BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG VĂN QUÝ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUY MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG VĂN QUÝ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUY MẠNH Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS ĐINH ĐỨC TÀI Nghệ An, 2015 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Bảng kí hiệu Kiến thức sở 1.1 Các khái niệm 1.2 Một số tính chất vành quy 12 Một số tính chất vành quy mạnh V- vành 16 2.1 Vành quy mạnh 16 2.2 Một số đặc trưng V -vành 19 Kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 MỞ ĐẦU Năm 1936, [6], John von Newmann đưa khái niệm vành quy: vành R gọi vành quy (von Newmann regular ring - VNR) với a ∈ R, tồn b ∈ R cho a = aba Điều kiện tương đương với điều kiện sau: (i) Mọi iđêan trái (phải) sinh phần tử lũy đẳng; (ii) Mọi iđêan trái (phải) hữu hạn sinh sinh phần tử lũy đẳng; (iii) Mọi iđêan trái hạng tử trực tiếp R-môđun trái (phải) R; (iv) Mọi iđêan trái hữu hạn sinh hạng tử trực tiếp R-môđun trái (phải) R; (v) Mọi môđun hữu hạn sinh R-môđun trái (phải) xạ ảnh hạng tử trực tiếp Các ví dụ lớp vành có: trường vành quy với a = lấy b = a−1 thỏa mãn aba = aa−1 a = a Một ví dụ khác vành quy, chẳng hạn Mn (K) Với A ∈ Mn (K) với rank(A) = r, tồn ma I trận khả nghịch U, V cho A = U 0r V Đặt B = V −1 U −1 , ta có ABA = U Ir −1 −1 0 VV U U Ir 0 V =U Ir 0 V = A Lớp vành quy thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu lý thuyết vành giới với số lượng đáng kể kết nghiên cứu công bố tạp chí có uy tín Lớp vành quy (theo nghĩa von Newmann) mở rộng theo nhiều hướng khác nhau: vành P - quy (mọi iđêan nguyên tố hữu hạn sinh hạng tử trực tiếp R R); vành quy yếu (weakly von Newmann regular rings: iđêan hữu hạn sinh I J R thỏa mãn I ⊆ J R, J sinh phần tử lũy đẳng R I sinh phần tử lũy đẳng đó), đặc biệt, [3], M P Drazin đưa khái niệm vành quy mạnh: vành R gọi vành quy mạnh (strongly regular ring) với a ∈ R, tồn b ∈ R cho a = a2 b Chúng ta tham khảo kết nghiên cứu lớp vành quy mạnh tác giả [2], [5], Trên sở tài liệu tham khảo [9], lựa chọn đề tài nghiên cứu: "Một số tính chất vành quy mạnh" nhằm mục đích có thêm hiểu biết hai lớp vành Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Kiến thức sở Nội dung chương chủ yếu trình bày khái niệm, tính chất nhằm phục vụ nội dung Chương Chương Vành quy mạnh số đặc trưng Vvành Nôi dung Chương trình bày phần: 2.1 Vành quy mạnh Giới thiệu số tính chất lớp vành quy mạnh 2.2 Một số đặc trưng V - Vành Trong phần này, giới thiệu tính chất đặc trưng lớp GP-V - vành lớp GP-V’ -vành, lớp vành đặc biệt lớp V - vành mối liên hệ lớp vành với lớp vành quy mạnh Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Đinh Đức Tài Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn tới: Thầy giáo, Cô giáo Bộ môn Đại số, Khoa Toán, Trường Đại học Vinh; Phòng Đào tạo Sau đại học; gia đình bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tinh thần lẫn vật chất, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Nghệ An, tháng năm 2015 Tác giả BẢNG KÍ HIỆU Z : Vành số nguyên Q : Trường số hữu tỷ R : Trường số thực C : Trường số phức A ⊆⊕ B : A hạng tử trực tiếp B A →e