Một số tính chất về điểm bất động

ở đây chúng tôi giới thiệu những khái niệm liên quan đến cấu trúc hình học của các không gian Banach đợc sử dụng trong lý thuyết điểm bất động để chứng minh kết quả cơ bản của Browder, G

Đ2 Về cấu trúc hình học của không gian Banach 3

Đ3 Định lý cơ bản về điểm bất động cho ánh xạ không giãn 6

Tài liệu tham khảo 39

Lời nói đầu Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ 20 Trong nhiều trờng hợp quan trọng, việc giải một phơng trình đợc quy về

việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp Vì vậy các định lý điểm bất động có nhiều ứng dụng trong toán học nói riêng và trong khoa học kỹ thuật nói chung.

Cuốn khoá luận này sẽ đa ra một số tính chất về điểm bất động của ánh xạ không giãn và kết quả liên quan đến ánh xạ không giãn ở đây chúng tôi giới thiệu những khái niệm liên quan đến cấu trúc hình học của các không gian Banach đợc sử dụng trong lý thuyết điểm bất động để chứng minh kết quả cơ bản của Browder, Gohde và Kirk, cũng nh các mở rộng ra lớp ánh xạ Lipschitz đều và nửa nhóm ánh xạ Lipschitz

Khoá luận gồm các nội dung sau:

Đ1 Một số khái niệm

Đ2 Về cấu trúc hình học của không gian Banach

Đ3 Định lý cơ bản về điểm bất động cho ánh xạ không giãn

Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những sai sót , rất mong đợc sự góp ý của các thầy cô giáo và bạn đọc

Cuối cùng chúng tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán

đã tạo điều kiện và giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận này !

1.1.Định nghĩa Cho ánh xạ liên tục f:Χ → Χ ( X là không gian Tôpô

hay định chuẩn) , x0 ∈X đợc gọi là điểm bất động nếu f(x0) = x0

1.2.Định nghĩa Không gian Tôpô X đợc gọi là có tính chất bất động

nếu mỗi ánh xạ liên tục f:Χ → Χ đều có điểm bất động

Ví dụ Hình cầu đóng đơn vị B[0,1] ⊂3n có tính chất điểm bất động

1.3.Định nghĩa ánh xạ T từ không gian mêtric(X,d) vào không gian mêtric (Z, ρ )đợc gọi là không giãn nếu với mọi x,y∈X , ta có

ρ (Tx,Ty) ≤d(x,y)

Nh vậy, ánh xạ co là ánh xạ không giãn Phép tịnh tiến trên đờng thẳng thực, phép quay của đờng tròn đơn vị trên mặt phẳng qua gốc tọa độ là những ví dụ về ánh xạ không giãn mà không có điểm bất động Thậm chí một ánh xạ không giãn trong tập hợp lồi, đóng, bị chặn của một không gian Banach cũng không nhất thiết phải có điểm bất động

Ví dụ Ký hiệu B là hình cầu đơn vị đóng trong co (không gian của các dãy hội tụ đến 0 với chuẩn sup) Với mỗi x=(x 1 ,x 2 , )… ta đặt Tx=(1, x 1 ,x 2 , ).…Khi đó T là ánh xạ không giãn trong B mà không có điểm bất động

Thật vậy, nếu có x * =Tx * thì ta có

( , , , ) ( 1 , , * , )

2

* 1

* 3

* 2

*

nhng khi đó ta có x i* = 1với mọi i, nên x* không phụ thuộc co

Điểm bất động của ánh xạ không giãn có thể không duy nhất (chẳng hạn ánh xạ đồng nhất)

Đ2.Về cấu trúc hình học của không gian Banach 2.1.Định nghĩa Không gian Banach (X, , )đợc gọi là lồi chặt nếu với

mọi x≠ ymà x ≤ 1 , y ≤ 1 ta có 1

+y x

Điều kiện này tơng đơng với : nếu x+y = x + y và y≠ 0thì x= λy với

một λ > 0 nào đó

2.2.Định nghĩa Không gian Banach (X, , )đợc gọi là lồi đều nếu với

mọi ε > 0đều tồn tạiδ ( ε ) > 0, sao cho với mọi x,y∈X mà

+y x

2 2

2

4 2

2

ε

y x

, vậy ta có thể đặt

4 1 1 )

