BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ XUÂN ANH KHẢO SÁT MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 1.01.01 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 12 -1997 LUẬN VĂN ĐƢỢC HOÀN THÀNH TẠI : TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Người Hướng Dẫn : PTS Nguyễn Thành Long Ban Toán - Tin học, học Đại cƣơng TP.Hồ Chí Minh Người Nhận Xét : PTS Nguyễn Bích Huy Khoa Toán, Trƣờng Đại học Sƣ phạm TP.Hồ Chí Minh Người Nhân Xét : PTS Nguyễn Đình Huy Ban Toán - Tin học, Trƣờng Đại học Đại cƣơng TP.Hồ Chí Minh Người Thực Hiện : Nguyễn Thị Xuân Anh Ban Toán - Tin học, Trƣờng Đại học Đại cƣơng TP.Hồ Chí Minh LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƢỢC BẢO VỆ TẠI : HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VÀN THẠC SỸ TOÁN HỌC TRƢỜNG ĐAI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin đư ợc gởi đến Thầy PTS Nguyễn Thành Long, Ban Toán - Tin học, trường Đại học Đại cương Thành phố Hồ Chí Minh, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ trình học tập làm lu ận văn lòng biết ơn chân thành sâu s ắc Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy : PGS TS Trần Hữu Bổng, PTS Nguyễn Bích Huy, PTS Lê Hoàn Hoa, Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, PTS Nguyên Đình Huy, Ban Toán Tin học, trường Đại học Đại cương Thành phố Hồ Chí Minh đọc đóng góp nhiều ý kiến quý giá cho luận văn Xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Quý Thầy, Cô thuộc Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình truyền đạt bảo cho kiến thức quý giá suốt thời gian học Trường Xin chân thành cảm ơn Quỷ Thầy, Cô Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, Quý Thầy, Cô Phòng Nghiên cứu Khoa học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh nhiệt tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để học tập hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Thầy PGS TS Đỗ Công Khanh, PGS PTS Võ Đăng Thảo Thầy, Cô Bạn Ban Toán - Tin học trường Đại học Đại cương Thành phố Hồ Chí Minh quan tâm t ạo điều kiện cho trình học tập Chân thành cảm ơn quan lâm, giúp đ ỡ Bạn lớp Cao học Toán 4A trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Cuối xin g ởi đến Gia đình tôi, người động viên tạo điều kiện cho suốt trình học tập làm vi ệc lời cảm ơn thân thương nh ất Một lần nữa, xin gởi lời cảm ơn chân thành đ ến Quý Th ầy, Cô, Bạn hữu Gia đình giúp hoàn thành b ản luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 1997 Nguyễn Thị Xuân Anh MỤC LỤC CHƢƠNG I: PHẦN MỞ ĐẦU CHƢƠNG II: CÁC KHÔNG GIAN HÀM CHƢƠNG III: KHẢO SÁT BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN T – TUẦN HOÀN III.1 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA LỜI GIẢI T-TUẦN HOÀN III.2 