ii MC LC Thụng tin kt qu nghiờn cu M u Chng Mt s kin thc chun b 1.1 Phm trự monoidal 1.2 i ng iu aben (i xng) ca cỏc nhúm aben 1.3 Nhúm phm trự bn v phm trự Picard 1.4 Phõn lp hm t monoidal i xng kiu (, f ) 12 Chng Mụun chộo bn v nhúm phm trự cht ch bn 2.1 Nhúm phm trự cht ch bn liờn kt vi mụun chộo bn 2.2 Phõn lp mụun chộo bn 14 14 18 Chng Mụun chộo aben v phm trự Picard cht ch 3.1 Phm trự Picard cht ch liờn kt vi mụun chộo aben 23 23 3.2 Phõn lp mụun chộo aben 25 3.3 M rng aben kiu mụun chộo aben 27 Kt lun v kin ngh 34 Ti liu tham kho 35 Thuyt minh ti THễNG TIN KT QU NGHIấN CU Thụng tin chung - Tờn ti: Mụun chộo aben v phm trự Picard cht ch - Mó s: CS2014-37 - Ch nhim: TS Ch Th Kim Phng - C quan ch trỡ: Trng i hc Si Gũn - Thi gian thc hin: t 9/2014 n 9/2015 (theo Hp ng s 475/H-HSG-QLKH&SH) Mc tiờu Xõy dng tng ng phm trự cho phm trự cỏc mụun chộo bn, phm trự cỏc mụun chộo aben v gii bi toỏn m rng aben kiu mụun chộo aben Tớnh mi v sỏng to - Phỏt trin tng ng Brown-Spencer cho trng hp mụun chộo bn v mụun chộo aben; - Phỏt trin bi toỏn m rng nhúm kiu mụun chộo cho trng hp mụun chộo aben; - Ch s khỏc gia k thut chng minh c s dng ti v mt s cụng b ó bit; - Cung cp vớ d v mt s tớnh cht lm sỏng t hn cho cỏc kt qu v nhng liờn quan Kt qu nghiờn cu - Xõy dng tng ng phm trự gia phm trự cỏc mụun chộo bn vi phm trự cỏc nhúm phm trự cht ch bn; - Xõy dng tng ng phm trự cho phm trự cỏc mụun chộo aben v phm trự cỏc phm trự Picard cht ch; - Phỏt biu v gii bi toỏn m rng aben kiu mụun chộo aben Sn phm Cỏc kt qu chớnh ca ti c trỡnh by Chng v Chng 3, ú kt qu ca Chng ó c cụng b bi bỏo khoa hc: N T Quang, C T K Phung and N S Tung (2013), Abelian crossed modules and strict Picard categories, Albanian Journal of Mathematics, 7(1), 3748 M U Lý chn ti Lý thuyt phm trự vi tớch tenx bt u c nghiờn cu bi J Bộnabou [28] v S MacLane [18] Cỏc tỏc gi ó xột cỏc phm trự trờn ú cú trang b mt phộp toỏn cựng vi rng buc kt hp a v rng buc n v l, r tha mt s biu giao hoỏn S MacLane [18] gi phm trự ny l phm trự monoidal v a iu kin cho tớnh khp ca cỏc ng cu t nhiờn a, l, r S MacLane cng ch iu kin cho tớnh khp ca cỏc ng cu t nhiờn mt phm trự monoidal i xng, tc l mt phm trự monoidal cú thờm ng cu giao hoỏn c tng thớch vi cỏc rng buc kt hp v n v Sau ú, lý thuyt phm trự monoidal ó c nhiu nh toỏn hc quan tõm v phỏt trin theo nhiu hng khỏc Phm trự monoidal cú th c mn húa tr thnh phm trự vi cu trỳc nhúm bng vic b sung vt kh nghch (xem M L Laplaza [16] v N S Rivano [30]) Nu phm trự nn l mt groupoid (ngha l mi mi tờn u ng cu) thỡ ta c phm trự monoidal ging nhúm (xem A Frăohlich v C T C Wall [12]), hay Gr-phm trự (xem H X Sớnh [31]) Trong ti ny, chỳng tụi gi phm trự nh th l nhúm phm trự theo cỏch gi ph bin gn õy (xem P Carrasco v A R Garzún [7], A R Garzún v A Del Rớo [14]) S phõn lp cỏc nhúm phm trự bi i ng iu nhúm ó c H X Sớnh trỡnh by [31] Trong trng hp nhúm phm trự cú thờm ng cu giao hoỏn thỡ nú tr thnh phm trự Picard (xem [31]), hay nhúm phm trự i xng (xem M Bullejos v cỏc ng tỏc gi [5]) Phm trự monoidal bn xut hin cụng trỡnh ca A Joyal v R Street [15] v l s m rng ca khỏi nim phm trự monoidal i xng H cng ó mn hoỏ phm trự monoidal bn tr thnh nhúm phm trự bn b sung iu kin mi vt u kh nghch v mi mi tờn l ng cu Cỏc tỏc gi ó phõn lp cỏc nhúm phm trự bn bi phm trự cỏc hm ton phng da trờn kt qu ca S Eilenberg v S MacLane [11] v biu din hm ton phng bi (G, A) Mt trng hp riờng ca nhúm phm trự nhúm i ng iu aben Hab bn l phm trự Picard ó c phõn lp trc ú bi H X Sớnh [31] Theo mt hng khỏc, mt s tỏc gi ó quan tõm n lp nhúm phm trự c bit, ú cỏc rng buc l cỏc ng nht v cỏc vt u kh nghch cht ch, ngha l X Y = I = Y X Lp phm trự ny c gi l G -groupoid (xem R Brown v C B Spencer [4]), Gr-phm trự cht ch (xem H X Sớnh [32]), nhúm phm trự cht ch (xem A Joyal v R Street [15]), 2-nhúm cht ch (xem J C Baez v A D Lauda [2]) hay 2-nhúm (xem B Noohi [20]) Trong cụng trỡnh ca R Brown v C B Spencer [4], mụun chộo c gii thiu bi J H C Whitehead [27] ó c xỏc nh bi mt G -groupoid v ngc li T ú cỏc tỏc gi ó chng minh rng phm trự cỏc mụun chộo tng ng vi phm trự cỏc G -groupoid (tng ng Brown-Spencer) (xem [4, nh lý 1]) Nh trờn, mi G -groupoid cũn c gi l nhúm phm trự cht ch, nhiờn phm trự cỏc G -groupoid ch l phm trự ca phm trự cỏc nhúm phm trự cht ch N T Quang v cng s [23] ó ch mi liờn h ca phm trự th hai ny vi phm trự cỏc mụun chộo, m tng ng Brown-Spencer ch l trng hp riờng Kt qu [23] cho phộp ng dng cỏc kt qu v lý thuyt cn tr i vi cỏc hm t v lý thuyt i ng iu vo vic nghiờn cu cỏc mụun chộo í tng [4] cng