δ ; nếuε0(X) < 2 thì X là không gian phản xạ Hiển nhiên mọi

không gian lồi đều thì lồi chặt và phản xạ, vì vậy không gian lồi đều có một tính chất giống không gian Hilbert: Nếu C là một tập hợp lồi, đóng

trong không gian lồi đều X thì với mọix∈X tồn tại duy nhất một điểm

2.3.Định nghĩa Tập hợp K trong không gian định chuẩn X đợc gọi là

có cấu trúc chuẩn tắc nếu mọi tập hợp con lồi đóng, bị chặn H của nó

với diamH>0 đều chứa một điểm x∈H sao cho

{ x−z :z∈H}<diamH

(ở đây diam ký hiệu là đờng kính của tập hợp)

2.4 Ví dụ a Mọi tập hợp compact trong một không gian Banach đều có

x

n

+ +

+

− 1 2

Từ đây ta đợc

x x r

n n

x x n

x x

i

n i n

1

1 1

1

với mọi i=1,2, ,n.…

Cứ tiếp tục quá trình này ta đợc một dãy trong H mà hiển nhiên không chứa dãy con hội tụ, trái với tính compact của H

b.Tập hợp bất kỳ trong không gian Banach X với ε0(X) < 1

Thật vậy, cho K là một tập hợp bất kỳ trong X v H là một tập hợp lồi,à

đóng, bị chặn trong K với d=diamH>0 Chọnε > 0 sao cho r= δX( 1 − ε ) > 0 Khi đó tồn tại .u,v∈H sao cho u−v ≥d( 1 − ε ) Lấy x∈H bất kỳ, ta có

d v x

u x x v u

' , '

,

Ta có ' ≤ 1 , ' ≤ 1 , ' − ' = − − − = 1 u−v ≥ 1 − ε

d d

v x d

u x y x y

x

Vì r = δX( 1 − ε ) > 0nên ta có − x+y ≥r

2

' '

1 , tức là x+y ≤ 1 −r

2

' '

Mặt khác

ta có

d

x z y

Từ đó ta có kết luận: Không gian lồi đều có cấu trúc chuẩn tắc

Đ3.Định lý cơ bản về điểm bất động cho ánh xạ

không gi n.ã 3.1.Định lý ( Kirk ) Cho C là một tập hợp lồi, compact yếu, có cấu

trúc chuẩn tắc trong không gian định chuẩn X và T: C →C là một ánh xạ không giãn Khi đó T có điểm bất động trong C.

Chứng minh Đặt

:

F = ⊂ L lồi, đóng, không rỗng, T(L) ⊂L }.

Khi đó F ≠ φvì C∈F Với quan hệ thứ tự là bao hàm thức, (F, ⊂ )trở thành tập hợp đợc sắp thứ tự bộ phận.

Đặt G={ }L0 với các L0 ∈Fvà lồng nhau Khi đó 

T( ) ⊂ , vậy 

α α

L là cận dới của G Theo bổ đề Zorn, F

chứa một phần tử cực tiểu H.

Ta chứng minh H chỉ gồm một điểm Giả sử d=diamH>0 Do C có cấu

trúc chuẩn tắc nên tồn tại z∈H sao cho r = sup{ z−x :x∈H}<d.

