an , dn ), g(dn+1 ) = F (cn , dn , an , bn ) s r (g(an ), g(bn ), g(cn ), g(dn )) (g(x), g(y), g(z), g(w)) n = 0, 1, tự tr ị ý t ũ ứ ợ {g(an )} {g(bn )} {g(cn )} {g(dn )} ợt ộ tụ tớ a , b , c , d n + r ọ c intP tồ t số tự nc s ọ n nc t ó d(g(an ), a ) d(g(bn ), b ) d(g(cn ), c ) d(g(dn ), d ) c , c , c , c t := d(g(x), g(a0 )) + d(g(y), g(b0 )) + d(g(z), g(c0 )) + d(g(w), g(d0 )) q t ứ r ọ n tr ó d(g(x), g(an )) q n , d(g(y), g(bn )) q n , d(g(z), g(cn )) q n , d(g(w), g(dn )) q n , = 1, 2, tì q := + + + t từ t ó d(g(x), g(a1 )) = d(F (x, y, z, w), F (a0 , b0 , c0 , d0 )) d(g(x), g(a0 )) + d(g(y), g(b0 )) + d(g(z), g(c0 )) + d(g(w), g(d0 )) qd(g(x), g(a0 )) + qd(g(y), g(b0 )) + qd(g(z), g(c0 )) + qd(g(w), g(d0 )) = q0 r d(g(x), g(a1 )) ú q0 tự t ũ ó d(g(y), g(b1 )) q0 , d(g(z), g(c1 )) q0 , d(g(w), g(d1 )) q0 n = sử ú n ĩ d(g(x), g(an )) q n , d(g(y), g(bn )) q n , d(g(z), g(cn )) q n , d(g(w), g(dn )) q n ứ ú n + t ó d(g(x), g(an+1 )) = d(F (x, y, z, w), F (an , bn , cn , dn )) d(g(x), g(an )) + d(g(y), g(bn )) + d(g(z), g(cn )) + d(g(w), g(dn )) q n + q n + q n + q n = (1 + + + )q n = q n+1 r d(g(x), g(an+1 )) d(g(y), g(bn+1 )) q n+1 , d(g(z), g(cn+1 )) q n+1 , d(g(w), g(dn+1 )) q n+1 ú ọ ì q n+1 tự t ó n = 1, 2, q [0; 1) q n n + s r q n n + ó ọ c intP tồ t số tự n0 s ọ n n0 > t ó c q n ọ m = max{nc , n0 } ó ỗ số tự n m từ t ó d(g(x), a ) d(g(x), g(an+1 )) + d(g(an+1 ), a ) = d(g(x), F (an , bn , cn , dn )) + d(g(an+1 ), a ) = d(F (x, y, z, w), F (an , bn , cn , dn )) + d(g(an+1 ), a ) d(g(x), g(an )) + d(g(y), g(bn )) + d(g(z), g(cn )) + d(g(w), g(dn )) + d(g(an+1 ), a ) q n + q n + q n + q n+1 + d(g(an+1 ), a ) = q n+1 + d(g(an+1 ), a ) c c + 3 c d(g(x), a ) c ọ c intP r d(g(x), a ) = tự t ũ ứ ợ d(g(y), b ) = d(g(z), c ) = d(g(w), d ) = t ó d(g(x), a ) = d(g(y), b ) = d(g(z), c ) = d(g(w), d ) = tự t ó d(g(u), a ) = d(g(v), b ) = d(g(r), c ) = d(g(t), d ) = ù t tứ t s r d(g(x), g(u)) = d(g(y), g(v)) = d(g(z), g(r)) = d(g(w), g(t)) = t x1 = g(x) y1 = g(y) z1 = g(z) w1 = g(w) ó từ tí t ủ F g t ó g(x1 ) = g(g(x)) = g(F (x, y, z, w)) = F (g(x), g(y), g(z), g(w)) = F (x1 , y1 , z1 , w1 ) tự g(y1 ) = F (x1 , w1 , z1 , y1 ), g(z1 ) = F (z1 , y1 , x1 , w1 ), g(w1 ) = F (z1 , w1 , x1 , y1 ) r (x1 , y1 , z1 , w1 ) ũ ể ộ ố ủ F g ứ tr tứ t t ó d(g(x), g(x1 )) = d(g(y), g(y1 )) = d(g(z), g(z1 )) = d(g(w), g(w1 )) = ó d(x1 , g(x1 )) = d(y1 , g(y1 )) = d(z1 , g(z1 )) = d(w1 , g(w1 )) = t tứ ù s r (x1 , y1 , z1 , w1 ) ể t ộ ộ ố ủ ộ ố ủ ế F g tồ t ể t ộ F g (x, y, z, w), (x , y , z , w ) ể t ộ ộ ố ủ F g tì ú ũ ể ộ ố ủ F g t ứ tr t ó ó d(g(x), g(x )) = t d(x, g(x) = d(x , g(x )) = d(x, x ) = tự t ứ ợ d(y, y ) = d(z, z ) = d(w, w ) = ị í sử F : X X g : X X : P P tỏ ề ệ s j j=1 (t) (t) s s ợ t ộ tụ ọ t P g F tụ F g(X) ủ ủ X ó tí ệ ỗ ợ ế (x, y, z, w), (u, v, r, t) X F (X ) g(X) (g(u), g(v), g(r), g(t)) (g(x), g(y), g(z), g(w)) tì d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) [1 d(g(x), g(u)) + d(g(y), g(v)) + d(g(z), g(r)) + d(g(w), g(t))]; tr ó , , , [0; 1), + + + 1; t (x0 , y0 , z0 , w0 ) X s g(x0 ) F (x0 , y0 , z0 , w0 ), g(y0 ) F (x0 , w0 , z0 , y0 ), g(z0 ) F (z0 , y0 , x0 , w0 ), g(w0 ) F (z0 , w0 , x0 , y0 ); ó ế F tụ ó tí ệ X ó tí t tì F g {xn } t xn x s r xn x ọ n N, {yn } yn y y ó ể ộ ố s r yn ọ ứ n N, F (X ) g(X) ú t tết ợ {xn } {yn } {zn } {wn } tr X s g(xn+1 ) = F (xn , yn , zn , wn ), g(yn+1 ) = F (xn , wn , zn , yn ), g(zn+1 ) = F (zn , yn , xn , wn ), g(wn+1 ) = F (zn , wn , xn , yn ), n = 0, 1, ó từ tí ệ ỗ ợ ủ F t ó g(x0 ) g(x1 ) g(x2 ) g(xn+1 ) = F (xn , yn , zn , wn ) ., g(y0 ) g(y1 ) g(y2 ) g(yn+1 ) = F (xn , wn , zn , yn ) ., g(z0 ) g(z1 ) g(z2 ) g(zn+1 ) = F (zn , yn , xn , wn ) ., g(w0 ) g(w1 ) g(w2 ) ỗ g(wn+1 ) = F (zn , wn , xn , yn ) n = 0, 1, t an := g(xn ), bn := g(yn ), cn := g(zn ), dn := g(wn ), n := d(an , an+1 ) + d(bn , bn+1 ) + d(cn , cn+1 ) + d(dn , dn+1 ) ọ n = 0, 1, t ó d(an+1 , an+2 ) = d(g(xn+1 ), g(xn+2 )) = d(F (xn , yn , zn , wn ), F (xn+1 , yn+1 , zn+1 , wn+1 )) (1 [d(g(xn ), g(xn+1 )) + d(g(yn ), g(yn+1 )) + d(g(zn ), g(zn+1 )) + d(g(wn ), g(wn+1 ))]) = (1 [d(an , an+1 ) + d(bn , bn+1 ) + (cn , cn+1 ) + d(dn , dn+1 )]) = (n ) tự d(bn+1 , bn+2 ) (n ), d(cn+1 , cn+2 ) (n ), d(dn+1 , dn+2 ) (n ), n = 0, 1, s r n+1 := d(an , an+1 ) + d(bn , bn+1 ) + d(cn , cn+1 ) + d(dn , dn+1 ) (1 + + + )(n ) (n ) n = 0, 1, ó n+1 ì n = 0, 1, (n ) n ét (n1 ) n (0 ) n = 1, 2, {an } ọ n = 1, 2, ọ p = 0, 1, t ó d(an , an+p ) d(an , an+1 ) + d(an+1 , an+2 ) + + d(an+p1 , an+p ) (n1 ) + (n ) + + (n+p1 ) n (0 ) + n+1 (0 ) + + n+p1 (0 ) j (0 ) j=n ề ệ j j=1 (0 ) ộ tụ ó j j=n (0 ) n + ó s r ọ c intP tồ t số tự n0 s ọ n n0 ọ p = 0, 1, tì j (0 ) d(an , an+p ) c j=n ó {an } tự t ũ ó {bn }, {cn }, {dn } tr g(X) ì (g(X), d) ủ tồ t a, b, c, d tộ g(X) s lim an = a, lim