SỰ TÙY THUỘC LIÊN TỤC CỦA LỜI GIẢI T-TUẦN HOÀN ĐỐI 19 VỚI CÁC HÀM a(t),h(t).f(r,t) VÀ HẰNG SỐ ũ0 19 III.3 THUẬT GIẢI TÌM LỜI GIẢI T-TUẦN HOÀN 21 CHƢƠNG IV: KHẢO SÁT BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN ĐẦU 25 IV SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT LỜI GIẢI 25 IV.2 LỜI GIẢI BÀI TOÁN DỪNG: 36 VI.3 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA u(r,t) KHI t +∞ 40 CHƢƠNG V PHẦN KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 Phần mở đầu CHƢƠNG I: PHẦN MỞ ĐẦU Trong luận văn nghiên cứu tồn tại, tính chất liên quan đến lời giải phƣơng trình parabolic phi tuyến chứa toán tử Bessel thuộc dạng : (1.1) liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không : (1.2) kèm theo điều kiện đầu : u(r,0) = U0(r); hay điều kiện T-tuần hoàn : u(r,0) = u(r,T) ; ũ , T>0 số cho trƣớc , a(t), h(t), F, f(r,t) hàm số cho trƣớc thỏa số điều kiện nàođó mà ta đặt sau Phƣơng trình (1.1) phƣơng trình truyền nhiệt hình cầu đơn vị r < l , : u(r,t) nhiệt độ điểm mặt cầu thời điểm t với r < l , < t < T a(t) xuất phƣơng trình (1.1) hệ số truyền nhiệt, f(r,t) - F(u) nguồn nhiệt Điều kiện biên (1.2) mặt cầu đơn vị S mô tả trao đổi nhiệt với môi trƣờng bên ngoài, mà môi trƣờng bên (bên cầu đơn vị) có nhiệt độ cố định ũ Trong [2] Minasjan khảo sát phƣơng trình (1.5) liên kết với điều kiện biên (1.2) với ũ = điều kiện tuần hoàn (1.4) Minasjan tìm lời giải cổ điển phƣơng pháp biến đổi Fourier Phƣơng pháp dẫn đến hệ phƣơng trình đại số tuyến tính giả quy vô hạn Tuy nhiên, tính giải đƣợc hệ không đƣợc chứng minh cách chi tiết [2] Trang Phần mở đầu Sau đó, Lauerova [3] chứng minh tồn lời giải yếu T-tuần hoàn toán (1.2), (1.5) với ũ0 = Để xét trƣờng hợp phi tuyến, N.T.Long Alain Phạm [5] nghiên cứu toán: (1.6) liên kết với điều kiện biên (1.2), (1.4) với ũ0 = Trong trƣờng hợp ũ0 = , đủ nhỏ, tác giả [5] chứng minh toán (1.2), (1.4), (1.6) có lời giải yếu T-tuần hoàn không gian hàm Sobolev có trọng lƣợng thích hợp Hơn nữa, lời giải thu đƣợc phụ thuộc liên tục vào hàm a(t) h(t) [5] Trong luận văn khảo sát hai toán (1.1) - (1.3) (1.1), (1.2), (1.4) tính chất liên quan đến lời giải toán Trong luận văn chia làm số chƣơng mục sau :  Chƣơng phần mở đầu, giới thiệu tổng quát toán sơ nét số kết có trƣớc  Chƣơng : trình bày số kí hiệu, công cụ, không gian Sobolev có trọng lƣợng số tính chất phép nhúng không gian hàm  Chƣơng : Bằng phƣơng pháp Galerkin , chứng minh tồn lời giải yếu T-tuần hoàn toán (1.1), (1.2), (1.4) không gian hàm Sobolev có trọng lƣợng thích hợp Hơn nữa, lời giải thu đƣợc tùy thuộc liên tục hàm a(t) h(t) Kết tổng quát hóa tƣơng đối [3], [5] Sau đó, thuật toán xấp xỉ liên tiếp dựa vào nguyên tắc ánh xạ co đƣợc thiết lập để đƣa toán tìm lời giải T-tuần hoàn