ó c A Joyal v R Street [15] phỏt trin cho mụun chộo bn v nhúm phm trự cht ch bn Tuy nhiờn, A Joyal v R Street mi ch dng li vic xỏc nh ln gia cỏc cu trỳc núi trờn, ngha l ch gia cỏc vt Vn t l cú hay khụng mt tng ng Brown-Spencer cho phm trự cỏc mụun chộo bn v phm trự cỏc nhúm phm trự cht ch bn Chỳng tụi cho rng õy l mt cn c gii quyt Ngoi mụun chộo bn, mụun chộo aben cng ó nhn c s quan tõm ca cỏc nhúm tỏc gi (xem P Carrasco v cỏc ng tỏc gi [6], K Norrie [21]) Theo cỏch lm ca N T Quang v cỏc cng s [23], chỳng tụi mong mun kt ni c kiu mụun chộo ny vi i s phm trự thớch hp, v hy vng s nhn c tng ng Brown-Spencer cho nhng i tng ny Theo mt hng khỏc, mụun chộo cú liờn quan cht ch n bi toỏn m rng nhúm (xem S Eilenberg v S MacLane [9]) Bi toỏn m rng nhúm kiu mụun chộo c gii thiu cỏc cụng trỡnh [26] v [29] ó c nghiờn cu bi R Brown v O Mucuk [3] iu ú gi ý cho chỳng tụi mt hng nghiờn cu l tỡm hiu bi toỏn m rng kiu mụun chộo aben Vỡ nhng lý nờu trờn, chỳng tụi chn ti nghiờn cu l: Mụun chộo aben v phm trự Picard cht ch Mc tiờu ca ti Xõy dng tng ng phm trự cho phm trự cỏc mụun chộo bn, phm trự cỏc mụun chộo aben v gii bi toỏn m rng aben kiu mụun chộo aben i tng nghiờn cu Nhúm phm trự bn, phm trự Picard, mụun chộo bn v mụun chộo aben Phm vi nghiờn cu ti trung nghiờn cu v tớnh cht ch v tớnh i xng nhúm phm trự bn phõn lp mụun chộo bn, mụun chộo aben v gii cỏc bi toỏn m rng aben kiu mụun chộo aben Phng phỏp nghiờn cu Chỳng tụi s dng phng phỏp nghiờn cu lý thuyt quỏ trỡnh thc hin ti V mt k thut, chỳng tụi s dng cỏc phng phỏp sau õy: - Dựng cn tr ca hm t gii bi toỏn m rng; - Dựng i ng iu gii quyt s phõn lp mụun chộo Ni dung v cu trỳc ca ti Trong ti ny, chỳng tụi thit lp tng ng phm trự cho phm trự cỏc mụun chộo bn, phm trự cỏc mụun chộo aben v gii bi toỏn m rng aben kiu mụun chộo aben Cỏc kt qu nhn c l s phỏt trin nhng kt qu [3, 4] V cu trỳc, ngoi cỏc phn Thụng tin kt qu nghiờn cu, M u, Kt lun v kin ngh, Ti liu tham kho, ti gm cú ba chng Trong Chng 1, chỳng tụi nhc li mt s khỏi nim v kt qu v phm trự monoidal, i ng iu aben (i xng) ca cỏc nhúm aben, nhúm phm trự bn v phm trự Picard ng thi, chỳng tụi cũn trỡnh by s phõn lp cỏc hm t monoidal i xng kiu (, f ) Chng nghiờn cu nhúm phm trự cht ch bn phõn lp mụun chộo bn Mc 2.1 trỡnh by nhúm phm trự cht ch bn liờn kt vi mụun chộo bn Mc 2.2 xỏc nh mi tờn phm trự cỏc mụun chộo bn v chng minh phm trự cỏc mụun chộo bn tng ng vi phm trự cỏc nhúm phm trự cht ch bn (nh lý 2.2.5) Chng nghiờn cu phm trự Picard cht ch phõn lp mụun chộo aben v m rng aben kiu mụun chộo aben Mc 3.1 ch rng mi mụun chộo aben c xõy dng t mt phm trự Picard cht ch v ngc li Mc 3.2 trỡnh by s xỏc nh mi tờn phm trự cỏc mụun chộo aben v chng minh phm trự ny tng ng vi phm trự cỏc phm trự Picard cht ch (nh lý 3.2.5) Mc 3.3 phỏt biu v gii bi toỏn m rng aben kiu mụun chộo aben (nh lý 3.3.3, nh lý 3.3.4) Cỏc kt qu chớnh ca ti c trỡnh by Chng v Chng 3, ú kt qu ca Chng ó c cụng b bi bỏo khoa hc: N T Quang, C T K Phung and N S Tung (2013), Abelian crossed modules and strict Picard categories, Albanian Journal of Mathematics, 7(1), 3748 CHNG MT S KIN THC CHUN B Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by mt s khỏi nim v kt qu v phm trự monoidal (xem S MacLane [18]), i ng iu aben (i xng) ca cỏc nhúm aben (xem [17]), nhúm phm trự bn (xem A Joyal v R Street [15]), phm trự Picard (xem H X Sớnh [31]) v hm t monoidal i xng kiu (, f ) Nhng ni dung ny lm c s cho cỏc chng tip theo 1.1 Phm trự monoidal Phm trự monoidal (hay phm trự tenx) c nghiờn cu u tiờn bi S MacLane [18] v J Bộnabou [28] vo nm 1963 Trong mc ny, chỳng tụi nhc li mt s khỏi nim v phm trự monoidal theo S MacLane [18] 1.1.1 nh ngha Phm trự monoidal C = (C, , a, I, l, r) l mt -phm trự C cựng vi mt vt n v I v cỏc ng cu t nhiờn a = (aX,Y,Z ), l = (lX ) v r = (rX ), ú: aX,Y,Z : (X Y ) Z X (Y Z), lX : I X X, rX : X I X, tha iu kin lI = rI v lm cho cỏc biu sau giao hoỏn: (X I) Y aX,I,Y X (I Y ) idX lY rX idY X Y (1.1.1) aX,Y,Z idT ((X Y ) Z) T (X (Y Z)) T aXY,Z,T aX,Y Z,T (X Y ) (Z T ) X ((Y Z) T ) (1.1.2) aX,Y,ZT idX aY,Z,T X (Y (Z T )) vi mi X, Y, Z, T thuc C Cỏc ng cu t nhiờn a, l v r tng ng c gi l rng buc kt hp, rng buc n v trỏi v rng buc n v phi Mt hm t monoidal t phm trự monoidal C n phm trự monoidal C , l b ba (F, F , F ) bao gm: (i) Mt hm t F : C C , (ii) Mt ng cu hm t F = (FX,Y ) vi FX,Y : F (X Y ) F X F Y, (iii) Mt mi tờn ng cu F : F I I , cho vi mi vt X, Y, Z C , cỏc biu sau giao hoỏn: F ((X Y ) Z) F (aX,Y,Z ) F XY,Z F (X (Y Z)) F (X Y ) F Z FX,Y Z FX,Y idF Z F X F (Y