1 MỤC LỤC lời nói đầu không gian đối xứng 1.1 không gian đối xứng 1.2 không gian đối xứng cauchy 19 không gian g-trải 27 2.1 không gian g-trải 27 2.2 không gian g-trải mạnh 38 kết luận 42 tài liệu tham khảo 43 LỜI NÓI ĐẦU Khái niệm không gian đối xứng Y.Tanaka giới thiệu năm 1973 báo On symmetric spaces nêu tài liệu tham khảo ([8]) Trong đó, ông giới thiệu tính chất di truyền không gian đối xứng bảo tồn không gian đối xứng qua ánh xạ Gần đây, vào năm 2006 báo Arount quotient compac images, and symmetric spaces giới thiệu tài liệu tham khảo ([9]), ông đưa số đặc trưng không gian đối xứng Bên cạnh đó, loại không gian đối xứng đặc biệt không gian đối xứng Cauchy quan tâm nghiên cứu Không gian g -trải được nghiên cứu từ cuối kỉ trước Năm 2004, báo A note on g -developable nêu tài liệu tham khảo ([12]), tác giả Z Li, S Lin P Yan đưa mệnh đề tương đương với khái niệm không gian g -trải được, qua rõ mối quan hệ không gian g -trải không gian đối xứng Cauchy Khái niệm không gian g -trải mạnh mở rộng từ không gian g -trải quan tâm nghiên cứu Trên sở báo A note on g -developable On symmetric spaces hướng dẫn nghiêm khắc nhiệt tình NGƯT.PGS.TS Trần Văn Ân, tiếp cận hướng nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày tính chất đặc trưng không gian đối xứng, không gian đối xứng Cauchy; trình bày mệnh đề tương đương với không gian g -trải xét bảo tồn không gian g -trải mạnh qua ánh xạ Với mục đích đó, luận văn trình bày hai chương Chương Không gian đối xứng Trong chương này, nhắc lại khái niệm lưới, sn-lưới, cs-lưới, sở yếu, đưa số tính chất loại lưới mối quan hệ chúng Trình bày khái niệm loại phủ, không gian đối xứng, không gian đối xứng Cauchy Đưa chứng minh chi tiết tính chất di truyền bảo tồn không gian đối xứng qua ánh xạ Bên cạnh đó, chương trình bày khái niệm họ có tính chất σ -(P ), trải yếu, σ -lưới mạnh, σ -(P )-lưới mạnh số tính chất không gian đối xứng Cauchy với σ -(P )-lưới mạnh, số tính chất phủ không gian đối xứng Cauchy xây dựng hệ Ponomarev Chương Không gian g -trải Phần đầu chương nhắc lại khái niệm loại ánh xạ, mối liên hệ chúng Tiếp theo, trình bày khái niệm không gian g -trải được, không gian g -trải mạnh, không gian g -khả mêtric, ℵ-không gian Chứng minh chi tiết định lý mệnh đề tương đương với khái niệm không gian g -trải Đưa số kết bảo tồn không gian g -trải được, không gian g -trải mạnh qua ánh xạ Do khuôn khổ luận văn, số kết báo trích dạng bổ đề không chứng minh có thích tài liệu tham khảo Những kết mà luận văn đạt chủ yếu dược tổng kết phát triển từ báo Bên cạnh đó, luận văn đạt số kết Trong toàn luận văn, cho không gian X , Y , ta hiểu X , Y , không gian tôpô qui ước tất không gian T1 qui khái niệm thuật ngữ khác không nói thêm hiểu thông thường Nhân dịp cho phép tác giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới NGƯT.PGS.TS Trần Văn Ân người thầy tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, thầy cô giáo Tổ giải tích, Khoa Toán, Khoa Sau đại học nhiệt tình giảng dạy, cuối tác giả cảm ơn tất bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 16 - Giải tích động viên giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, nhiên luận văn tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, mong nhận lời dạy quí báu thầy cô giáo ý kiến đóng góp bạn đọc Vinh, tháng 11 năm 2010 Tác giả Một số kí hiệu viết luận văn N kí hiệu tập hợp tất số tự nhiên khác R+ kí hiệu tập hợp tất số thực dương Một dãy không gian kí hiệu {xn } giả sử dãy hội tụ chứa điểm giới hạn Kí hiệu P(X) họ gồm tất tập X Giả sử f : X → Y ánh xạ P họ tập X , kí hiệu P = {P : P ∈ P}, P = {P : P ∈ P}, f (P) = {f (P ) : P ∈ P}, Px = {P ∈ P : x ∈ P } P Q = {P ∩ Q : P ∈ P, Q ∈ Q}, St(x, P) = Px Giả sử A, B , K tập không gian X A ⊂ K Khi đó, A bao đóng A X , A \ B hiệu hai tập hợp A B , IntA phần tập A X , IntK A phần tập A K CHƯƠNG KHÔNG GIAN ĐỐI XỨNG 1.1 không gian đối xứng 1.1.1 Định nghĩa ([5]) Cho X không gian P ⊂ X (1) Dãy {xn } gọi nằm P từ lúc (eventually in P ) tồn số n0 ∈ N cho {x} ∪ {xn : n ≥ n0 } ⊂ P {xn } thường xuyên gặp (frequently) P có dãy {xn } nằm P từ lúc (2) P gọi lân cận dãy (sequential neighborhood) x ∈ X với dãy {xn } hội tụ tới x {xn } nằm P từ lúc (3) X gọi không gian dãy (sequential) với tập A không đóng X , có dãy A hội tụ tới điểm không thuộc A 1.1.2 Nhận xét