việc giải toán giá trị biên ban đầu (1.1) -(1.3)  Chƣơng : Chúng khảo sát toán (1.1) - (1.3) với số điều kiện hàm F, f(r,t), a(t), h(t), u0(r) chứng minh phƣơng pháp Galerkin compact yếu toán (1.1) - (1.3) có lời giải yếu u(r,t) Sau đó, khảo sát dáng điệu tiệm cận lời giải u(r,t) t  ∞ tùy theo dáng điệu tiệm cận hàm a(t), h(t), f(r,t) Mạnh nữa, chứng minh tồn số cho (1.7) Trang Phần mở đầu u∞(r) lời giải yếu toán dừng sau (1.8) theo nghĩa Kết tính (phần 4.1) lời giải đƣợc thiết lập với công cụ tƣơng tự nhƣ [8] kết không tầm thƣờng Ngoài kết tồn u∞(r) (xem [7]) kết thu đƣợc chƣơng chƣa đƣợc công bố nơi • Chƣơng phần tóm lƣợc kết thu đƣợc luận văn kết luận Trang Các hàm không gian CHƢƠNG II: CÁC KHÔNG GIAN HÀM Trong chƣơng này, trình bày số kí hiệu, không gian hàm Sobolev có trọng lƣợng tính chất phép nhúng không gian hàm có liên quan II CÁC KHÔNG GIAN HÀM Đặt Ω = (0,1) Kí hiệu H không gian Hilbert hàm thực đo đƣợc Q với tích vô hƣớng : (2.1) V không gian Hilbert hàm thuộc H tích vô hƣớng (2.2) đạo hàm theo nghĩa phân bố Các chuẩn H V sinh tích vô hƣớng tƣơng ứng đƣợc kí hiệu lần lƣợt ||.|| ||.||v Khi ta có : Bổ đề 2.1 : V nhúng liên tục nằm trù mật H Chứng minh : Hiển nhiên nằm trù mật H Bổ đề 2.2 : Ta đồng H với H' (đối ngẫu H) Khi ta có với phép nhúng liên tục nằm trù mật Chứng minh : Xem [8] Chú thích 2.1 : Từ bổ đề 2.2 ta thƣờng dùng kí hiệu tích vô hƣớng để cặp đối ngẫu V V’ Bổ đề 2.3 : Tồn số M > , K > cho (2.3) Trang Các hàm không gian (2.4) (2.5) Chú thích 2.2 : Ta định nghĩa V nhƣ đầy đủ hoá không gian chuẩn ||.||v (Xem [1]) Do đó, ta cần chứng minh (2.3)-(2.5) vớ u  C1([0,1]) Chứng minh bổ đề 2.3 : ([0,1]) Sau sử dụng tích phân phần Vậy b Ta có : c Ta có : Do : Trang Khảo sát toán giá trị biên điều kiện đầu Nhân (4.40) với ψ  D([0,T]), ψ(T)=0 sau tích phân tùng phần theo t ta thu đƣợc: (4.41) So sánh (4.39) (4.41) ta đƣợc (4.42) Điều nghĩa u(0) = u0 Vậy tồn lời giải đƣợc chứng minh Bước : Sự lời giải Giả sử u, v hai lời giải yếu toán (4.1) - (4.3) thỏa (4.6) Khi w = u - v lời giải yếu toán (4.43) (4.44) (4.45) (4.46) Trƣớc hết ta cố định t1, t2, < t1 < t2 < T Xét hàm số (4.47) a/ θm(t) đƣợc xác định đồ thị sau Trang 31 Khảo sát toán giá trị biên điều kiện đầu (4.48) b/ dãy hàm thỏa (4.49) Nhân phƣơng trình (4.43) với r2v(r,t) sau lấy tích phân theo r , t QT ta đƣợc : (4.50) c/ (*) tích chập theo t: (4.51) với F = F(u)-F(v) Trang 32 Khảo sát toán giá trị biên điều kiện đầu Ta lần lƣợt chứng minh rằng: (4.52) (4.53) (4.54) Chứng minh (4.52) : Ta có : (4.55) Chú ý Ta viết lại (4.55) nhƣ sau (4.56) Cho k +∞ ta có từ (4.56) (4.52) Chứng minh (4.53) : Ta có (4.57) Trang 33 Khảo sát toán giá trị biên điều kiện đầu tích phân phần vế phải đẳng thức cuối (4.57) sau sử dụng