Chương ĐA TẠP raEVhNN MỞ ĐẦU Trong chương chúrg tồi trình bày lại số kiến thức đa tạp khả \i Trong trình phát triển lý thuyết hình học vi phân, đa tạp Riemann đa nộitạp Rienmann đa tạp tôpô, đa tạp khả vi, đa tạp Riemann, ánh xạ đãng cự, số dung quan trọng nhà toán học giới khảo sát Một tính phầnchất ánh xạ đãng cự, số bất biến ánh xạ đãng cự Các kiến thức trình quan trọng đa tạp Riemann khảo sát ánh xạ cự bày Đa tạp Riemann, trích dẫnđược trongbiết tài liệu như[1], [3], đa [4],tạp [5|.khả vi cho với phần tử 1.1 Đa tạp tôpô củađa tạp khả vi đa tạp,1.11 không gianĐatiếp tạpxúc tôpô tại(xem[l]) điểm trang bị metric Rietnann, tức tích Cho M không gian tôpô Haudorff Một bán đồ M cặp (V, cp) vô hướng tương thích với cấu trúc khả vi đa tạp Với mong muốn tìm hiểu V tập mở M (p : V —► V’ đồng phôi từ V lên tập mở V’ nghiên cứu sâu bất biến ánh xạ đăng cự đa tạp Riemann gọi atlas M Không gian tôpô M có atlas gọi đa tạp tôpô đặc biệt 1.12 Đa tạp vi (xem[l]) phép biến đôi đăng cự mô hình nửa phăng Poincaré hướng dẫn ChoMlàỉdaôọggiantôpô Kbuscbríĩ! Adas {(Vj,(pj ) }jeI M gọi atlas tận tình khả Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình, chọn đề tài “Phép cự số vi (Vi,(p1),(V^,(p2) đacủa M với hai đồtatùy : (p1( n ^ -1 mộtcủa ánhatlas cho VlíTV^ tạp : "V^—► có ýánh xạ: X (p2o(p1 HcrranrT để nghiên cứu Nội dung nghiên cứu luận văn làkliảo sát ánh xạ cự mối quan Trên tập atlas khả vi không gian tôpô M ta xét quan hệ hai hệ với sau: khái niệm đa tạp Riemannn đặc biệt tính bất biến đắng cự, ứng dụng đế Cho khảoA=Ị(Uj,(pj )}ieI, B= {(Vj[,(pj )}jejlà hai atlas M Khi A gọi tương sát đương với EỊ kí hiệu làphép A~ Bbiến nếuđổi {(Uj ,(pj cự ),(V-,(pj )}jeI^jej atlasđĩa khả M Quan đãng nửa phăng Poincaré, mởviPoincaré, đặc biệt mở rộng hệ hai củamột quan hệ tương đương lớp tương đương gọi cấu vi nửa phang Poincaré trúc trênkhảK3nửaM.không gian Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu Do lớp tương đương hoàn toàn xác định đại diện nên atlas khả vi hoàn toàn xác định cấu trúc khả vi Không gian tô pô Hausdorff M với cấu trúc khả vi xác định atlas I 13 Ví dụ M11 đa tạp khả vi n- chiều với atlas {(ỊẠid )} Cho M đa tạp khả vi với atlas {(Vị,(pị ) }ieI Nlà tập mở M Khi N đa tạp khả vi với atlas Ị(N^A)L XẾt siêu cầu n chiều Rn+1: Ố1 = Ịx= l) E Rn+1,xf +xf+ + xj = lỊ Gọi N = (0, 0,0,1) e Rnt S=(0,0, -A_1) e Rn+1 lượt điểm cực bắc cực nam sn Xct LA = S?1 \ {N}, U5 = ẩ1\ {S} tập mở Sn Taoó {LA, LA} tạo thành phủ mở sn Xét phép chiếu PN lên siêu phăng xn+1 = cho với X e LA ảnh PN(X) giao đường thẳng nối điểm điểm cực bắc đến siêu phẳng Xn+1 = Phép chiếu từ cực nam ps xác định tương tự Khi sn đa tạp khả vi với atlas {(LTO,APS)} 114 Ánh xạ khả vi (xem [1D Cho M N đa tạp khả vi có số chiều m, n Ảnh xạ f: M —► N gọi ánh xạ khả vi f ánh xạ liên tục với đồ (LỊcp) M, đồ (V, lịi) N cho u n f!