Z) (F X F Y ) F Z idF X FY,Z aF X,F Y,F Z F X (F Y F Z) (1.1.3) FX,I FI,X F (X I) F X F I F (rX ) FX F (I X) F I F X F (lX ) idF X F r FX F X I FX F idF X (1.1.4) l FX I F X Hm t monoidal (F, F , F ) c gi l mt hm t monoidal cht ch nu F v F l cỏc ng nht Hm t monoidal (F, F , F ) t phm trự monoidal C n phm trự monoidal C c gi l tng ng monoidal nu F : C C l mt hm t tng ng Khi ú ta cng núi phm trự monoidal C v phm trự monoidal C tng ng monoidal vi Gi s (F, F , F ) v (G, G, G ) l hai hm t monoidal t phm trự monoidal C n phm trự monoidal C Mi tờn hm t : F G c gi l mt mi tờn hm t monoidal nu cỏc biu sau giao hoỏn: FI FX,Y F F (X Y ) F X F Y XY GX,Y X Y G(X Y ) GX GY I (1.1.5) I G GI Gi s (F, F , F ) v (G, G, G ) l hai hm t monoidal t phm trự monoidal C n phm trự monoidal C Mt ng luõn (hay tng ng t nhiờn monoidal ) : F G ca hai hm t monoidal l mt tng ng t nhiờn cho cỏc biu (1.1.5) giao hoỏn Phm trự monoidal ó c mn húa tr thnh phm trự vi cu trỳc nhúm b sung khỏi nim vt kh nghch bi N S Rivano [30] vo nm 1972 Nu phm trự nn l mt groupoid (ngha l mi mi tờn u ng cu) thỡ ta c phm trự monoidal ging nhúm theo A Frăohlich v C T C Wall [12], hay Gr-phm trự theo H X Sớnh [31], hay nhúm phm trự theo P Carrasco v A R Garzún [7] 1.1.2 nh ngha ([31]) Mt nhúm phm trự l mt phm trự monoidal m tt c cỏc mi tờn u ng cu v mi vt u kh nghch theo ngha vi mi vt X u tn ti vt X cựng vi cỏc mi tờn ng cu X X I , X X I 1.2 i ng iu aben (i xng) ca cỏc nhúm aben Theo S MacLane [17], vi cỏc nhúm aben v A, cỏc nhúm i ng iu n (, A) (n = 1, 2, 3) ca nhúm aben ly h t nhúm aben A c aben Hab tớnh nh sau: (i) Mt 1-i chu trỡnh aben l mt ng cu ca cỏc nhúm aben f : A (ii) Mt 2-i chu trỡnh aben l ỏnh x f : A tha cỏc h thc f (y, z) + f (x, yz) = f (xy, z) + f (x, y) f (x, y) = f (y, x) (iii) Mt 3-i chu trỡnh aben l mt cp cỏc hm f (x, y, z) A, d(x, y) A tha cỏc h thc f (y, z, t) f (x + y, z, t) + f (x, y + z, t) + f (x, y, z + t) f (x, y, z) = d(x + y, z) d(y, z) d(x, z) + f (x, y, z) f (x, z, y) + f (z, x, y) = d(x, y + z) d(x, y) d(x, z) f (x, y, z) + f (y, x, z) f (y, z, x) = (1.2.1) Ti chiu v 2, i chu trỡnh aben ca cỏc nhúm aben trựng vi i chu trỡnh i xng ca cỏc nhúm aben Cũn 3-i chu trỡnh aben l mt 3-i chu trỡnh i xng h thc (1.2.1) c thay bi h thc d(x, y) = d(y, x) 1.3 Nhúm phm trự bn v phm trự Picard Phm trự monoidal bn v nhúm phm trự bn ó xut hin cụng trỡnh ca A Joyal v R Street [15] Mt trng hp riờng ca nhúm phm trự bn l phm trự Picard ó c nghiờn cu bi H X Sớnh [31] Mt phm trự monoidal bn (hay phm trự tenx bn) l mt phm trự monoidal C cựng vi ng cu t nhiờn c = (cX,Y ) : X Y Y X tha cỏc biu giao hoỏn: (X Y ) Z a X (Y Z) c (Y Z) X a cid (Y X) Z a Y (X Z) id c Y (Z X) (1.3.1) 29 B sau õy trỡnh by phộp dng m rng aben kiu mụun chộo aben cm sinh ng cu t hm t monoidal i xng ca cỏc phm trự Picard cht ch PBD v Diss Q, ú Diss Q = (Q, 0, 0) (v cng chớnh l phm trự Picard liờn kt vi mụun chộo aben (0, Q, 0)) 3.3.2 B Cho mụun chộo aben B D, nhúm aben Q v ng cu nhúm : Q Coker d Khi ú, vi mi hm t monoidal i xng (F, F ) : Diss Q PBD tha F (0) = v cm sinh cp ng cu (, 0) : (Q, 0) (Coker d, Ker d) tn ti m rng EF ca B bi Q kiu mụun chộo aben B D cm sinh M rng EF c gi l m rng tớch chộo liờn kt vi hm t monoidal i xng (F, F ) Chng minh Gi s (F, F ) : Diss Q PBD l mt hm t monoidal i xng Khi ú ta t hm f : Q ì Q B c xỏc nh f (u, v) = Fu,v Do Fu,v l mi tờn P nờn F (u) + F (v) = df (u, v) + F (u + v) Hn na, vỡ F (0) = v tớnh tng thớch ca (F, F ) vi cỏc rng buc cht ch ca Diss Q v PBD nờn f l mt hm chun tc tha f (v, t) + f (u, v + t) = f (u, v) + f (u + v, t), (3.3.4) f (u, v) = f (v, u) (3.3.5) Vi hm f c xỏc nh nh trờn, ta dng c tớch na trc tip E0 = [B, f, Q], ngha l E0 = B ìf Q cựng vi phộp toỏn (b, u) + (c, v) = (b + c + f (u, v), u + v) l mt nhúm aben cỏc h thc (3.3.4) v (3.3.5), ú phn t trung hũa l (0, 0) v phn t i ca (b, u) l (b, u) = (b f (u, u), u) Khi ú ta cú dóy khp cỏc nhúm aben j0 p0 EF : B E0 Q 0, ú j0 (b) = (b, 0), p0 (b, u) = u vi b B v u Q Mt khỏc, xột ỏnh x : E0 D c xỏc nh (b, u) = db + F (u), (b, u) E0 30 nh x ny l mt ng cu v hn na cp (idB , ) l mt ng cu ca cỏc mụun chộo aben Vy ta cú m rng kiu mụun chộo aben EF tha biu (3.3.1) Hn na, vi mi u Q, q(b, u) = q(db + F (u)) = qF (u) = (u), ngha l m rng EF cm sinh : Q Coker d Trong b trờn, hm f mụ t hm t monoidal i xng t Diss Q n PBD l mt h nhõn t i vi m rng aben kiu mụun chộo aben nh lý sau õy trỡnh by v s phõn lp cỏc m rng aben kiu mụun chộo ic aben nh vo cỏc hm t monoidal i xng Ký hiu HomP(,0) [Diss Q, PBD ] l cỏc lp ng luõn