Hai mệnh đề sau tương đương (1) X không gian dãy (2) Với A ⊂ X , A lân cận dãy điểm thuộc A mở X Chứng minh Giả sử X thỏa mãn (1) A ⊂ X cho A lân cận dãy điểm thuộc Ta chứng minh A mở X Nếu trái lại, tập A không mở X , X \ A tập không đóng Do có dãy nằm X \ A hội tụ tới điểm thuộc A Điều mâu thuẫn với giả thiết A lân cận dãy điểm thuộc Vậy A mở X Ngược lại, không gian X thỏa mãn (2) A ⊂ X tập không đóng X Khi đó, X \ A tập không mở Theo giả thiết (2) có điểm x ∈ X \ A cho X \ A không lân cận dãy x, nghĩa có dãy {xn } hội tụ tới x {xn } không nằm X \ A từ lúc Khi có dãy {xn } nằm A hội tụ tới x ∈ A Vậy X không gian dãy 1.1.3 Định nghĩa ([2]) Cho X không gian P phủ X (1) Ta nói X xác định P (X is determined by P ), P xác định X (P determined X ), U ⊂ X mở (tương ứng, đóng) X U ∩ P mở (tương ứng, đóng) P với P ∈ P (2) X k -không gian (k-space) X xác định phủ gồm tất tập compắc X 1.1.4 Nhận xét (1) Không gian dãy xác định phủ gồm tất tập compắc mêtric X (2) Không gian dãy ⇒ k -không gian 1.1.5 Định nghĩa ([5]) Giả sử P họ gồm tập X (1) P gọi lưới (network) X với x ∈ X U lân cận x, tồn P ∈ P cho x ∈ P ⊂ U (2) P gọi lưới (network) x X x ∈ P với lân cận U x X , tồn P ∈ P cho x ∈ P ⊂ U (3) P gọi cs-lưới (cs-network) với dãy {xn } hội tụ tới x ∈ X U lân cận x, tồn P ∈ P số m ∈ N cho {x} ∪ {xn : n ≥ m} ⊂ P ⊂ U 1.1.6 Định nghĩa ([5]) Giả sử P = {Px : x ∈ X} phủ không gian X x ∈ X , P thỏa mãn điều kiện sau (a) Px lưới x (b) Nếu P1 , P2 ∈ Px tồn P ∈ Px cho P ⊂ P1 ∩ P2 (1) P sở yếu (weak base) X với G ⊂ X , G mở X với x ∈ G, tồn P ∈ Px cho x ∈ P ⊂ G; Px gọi sở lân cận yếu x P ∈ Px gọi lân cận yếu x (2) P sn-lưới (sn-network) X với x ∈ X , phần tử Px lân cận dãy x; Px gọi sn-lưới x (3) Không gian X gọi gf -đếm (gf -countable), X có sở yếu P = {Px : x ∈ X} cho Px họ đếm x ∈ X 1.1.7 Nhận xét ([9]) (1) Cơ sở yếu ⇒ sn-lưới ⇒ cs-lưới ⇒ lưới (2) Trong không gian dãy, sở yếu ⇔ sn-lưới (3) Mỗi lân cận yếu lân cận dãy 1.1.8 Định nghĩa Giả sử P phủ không gian X (1) P gọi sn-phủ (sn-cover) ([5]), với P ∈ P , P lân cận dãy phần tử x thuộc X với x ∈ X tồn P ∈ P cho P lân cận dãy x (2) P gọi cs-phủ (cs-cover) ([5]), với dãy hội tụ {xn } X , tồn P ∈ P cho {xn } nằm từ lúc P (3) P gọi cf p-phủ (cf p-cover) ([12]) tập compắc X có họ hữu hạn {Ki : i ∈ J} tập đóng K họ {Pi : i ∈ J} ⊂ P cho K = {Ki : i ∈ J} Ki ⊂ Pi P gọi cf p-phủ X với tập compắc K tồn họ hữu hạn P ∗ ⊂ P cho P ∗ cf p-phủ X K X K 1.1.9 Định nghĩa Giả sử P họ gồm tập X (1) P họ đếm theo điểm (point-countable) ([2]) [tương ứng, hữu hạn theo điểm (point-finite)], x ∈ X thuộc nhiều đếm [tương ứng, hữu hạn] phần tử thuộc P (2) P họ compắc-đếm (compact-countable) ([11]) [tương ứng, compắchữu hạn(compact-finite)], tập compắc K ∈ X giao với nhiều đếm [tương ứng, hữu hạn] phần tử thuộc P (3) P họ hữu hạn địa phương (locally finite) ([7]) [tương ứng, đếm địa phương (locally countable)], với x ∈ X , tồn lân cận V X cho V có giao với nhiều hữu hạn [tương ứng, không đếm được] phần tử thuộc P 1.1.10 Định nghĩa ([5]) Không gian X gọi không gian đối xứng (symmetric space) có hàm thực không âm d xác định X × X thỏa mãn (1) d(x, y) = x = y ; (2) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X ; (3) Với G ⊂ X , G mở X với x ∈ G, tồn n ∈ N cho S n1 (x) ⊂ G, S n1 (x) = {y ∈ X : d(x, y) < n1 } Khi đó, hàm thực không âm d gọi đối xứng (symmetric) không gian X {Px : x ∈ X} với Px = {S n1 (x) : n ∈ N} sở yếu X , X gf -đếm S n1 (x) lân cận dãy x (2) Cho {rn } dãy số thực dương dần Khi đó, họ {Px : x ∈ X} với Px = {Srn (x) : n ∈ N} cở yếu X Hơn nữa, với r ∈ R+ Sr (x) lân cận dãy x X (3) P = {Px : x ∈ X} cs-phủ X (4) Không gian đối xứng ⇒ không gian gf -đếm ⇒ không gian dãy ⇒ k -không gian 1.1.11 Nhận xét (1) Nếu (X, d) không gian đối xứng 1.1.12 Mệnh đề ([1]) Mỗi không gian đối xứng compắc không gian mêtric 1.1.13 Mệnh đề ([9]) Cho X không gian đối xứng Khi đó, P sn-phủ X , P cf p-phủ X Chứng minh Giả sử P sn-phủ không gian đối xứng X , K tập compắc X Khi K không gian đối xứng compắc X Theo Mệnh đề 1.1.12 K không gian mêtric, K không gian qui K thỏa mãn tiên đề đếm thứ Với 10 x ∈ K , P sn-phủ nên tồn Px ∈ P cho Px lân cận dãy x Khi đó, Px ∩ K lân cận dãy x K Ta chứng minh Px ∩ K lân cận x K Thật vậy, giả sử {Vn : n ∈ N} sở lân cận giảm K x Nếu Px ∩ K không lân cận K x Px ∩ K không