B : A môđun cốt yếu B A B : A môđun bé B A∼ = B : A đẳng cấu với B A ⊕ B : Tổng trực tiếp môđun A môđun B ACC (DCC) : Điều kiện xích tăng (giảm) E(M ) : Bao nội xạ môđun M Soc(M ) : Đế môđun M End(M ) :Vành tự đồng cấu môđun M u-dim(M ) : Chiều Goldie môđun M Ker(f ), Im(f ) : Hạt nhân, ảnh đồng cấu f (tương ứng) M (I) : ⊕i∈I M (tổng trực tiếp I M ) MR (R M ) : M R-môđun phải (trái) Mn (S) : Vành ma trận vuông cấp n với hệ tử S M od-R: Phạm trù R-môđun phải Rad(M ) : Căn môđun M J(R) : Căn Jacobson vành R Z(M ) : Môđun suy biến môđun M CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong suốt luận văn này, không nói thêm, vành R hiểu vành kết hợp, có đơn vị = R-môđun xét môđun unita phải trái 1.1 Các khái niệm Trước hết, trình bày số khái niệm, tính chất Lý thuyết Vành mà không chứng minh lại Các khái niệm tính chất giới thiệu nhiều tài liệu khác nhau, chủ yếu tham khảo tài liệu [8], [7] 1.1.1 Định nghĩa Cho vành R Một phần tử a ∈ R gọi phần tử: ước không trái (phải) ab = 0(ba = 0), với = b ∈ R ước không ước không trái phải lũy đẳng a2 = a lũy linh ak = 0, với k ∈ N quy tồn b ∈ R cho aba = a khả nghịch trái (phải) tồn b ∈ R cho ba = 1(ab = 1) khả nghịch khả nghịch trái phải Tập hợp tất phần tử khả nghịch vành R ký hiệu U (R) tâm ab − ba = 0; ∀b ∈ R 1.1.2 Nhận xét Với vành R, phần tử lũy đẳng Với vành R, e ∈ R lũy đẳng (1 − e) lũy đẳng Thật vây Từ e lũy đẳng ta có: e2 = e ⇔ e2 − e = ⇔ e2 − 2e + = − e ⇔ (1 − e)2 = − e Hay (1 − e) phần tử lũy đẳng 1.1.3 Định nghĩa Hai phần tử lũy đẳng e, f ∈ R gọi trực giao ef = f e = Phần tử lũy đẳng R gọi lũy đẳng nguyên thủy biểu diễn thành tổng hai phần tử lũy đẳng trực giao khác không Kết sau đặc trưng vành quy von Neumann (VNR) 1.1.4 Bổ đề Cho R vành, điều kiện sau tương đương: (a) R VNR; (b) Mọi R- môđun trái nội xạ chính; (c) Mọi R- môđun trái xiclic nội xạ 1.1.5 Mệnh đề Trên vành R, điều kiện sau tương đương: (a) R VNR không chứa phần tử lũy linh khác không; (b) Mọi R- môđun đơn nội xạ iđêan trái R iđêan hai phía Trên vành R, R- môđun phải M gọi môđun đơn (simple) M = môđun khác ngoại trừ Môđun M gọi môđun nửa đơn (semisimple) thỏa mãn điều kiện tương đương sau: Mọi môđun M tổng môđun đơn M tổng môđun đơn M tổng trực tiếp môđun đơn Mọi môđun M hạng tử trực tiếp M Tổng tất môđun đơn R- môđun phải M gọi đế phải môđun MR Ký hiệu Soc(MR ) Sr (M ) Đối ngẫu với khái niệm đế môđun có khái niệm môđun Căn MR , kí hiệu Rad(MR ), giao tất môđun tối đại MR , tổng tất môđun bé MR Nếu MR không chứa môđun tối đại ta định nghĩa Rad(MR ) = M Đặc biệt, Rad(RR ) = Rad(R R) = J(R) Do không sợ nhầm lẫn, ta kí hiệu J(R) để Jacobson vành R Radical RR Nếu MR môđun hữu hạn sinh Rad(MR ) MR Cho R- môđun M khác không Một dãy hữu hạn n + môđun M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = gọi dãy hợp thành có độ dài n (composition series of length n) Mi−1 /Mi đơn Liên quan đến dãy hợp thành sở việc hình thành khái niệm độ dài môđun, có Định lý Jordan- H¨older: 1.1.6 Định lý Nếu môđun M có dãy hợp thành có độ dài hữu hạn dãy hợp thành M có độ dài Một môđun M có dãy hợp thành có độ dài hữu hạn gọi môđun có độ dài hữu hạn độ dài dãy hợp thành gọi độ dài M , ký hiệu lg(M ) length(M ) Sau định nghĩa số tính chất dãy khớp 1.1.7 Định nghĩa Một cặp đồng cấu M →f M →g M ” gọi khớp (exact) M Im(f ) = Ker(g) Dãy khớp có dạng 14 1.2.9 Định lý Vành R quy điều kiện sau đồng thời xảy ra: a) R nửa nguyên tố b) Hợp dây chuyền iđêan nửa nguyên tố R iđêan nguyên tố c) R/p quy với iđêan nguyên tố p R 1.2.10 Hệ Vành R quy iđêan hai phía R lũy đẳng R/P quy với iđêan nguyên tố P R 1.2.11 Định lý Cho vành R Các tính chất sau tương đương: (1) R vành quy Nghĩa là, phần tử R phần tử quy (2) Mọi iđêan trái sinh phần tử lũy đẳng; (3) Mọi iđêan trái hạng tử trực tiếp R; (4) Mọi iđêan trái hữu hạn sinh hạng tử trực tiếp R (2), (3) (4) cho iđêan phải Một môđun MR = gọi (uniform) môđun khác không MR cốt yếu MR Hay nói cách khác, MR với môđun khác không U V M , ta có U ∩ V = Chúng ta nói M có chiều Goldie hữu hạn (chiều hữu hạn) không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không Nếu M có chiều Goldie hữu hạn tồn số hữu hạn bé n cho M không chứa tổng trực tiếp có nhiều n môđun khác không Khi đó, số n gọi chiều Goldie M Kí hiệu u-dim(M ) = n Môđun M có u-dim(M ) = n tồn tổng trực tiếp n môđun cốt yếu trong M Như vậy, chiều Goldie mở rộng cốt yếu M chiều Goldie môđun M Sau số tính chất chiều Goldie môđun 15 1.2.12 Mệnh đề Cho M môđun dim(M ) = M = dim(M ) = M môđun Nếu N ⊆ M M có chiều Goldie hữu hạn N có chiều Goldie hữu hạn dim(N ) ≤ dim(M ) Nếu N ⊆ M M có chiều Goldie hữu hạn dim(N ) = dim(M ) N →e M Nếu M M môđun có chiều Goldie hữu hạn M ⊕M môđun có chiều Goldie hữu hạn dim(M ⊕M ) = dim(M )+ dim(M ) 16 CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUY MẠNH VÀ V- VÀNH Vành R gọi vành nửa nguyên thủy (semiprimitive) J(R) = Vành R gọi trái (phải) không suy biến (non-singular) Z(R R) = (Z(RR ) = 0) Vành R gọi vành quy (regular) (theo nghĩa von Neumann) với a ∈ R tồn b ∈ R cho a = aba Vành R gọi vành quy mạnh (strongly regular ring) với a ∈ R, tồn b ∈ R cho a = a2 b 2.1 Vành quy mạnh Trong phần xem xét số tính chất lớp vành quy mạnh Như giới thiệu từ đầu, vành R gọi vành quy mạnh (strongly regular ring) với a ∈ R, tồn b ∈ R cho a = a2 b Chúng ta tham khảo kết nghiên cứu lớp vành quy mạnh tác giả [2], [5], 2.1.1 Mệnh đề Vành quy mạnh vành nửa nguyên thủy Chứng minh Giả sử R vành quy mạnh, ta cần chứng minh R vành nửa nguyên thủy Thật vậy, giả sử x ∈ J(R) phần tử Do R vành quy mạnh nên tồn y ∈ R cho x = x2 y Suy ra, x(1 − xy) = hay (1 − xy) có phần tử khả nghịch phải R Suy x = ta có J(R) = 17 Iđêan hai phía J vành R quy mạnh với x ∈ J tồn y ∈ J cho x2 y = x 2.1.2 Mệnh đề Cho J ≤ K iđêan hai phía vành R Khi K quy J, K/J quy Chứng minh Trước hết ta chứng minh điều kiện cần, giả sử K vành quy mạnh Ta biết rằng, ảnh đồng cấu vành quy mạnh vành quy mạnh nên ta có K/J quy mạnh Lấy x ∈ J Từ J ⊆ K với K vành quy mạnh nên tồn y ∈ K cho x = x2 y xy = yx Đặt z = xy phần tử J, ta có x = x2 z Suy J quy mạnh Điều kiện đủ, giả sử J K/J quy mạnh Lấy phần tử x ∈ K ta có x + J = x2 y + J = xy + J, với y ∈ K Khi x − x2 y ∈ J x − x2 y = (x − x2 y)2 z, với z ∈ J ⊆ K Điều suy x − x2 y = x2 z − x3 yz − x2 yxz + x2 yx2 yz x = x2 y + z − xyz − yxz + yx2 yz Vậy K quy mạnh Tiếp theo có số đặc trưng khác vành quy 2.1.3 Định