(V) ^ ta có ánh xạ cp0 f0 (p từ tập mở (p (U n f1(V )) vào M11 ánh xạ khả vi Ánh xạ khả vi f: M —*• N có ánh xạ ngược r1: N —»• M khả vi gọi vi phôi 115 Truờng inục tiêu đa tạp khả vi 115.1 Đinh nghĩa (xem [3]) Giả sử M đa tạp khả vi, c° (]V^ tập hàm khả vi M ánh xạ 1.1.53 Đinh nghĩa (xem [3]) a Cho M đa tạp khả vi Khi T(M) = Ị^J lp {M) gọi phân thớ tiếp xúc Mvàkhông gianvéc-tơ Tj/M) gọi thớ qua p Mỗi ánh xạ X : M —► TM cho với peM X(p) e Tp(M) gọi trường véctơ M b Trường mục tiêu đa tạp n- chiều M họ n trường véctơ {Xi, X?, , Xn} Msao cho p e M, hệ véctơ {X!(p), ^(p), ^QCp)} sở không gian véc-tơ TpM 1.2 Đa tạp Riemann 1.2.1 Đa tạp RkTixuin (xem [ 1]) Cho M đa tạp khả vi Một cấu trúc metric Riemann M việc đặt tương ứng với p G M tích vô hướng TpMsaocho với hai trường véctơ (tiếp xúc) khả \ĨX, Y M, hàm số p —► ^X(p),Y(p)|) làhàmkhả vi Đa tạp M với metric Riemann xác định M gọi đa tạp Riemann Kí hiệu (M, (,) ) 1.22 Độ dài cung (xem [4]) M đường cong lớp c1 đa tạp Riemann (M (,)lvl) Độ dài a xác định sau: L(a) = |i|y,(t)|pt=y{y'(t),y'(t))Mdt 1.23 Ví dụ với tích vô hướng tắc đa tạp Rienxnn Chứng minh Theo ví dụ ta có Rn đa tạp khả vi Tại điểm p E Rn, không gian tiếp xúc điểm Rp = Rn nên tích vô lxrớng không gian tiếp xúc diêm Chứng minh Ta có Rn đa tạp khả vi Mặt khác ta có tích vô hướng điểm p e Kn không gian tiếp xúc Rp cảm sinh từ tích vô hướng tắc Rn Do tích vô hướng xác định iTEtric Rienxnn trén MIL Vậy ỊlRn,QM ) đa tạp Riemann n- chiều Cho y: M+ —>• Rn đường cong xác định y(t) = (t, 0, , 0), với te Khi độ dài L(y) y xác định sau: Eỉa hình cầu mở n - chiều, tức Bỉ1 = Ịxe Rn ||x| < Trên Ba ta trang bị metric Riemamsau: (Lí = Khi Mì đa tạp Riemann gọi không gian Hypebolic n- chiều Kí hiệu Hn Bây ta xét độ dài cung tham sổ Bn Cho y : (0,1) —► Hnlà đường cong xác định y(t) = (t, 0, , 0), với t e (0,1) Khi độ dài L(y) y xác đinh sau: 1+1 L(Y)=Jj|y'(t)||dt=2ịýr(tỵ(th=2Í V* = “ ’ JoH v 711 Jo 1-IYI2 ^l-t2 1-t đẳng cự đa tap Rỉeinann 1.3.1 Anh xạ đẳng cự (xcm [ĩ]) Cho ìs/ị N đa tạp Riemann n- chiều Khi ánh xạ f : M —» N gọi ánh xạ đăng cự với điểm p e 1VỊ ta có : T^, 1VI—» TĩỊp) Nlà ánh xạ tuyến tính bảo toàn tích vô hướng Một ánh xạ đẳng cự f: M —► M gọi phép biến đổi đãng cự đa tạp Riemann M Từ định nghĩa ta có nhận