chứa Vn với n ∈ N Khi đó, tồn dãy {xn } thỏa mãn xn ∈ Vn \ (Px ∩ K) với n ∈ N, nghĩa có dãy {xn } hội tụ tới x nhiên {xn } không nằm Px ∩ K từ lúc Điều mâu thuẫn với giả thiết Px ∩ K lân cận dãy x K Vậy Px ∩ K lân cận x K Đặt Gx = IntK (Px ∩ K) Khi đó, Gx lân cận mở x K họ {Gx : x ∈ K} tạo thành phủ mở không gian compắc K Do đó, tồn x1 , x2 , · · · , xn ∈ K cho K = {Gxk : k = 1, 2, · · · , n} Với i = 1, 2, · · · , k với x ∈ Gxi , K qui nên tồn lân cận Ui x x cho Ui x ⊂ Gxi Khi đó, Gxi = {Ui x : x ∈ Gxi } Vậy họ {Ui x : x ∈ Gxi , i = 1, 2, · · · , n} phủ mở không gian compắc K Do đó, tồn tập hữu hạn T1 , T2 , · · · , Tn K cho Ti ⊂ Gxi K = Uxi Đặt Ki = Ui x Ki ⊂ Gxi ⊂ Pxi i≤n x∈Ti x∈Ti Ti hữu hạn nên Ki đóng Khi đó, K ⊂ {Ki : i = 1, 2, · · · , n} ⊂ {Gxi : i = 1, 2, · · · , n} = K Vậy K = {Ki : i = 1, 2, · · · , n} Như vậy, họ P ∗ = {Pxi ∈ P : i = 1, 2, · · · , n} gồm hữu hạn phần tử P cf p-phủ K X Vậy P cf p-phủ X 1.1.14 Mệnh đề ([5]) Cho X không gian đối xứng Khi (1) Nếu P sở yếu đếm theo điểm X , với x ∈ X n ∈ N tồn P ∈ Px cho P ⊂ S n1 (x) (2) Nếu P lân cận dãy x, tồn n ∈ N cho S n1 (x) ⊂ P Chứng minh (1) Với x ∈ X n ∈ N, P họ đếm theo điểm nên đặt Px = {Pn : n ∈ N} Do P sở yếu nên với i ∈ N, tồn số ni ∈ N cho Pni+1 ⊂ Pni ∩ Pi Ta chứng minh Pni ⊂ S n1 (x) với i thuộc N Nếu trái lại, với i ∈ N tồn xi ∈ Pni \ S n1 (x) Do Px lưới x Pni+1 ⊂ Pni ∩ Pi nên {xn } hội tụ tới x Do S n1 (x) 30 2.1.7 Mệnh đề Cho f : X → Y g : Y → Z ánh xạ Đặt h = g ◦ f Khi (1) Nếu f , g ánh xạ thương h ánh xạ thương (2) Nếu f , g ánh xạ phủ-dãy (tương ứng, phủ-compắc) h ánh xạ phủ-dãy (tương ứng, phủ-compắc) (3) Nếu f π -ánh xạ g ánh xạ hữu hạn-tương ứng-một h π -ánh xạ Chứng minh (1) (2) rõ ràng Ta chứng minh (3) Với z ∈ Z với V lân cận mở z Z , giả sử g −1 (z) = {y1 , y2 , · · · , yn } Đặt U = g −1 (V ), U lân cận mở yk X với k = 1, 2, · · · , n Do f π -ánh xạ nên tồn mêtric d X cho d(f −1 (yk ), X \ f −1 (U )) > với k = 1, 2, · · · , n Khi đó, d((g ◦ f )−1 (z), X \ f −1 (U )) = d( n f −1 (yk ), X \ f −1 (U )) = min{d(f −1 (yk ), X \ k=1 f −1 (U )) : k = 1, 2, · · · , n} > Vậy h = g ◦ f π -ánh xạ 2.1.8 Định lý ([12]) Sau mệnh đề tương đương (1) X không gian g -trải (2) X không gian đối xứng Cauchy (3) X có trải yếu gồm cs-phủ (4) X có trải yếu gồm sn-phủ (5) X π -ảnh thương phủ-compắc mạnh không gian mêtric (6) X π -ảnh thương phủ-dãy không gian mêtric (7) X có CW C -ánh xạ thỏa mãn: Nếu x, xn ∈ g(n, yn ) với n ∈ N dãy {xn } hội tụ tới x {Gn : n ∈ N} cho {St(x, Gn ) : n ∈ N} sở lân cận yếu x ∈ X (8) X có σ -lưới mạnh gồm cs-phủ Chứng minh (2)⇒ (3) Suy từ Mệnh đề 1.2.12 (3)⇒ (4) Giả sử {Pn : n ∈ N} trải yếu gồm cs-phủ X Kí hiệu t(x, y) = min{n ∈ N : x ∈ St(y, Pn )} với x, y ∈ X , 31 x = y Ta xác định hàm d : X × X → R, cho d(x, y) = 2t(x,y) x = y x = y Khi đó, d đối xứng X Nhận xét (*): Với x, y ∈ X , x ∈ St(y, Pn ) t(x, y) > n Thật vậy, t(x, y) > n theo cách xác định t(x, y) ta có x ∈ St(y, Pn ) Ngược lại, x ∈ St(y, Pn ) t(x, y) ≥ n Khi đó, Pn làm mịn Pt(x,y) nên với phần tử P chứa y Pn , tồn P ∈ Pt(x,y) cho y ∈ P ⊂ P Từ suy St(y, Pn ) ⊂ St(y, Pt(x,y) ) Nhưng x ∈ St(y, Pt(x,y) ) nên x ∈ St(y, Pn ) Mâu thuẫn t(x, y) > n Tại y ∈ Y , theo nhận xét ta có St(y, Pn ) = {x ∈ X : t(x, y) > n} = {x ∈ X : d(x, y) < 21n } Do St(y, Pn ) = S 21n (y) Đặt Sy = {St(y, Pn ) : n ∈ N} Vì {Pn : n ∈ N} trải yếu nên họ {Sy : y ∈ X} sở yếu X Do đó, điều kiện (3) Định nghĩa 1.1.10 thỏa mãn Vậy (X, d) không gian đối xứng Đối xứng d X có tính chất sau: Với x ∈ X với ε > tồn δ(x, ε) = δ > cho d(x, y) < δ d(y, z) < δ d(y, z) < ε Thật vậy, giả sử trái lại, tồn số ε0 > hai dãy {yn }, {zn } X cho d(x, yn ) < 21n d(x, zn ) < 21n với n = 1, 2, d(zn , yn ) ≥ ε0 Gọi U lân cận x Do {St(y, Pn ) : n ∈ N} lưới x nên tồn n0 ∈ N cho S n10 (x) = St(y, Pn0 ) ⊂ U 1 Khi đó, với n ≥ n0 yn ∈ S 2n (x) ⊂ S n0 (x) ⊂ U Vậy {yn } hội tụ tới x Tương tự có {zn } hội tụ tới x Chọn k ∈ N cho 21k < ε0 Xét {wn } dãy xen kẻ phần tử hai dãy {yn } {zn } Gọi V lân cận x Khi đó, tồn n1 , n2 ∈ N cho yn ∈ V với n ≥ n1 zm ∈ V với n ≥ n2 Đặt n3 = max{n1 , n2 } {yn , zn } ⊂ V với n ≥ n3 Vậy {wn } hội tụ tới x Do Pk cs-phủ nên tồn P ∈ Pk cho {wn } nằm P từ lúc Từ có số m ∈ N cho {ym , zm } ⊂ P , suy ym ∈ St(zm , Pk ) Dựa vào Nhận xét (*) ta có 32 t(ym , zm ) > n, d(ym , zm ) < 2t(ym1,zm ) < 