Vậy tập hợp D={z∈ Η : Η ⊂ Β( )z,r }≠ φ, trong đó B(z,r) là hình cầu đóng tâm z bán kính r Lấy z bất kỳ trong D, do T là không giãn, ta có

( )H B(Tz,r)

T ⊂ , vì vậy co T(H) ⊂B(Tz,r)trong đó co ký hiệu là bao lồi, đóng của một tập hợp Vì co T (H)là một tập hợp lồi, đóng trong C nên cũng compact yếu và vì co T(H) ⊂co H =H nên T(co T(H) ⊂T(H) ⊂co T(H) vậy

H ⊂ , chứng tỏ Tz∈D, vậy T(D) ⊂Dvì z bất kỳ trong D

Ta sẽ kiểm tra D lồi và đóng Cho z1,z2∈D và z= αz1 + ( 1 − α )z2 với

3.2.Định lý (Browder –Gohde, 1965 ) Cho C là một tập hợp lồi,

đóng, bị chặn trong không gian lồi đều X và T: C →C là một ánh xạ không giãn Khi đó tập hợp các điểm bất động của T là lồi, đóng và không rỗng.

Chứng minh Vì X lồi đều nên phản xạ, do đó C là compact yếu và có cấu

trúc chuẩn tắc Vậy theo định lý Kirk, tập hợp các điểm bất động của T không rỗng, ngoài ra nó đóng vai trò vì T liên tục Ta chỉ còn phải chứng minh tính lồi của tập hợp này

Cho u=Tu,v=Tv và m= λu+ ( 1 − λ )v với một λ ∈[ ]0 , 1 nào đó Khi đó

) )(

Vì X lồi đều thì cũng lồi chặt nên đẳng thức trên chứng tỏ tồn tại α > 0

để cho u−Tm= α (Tm−v) Từ đây ta có

) 1 ( 1

=

1

1

Ta sẽ chứng minh rằng β = λ bằng phản chứng Giả sử β > λ khi đó ta

có Tv−Tm = v−Tm = β u−v > λu−v = v−m Điều đó mâu thuẫn với tính không giãn của T

Hoàn toàn tơng tự, nếu β < λ thì ta cũng gặp mâu thuẫn, vì

.

m u

Tm

Tv− > − .Vậy β = λ nên Tm=m Vì mọi điểm trên đoạn nối hai

điểm bất động cũng là điểm bất động nên tập hợp các điểm bất động là tập hợp lồi và định lý đã đợc chứng minh

3.3.Nhận xét Browder(1969) đã sử dụng định lý trên đây để chứng minh

sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phơng trình vi phân trong không gian Hilbert với vế phải là một hàm tuần hoàn

Sau khi xuất hiện định lý Kirk một câu hỏi đợc đặt ra là liệu có thể bỏ

điều kiện “có cấu trúc chuẩn tắc” đợc không, nói cách khác: một ánh xạ không giãn trong một tập hợp lồi, compact yếu của một không gian Banach bất kỳ có nhất thiết phải có điểm bất động không?

Trong suốt 15 năm, câu hỏi này đã là trung tâm chú ý của các chuyên gia trong lĩnh vực này, cuối cùng Alpach (1981) đã đa ra câu trả lời phủ định bằng cách đa ra phản ví dụ sau đây Cho X=L1[0,1], đặt

1 0

, 2 ) 1 2 ( 2 max

, 2

1 0

2 ), 2 ( 2 min )

)(

(

t Khi

t f

t Khi

t f t

Tf

Khi đó C là tập hợp lồi, compact yếu, T là ánh xạ đẳng cự trong C (tức là

g f

Tg

Tf − = − nhng không có điểm bất động.

Vì L1[0,1] là không gian Banach không phản xạ nên một câu hỏi nữa lại xuất hiện: Một ánh xạ không giãn trong một tập hợp lồi, đóng, bị chặn của một không gian Banach phản xạ có nhất thiết phải có điểm bất động không? Câu hỏi này vẫn cha có lời giải

Nhận xét Trong khi việc tồn tại điểm bất động cho ánh xạ không giãn

đòi hỏi những điều kiện ngặt nghèo trên miền xác định của ánh xạ, việc tồn tại điểm bất động “xấp xỉ”, tức là với mọi ε > 0tồn tại xεsao cho