xét sau: 1.32 Nhận xét Ánh xạ đồng id phép biến đổi đăng cự Nghịch đảo phép biến đổi đẳng cự phép biến đổi đắng cự Tích phép biến đối đẳng cự phép biến đối đắng cự Nói cách khác, tập hợp phép biến đổi đẩng cự M lập thành nhóm gọi nhóm đăng cự 133 Các tính chất 1331 Mệnh đề (xem [5]) Ánh xạ khả vi f: M—» N đa tạp Riemann n-chiều ánh xạ đãng cự ánh xạ tiếp xúc Tpf bảo tồn môđun véctơ Chứng minh (=>) flà ánh xạ đăng cự ánh xạ tiếp xúc Tpf bảo tồn mô đun véctơ aperỤV[ị3perỤV[ T^ctp^ T^N; Tpf(Pp)eTĨXp)N Ta có: Tpf(ap).Tpf(13p) = ap.pp Lấy Gtp = [3p ) Tpf(ap).Tpf([3p) = Op-Pp = ||ap||2 |TẸ,hap)| = ||ap||2 Tức Tpf bảo tồn môđun véctơ ( Tpf(ap).Tpf(Pp)= Op.pp (do Tpf bảo tồn môđun véctơ) => f ánh xạ cự (đpcm) 1332 Mệnh đề (xem [5]) Ánh xạ (khả vi) f: M—» N đa tạp Riemann n-chiều ánh xạ đẳng cự ánh xạ (khả vi) f bảo tồn độ dài cung Chứng minh (=>) Ánh xạ đãng cự => ánh xạ khả vi bảo tồn độ dài cung Vì f ánh xạ cự => bảo tồn tích vô hướng Mà độ dài cung tính theo công thức: up)=(’|fp' tích phụ thuộc vào định thức Gr = (gij) Trang M diện tích miền compact với bờ tính theo công thức với định thức băng Trong N diện tích miền compact với bờ tính công thức với định thức bằng: iij ==0nên -4vf u2+V2+2v+ ì) — ^ -z,(k=^/x2+y2 e R+ì z ^(l-yr+x2) f)(z) phép Chứng minhbiến đổi đãng cự D ((ì-yf+*f (1-^+ý*))2 = ((i-y^rM*^))2 a Xét phép biến đỗi cự H2 h!:zi-> z+a,(aeM) -A ° h 4of)(z) = (goh4) cự D Ta có f)(z) là( gmột phép biến đổi đăng iz+ = ẽ z+i ÁC1 _ iz+ 1-a+i 2z+ a+ iaz ( g ° h l °f)(z) \ iz+1+ a z+i 2+ az- ia ìz+ 1+ a -1 Do ( e R)là phép biến đổi cự D Vậy ZI—> ^Z + a + iaZ,(a 1 !R2 Õu \2 í ÕV^ 2+iỉx-ữx [dy) b Xét phép biến đôi kz;(ls; e M+ ) õaõu avav_8((1-y)2-x2)x(1-y)+8(x2~(1~y)2H1~y) Khiỡxỡy+ổxôy“ (g h2 f)(z) phép biến đổi đăng cự D /(!_y)2+x2\4 Hay f thoả mãn điều kiện đãng cự 2625 tí ={z=x+yi+tj eH|x,y,teR;t>0} = {z=s+tj eH| se c;te R;t>0} Mệnh đề: tí đa tạp khả vi - chiều trang R3 với cấu trúc Riemann 2_|dz|2_ck2+^2+dt2 t2 t2 Eb tí tập mở R3và R3 đa tạp khả vi - chiều với atlas {(Ru, iđ)} nen H3 đa tạp khả vi - chiều Ta có với p E tí, không gian tiếp xúc điểm R3 = R3 nên cảm sinh lên không gian metric Riemann xác định |dz|2=dx? H-cty2 +dt2 NỊgoài ITL ta oó Vị/: ỈỸR z= (x,y,t) h-> V|/(z) - V|/(x,y5t) = -ị MI,’ - + â TJ rx Ar ^2_ |dz|2 _ d^ + ch^+dL2 X , môt hàm sô khả vi H Do ds = ' = - xác đinh môt câu trúc t2 t2 với metric xác định đa tạp Riemann - chiều 232 Nhận xét Cấu trúc metric Riemann nửa không gian tí ldaôrg gian - chiều M3 xét mở rộng từ metric Riemann nửa mặt phẳng Poincare H2 trarg Idiôrg ^iz+lj