điều kiện (4.44) cho w(r,t) ta đƣợc: (4.58) Cho k  ∞ (4.58) ta có (4.53) Chứng minh (4.54) : Ta có (4.59) k  ∞ Vậy (4.54) Từ (4.50) - (5.54) cho k  ∞ ta thu đƣợc: (4.60) Sử dụng bổ đề sau Bổ đề : Giả sử H: (0,T)  R thỏa H  L1(0,T) Ta có: (4.61) Chứng minh bổ để tìm thấy bổ đề 3.2 (Xem [8]) Trong (4.60) cho m+∞ , sử dụng (4.61) ta thu đƣợc: (4.62) Trang 34 Khảo sát toán giá trị biên điều kiện đầu Lấy t2 = t  (0,T) t1 < Khi vế phải (4.62) không Sau cho t1  0- ta thu đƣợc : (4.63) Chú ý từ tính đơn điệu F ta có: (4.64) Giống nhƣ (3.13) ta có: (4.65) Từ (4.63) - (4.64) ta thu đƣợc: w = tức u = v Cuối cùng, định lý 4.1 đƣợc chứng minh hoàn tất Ta đặt thêm giả thiết để toán (4.1) - (4.3) có lời giải yếu < t < ∞ Giả thiết: (H2'') (H3'') Khi ta có: ĐỊNH LÝ 4.2 : (H1), (H2'') (H3"), (H4) Khi đó, tồn hàm u(t), < t < ∞, cho với T > 0, u(t) lời giải toán (4.4), (4.5) thỏa (4.66) Trang 35 Khảo sát toán giá trị biên điều kiện đầu ĐỊNH LÝ 4.2 : (H1), (H2''), (H3''), (H4) Khi đó, tồn hàm u(t), ≤ t < ∞ cho với T > 0, u(t) lời giải toán (4.4), (4.5) thỏa (4.66) Chú thích : Chứng minh định lý 4.2 không khác chứng minh định lý 4.1 mặt lý luận Tiếp theo phần này, muốn khảo sát dáng điệu lời giải u(t) Trƣớc tiên, đặt số giả thiết dáng điệu kiện a(t), h(t), f(r,t) nhƣ sau : Giả thiết: (H2'') Giả sử a, h thỏa (H2") tồn số dƣơng cho : (4.67) (H3"') Tồn thỏa số cho: (4.68) Trƣớc hết ta xét toán dừng sau đây: IV.2 LỜI GIẢI BÀI TOÁN DỪNG: Xét toán dừng sau: Tìm hàm cho: Trang 36 Khảo sát toán giá trị biên điều kiện đầu (4.69) Lời giải yêu toán (4.69) đƣợc thành lập từ toán biến phân sau đây: Tìm cho, thỏa : (4.70) : (4.71) (4.72) Chú ý : Ta có kết sau: ĐỊNH LÝ 4.3: Tồn u∞ lời giải yếu toán (4.69) thoả Chứng minh: (a) Sử dụng sở {Wj} V nhƣ dùng chứng minh định lý 4.1 Ta tìm lời giải xấp xỉ Galerkin (4.70) theo dạng: (4.73) dmj, ≤ j ≤ m thỏa hệ phƣơng trình phi tuyến: (4.74) hay: (4.75) đó: Trang 37 Khảo sát toán giá trị biên điều kiện đầu (4.76) Từ giả thiết (H4) sử dụng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta có P liên tục Tích vô hƣớng Rm P(dm) với dm ta có : (4.77) Từ bất đẳng thức (2.6) ta có : (4.78) : (4.79) Từ giả thiết (H4) ta đƣợc : (4.80) Mặt khác từ bất đẳng thức (2.4) ta đƣợc : (4.81) Ta ý chuẩn Rm vectơ dm  Rm tƣơng đƣơng với chuẩn Do tồn số C1m > 0, C2m > cho: (4.82) Vậy từ (4.77) - (4.82) ta thu đƣợc: Trang 38 Khảo sát toán giá trị biên điều kiện đầu (4.83) Chọn ta có: Vậy , sử dụng bổ đề Brouwer, ta có hệ (4.74) có lời giải b/ Trong (4.74) thay wj ym ta thu đƣợc (4.84) Giống nhƣ làm với (4.78) - (4.81) ta thu đƣợc (4.85) Do ta có : (4.86) (4.87) Từ (4.86), (4.87) sử dụng phép nhúng {ym} kí hiệu {ym} compact, ta suy tồn dãy cho thỏa : (4.88) V yếu (4.89) H mạnh (4.90) yếu