BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ Mục lục —1— Mục lục Chương Giải tích tổ hợp 1.1 Hoán vị 1.2 Chỉnh hợp 1.3 Tổ hợp 1.4 Công thức nhị thức Newton 1.5 Tích đề Bài tập chương Chương Biến cố xác suất biến cố 2.1 Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu 2.2 Quan hệ biến cố phép toán 2.3 Xác suất biến cố 2.4 Các Công thức tính xác suất 11 2.5 Công thức Bernoulli 14 2.6 Công thức xác suất đầy đủ 14 2.7 Công thức Bayes 15 Bài tập chương 15 Chương Đại lượng ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất 21 3.1 Định nghĩa phân loại đại lượng ngẫu nhiên 21 3.2 Qui luật phân phối xác suất ĐLNN 21 3.3 Các tham số đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên 3.4 Một số qui luật phân phối xác suất thông dụng 28 24 Bài tập chương 31 Chương Đại cương thống kê toán 34 4.1 Tổng thể mẫu ngẫu nhiên 34 4.2 Các đặc trưng tương ứng tổng thể mẫu 35 4.3 Ước lượng điểm 37 4.4 Ước lượng khoảng 38 4.5 Kiểm định giả thiết thống kê 45 Bài tập chương 53 Tài liệu tham khảo 58 Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến Chương —2— GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1 HOÁN VỊ Cho tập hợp M gồm n(n ≥ 1) phần tử + Mỗi cách xếp n phần tử M theo thứ tự định gọi hoán vị n phần tử cho + Kí hiệu số hoán vị khác n phần tử Pn + Pn = n! Ví dụ 1.1.1 Có cách khác để xếp em học sinh vào ghế ngồi Giải: Có P4 = 4! = 24 cách 1.2 Chỉnh hợp 1.2.1 Chỉnh hợp không lặp Cho tập M gồm n(n ≥ 1) phần tử k số nguyên dương + Mỗi cách xếp k phần tử tập hợp M theo tứ tự định gọi chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử cho + Ký hiệu số chỉnh hợp không lặp chập k khác n phần tử cho Akn + Hai chỉnh hợp không lặp chập k khác chúng có phần tử khác chúng có thứ tự khác Akn = n! = n(n − 1) (n − k + 1) (n − k)! Ví dụ 1.2.1 Có số khác gồm chữ số thiết lập từ {1, 2, 3, 4, 5} Giải: Một số có chữ số lập từ {1, 2, 3, 4, 5} tương ứng với chỉnh hợp không lặp chập số 1, 2, 3, 4, Vậy số khác gồm chữ sỗ thiết lập từ 1, 2, 3, 4, bằng: 5! 5.4.3.2.1 A35 = = = 60 (5 − 3)! 2.1 1.2.2 Chỉnh hợp lặp + Gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập M tập hợp có thứ tự gồm k phần tử lấy từ tập M , mà phần tử có mặt tới k lần Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến —3— + Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nk Ví dụ 1.2.2 Lập tất chỉnh hợp lặp chập phần tử {1, 2} Giải: {1, 1, 1}; {1, 1, 2}; {1, 2, 1}; {1, 2, 2}; {2, 1, 1}; {2, 1, 2}; {2, 2, 1}; {2, 2, 2} Nghĩa có 23 = chỉnh hợp lặp chập khác phần tử Ví dụ 1.2.3 Có cách trao 15 phần thưởng cho người dự thi Giải: Mỗi cách phân 15 sản phẩm cho người chỉnh hợp chập 15 Vậy số cách để phân ngẫu nhiên 15 phần thưởng cho người là: 515 1.3 Tổ hợp Cho tập M gồm n phần tử + Một tổ hợp (không kể thứ tự) gồm k phần tử (k ≤ n) tập M gọi tổ hợp chập k n phần tử cho + Hai tổ hợp chập k n phần tử cho gọi khác chúng có phần tử khác + Số tổ hợp chập k khác n phần tử cho kí hiệu là: Cnk Cnk = n! k!(n − k)! + Chú ý: 0! = Ví dụ 1.3.1 Có cách để chọn sách số 10 Giải: cách chọn sách số 10 tổ hợp chập 10 Vậy số cách chọn là: 10! 10.9.8 C10 = = = 120 3!(10 − 3)! 3.2.1 Ví dụ 1.3.2 Có cách để chọn người lớp có 45 người để lao 45! động Giải: C45 = 5!(45 − 5)! 1.4 Công thức nhị thức Newton n n Cnk ak bn−k (a + b) = k=0 1.5 Tích đề + Tích đề tập hợp A1 , , Ak định nghĩa kí hiệu A1 × A2 × × Ak = {(a1 , , ak )|ai ∈ Ai } Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến + Nếu Ai có ni phần tử tích đề A1 , , Ak có n1 nk phần tử —4— Ví dụ 1.5.1 Có đường để từ A đến B đường để từ B đến C Hỏi có cách để từ A đến C mà qua B Giải: Mỗi cách lựa chọn phần tử tích đề tập hợp tương ứng có phần tử Vậy số cách lựa chọn là: 5.6 = 30 BÀI TẬP CHƯƠNG 1.1 Một lớp có 50 học sinh, cần bầu chức vụ là: lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó văn thể, bí thư chi đoàn, phó bí thư chi đoàn Hỏi có cách lựa chọn a) Mỗi người có thê kiêm nhiệm tối đa nhiệm vụ b) Mỗi người kiêm nhiệm tối đa nhiệm vụ c) Mỗi người kiêm nhiệm tối đa nhiệm vụ d) Mỗi người kiêm nhiệm tối đa nhiệm vụ 1.2 Có 14 sách đặt giá sách Hỏi có cách xếp nếu: a) Giá có ngăn đủ cho 14 b) Giá có hai ngăn, ngăn đủ chổ cho 14 c) Giá có hai ngăn, ngăn đủ chổ cho d) Giá có ngăn đủ chổ cho 10 (4 không để giá) e) Giá có hai ngăn, ngăn đủ chỏ cho sách (có không bỏ lên giá) 1.3 Có k chậu hoa m đôn để đặt chậu hoa Hỏi có cách để đặt chậu hoa lên đôn (mỗi đôn đặt chậu hoa) nếu: a) k = 6, m = b) k = 3, m = c) k = m = 1.4 Một học sinh phi thi môn 10 ngày (mỗi ngày thi môn) Có cách để lập chương trình thi? 1.5 Trong lô 100 sản phẩm có 80 sản phẩm tốt 20 sản phẩm xấu Hỏi a) Có cách lấy 10 sản phẩm b) Có khả lấy 10 sản phẩm có sản phẩm tốt sản phẩm xấu 1.6 Phân ngẫu