gian 2-chiều R2 + I-z2-|iz+l|2 233.là một2iz Biến đổi đẳng cự H3 phép -“ -1 biến ^2đổi đẳng cự D M2 i- 2z-sát izrcác + i|iz+ Để kháo biến]jđổi cự đa tạp Riemann H3, trước hết xétgian không điều231 kiện để ánhkhông xạ f: tígian —►trên H3 trở thành biến đổi đẳng cự H3 thể Nửa mệnh Tập hợp rf:= {(X, y, t) I X, y, te M ; t>0} tập mở ĨV đề gọidưới nửa không gian Xét H = {s + tj|s, te c } đại sổ quatemion (chuẩn tắc) Khi ta 28 27 có ỡu ỔxJ [,ổx (ổv^2 f + ổyj + Ỡ u ( ÕvÝ ( ỠWn2 ỡt ,Y J_ 12’ _Ị_ Õ k CLlỡll ÕVỠV ỔwOw_ ỠUỠU ỠVỠV ổwổw_ Ổuỡu Ovổv ổwổw_ ^ "ỡxỡy ổxổy ỡxổy ổxổt ổxổt ổx ổt ổyổt õyõt õy ôt Chứng minh Gọi {Els E2, E3} trường mục tiêu song song tắc rfcR3 Khi , p = (x, y, t) € tí, ta có te(p),3(p)) = Ậ (i=ũ) (y=£3;i*j) (f(p)) = |^(f(p))+£E2(f(p))+g^(f(p)), £E2(f(p)) = Ệ^(f( p))+ỆẸ,(f (p))+ỆE,(f(p)), £^(f(p))=f^(%))+t^(f(p))+t^(f(p))Thép biến đổi f phép biến đổi cự (H3; ) với p=(x,y,t)H3, tacó(f,E;,£:EJ) = (^,Ẹj)(p), i,j = 13 (f(p))) = (E,(p),E,(p)) «^{£^(f(p))^(f(p))} = -^(^(p)^(p)) 29 ^ÔuÝ (ÔVỸ (Ỡw^2 ổyj +l0} Khi đó, phép biến đôi sau biến đôi đăng cự H3 (1) zi—> z + a,( a c); phép tịnh tiến theo phương song song mặt phang (Oxy) ZM> kz,(k c \; phép vị tự tâm o tỉ số k (3) z \-> —z; phép đối xứng qua mặt phang (Oyt) (2) (4) z=s+tjh->ks + |k|tj keC\{0}; tích phép quay quanh trục Ot với góc quay a ký hiệu oí a) xác đinh cosa = ki ' ựkr+tí V(Q^) 30 k2 Af+k| z=s+tji—>ks + |k|tj, quay quanh trục Ot với góc lc ) xác định oos|3 = — Ỵ - ; sữĩp = — _ phép vị tự Ạr+k? (5) k e C\{0};tích phép k vỊo.7kf+k|j (6) ZH [z] ; phép nghịch đảo tâm o phương tích zh^[az + b][ez + d] (7) a?b,c,d e c.ad- bc>0 ; (8) zh-> Ị^az + bj[ã + dj , a,b,G,d € c,ad- bc < Chứng minh Ta chúng minh phép biến đổi thỏa mãn điều kiện biến đổi cự Phép biến đôi (1) biểu diễn dạng: f: H*-» (x,y,t) h-> (X + al9y+ a^t), Tacó ỡll Ỡu ỡv ổv ổwổw _ —— — — = 0t ổxổy ổxôy ổx õy ỡuỡu ổvỡv ổwổw _ + — — + —— —— = Q ổx ôt ổx Ôt ổx Õt ỡuổu ỡvổv ổwổw _ ổy ổt ôy ôt dy ôt 31 Suy phép biến đổi (1) biến đổi đẳng cự H3 Phép biến đôi (2) biểu diễn dạng: ỈỸ ỉf f: (x,y,t) h-> (kx?ky,kt), Tacó ỠV^Ị2 (ỔW>Ị2 ỡxj VổxJ ^ỠU^Ị2 f ỡvÝ2 f ỡw^2 —+—+— \ôy) {dy) l ổ y, (du^Ị2 (ỔV^Ị2_1 ị5wỊ {~ôtj + [ãtj +{~dt) V? t2’ =k2^ t2 kv -Uk2.1 _ k¥ t2' ỡll Ỡu ỡv ổv ổwổw ổx dy ổx ởy ổx õy' ỡuỡu ổvổv ổwổw _ — — + — — + — — = ơ, ôx ổt ỡx ỡt ỡx ỡt ỡllỡu ỡvổv ổwổw _ ổy ổt ôy õt dy ôt Suy phép biến đổi (2) biến đối cự H3 Phép biến đổi (3) biểu diễn dạng: f: ỈỶ^ỈỶ (x,y,t)i-»(-x,y,t), Tacó ổxj +tôxj +[axj õu ( ỡv í - + —— í ổw' t vý2 ,2 ’ 32 ị Ổ U ^ Ị ị Ổ V ^ Ị (ổ w \ 1 latj { d t j [ ổt J