THUẬT GIẢI LẶP CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CÓ HỆ SỐ CHỨA TÍCH PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP THUẦN NHẤT

Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin học, quý Thầy Cô thuộc phòng quản lý Khoa học Công nghệ & Sau Đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm Tp.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi đ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN THÀNH LONG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2008

Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Long

Khoa Toán – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh

Người nhận xét 1: PGS TS Lê Hoàn Hoá

Khoa Toán – Tin học, Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh

Người nhận xét 2: TS Lê Thị Phương Ngọc

Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang

Học viên cao học: Nguyễn Thị Ngọc Hiền

Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận văn Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, vào lúc … giờ… ngày… tháng … năm 2008

Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi trân trọng kính gửi tới Thầy hướng dẫn, TS Nguyễn Thành Long, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất Người Thầy đã rất ân cần và tận tình hướng dẫn, giúp cho tôi nắm được từng bước nghiên cứu và giải đáp những thắc mắc khi tôi gặp phải Sự đam mê nghiên cứu khoa học và

sự tận tình hướng dẫn của Thầy đã giúp tôi hoàn thành luận văn này

Xin trân trọng cảm ơn Thầy Lê Hoàn Hóa và Cô Lê Thị Phương Ngọc

đã dành thời gian, công sức để đọc và cho những nhận xét quý báu đối với luận văn của tôi

Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô trong và ngoài khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường

Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin học, quý Thầy Cô thuộc phòng quản lý Khoa học Công nghệ & Sau Đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm Tp.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành chương trình học cũng như trong quá trình làm thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp

Xin cảm ơn các anh chị lớp Cao học Giải tích Khóa 16, các anh chị trong nhóm xemina do Thầy tổ chức đã động viên và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua

Tôi cũng không quên gửi lời biết ơn đến gia đình tôi, những người đã hết lòng lo lắng và luôn ở bên tôi trong những lúc khó khăn nhất

Sau cùng, vì kiến thức bản thân còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý Thầy Cô và

sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2008

Nguyễn Thị Ngọc Hiền

MỤC LỤC

Lời cảm ơn 1

Mục lục 2

MỞ ĐẦU 3

Chương 1: MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 7

1.1 Các không gian hàm thông dụng 7

1.2 Không gian hàm L p(0, ; ), 1T X ≤ ≤ ∞p 8

1.4 Đạo hàm trong L p(0, ; ).T X 10

1.5 Bổ đề về tính compact của Lions. 11

1.6 Một kết quả về lý thuyết phổ. 12

1.7 Một số kết quả khác. 13

Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT 14

2.1 Giới thiệu bài toán và các công cụ chuẩn bị .14

2.2 Thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm bởi thuật giải lặp cấp một 16

Chương 3: THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI 37

3.1 Giới thiệu bài toán. 37

3.2 Thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm bởi thuật giải lặp cấp hai. 37

KẾT LUẬN 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO 62

MỞ ĐẦU

Các bài toán biên phi tuyến nói chung là đề tài được quan tâm bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như trong [3 – 23] và các tài liệu tham khảo trong đó Loại bài toán nầy chứa đựng nhiều mô hình toán học đặt ra trong các lĩnh vực

Kỹ thuật, Cơ học,… và có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn Đó là lý do tôi chọn đề tài nầy

Trong nhiều trường hợp, bài toán chỉ giải được và dừng lại ở mức độ tồn tại nghiệm và không chỉ ra cách thiết lập nghiệm như thế nào Một cách thông dụng nhất mà nhiều nhà nghiên cứu hay làm là phương pháp tuyến tính hóa, hơi giống như phép xấp xỉ liên tiếp của nguyên lý ánh xạ co Cách làm nầy vẫn bảo đảm hội tụ về mặt toán học, nhưng trong thực tế hệ số co tuy nhỏ hơn 1 và khá gần 1, thì phép lặp nầy sẽ hội tụ chậm và đòi hỏi số bước lặp phải khá lớn, thậm chí rất lớn Phương pháp lặp kiểu nầy người ta còn gọi là phép lặp cấp 1 hay lặp đơn Cải tiến phương pháp nầy, người ta thường tìm kiếm thuật giải có tốc độ hội tụ nhanh hơn, chẳng hạn như thuật giải lặp cấp hai [17] hoặc cao hơn nữa [22] Ví dụ như một thuật giải xác định một dãy lặp { }u m gọi là thuật giải cấp hai nếu ta có được đánh giá sai lệch của số hạng u m