Không khó khăn từ (4.88) - (4.90), qua giới hạn (4.74) ta thu đƣợc u∞ thỏa : Trang 39 Khảo sát toán giá trị biên điều kiện đầu (4.91) tức u∞ lời giải yếu toán (4.69) Tính lời giải yếu toán (4.69) đƣợc chứng minh không khó khăn Chúng ta bỏ qua chứng minh Chú thích : Từ tính lời giải u∞ nên ta chứng minh đƣợc toàn dãy {ym} hội tụ u∞ theo nghĩa (4.88) - (4.90) thay dãy VI.3 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA u(r,t) KHI t +∞ Ta có định lý sau : ĐỊNH LÝ 4.4 : Với giả thiết (H1), (H2"'), (H3''), (H4) Khi tồn tai hai số dƣơng C > 0,  > cho (4.92) Chứng minh : Đặt: {um}, {ym} dãy xấp xỉ Galerkin xác định toán (4.7) - (4.9) (4.73) - (4.74), lần lƣợt Khi ta có từ (4.8), (4.9), (4.74) : (4.93) (4.94) Nhân (4.93) với (Cmj(t) - dmj) lấy tổng theo j = 1,2, ,m ta đƣợc: Trang 40 Khảo sát toán giá trị biên điều kiện đầu (4.95) Chú ý tƣơng tự với đánh giá (3.13) ta có : (4.96) với C3 nhƣ (3.14) Do tính đơn điệu F ta có (4.97) Từ (4.95) - (4.97) sử dụng bất đẳng thức (2.4) ta đƣợc : (4.98) Sử dụng bất đẳng thức (3.16) lần cho tòng số hạng vế phải (4.98) ta thu đƣợc từ (4.98) : (4.99) (nhờ vào 4.86), Chọn cho , từ (4.99) ta có (Chú ý Trang 41 Khảo sát toán giá trị biên điều kiện đầu (4.100) Sử dụng giả thiết (H2"'), (H3"') ta có vế phải (4.100) đƣợc đánh giá nhƣ sau : (4.101) Vế phải (4.100) : C9 số độc lập với m, t Từ (4.100), (4.101) ta suy : (4.102) Nếu Khi đó, ta suy từ (4.102) : (4.103) Tích phân (4.103) ta thu đƣợc : (4.104) (chú ý Vậy : 1  ) Trang 42 Khảo sát toán giá trị biên điều kiện đầu hay : (4.105) Cho m  ∞ (4.105) ta thu đƣợc : (4.106) Định lý 4.4 đƣợc chứng minh hoàn tất Trang 43 Kết luận CHƢƠNG V PHẦN KẾT LUẬN Luận văn chủ yếu khảo sát tồn lời giải số toán parabolic phi tuyến chứa toán tử Bessel liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không Ngoài chƣơng I (phần mở đầu) chƣơng II (thống kí hiệu không gian hàm có liên quan) phần luận văn đƣợc trình bày chƣơng III chƣơng IV Trong chƣơng III với việc tìm lời giải yếu T-tuần hoàn toán (3.1) - (3.3), chứng minh tồn lời giải yếu T-tuần hoàn không gian hàm Sobolev có trọng lƣợng thích hợp (phần HI 1) tùy thuộc liên tục lời giải a, h, f (phần III.2) số hạng phi tuyến F(u) đơn điệu F(u) C1 Kết thu đƣợc N.T.Long Alain Phạm Ngọc Định [5] nhƣng với số hạng phi tuyến F(u) C1 không đơn điệu phần này, thuật toán tìm lời giải T-tuần hoàn dựa vào nguyên tắc ánh xạ co liên kết với điều kiện đầu đƣợc khảo sát (phần III.3) Chƣơng IV phần khảo sát toán điều kiện đầu (4.1) - (4.3) với giả thiết hàm a, h, f, F, u0 Bằng phƣơng pháp Galerkin compact yếu, chứng minh toán (4.1) - (4.3) tồn lời giải yếu toàn cục u(r,t) < t < ∞ Chúng chứng minh lời giải u(r,t) tiệm cận đến lời giải u∞ theo hàm mũ e- theo nghĩa : Trong chƣơng