ca cỏc hm t monoidal i xng kiu (, 0) t Diss Q n PBD 3.3.3 nh lý (Lý thuyt Schreier cho cỏc m rng aben kiu mụun chộo aben) Cho mụun chộo aben B D, nhúm aben Q v ng cu : Q Coker d Khi ú tn ti mt song ỏnh ic : HomP(,0) [Diss Q, PBD ] Extab BD (Q, B, ) nu mt hai núi trờn khỏc rng Chng minh Bc 1: Hai hm t monoidal i xng (F, F ) v (F , F ) ng luõn v ch hai m rng tớch chộo liờn kt tng ng EF v EF tng ng Trc ht vỡ mi hm t monoidal i xng (F, F ) ng luõn vi mt hm t monoidal i xng (G, G) cú tớnh cht G(0) = nờn cỏc hm t monoidal i xng c s dng phộp chng minh ny c gi thit l cú tớnh cht ú Gi s F v F : Diss Q PBD l hai hm t monoidal i xng ng luõn bi ng luõn : F F Theo B 3.3.2, tn ti hai m rng EF v EF liờn kt tng ng vi F v F Khi ú t nh ngha ng luõn, ta cú = v biu sau giao hoỏn Fu + Fv Fu,v F (u + v) u+v u v F u+F v Fu,v F (u + v) 31 Ngha l Fu,v + u+v = u v + F u,v T h thc (3.1.2) v cỏch t Fu,v = f (u, v), Fu,v = f (u, v), ta c f (u, v) + u+v = u + v + f (u, v) (3.3.6) Xột ỏnh x : EF EF (b, u) (b + u , u) Khi ú h thc (3.3.6) kộo theo l mt ng cu Hn na, biu (3.3.2) l giao hoỏn Tip theo ta s ch = Do : F F l mt ng luõn nờn F (u) = d(u ) + F (u) Do ú (b, u) = (b + u , u) = d(b + u ) + F (u) = d(b) + d(u ) + F (u) = d(b) + F (u) = (b, u) Vy hai m rng EF v EF tng ng Ngc li, nu ng cu : EF EF l mt tng ng gia hai m rng thỡ c xỏc nh (b, u) = (b + u , u), ú ỏnh x : Q B tha = Thc hin ngc li tng bc lp lun trờn ta c l mt ng luõn ca F v F Bc 2: l ton ỏnh Gi s E l mt m rng E ca B bi Q kiu mụun chộo aben B D cm sinh : Q Coker d Ta chng t E tng ng vi mt m rng tớch chộo EF liờn kt vi mt hm t monoidal i xng (F, F ) : Diss Q PBD Vi mi u Q, ta chn phn t i din eu E cho p(eu ) = u v e0 = Mi phn t E cú th biu din nht di dng b + eu vi b B v u Q H i din {eu } cm sinh mt hm chun tc f : Q ì Q B xỏc nh bi eu + ev = f (u, v) + eu+v Khi ú ta cú th mụ t cu trỳc nhúm trờn E nh sau (b + eu ) + (c + ev ) = b + c + f (u, v) + eu+v (3.3.7) 32 Tip theo ta dng hm t monoidal i xng (F, F ) : Diss Q P nh sau Do (u) = p(eu ) = q(eu ) nờn (eu ) l mt i din ca (u) D Khi ú ta t F u = (eu ), Fu,v = f (u, v) H thc (3.3.7) chng t Fu,v l nhng mi tờn phự hp P Tớnh t nhiờn ca Fu,v v F (0) = l hin nhiờn iu ny cựng vi tớnh chun tc ca hm f (u, v) kộo theo tớnh tng thớch ca (F, F ) vi cỏc rng buc n v Lut kt hp v lut giao hoỏn ca phộp toỏn E kộo theo cỏc h thc (3.3.4) v (3.3.5) Hai h thc ny ln lt m bo cho (F, F ) tng thớch vi rng buc kt hp v rng buc giao hoỏn D thy F bo ton phộp hp thnh ca cỏc mi tờn Cui cựng, nh ng cu : (b, u) b + eu ta cú th kim tra c m rng tớch chộo EF liờn kt vi (F, F ) tng ng vi m rng E R Brown v O Mucuk ó phõn lp i ng iu cỏc m rng nhúm kiu mụun chộo (xem [3, nh lý 5.2]) nh lý sau õy phỏt biu kt qu tng t cho trng hp cỏc m rng aben kiu mụun chộo aben Phn chng minh ca nh lý c suy t lý thuyt cn tr ca cỏc hm t monoidal i xng (xem Mc 1.4) v lý thuyt Schreier cho cỏc m rng aben kiu mụun chộo aben (nh lý 3.3.3) Trc ht, chỳng tụi mụ t cn tr ca cp ng cu (, 0) : (Q, 0) (Coker d, Ker d) Gi s P = PBD l phm trự Picard cht ch liờn kt vi mụun chộo B D Khi ú vỡ (P) = Coker d v (P) = Ker d nờn phm trự Picard thu gn P(h) cú dng P(h) = (Coker d, Ker d, h), vi h Hs3 (Coker d, Ker d) Khi ú, theo (1.4.1) cp ng cu (, 0) : (Q, 0) (Coker d, Ker d) cm sinh mt cn tr h Zs3 (Q, Ker d) 3.3.4 nh lý Cho mụun chộo aben (B, D, d) v ng cu ca cỏc nhúm aben : Q Coker d Khi ú (i) S trit tiờu ca h Hs3 (Q, Ker d) l iu kin cn v tn ti m rng aben ca B bi Q kiu B D cm sinh ; 33 (ii) Khi h trit tiờu thỡ tn ti mt song ỏnh Extab BD (Q, B, ) Hs (Q, Ker d) Chng minh (i) Vỡ gi thit h = nờn theo Mnh 1.4.2 (ii), tn ti mt hm t monoidal i xng (, ) : Diss Q P(h) Bng vic ly hp thnh ca (, ) v hm t monoidal i xng chớnh tc (H, H) : P(h) P, ta c mt hm t monoidal i xng (F, F ) : Diss Q P, ú t B 3.3.2 ta thu c m rng tớch chộo liờn kt EF Ngc li, gi s tn ti m rng kiu mụun chộo aben tha biu (3.3.3) Gi P l phm trự Picard cht ch liờn kt vi mụun chộo B E Khi ú theo B 3.2.2, tn ti mt hm t monoidal i xng F : P P Vỡ phm trự Picard thu gn ca P l Diss Q nờn t Mnh 1.4.1, F cm sinh mt hm t monoidal i xng kiu (, 0) t Diss Q ti P(h) = (Coker d, Ker d, h) Hn na, Mnh 1.4.2 (ii) kộo theo cn tr ca cp (, 0) trit tiờu Hs3 (Q, Ker d), ngha l h = (ii) Do P(h) l phm trự Picard thu gn ca P nờn tn ti mt song ỏnh t nhiờn ic ic HomP(,0) [Diss Q, P] HomP(,0) [Diss Q, P(h)] (3.3.8) Vỡ (Diss Q) = Q v (P (h)) = Ker d nờn t song ỏnh (3.3.8), nh lý 3.3.3 v Mnh 1.4.2 (ii) ta c ExtBD (Q, B, ) Hs2 (Q, Ker d) nh lý ó c chng minh Trng hp ng cu d ca mụun chộo aben M