với nghiệm chính xác u theo bất đẳng thức dưới đây (với một chuẩn thích

So sánh với hai đánh giá sai số (0.2) và (0.3), ta thấy (0.2) có tốc độ hội

tụ nhanh hơn (0.3), bởi vì

(2) 2 ln(1/ ) ln(1/

2 (1)

Trong luận văn này, chúng tôi xét một số thuật giải lặp (cấp một và cấp

hai) cho bài toán giá trị biên và ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến có

hệ số chứa tích phân thuộc dạng dưới đây:

trong đó u u f F B0, 1, , , là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ

Trong [13], Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định và Trần

Ngọc Diễm đã nghiên cứu bài toán

Trong [14], Nguyễn Thành Long và Bùi Tiến Dũng đã nghiên cứu sự

tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán

trong đó B f u u, , 0,  là các hàm cho trước và 1 h0 ≥ cho trước 0

Trong [10, 12], tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của

phương trình

1 2

Vấn đề thứ nhất: Khảo sát thuật giải lặp cấp một Chúng tôi chứng

minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương của bài toán (0.5) – (0.7) Ý

tưởng và công cụ để khảo sát sự tồn tại nghiệm là thiết lập một dãy quy nạp

tuyến tính liên kết với bài toán, sau đó sử dụng xấp xỉ Galerkin và phương

pháp compact để chứng minh dãy này hội tụ mạnh về nghiệm yếu của bài

toán (0.5) – (0.7) trong các không gian hàm thích hợp và với các giả thiết mà

ta sẽ đặt thêm Sự tồn tại nghiệm nhờ vào việc vận dụng định lý ánh xạ co

(toán tử co ở dạng lặp) và sự duy nhất nghiệm được chứng minh nhờ vào bổ

đề Gronwall sau một số phép tính toán và đánh giá cụ thể

Vấn đề thứ hai: Khảo sát thuật giải lặp cấp hai Bài toán (0.5) được

trong đó b0 >0, p>1,d d d d0, 0, 1, 1≥0 là các hằng số cho trước Chúng tôi

với u thỏa (0.6), (0.7) Khi đó, luận văn chứng tỏ dãy lặp { } m u sẽ hội tụ m

bậc hai về nghiệm yếu của bài toán (0.5) – (0.7) Trong chứng minh tồn tại nghiệm địa phương, định lý điểm bất động Banach được sử dụng

Luận văn sẽ được trình bày theo các chương mục sau

Phần mở đầu tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn

Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về phép nhúng compact giữa các không gian hàm quan trọng

Chương 2, chúng tôi sử dụng kỹ thuật tuyến tính hoá số hạng phi tuyến, kết hợp với phương pháp Galerkin, cùng với các đánh giá tiên nghiệm, sự hội

tụ yếu và tính compact Phương pháp nầy dẫn đến một thuật giải cấp một hội

tụ về nghiệm của bài toán (0.5) – (0.7) Trong phần xấp xỉ Galerkin, luận văn cũng sử dụng định lý ánh xạ co trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của

hệ phương trình vi phân Tính duy nhất nghiệm được chứng minh bằng cách

Chương 1: MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ

1.1 Các không gian hàm thông dụng

Ký hiệu ⋅ để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1), nghĩa là

1/ 2 1

với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật

Chú thích 1.1 Từ bổ đề 2, ta dùng ký hiệu tích vô hướng ,⋅ ⋅ trong L2

để chỉ cặp tích đối ngẫu ⋅ ⋅, (H1 ) ,′ H1 giữa H1 và (H1) ′ Chuẩn trong L2 được

Bổ đề 1.4 (Lions [7]) Gọi X ′ là đối ngẫu của X Khi đó, với

1.3 Phân bố có giá trị trong không gian Banach

Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian Banach thực Một ánh xạ tuyến