21k < ε0 Điều mâu thuẫn Với x ∈ X n ∈ N, chọn δ = δ(x, n) > cho d(x, z) < δ d(y, z) < δ d(y, z) < n1 Đặt g(n, x) = Sδ(x,n) (x) Do nhận xét 1.1.11 (2), g(n, x) = Sδ(x,n) (x) lân cận dãy x Đặt Fn = {g(n, x) : x ∈ X} Fn sn-phủ X Ta chứng minh họ {Fn : n ∈ N} σ -lưới mạnh X Giả sử trái lại {Fn : n ∈ N} không σ -lưới mạnh X Khi tồn điểm x ∈ X tập mở G chứa x X cho với n ∈ N St(x, Fn ) ⊂ G, nghĩa với n ∈ N tồn xn ∈ St(x, Fn ) = ∪{g(n, y) ∈ Fn : x ∈ g(n, y)} \ G từ có yn ∈ X cho xn ∈ g(n, yn ) \ G x ∈ g(n, yn ) Xét hai dãy {xn } {yn } Do xn ∈ G với n ∈ N nên {xn } không hội tụ tới x Tuy nhiên, với n ∈ N, d(yn , x) < δ(yn , n) d(y, xn ) < δ(yn , n) nên d(xn , x) < n1 {xn } hội tụ tới x Mâu thuẫn {Fn : n ∈ N} σ -lưới mạnh X Hơn nữa, rõ ràng X không gian dãy Fn cs-phủ Vậy từ Nhận xét 1.2.5 (2) suy σ -lưới mạnh {Fn : n ∈ N} trải yếu gồm sn-phủ (3)⇒ (2) Giả sử {Pn : n ∈ N} trải yếu gồm csphủ X Tương tự chứng minh (3)⇒ (4) ta xác định đối xứng d X cho với x ∈ X với n ∈ N St(x, Pn ) = S 21n (x) Khi đó, (X, d) không gian đối xứng Ta chứng minh (X, d) không gian đối xứng Cauchy Với dãy {xn } hội tụ tới x ε > Lấy số k ∈ N đủ lớn cho 21k < ε Do Pk cs-phủ nên tồn P ∈ Pk số l ∈ N cho {x} ∪ {xn : n ≥ l} ⊂ P Với m, n ≥ l, xm , xn ∈ P nên xm ∈ St(xn , Pk ) Dựa vào Nhận xét (*) ta có t(xn , xm ) > k , d(xn , xm ) < 21k < ε Vậy {xn } dãy d-Cauchy Từ Nhận xét 1.2.2 suy (X, d) không gian đối xứng Cauchy (3)⇒ (1) Giả sử {Pn : n ∈ N} trải yếu gồm cs-phủ X Tương tự chứng minh (3)⇒(4) trang bị cho X đối xứng d để (X, d) trở thành không gian đối xứng với đối xứng 33 d có tính chất: Với x ∈ X , ε > tồn δ(x, ε) = δ > cho d(x, y) < δ d(y, z) < δ d(y, z) < ε Tại x ∈ X , ta xác định họ Cx = {g(n, x) : n ∈ N} sau: Với n = 1, chọn số δ(1, x) thỏa mãn < δ(1, x) < cho d(x, y) < δ(1, x) d(x, z) < δ(1, x) d(y, z) < 11 Đặt g(1, x) = Sδ(1,x) (x) Với n = k , chọn số δ(k, x) > thỏa mãn δ(k, x) < δ(k − 1, x) δ(k, x) < 1 k cho d(x, y) < δ(k, x) d(x, z) < δ(k, x) d(y, z) < k Đặt g(k, x) = Sδ(k,x) (x) Tiếp tục trình với n dần tới vô ta họ Cx = {g(n, x) = Sδ(n,x) (x) : n ∈ N} Do δ(n, x)) chọn dần nên dựa vào Nhận xét 1.1.11 (2) ta có Cx sở lân cận yếu x Mặt khác, cách chọn δ(n, x)) giảm dần nên Cx họ giảm Giả sử với n ∈ N, x, xn ∈ g(n, yn ) Khi đó, với n ∈ N d(x, yn ) < δ(n, yn ) d(xn , yn ) < δ(n, yn ) nên từ tính chất đối xứng d suy d(x, xn ) < n1 Gọi G tập mở chứa x Do X đối xứng nên tồn n0 ∈ N cho S n1 (x) ⊂ G Với n ≥ n0 xn ∈ S n1 (x) ⊂ S n1 (x) ⊂ G Vậy {xn } hội tụ tới x Ta có (1) (1)⇒(3) Giả sử có (1) Khi đó, n ∈ N, đặt Pn = {g(n, x) : n ∈ N} Pn phủ X Nếu họ {Pn : n ∈ N} không σ -lưới mạnh X suy luận tương tự chứng minh (3)⇒ (4), tồn điểm x ∈ X tập mở G chứa x X hai dãy {xn } {yn } thỏa mãn x ∈ g(n, yn ) xn ∈ g(n, yn ) \ G với n ∈ N Do xn ∈ G với n ∈ N nên {xn } không hội tụ tới x Nhưng lại x, xn ∈ g(n, yn ) với n ∈ N nên theo giả thiết (1) {xn } hội tụ tới x Mâu thuẫn {Pn : n ∈ N} σ -lưới mạnh X Với n ∈ N, dãy {xn } hội tụ tới x Do Cx sở lân cận yếu nên g(n, x) lân cận yếu x lân cận dãy x Khi đó, dãy {xn } nằm g(n, x) ∈ Pn từ lúc Vậy Pn cs-phủ X Hơn nữa, với x ∈ X với n ∈ N, Cx họ giảm nên Pn+1 làm mịn Pn Đặt Sx = {St(x, Pn ) : n ∈ N} Khi 34 {Pn : n ∈ N} σ -lưới mạnh nên Sx lưới x (b) Với St(x, Pm ) St(x, Pn ) thuộc Sx , chọn số k = max{m, n} St(x, Pk ) ⊂ (x, Pm ) ∩ St(x, Pn ) (c) Với tập G ⊂ X Giả sử G mở X Khi đó, với x ∈ G Sx lưới x nên tồn số l ∈ N để St(x, Pl ) ⊂ G Ngược lại, giả sử với x ∈ G, có số n ∈ N cho St(x, Pn ) ⊂ G Vì g(n, x) ⊂ St(x, Pn ) nên g(n, x) ⊂ G Lại Cx sở yếu nên G mở X Vậy họ Sx = {St(x, Pn ) : n ∈ N} sở lân cận yếu x ∈ X {Pn : n ∈ N} trải yếu gồm cs-phủ X (4)⇒ (5) Giả sử {Pn : n ∈ N} trải yếu gồm sn-phủ X Khi đó, rõ ràng {Pn : n ∈ N} σ -lưới mạnh X Với n = 1, 2, , giả sử Pn = {Pα : α ∈ n }; n tập số cho với tôpô rời rạc, không gian mêtric Bằng cách xây dựng Định nghĩa 1.2.9, ta có hệ Ponomarev {f, M, X, Pn }, (a) Vì ∞ M không gian không gian mêtric tích n=1 n với mêtric cảm sinh ρ M xác định ∞ M = {(αn ) ∈ n=1 n: {Pαn : n ∈ N} lưới điểm xα X} Còn ánh xạ f : M → X toàn ánh liên tục cho f (α) = xα với α ∈ M Trên M xác định hàm d : M × M → R, d(α, β) = min{k : πk (α)=πk (α)} α = β α = β Theo Mệnh đề 1.2.11 d mêtric M tôpô sinh d trùng với tôpô sinh ρ M • f π -ánh xạ Với x ∈ X với U lân cận mở x X , {St(x, Pn ) : n ∈ N} lưới x nên tồn số n ∈ N cho St(x, Pn ) ⊂ U Lấy α ∈ f −1 (x) β ∈ M \ f −1 (U ) (1) Nếu xãy d(α, β) = 1 min{k : πk (α)=πk (β)} < n πi (α) = πi (β) với i = 1, 2, · · · , n Nói riêng 35 πn (α) = πn (β) x ∈ Pπn (α) = Pπn (β) Lại {Pπi (β) : i ∈ N} ∞ lưới f (β) nên f (β) ∈ i=1 Pπi (β) ⊂ Pπn (β) = Pπn (α) ⊂ St(x, Pn ) ⊂ U Vậy f (β) ∈ U Điều mâu thuẫn với (1) Như vậy, d(f −1 (x), M \ f −1 (U )) = inf{d(α, β) : α ∈ f −1 (x), β ∈ M \ f −1 (U )} ≥ n1 > Từ suy f π -ánh xạ • f ánh xạ phủ-dãy Giả sử {xn } hội tụ tới x Với i ∈ N, Pi sn-phủ nên tồn αi ∈ i cho Pαi lân cận dãy x X Lại Pαi ⊂ St(x, Pi ) {St(x, Pn ) : n ∈ N} lưới x nên {Pαi : i ∈ N} lưới x Đặt βx = (αi ) ∈ M Khi β ∈ f −1 (x) Ta xây dựng dãy {βn } ⊂ M cho {βn } hội tụ tới βx βn ∈ f −1 (xn ) với n ∈ N Với n ∈ N, xác định dãy {αin }i∈N sau: Với i = 1, 2, , xn ∈ Pαi đặt αin = αi , xn ∈ Pαi Pi phủ X nên chọn αin ∈ i cho xn ∈ Pαin ∈ Pi Đặt βn = {αin }i∈N Do với i = 1, 2, , Pαi lân cận dãy x nên tồn số ni ∈ N cho xn ∈ Pαi với n ≥ ni Ta chọn {ni }i∈N thỏa mãn dãy thực tăng Theo cách xác định αin = αi với n ≥ ni , dãy {αin }n∈N hội tụ tới αi n dần tới vô Biểu diễn dãy {βn } sau: β1 = (α11 , α21 , · · · , αi1 , ) β2 = (α12 , α22 , · · · , αi2 , ) βn = (α1n , α2n , · · · , αin , ) ↓ βx = (α1 , α2 , · · · , αi , ) Ta chứng minh dãy {βn } hội tụ tới βx theo mêtric d M Thật vậy, với i = 1, 2, , theo cách xác định chọn số ni tương ứng Khi đó, với n ≥ ni với j ∈ {k : αkn = αk } có j ≥ i Thật vậy, trái lại có j < i, nj < ni ≤ n nên ta có αjn = αj Điều mâu thuẫn với giả thiết j Như vậy, với 36 n ≥ ni min{k : αkn = αk } ≥ i d(βn , βx ) = min{k : α1 kn =αk } ≤ 1i Vậy {βn } hội tụ tới βx Do βn = {αin }i∈N xác định thỏa mãn xn ∈ Pαin với n ∈ N nên xn ∈ ∩{Pαin : n ∈ N} Mặt khác, lại Pαin ⊂ St(xn , Pi ) {St(xn , Pi ) : i ∈ N} lưới xn nên {Pαin : n ∈ N} lưới x Khi f (βn ) = xn hay βn ∈ f −1 (xn ) Vậy f ánh xạ phủ-dãy • f ánh xạ thương Rõ ràng sn-phủ cs-phủ, chứng minh (3)⇒ (4), xây dựng cho X trở thành không gian đối xứng X không gian dãy Hơn nữa, lại có f ánh xạ phủ-dãy Vậy theo Nhận xét 2.1.2 (2) f ánh xạ thương • f ánh xạ phủ-compắc Trong không gian đối xứng X nói trên, Pn sn-phủ nên theo Mệnh đề 1.1.13 Pn cf p-phủ X Giả sử K tập compắc X Khi đó, có họ hữu hạn PnK ⊂ Pn cho PnK cf p-phủ K X , nghĩa tồn họ hữu hạn {Kα : α ∈ Jn } tập đóng K họ {Pα : α ∈ Jn } ⊂ PnK cho K = {Kα : α ∈ Jn } Kα ⊂ Pα , Jn tập hữu hạn n Đặt ∞ L = {(αi ) ∈ ∞ Ji : αi ∈ Ji với i ∈ N i=1 Kαi = ∅} i=1 Khi (1) L compắc M ∞ Với α = (αi ) ∈ L ∞ Kαi = ∅ Chọn x ∈ i=1 ∞ ∞ Kαi Với i=1 Kαi ⊂ i = 1, 2, Kαi ⊂ Pαi nên có x ∈ i=1 Pαi Lúc đó, i=1 {St(x, Pi ) : i ∈ N} lưới x x ∈ Pαi ⊂ St(x, Pi ) với i ∈ N nên {Pαi : i ∈ N} lưới x ∈ X Do đó, α ∈ M Vậy L ⊂ M ∞ Kαi = ∅ K tập compắc Lấy α = (αi ) ∈ L Khi đó, i=1 nên họ tập đóng {Kαi : i ∈ N} họ có tâm K Do tồn tập hữu hạn J ∈ N cho Kαi = ∅ Đặt n0 = max J j∈J 37 n0 Kαi = ∅ Đặt i=1 ∞ Ji : βn ∈ Jn với n ∈ N βi = αi với i = W = {(βi ) ∈ i=1 1, 2, · · · , n0 } Khi viết W dạng W = {α1 } × {α2 } × · · · × {αn0 } × Jn0 +1 × Jn0 +2 Do với i = 1, 2, · · · , n0 , tập {αk } mở Jk nên W mở ∞ Ji W lân cận α Bây giờ, lấy a = i=1 (an ) ∈ W Với i = 1, 2, · · · , n0 , = αi nên ∞ i=1 j∈N i=1 ∞ Ji Lại có, với n ∈ N Jn hữu Ji L đóng trong i=1 hạn, Jn compắc Kαi = ∅ i=1 Ji ) \ L tập mở Do a ∈ L Vậy W ∩ L = ∅ Từ suy ( ∞ n0 Kai ⊂ ∞ n Theo định lý Tikhonop Ji compắc i=1 Vậy L compắc M (2) f (L) = K Với x ∈ K , i ∈ N K = Kα nên có số αi ∈ Ji α∈Ji cho x ∈ Kαi Đặt α = (αi ) Khi x ∈ Kαi = ∅ Do Kαi nên i∈N i∈N vậy, α ∈ L Lại {St(x, Pi ) : i ∈ N} lưới x x ∈ Kαi ⊂ Pαi ⊂ St(x, Pi ) với i ∈ N nên {Pαi : i ∈ N} lưới x ∈ X Do đó, x = f (α) ∈ f (L) Từ có K ⊂ f (L) Ngược lại, với α = (αi ) ∈ L ta có Kαi = ∅ Lấy x ∈ Kαi {Pαi : i ∈ N} lưới x Khi i∈N i∈N f (α) = x ∈ K Từ có f (L) ⊂ K Vậy K = f (L) Từ tính chất chứng minh suy f ánh xạ phủ-compắc mạnh (5)⇒(6) Suy từ nhận xét ánh xạ phủ-compắc mạnh ánh xạ phủ-dãy (6)⇒(3) Giả sử X ảnh không gian mêtric (M, d) qua π -ánh xạ thương phủ-dãy f Với n ∈ N, đặt Bn = {B(z, n1 ) : z ∈ M } Pn = f (Bn ) Khi đó, {Pn : n ∈ N} σ -lưới mạnh X 38 Thật vậy, với x ∈ X U lân cận mở x, f π -ánh xạ nên tồn n ∈ N cho d(f −1 (x), M \ f −1 (U )) > n1 Chọn m > 2n Với z ∈ M cho x ∈ f (B(z, m1 )), tồn α ∈ f −1 (x) ∩ B(z, m1 ) Nếu xãy B(z, m1 ) ⊂ f −1 (U ) tồn β ∈ B(z, m1 ) ∩ (M \ f −1 (U )) Khi đó, d(f −1 (x), M \ f −1 (U )) ≤ d(α, β) ≤ d(α, z) + d(β, z) < m + m1 < n1 Điều mâu thuẫn Do vậy, ta có B(z, m1 ) ⊂ f −1 (U ) f (B(z, m1 )) ⊂ U Từ có St(x, Pm ) = {f (B(z, m1 )) : với z ∈ M cho x ∈ f (B(z, m1 ))} ⊂ U Vậy {St(x, Pn ) : n ∈ N} lưới x {Pn : n ∈ N } σ -lưới mạnh X Rõ ràng Bn cs-phủ Hơn nữa, ta có f ánh xạ phủ-dãy Do đó, theo Bổ đề 2.1.6 Pn cs-phủ Mặt khác, lại có M không gian dãy f ánh xạ thương nên theo Bổ đề 1.1.24 X không gian dãy Dựa vào Nhận xét 1.2.5 (2) ta có {Pn : n ∈ N} trải yếu gồm cs-phủ X (1)⇔(7) Suy từ nhận xét 2.1.5 (3)⇔(8) Suy từ nhận xét 1.2.5 (1) 2.1.9 Hệ Giả sử X không gian g -trải f : X → Y ánh xạ Khi đó, f ánh xạ hữu hạn-tương ứng-một thương phủ-dãy (hoặc, phủ-compắc mạnh) Y không gian g -trải Chứng minh Do X không gian g -trải nên theo Định lý 2.1.8 X ảnh không gian mêtric M qua π -ánh xạ thương phủ-dãy (hoặc, phủ-compắc mạnh) g Đặt h = g ◦ f Từ Mệnh đề 2.1.7 suy h π -ánh xạ thương phủ-dãy (hoặc, phủ-compắc mạnh) Dựa vào Định lý 2.1.8 ta có Y không gian g -trải 2.2 không gian g-trải mạnh 2.2.1 Định nghĩa ([5]) Cho X không gian (1) X gọi không gian g -trải mạnh (strongly g -developable space) X có σ -lưới mạnh hữu hạn địa phương gồm cs-phủ {Gn : n ∈ N} cho họ {St(x, Gn ) : n ∈ N} sở lân cận yếu 39 x ∈ X (2) X gọi ℵ-không gian (ℵ-space) X có cs-lưới σ -hữu hạn địa phương (3) X gọi không gian g -khả mêtric (g -metrizable space) X có sở yếu σ -hữu hạn địa phương 2.2.2 Bổ đề Giả sử P = {Pα : α ∈ T } họ hữu hạn địa phương X f : X → Y ánh xạ Khi đó, f thỏa mãn điều kiện sau f (P) = {f (Pα ) : α ∈ T } họ hữu hạn địa phương Y (1) f ánh xạ một-một giả-mở (2) f ánh xạ đóng compắc Chứng minh (1) Lấy y ∈ Y , giả sử f −1 (y) = {x} Do họ P hữu hạn địa phương nên tồn lân cận mở V x cho tập A = {α ∈ T : Pα ∩ V = ∅} hữu hạn Lại f ánh xạ giả-mở f −1 (y) ⊂ V nên y ∈ Intf (V ) Đặt B = {α ∈ T : f (Pα )∩f (V ) = ∅}, C = {α ∈ T : f (Pα )∩ Intf (V ) = ∅} Khi đó, Pα ∩ V = ∅ suy f (Pα ) ∩ f (V ) = ∅ nên ta có B ⊂ A Ngược lại, giả sử f (Pα ) ∩ f (V ) = ∅ Lấy z ∈ f (Pα ) ∩ f (V ) Khi đó, tồn x1 ∈ Pα x2 ∈ V cho f (x1 ) = f (x2 ) = z Do f ánh xạ một-một nên x1 = x2 Từ suy Pα ∩ V = ∅ Vậy A = B Mặt khác, f (Pα ) ∩ Intf (V ) = ∅ suy f (Pα ) ∩ f (V ) = ∅ nên ta có C ⊂ B Từ có C ⊂ A Do A tập có lực lượng hữu hạn nên C hữu hạn Như vậy, với y ∈ Y , tồn lân cận mở U = Intf (V ) cho tập {α ∈ T : f (Pα ) ∩ U = ∅} hữu hạn Do đó, f (P) = {f (Pα ) : α ∈ T } họ hữu hạn địa phương Y (2) Lấy y ∈ Y Với x ∈ f −1 (y), P họ hữu hạn địa phương X nên tồn lân cận mở Ux x cho tập {α ∈ T : Ux ∩Pα = ∅} có lực lượng hữu hạn Khi họ {Ux : x ∈ f −1 (y)} tạo thành phủ mở tập compắc f −1 (y), tồn x1 , x2 , · · · , xn ∈ f −1 (y) cho f −1 (y) ⊂ ∪{Uxi : i = 1, 2, · · · , n} Đặt U = ∪{Uxi : i = 1, 2, , n} Khi U lân cận mở f −1 (y) Do f ánh xạ đóng nên tồn lân 40 cận mở V y cho f −1 (V ) ⊂ U Đặt A = {α ∈ T : V ∩ f (Pα ) = ∅} B = {α ∈ T : U ∩ Pα = ∅} Khi đó, rõ ràng B có lực lượng hữu hạn Hơn nữa, A ⊂ B Thật vậy, lấy α0 ∈ A Vì V ∩ f (Pα0 ) = ∅ nên tồn x0 ∈ Pα0 cho f (x0 ) ∈ V Lại f −1 (V ) ⊂ U nên x0 ∈ U Vậy U ∩ Pα0 = ∅} α0 ∈ B Từ suy A ⊂ B tập A hữu hạn Vậy f (P) = {f (Pα ) : α ∈ T } họ hữu hạn địa phương Y 2.2.3 Bổ đề ([6]) Cho f : X → Y g : Y → Z ánh xạ Đặt h = g ◦ f Khi (1) Nếu f ánh xạ compắc g ánh xạ hữu hạn-tương ứng-một h ánh xạ compắc (2) Nếu f σ -ánh xạ g ánh xạ đóng compắc (hoặc, một-một giả-mở) h σ -ánh xạ Chứng minh (1) Với z ∈ Z , giả sử g −1 (z) = {y1 , y2 , · · · , yn } Với k = 1, 2, , n f ánh xạ compắc nên f −1 (yk ) tập compắc Khi h−1 (z) = (g ◦ f )−1 (z) = f −1 (g −1 (z)) = f −1 ({y1 , y2 , · · · , yn }) = ∪{f −1 (yk ) : k = 1, 2, · · · , n} Do f −1 (yk ) tập compắc nên h−1 (z) = ∪{f −1 (yk ) : k = 1, 2, · · · , n} tập compắc Vậy h ánh xạ compắc (2) Do f σ -ánh xạ nên có sở B X cho f (B) họ σ -hữu hạn địa phương Giả sử f (B) = {Pn : n ∈ N} với Pn họ hữu hạn địa phương Y Do g ánh xạ đóng compắc (hoặc, một-một giả-mở) nên theo Bổ đề 2.2.2 g(Pn ) họ hữu hạn địa phương Z Khi h(B) = g(f (B)) = g( {Pn : n ∈ N}) = {g(Pn ) : n ∈ N} họ σ -hữu hạn địa phương Vậy h σ -ánh xạ 2.2.4 Bổ đề ([5]) Sau mệnh đề tương đương (1) X không gian g -trải mạnh (2) X không gian đối xứng Cauchy, ℵ-không gian (3) X không gian g -khả mêtric, không gian g -trải (4) X không gian dãy có cs-lưới mạnh σ -hữu hạn địa phương (5) X có sở yếu