lý Cho R vành Nếu iđêan trái R quy R vành quy Chứng minh Thật vậy, lấy a ∈ R Nếu Ra = R a = aba với b ∈ R Nếu Ra = R tồn iđêan trái tối đại M R chứa Ra Do M quy a ∈ M , tồn c ∈ R cho a = aca Điều chứng tỏ R vành quy Ký hiệu N1 (R) = {a ∈ R : a2 = 0} Chúng ta có kết khác lớp vành nửa nguyên thủy sở chứng minh cho kết lớp vành quy mạnh 18 2.1.4 Mệnh đề Cho R vành cho N1 (R) vành quy Nếu R-môđun trái đơn suy biến môđun phẳng YJ-nội xạ R vành nửa nguyên thủy Chứng minh Lấy b ∈ J(R) cho b2 = Theo giả thuyết, tồn số c ∈ R cho b = bcb, có nghĩa (1 − bc)b = Vì b ∈ J(R), − bc khả nghịch, b = Suy J(R) vành rút gọn Do l(d) = r(d) với d ∈ J(R) Lấy u ∈ J(R) cho l(u) + Ru = R Khi tồn iđêan trái tối đại M R cho l(u) + Ru ⊆ M Nếu M không cốt yếu M = l(e) với = e ∈ I(R) Vì u ∈ M = l(e), ue = Do e ∈ r(u) = l(u) ⊆ M = l(e) Do e = e2 = 0, mâu thuẫn Vậy M cốt yếu Theo giả thuyết R/M phẳng Y J-nội xạ Nếu R/M phẳng, từ u ∈ M , tồn v ∈ M cho u = uv, có nghĩa − v ∈ r(u) = l(u) ⊆ M , ∈ M , mâu thuẫn Nếu R/M Y Jnội xạ, tồn số nguyên dương n cho − un v ∈ M Nhưng un v ∈ J(R) ⊆ M , ∈ M , lần mâu thuẫn Vậy l(u) + Ru = R x + yu = với x ∈ R, y ∈ l(u), suy yu2 = u Vì u ∈ J(R), − yu khả nghịch, u = Điều chứng tỏ J(R) = 2.1.5 Mệnh đề Cho R vành Nếu N1 (R) quy R vành không suy biến hai phía Chứng minh Nếu Z(R R) = 0, tồn số = a ∈ Z(R R) cho a2 = Theo giả thuyết, tồn số x ∈ R cho a = xax Khi xa ∈ I(R) Vì Z(R R) không chứa lũy đẳng khác không nên xa = 0, a = xax = Điều mâu thuẫn với a = Do Z(R R) = Tương tự, chứng minh Z(R R) = Vậy R vành không suy biến (hai phía) Vành R gọi SF- vành trái (phải) R-môđun trái 19 (phải) đơn môđun phẳng Như ta biết, R vành quy R-môđun trái (phải) môđun phẳng vành quy SF -vành Tuy nhiên, liệu SF -vành có phải vành quy hay không câu hỏi mở Định lý sau cho câu trả lời cho câu hỏi 2.1.6 Định lý Cho R SF-vành trái cho r(x)n iđêan với x ∈ N1 (R) n số nguyên dương (n phụ thuộc vào x) Khi R vành quy mạnh Chứng minh Lấy = b ∈ R cho b2 = Theo theo giả thuyết tồn số nguyên dương m cho r(b)m iđêan Nếu Rr(b) = R, tồn iđêan trái tối đại M R cho Rr(b) ⊆ M Vì b ∈ r(b) ⊆ Rr(b) ⊆ M R SF -vành trái, nên tồn số c ∈ M cho b = bc, có nghĩa − c ∈ r(b) ⊆ M , ∈ M , mâu thuẫn với M = R Do Rr(b) = R Suy r(b) = r(b)2 vậy, r(b) = r(b)m Do r(b) iđêan R Theo R = Rr(b) ⊆ r(b) b = Điều chứng tỏ R vành rút gọn R quy mạnh Từ định nghĩa khái niệm lũy linh kết Định lý 2.1.6 ta có hệ trực tiếp sau 2.1.7 Hệ Cho R SF-vành trái cho r(x) lũy linh với = x ∈ N1 (R) Khi R quy mạnh 2.2 Một số đặc trưng V -vành Để thuận tiện việc theo dõi, trước hết nhắc lại số khái niệm: 2.2.1 Định nghĩa Vành R gọi V - vành trái (phải) R-môđun đơn trái (phải) R-môđun nội xạ Một R-môđun trái (phải) 20 M Y J-nội xạ với = a ∈ R, tồn số nguyên dương n cho an = R-đồng cấu trái (phải) từ Ran (an R) tới M mở rộng thành R-đồng cấu trái (phải) từ R tới M Vành R gọi GP-V-vành trái (phải) R-môđun trái (phải) đơn YJ -nội xạ Vành R gọi GP-V’- vành R-môđun đơn suy biến trái (phải) YJ -nội xạ Vành R gọi ZI- vành với a, b ∈ R, từ ab = ta suy aRb = Từ định nghĩa ta thấy, ZI-vành R ta có l(a) iđêan với a ∈ R Để phục vụ việc chứng minh kết sau, trước hết ta chứng minh Mệnh đề 2.2.2 2.2.2 Mệnh đề Với = a ∈ Z(RR ), aR có chứa phần tử lũy linh khác không Chứng minh Thật vậy, = a ∈ Z(RR ) nên r(a) ∩ RaR = Lấy = x ∈ r(a) ∩ RaR Khi x = rar với = r ∈ R Suy ar = (ar)2 = arar = Mệnh đề chứng minh Ta có đặc trưng GP-V -vành, lớp vành đặc biệt lớp V - vành 2.2.3 Định lý Nếu R vành GP-V vành trái R vành không suy biến phải Chứng minh Giả sử ngược lại, Z(RR ) = Khi theo Bổ đề 2.2.2, có tồn số = a ∈ Z(RR ) cho a2 = Nếu l(a) + RaR = R, lấy M iđêan trái tối đại R cho l(a) + RaR ⊆ M Vì R GP-V -vành trái nên R/M Y J-nội xạ Mặt khác, a2 = 0, R-đồng cấu trái từ Ra đến R/M mở rộng thành đồng cấu từ R đến R/M Ta định nghĩa f : Ra −→ R/M xác định f (ra) = r + M Rõ ràng, f R đồng cấu trái thỏa mãn điều kiện Do tồn 21 b ∈ R cho − ab ∈ M Tuy nhiên, ab ∈ RaR ⊆ M , ∈ M , điều mâu thuẫn Do l(a) + RaR = R Kết cho thấy x + yi azi = với x ∈ l(a), yi , zi ∈ R Suy (1 − điều có nghĩa a ∈ r(1 − yi azi ) Do a ∈ Z(RR ) nên r( iđêan phải cốt yếu R Ta có r(1 − nên r(1 − yi azi )a = 0, yi azi ) ∩ r( yi azi ) yi azi ) = yi azi ) = 0, a = Kết mâu thuẫn với giả thiết a = Z(RR ) = Hay nói cách khác, R vành không suy biến phải Như đề cập phần đầu mục này, Vành R gọi GP-V’ - vành R-môđun đơn suy biến trái (phải) YJ -nội xạ Đây lớp vành đặc biệt lớp GP-V - vành thay điều kiện môđun đơn điều kiện môđun đơn suy biến Mệnh đề sau kết iđêan suy biến trái phải lớp vành 2.2.4 Mệnh đề Nếu R GP-V’-vành trái, Z(R R)∩Z(RR ) = Chứng minh Giả sử Z(R R) ∩ Z(RR ) = 0, tồn số = a ∈ Z(R ) ∩ Z(RR ) cho a2 = Nếu l(a) + RaR = R, lấy M iđêan trái tối đại R cho l(a) + RaR ⊆ M Rõ ràng, M cốt yếu R/M Y J-nội xạ Lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.2.3 ta thấy điều mâu thuẫn Vậy Z(R R) ∩ Z(RR ) = 2.2.5 Mệnh đề Nếu R GP-V’-vành trái, tâm C R vành rút gọn Chứng minh Lấy = a ∈ C cho a2 = Khi tồn iđêan trái tối đại M R có chứa l(a) Nếu M không cố yếu M = l(e) với = e ∈ I(R) Do a ∈ l(a) ⊆ M = l(e) nên ea = ae = Do e ∈ l(a) ⊆ M = l(e) suy e = e2 = 0, mâu thuẫn với e ∈ I(R) Do M cốt yếu R/M Y J-nội xạ Suy ra, tồn số b ∈ R 22 cho − ab ∈ M Nhưng a ∈ C ∩ M , có ab ∈ M , ∈ M Điều mâu thuẫn, C vành rút gọn Một iđêan trái L vành R gọi W- iđêan (weak ideal), với = a ∈ L, tồn số nguyên dương n cho an = an R ⊆ L Định nghĩa tương tự cho W-iđêan từ iđêan phải K R Một iđêan trái L vành R gọi GW-iđêan (Generalized weak ideal) với a ∈ L, tồn số nguyên dương n cho an R ⊆ L Định nghĩa tương tự cho GW-iđêan từ iđêan phải K R Từ định nghĩa W-iđêan GW-iđêan có: Iđêan R ⇒ W-iđêan ⇒ GW-iđêan Chúng ta có kết đặc trưng lớp GP-V’ -vành thông qua lớp GW-iđêan 2.2.6 Định lý Nếu R GP-V’-vành trái cho l(e) GWiđêan R với e ∈ I(R) R vành không suy biến phải Chứng minh Để chứng minh Định lý 2.2.6 trước hết ta chứng minh kết (∗) sau: Các điều kiện sau tương đương vành R (1) R vành giao hoán; (2) l(e) GW-iđêan R với e ∈ I(R); (3) r(e) GW-iđêan R với e ∈ I(R) Thật vậy, từ định nghĩa vành giao hoán ta dễ thấy (1)⇒ (2) (1)⇒ (3) hiển nhiên Ta cần chứng minh (2) ⇒ (1) (3) ⇒ (1) • (2) ⇒ (1) Lấy e ∈ I(R) x ∈ R Vì − e ∈ l(e) l(e) GW -iđêan R, tồn số nguyên dương n cho (1 − e)n x ∈ l(e) điều có nghĩa xe = exe Tiếp tục lấy − e ∈ I(R) e ∈ l(1 − e), lập luận tương tự thấy ex = exe ex = xe Vậy