tính liên tục từ D((0, )T vào X gọi là một phân bố có giá trị trong ,) X ký

T

v

Ta có thể nghiệm lại rằng T v∈D′(0, ; ).T X Thật vậy:

i) Ánh xạ T v : D(0, )T →X là tuyến tính

ii) Ta nghiệm lại ánh xạ T v: D(0, )T → là liên tục X

Giả sử { } φm ⊂ D(0, )T sao cho φm →0 trong (0, ).D T Ta có

Khi đó ta có kết quả sau

Bổ đề 1.6 (Lions [8]) L p(0, ; )T X ⊂D′(0, ; )T X với phép nhúng liên

1.5 Bổ đề về tính compact của Lions

Cho không gian Banach B B B0, , 1 với B0 B B1 với các phép

nhúng liên tục sao cho:

Ta cũng có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact

Bổ đề 1.8 (Bổ đề về tính compact của Lions [8]) Với giả thiết (1.11),

(i) g m L Q p( ) ≤ trong đó C là hằng số độc lập với mọi , C m

(ii) g m → hầu hết trong , g Q

khi đó

g m → trong ( ) g L Q p yếu

1.6 Một kết quả về lý thuyết phổ.

Một số kết quả về lý thuyết phổ dưới đây được áp dụng trong nhiều bài

toán biên Trước hết ta làm một số giả thiết sau

Cho V và H là hai không gian Hilbert thực thỏa mãn các điều kiện

(i) Phép nhúng V H là compact, (1.15)

Cho a V V: × →\ là một dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục trên

V V× và cưỡng bức trên V

Chính xác hơn, ta gọi a là một dạng song tuyến tính

(j) Nếu ( , )u6a u v tuyến tính từ V vào \ với mọi v V∈ và

Khi đó ta có kết quả sau

Bổ đề 1.10. Dưới giả thiết (1.15), (1.16) Khi đó tồn tại một cơ sở trực

chuẩn Hilbert { } w của H bao gồm các hàm riêng j w tương ứng với giá trị j

riêng λj sao cho

Hơn nữa, dãy {wj/ λj} cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của V

đối với tích vô hướng ( , ) a ⋅ ⋅

Chứng minh bổ đề 1.10 có thể tìm thấy trong [20] Định lý 6.2.1, p.127

1.7 Một số kết quả khác

Bất đẳng thức Gronwall Giả sử : [0, ] f T →\ là hàm khả tích, không

âm trên [0, ] T và thỏa mãn bất đẳng thức

0

f t ≤ +C C f s ds∫ ∀ ∈t T trong đó C C là các hằng số không âm Khi đó 1, 2

lần lượt tương ứng

Ngoài ra, với F =F x t u v( , , , ), ta đặt

D F1 = ∂ ∂F/ ,x D F2 = ∂ ∂F/ ,t D F3 = ∂ ∂F/ u D F, 4 = ∂ ∂ F/ v

Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT

2.1 Giới thiệu bài toán và các công cụ chuẩn bị

định lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (2.1) – (2.4) bằng thuật

giải lặp cấp một kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact

và

1/2 1

2 0

0 ( ) x ,

C

Chứng minh bổ đề 2.1 khá dễ dàng mà chứng minh của nó có thể tìm

thấy trong nhiều tài liệu liên quan đến lý thuyết về không gian Sobolev, chẳng

hạn [1, 2]

Trên chúng ta sử dụng một dạng song tuyến tính trên V V×

1 0

a u v =∫u x v x dx u+ v u v V, ∈ (2.7)