σ -hữu hạn địa phương 41 (6) X mssc-ảnh compắc phủ-compắc mở-yếu không gian mêtric (7) X mssc-ảnh compắc thương phủ-compắc 1-phủ-dãy không gian mêtric (8) X σ -ảnh compắc thương phủ-dãy không gian mêtric (9) X σ, π -ảnh thương phủ-dãy không gian mêtric 2.2.5 Mệnh đề Giả sử X không gian g -trải mạnh f : X → Y ánh xạ Khi đó, f thỏa mãn điều kiện sau Y không gian g -trải mạnh (1) f ánh xạ một-một giả-mở phủ-dãy (2) f ánh xạ đóng hữu hạn-tương ứng-một phủ-dãy Chứng minh Do X không gian g -trải mạnh nên theo Bổ đề 2.2.4 (8) X ảnh không gian mêtric M qua σ -ánh xạ compắc thương phủ-dãy g Giả sử f ánh xạ đóng hữu hạn-tương ứngmột phủ-dãy (hoặc, ánh xạ một-một giả-mở phủ-dãy) Đặt h = g ◦ f Khi đó, f ánh xạ đóng (hoặc giả-mở) nên theo Nhận xét 2.1.2 (5) f ánh xạ thương Từ Mệnh đề 2.1.7 Bổ đề 2.2.3 suy h σ -ánh xạ compắc thương phủ-dãy Dựa vào Bổ đề 2.2.4 (8) ta có Y không gian g -trải mạnh 2.2.6 Hệ Sau mệnh đề tương đương (1) X không gian g -trải mạnh (2) X ảnh không gian g -trải mạnh qua ánh xạ đóng hữu hạn-tương ứng-một phủ-dãy (3) X ảnh không gian g -trải mạnh qua ánh xạ mộtmột giả-mở phủ-dãy Chứng minh Giả sử X không gian g -trải mạnh Lấy X = X f = iX : X → X ánh xạ đồng Khi đó, X không gian g -trải mạnh f đồng phôi nên f thỏa mãn ánh xạ nói đến (2) (3) Vậy (1) ⇒ (2) (1) ⇒ (3) Ngược lại, X không gian thỏa mãn (2) (3) từ Mệnh đề 2.2.5 suy X không gian g -trải mạnh Vậy (2) ⇒ (1) (3) ⇒ (1) 42 KẾT LUẬN Luận văn giải vấn đề sau: • Hệ thống lại khái niệm sở yếu, không gian dãy, k không gian, cs-lưới, sn-lưới, cs-phủ, sn-phủ, σ -(P)-lưới mạnh, không gian đối xứng, không gian g -trải Chứng minh chi tiết tính chất trình bày vắn tắt tài liệu tham khảo: tính chất di truyền không gian đối xứng, bảo tồn không gian đối xứng qua ánh xạ tính chất không gian đối xứng Cauchy với cs-lưới σ -(P )-mạnh Đó Mệnh đề 1.1.12, Định lý 1.1.16, Định lý 1.1.17, Định lý 1.1.21, Định lý 1.1.26, Định lý 1.2.8 Đưa chứng minh Mệnh đề 1.2.11 • Trình bày chứng minh chi tiết bổ sung thêm số mệnh đề cho Định lý 2.1.8 phát biểu tương đương với khái niệm không gian g trải được tài liệu ([12]) trình bày chứng minh vắn tắt không chứng minh Đưa kết bảo tồn không gian g -trải qua ánh xạ Hệ 2.1.9 • Đưa số kết bảo tồn không gian g -trải mạnh qua ánh xạ, phát biểu tương đương với khái niệm không gian g -trải mạnh Mệnh đề 2.2.5 Hệ 2.2.6 • Các kết luận văn gồm có: ý (2) Nhận xét 1.1.11, Nhận xét 1.1.22, Mệnh đề 2.1.7, ý (7) (8) Định lý 2.1.8, Hệ 2.1.9, Bổ đề 2.2.2, Mệnh đề 2.2.5, Hệ 2.1.6 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.V.Arhangel’skii(1966), Mapping and spaces, Russian Math Surveys, 21, 115-162 [2] G Gruenhage, E Michael and Y Tanaka (1984), Spaces determined by point-countable covers, Pacific J of Math., 113 (2), 303-332 [3] J.Kelley (1973), Tô pô đại cương, Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp [4] S P Franklin (1995), Spaces in which sequences suffice, Fund Math., 57, 107-115 [5] Tran Van An and Luong Quoc Tuyen (2006), Charaterizations of Cauchy symmetic space with a cover having property σ -(P), Preprint [6] Trần Văn Ân, Lương Quốc Tuyển Đoàn Thị Lý (2010), Tích ánh xạ bảo tồn không gian qua ánh xạ có tính chất phủ, Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Vinh, 39 (2A), 15-24 [7] Y Ikeda and Y Tanaka (1993), Spaces having star-countable k networks, Topology Pro., 18, 107-132 [8] Y Tanata (1973), On symmetric spaces, Proc.Japan Acad., 49,106111 [9] Y Tanata (2006), Around quotient compac images, and symmetric spaces, Houston J.Math., 32(1), 99-117 [10] Y Tanata (1973), On open finite-to-one maps, Bull Tokyo Gakugei Univ.Ser IV, 25, 1-13 44 [11] Z Li, Hunan, and Sou Lin, Fujian (2004), On the weak-open images of metric spaces, Czechoslocvak Math J., 54 (129), 939-400 [12] Z Li, S Lin and P Yan (2004), A note on g -developable spaces, Far East J.Math.Sci.(FJMS), 15(2), 181-191 [...]