bn = b, n n lim cn = c, lim dn = d n ì n g tụ lim g(an ) = g(a), lim g(bn ) = g(b), n n lim g(cn ) = g(c), lim g(dn ) = g(d) n t ì n F g g(an+1 ) = g(g(xn+1 )) = g(F (xn , yn , zn , wn )) = F (g(xn ), g(yn ), g(zn ), g(wn )) = F (an , bn , cn , dn ) tự g(bn+1 ) = F (an , dn , cn , bn ), g(cn+1 ) = F (cn , bn , an , dn ), g(dn+1 ) = F (cn , dn , an , bn ) sử F tụ ó từ t ó g(a) = lim g(an+1 ) n = lim F (an , bn , cn , dn ) = F (a, b, c, d) n tự t ó g(b) = F (a, d, c, b), g(c) = F (c, b, a, d), g(d) = F (c, d, a, b) (a, b, c, d) ể ộ ố ủ F g sử g ó tí ệ t X tỏ ó {an } {cn } t ộ tụ {bn } {dn } ộ tụ t ó an ó a, bn b, cn c, dn n = 0, 1, d, {g(an )} {g(cn )} t ò {g(bn )} {g(dn )} ì g tụ {g(an )} {g(bn )} {g(cn )} {g(dn )} ợt ộ tụ tớ g(a) g(b) g(c) g(d) ó ọ c intP tồ t số tự nc s ọ n nc t ó d(g(an ), g(a)) d(g(bn ), g(b)) d(g(cn ), g(c)) d(g(dn ), g(d)) t t ó (t) t0 c , c , c , c t ọ t P t ế tồ t t0 P, < t0 (t0 ) tì từ tí ủ s r t0 n (t0 ) ọ n = 1, 2, ề t tí ộ tụ ủ ỗ n n=1 (t0 ) ệt từ tí ủ s r < t1 = (0) t1 ( ) (t1 ) = t ọ số tự d(g(a), F (a, b, c, d)) (0) = ế < (0) = t1 tì n nc từ t ó d(g(a), g(an+1 )) + d(g(an+1 ), F (a, b, c, d)) = d(g(a), g(an+1 )) + d(F (an , bn , cn , dn ), F (a, b, c, d)) d(g(a), g(an+1 )) + (1 [d(g(an ), g(a)) + d(g(bn ), g(b)) + d(g(cn ), g(c)) + d(g(dn ), g(d))]) d(g(a), g(an+1 )) + d(g(an ), g(a)) + d(g(bn ), g(b)) + d(g(cn ), g(c)) + d(g(dn ), g(d))] c c c c c + ( + + + ) = c 5 5 d(g(a), F (a, b, c, d)) c ọ c intP r d(g(a), F (a, b, c, d)) = tự t ứ ợ d(g(b), F (a, d, c, b)) = d(g(c), F (c, b, a, d)) = d(g(d), F (c, d, a, b)) = r (a, b, c, d) ể ộ ố ủ F g ệ q sử F : X X g : X X : P P tỏ ề ệ s (t) s s ợ t j j=1 (t) ộ tụ ọ t P g F tụ F g(X) ủ ủ X ó tí ệ ỗ ợ ế (x, y, z, w), (u, v, r, t) X F (X ) g(X) (g(u), g(v), g(r), g(t)) (g(x), g(y), g(z), g(w)) tì d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) ( [d(g(x), g(u)) + d(g(y), g(v)) + d(g(z), g(r)) + d(g(w), g(t))]); t (x0 , y0 , z0 , w0 ) X s g(x0 ) F (x0 , y0 , z0 , w0 ), g(y0 ) F (x0 , w0 , z0 , y0 ), g(z0 ) F (z0 , y0 , x0 , w0 ), g(w0 ) F (z0 , w0 , x0 , y0 ); ó ế F tụ ó tí ệ X ó tí t tì F g {xn } t xn x s r xn x ọ n N, {yn } yn y y s r yn ọ n N, ó ể ộ ố ệ q trờ ợ ệt ủ ị í ứ 1 = = = = r ệ q g : X X t t ợ ệ q s ệ q sử X : P P X tr ó ủ F : X tỏ ề ệ s j j=1 (t) (t) s s ợ t ộ tụ ọ t P F ó tí ệ ỗ ợ ế (x, y, z, w), (u, v, r, t) X d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) t