Bổ đề 2.2 Dạng song tuyến tính đối xứng ( , )a ⋅ ⋅ được định nghĩa trong

(i) a u v( , ) ≤2 u x v x , ∀u v V, ∈ ,

Chứng minh bổ đề 2.2 khá dễ dàng và được suy từ (2.7) và bổ đề 2.1

Kết quả của bổ đề 2.2 cho thấy rằng V cũng là không gian Hilbert đối

với tích vô hướng ( , ).a ⋅ ⋅ Hơn nữa trên V thì ba chuẩn

1,

H

v6 v

1/2 1

2 0

Bổ đề 2.3 Tồn tại một cơ sở trực chuẩn Hilbert { }wj của L2 gồm các

hàm riêng wj tương ứng với giá trị riêng λj sao cho

Hơn nữa, dãy {wj/ λj} cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của V

đối với tích vô hướng a( , ).⋅ ⋅

Mặt khác, ta cũng có wj thỏa mãn bài toán biên dưới đây

j trong ,(0) (0) (1) 0,

B C∈ \+ B z ≥ >b

3

(H ) F C∈ 1([0,1]×\+× ×\ \+) với (1, , , ) 0F t u z = ∀t z, ≥0, ∀ ∈\ u

Với B và F thỏa các giả thiết (H và 2) (H tương ứng, ta xây dựng 3)

các hằng số sau đối với mỗi 0,M > T > Đặt 0

ở đây, trong mỗi trường hợp, sup được lấy trên miền 0≤ ≤ x 1, 0≤ ≤ t T,

Ta mô tả thuật giải cấp một cho bài toán (2.2), (2.3), (2.11) như sau

(i) Chọn số hạng đầu tiên u0 = u0

Định lý 2.4 Giả sử (H – 1) (H được thỏa Khi đó tồn tại các hằng 3)

số dương M và T và một dãy quy nạp tuyến tính { }u m ⊂W M T1( , ) được xác

định bởi (2.19) – (2.22)

Chứng minh Việc chứng minh bao gồm nhiều bước

Bước 1 Xấp xỉ Galerkin Trong V ta chọn cơ sở trực chuẩn Hilbert

{ },w j với w j = w j / λj như đã nêu trong bổ đề 2.3

Chứng minh bổ đề 2.5 Bỏ qua chỉ số ,m k trong các cách viết và ta

( ) ( )

(2 )!

p k

( )2 2

0

.(2 2)!

p k

X

K t

c d p

p

K T p

( )2

0 0

,(2 )!

p k

X X

duy nhất Điểm bất động nầy chính là nghiệm của hệ phương trình (2.29)

Bước 2 Đánh giá tiên nghiệm

Đặt

2 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 ( ) ( ) 0

0 0

Vì (0)∇w j =w j(0) nên

1 0 1 0

(1, ) (1) (0, ) (0)

( , ) ( )( ( ), )

( ) (0) ( ) ( ( ), ( )) ( )

2 ( ), ( ) 2 ( ( ), ( ))( )

( )

1 2 3 4

k m

0 0

K M

S s ds b

( ) ( ) 2

η η

0 0

k m

S ≤ M với mọi k và m (2.71)

1 2

2 (3) 1 0

2

M K T b T

⎛ ⎞ +

Qua giới hạn trong (2.24), (2.25) bởi (2.78), (2.80) ta có u thỏa (2.20), m

Định lý 2.4 được chứng minh hoàn toàn „

Định lý 2.6 Giả sử (H – 1) (H được thỏa Khi đó tồn tại các hằng số 3)

0,

M > T > thỏa (2.71), (2.73), (2.74) sao cho bài toán (2.1) – (2.3) có duy 0

nhất nghiệm yếu u W M T∈ 1( , ). Mặt khác dãy quy nạp tuyến tính { } u được m

xác định bởi (2.20) – (2.22) thì hội tụ mạnh về nghiệm u trong không gian

a) Sự tồn tại nghiệm Trước hết, ta lưu ý rằng W T1( ) là không gian

Banach đối với chuẩn

(0)v m =vm(0) 0.= (2.86) Chọn v v= m trong (2.85) ta được

1 0

1 0

2 1

2

2 1

1 0

1 0

( )

2 1 0 1

1 2

2 (3) 1 0

T

⎛ ⎞ +

2 2

, , , ,t x , , , x q t p t

Lấy giới hạn trong (2.20) – (2.22) với ,m m= j → ∞ kết hợp (2.110),

(2.114) và (2.118) ta suy ra tồn tại u W M T∈ ( , ) thỏa phương trình

và điều kiện đầu

1 0

Chương 3: THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI

3.1 Giới thiệu bài toán

xét với f = f u( )=K u q−2u q, > ( , ),2, F =F x t B B z= ( ) như sau

u t vm( ), +b t a u t v m( ) ( m( ), )= G t v m( ), , ∀ ∈v V, (3.5)

u m(0)=u u0, m(0)=u (3.6) 1,trong đó

Định lý 3.1 Giả sử (H1), (H2), (H3′) và (H4) là đúng Khi đó tồn tại

hằng số M > 0, T > (phụ thuộc vào 0 u0, u1, F f ) sao cho với , u0 ≡ tồn 0,

tại dãy { }u m ⊂W M T1( , ) thỏa (3.4) – (3.7)

( )

1 ( )

1

,

k k

j k k

Bỏ qua chỉ số ,m k trong các cách viết và ta viết ( ), c t j αj, βj,

0 0 2

S= c Y: c∈ Y ≤ρ là quả cầu đóng tâm ,O bán kính ρ

Lấy c=( , , )c1 c k ∈ ta có S,

2

1 1

( ( ), ( ))( )

V p

p k

i i i

Do đó, từ (3.19), (3.21) dẫn đến

k

j j

D t c

ρ ρ

γ γ

nghĩa là toán tử U biến S vào chính nó

ii) Chứng minh U n ≡U U( n− 1) : S → là co với một S n∈`

Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp theo n rằng, với mọi , c d S∈ và ,

[ ]

2 1 1

0 0 2

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

( )(2 )!

1 ( )

ρ



(3.39)

Nghĩa là U n0 :S → là toán tử co Áp dụng định lý Banach, ta suy ra S

được U có một điểm bất động duy nhất trong S và do đó hệ (3.15) – (3.16)

( ) (0) ( )[ ( ( ), ( )) ( ) ]

2 ( ), ( ) 2 ( ( ), ( ))( )

* ( ) ( ) 2

0 0

2 ( )

q k

2 ( ) 0

t k m

2 2 2 2 4 ( ) 0

0 0

2

1 0 0

1

1 ( )

2

1

0 0

2

( )4

t

m p

t

p k

m p

− − +

2 0

0

2

p

d D

6

k m

u ∈W M T với mọi m và k Khi đó bằng lý

luận tương tự như trong định lý 2.4, ta sẽ chứng minh được giới hạn

(i) Bài toán (3.1) có duy nhất một nghiệm yếu u W M T∈ 1( , )

(ii) Mặt khác, dãy quy nạp phi tuyến { }u xác định bởi (3.2), (3.3) hội m

tụ cấp hai về nghiệm u của bài toán (3.1) mạnh trong không gian W T theo 1( )

nghĩa

2 1 ( ) ( ),

1

, m,(1 )

Chú ý rằng điều kiện cuối sẽ thỏa mãn khi chọn số T > thích hợp 0

Chứng minh Trước hết, ta chứng minh rằng { }u là dãy Cauchy trong m

( )

1

1 1

( ), ( ) ( ) ( ), ( )

( ) ( ) ( ), ( )( ) ( ), ( ) ,

2( ) ( ), ( ) ,

t p

* 3 0

* 2

0( ) ( ), ( )

t

J = ∫ v − s f z′′ v s ds

3 2

1 0

2 3

1 0

t q

t q

1 ( )0

t q

1 ( )0

t q

(1) 0

Sử dụng bổ đề Gronwall cho (3.98) – (3.100), ta suy ra

2 1 ( ) ( ),

u W M T∈ là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (3.1) Chuyển qua giới hạn

khi p→ +∞, với m cố định ta thu được ước lượng (3.84) từ (3.103)

Vậy định lý được chứng minh.„