... X là một không gian đối xứng Khi đó, không gian con A của X là đối xứng khi và chỉ khi A là k -không gian Chứng minh Điều kiện cần: Nếu A là không gian đối xứng con của X thì theo Nhận xét 1.1.11 (4), A là k -không gian Điều kiện đủ: Giả sử A là k -không gian con của không gian đối xứng X Do X đối xứng nên có dãy{gn } các hàm thỏa mãn Bổ đề 1.1.15 (2) Với mỗi i = 1, 2, , ta xác định hàm gn |A : A... 1.1.17 thì X là không gian đối xứng 1.1.19 Hệ quả Giả sử {Xi : i ∈ I} là một họ đếm được theo điểm các không gian đối xứng Khi đó, X = Xi là một không gian đối xứng i∈I Chứng minh Theo định nghĩa không gian tôpô tổng thì họ {Xi : i ∈ I} xác định X Do đó, theo Định lý 1.1.17 thì X là không gian đối xứng 14 1.1.20 Bổ đề ([8]) Cho X , Y là các không gian dãy Khi đó, X × Y là không gian dãy khi và chỉ khi... × Y là k -không gian 1.1.21 Định lý ([8]) Giả sử X , Y là các không gian đối xứng Khi đó, X × Y là không gian đối xứng khi và chỉ khi X × Y là k -không gian Chứng minh Điều kiện cần: Suy từ Nhận xét 1.1.11 (4) Điều kiện đủ: Giả sử X , Y là các không gian đối xứng và X ×Y là k -không gian Do X , Y là đối xứng nên theo Nhận xét 1.1.11 (3) thì X , Y là các không gian dãy Do đó, X , Y lần lượt được xác... cũng là không gian dãy Dựa vào Bổ đề 1.1.15 (3) ta có Y là không gian đối xứng (2) Với mỗi y ∈ Y , do f là ánh xạ compắc nên f −1 (y) compắc Do mỗi không gian compắc là k -không gian nên f −1 (y) là k -không gian Lại do X đối xứng nên theo Định lý 1.1.16 thì f −1 (y) là đối xứng Dựa vào Mệnh đề 1.1.12 ta có không gian compắc đối xứng f −1 (y) là không gian mêtric, do đó nó thỏa mãn tiên đề đếm được. .. vậy, với mỗi x ∈ f −1 (G) đều tồn tại i0 ∈ N sao cho Si0 (x) ⊂ f −1 (G) Do X đối xứng nên f −1 (G) mở trong X Lại do f là ánh xạ mở nên G = f (f −1 (G) ) là tập mở trong Y Vậy hàm dY thỏa mãn điều kiện (3) trong Định nghĩa 1.1.10 và do đó Y là không gian đối xứng 1.2 không gian đối xứng cauchy 1.2.1 Định nghĩa ([5]) Cho X là một không gian đối xứng (1) Một dãy {xn } trong X được g i là d-Cauchy nếu với... xạ thương, nếu Y là không gian dãy (3) Ánh xạ compắc ⇒ π -ánh xạ, nếu (X, d) là không gian mêtric (4) Ánh xạ đóng hoặc ánh xạ giả-mở ⇒ ánh xạ thương (5) Ánh xạ mở-yếu ⇒ ánh xạ 1-phủ-dãy và ánh xạ thương, nếu X là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất 2.1.3 Định nghĩa ([9]) Không gian X là không gian g -trải được (g developable space) nếu X có một cơ sở lân cận yếu đếm được (giảm) Cx = {g( n, x)... trong X Do f là ánh xạ thương nên A mở trong Y Vậy Y là không gian dãy 1.1.25 Bổ đề ([8]) Cho f : X → Y là một ánh xạ đóng và mỗi f −1 (y) thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất Khi đó, nếu Y là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất thì X cũng vậy 1.1.26 Định lý ([8]) Giả sử X là không gian đối xứng và f : X → Y là một ánh xạ Khi đó, Y là không gian đối xứng nếu f thỏa mãn một trong những điều... phôi Do vậy, từ giả thiết X1 × X2 × × Xn là 16 k -không gian suy ra (X1 × X2 × × Xn−1 ) × Xn là k -không gian Mặt khác, lại có X1 × X2 × × Xn−1 và Xn là các không gian đối xứng, nên theo Định lý 1.1.21 thì (X1 × X2 × × Xn−1 ) × Xn là không gian đối xứng Từ đó suy ra X1 × X2 × × Xn là không gian đối xứng 1.1.23 Định nghĩa ([5]) Cho f : X → Y là một ánh xạ Khi đó (1) f là ánh xạ thương (quotient) ([5])... {gi } thỏa mãn các điều kiện ở Bổ đề 1.1.15 (2) Do đó, X × Y là không gian đối xứng 1.1.22 Nhận xét Giả sử X1 , X2 , · · · , Xn là các không gian đối xứng Khi đó, X1 × X2 × · · · × Xk là không gian đối xứng với mỗi k = 1, 2, · · · , n khi và chỉ khi X1 × X2 × · · · × Xk là k -không gian với mỗi k = 1, 2, · · · , n Chứng minh Điều kiện cần: Suy từ Nhận xét 1.1.11 (4) Điều kiện đủ: Ta chứng minh bằng... bởi phủ g m tất cả các tập compac mêtric C trong X và K trong Y Theo Bổ đề 1.1.19 thì X × Y là không gian dãy và rõ ràng X × Y được xác định bởi phủ C × K Do X , Y đối xứng nên có các dãy hàm {gnX } và {gnY } thỏa mãn Bổ đề X 1.1.15 (3) Có thể giả sử rằng tại mỗi x ∈ X và y ∈ Y , gn+1 (x) ⊂ gnX (x) và Y gn+1 (y) ⊂ gnY (y) Với mỗi x ∈ X và y ∈ Y , đặt gn (x, y) = gnX (x) × gnX (y) Khi đó, rõ ràng dãy ... (4) Không gian đối xứng ⇒ không gian gf -đếm ⇒ không gian dãy ⇒ k -không gian 1.1.11 Nhận xét (1) Nếu (X, d) không gian đối xứng 1.1.12 Mệnh đề ([1]) Mỗi không gian đối xứng compắc không gian. .. không gian đối xứng Khi đó, không gian A X đối xứng A k -không gian Chứng minh Điều kiện cần: Nếu A không gian đối xứng X theo Nhận xét 1.1.11 (4), A k -không gian Điều kiện đủ: Giả sử A k -không. .. giả Z Li, S Lin P Yan đưa mệnh đề tương đương với khái niệm không gian g -trải được, qua rõ mối quan hệ không gian g -trải không gian đối xứng Cauchy Khái niệm không gian g -trải mạnh mở rộng