C x Tx n

x n x

Do C lồi nên Tn: C→Cvà do T không giãn nên Tn là ánh xạ co

y x n T

T n y

T x

T n − n = ( 1 −1) x − y ≤ ( 1 −1) − Theo nguyên lý ánh xạ co, tồn tại xn=Tnxn Khi đó

n n n 1 0 1 1 n n 1(x0 Tx n)

n Tx Tx n

x n x T

=

n Tx x n Tx

x n − n = 1 0 − n ≤ 1 Vì C bị chặn nên Tx n −x n → 0

khi n→ ∞ Với n đủ lớn xn là một điểm bất động xấp xỉ của T

Đ4.ánh xạ không gi n đa trịã

4.1.Định nghĩa Cho (X,d) là một khoảng không gian mêtric, ta ký

hiệu CB(X) là họ mọi tập con đóng, bị chặn, không rỗng trong X Khi

đó, khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp A,B∈CB(X) đợc định nghĩa

x d

, ,

) , ( inf sup ), , ( inf sup

4.2.Định nghĩa Cho (X,d) là một không gian mêtric, ánh xạ(đa trị) T từ

X vào CB(X) đợc gọi là ánh xạ không giãn nếu với mọi x,y∈ Χ ta có

r a({x n},C)=infx∈C r a({x n},x),với r a({ }x n ,x) = limnsup x n −x,x∈X

-Tâm tiệm cận của {xn} đối với C là

Ca({xn},C)={x∈C:r a({ }x n ,x) =r a({x n},C)}.

Dãy {xn} đợc gọi là chính quy đối với C nếu các bán kính tiệm cận của

mọi dãy con của {xn} đối với C đều bằng nhau (tức là bằng ra({xn},C)) Ngời ta đã chứng minh rằng nếu C compact yếu (tơng ứng, lồi) thì

Ca({xn},C) không rỗng (tơng ứng, lồi) Hơn nữa, nếu X lồi đều thì

n n n

},

+ +

<

+

i r C v

k

v và đặt ~r r ({v k},C)

k a

≤

i r

k

v là một dãy con của { }x n chính quy đối với C Bổ đề đã đợc chứng minh

4.5.Định lý (Lim,1974 ) Cho X là một không gian Banach lồi đều, C là

một tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong X, T là một ánh xạ không giãn đa trị

xác định trên C và nhận giá trị compact trong C Khi đó T có điểm bất

d( n, n) ≤ 1 , nên ta có

0 ) , (

∞

n d x Tx Theo Bổ đề trên, có thể giả thiết {x n} là chính quy đối với C

Vì X lồi đều nên Ca({xn},C) chỉ gồm một điểm Đặt

Vì Tv compact nên tồn tại một dãy con { }z nk của { }z n hội tụ đến w∈Tv Vì

w z z y y

x

w

x nk − ≤ nk − nk + nk − nk + nk − và z nk −y nk ≤ x nk −v , từ đây suy ra

r v

Ví dụ.Cho B là hình cầu đơn vị đóng trong không gian Hilbert l2 Với mỗi x = (x1, x2, x3, … ) ∈ l 2 ta đặt

, ) , ), 1 (

2 2

2 2

2

2 2 1 )

1 ( )

1

1 ) 1

2 2

Vậy T là ánh xạ Lipschitz với hệ số k = 1 + ε

Cuối cùng ta kiểm tra rằng T không có điểm bất động bằng phản chứng Giả sử tồn tại x* ∈B mà Tx* =x* Khi đó ta có

( ( 1 ), , , ) ( , , * , )

3

* 2

* 1

* 2

* 1

Nếu x* = 1 thì x i* = 0 với mọi i, điều này vô lý vì x* = 0 = 1

Vậy T không có điểm bất động trong B

Mặt khác, để ý rằng nếu T: C →C là một ánh xạ không giãn thì ta luôn có

y x y T x

T n − n ≤ − với mọi x,y∈C và n∈N

Điều đó gợi ý ta xét các ánh xạ thoả mãn điều kiện

y x k y T x

T n − n ≤ − với mọi x,y∈C và n∈N.