IV, tính lời giải (phần 4.1) đƣợc chứng minh tƣơng tự nhƣ [8] kết công phu Ngoài kết tồn tƣơng tự nhƣ [7] kết chƣơng IV chƣa đƣợc công bố Trang 44 Tài liệu tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R.A.Adams., Sobolev spaces Academic press New York 1975 [2] R.S.Minasian., On one problem of the periodic heat flow in the infinite cylinder., Dokl Akad Nauk Arm SSR 48 (1969) [3] D.Lauerova., The existence of a periodic solution of a parabolic equation with the Bessel operator., Aplikace Matematiky 29 (1) 40 - 44 (1984) [4] J.L.Lions., Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non-lineares Dunod, Paris, 1969 [5] Nguyen Thanh Long Alain Pham Ngoc Dinh Periodic solutions of a nonlinear parabolic equation involving Bessel's operator., Computers Math Applic 25 (5) 11-18 (1993) [6] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh., Periodic solutions of a nonlinear parabolic equation associated with the penetration of a magnetic field into a subtance., Computers Math Applic 30 (1) 63-78 (1995) [7] Nguyen Hoi Nghia Nguyen Thanh Long., On a nonlinear boundary value problem with a mixed nonhomogeneous condition., Vietnam J of Math (1997) (to appear) [8] Dƣơng Thị Thanh Bình Khảo sát số phƣơng trình hyperbolic phi tuyến., Luận văn Thạc sỹ 4/1997 Đại học Sƣ phạm TP.HCM Trang 45 [...]... (H4) Lời giải um của bài toán T-tuần hoàn (3.8), (3.9) có thể xấp xỉ bằng một dãy hội tụ mạnh trong W nhờ vào bài toán (3.8) với giá trị banđầu um(0) đƣợc xấp xỉ bằng một dãy quy nạp theo nguyên tắc ánh xạ co Hem nữa ta có các đánh giá sai số cho bởi (3.97) Trang 24 Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu CHƢƠNG IV: KHẢO SÁT BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN ĐẦU Nhƣ trong phần 3.3 của chƣơng... giả sử dãy {um} không hội tụ về u trong L∞(0,T;H) yếu* tức là tồn tại một dãy con của {um} là {umk } và một g L1(0,T;H) sao cho : (3.64 ) với mọi k Trang 18 Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Vì {umk} cũng bị chặn theo nghĩa nhƣ (3.30) - (3.32) và (3.40) nên ta lý luận tƣơng tự nhƣ quá trình trên là tồn tại một dãy con của {umk} là {umkj} hội tụ về lời giải u trong L∞(0,T;H)... (H1), (H2) , (H3) các số hạng của vế phải (3.11) đƣợc đánh giá nhƣ sau : (3.16) Trang 10 Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Chọn ta suy ra từ (3.11), (3.12), (3.14), (3.16) rằng (3.17) Từ (3.17) ta suy ra : (3.18) Nhân 2 vế của (3.18) với eC3t rồi lấy tích phân theo t, ta đƣợc (3.19 ) Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một số thực R>0 sao cho (3.20 ) Xét hàm số : (3.21) Khi đó ̃(t)... hằng số độc lập với m Nhờ các bất đẳng thức (4.11) và (4.18) ta đƣợc (4.21) vẫn dùng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz ta