nhiên 18 hành khách lên toa tàu a) Có cách phân ngẫu nhiên 18 hành khách lên toa tàu b) Có cách phân ngẫu nhiên 18 hành khách lên toa tàu mà toa thứ có người Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến — 5toa — c) Có cách phân ngẫu nhiên 18 hành khách lên toa tàu mà không người 1.7 Trong sàn nhảy có 10 nam nữ Hỏi có cách chọn đôi nam nữ để nhảy 1.8 Tỉnh A có đội bóng nam đội bóng nữ, tỉnh B có đội bóng nam đội bóng nữ Dự định diễn trận đấu hai đội bóng nam trận đấu hai đội bóng hai tỉnh Hỏi có phương án khác lựa chọn đội thi đấu 1.9 Có cách để chia 16 đội bóng đá thành bng, bng có đội 1.10 Giải ngoại hạng Anh có tất 20 đội tham dự Trong mùa giả tất đội gặp trận (trận lượt trận lượt về) Hỏi mùa Giải có trận đấu diễn Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến Chương —6— BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 2.1 PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN VÀ KHÔNG GIAN MẪU Trong thực tế ta thường gặp nhiều hành động mà kết dự báo trước được, chẳng hạn làm thí nghiệm hay quan sát tượng Ta gọi chúng phép thử ngẫu nhiên, ký hiệu T Các kết T ngẫu nhiên, xác định trước Tuy nhiên ta liệt kê tấc kết phép thử T + Không gian mẫu: Tập hợp tất kết xảy phép thử T , ký hiệu Ω Biến cố ngẫu nhiên: Mỗi tập A ⊂ Ω gọi biến cố + Biến cố sơ cấp: Mỗi phần tử ω ∈ Ω gọi biến cố sơ cấp + Biến cố biến cố không xảy phép thử thực hiện, ký hiệu ∅ + Biến cố chắn biến cố luôn xảy phép thử thực hiện, ký hiệu Ω Ví dụ 2.1.1 Quan sát tình hình hoạt động dây chuyền máy móc làm phép thử Việc dây chuyền máy móc hoạt động tốt hay hỏng hóc hai biến cố Ví dụ 2.1.2 Gieo xúc sắc quan sát số nốt mặt xuất xúc sắc làm phép thử Ta trước mặt xúc sắc xuất Không gian mẫu T Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} + {1} , {2} , {3} , {4} , {5} , {6} biến cố sơ cấp + A = {1, 3, 5} biến cố mặt lẻ + B = {2, 4, 6} biến cố mặt chẵn + C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} biến cố chắn, tức C = Ω + D = {7} biến cố có, tức C = ∅ Ví dụ 2.1.3 Kiểm tra sản phẩm Biến cố "không có sản phẩm tốt có sản phẩm kiểm tra" biến cố chắn Biến cố "có phế phẩm có sản phẩm kiểm tra" biến cố Biến cố "có sản phẩm tốt sản phẩm kiểm tra" biến cố ngẫu nhiên Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến 2.2 Quan hệ biến cố phép toán —7— Để giải toán xác suất, ta thường diễn tả biến cố phức tạp theo biến cố đơn giản + Tương đương: Biến cố A B gọi hai biến cố tương đương, ký hiệu A = B biến cố A xảy B xảy ngược lại Ví dụ 2.2.1 Tung xúc xắc, biến cố "xúc xắc mặt lẻ" biến cố "xúc xắc ba mặt: 1, 3, 5" hai biến cố tương đương + Xung khắc: Hai biến cố A B gọi xung khắc chúng xảy phép thử Ví dụ 2.2.2 Khi kiểm tra sản phẩm, biến cố "có phế phẩm" biến cố "có phế phẩm" hai biến cố xung khắc Các biến cố A1 , A2 , , An gọi xung khắc đôi biến cố số n biến cố xung khắc với + Biến cố đối lập: Biến cố gọi biến cố đối biến cố A xảy A không xảy ra, ký hiệu A¯ Ta có A¯ = Ω\A Ví dụ 2.2.3 Kiểm tra sản phẩm, biến cố "sản phẩm kiểm tra sản phẩm tốt" biến cố "sản phẩm kiểm tra sản phẩm xấu" hai biến cố đối lập Nhận xét: + Đặc biệt, trường hợp A biến cố chắn biến cố đối lập với A biến + So sánh với điều kiện xung khắc ta thấy: Hai biến cố đối lập xung khắc hai biến cố cung khắc chưa đối lập 2.2.1 Các phép toán biến cố a Phép hợp (tổng) + Hợp hai biến cố A B biến cố xảy có hai biến cố A B xảy ra, ký hiệu A ∪ B A + B Tổng quát, biến cố A gọi tổng n biến cố A1 , A2 , , An A xảy có n biến cố xảy Ký hiệu A = A1 ∪A2 ∪ ∪An n A = Ai i=1 Ví dụ 2.2.4 Xét phép thử quan sát hai xạ thủ bắn vào bia (mỗi xạ thủ bắn viên đạn) Gọi A biến cố "xạ thủ thứ bắn trúng bia", Gọi B biến cố "xạ thủ thứ hai bắn trúng bia", Gọi C biến cố "bia trúng đạn" Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến Rõ ràng C = A ∪ B —8— b Phép giao (tích) + Tích hai biến cố A B biến cố xảy A B xảy ra, ký hiệu AB A ∩ B Tổng quát, biến cố A gọi tích n biến cố A1 , A2 , , An A xảy tất biến cố A1 , A2 , , An xảy Ký hiệu A = A1 A2 An Ví dụ 2.2.5 Xét phép thử quan sát hai xạ thủ bắn vào bia (mỗi xạ thủ bắn viên đạn) Gọi D biến cố "xạ thủ thứ hai bắn trật" Gọi E biến cố "xạ thủ thứ hai bắn trật" gọi F biến cố "bia không trúng đạn" Rõ ràng F = D ∩ E c Nhóm đầy đủ biến cố Hệ n biến cố A1 , A2 , , An hệ đầy đủ xung khắc đôi biến cố xung khắc đôi tổng chúng biến cố chắn Ví dụ 2.2.6 Kiểm tra sản phẩm, gọi tương ứng biến cố có "0, 1, 2, sản phẩm tốt sản phẩm kiểm tra" Các biến cố hệ đầy đủ xung khắc đôi d Phép hiệu + Hiệu biến cố B với biến cố A biến cố "B xảy A không xảy ra", ký hiệu B\A Đặc biệt, ta có A¯ = Ω\A Nhận xét Khi giải nhiều toán xác suất, ta thường biểu diển biến cố phức hợp thành tổng tích biến cố đơn giản Ví dụ 2.2.7 Một nhà máy sản xuất sản phẩm Gọi Ai , i = 1, 2, biến cố "sản phẩm thứ i sản phẩm tốt" Khi A¯i , i = 1, 2, biến cố "sản phẩm thứ i phế phẩm" Nếu gọi A biến cố "có sản phẩm tốt sản phẩm nhà máy sản xuất" A = A1 A¯2 A¯3 ∪ A¯1 A2 A¯3 ∪ A¯1 A¯2 A3 Nếu gọi B biến cố "có sản phẩm tốt sản phẩm nhà máy sản xuất" B = A¯1 A2 A3 ∪ A1 A¯2 A3 ∪ A1 A2 A¯3 Nếu gọi C biến cố "có sản phẩm tốt sản phẩm nhà máy sản xuất" C = A1 A2 A3 2.3 2.3.1 Xác suất biến cố Khái niệm xác suất Giả sử biến cố phép thử Mặc dù tiến hành phép thử ta nói trước biến cố A xảy hay không ta thừa nhận rằng: có số đo Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến 9— khả xảy biến cố A, ký hiệu p(A) Khi p (A) = biến cố—chắc chắn p(A) = A biến cố Vậy xác suất biến cố số biểu thị khả xảy biến cố thực phép thử a Định nghĩa cổ điển xác suất Phần xây dựng mô hình xác suất cho phép thử "đối xứng" tung đồng xu hay gieo xúc sắc chọn ngẫu nhiên k phần tử từ tập hợp có hữu hạn phần tử Định nghĩa 2.3.1 Xác suất biến cố A tỉ số số trường hợp thuận lợi cho A số trường hợp đồng khả xảy thực phép thử, hay m p (A) = đó, m: số trường hợp thuận lợi cho n: số trường hợp đồng n khả xảy thực phép thử b Tính chất Nếu A biến cố ngẫu nhiên < P (A) < 1: Nếu A biến cố chắn P (Ω) = 1: Nếu A biến cố P (∅) = 0: Như A biến cố P (A) c phương pháp tính xác suất + phương pháp tính xác suất định nghĩa cổ điển + phương pháp suy luận trực tiếp + phương pháp sử dụng sơ đồ + phương pháp sử dụng khái niệm Giải tích tổ hợp Ví dụ 2.3.2 Gieo đồng thời xúc sắc chế tạo cân đối, đồng chất Tính xác suất để tổng số nốt xuất Giải Mỗi kết phép thử ba (a, b, c), a, b, c số nguyên dương từ đến Vậy số trường hợp đồng khả n = 63 = 216 Các ba có tổng là: (1, 2, 6) hoán vị nó; (1, 3, 5) hoán vị (1, 4, 4) hoán vị nó; (2, 2, 5) hoán vị (2, 3, 4) hoán vị nó; (3, 3, 3) Suy số 25 trường hợp thuận lợi m = + + + + + = 25 Vậy p(A) = 216 Ví dụ 2.3.3 Trước cổng trường có quán cơm bình dân chất lượng ngang Ba sinh viên Hồng, Hà, Hoa độc lập với chọn quán để ăn trưa Tính xác suất để: a) sinh viên vào quán; b) sinh viên vào quán, người vào quán khác Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến √ — 44 — (zα )2 f (1 − f ) Ta có ε = zα Suy n = Với α = 0, 01 Tìm zα sao: ε2 P (|Z| > zα ) = α, ta có zα = 2, 576 f (1−f ) √ n Ta có f = (0, 63 + 0, 57)/2 = 0, ε = (0, 630, 57)/2 = 0, 03 suy n = (2, 57620, 60, 4)/0, 032 = 1769, 54 ⇒ Số người phi điều tra n1 = 1770 Số người phải điều tra thêm 1770 − 1000 = 770 người 4.4.5 Xác định độ tin cậy Giả sử biết khong tin cậy có độ xác ε biết kích thước mẫu n Cần xác định độ tin cậy − α Xác định độ tin cậy ước lượng trung bình tổng thể Để đơn giản ta xét trường hợp kích thước mẫu n > 30 σ s Ta có ε = zα √ (TH biết σ ) ε = zα √ (TH σ ) n n Suy zα = √ ε n σ (TH biết σ ) (TH σ ) Từ giá trị zα , ta có P (|Z| > z) = α ⇒ độ tin cậy − α Ví dụ 4.4.8 Để ước lượng trọng lượng trung bình sản phẩm nhà máy, người ta điều tra 121 sản phẩm, phương sai mẫu cụ thể s2 = 15,3 trung bình mẫu cụ thể 98 Kg Ước lượng với độ xác 1Kg độ tin cậy √ s ε n Ta có ε = zα √ (TH σ ) Suy zα = ε = 1; n = 121 n s √ s = 15, = 3, 9115 ⇒; z = (1.11)/3, 9115 = 2, 8122 Từ P (|Z| > z) = α có α ≈ 0, 0049 ⇒ − α = 0, 9951 Vậy ước lượng trọng lượng trung bình sản phẩm khong 97 đến 99 Kg độ tin cậy 99,51% Xác định độ tin cậy ước lượng tỉ lệ tổng thể Xét trường hợp kích thước n đủ lớn √ f (1 − f ) √ Ta có ε = zα Suy zα = √ε n f (1−f ) n Từ giá trị zα , ta có P (|Z| > zα ) = α ⇒ độ tin cậy − α Ví dụ 4.4.9 Nghiên cứu nhu cầu tiêu dùng mặt hàng thành phố, người ta điều tra 1000 người chọn ngẫu nhiên tỉ lệ mẫu f = 60% Ước lượng tỉ lệ người (trong thành phố) có nhu cầu mặt hàng khoảng 55% đến 65% độ tin cậy bao nhiêu? Ta có f = 0, 6; ε = 0, 05; n = 1000 Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến √ Biết ε = zα — 45 — f (1−f ) √ n Suy √ √ 0, 05 × 1000 ε n = √ zα = ≈ 3, 2275 0, × 0, f (1 − f ) Ta có P (|Z| > zα ) = α0, 0013 ⇒ − α = 0, 9987 Vậy ước lượng tỉ lệ người có nhu cầu khoảng 55% đến 65% độ tin cậy 99,87% Chú ý TH: tra bảng P (Z > zα ) = α Thay zα = zα /2 vào toàn công thức có sử dung zα Để ý P (|Z| > zα ) = P (|Z| > zα /2) = 2P (z > zα /2) = α 4.5 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ 4.5.1 Khái niệm a Giả thiết thống kê + Giả thiết thống kê giả thiết tham số qui luật phân phối xác suất tính độc lập ĐLNN + Việc tìm kết luận chấp nhận bác bỏ gi thiết gọi kiểm định giả thiết thống kê + Giả thiết cần kiểm định gọi giả thiết không, ký hiệu H0 (hoặc H) Mệnh đề đối lập với H0 gọi giả thiết đối ký hiệu H1 (hoặc H) Chẳng hạn: H0 : θ = θ0 , H1 : θ = θ0 Kiểm định với giả thiết đối dạng gọi kiểm định giả thiết hai phía Còn kiểm định với giả thiết đối H1 : θ > θ0 (hoặc H1 : θ < θ0 ) gọi