ĐÀN hồi ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN tử hữu hạn

BÀI TẬP LỚNĐÀN HỒI ỨNG DỤNG - PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN     Giải bài toán bằng phương pháp phần tử hưu hạn đối với các tấm chịu lực cho trên các sơ đồ kèm theo, số phần tử lấy bằn

Trang 1

BÀI TