BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐỀ TÀI CÁC MD5-ĐẠI SỐ VỚI IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN BỐN CHIỀU VÀ K-BIỂU DIỄN CỦA CÁC MD5NHÓM LIÊN THÔNG TƢƠNG ỨNG MÃ số: CS2007.19.05 CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI: PGS-TS LÊ ANH VŨ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2007 DANH SÁCH NHỮNG NGƢỜI THAM GIA THỰC HIỆN VÀ CÁC ĐƠN VỊ PHỐI HỢP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI I Cá nhân tham gia thực đề tài Dƣơng Quang Hòa, học viên cao học khóa 15 chuyên ngành Hình học - Tô pô II Các quan phối hợp Viện Toán học, Viện khoa học Công nghệ quốc gia ( Giáo sƣ Tiến sỹ khoa học Đỗ Ngọc Diệp đại diện ) Khoa Toán, trƣờng Khoa học, Đại học Mahidol, Bangkok Thailand ( Tiến sỹ Nguyên Văn Sanh đại diện ) MỤC LỤC Trang TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU i SUMMARY iii LỜI CẢM ƠN .v GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI CÁC BÀI BÁO Bài báo thứ Bài báo thứ hai 17 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ Tên đề tài: Các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều K-biểu diễn MD5-nhóm liên thông tƣơng ứng Mã số: CS2007.19.05 Chủ nhiệm đề tài: PGS-TS Lê Anh Vũ Tel: (08) 8436496, 0913900689 E-mail: leanhvu@vn-mail.net, leanhvu58@yahoo.com Cơ quan chủ trì đề tài : Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM Cơ quan cá nhân phối hợp thực : • Dƣơng Quang Hòa, học viên cao học Toán KI chuyên ngành Hình học - Tô pô trƣờng Đại học Sƣ phạm thành phố Hồ Chí Minh • Viện Toán học, Viện Khoa học Công nghệ Quốc gia (do GS-TSKH Đỗ Ngọc Diệp đại diện) • Khoa Toán, trƣờng Khoa học, Đại học Mahidol Bangkok, Thailand (do TS Nguyễn Văn Sanh đại diện) Thời gian thực hiện: Từ tháng 04/2007 đến hết tháng 04/2008 Mục tiêu Đề tài nhằm nghiên cứu nhóm Lie đại số Lie thuộc lớp MD5 Liệt kê phân loại phận lớp Mô tả K-biểu diễn chúng Nội dung a) Tìm MD5-đại số thỏa mãn điều kiện ideal dân xuât giao hoán bốn chiều b) Mô tả hình học K-quỹ đạo tất MD5-nhóm liên thông tƣơng ứng với MD5-đại số tìm đƣợc -i- Kết đạt đƣợc (khoa học, ứng dụng, đào tạo, kinh tê-xã hội) 3.1 Các kết khoa học a) Liệt kê phân loại toàn lớp MD5-đại số có ideal dẫn xuất bốn chiều giao hoán (Kết đƣợc bảo cáo Hội thảo quốc tế Đại số Tổ hợp lần thứ hai Bắc kinh , Trung quốc, 6-10/07/2007 đồng thời đƣợc nhận đăng tạp chí khoa học trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh năm 2007) b) Mô tả hình học K-quỹ đạo toàn lớp MD5-nhóm liên thông tƣơng ứng với MD5-đại số kể (Kết đƣợc báo cáo Hội thảo quốc tế Đại số Tổ hợp lần thứ hai Tây An, Trung quốc, 12-14/07/2007 đồng thời đƣợc nhận đăng tạp chí khoa học trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh năm 2007) 3.2 Kết đào tạo Với kết khoa học nêu trên, hƣớng dẫn anh Dƣơng Quang Hòa (học viên cao học Toán khóa 15 chuyên ngành Hình học Tô pô trƣờng Đại học sƣ phạm thành phố Hồ Chí Minh) hoàn thành luận văn Thạc sỹ Toán bảo vệ vào tháng năm 2007 - ii - SUMMARY Project Title: On MD5-algebras which have 4-dimensinal commutative derived ideals and the K-representation of corresponding connected MD5-groups Code number: CS2007.19.05 Coordinator: Ass Prof Dr Le Anh Vu Implementing Institution : Ho Chi Minh City University of Pedagogy Cooperating Institution(s):  Duong Quang Hoa, Graduate student K 15 of Ho Chi Minh City university of Pedagogy, speciality of Geometry - Topology  Institute of Mathematics, Vietnam Academy of Science anf Technology (represented by Prof Dr of Science Do Ngoc Diep)  Department of Mathematics, Faculty of Science, Mahidol University, Bangkok Thailand (represented by Dr Nguyen Van Sanh) Duration: from April 2007 to April 2008 Objectives: Research and Classify MD5-algebras and MD5-groups Describe the K-representation of them Main contents a) Find out MD5-algebras which have 4-dimensionah commutative derived ideals b) Make the geometrical description of K-orbits of MD5-groups corresponding to these MD5-algebras Results obtained a) The classification up to an isomorphism of all MD5-algebras with the derived ideals is a 4-dimensional commutative Lie algebra ( t o appear - iii - in Journal of Science-Natural Sciences of Ho Chi Minh City University of Pedagogy, 2007) b) The description the geometry of K-orbits of corresponding subclass of connected MD5-groups (to appear in Journaỉ of Science-Natural Sciences of Ho Chi Mình City University of Pedagogy, 2007) - iv - LỜI CẢM ƠN      Tác giả chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, Ban Chủ Nhiệm Tổ Hình học khoa Toán - Tin học, phòng Khoa học Công nghệ Sau đại học, phòng Kế hoạch - Tài Trƣờng Đại học Sƣ phạm thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ, tạo điều kiện vật chất tinh thần cho tác giả hoàn thành đề tài khoa học Tác giả hân hạnh đƣợc cám ơn Đại học Beihang, Bắc Kinh, Trung Quốc (BeiHang University, Beijing, China), đặc biệt Giáo sƣ giáo sƣ Shangzhi Li mời tác giả tham dự đọc báo cáo kết nghiên cứu Hội thảo quốc tế lần thứ hai Đại số Tổ hợp (ICAC-07) Bắc kinh, Trung Quốc ngày 6-10 tháng năm 2007 Tác giả chân thành cám ơn Đại học Kiến trúc Kỹ thuật, Tây An, Trung Quốc (Xi'an University of Architecture and Technology, China), đặc biệt Giáo sƣ Karping Shum Giáo sƣ Xueming Ren mời tác giả tham dự đọc báo cáo kết nghiên cứu Hội thảo quốc tế lần thứ hai Đại số Tổ hợp (ICAC-07) Tây An, Trung quốc ngày 12-15 tháng năm 2007 Tác giả xin tỏ lòng biết ơn Giáo sƣ Tiến sỹ khoa học Đỗ Ngọc Diệp, ngƣời thầy đáng kính dành cho tác giả động viên khích lệ tài trợ vật chất quý giá giúp tác giả hoàn thành đề tài Tác giả xin chân thành cám ơn Tiến sỹ Nguyễn Hà Thanh, Tiến sỹ Huỳnh Quang Vũ đọc kỹ báo cáo đề tài cho nhận xét xác đáng Cám ơn Tiến sỹ Nguyễn Văn Sanh, Phó Giáo sƣ Tiến sỹ Bùi Xuân Hải thƣờng xuyên quan tâm động viên tác giả nghiên cứu đề tài -v- Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều…… GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI Xuất xứ tính cấp thiết đề tài Trong lĩnh vực Hình học - Tô pô, lý thuyết biểu diễn nhóm Lie hƣớng nghiên cứu lớn có nhiều ứng dụng Cơ học, Vật lý Năm 1962, Kirillov (xem [Ki]) phát minh phƣơng pháp quỹ đạo nhanh chóng trở thành phƣơng pháp hiệu để nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm Lie Phƣơng pháp cho phép ta nhận đƣợc tất biểu diễn bất khả quy unitar nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải từ K - quỹ đạo nguyên Trong khoảng thập niên 60 70 kỷ trƣớc, phƣơng pháp quỹ đạo Kirillov đƣợc nghiên cứu cải tiến, mở rộng áp dụng lý thuyết biểu diễn nhóm Lie nhiều nhà Toán học giới nhƣ L Auslander, B Kostant, Đỗ Ngọc Diệp, Đóng vai trò then chốt phƣơng pháp quỹ K-quỹ đạo biểu diễn đối phụ hợp (còn gọi K-biểu diễn) Do đó, việc mô tả K-quỹ đạo nhóm Lie, nhóm Lie liên thông giải đƣợc, đặc biệt có ý nghĩa lý thuyết biểu diễn nhóm Lie Các nhóm Lie đại số Lie giải đƣợc có cấu trúc không phức tạp, nhiên việc phân loại chúng chƣa đƣợc giải triệt để Năm 1980, trình nghiên cứu vấn đề tìm lớp C*- đại số lớp nhóm Lie mà C*- đại số chúng có khả mô tả đƣợc bàng phƣơng pháp KK-hàm tử, Đỗ Ngọc Diệp (xem [Di]) đề nghị xét lớp nhóm Lie đại số Lie thực giải đƣợc mà đơn giản phƣơng diện phân tầng K-quỹ đạo Đó lớp MD-nhóm MD-đại số Một nhóm Lie thực giải đƣợc mà K-quỹ đạo không chiều chiều cực đại đƣợc gọi MD-nhóm Ngay toán lớn đƣợc đặt phân loại MD-đại số đồng thời mô tả C*- đại số MD-nhóm băng phương pháp KK-hàm tử Việc phân loại lớp MD-đại số đến toán mở Để đơn giản hơn, ta phân nhỏ lớp MD-nhóm MD-đại số theo số chiều Tức xét lớp MDn-nhóm (và MDn-đại số) gồm MD-nhóm (và MD-đại số) nchiều Dễ thấy tất đại số Lie dƣới 4-chiều MD-đại số đƣợc liệt kê hết từ lâu nên ta xét lớp MDn-nhóm MDn-đại số với n>4 Năm 1984, Đào Văn Trà (xem [Tr]) liệt kê toàn lớp MD4-đại số Đến năm 1990, lớp MD4-đại số đƣợc (xem tài liệu [Vu2], [Vu3], [Vu4]) phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) Hiện tại, lớp MD5-đại số chƣa đƣợc liệt kê phân loại đầy đủ Mặt khác, phƣơng diện hình học, bỏ K-quỹ đạo 0-chiều, họ K-quỹ đạo chiều cực đại MD-nhóm liên thông có tính chất Lê Anh Vũ Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều…… §3 BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K-QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN ĐÃ XÉT 3.1 Các ký hiệu Giả sử G nhóm Lie G5,4,1 1 ,2 ,3  ; G5,4,2 1 ,2  , G5,4,3() , G5,4,4() , G5,4,5 , G5,4,6 1 ,2  , G 5,4,7   , G 5,4,8   , G5,4,9() , G5,4,10 , 1, 2, 3   \ { 0, 1}; G5,4,11 1 ,2 , , G5,4,12 , , G5,4,13 , , , 1, 2   \ { 0},   (0;); G5,4,14 ,, , ,  ,  >   (0;) Ký hiệu  đại số Lie nhóm G Ta chọn sở thích hợp ( X , X , X , X , X )  Lúc đó, với tƣ cách không gian vectơ chiều, = 5 Không gian đối ngẫu  đƣợc ký hiệu * Ta có đồng thức * = R5 với sở đối ngẫu  X , X , X , X , X  sở (X1, X2, X3, X4, X5) * * * * * Xét phần tử tùy ý F(  ,  ,  ,  ,  )    5 Nhƣ thông thƣờng ta ký hiệu  F K-quỹ đạo chứa F G * 5 3.2 Vài bổ đề Phép chứng minh két cân dùng vài bổ đề đƣợc chứng minh [Vu1] 3.2.1 Bổ đề (xem [Vu1]) Ta có bao hàm thức  F   F () : = {FX / X   } đó, với X  , FX phần tử * xác định < F X , U > : = < F, exp(adX)U >,  U   Hơn ánh xạ mũ expG toàn ánh đẳng thức xảy  3.2.2 Bổ đề (xem [Vu1]) Giả sử G liên thông Nếu họ  F (), F  * lập thành phân hoạch * họ  F (), F '   F, đóng mở (tương đối)  F, F  * Khi  F =  F () ,  F    Lê Anh Vũ 23 Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều…… Lê Anh Vũ 24 Lê Anh Vũ 25 Chứng minh Lấy phần tử X = ( a; b; c; d; f )   Tính toán trực tiếp ta đƣợc Do đó, tọa độ FX  * nhƣ sau: Áp dụng bổ đề 3.2.1 3.2.2, ta đƣợc kết luận định lý  Hoàn toàn tƣơng tự, MD5-nhóm lại, có định lý dƣới Để cho gọn, nhóm có tranh K- quỹ đạo tƣơng tự mô tả định lý Hơn nữa, rõ tham số nhóm thuộc tập hợp nào, liệt kê miền xác định chúng lần định lý 3.3.2 Định lý Giả sử G nhóm Lie G5,4,2 1 ,2  ; G 5,4,3   , G5,4,4() , G5,4,5, G5,3,6 1 ,2  , G 5,3,7   , G 5,4,8   , G5,4,9() , G5,4,10 ; 1, 2, 3   \ { 0, 1}; Khi ta có: (i) Nếu            F = { F } , (quỹ đạo 0_ chiều) Lê Anh Vũ 26 (ii) Nếu 2    2  2  quỹ đạo có chiều cho bởi: 3.3.3 Định lý Giả sử G nhóm Lie G5,4,11 1 ,2 , , G5,4,12 , , G5,4,13 , , 1, 2,   *,   (0;) Bằng cách đồng đại số Lie  x  x 2, xem F = (,  +i, ,), 1, 2,   *,   (0;), ta (i) Nếu   i      F = {F} (quỹ đạo chiều) (ii) Nếu   i  2  2  quỹ đạo có chiều đƣợc cho Lê Anh Vũ 27 3.3.4 Định lý Cho G nhóm Lie G5,4,14 ,, , ,  *,  > 0;   (0;) Bằng cách đồng đại số Lie với  x  x , xem F điểm  ,   i,   i  , ta (i) Nếu   i    i F = {F} (quỹ đạo chiều) (ii) Nếu   i    i  2 3.4 Nhận xét 3.4.1 Trong [Vu1], tác giả thứ chứng minh đƣợc rằng, MD4- nhóm liên thong, đơn liên, bất khả phân, họ K-quỹ đạo chiều cực đại tạo thành phân đo đƣợc Trong [Vu2], [Vu3], [Vu-Tr], [Vu-Th], khẳng định tƣơng tự đƣợc chứng minh cho MD5-nhóm liên thông đơn liên với ideal dẫn xuất giao hoán không chiều Bằng phƣơng pháp chứng minh tƣơng tự, ta có kết luận dƣới 3.4.2 Mệnh đề Giả sử G MD5-nhóm liên thông đơn liên nhóm G5,4,1  ,   , G5,4,2  ,  G 5,4,3   , G5,4,4() , G5,4,5, G5,3,6  ,  , G 5,3,7   , G 5,4,8   Lê Anh Vũ 28 G5,4,9(), G5,4,10, G5,4,11( 12 ,) , G5,4,12( , ) , G5,4,13( , ) , ;G họ K-quỹ đạo chiều cực đại VG =  { /   G} Khi (V G ,  G) lập thành phân đo Chúng ta gọi phân MD5-phân liên kết với G  3.5 Vài toán mở cần tiếp tục nghiên cứu 3.5.1 Đối với tất MD5-đại số MD5-nhóm liên thông đơn liên xét, cần phân loại tô pô MD5-phân tƣơng ứng mô tả C*-đại số kiểu MD5-phân phân thớ phƣơng pháp KK-hàm tử 3.5.2 Xây dựng lƣợng tử hóa biến dạng MD5-nhóm phân loại 3.5.3 Phân loại MD5-đại số với ideal dẫn xuất thứ không giao hoán để hoàn thành việc phân loại triệt để toàn lớp MD5-đại số 3.5.4 Giải vấn đề tƣơng tự nhƣ làm cho MD5-đại số MD5-nhóm xét cho MD5-đại số MD5-nhóm lại 3.5.5 Tiếp tục xét lớp MDn với n  đồng thời xét trƣờng hợp n tổng quát Lời cám ơn Các kết đƣợc tác giả thứ báo cáo Hội thảo quốc tế lần thứ hai Đại số Tổ hợp (ICAC-07) Tây An, Trung Quốc từ 12-15 tháng năm 2007 Các tác giả hân hạnh đƣợc cám ơn Ban tổ chức Hội thảo, đặc biệt giáo sƣ K.P Shum tài trợ cho tác giả thứ tham dự đọc báo cáo Hội thảo TÀI LIỆU THAM KHẢO [Co] A Connes, A Survey of Foliations and Operator Algebras, Proc Symp Pure Math., 38 (1982), 512 - 628, Part I [Ki1] A A Kirillov, Unitar peresentations of nilpotent Lie groups, UMN 17 (1962), No 4, 57 - 101 (In Russian) [Ki2] A A Kirillov, Elements of the Theory of Prepresentations, Springer - Verlag, Berlin - Heidenberg - New York, 1976 Lê Anh Vũ 29 [Vu1] Lê Anh Vũ, Không gian phân tạo K-quỹ đạo chiều cực đại lớp nhóm Lie MD4, luận án Phó tiến sỹ khoa học Toán lý, Viện toán học Việt nam (1990), 102 trang [Vu2] Le Anh Vu, Foliations Formed by K - orbits of Maximal Dimension of Some MD5-Groups, East-West Journal of Mathematics, Voi (2003), N°3, pp 159- 168 [Vu3] Le Anh Vu, On a subclass of 5-dimensional Lie Algebras Which have 3dimensional Commutative Derived Ideals, East-West J Math, (2005) N° , 13-22 [Vu-Tr] Lê Anh Vũ - Nguyễn Công Trí, Vài ví dụ MD5-đại số MD5-phân đo đƣợc liên kết với MD5-nhóm tƣơng ứng, Tạp chí Khoa học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, 42 (2006) N°8, 14-32 [Vu-Th] Le Anh Vu - Duong Minh Thanh, The Geometry of K-orbits of a Subclass of MD5-groups and Foliations Formed by Their Generic K-orbits, Contributions in Math And App., Proceeding of the International Conference in Math And App., December 2005, Bangkok, Thailand, A special Volume Published by East-West J Math (2006), 169-184 [Vu4] Lê Anh Vũ, Phân loại lớp MD-đại số năm chiều với ideal dẫn xuất chiều, tiền ấn phẩm (gửi đăng) TÓM TẮT BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K-QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN MÀ CÁC MD5-ĐẠI SỐ TƢƠNG ỨNG CÓ IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN BỐN CHIỀU Bài báo xét lớp MD5-nhóm, tức nhóm Lie thực giải đƣợc chiều mà có K-quỹ đạo không chiều chiều cực đại Lớp MD5-đại số Lie tƣơng ứng đƣợc tác giả thứ phân loại công bố trƣớc Kết mà báo đƣa mô tả tƣờng minh tranh hình học MD5-nhóm liên thông đơn liên xét ABSTRACT THE GEOMETRICAL PICTURE OF K-ORBITS OF CONNECTED AND SIMPLY CONNECTED MD5-GROUPS SUCH THAT THEIR MD5-ALGEBRAS HA VE 4-DIMENSIONAL COMMUTATIVE DERIVED IDEALS The paper presents a subclass of the class of MD5-groups, ie., fìve dimensional solvable Lie groups such that their K-orbit are orbit of zero or maximal dimension The main result of the paper is the description of the geometrical picture of K-orbits of connected and simply connected MD5-groups so that their MD5-algebras have 4-dimensional commutative derived ideals Lê Anh Vũ 30 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Nhận xét Trƣớc hết, khẳng định tất kết nêu báo thứ hai xét MD5-nhóm liên thông không thiết đơn liên Những hƣớng mở cần tiếp tục nghiên cứu thời gian tới 2.1 Nhanh chóng liệt kê đầy đủ phân loại MD5-đại số mà ideal dẫn xuất đại số Lie chiều giao hoán Tiếp theo liệt kê phân loại toàn lớp MD5-đại số Sau tiếp tục cho lớp MDn-đại số với n6 2.2 Nhiên cứu kỹ MD5-phân Cụ thể cần mô tả kiểu tô pô phân C*-đại số liên kết với MD5-phân Đây vấn đề phức tạp đòi hỏi công sức đầu tƣ nhều Sau tiếp tục mô tả C*-đại số MDnphân với n6 2.3 Xây dựng lƣợng tử hóa biến dạng K - quỹ đạo tất MD5nhóm đồng thời mở rộng toán cho lớp MDn-nhóm với n > Đó vấn đề thời đáng quan tâm Chúng tiếp tục nghiên cứu hƣớng dẫn luận văn thạc sỹ năm tới Kiến nghi 3.1 Có thể dùng đề tài làm tài liệu giảng dạy môn chuyên đề tự chọn cho học viên cao học chuyên ngành Hình học - Tô pô 3.2 Đề tài dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên cử nhân sƣ phạm cử nhân khoa học chuyên ngành Toán học kỳ cuối học tập môn chuyên đề làm luận văn tốtt nghiệp đại học Lê Anh Vũ 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [Tra] Đào Văn Trà, Về lớp đại số Lie số chiều thấp, Tuyển tập báo cáo Hội Thảo Khoa học Viện Toán học Việt Nam lần thứ 12, Hà Nội 1984 [Vu1] Lê Anh Vũ, Không gian phân tạo K-quỹ đạo chiều cực đại lớp nhóm Lie MD4, Luận án phó tiến sỹ khoa học Toán Lý, Viện toán học Việt Nam, Hà Nội 1990 [Vu - Tri] Lê Anh Vũ - Nguyễn Công Trí, Vài ví dụ MD5-đại số MD5-phân đo đƣợc liên kết với MD5-nhóm tƣơng ứng, Tạp chí khoa học trƣờng Đại Học Sƣ phạm TP HCM, số (42) Tiếng Anh [Co] A Connes, A Survey of Foliations and Operator Algebras, Proc Symp Pure Math., 38 (1982), 512 - 628, Part I [Di] Do Ngoc Diep, Method of Nocommutative Geometry for Group C*-algebras, Chapman and Hall/ CRC Press Research Notes in Mathematics Series, #416, 1999 [Ki] A A Kirillov, Elements of the Theory of Prepresentations, Springer -Verlag, Berlin - Heidenberg - New York, 1976 [So-Vi] V M Son et H H Viet, Sur la structure des C*-algebres d'une classe de groupes de Lie, J Operator Theory, 1 (1984), 77 - 90 [Vu2] Le Anh Vu, On the Structure of the C*- algebra of the Foliation Formed by the K-orbits of Maximal Dimension of the Real Diamond Group, J Operator Theory, 24(1990), 227 - 238 [Vu3] Le Anh Vu, On the Foliations Formed by the Generic K-orbits of the MD4Groups, Acta Math Vietnam, No (1990), 39 - 55 10 [Vu4] Le Anh Vu, Foliations Formed by Orbits of Maximal Dimension in the Coadjoint Representation of a Class of Solvable Lie Groups, Vest Moscovv Uni., Math Bulletin, Voi 48(1993), No3, 24 - 27 11 [Vu5] Le Anh Vu, Foliations Formed by K-Orbits of Maximal Dimension of Some MD5-Groups, East - West Journal of Mathematics, Voi 5, No (2003), pp 159- 168 12 [Vu6] Le Anh Vu, On a Subclass of 5-dimensional solvable Lie Algebras Which have 3-dimensional Commutative Derived Ideals, East - West Journal of Mathematics, Voi 7, No (2005), pp 13 - 22 13 [Vu - Thanh] Le Anh Vu and Duong Minh Thanh, The Geometry of K-orbits of a Subclass of MD5-Groups and Foliations Formed hy Their Generic K-Orbits, Contributions in Mathematics and Applications (ICMA, December 2005, Mahidol University, Bangkok, Thailand), pp 169- 184 (2006) Lê Anh Vũ 32 CHỮ KÝ CỦA CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI VÀ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG CƠ QUAN CHỦ TRÌ ĐỀ TÀI XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG CƠ QUAN CHỦ TRÌ ĐỀ TÀI CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI PGS-TS LÊ ANH VŨ Mẫu 1.2 CS 10 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGOÀI NƢỚC 10.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài • Bài toán tƣơng tự toàn lớp MD4 đƣợc Lê Anh Vũ giải trọn vẹn năm 1990 • Bài toán tƣơng tự lớp MD5 với ideal dẫn xuất giao hoán không chiều đƣợc giải Lê Anh Vũ, Nguyễn Công Trí Dƣơng Minh Thành năm từ 2003 đến 2005 • Đề tài tiếp nối nghiên cứu nhằm tiến tới giải toàn lớp MD5 10.2 Danh mục công trình liên quan (Họ tên tác giả; Nhan đề báo, ấn phẩm; Các yếu tố xuất bản) a) Của chủ nhiệm đề tài ngƣời tham gia thực đề tài Lê Anh Vũ - Nguyễn Công Trí, Vài ví dụ MDS-đại số MDS-phân đo liên kết với MDS-nhóm tương ứng, Tạp chí khoa học trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp HCM, số (42) Le Anh Vu, On a Subclass of 5-dimensional Solvable Lie Algebras Which Have 3-dimensional Commutative Derived Ideal, East West Joumal of Mathematics, Voi 5, No (200S), pp 13-22 Le Anh Vu and Duong Minh Thanh, The Geometry of K-orbtis of a Subclass of MDS-groups and Foliations Formed by Their Generic K-orbits, Contributions in Mathematics and Applications (Proceeding of the Intemational Conference in Mathematics and Applications, December 2005, Bangkok Thailand) - A special volume publishcd by East-West Joumal of Mathematics (2006), pp I 16 b) Của ngƣời khác Nguyen Viet Hai, Quantum co-adjoint orbtis of MD4-groups, Vietnam Joumal of Mathematics, Voi 29, IS 02/2001, pp 131-158 A A Kirillov, Elemenis of the Theory of Represeníatìons, springer - Verlag, Berlin -Heidenberg-New York, 1976 11 TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI • Nhóm nghiên cúu đề tài khoa học cấp nhà nƣớc Hình học không giao hoán tính toán lƣợng tử GS-TSKH Đỗ Ngọc Diệp chủ trì nghiên cứu nhiều tiếp tục triển khai nghiên cứu • Lớp MDS-đại số, MDS-nhóm K-biểu diễn chúng đƣợc nghiên cứu đạt đƣợc nhiều kết khả quan từ năm 2003 đến (04 báo khoa học công bố, 01 đề tài khoa học cấp sở nghiệm thu 01 đề tài khoa học cấp nghiệm thu 7/2006) • Nói chung lớp MDS với idel dẫn xuất giao hoán có số chiều không hoàn thành Do đòi hỏi cần phải nhanh chóng nghiên cứu tiếp MD5-đại số MDS-nhóm với ideal dẫn xuất giao hoán chiều Bởi đăng ký đề tài 12 MỤC TIÊU ĐỀ TÀI Liệt kê phân loại tất MDS-đại số với idel dẫn xuất giao hoán chiều Qua hoàn thành việc phân loại lớp MDS-đại số với idel dẫn xuất giao hoán (chiều từ đến 4) Nghiên cứu K-biểu diễn MDS-nhóm liên thông tƣơng ứng [...]... đăng k thực hiện đề tài "Các MD5- đại số với ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều và K- biểu diễn của các MD5- nhóm liên thông tương ứng" 2 Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu của đề tài này là tìm các MD5- đại số và MD5- nhóm mới với ideal dẫn xuất bốn chiều rồi nghiên cứu K- biểu diễn của chúng 3 Cách tiếp cận và phƣơng pháp nghiên cứu Chúng tôi sẽ tiếp cận và nghiên cứu đề tài bằng phƣơng pháp k t hợp các k thuật... MD4 -đại số, mô tả hình học K- biểu diễn của các MD4 -nhóm liên thông bất khả phân, phân loại tô pô tất cả các MD4-phân lá đồng thời mô tả tất cả các C* -đại số của các MD4-phân lá bằng phương pháp KK-hàm tử (xem [Vu1]) • Phân loại các MD5- đại số với ideal dẫn xuất giao hoán chiều không quá 3, mô tả hình học K- biểu diễn của các MD5- nhóm liên thông bất khả phân tương ứng và xét các MD5phân lá tương ứng với. .. MD5- nhóm liên thông bất khả phân tương ứng và xét các MD5- phân lá tương Lê Anh Vũ 2 Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều … ứng với các MD5- nhỏm đã xét (xem [Vu5], [Vu6], [Vu-Tr], [Vu-Th]) Nhƣ vậy, để hoàn thành việc phân loại các MD5- đại số với ideal dẫn xuất giao hoán, yêu cầu cấp thiết đặt ra là nhanh chóng nghiên cứu các MD5- đại số với ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều Chính vì... một MDnđại số Lê Anh Vũ 19 Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều … 2.3 Các MD5- đại số với ideal dẫn xuất 4 chiều giao hoán và các MD5- nhóm liên thông đơn liên tƣơng ứng 2.3.1 Mệnh đề (xem [Vu4]) Giả sử  là một MD5- đại số với 1 : = [ ,  ]  4 (đại số Lie giao hoán 4 chiều) • Nếu  khả phân thì nó có dạng  = h  , ở đó h là một MD4 -đại số • Nếu  bất khả phân thì ta luôn có thể... Liệt k đầy đủ và phân loại (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) lớp con tất cả các MD5- đại số với ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều (xem bài báo thứ nhất; §3, Định lý 3.2) 2 Mô tả hình học các K- quỹ đạo của toàn bộ lớp con các MD5- nhóm liên thông đơn liên bất khả phân tương ứng với các MD5- đại số mà ideal dẫn xuất bốn chiều giao hoán (xem bài báo thứ hai, §3, các định lý 3.3.1, 3.3.2, 3.3.3, 3.3.4 và. .. \{0,1}, 1  231 1 1  0 1 Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều … Lê Anh Vũ 11 Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều … 3.3 Phép chứng minh của định lý 3.3.1 Bổ đề Mỗi đại số Lie thực hiện 5 chiều  với ideal dẫn xuất thứ nhất 1 giao hoán 4 chiều đều là MD5- đại số 3.3.2 Chứng minh bổ đề Giả sử  là một đại số Lie thực 5 chiều với 1 = 4 Hiển nhiên là ta luôn... pháp KK-hàm tử (xem [Vui], [Vu2], [Vu3]) • Phân loại các MD5- đại số với ideal dẫn xuất giao hoán chiều không quá 3, mô tả hình học K- biểu diễn của các MD5- nhóm liên thông bất khả phân tương ứng và xét các MD5- phân lá tương ứng với các MD5- đã xét (xem [Vu4], [Vu5], [Vu-Tr], [Vu-Th]) 1.3 Tóm tắt k t quả chính của bài báo Bài báo sẽ cho một phân loại (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) tất cả các MD5- đại. .. ) là MD5- nhóm liên thông đơn liên tƣơng ứng với MD5- đại số  =  5,4,1 ( 1 ,  2 ,  3 ) Các họ MD5- nhóm này đều bất khả phân Trong bài báo khác, chúng tôi sẽ mô tả K- biểu diễn của 14 họ các MD 5nhóm này và sét họ các MD5- phân lá tƣơng ứng với chúng 3.5 Vài bài toán mở cần tiếp tục nghiên cứu 3.5.1 Đối với tất cả các MD5- đại số và MD5- nhóm liên thông đơn liên đã xét, cần phân loại tô pô các MD5- phân.. .Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều … hoàn toàn giống nhƣ họ các lá của một không gian phân lá Điều này gợi cho chúng ta xét các phân lá tạo thành từ họ các K- quỹ đạo chiều cực đại của mỗi MD -nhóm Nhƣ vậy, có thể k t hợp việc nghiên cứu K- biểu diên của các MD -nhóm và MD -đại số với các phân lá Khái niệm về không gian phân lá lần đầu tiên xuất hiện khi khảo sát các lời giải của. .. ứng và mô tả C*- đại số của các kiểu MD5- phân lá không phải phân thớ bàng phƣơng pháp KK-hàm tử 3.5.2 Xây dựng lƣợng tử hóa biến dạng trên các MD5- nhóm đã phân loại 3.5.3 Phân loại các MD5- đại số với ideal dẫn xuất thứ nhất không giao hoán để hoàn thành việc phân loại triệt để toàn bộ lớp MD5- đại số 3.5.4 Giải quyết các vấn đề tƣơng tự nhƣ đã làm cho các MD5 -đại số và MD 5nhóm đã xét cho các MD5- đại ... với ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều K- biểu diễn MD5- nhóm liên thông tương ứng" Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài tìm MD5- đại số MD5- nhóm với ideal dẫn xuất bốn chiều nghiên cứu K- biểu diễn. .. giao hoán không ba chiều, mô tả hình học K- biểu diễn MD5- nhóm liên thông bất khả phân tương ứng xét MD5- phân tương Lê Anh Vũ Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều … ứng với MD5- nhỏm... derived ideal Các MD5 – đại số với iđean dẫn xuất giao hoán bốn chiều … Bài báo thứ hai BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K- QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5- NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN MÀ CÁC MD5- ĐẠI SỐ TƢƠNG ỨNG CÓ IDEAL DẪN