kiểm định phía b Mức ý nghĩa, miền bác bỏ Xét ĐLNN X tổng thể Giả sử cần kiểm định giả thiết H0 : θ = θ0 , H1 : θ = θ0 (chẳng hạn) Lập mẫu ngẫu nhiên (X1 , , Xn ) Chọn tiêu chuẩn kiểm định Z = f (X1 , , Xn , θ0 ) cho H0 ta xác định qui luật phân phối Z tính giá trị Z ứng với mẫu cụ thể Giả sử H0 => Chọn miền Wα cho P (Z ∈ Wα ) = α, với α > bé (biến cố Z ∈ Wα khó xảy ra) Với mẫu cụ thể, ta tính giá trị cụ thể Z z +Nếu Z ∈ Wα ta bác bỏ giả thiết H0 , thừa nhận H1 Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến — +Nếu Z ∈ / Wα ta tạm chấp nhận gi thiết H0 Miền Wα gọi miền — bác46bỏ gi thiết H0 Trị α gọi mức ý nghĩa kiểm định Thường chọn α ∈ [1%; 5%] c Sai lầm loại sai lầm loại + Sai lầm loại sai lầm mắc phải ta bác bỏ H0 thực tế H0 Xác suất mắc sai lầm loại P (Z ∈ Wα ) = α (chính mức ý nghĩa α) +Sai lầm loại sai lầm mắc phải ta chấp nhận H0 thực tế H0 sai Khi kiểm định giả thiết thống kê, ta phải hạn chế khả mắc phải hai loại sai lầm Thường ta làm sau: ấn định trước mức ý nghĩa α (cũng xác suất mắc sai lầm loại 1) Tìm miền bác bỏ Wα cho xác suất mắc sai lầm loại nhỏ Các miền bác bỏ Wα mà ta sử dụng kiểm định nói sau thỏa yêu cầu 4.5.2 Kiểm định giả thiết trung bình tổng thể Xét ĐLNN X tổng thể Giả sử trung bình tổng thể E(X) = µ ta chưa biết µ + Ta cần kiểm định giả thiết H0 : µ = m0 giả thiết đối H1 : µ = m0 với mức ý nghĩa α Lập mẫu ngẫu nhiên (X1 , , Xn ) Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến n < 30, chưa biết— 47 — n ≥ 30 chưa biết phưng sai σ X có phưng sai σ phân phối chuẩn X−m o √o Xét Z = S/√n Xét Z = X−m σ/ n Gs H0 đúng=> T có Gs H0 đúng=> Gs H0 đúng=> phân phối Student với Z ∈ N (0, 1) Z ∈ N (0, 1) bậc tự n − Với α đủ nhỏ, chọn Với α đủ nhỏ, chọn Với α đủ nhỏ, chọn zα cho zα cho tα cho P (|Z| > zα ) = α ( Biến cố P (|Z| > zα ) = α ( Biến cố P (|T | > tα ) = α (Biến cố (|Z| > zα ) biến cố (|Z| > zα ) biến cố (|T | > tα ) biến cố khó xãy ra) khó xãy ra) khó xãy ra) => Miền bác bỏ => Miền bác bỏ => Miền bác bỏ W = Z : |Z| > zα với zα W = Z : |Z| > zα với zα W = Z : |T | > tα với tα trên n > 30 ( n < 30 n < 30, chưa biết X có phân phối n ≥ 30 chưa biết phưng sai σ X có chuẩn) biết σ phưng sai σ phân phối chuẩn Qui tắc định Qui tắc định Qui tắc định +Chọn mẫu cụ thể kích +Chọn mẫu cụ thể kích +Chọn mẫu cụ thể kích thước n thước n thước n x−m x−m √ o + tính giá trị z = σ/√no + tính giá trị z = s/√no + tính giá trị t = x−m s/ n +Tra bảng phân phối +Tra bảng phân phối +Tra bảng ph/phối chuẩn tắc tìm giá trị tới chuẩn tắc tìm giá trị tới Student với bậc tự hạn zα cho hạn zα cho n − 1, tìm giá trị tới hạn P (|Z| > zα ) = α P (|Z| > zα ) = α tα P (|T | > tα ) = α +|z| > zα => bác bỏ giả +|z| > zα => bác bỏ giả + |t| > tα => bác bỏ giả thiết H0 ; |z| ≤ zα => thiết H0 ; |z| ≤ zα => thiết H0 |t| ≤ t => tạm tạm chấp nhận H0 tạm chấp nhận Ho chấp nhận Ho n > 30 ( n < 30 X có phân phối chuẩn) biết σ √o Xét Z = X−m σ/ n Ta cần kiểm định giả thiết H0 : µ = m0 giả thiết đối H1 : µ > m0 với mức ý nghĩa α Qui tắc định +Tính z +Tìm giá trị tới hạn zα cho P (Z > zα ) = α + z > zα =>bác bỏ H0 z ≤ zα =>Tạm chấp nhận H0 Qui tắc định +Tính z +Tìm giá trị tới hạn zα cho P (Z > zα ) = α + z > zα =>bác bỏ H0 z ≤ zα =>Tạm chấp nhận H0 Bài giảng xác suất thống kê Qui tắc định +Tính t +Tìm giá trị tới hạn tα cho P (T > tα ) = α +t > tα =>bác bỏ H0 t ≤ tα =>tạm chấp nhận H0 Th.s Phan Trọng Tiến 48 — Ta cần kiểm định giả thiết H0 : µ = m0 gi thiết đối H1 : µ < m0 với mức ý—nghĩa α Qui tắc định +Tính z +Tìm giá trị tới hạn zα cho P (Z < −zα ) = α + z < −zα =>bác bỏ H0 z ≥ −zα =>Tạm chấp nhận H0 Qui tắc định +Tính z +Tìm giá trị tới hạn zα cho P (Z < −zα ) = α + z < −zα =>bác bỏ H0 z ≥ −zα =>Tạm chấp nhận H0 Qui tắc định +Tính t +Tìm giá trị tới hạn tα cho P (T < −tα ) = α +t < −tα =>bác bỏ H0 t ≥ −tα =>tạm chấp nhận H0 Chú ý + Khi tìm zα để P (|Z| > zα ) = α (hoặc tìm tα để P (|T | > tα ) = α) Nếu tra bảng P (Z > zα ) = α thay zα = zα/2 Nếu tra bảng P (T > zα ) = α thay tα = tα/2 + Khi tìm zα để P (Z > zα ) = α (hoặc tìm tα để P (T > tα ) = α) Nếu tra bảng P (|Z| > zα ) = α thay zα = z2α Nếu tra bảng P (|T | > tα ) = α thay tα = t2α Tóm lại: Có thể thay zα = zα/2 ; zα = z2α ; thay tα = tα/2 tα = t2α Ví dụ 4.5.1 Trọng lượng bao hàng máy đóng bao sản xuất ĐLNN phân phối theo qui luật chuẩn với trọng lượng trung bình qui định 50 Kg Người ta cân thử 25 bao hàng tính x = 49, 74 Kg s = 0, Kg Với mức ý nghĩa 1% kết luận tình hình làm việc máy đóng bao đó: đóng bao hàng trọng lượng trung bình qui định không? Giải Gọi µ trọng lượng trung bình thực tế máy đóng bao sản xuất Đặt giả thiết H0 : µ = 50 H1 : µ = 50 Do σ chưa biết, ta kiểm định theo qui tắc sau: x − 50 (49, 74 − 50) Tính t = √ = = −2, 0, s/ 25 α = 0, 01 Tra bảng Student 24 bậc tự với P (|T | > tα ) = 0, 01, ta có tα = 2, 797 Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến — 49 — Ta có |t| < tα => Tạm chấp nhận H0 KL: Với mức ý nghĩa 1%, tạm coi máy đóng bao hàng có trọng lương trung bình thực tế qui định Ví dụ 4.5.2 Cũng ví dụ với yêu cầu muốn kiểm tra xem bao hàng máy đóng có trọng lượng trung bình có nhỏ qui định không (Do có nghi ngờ) Giải Gọi µ trọng lượng trung bình thực tế máy đóng bao sản xuất Đặt giả thiết H0 : µ = 50 H1 : µ < 50 Do σ chưa biết, ta kiểm định theo qui tắc sau: α = 0, 01 Tra bảng Student 24 bậc tự với P (T > tα ) = α = 0, 01, ta có tα = t2α = 2, 492 49, 74 − 50 √ Tính t = 25 = −2, 0, Ta có t = −2, < tα = −2, 492=> Bác bỏ H0 KL: Với mức ý nghĩa α = 1%, bao hàng máy đóng có trọng lượng trung bình thực tế nhỏ qui định 4.5.3 Kiểm định giả thiết tỉ lệ Giả sử tỉ lệ phần tử có tính chất A tổng thể p ta chưa biết p Cần kiểm định giả thiết H0 : p = p0 với mức ý nghĩa α Xét ĐLNN X tổng thể X xác định sau: X = phần tử có tính chất A X = phần tử tính chất A Lập mẫu ngẫu nhiên (X1 , , Xn ) với kích thước n > 30 Fn − p0 Xét Z = √ p0 (1 − p0 )/ n Gs H0 Người ta chứng minh Z ∼ N (0, 1) Tương tự kiểm định giá trị trung bình đưa đến Chọn mẫu cụ thể kích thước n lớn (n > 30) Qui tắc định H0 : p = p0 ; H1 : p = p0 +Tính z = √ f −p0 √ H0 : p = p0 ; H1 : p > p0 +Tính z = √ f −po √ H0 : p = p0 ; H1 : p < p0 +Tính z = √ f −p0 √ +Tìm zα cho P (|Z| > zα ) = α +|z| > zα => bác bỏ H0 |z| ≤ zα =>Tạm chấp nhận H0 +Tìm zα cho P (Z > zα ) = α +z > zα => bác bỏ H0 + z ≤ zα =>Tạm chấp nhận H0 +Tìm zα với P (Z < zα ) = α +z < −zα => bác bỏ H0 z ≥ −zα =>Tạm chấp nhận H0 p0 (1−p0 )/ n p0 (1−p0 )/ n Bài giảng xác suất thống kê p0 (1−p0 )/ n Th.s Phan Trọng Tiến — 50 — Ví dụ 4.5.3 Tỉ lệ phế phẩm dây chuyền sản xuất 5% Sau tiến hành cải tiến kỹ thuật người ta kiểm tra ngẫu nhiên 3000 sản phẩm thấy có 120 phế phẩm Với mức ý nghĩa 0,01 kết luận việc cải tiến kỹ thuật có làm giảm tỉ lệ phế phẩm không? Giải Gọi p tỉ lệ phế phẩm dây chuyền sau cải tiến Kiểm tra giả thiết H0 : p = 0, 05, H1 : p < 0, 05 Tỉ lệ phế phẩm mẫu 120/3000 = 0, 04 Tính z = √ 0, 04 − 0, 05 3000 = −2, 513 0, 05.(1 − 0, 05) α = 0, 01 Tìm zα sao: P (Z < zα ) = α=> zα = z2α = 2, 326 f − p0 √ = po (1 − p0 )/ n Ta có z < −2, 326 = −zα => bác bỏ H0 Kết luận: với mức ý nghĩa α = 1%, cải tiến kỹ thuật có làm giảm tỉ lệ phế phẩm 4.5.4 Kiểm định giả thiết hai trung bình Cho hai ĐLNN X Y độc lập, có phân phối chuẩn với E(X) E(Y ) chưa biết Cần kiểm định giả thiết H0 : E(X) = E(Y ) với mức ý nghĩa α Từ X lập mẫu ngẫu nhiên WX kích thước n1 , Từ Y lập mẫu ngẫu nhiên WY kích thước n2 X −Y Xét thống kê Z = D(X) D(Y ) + n2 n1 Giả sử H0 Người ta chứng minh Z ∼ N (0, 1) Lập luận tương tự suy ra: Qui tắc định: +Lấy mẫu cụ thể kích thước n1 (đối với X) mẫu kích thước n2 (đối với Y) x−y x−y +Tính z = (hoặc z = D(X), D(Y ) chưa biết, s2X s2Y D(X) D(Y ) + n2 + n2 n1 n1 Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến — 51 — n1 , n2 > 30 đủ lớn) H0 : E(X) = E(Y ); H1 : E(X) = E(Y ) +Tra bảng phân phối chuẩn tắc tìm zα cho P (|Z| > zα ) = α +|z| > zα => bác bỏ H0 |z| ≤ z=> tạm chấp nhận H0 H0 : E(X) = E(Y ); H1 : E(X) > E(Y ) +Tra bảng phân phối chuẩn tắc tìm zα cho P (|Z| > zα ) = α +z > zα => bác bỏ H0 z ≤ zα =>tạm chấp nhận H0 H0 : E(X) = E(Y ); H1 : E(X) < E(Y ) +Tra bảng phân phối chuẩn tắc tìm zα cho P (|Z| < −zα ) = α +z < −zα => bác bỏ H0 z ≥ −zα =>tạm chấp nhận H0 Ví dụ 4.5.4 Trong lượng loại sản phẩm hai nhà máy sản xuất ĐLNN có phân phối chuẩn có độ lệch tiêu chuẩn σ = 1Kg Cân thử 25 sản phẩm nhà máy thứ ta có x = 50Kg cân thử 20 sản phẩm nhà máy thứ hai ta có y = 50, 6Kg Với mức ý nghĩa α = 0, 05, kết luận xem trọng lượng trung bình sản phẩm hai nhà máy sản xuất có không Giải Gọi trọng lượng sản phẩm nhà máy thứ thứ hai sản xuất X Y (kg) X Y ĐLNN có phân phối chuẩn D(X) = D(Y ) = Kiểm định giả thiết H0 : E(X) = E(Y ); H1 : E(X) = E(Y ) α = 0, 05 Tìm zα : P (|Z| > zα ) = α Ta có zα = 1, 96 x−y 50 − 50, Tính z = = = −2 D(X) D(Y ) 1 + + 25 20 n1 n2 Ta có |z| > zα = 1, 96=> bác bỏ H0 KL: Với mức ý nghĩa α = 0, 05, xem trọng lượng trung bình sản phẩm hai nhà máy Ghi TH: D(X) = D(Y ) chưa biết giá trị cụ thể chúng Người ta chứng minh được: Nếu H0 (E(X) = E(Y ) ) với S∗2 = Bài giảng xác suất thống kê (n1 − 1)SX + (n2 − 1)SY2 n1 + n2 − Th.s Phan Trọng Tiến — 52 — có phân phối Student (n1 + n2 − 2) bậc tự Dựa vào kết suy qui tắc định n1 hay n2 < 30 4.5.5 Kiểm định hai tỉ lệ Giả sử p1 p2 tỉ lệ phần tử có tính chất A tổng thể thứ thứ hai Cần kiểm định giả thiết H0 : p1 = p2 giả thiết đối H1 : p1 = p2 với mức ý nghĩa α Lấy hai mẫu cụ thể kích thước n1 n2 (≥ 30) đủ lớn tổng thể thứ thứ hai Qui tắc định +Tính f1 , f2 tỉ lệ mẫu có tính chất A hai mẫu cụ thể Và tính p∗ tỉ lệ có tính chất A mẫu gồm hai mẫu gộp lại (p∗ = z= f1 − f2 p ∗ (1 − p∗) H0 : p1 = p2 ; H1 : p1 = p2 +Tra bảng phân phối chuẩn tắc tìm zα cho P (|Z| > zα ) = α +|z| > zα => bác bỏ H0 |z| ≤ z=> tạm chấp nhận H0 n1 f1 +n2 f2 ) n1 +n2 n1 + n2 H0 : p1 = p2 ; H1 : p1 > p2 +Tra bảng phân phối chuẩn tắc tìm zα cho P (|Z| > zα ) = α +z > zα => bác bỏ H0 z ≤ zα =>tạm chấp nhận H0 H0 : p1 = p2 ; H1 : p1 < p2 +Tra bảng phân phối chuẩn tắc tìm zα cho P (|Z| < −zα ) = α +z < −zα => bác bỏ H0 z ≥ −zα =>tạm chấp nhận H0 Ví dụ 4.5.5 Kiểm tra sản phẩm chọn ngẫu nhiên hai nhà máy sản xuất Ta có bảng sau Nhà máy số sản phẩm kiểm tra số phế phẩm A 1000 20 B 900 30 Với mức ý nghĩa α = 0, 05, coi tỉ lệ phế phẩm nhà máy không? Giải Gọi p1 p2 tỉ lệ phế phẩm nhà máy thứ thứ hai Xét giả thiết H0 : p1 = p2 H1 : p1 = p2 α = 0, 05 Tìm zα sao: P (|Z| > zα ) = α => zα = 1, 96 +Tính tỉ lệ phế phẩm nhà máy thứ f1 = 0, 02 nhà máy thứ hai f2 = 0, 0333 Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến — 53 — p∗ = (20 + 30)/(1000 + 900) = 1/38 − p∗ = 37/38 +Tính f1 − f2 z= p ∗ (1 − p∗) = n1 + n2 0, 02 − 0, 033 37 38 38 1000 + 900 = −1, 81 + |z| < zα = 1, 96 => Tạm chấp nhận H0 KL: Với mức ý nghĩa 5%, tạm coi tỉ lệ phế phẩm hai nhà máy BÀI TẬP CHƯƠNG 4.1 Đo chiều cao đường kính loại có độ tuổi Ta kết cho bảng sau: Chiều cao (cm) 104 99 105 103 102 106 Đường kính (cm) 11 13 15 14 12 12 Tính trung bình phương sai mẫu chiều cao đường kính 4.2 Quan sát thời gian cần thiết để sản xuất chi tiết máy, ta thu số liệu cho bảng sau: Khoảng thời gian (phút) Số quan sát Khoảng thời gian (phút) Số quan sát 20-25 40-45 14 25-30 14 45-50 30-35 26 50-55 35-40 32 Tính trung bình mẫu phương sai mẫu? 4.3 Tiến hành quan sát hai tiêu X Y, ta thu số liệu cho bảng sau: X 0.25 0.37 0.44 0.55 0.60 0.62 0.68 0.70 Y 2.57 2.31 2.12 1.92 1.75 1.71 1.60 1.51 X 0.73 0.75 0.92 0.84 0.87 0.88 0.90 0.95 Y 1.50 1.41 1.33 1.31 1.25 1.20 1.19 1.15 Tính: x; y; xy; s2X ; s2Y 4.4 Điều tra suất 100 hecta lúa vùng, người ta thu kết cho bảng sau: Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến Năng suất (tạ/ha) Diện tích (ha) Năng suất (tạ/ha) Diện tích (ha)— 54 — 30-35 50-55 20 35-40 12 55-60 40-45 18 60-65 45-50 27 65-70 Tính trung bình mẫu phương sai mẫu? 4.5 Để nghiên cứu nhu cầu loại hàng hóa khu vực, người ta tiến hành kho sát 800 gia đình Kết cho bảng đây: Nhu cầu (kg/tháng) Số gia đình (ni ) Nhu cầu (kg/tháng) Số gia đình (ni ) 30-35 25 55-60 142 35-40 48 60-65 94 40-45 83 65-70 50 45-50 159 70-75 10 50-55 189 Tính trung bình mẫu độ lệch chuẩn mẫu? 4.6 Thống kê số hàng hóa bán ngày số ngày bán lượng hàng tương ứng, ta có bảng số liệu sau: Lượng hàng bán số ngày (ni ) Lượng hàng bán số ngày (ni ) ngày (kg) ngày (kg) 100-200 400-450 70 200-250 12 450-500 35 250-300 56 500-550 30 300-350 107 550-700 10 350-400 75 Tính trung bình mẫu cho biết ý nghĩa thực tế nó? 4.7 Kho sát thu nhập tỉ lệ thu nhập chi cho giáo dục 400 hộ gia đình, ta thu số liệu cho bảng sau: Y X 10 20 30 40 50 150-250 10 40 20 250-350 40 60 20 350-450 20 80 40 450-550 30 30 10 Trong đó: X tỉ lệ thu nhập chi cho giáo dục (tính theo %), Y thu nhập bình quân người gia đình (đơn vị tính ngàn đồng/tháng) Tính trung bình mẫu phương sai mẫu X Y? Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến — 55 — 4.8 Kho sát mẫu gồm 12 người cho thấy số lần họ xem phim năm sau: 14, 16, 17, 24, 20, 32, 18, 29, 31, 15, 35 Tìm khoảng tin cậy 95% cho số lần trung bình mà người tới rạp chiếu bóng năm, biết số lần xem phim người đại lượng có phân phối chuẩn 4.9 Để định mức thời gian gia công chi tiết máy người ta theo dõi ngẫu nhiên thời gian gia công 25 chi tiết thu bảng số liệu sau đây: Thời gian (phút) 14 16 18 20 24 Số chi tiết 11 Với mức tin cậy 0.95, ước lượng thời gian gia công trung bình tối đa với loại chi tiết Cho biết thời gian gia công chi tiết tuân theo quy luật chuẩn 4.10 Năng suất ngô vùng A báo cáo lên qua 25 điểm thu hoạch là: Năng suất (tạ/ha) 11 13 17 Số điểm thu hoạch 12 Với mức tin cậy 0.95, tính suất trung bình ngô tối thiểu vùng Cho biết suất ngô tuân theo quy luật chuẩn 4.11 Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân xí nghiệp thấy lưng trung bình 380.000 đ/1 tháng Giả sử lương công nhân tuân theo quy luật chuẩn, với độ lệch chuẩn σ = 14 ngàn đồng Với độ tin cậy 95%, ước lượng mức lưng trung bình công nhân toàn xí nghiệp 4.12 Điều tra suất lúa diện tích 100 hécta trồng lúa vùng, ta thu bảng số liệu sau: Năng suất (tạ/ha) (xi ) Số có suất tương ứng (ni ) 41 10 44 20 45 30 46 15 48 10 52 10 54 1) Lập bảng tính trung bình mẫu x phương sai mẫu s2 ứng với số liệu 2) Ước lượng suất lúa trung bình vùng với độ tin cậy 95%? 