R vành giao hoán 23 • Tương tự chứng minh cho (3) ⇒ (1) Sử dụng kết (∗) chứng minh Định lý 2.2.6 Nếu Z(RR ) = 0, tồn = a ∈ Z(RR ) cho a2 = Chúng ta giả thiết l(a) + RaR = R M iđêan trái tối đại R cho l(a)+RaR ⊆ M Nếu M iđêan cốt yếu M = l(e) với = e ∈ I(R) Vì a ∈ M = l(e), theo kết chứng minh (∗) ta có ea = Do e ∈ l(a) ⊆ M = l(e), e = e2 = Điều mâu thuẫn với giả thiết a = Do M iđêan cốt yếu Từ giả thiết R GP-V’ - vành trái nên ta có R/M Y J-nội xạ Tương tự lập luận chứng minh Định lý 2.2.3, thu kết mâu thuẫn Như l(a) + RaR = R Lập luận lại lần tương tự chứng minh Định lý 2.2.3, có kết mâu thuẫn khác Điều kiện chứng tỏ Z(RR ) = Từ kết Định lý 2.2.6 ta có hệ trực tiếp sau, mối liên hệ GP-V-vành với lớp vành không suy biến phải 2.2.7 Hệ Nếu R ZI-vành, GP-V-vành trái R vành không suy biến phải Vành R gọi bù biên trái phải (complement left bounded or complement right bounded) iđêan bù trái (phải) khác không R chứa iđêan khác không R Trước đến với kết mối liên hệ lớp vành quy mạnh lớp vành GP-V’-vành có mệnh đề sau: 2.2.8 Mệnh đề Các điều kiện sau tương đương (1) R vành bù biên trái (2) Mọi iđêan bù trái khác không R có iđêan trái khác không W-iđêan 24 Chứng minh Từ định nghĩa vành bù biên trái R ta có (1) ⇒ (2) hiển nhiên (2) ⇒ (1) Lấy L iđêan bù trái khác không R Theo giả thuyết, L chứa iđêan trái khác không I R I W -iđêan Lấy = a ∈ I, tồn số nguyên dương n cho an = an R ⊆ I Do Ran R ⊆ RI ⊆ RL = L Do L chứa iđêan khác không Ran R 2.2.9 Mệnh đề Cho R vành bù biên trái Nếu a ∈ R phần tử lũy linh a ∈ Z(R R) Đặc biệt, vành bù biên trái không suy biến trái vành rút gọn Chứng minh Lấy = a ∈ R cho a2 = Nếu a ∈ / Z(R R) phần bù l(a) R khác không Lấy L phần bù l(a) R Khi l(a) ∩ L = L = Theo giả thuyết, L có chứa iđêan khác không I R Lấy = b ∈ I, ba ∈ I ∩ l(a) ⊆ L ∩ l(a) = Do b ∈ L ∩ l(a) = 0, mâu thuẫn với b = Do a ∈ Z(R R) Kết cho thấy rằng, vành bù biên trái không suy biến trái vành rút gọn Định lý sau cho mối liên hệ vành quy mạnh GP-V’ -vành 2.2.10 Định lý Trên vành bù biên trái R, điều kiện sau tương đương (1) R vành quy mạnh; (2) R GP-V’-vành trái iđêan trái cốt yếu tối đại GW-iđêan; (3) R GP-V’-vành trái iđêan phải cốt yếu tối đại GW-iđêan 25 Chứng minh Từ định nghĩa tính chất vành quy mạnh ta thấy (1) ⇒ (2) (1) ⇒ (3) hiển nhiên (2) ⇒ (1) Lấy a ∈ R Nếu l(a) + Ra không cốt yếu, tồn iđêan trái bù L = R cho (l(a) + Ra) ∩ L = Vì R vành bù biên trái nên tồn iđêan I = R I ⊆ L Lấy = x ∈ I Khi đó, xa ∈ I ∩ Ra = Điều cho thấy x ∈ l(a) ∩ I = Kết mâu thuẫn với giả thiết x = Do l(a) + Ra iđêan cốt yếu R Nếu l(a) + Ra = R, tồn iđêan trái tối đại M R cho l(a) + Ra ⊆ M Vì l(a) + Ra cốt yếu nên M cốt yếu Mặt khác, R GP-V’ - vành trái nên R/M Y J-nội xạ Lập luận tương tự chứng minh (2) ⇒ (1) Định lý 3.1 ([10]) suy điều mâu thuẫn Do l(a) + Ra = R Suy x + ya = với x ∈ l(a) y ∈ R a = ya2 Điều chứng tỏ R vành quy mạnh (3)⇒ (1) Giả sử = a ∈ R cho a2 = Lấy M iđêan trái tối đại R chứa l(a) Nếu a ∈ / Z(R R), theo Mệnh đề 2.2.9 thấy mâu thuẫn Do a ∈ Z(R R) M iđêan trái cốt yếu R Vì R GP-V’ -vành trái nên tồn số c ∈ R cho − ac ∈ M Nếu ac ∈ / M M + Rac = R suy u + vac = với u ∈ M , v ∈ R Vì M GW -iđêan cva ∈ M nên tồn số m > cho (cva)m