đƣợc : (4.22) Còn số hạng cuối cùng của vế phải (4.19) đánh giá nhờ vào việc tích phân từng phần và sau đó sử dụng (2.4), (4.11) (4.23) với là hằng số độc lập với m Tổ hợp (4.19) - (4.23) ta thu đƣợc: Trang 28 Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu (4.24) với là hằng số độc... giải xấp xỉ của bài toán (3.4), (3.5) theo dạng : (3.7) trong đó các hàm Cmj(t) , l ≤ j ≤ m , thỏa hệ phƣơng trình vi phân thƣờng phi tuyến : (3.8) và thỏa điều kiện T-tuần hoàn : (3.9) Bƣớc 2 : Sự tồn tại lời giải của hệ (3.8) (3.9) Ta xét với m cố định và hệ (3.8) với điều kiện đầu : Trang 9 Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn (3.10) um(0) = u0m (u0m cho trƣớc) Từ các giả thiết... 21 Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Cố định m, ta xác định dãy , v = l,2, nhƣ sau: (3.79) Nếu biết , ta xác định là lời giải duy nhất của bài toán với điều kiện đầu sau: (3.80) (3.81) Đặt Khi đó thỏa : (3.82) (3.83) Làm tƣơng tự nhƣ (3.28) ta thu đƣợc từ (3.82), (3.83) rằng (3.84) Tích phân (3.84) và (3.85) Suy ra : (3.86) Do Fm là ánh xạ co với hệ số nên : Trang 22 Khảo sát. .. Schwartz, (2.4) cùng với (3.36) ta có : (3.37) Chú ý rằng : (3.38) Trang 14 Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Do đó, từ (3.37), (3.38) ta thu đƣợc : (3.39) Cuối cùng từ (3.31) và (3.39), ta có : (3.40) với C5 là hằng số độc lập với m Bước 3 : Qua giới hạn Từ (3.30) - (3.32) và (3.40) ta suy ra rằng tồn tại một dãy con của {um} cũng kí hiệu là {um} và tồn tại u thỏ L∞ trong trong... = H, p0 = p1 = 2 từ (3.42), (3.43) ta suy ra rằng tồn tại một dãy con của {um} cũng kí hiệu là {um} sao cho : (3.52) : um  u trong Y mạnh Do định lý Riesz-Ficher, ta có thể lấy ra từ {um} một dãy con cũng kí hiệu là {um} sao cho : (3.53) : um  u a.e trong QT Do F liên tục, nên từ (3.53) ta có : (3.54) F(um)F(u) a.e trong Qt Trang 16 Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Mặt... liên tục thỏa : Khi đó, tồn tại x0 sao cho thỏa P(x0) = 0 trong đó là tích vô hƣớng trong RN và ||.|| là chuẩn của RN sinh bởi tích vô hƣớng tƣơng ứng Trang 7 Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn CHƢƠNG III: KHẢO SÁT BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN T – TUẦN HOÀN Trong chƣơng này ta xét bài toán giá trị biên và điều kiện T-tuần hoàn (3.1) (3.2) (3.3) Các không gian hàm V,... a(t),h(t).f(r,t) VÀ HẰNG SỐ ũ0 Với các a, h, f, ũ0 thỏa các giả thiết (H1) - (H3) tồn tại duy nhất một lời giải u của bài toán (3.4), (3.5) thỏa mãn (3.6) nhƣ trong định lý 3.1 Lời giải tùy thuộc vào a, h, f, ũ0 u=u(a, h, f, ũ0) Giả sử (a1 , h1 , f1 , ũ1) và (a2, h2, f2, ũ2) thỏa (H1) - (H3) với a0 , h0 >0 cố định trong giả thiết (H2) Đặt ui=u(ai, hi, fi, ũ1), i=1,2 , Trang 19 Khảo sát bài toán giá trị