với một k ≥ 1 nào đó ánh xạ nh vậy gọi là ánh xạ Lipschitz đều ( hay chính xác hơn, k-Lipschitz đều nếu k đã cho trớc)

Với n=1, ta có T n x−T n y ≤k x−y , vậy ánh xạ Lipschitz đều là ánh xạ

Lipschitz

Mặt khác, nếu T là ánh xạ không giãn thì với mọi n ta có

y x k y x y T x

Với mọi x,y và mọi k ≥ 1 Vậy ánh xạ không giãn là ánh xạ Lipschitz đều Goebel và Kirk (1973) đã đề xuất ra lớp ánh xạ Dới đây là bốn kết quả tiêu biểu

5.1.Tính chất của môđun lồi Từ định nghĩa của môđun lồi trực tiếp suy

Ngời ta cũng chứng minh đợc rằng hàm số δX liên tục trên khoảng [0,2)

và tăng ngặt trên đoạn [ε0(X), 2] Từ đây suy ra rằng phơng trình

1 ))

γ X có một nghiệm duy nhất Ta sẽ ký hiệu nghiệm đó làγ0(X)

(hoặc γ 0 nếu không cần nhấn mạnh X) và sẽ gọi là hằng số Goebel-Kirk

Đặc biệt, nếu H là một không gian Hilbert thì vì

4 1 1 )

0 H =

Đến đây chúng ta có thể phát biểu một kết quả quan trọng về điểm bất

động của ánh xạ k-Lipschitz đều

5.1.1.Định lý (Goelel-Kirk,1973) Cho C là một tập lồi, đóng, bị chặn

trong không gian Banach X với ε0(X) < 1và cho T:C→C là một ánh xạ Lipschitz đều với k < γ0(X) Khi đó T có điểm bất động trong C.

k-Chứng minh Dễ kiểm tra rằng nếu ε0(X) < 1 thì γ0(X) > 1nên ta có thể giả thiết k ≥ 1 Lấy x0∈X tuỳ ý và đặt x T n x0

n = với n=1,2,3, Vì … ε0(X) < 1

nên X phản xạ và do đó C compact yếu và Ca({xn},C) không rỗng Lấy z1∈

({xn},C) và đặt r1 =r a({x n},z1).

Vì T là k-Lipschitz đều nên với mọi m≥ 1 ta có

lim supT x0 T z1 klim supT n m x0 z1 kr1

n

m n

0

2 sup

m n

) (

2

1

1 1

lim sup

0 1

z T z x T r

m n

n m

1 1 sup lim

kT

z T z kr

1 1 lim sup

kr

z T z kr

m

m X

Nếu r1 =r a({x n},z1) = 0thì T n x0 → z1và vì T liên tục nên Tz1= z1 Vậy ta

có thể giả thiết r1>0 Từ (4) ta có

) sup

lim ( 1

1

1

1 1

kT

z T z k

m

m X

Do đó

k kT

z T

m X

1 1 ) sup

lim (

m X

δ , thì theo định nghĩa của ta đợc

1 0 1

lim

(

1

1 1

1

1 1

X kr

z T

1 1

1 1 ( sup

lim

γ γ δ

Từ đó suy ra

0

1 1 1

sup lim

γ

kr z T

α X k k , từ (6) và (7) trong cả hai trờng hợp ta có

1 1 1

m n n

n m m

m

n m

z z

Vậy z* là điểm bất động của T và định lý đã đợc chứng minh

5.2 Một số khái niệm do Lipschitz đề xuất Lifschitz (1975) đa ra

một phơng pháp hoàn toàn mới để chứng minh định lý điểm bất động của

ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric mà khi quy về trờng hợp không gian Hilbert, kết quả này mạnh hơn hẳn kết quả trên đây của Goebel

và Kirk Trớc khi phát biểu kết quả này sẽ giới thiệu một khái niệm do Lifschitz đề xuất