w£_t2' ổuổu ỠVỔV ổwổw _ —— +——+ = ơ? ỡxổy ỡxổy ổx õy ỡll Ỡu ỠVỠV ổwổw ——+——+——= 0., ỡx õ t ổx ỡt ổx ỡt ỡllỡu Ovổv ổwổw ổyỡt õyõt õy ôx Suy phép biến đổi (3) biến đổi đẳng cự H3 Tương tự, phép biến đôi (4) biểu diễn dạng: f: ¥ề -* H* (x,y,t) ki, k2 ei saocho ^k^ + íkjX - k2y;k2x+ kjy,^kJ+k2.tj, kỷ ^ Tính toán cụ thể ta suy ổu Ổu ỡxổy ỡxổy ổx õy ổv ổv — k1-(_k2) + k2-k1+ 0.0- Ot ỠUỠU ỠVỠV ổwổw kj.O+1^2-0+ o.^/k^ + ky — Q, ổx Ổt Ỡx Ỡt Ổx Ỡt (-k2).0+k1.0+ O.ựkĩ+14 = ỔUỔU ỡvổv ổwổw -1 -1 Nên phép biến đổi (4) biến đổi đẳng cự II3 Phép biến đôi (5) biểu diễn dạng: 33 ổwổw /X x2 (x,y,t) h-> ju = k1x+k^y,v= k2x- kxy, \\£=N/k2+kf t j, J 4^t- t' rề -2st f: y cho + k^ ^ Khi tính toán tương tự4tz^+4tY+ự+y2-t2) trường hợp (4), ta suy phép biến đôi (5) biến ị đổi đãng cự của(x2+y2+t2)2 H3 f Phép biến đôi (6) biểu diễn J dạng: ý!)2+4y2t2 f: ỠUỠU ổvổv (x2+^+t2)2 |—> 2xt -2ty -2tx y^ +—2yx t^x2 x2 + y2 + Ta kiểm tra điều ổxkiện biến đôi đăng t2-2t2 cự: (x2^^)2 J dù] (ôv -+ I + V (x2 + ^ + t2)2 [-2xy][(y+12 - * ? ) + ( + ý * -t2) - 212 (x2+y2+t2)4 -2yt (x2+y2+ t2)2 ỠUỠU ỠVỠV ổwổw 2^2 t2 _ t2; (x2+y2+t2)2 (xW+t2)2 (x^y+t2 )2 y + (x +^ ^ỠU^Ị2 + (ỞVỸ x2 íỡw)2 t2-y2 — + — + — ôy) yõy) y d y ) (x2+y2 +t2)2 ỠUỠU ỡvỡv (x ổwổw 2+ / õy õt õy õt õy õt x2+y2t2 x1 (x2+y2 +t2)2 x + (x2 + ^+t2)2 (x (x 2_ 2+ + y2 x2+y2yt t2 (x2 + J^ + t2)2 [-2xt][(y2+t2-^)-2y2+ (x2+ýĩ-t2)] 12 ẽ~e; 34 Xét phép biến đổi (7): f: H3 -> pf z=s+tjh->í(z) = [az+b][cz+d] , ữong a,b,c,de c?ad —bc > Ta xét trường hợp sau: Ta có ad> 0nên d* ơ,ad ^ OtladỊ = Ịađị = ad -1-c^i; d=di +CỈ2Ì, taoó ad=a1d1 — a-d- +(a!ck +£^di) nôn ơ.ađ1 ^ Ctịaciị = nđ = ad [a1d1-a2d2>0 ' ' [az+b][cz+d] 1=Ịaz+b]cT1 = [a(s+tj) + b]-^ = 4 M W' 14~ M ~2 M2 +bđr\ Từ (7) biểu thị thành tích phép biến đổi đẳng cự dạng (1) (4) H3 nên suy phép biến đổi (7) biến đổi đẳng cự tí ccT1 (cz+ d) - (ad- bc) 1J [cz+ d] = ac~1 - (ad- bc)c~ 1[cz+ d] 1= acT1-(ad-bc)[(cz+d)c] = ac"1 -(ad-bc)[(c(s+ tj)+d)c]_1 = ac"1 -(ad-bc)[c?s+ | f (z) = Ị^az+ bj ịcz+ dj [-2st] [-2X2+(x2+12 - y2) + (X2+ý* -12)] 1-1 (x^y+t2)4 35 đổi cự H3 Suy phép biến đổi (6) 36 biến Ta thấy phép biến đổi (8) tích phép biến đổi đẳng cự dạng (5) (7) H3 nên suy phép biến đổi (8) biến đồi cự H3 Vậy mệnh đề chứng minh Các phép biến đổi đẳng cự nửa không gian H3 không gian 3- chiều R3 tương tự phép biến đổi cự phẳng Poincaré H2 trat^khârg gian chiều R2 37 KÉT LUẬN CỦA LUẬN VĂN Sau trình nghiên cứu luận văn, thu kết sau: Khảo sát số khái niệm đặc trưng đa tạp Riemann metric Riemann, ánh xạ đẳng cự, số bất biến cự, thể cụ thể cho mặt R3 đa