l n cu, biu (3.3.3) chng t rng (E : B E Q) nhn c t m rng (D : B D Coker d) bi (xem [13, tr 212] v [19, tr 113]) Do Ker d = nờn t nh lý 3.3.4, ta nhn c mt kt qu quen thuc sau 3.3.5 H qu Cho m rng nhúm aben D : B D C v ng cu : Q C ca cỏc nhúm aben Khi ú tn ti m rng D v m rng ny c xỏc nh nht sai khỏc mt tng ng 34 KT LUN V KIN NGH Kt lun ti ó thu c cỏc kt qu chớnh sau õy: - Xõy dng tng ng phm trự gia phm trự cỏc mụun chộo bn vi phm trự cỏc nhúm phm trự cht ch bn; - Xõy dng tng ng phm trự cho phm trự cỏc mụun chộo aben v phm trự cỏc phm trự Picard cht ch; - Phỏt biu v gii bi toỏn m rng aben kiu mụun chộo aben Kin ngh Trong thi gian ti, chỳng tụi d nh nghiờn cu cỏc sau õy: - Nhúm phm trự phõn bc cht ch bn; - Tng ng phm trự cho phm trự cỏc mụun chộo ng bin bn; - Bi toỏn m rng kiu mụun chộo ng bin aben 35 TI LIU THAM KHO Ting Anh [1] E Aldrovandi and B Noohi (2009), Butterflies I Morphisms of 2-group stacks, Adv Math., 221(3), 687773 [2] J C Baez and A D Lauda (2004), Higher-dimensional algebra V 2-groups, Theory Appl Categ., 12, 423491 [3] R Brown and O Mucuk (1994), Covering groups of nonconnected topological groups revisited, Math Proc Cambridge Philos Soc., 115(1), 97110 [4] R Brown and C B Spencer (1976), G-groupoids, crossed modules and the fundamental groupoid of a topological group, Nederl Akad Wetensch Proc Ser A 79=Indag Math., 38(4), 296302 [5] M Bullejos, P Carrasco and A M Cegarra (1993), Cohomology with coefficients in symmetric cat-groups An extension of Eilenberg-MacLanes classification theorem, Math Proc Cambridge Philos Soc., 114(1), 163189 [6] P Carrasco, A M Cegarra and A R.-Grandjeỏn (2002), (Co)homology of crossed modules Category theory 1999, J Pure Appl Algebra, 168(2-3), 147176 [7] P Carrasco and A R Garzún (2004), Obstruction theory for extensions of categorical groups Homotopy theory, Appl Categ Structures 12(1), 3561 [8] A M Cegarra and E Khmaladze (2007), Homotopy classification of graded Picard categories, Adv Math., 213(2), 644686 [9] S Eilenberg and S MacLane (1947), Cohomology theory in abstract groups II, Group extensions with a non-Abelian kernel, Ann Math 48(2), 326-341 [10] S Eilenberg and S MacLane, Cohomology theory of Abelian groups and homotopy theory I, II, III, Proc Nat Acad Sci U S A., 36, (1950), 443 447; 36, (1950), 657663; 37, (1951), 307310 36 [11] S Eilenberg and S MacLane, On the groups H(, n) I, II, Ann of Math., 58, (1953), 55106; 60, (1954), 49139 [12] A Frăohlich and C T C Wall (1974), Graded monoidal categories, Compositio Math., 28, 229285 [13] L Fuchs (1970), Infinite abelian groups Vol I Pure and Applied Mathematics, Academic Press, New York-London [14] A R Garzún and A Del Rớo (2005), Equivariant extensions of categorical groups, Appl Categ Structures, 13(2), 131140 [15] A Joyal and R Street (1993), Braided tensor categories, Adv Math., 102(1), 2078 [16] M L Laplaza (1983), Coherence for categories with group structure: an alternative approach, J Algebra, 84(2), 305323 [17] S MacLane (1952), Cohomology theory of Abelian groups, Amer Math Soc., Providence, R I., 2, 814 [18] S MacLane (1963), Natural associativity and commutativity, Rice Univ Studies, 49(4), 2846 [19] S MacLane (1963), Homology, Springer-Verlag, New York [20] B Noohi (2007), Notes on 2-groupoids, 2-groups and crossed modules, Homology, Homotopy Appl., 9(1), 75106 [21] K Norrie (1990), Actions and automorphisms of crossed modules, Bull Soc Math France, 118(2), 129146 [22] N T Quang (1994), Ann-categories and the Mac Lane-Shukla cohomology of rings Abelian groups and modules, No 11, 12 (Russian), 166183, Tomsk Gos Univ., Tomsk [23] N T Quang, P T Cuc and N T Thuy (2014), Crossed modules and strict Gr-categories, Communications of the Korean Mathematical Society, 29(1), 922 [24] N T Quang, N T Thuy and P T Cuc (2011), Monoidal functors between (braided) Gr-categories and their applications, East-West J Math., 13(2), 163186 37 [25] N T Quang, C T K Phung and N S Tung (2013), Abelian crossed modules and strict Picard categories, Albanian Journal of Mathematics, 7(1), 3748 [26] R L Taylor (1953), Compound group extensions I Continuations of normal homomorphisms, Trans Amer Math Soc., 75, 106135 [27] J H C Whitehead (1949), Combinatorial homotopy II, Bull Amer Math Soc., 55, 453496 Ting Phỏp [28] J Bộnabou (1963), Catộgories avec multiplication, C R Acad Sci Paris, 256, 18871890 [29] P Dedecker (1964), Les foncteurs Ext , H2 et H2 non abộliens, C R Acad Sci Paris, 258, 48914894 [30] N S Rivano (1972), Catộgories Tannakiennes, Lecture Notes in Mathematics, 265, Springer-Verlag, Berlin-New York [31] H X Sinh (1975), Gr-catộgories, Thốse de doctorat, Universitộ Paris VII [32] H X Sinh (1978), Gr-catộgories strictes, Acta Math Vietnam, 3(2), 4759 U BAN NHN DN THNH PH H CH MINH TRNG I HC SI GềN THUYT MINH TI NGHIấN CU KHOA HC CP C S M S (do cỏn b qun lý ghi) TấN TI Mụun chộo aben v phm trự Picard cht ch LNH VC NGHIấN CU T nhiờn Kinh t; XH-NV x LOI HèNH NGHIấN CU K thut Mụi trng Nụng Lõm ATL C bn ng dng Trin khai x S hu Giỏo dc Y Dc trớ tu THI GIAN THC HIN 12 thỏng T thỏng 04 nm 2014 n thỏng 03 nm 2015 N V QUN Lí V CHUYấN MễN Khoa: Toỏn - ng dng T b mụn: i s - Toỏn s cp CH NHIM TI H v tờn: Ch Th Kim Phng Nm sinh: 1981 Chc danh khoa hc: Hc v: ThS-NCS n v cụng tỏc: Khoa Toỏn - ng dng a ch nh riờng: in thoi nh riờng: Di ng: 0916918008 E-mail: ctkphung@outlook.com NHNG THNH VIấN THAM GIA NGHIấN CU TI H v tờn n v cụng tỏc v lnh vc chuyờn mụn Ni dung nghiờn cu c th c giao ThS Ch Th Kim Phng Khoa Toỏn - ng dng Ch trỡ ti, trc tip t chc v thc hin nghiờn cu ThS Nguyn Th Võn Khỏnh Khoa Toỏn - ng dng TT Ch ký Tham gia ti N V PHI HP CHNH Tờn n v v ngoi trng Ni dung phi hp nghiờn cu H v tờn ngi i din n v 10 TNG QUAN TèNH HèNH NGHIấN CU THUC LNH VC CA TI TRONG V NGOI NC 10.1 Tỡnh hỡnh nghiờn cu thuc lnh vc ca ti: Lý thuyt phm trự vi tớch tenx bt u c nghiờn cu bi Bộnabou [1] v MacLane [10] Cỏc tỏc gi ó xột cỏc phm trự trờn ú cú trang b mt phộp toỏn tenx cựng vi ng cu kt hp a v cỏc ng cu n v l, r tha mt s biu giao hoỏn MacLane [10] gi phm trự ny l phm trự monoidal v a iu kin cho tớnh khp ca cỏc ng cu t nhiờn a, l v r Tỏc gi cng a iu kin cho tớnh khp ca cỏc ng cu t nhiờn mt phm trự monoidal i xng, tc l mt phm trự monoidal cú thờm ng cu giao hoỏn c Sau ú, lý thuyt phm trự monoidal ó c nhiu nh toỏn hc quan tõm v phỏt trin theo nhiu hng khỏc Phm trự monoidal cú th c mn húa tr thnh phm trự vi cu trỳc nhúm bng vic b sung vt kh nghch (xem Laplaza [9] v Rivano [16] Nu phm trự nn l mt phng nhúm (ngha l mi mi tờn u ng cu) thỡ ta c phm trự monoidal ging nhúm (xem Frohlich v Wall [7]) hay nhúm phm trự (xem H X Sớnh [17]) S phõn lp cỏc nhúm phm trự bi i ng iu nhúm ó c H X Sớnh trỡnh by [17] Phm trự monoidal bờn ó xut hin cụng trỡnh ca Joyal v Street [8] v l s m rng ca khỏi nim phm trự monoidal i xng Cỏc tỏc gi ó phõn lp cỏc nhúm phm trự bn bi phm trự cỏc hm quadratic da trờn kt qu ca Eilenberg v MacLane v biu din hm quadratic bi nhúm i ng iu aben Trc ú, trng hp nhúm phm trự i xng (hay phm trự Picard) ó c phõn lp bi H X Sớnh [17] Trng hp tng quỏt hn ca nhúm phm trự ó c a bi Frohlich vWall [7] vi tờn gi l nhúm phm trự phõn bc Sau ny, Cegarra v Khmaladze ó nghiờn cu nhúm phm trự phõn bc bn (xem [6]) v phm trự Picard phõn bc (xem [5]) Cỏc cu trỳc ny ln lt l cỏc trng hp tng quỏt ca nhúm phm trự bn (xem Joyal v Street [6]) v phm trự Picard (xem H X Sớnh [17]) Cỏc nh lý phõn lp cho cỏc nhúm phm trự phõn bc, cỏc nhúm phm trự phõn bc bn v phm trự Picard phõn bc ó c trỡnh by bi Cegarra v cỏc cng s ln lt [4], [6] v [5] Mt cỏch c lp, khỏi nim mụun chộo ó c gii thiu bi Whitehead [18] v c s dng rng rói nhiu lnh vc Sau ú, cỏc cu trỳc liờn quan n mụun chộo ó nhn c s quan tõm ca nhiu tỏc gi, chng hn nh: mụun chộo bn (xem Joyal v Street [8]), mụun chộo aben (xem Carrasco v cỏc cng s [3]), -mụun chộo v -mụun chộo bn (xem Noohi [11]), Brown v Spencer [2] ó ch rng cỏc mụun chộo c nghiờn cu bi cỏc nhúm phm trự cht ch Mt s kt qu gn õy theo hng nghiờn cu ny thuc v N T Quang v P T Cỳc [12, 13]; N T Quang, P T Cỳc v N T Thy [14]; N T Quang, C T K Phng v N S Tựng [15] 10.2 Ti liu tham kho [1] Bộnabou J (1963), Catộgories avec multiplication, C R Acad Sci Paris, 256,1887-1890 [2] Brown R and Spencer C B (1976), G-groupoids, crossed modules and the fundamental groupoid of a topological group, Nederl Akad Wetensch Proc Ser A 79=Indag Math., 38 (4), 296 302 [3] Carrasco P., Cegarra A M and R.