3) Ước lượng suất lúa trung bình tối đa tối thiểu vùng với độ tin cậy 90%? 4) Những ruộng có suất từ 48 tạ/ha trở lên có suất cao a) Hãy ước lượng suất lúa trung bình có suất cao vùng với độ tin cậy 99% b) Hãy ước lượng tỷ lệ diện tích có suất cao vùng với độ tin cậy 95% Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến 56 — 4.13 Một trại chăn nuôi A xuất chuồng 200 lợn, trọng lượng tính— (Kg), ta có bảng số liệu sau: Trọng lượng (xi ) 45-55 55-65 65-75 75-85 85-95 95-105 Số lợn (ni ) 10 30 45 80 30 a) Lập bảng tính trung bình mẫu phương sai mẫu ứng với số liệu b) Ước lượng trọng lượng lợn (hơi) trung bình trại chăn nuôi A với độ tin cậy 95% c) Nếu chủ trại chăn nuôi A thông báo trọng lượng (hơi) trung bình trại chăn nuôi 80 kg có chấp nhận không với mức ý nghĩa 10% d) Lợn có trọng lượng từ 85 kg trở lên gọi lợn chóng lớn, ước lượng tỷ lệ lợn chóng lớn trại chăn nuôi với mức ý nghĩa 99% 4.14 Trọng lượng loại chi tiết biến số ngẫu nhiên quy theo quy luật chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn 1.2 kg Phải chọn chi tiết để điều tra, muốn độ xác ước lượng không vượt 0.3 mức tin cậy ước lượng 0.95 4.15 Chiều dài loại sản phẩm A máy tự động sản xuất biến số ngẫu nhiên quy theo quy luật chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn 3cm Phải chọn chi tiết để đo, muốn độ dài khoảng tin cậy không vượt 0,6 mức tin cậy ước lượng 0,99 4.16 Để điều tra số cá hồ, người ta đánh bắt 1000 cá, đánh dấu th xuống hồ Lần sau bắt lại 200 40 đánh dấu Với độ tin cậy 95% hãy: a) Ước lượng tỷ lệ cá đánh dấu hồ b) Ước lượng số cá hồ 4.17 Gieo 400 hạt giống có 20 hạt giống không ny mầm Tỷ lệ hạt giống không ny mầm tối đa bao nhiêu? Yêu cầu kết luận với mức tin cậy 0.95 4.18 Cơ quan cảnh sát giao thông kiểm tra hệ thống phanh 40 xe tải đường quốc lộ Họ phát 14 có phanh chưa đảm bo an toàn Tìm khoảng tin cậy 98% cho tỉ lệ xe tải có phanh chưa an toàn 4.19 Trong đợt vận động bầu cử tổng thống người ta vấn ngẫu nhiên 1600 cử tri biết 960 người số bỏ phiếu cho ứng cử viên A Với mức tin cậy 0.99, ứng cử viên A chiếm tối thiểu phần trăm số phiếu 4.20 Tỷ lệ nảy mầm loại hạt giống mẫu 90% Cần ước lượng tỷ lệ nảy mầm loại hạt giống với mức tin cậy 0.95 Với độ dài khoảng tin cậy đối xứng không vượt 0.02, phải gieo hạt? Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến — 57 — 4.21 Để xác định tỷ lệ người mắc chứng bướu cổ thiếu hụt iode khu vực dân cư đó, cần khám người? Nếu muốn cho khong ước lượng có độ xác không vượt 0.04 với mức tin cậy 0.95 4.22 Giả sử điểm trung bình môn toán 100 thí sinh thi vào ĐHNT 5, với độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh 2.5 a)Ước lượng điểm trung bình môn toán toàn thể sinh viên với độ tin cậy 95% b)Với độ xác 0.25 điểm, xác định độ tin cậy 4.23 Tuổi thọ loại bóng đèn biết theo quy luật chuẩn với độ lệch chuẩn 100 a) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm, thấy bóng tuổi thọ trung bình 1000 Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình bóng đèn xí nghiệp A sản xuất với độ tin cậy 95% b) Với độ xác 15 giờ, xác định độ tin cậy c) Với độ xác 25 độ tin cậy 95% cần thử nghiệm bóng 4.24 Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu kho đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu a) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu kho đồ hộp với độ tin cậy 94% b) Với sai số cho phép (độ xác) 3%, xác định độ tin cậy 4.25 Điều tra suất lúa vùng vụ hè thu năm 2007, người ta thu bảng số liệu sau: Năng suất (tấn/ha) 3-4 4-4.5 4.5-5 5-5.5 5.5-6 6-6.5 6.5-7 7-8 Diện tích (ha) 10 26 30 28 12 a) Những ruộng có suất tấn/ha ruộng có suất cao Ước lượng diện tích lúa có suất cao vùng với độ tin cậy 95% Biết diện tích lúa gieo trồng vùng 8000 (HD: Tính khoảng (p1 ; p2 ) sau nhân với 8000 ha) a) Điều tra sơ vụ hè thu năm 2006 thấy suất lúa vùng tấn/ha phương sai mẫu hiệu chỉnh 0,49 Vụ hè thu năm 2007 người ta áp dụng biện pháp kỹ thuật Hãy xét tác dụng biện pháp kỹ thuật với mức ý nghĩa 5% Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến — 58 — Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Hộ, Xác suất thống kê, NXB Giáo Dục, 2006 [2] Phạm Văn Kiều, Giáo trình xác suất thống kê, NXB Giáo Dục, 2007 [3] Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê, NXB Đại Học Quốc Gia, 2001 [4] Lê Văn Tiến, Lý thuyết xác suất thống kê toán học, NXB Nông Nghiệp, 1999 [5] Nguyễn Đình Hiền, Giáo trình xác suất thống kê, NXB Đại học Sư phạm, 2003 Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến [...]