Đặc trng Lifschitz của một không gian mêtric (M,d) đợc định nghĩa nh sau: K(M)= sup{β > 0 : ∃ α > 1} sao cho ∀x,y∈M và r>0,

M z r

y

x

d( , ) > ⇒ ∃ ∈ sao cho B(x, βr) ∩B(y, αr) ⊂B(z,r)};ở đây B(z,r) ký hiệu

hình cầu đồng tâm z bán kính r, Hiển nhiên ta có K(M)≥ 1 vì với β = 1 ta

chỉ cần chọn z=x

Hằng số Lifschitz của một không gian Banach (X, ) đợc xác định bởi

k0(X)=inf{ k(C)):C là tập hợp con lồi, đóng, bị chặn không rỗng của X}.Ngời ta đã chứng minh rằng K0(X)>1 nếu X lồi đều và K0(H)= 2 với mọi

không gian Hilbert H (do đó K0(H)>

2

5 ) (

5.2.1.Định lý (Lifschitz, 1975 ) Cho (M, d) là không gian mêtric đầy

đủ, bị chặn và T:M →M là ánh xạ k-Lipschitz đều với k< k(M) Khi đó T

có điểm bất động trong M.

Chứng minh Với mỗi y ta đặt r(y)=inf{R>0:∃x∈M sao cho dãy

) , ( ) , ( ) ,

Vì ε có thể nhỏ tuỳ ý và cho n=1, ta có Ty=y.

Lấy β thoả mãn k < β< K(M) Theo định nghĩa của K(M), tồn tại

1

>

α sao cho nếu d ( v u, ) > ρ thì tồn tại w∈M thoả mãn

) , ( ) , (

Nếu r(ym)=0 thì đặt ym+1=ym Nếu r(ym)>0 thì λr(y m) <r(y m) Theo định

nghĩa của r(ym), với mọi x∈M tồn tại n1 sao cho

( 1 , ) ( )

m m

n x y r y T

Đặc biệt, cho x=ym ta đợc ( 1 , ) ( )

m m

m

n y y r y T

d > λ Mặt khác, vì

) ( ) (

~

m n n n m

m n n m

m m

T B x

m m

m

) ( ) 1 ( ) ( )

B

2 ) ( <ε

5.2.2.Hệ quả Cho C là một tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong không

gian Banach X với k 0 (X)>1 và T:C →C là ánh xạ k-Lipschitz đều với k<

k 0 (X) Khi đó T có điểm bất động trong C.

Trong trờng hợp không gian Hilbert, kết quả này tốt hơn định lý trên

đây của Goebel – Kirk (vì 2

2

5 < ).

5.3 Một số khái niệm Casini và Maluta (1985) đa ra một kết quả

mới mà trong một số trờng hợp cũng tốt hơn kết quả của Goebel-Kirk Trớc hết chúng ta nêu thêm một vài khái niệm mới

Cho X là không gian Banach với chuẩn . , A,B là hai tập hợp con của

X Với mỗi điểm x∈X , ta đặt:

r(A,x) = sup{ y−x :y∈A},

r(A,B) = inf{r(A,x) :x∈B}, gọi là bán kính Chebyshev của A đối với B.

C(A,B)= {x∈B:r(A,x) =r(A,B)}gọi là tâm Chebyshev của A trong B.

Hằng số cấu trúc chuẩn tắc đều của không gian X đợc tính công thức

Nếu N(X)<1 thì X đợc gọi là không gian với cấu trúc chuẩn tắc đều Có

thể chứng minh đợc không gian nh vậy là phản xạ

Nhắc lại rằng nếu { }x n là một dãy bị chặn trong X thì

n n

∞

→ sup lim ) , (

,

r a({ }x n ,C) = inf{r a({ }x n ,x) :x∈C}},

Ca ({x n},C) = {x∈C:r a({ }x n ,x) =r a({ }x n ,C).