F (u, v, r, t) (x, y, z, w) tì d(x, u) + d(y, v) + d(z, r) + d(w, t) ); (x0 , y0 , z0 , w0 ) X s x0 F (x0 , y0 , z0 , w0 ), y0 F (x0 , w0 , z0 , y0 ), z0 F (z0 , y0 , x0 , w0 ), w0 F (z0 , w0 , x0 , y0 ); ó ế tì ( F tụ X ó tí t {xn } t xn x s r xn x ọ n N, {yn } yn y y ó ể t ộ ộ ố s r yn ọ n N, ết ợ ết q í s rì ị ĩ ột số tí t ủ tr ó r ứ ột số ết q ề tồ t ể t ộ ộ ố ộ ố t ộ ộ ố ủ ó tí ệ ỗ ợ tr tr ó ó tứ tự ộ ó ị í ệ q t ệ t ị tr ó tồ t ể t sỹ t ọ rờ ọ t ộ ự tồ t ể t ộ ộ ố tr t sỹ t ọ tr ó ó tứ tự ộ rờ ọ ị ọ r ọ ệ ộ r rt r t trs r trt t rt rr tr s r ss sr st t trs r rt rr tr ss ts ss tr s t t tr trt s rr rtt Pt rs r r r trts Prt rr tr s t rr r t trs r trt r sr tr t trts t ss rt s [...]... tì g(xn ) g(x) ự tồ t ể t ộ ộ ố tr tr ó ó tứ tự ộ r ệ ể t ộ ộ ố tr tr ó ét ó tể ở rộ ột số ết q ề sự tồ t ể t ộ ộ ố tr tr ó tứ tự ộ tr ó ó tứ tự ộ ột số ết q ề sự tồ t ể t ộ ộ ố tr tr ó tứ tự ộ ụ trì ột số ị ý ề sự tồ t ể t ộ ộ ố ủ ó tí ệ ỗ ợ tr tr ó tứ tự ộ ị ĩ tr t ợ X ệ ợ ọ q X ột q ệ ệ tứ tự ộ tr X ế tỏ ề ệ s x ớ ọ x X x ế ừ x y y... x s r xn x ớ ọ n N, ừ {yn } yn y y g ó ể ộ ố s r yn ớ ọ n N, ột số ết q ề sự tồ t ể t ộ ộ ố tr tr ó ó tứ tự ộ ụ r ệ ề ể t ộ ộ ố ộ ố t ộ ộ ố tr tr ó ứ ột số ị ý ề sự tồ t ể t ộ t ộ ộ ố tr tr ó ó tứ tự ộ ị ý sự ở rộ ủ ột số ết q ề sự tồ t ể t ộ t ộ ộ ố tr tr ó tứ tự ộ ị ĩ sử (X, d) tr ó F : X 4 X g : X X ể (x, y, z, w) X 4 ợ ọ ể t ộ... y, z X X ù ớ ột tứ tự ộ tr ó ợ ọ t ộ í ệ í ệ s tứ tự (X, ) X 4 tí X ì X ì X ì X sử (X, ) ột t s tứ tự ộ sử (u, v, r, t), (x, y, z, w) tử t ỳ tộ X 4 ú t ét q ệ tứ tự tr X 4 s (u, v, r, t) (x, y, z, w) u v r t x y z w tr ó t ết b t b a a ó r (x, y, z, w) = (u, v, r, t) u=x v = y r=z t = w ị ĩ : X 4 X ó F F tộ (X, ) ột t s tứ tự ộ ó tí ệ ỗ ợ... số tự s d(a, xn ) sử xn ứ tồ t số tự ệ ề c ớ ọ n nc a ó ớ ỗ c intP ì B(a, c) T nc s xn B(a, c) ớ ọ n nc ó c ó ọ n nc d(a, xn ) ế tồ t sử {xn } tr X a b X ó xn a xn b tì d(a, b) = 0; xn a ỉ xn x ớ ọ x Fa , tr ó Fa = {x X : d(a, x) = 0} ứ ớ ọ n t ó 0 d(a, b) d(a, xn ) + d(xn , b) ì xn a xn b từ ị ý s r ớ ỗ c intP tồ c c d(b, xn ) ớ ọ n nc t số tự. .. (g(z), g(w), g(y), g(x))) = 0 ể (x, y, z, w) X 4 ợ ọ ể t ộ ộ ố ủ ế ể ộ ố ủ d(x, g(x)) = d(y, g(y)) = d(z, g(z)) = d(w, g(w)) = 0 ột số ết q ề sự tồ t ể t ộ ộ ố tr tr ó sử (X, ) t ợ s tứ tự ộ (X, d) tr ó ủ ớ tự d trị tr ó P P ó tr E ớ tP = t 1 :={ : [0, +) [0, +) : lim (t) > 0 ớ ọ r lim+ (t) = 0} tr t0 2 :={ : [0, +) [0, +) : (t) < t ớ ọ t, lim (r) < t... r d(g(x), g(an+1 )) d(g(y), g(bn+1 )) q n+1 0 , d(g(z), g(cn+1 )) q n+1 0 , d(g(w), g(dn+1 )) q n+1 0 ú ớ ọ ì q n+1 0 tự t ó n = 1, 2, q [0; 1) q n 0 n + s r q n 0 0 n + ó ớ ọ c intP tồ t số tự n0 s ớ ọ n n0 > 0 t ó c 3 q n 0 ọ m = max{nc , n0 } ó ớ ỗ số tự n m từ t ó d(g(x), a ) d(g(x), g(an+1 )) + d(g(an+1 ), a ) = d(g(x), F (an , bn , cn , dn )) + d(g(an+1 ), a ) = d(F... c {an } tr g(X) tự t ũ ó {bn }, {cn }, {dn } tr g(X) ì (g(X), d) ủ tồ t a, b, c, d tộ g(X) s lim an = a, lim bn = b, n n lim cn = c, lim dn = d n ì n g tụ lim g(an ) = g(a), lim g(bn ) = g(b), n n lim g(cn ) = g(c), lim g(dn ) = g(d) n t n F g ớ g(an+1 ) = g(g(xn+1 )) = g(F (xn , yn , zn , wn )) = F (g(xn ), g(yn ), g(zn ), g(wn )) = F (an , bn , cn , dn ) tự g(bn+1 ) = F (an... , cn , dn ) = F (a, b, c, d) n tự t ó g(b) = F (a, d, c, b), g(c) = F (c, b, a, d), g(d) = F (c, d, a, b) (a, b, c, d) ể ộ ố ủ F g sử ó tí ệ ó tể tết ệ t X tỏ ó {an } {cn } t ộ tụ {bn } {dn } ộ tụ ừ t ó an a, bn b, cn c, dn d, n = 0, 1, ì ệ t {g(an )} ộ tụ tớ g(a) g(b) g(c) g(d) n + g(an ) g(b) g(cn ) g(c) g(dn ) tồ t số tự g(a) g(bn ) g(d) ớ ó ớ... g(cn+1 ) = F (cn , bn , an , dn ), g(dn+1 ) = F (cn , dn , an , bn ) ừ s r (g(an ), g(bn ), g(cn ), g(dn )) (g(x), g(y), g(z), g(w)) n = 0, 1, tự tr ị ý t ũ ứ ợ {g(an )} {g(bn )} {g(cn )} {g(dn )} ợt ộ tụ tớ a , b , c , d n + r ớ ọ c intP tồ t số tự nc s ớ ọ n nc t ó d(g(an ), a ) d(g(bn ), b ) d(g(cn ), c ) d(g(dn ), d ) c , 3 c , 3 c , 3 c 3 t 0 := d(g(x), g(a0 )) + d(g(y), g(b0 ))... 0 tự t ứ ợ ũ ú ớ n + 1 ú ớ ọ n = 1, 2, ờ ú t sẽ ứ r {an }, {bn }, {cn }, {dn } tr ừ ớ ọ d(an , an+p ) g(X) n = 1, 2, ọ p = 0, 1, t ó d(an , an+1 ) + d(an+1 , an+2 ) + + d(an+p1 , an+p ) q n 0 + q n+1 0 + + q n+p1 0 = q n (1 + q + + q p1 )0 p n1 q =q 0 1q 1 qn 0 1q q = 1 + 2 + 3 + 4 q [0; 1) r q n 0 n + 1 0 0 n + ó q n 1q ó ớ ọ c intP tồ t số tự ... ó tứ tự ộ ệ ể t ộ ộ ợ tệ ứ r rt rr ệ ể t ộ ộ ố ủ từ tí X X ứ ột số ị í ề tồ t ể t ộ ộ ố tr tr ủ ó tứ tự ộ rộ tr t t ợ số tự R ột tự ó tứ tự ộ... ó tứ tự ộ r ú t r ệ ể t ộ ộ ố ể ộ ố ể t ộ ộ ố tr tr ó ó ú t rộ ột số ết q ề tồ t ể t ộ ể t ộ ộ ố tr tr ó tứ tự ộ tr ó ó tứ tự ộ r ứ ị í ệ q ợ tự ệ t... tr tr ó ó tứ tự ộ r ệ ể t ộ ộ ố tr tr ó ét ó tể rộ ột số ết q ề tồ t ể t ộ ộ ố tr tr ó tứ tự ộ tr ó ó tứ tự ộ ột số ết q ề tồ t ể t ộ ộ ố tr tr ó tứ tự ộ ụ trì ột