tạp Rienxmn 2- chiều Khảo sát cấu trúc đa tạp Riemann nửa phẳng Poincaré đĩa Rãneará trang R2 qua việc xác định metric Riemann, biến đổi cự mối liên hệ vi phôi cự chúng Khảo sát metric Riemann, biến đổi đãng cự, vi phôi đãng cự nửa không gian trên, thể đa tạp Rienxrm - chiều trang R3 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh (2009), Hình học vi phân, Nhà xuất Đại học Sư phạm [2] Trần Đạo Dõng (2001), Cơ sở hình học vi phân, Nhà xuất Giáo dục [3] Nguyễn Việt Hải (2005), Hình học vi phân, Nhà xuất Hải Phòng [4] Nguyễn Thị Liên (2011), linh học nửa phang Pdnccré, khóa luận tốt nghiệp, Đại học Vinh [5Ị Nguyễn Thị Lệ Hằng (2001), Ánh xạ đăng cự đa tạp Riemann, khóa luận tốt nghiệp, Đại học Vinh [6] SLgoxmdur GudnamdssanL (2010), An Introduction to ttemcrrãan Geamtry.; Lectuns 39 [...]... đăng \ cự của ,H2 và nhận xét trên ta có thể xác 2định được các — -J k £ IR là môt phép biên đôi đãng cư của D trong R k+L+i(z-kzV phép biến đổi đang cự của D ’ Xét đĩa Poincaré c Xét phép biến đổi đẩng cự của H2 hs: ZI—> -z,(k=^/x2+y2 e R+ì z ^(l-yr+x2) f)(z) là một phép Chứng minhbiến đổi đãng cự của D ((ì-yf+*f (1-^+ý*))2 = ((i-y^rM*^))2 a Xét phép biến đỗi đang cự của H2 h!:zi-> z+a,(aeM) -A ° h 4of)(z) = (goh4) 7 cự của D Ta có f)(z) là( gmột phép biến... phép biến đổi đẳng cự của nửa không gian trên H3 không gian 3- chiều R3 tương tự như phép biến đổi đang cự của nữa phẳng Poincaré H2 trat^khârg gian chiều R2 37 KÉT LUẬN CỦA LUẬN VĂN Sau một quá trình nghiên cứu luận văn, chúng tôi đã thu được các kết quả sau: 1 Khảo sát một số khái niệm và đặc trưng cơ bản của đa tạp Riemann như metric Riemann, ánh xạ đẳng cự, một số bất biến đang cự, thể hiện cụ thể... diện của đa tạp Riemann bất biến qua vi phôi đăng cự < a,a >< p,p > - < a,p >2 1- < R(Êa,Ê|3,Ê|3).Ka > 14 Chương 2 PHÉP ĐẲNG cự TRÊN MỘT SÓ ĐA TẠP RIEMANN Trong chương này chúng tôi tập trung khảo sát cấu trúc đa tạp Rienmann 2 chiều của nửa phăng Poincaré và đĩa mở Poincaré thể hiện qua việc xác định rrtínc Rienmann, các phép biến đổi đăng cự, Từ đó mở rộng một số kết quả cho nửa không gian trên, được... cự, thể hiện cụ thể cho các mặt trong R3 và đa tạp Rienxmn 2- chiều 2 Khảo sát cấu trúc đa tạp Riemann của nửa phẳng Poincaré và đĩa Rãneará trang R2 qua việc xác định metric Riemann, các biến đổi đang cự và mối liên hệ vi phôi đang cự của chúng 3 Khảo sát metric Riemann, các biến đổi đãng cự, vi phôi đãng cự của nửa không gian trên, thể hiện như một đa tạp Rienxrm 3 - chiều trang R3 38 TÀI LIỆU THAM... f -1 là một vi phôi đăng cự từ D đến H2 - z+i ( z+i , • \(xem[3D -k—-—I- i Các phép( gbiến đang cự của ° h2đổi ° f)(z) = (g h2)đĩa mở Poincaré k z + i | _ iz+l iz+l Chof: D —*■ H2 là vi phôiiz+lj đẳngikz±i_1 cự trong Định lý trên và h: tí —*■ H2 là phép _ -kz-ik- z+i_ kz+ z+i(k-l) biến k+l+i(z-kz) đẳng cự củaikz-k-iz-l H2 Khi đó f'1°h°f là một phép biến đổi đãng cự của D đổi Từkz+z+i(k-ỉ) các phép biến... 8 Xét phép biến đôi (8): f: f trong đó a,b,G,de c,ad—bc < 0 HP-> hf z= s+ tj I—> f (z) = Ị^az+ bj ịcz+ dj [-2st] [-2X2+(x2+12 - y2) + (X2+ý* -12)] 1-1 (x^y+t2)4 35 đổi đang cự của H3 Suy ra phép biến đổi (6) là 36 biến Ta thấy phép biến đổi (8) là tích của các phép biến đổi đẳng cự dạng (5) và (7) của H3 nên suy ra phép biến đổi (8) là biến đồi đang cự của H3 Vậy mệnh đề được chứng minh Các phép biến... -“ -1 biến ^2đổi đẳng cự của D trong M2 i- 2z-sát izrcác + i|iz+ Để kháo biến]jđổi đang cự của đa tạp Riemann H3, trước hết chúng ta xétgian trên các không điều231 kiện để một ánhkhông xạ f: tígian — trên H3 trở thành biến đổi đẳng cự của H3 thể hiện trong Nửa mệnh Tập hợp rf:= {(X, y, t) I X, y, te M ; t>0} là một tập con mở của ĨV và được đề gọidưới đây là nửa không gian trên Xét H = {s + tj|s,... z ——^z+ -2-» ZH— z+ h,°h2( z ) = h ^ | z j c= M z ) • c đó (6) là phép biến đổi đẳng cự của (tí,H> Vậy (5) là tích 2 phép biến đôi đãng cự Hay (5) là phép biến đổi đăng cự 19 20 Mệnh đề (xem [4]: Tính bất biến của phép biến đổi đãng cự) a) Phép tịnh tiến với phương song song Ox, phép đổi xứng qua trục Oy và phép vị tự tâm o tỉ số a e1R+ bảo tồn đường dạng a (anh của nửa đường thẳng 111Ở trực giao... z+i 2+ az- ia ìz+ 1+ a -1 Do đó ( e R)là một phép biến đổi đang cự của D Vậy ZI—> ^Z + a + iaZ,(a 1 1 trong !R2 Õu \2 í ÕV^ 2+iỉx-ữx [dy) b Xét phép biến đôi kz;(ls; e M+ ) õaõu avav_8((1-y)2-x2)x(1-y)+8(x2~(1~y)2H1~y) Khiỡxỡy+ổxôy“ đó (g 0 h2 0 f)(z) là một phép biến đổi đăng cự của D /(!_y)2+x2\4 Hay f thoả mãn điều kiện đãng cự 2625 tí ={z=x+yi+tj eH|x,y,teR;t>0} = ... Một ánh xạ đẳng cự f: M —► M gọi phép biến đổi đãng cự đa tạp Riemann M Từ định nghĩa ta có nhận xét sau: 1.32 Nhận xét Ánh xạ đồng id phép biến đổi đăng cự Nghịch đảo phép biến đổi đẳng cự phép. .. thu kết sau: Khảo sát số khái niệm đặc trưng đa tạp Riemann metric Riemann, ánh xạ đẳng cự, số bất biến cự, thể cụ thể cho mặt R3 đa tạp Rienxmn 2- chiều Khảo sát cấu trúc đa tạp Riemann nửa phẳng... M z ) • c (6) phép biến đổi đẳng cự (tí,H> Vậy (5) tích phép biến đôi đãng cự Hay (5) phép biến đổi đăng cự 19 20 Mệnh đề (xem [4]: Tính bất biến phép biến đổi đãng cự) a) Phép tịnh tiến