-Grandjeán A (2002), (Co)homology of crossed modules Category theory 1999, J Pure Appl Algebra, 168 (2-3), 147 176 [4] Cegarra A M., Garcớa-Calcines J M and Ortega J A (2002), On graded categorical groups and equivariant group extensions, Canad J Math., 54 (5), 970-997 [5] Cegarra A M and Khmaladze E (2007), Homotopy classification of graded Picard categories, Adv Math., 213(2), 644-686 [6] Cegarra A M and Khmaladze E (2007), Homotopy classification of braided graded categorical groups, J Pure Appl Algebra, 209(2), 411-437 [7] Frohlich A and Wall C T C (1974), Graded monoidal categories, Compositio Math., 28, 229285 [8] Joyal A and Street R (1993), Braided tensor categories, Adv Math., 102 (1), 20 78 [9] Laplaza M L (1983), Coherence for categories with group structure: an alternative approach, J Algebra, 84(2), 305-323 [10] Mac Lane S (1963), Natural associativity and commutativity, Rice Univ Studies, 49(4), 28-46 [11] Noohi B (2011), Group cohomology with coefficients in a crossed module, J Inst Math Jussieu, 10 (2), 359 404 [12] Quang N T and Cuc P T (2012), Crossed bimodules over rings and Shukla cohomology, Math Commun., 17(2), 575 598 [13] Quang N T and Cuc P T., Equivariant crossed modules and Cohomology of group with operators, arXiv:1320.4573v1 [math.CT] 19 Feb 2013 [14] Quang N T., Cuc P T and Thuy N T (2014), Crossed modules and strict categorical groups, Communications of the Korean Mathematical Society, 29(1), 9-22 [15] Rivano N S (1972), Catộgories Tannakiennes, Lecture Notes in Mathematics, 265 SpringerVerlag, Berlin-New York [16] Sinh H X (1975), Gr-catộgories, Universitộ Paris VII, Thốse de doctorat [17] Whitehead J H C (1949), Combinatorial homotopy II, Bull Amer Math Soc., 55, 453 496 11 TNH CP THIT CA TI Vic phõn lp cỏc mụun chộo bi cỏc G-groupoid ó c nghiờn cu bi Brown v Spencer [2] Sau ú, N T Quang v cỏc cng s [14] ó phõn lp cỏc mụun chộo nh vo cỏc nhúm phm trự cht ch Theo hng nghiờn cu ny, tụi nhn thy rng cỏc mụun chộo aben cn c quan tõm nghiờn cu bi lý thuyt phm trự 12 MC TIấU TI - Phõn lp cỏc mụun chộo aben bi phm trự Picard cht ch - Phõn lp cỏc m rng aben kiu mụun chộo aben 13 I TNG, PHM VI NGHIấN CU, CCH TIP CN V PHNG PHP NGHIấN CU - i tng: Phm trự Picard, mụun chộo v m rng nhúm kiu mụun chộo - Phm vi nghiờn cu: Tớnh cht ch ca Phm trự Picard, cỏc m rng aben kiu mụun chộo - Phng phỏp nghiờn cu: S dng phng phỏp nghiờn cu lý thuyt quỏ trỡnh thc hin ti V mt k thut, s dng phng phỏp dựng h nhõn t v i ng iu aben 14 NI DUNG NGHIấN CU V TIN THC HIN 14.1 Ni dung nghiờn cu Ni dung Nghiờn cu cỏc kin thc c s Ni dung Phõn lp cỏc mụun chộo aben bi phm trự Picard cht ch Ni dung Phõn lp cỏc m rng aben kiu mụun chộo aben 14.2 Tin thc hin TT Cỏc ni dung, cụng vic thc hin Sn phm Thi gian (04/2014-03/2015) Ngi thc hin Ni dung 1 chuyờn 04/2014-05/2014 Ch Th Kim Phng Nguyn Th Võn Khỏnh Ni dung chuyờn 06/2014-08/2014 Ch Th Kim Phng Ni dung chuyờn 09/2014-11/2014 Ch Th Kim Phng Bỏo cỏo khoa hc bui xemina 12/2014 Ch Th Kim Phng Nguyn Th Võn Khỏnh Hon thin bỏo cỏo bỏo cỏo 01/2015-03/2015 Ch Th Kim Phng Nguyn Th Võn Khỏnh 15 SN PHM 15.1 Loi sn phm Mu Ging cõy trng Tiờu chun Ti liu d bỏo Phng phỏp Dõy chuyn cụng ngh Sỏch Vt liu Ging vt nuụi Qui phm ỏn Chng trỡnh mỏy tớnh Bỏo cỏo phõn tớch Bi bỏo khoa hc x Thit b mỏy múc Qui trỡnh cụng ngh S , bn thit k Lun chng kinh t Bn kin ngh Bn quy hoch Bi ng k yu hi ngh 15.2 Cỏc sn phm khỏc 15.3 Tờn sn phm, s lng v yờu cu khoa hc i vi sn phm Stt Tờn sn phm S lng Yờu cu khoa hc Bỏo cỏo khoa hc cha ni - Bỏo cỏo khoa hc ỳng th thc 01 dung ca mt bi bỏo khoa hc - Bi bỏo cụng b trờn khoa hc 16 HIU QU V A CH NG DNG 16.1 Hiu qu ca ti - ti gúp phn to mt hng nghiờn cu mi cho ging viờn v sinh viờn Khoa Toỏn - ng dng, Trng i hc Si Gũn; - ti l mt ti liu tham kho cho sinh viờn, hc viờn cao hc chuyờn ngnh i s v lý thuyt s 16.2 a ch ng dng Khoa Toỏn - ng dng, Trng i hc Si Gũn 17 KINH PH THC HIN TI V NGUN KINH PH Tng kinh phớ: 20.000.000 (hai mi triu ng) Trong ú: Ngõn sỏch Nh nc: 20.000.000 Cỏc ngun kinh phớ khỏc: D trự kinh phớ theo cỏc mc chi (phự hp vi ni dung nghiờn cu): n v tớnh: ng Khon chi 1) Chi tin cụng: (ghi tng s theo mc ny) - iu tra, kho sỏt ban u, xõy dng cng, thuyt minh, - Lp phiu iu tra, cung cp thụng tin, thuờ cỏn b nghiờn cu thc a, - Thự lao ch nhim ti, qun lý chung 2.000.000 2) Chi phớ chuyờn mụn nghip v: (ghi tng s theo mc ny) - Dng c, nguyờn vt liu, phũng phm, ti liu phc v nghiờn cu, - Thuờ khoỏn thc hin ti, nghiờn cu chuyờn , phõn tớch mu thớ nghip, x lý s liu, - Bỏo cỏo tng kt ti, nghim thu, ỏnh giỏ, 14.000.000 3) Chi phớ khỏc: (ghi tng s theo mc ny) Cụng tỏc phớ, hi ngh, hi tho, in n, thuờ phng tin, a im nghiờn cu, Tng s Ngy thỏng 06 nm 2014 Xỏc nhn ca Khoa Toỏn - ng dng Kinh phớ 3.000.000 1.000.000 20.000.000 Ngy 04 thỏng 06 nm 2014 Ch nhim ti [...]