... của ĐLNN Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến —phân 22 — Để thiết lập quy luật phân phối xác suất của ĐLNN, ta có thể dùng: bảng phối xác suất hay hàm phân phối xác suất hoặc hàm mật độ xác suất 3.2.1 Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập qui luật phân phối xác suất của ĐLNN rời rạc X Giả sử ĐLNN X có thể nhận một trong các giá trị: x1 , x2 , , xn với xác suất tương... công ty Tìm xác suất để gặp được nhân viên nói tiếng Anh lưu loát? b Gặp ngẫu nhiên hai nhân viên của công ty Tìm xác suất để có ít nhất một người nói tiếng Anh lưu loát trong số 2 người gặp? Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến — 18 — 2.13 Ba sinh viên An, Hùng, Oanh cùng làm bài thi môn Giải tích Xác suất làm được bài của từng người lần lượt là 0, 7; 0, 6 và 0, 5 Tìm xác suất để: a Có... hơn? Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến Chương 4 — 34 — ĐẠI CƯƠNG VỀ THỐNG KÊ TOÁN 4.1 TỔNG THỂ VÀ MẪU NGẪU NHIÊN 4.1.1 Tổng thể Tập hợp các phần tử mà ta cần kho sát về một hay một số dấu hiệu nào đó gọi là một tổng thể Giả sử ta nghiên cứu về dấu hiệu X ∗ nào đó của các phần tử trong tổng thể Dấu hiệu X ∗ này thường được cụ thể hóa thành các giá trị thay đổi từ phần tử này qua phần. .. 2) = C62 2 C10 = C42 2 C10 = 2 15 ; p2 = P (X = 1) = C61 C41 2 C10 = 8 15 ; p3 = 5 15 Vậy bảng phân phối xác suất của X: X p Bài giảng xác suất thống kê 0 2/15 1 8/15 2 5/15 Th.s Phan Trọng Tiến 3.2.2 — 23 — Hàm phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất dùng để thiết lập qui luật phân phối xác suất của cả ĐLNN rời rạc và liên tục 3.2.2.1 Định nghĩa Hàm phân phối của ĐLNN X được định nghĩa bởi biểu... loại I trở lên thì mua lô hàng đó a Tìm xác suất để lô hàng có tỷ lệ sản phẩm loại I là 70% được mua? b Tìm xác suất để có ít nhất một lô hàng được mua? c Nếu chỉ có một lô hàng được mua Tìm xác suất để đó là lô hàng có tỷ lệ sản phẩm loại I là 70%? Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến Chương 3 — 21 — ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 3.1 3.1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI CÁC... xuất hiện mặt sấp tiến dần đến 0.5 (xác suất xuất hiện mặt sấp khi tung đồng xu là 0.5) Vậy tần suất dần đến xác suất khi số phép thử tăng lên Định nghĩa Tần suất xuất hiện biến cố sẽ hội tụ về xác suất xuất hiện biến cố khi số phép thử tăng lên vô hạn Trong thực tế với số phép thử đủ lớn ta có p (A) ≈ f (A) 2.4 2.4.1 Các Công thức tính xác suất Công thức cộng xác suất Định lý 2.4.1 Nếu A và B là hai... phẩm của nhà máy Giả sử xác suất làm ra phế phẩm của phân xưởng I là 0,01, của phân xưởng II là 0,02 và phân xưng III là 0,025 Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy Tính xác suất để đó là phế phẩm? 2.20 Một phân xưởng có 3 máy Xác suất để mỗi máy sản xuất ra sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật lần lượt là 0,9 ; 0,8 và 0,7 Trong một giờ mỗi máy sản suất Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến... Tìm xác suất của biến cố ta không cần thực hiện phép thử (phép thử chỉ thực hiện một cách giả định) Nhược điểm: Chỉ áp dụng để tính xác suất khi phép thử có tính "đối xứng" và đòi hỏi phép thử phải xác định số trường hợp thuận lợi và số trường hợp đồng khả năng và đó là những số hữu hạn nhưng trong thực tế đa số các phép thử không thỏa mãn các yêu cầu đó e Định nghĩa xác suất theo thống kê Bài giảng xác. .. xác suất 2.4.2.1 Xác suất có điều kiện Định nghĩa Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xãy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A, ký hiệu P (A/B) Ví dụ 2.4.7 Một túi đựng 5 quả cầu, (trong đó có 2 quả màu trắng) Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) lần lượt từ túi ra 2 quả cầu Tính xác suất để lần thứ hai được quả cầu trắng biết rông lần thứ nhất lấy được quả cầu trắng Bài giảng. .. rạc nhận một trong các giá trị: 0, 1, , n và các xác suất tương ứng tính theo công thức (3.4.2) Định lý 3.4.4 Nếu thì i E (X) = λ ii D (X) = λ iii λ − 1 M od (X) λ Ví dụ 3.4.5 Một xe ti vận chuyển 4000 chai Cocacola Xác suất một chai Cocacola bị vỡ khi vận chuyển là 0,001 a) Tìm xác suất để có không quá 3 chai bị vỡ khi vận chuyển Bài giảng xác suất thống kê Th.s Phan Trọng Tiến — 30 — b) Tìm số chai ... phối xác suất ĐLNN, ta dùng: bảng phối xác suất hay hàm phân phối xác suất hàm mật độ xác suất 3.2.1 Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập qui luật phân phối xác suất. .. phối xác suất X: X p Bài giảng xác suất thống kê 2/15 8/15 5/15 Th.s Phan Trọng Tiến 3.2.2 — 23 — Hàm phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất dùng để thiết lập qui luật phân phối xác suất ĐLNN... Tìm xác suất để lô hàng có tỷ lệ sản phẩm loại I 70% mua? b Tìm xác suất để có lô hàng mua? c Nếu có lô hàng mua Tìm xác suất để lô hàng có tỷ lệ sản phẩm loại I 70%? Bài giảng xác suất thống kê