c ∈ M Do đó, (1 − u)m+1 = (vac)m+1 = va(cva)m c ∈ M Kết với u ∈ M cho thấy ∈ M , mâu thuẫn Điều chứng tỏ R vành rút gọn l(w) = r(w) với w ∈ R Sử dụng kết Định lý 3.1 ([10]) ta có l(a) + Ra = R với a ∈ R, suy R vành quy Hơn nữa, R vành rút gọn nên R vành quy mạnh 26 KẾT LUẬN Trên sở tài liệu tham khảo [9], luận văn tìm hiểu chứng minh chi tiết kết sau đây: Khái niệm vành quy mạnh số tính chất chúng; Một số tính chất GP-V -vành GP-V’ -vành thông qua GW iđêan 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang- Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXB Giáo dục B Tiếng Anh [2] Budh Nasier, Strongly Regular Rings (1991), Journal of Algebra, 137, 206-213 [3] M P Drazin, Rings with central idempotent or nilpotent elements (1958), Proc Edinburgh Math Soc., 9, 157-165 [4] J Chen and N Ding, On regularity of rings (2001), Algebra Colloq, 8(3), 267-274 [5] A Akaya, F Kuzucuo˜glu, On Strongly Regular Rings (1996), Tr J of Mathematics, 20, 395-398 [6] von Neumann, John (1936), On Regular Rings, Proc Nat Acad Sci USA, 22(12): 707-712 [7] R Wisbauer (1991), Foundation of Module and Ring Theory, Gordon and Breach Science Publisher [8] T Y Lam (1991), A First Course on Noncommutative Rings, Springer Verlag 28 [9] Takaram Subedi, Ardeline Mary Buhphang (2013), On strongly regular rings and generalizations of V-rings, International Electronic Journal of Algebra, Vol 14, 10-18 [10] T Subedi and A.M Buhphang, On weakly regular rings and generalizations of V -rings, Int Electron J Algebra, 10 (2011), 162-173 [11] Xiao Guangshi (2002), On GP-V-rings and characterizations of strongly regular rings, Northeast Math J., 18(4), 291-297 [...]... Cho vành R và M là iđêan chính quy Khi đó a) M là iđêan hai phía chính quy của vành R b) M chứa tất cả các iđêan hai phía chính quy của R c) Vành thương R/M không chứa iđêan hai phía chính quy khác 0 Như chúng ta đã biết, iđêan của vành chính quy là chính quy Nhưng vành con của vành chính quy chưa hẳn là vành chính quy Chẳng hạn, ta xét vành các số hữu tỷ Q Vì trường là vành chính quy nên Q là vành chính. .. Iđêan hai phía J của vành R là chính quy mạnh nếu với mỗi x ∈ J tồn tại y ∈ J sao cho x2 y = x 2.1.2 Mệnh đề Cho J ≤ K là các iđêan hai phía của vành R Khi đó K là chính quy nếu và chỉ nếu J, K/J đều chính quy Chứng minh Trước hết ta chứng minh điều kiện cần, giả sử K là vành chính quy mạnh Ta biết rằng, mọi ảnh đồng cấu của vành chính quy mạnh là vành chính quy mạnh nên ta có K/J chính quy mạnh Lấy x ∈... lại tính chất của iđêan trong vành chính quy ta nhắc lại khái niệm iđêan chính quy như sau: 1.2.3 Định nghĩa Một iđêan hai phía J của vành R được gọi là chính quy nếu với mỗi x ∈ J, tồn tại y ∈ J sao cho xyx = x 1.2.4 Mệnh đề Cho J ≤ K là các iđêan hai phía của vành R Khi đó K là chính quy nếu và chỉ nếu J, K/J đều chính quy 1.2.5 Mệnh đề Tích trực tiếp hữu hạn của các vành chính quy là vành chính quy. .. vành chính quy nhưng một vành con của Q là vành các số nguyên Z không là vành chính quy (phần tử 2 ∈ Z không phải là phần tử chính quy vì iđêan 2Z không được sinh bởi lũy đẳng nào, chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1) Tuy nhiên đối với các vành