... liên kết với các môđun chéo aben tương ứng Điều này làm cơ sở cho việc xác định mũi tên trong phạm trù các môđun chéo aben và chứng minh phạm trù này tương đương với phạm trù các phạm trù Picard chặt chẽ (Định lý 3.2.5) Tiếp theo, chúng tôi phát biểu và giải bài toán mở rộng aben kiểu môđun chéo aben (Định lý 3.3.3, Định lý 3.3.4) 3.1 Phạm trù Picard chặt chẽ liên kết với môđun chéo aben Trong mục này,... trong đó J và J ∗ là các hàm tử nhúng (ii) Giả sử BrCross là phạm trù con của BrCross, có vật là các môđun chéo bện và mũi tên là các đồng cấu của các môđun chéo bện (ϕ = 0), BrGr∗ là phạm trù con của BrGr∗ , có vật là các nhóm phạm trù chặt chẽ bện và mũi tên là các hàm tử monoidal chặt chẽ (F = id) Khi đó hai phạm trù này tương đương qua Φ 23 CHƯƠNG 3 MÔĐUN CHÉO ABEN VÀ PHẠM TRÙ PICARD CHẶT CHẼ Từ khái... trù cho phạm trù các môđun chéo aben và phạm trù các phạm trù Picard chặt chẽ; - Phát biểu và giải bài toán mở rộng aben kiểu môđun chéo aben 2 Kiến nghị Trong thời gian tới, chúng tôi dự định nghiên cứu các vấn đề sau đây: - Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện; - Tương đương phạm trù cho phạm trù các môđun chéo đẳng biến bện; - Bài toán mở rộng kiểu môđun chéo đẳng biến aben 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng... nhóm aben, ϑ0 được cho bởi liên hợp (ii) (B, 1, d, 0) là một môđun chéo aben với d là một đồng cấu của các nhóm aben Chúng tôi gọi một phạm trù Picard chặt chẽ là một nhóm phạm trù chặt chẽ đối xứng, trong đó ràng buộc giao hoán c = id Trong Chương 2, chúng tôi đã trình bày phép dựng nhóm phạm trù chặt chẽ bện PM của một môđun chéo bện M và ngược lại, phép dựng môđun chéo bện MP của một nhóm phạm trù chặt. .. Picard chặt chẽ Khi đó, ta dựng được MP là môđun chéo liên kết với P thỏa mãn Φ(MP ) = P Vì vậy Φ là một tương đương phạm trù R Brown và C B Spencer đã thiết lập một tương đương giữa phạm trù các môđun chéo và phạm trù các G -groupoid (xem [4, Định lý 1]) Hệ quả sau đây sẽ đề cập kết quả tương tự cho trường hợp các môđun chéo aben và phạm trù Picard chặt chẽ 3.2.6 Hệ quả Giả sử AbCross∗ là phạm trù con... P là một nhóm phạm trù chặt chẽ bện Khi đó ta xây dựng được môđun chéo bện MP liên kết với P và thỏa mãn Φ(MP ) = P Vậy Φ là một tương đương phạm trù 2.2.6 Nhận xét (i) Giả sử SymCross là phạm trù con đầy của phạm trù BrCross, có vật là các môđun chéo đối xứng, PiGr∗ là phạm trù con đầy của BrGr∗ , có vật là các 22 nhóm phạm trù chặt chẽ đối xứng Khi đó hai phạm trù con này tương đương và biểu đồ sau... nhóm aben D : B → D → C và đồng cấu ψ : Q → C của các nhóm aben Khi đó tồn tại mở rộng Dψ và mở rộng này được xác định duy nhất sai khác một tương đương 34 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1 Kết luận Đề tài đã thu được các kết quả chính sau đây: - Xây dựng tương đương phạm trù giữa phạm trù các môđun chéo bện với phạm trù các nhóm phạm trù chặt chẽ bện; - Xây dựng tương đương phạm trù cho phạm trù các môđun chéo. .. chứng minh phạm trù các môđun chéo bện tương đương với phạm trù các nhóm phạm trù chặt chẽ bện (Định lý 2.2.5) 2.1 Nhóm phạm trù bện liên kết với môđun chéo bện A Joyal và R Street [15] đã chỉ ra rằng mỗi môđun chéo bện được xác định bởi một nhóm phạm trù chặt chẽ bện và ngược lại Để tiện theo dõi, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết khẳng định này Ta ký hiệu phép toán trong B là phép cộng và phép toán... 2 MÔĐUN CHÉO BỆN VÀ NHÓM PHẠM TRÙ CHẶT CHẼ BỆN R Brown và C B Spencer đã chỉ ra rằng phạm trù các môđun chéo tương đương với phạm trù các G -groupoid (xem [4, Định lý 1]) Sau đó, N T Quang và các cộng sự [23] không chỉ biểu diễn kết quả trên bằng ngôn ngữ của lý thuyết nhóm phạm trù mà còn nghiên cứu mối liên hệ giữa các đồng cấu môđun chéo với các hàm tử monoidal của các nhóm phạm trù chặt chẽ liên... con của phạm trù AbCross, có mũi tên là các đồng cấu của các môđun chéo aben (tức là ϕ = 0), và Picstr∗ là phạm trù con của phạm trù Picstr, có mũi tên là các hàm tử monoidal đối xứng chặt chẽ (F = id) Khi đó hai phạm trù này tương đương qua Φ 3.3 Mở rộng aben kiểu môđun chéo aben R Brown và O Mucuk [3] đã giải thích định lý về sự tồn tại và phân lớp đối đồng điều các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo bằng ... lý 2.2.5) Chng nghiờn cu phm trự Picard cht ch phõn lp mụun chộo aben v m rng aben kiu mụun chộo aben Mc 3.1 ch rng mi mụun chộo aben c xõy dng t mt phm trự Picard cht ch v ngc li Mc 3.2 trỡnh... X I 9 1.2 i ng iu aben (i xng) ca cỏc nhúm aben Theo S MacLane [17], vi cỏc nhúm aben v A, cỏc nhúm i ng iu n (, A) (n = 1, 2, 3) ca nhúm aben ly h t nhúm aben A c aben Hab tớnh nh sau:... 3.3.4) 3.1 Phm trự Picard cht ch liờn kt vi mụun chộo aben Trong mc ny, chỳng tụi ch rng mụun chộo aben c gii thớch bi phm trự Picard cht ch v ngc li 3.1.1 nh ngha ([6]) Mt mụun chộo aben l mt mụun