con đặc biệt, ta có: 1.2.7 Mệnh đề Tâm của vành chính quy là vành chính quy 1.2.8 Định lý Một vành chính quy R = 0 không phân tích được nếu và chỉ nếu tâm của nó là... Vậy K chính quy mạnh Tiếp theo chúng ta có một số đặc trưng khác của vành chính quy 2.1.3 Định lý Cho R là một vành Nếu mọi iđêan trái của R là chính quy thì R là vành chính quy Chứng minh Thật vậy, lấy a ∈ R Nếu Ra = R thì a = aba với b ∈ R Nếu Ra = R thì tồn tại một iđêan trái tối đại M của R chứa Ra Do M chính quy và a ∈ M , tồn tại c ∈ R sao cho a = aca Điều này chứng tỏ R là vành chính quy Ký... Neumann) nếu với mọi a ∈ R tồn tại b ∈ R sao cho a = aba Vành R được gọi là vành chính quy mạnh (strongly regular ring) nếu với mọi a ∈ R, tồn tại b ∈ R sao cho a = a2 b 2.1 Vành chính quy mạnh Trong phần này chúng ta sẽ xem xét một số tính chất của lớp vành chính quy mạnh Như chúng tôi đã giới thiệu từ đầu, vành R được gọi là vành chính quy mạnh (strongly regular ring) nếu với mọi a ∈ R, tồn tại b... cho a = a2 b Chúng ta có thể tham khảo các kết quả nghiên cứu về lớp vành chính quy mạnh của các tác giả trong [2], [5], 2.1.1 Mệnh đề Vành chính quy mạnh là vành nửa nguyên thủy Chứng minh Giả sử R là vành chính quy mạnh, ta cần chứng minh R là vành nửa nguyên thủy Thật vậy, giả sử x ∈ J(R) là phần tử bất kỳ Do R là vành chính quy mạnh nên tồn tại y ∈ R sao cho x = x2 y Suy ra, x(1 − xy) = 0 hay (1... (phải) là môđun phẳng và do đó mọi vành chính quy đều là SF -vành Tuy nhiên, liệu SF -vành có phải là vành chính quy hay không vẫn là một câu hỏi mở Định lý sau cho chúng ta một câu trả lời cho câu hỏi này 2.1.6 Định lý Cho R là một SF -vành trái sao cho r(x)n là một iđêan với mọi x ∈ N1 (R) và n là một số nguyên dương (n phụ thuộc vào x) Khi đó R là vành chính quy mạnh Chứng minh Lấy 0 = b ∈ R sao cho... môđun có chiều Goldie hữu hạn thì M ⊕M là một môđun có chiều Goldie hữu hạn và dim(M ⊕M ) = dim(M )+ dim(M ) 16 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUY MẠNH VÀ V- VÀNH Vành R được gọi là vành nửa nguyên thủy (semiprimitive) nếu J(R) = 0 Vành R được gọi là trái (phải) không suy biến (non-singular) nếu Z(R R) = 0 (Z(RR ) = 0) Vành R được gọi là vành chính quy (regular) (theo nghĩa von Neumann) nếu... lý Vành R là chính quy nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây đồng thời xảy ra: a) R là nửa nguyên tố b) Hợp của một dây chuyền bất kỳ các iđêan nửa nguyên tố của R là iđêan nguyên tố c) R/p là chính quy với mọi iđêan nguyên tố p của R 1.2.10 Hệ quả Vành R là chính quy nếu và chỉ nếu mọi iđêan hai phía của R là lũy đẳng và R/P là chính quy với mọi iđêan nguyên tố P của R 1.2.11 Định lý Cho vành R Các tính ... 1.2 Một số tính chất vành quy 12 Một số tính chất vành quy mạnh V- vành 16 2.1 Vành quy mạnh 16 2.2 Một số đặc trưng V -vành 19... niệm, tính chất nhằm phục vụ nội dung Chương Chương Vành quy mạnh số đặc trưng Vvành Nôi dung Chương trình bày phần: 2.1 Vành quy mạnh Giới thiệu số tính chất lớp vành quy mạnh 2.2 Một số đặc... quy Nhưng vành vành quy chưa vành quy Chẳng hạn, ta xét vành số hữu tỷ Q Vì trường vành quy nên Q vành quy vành Q vành số nguyên Z không vành quy (phần tử ∈ Z phần tử quy iđêan 2Z không sinh lũy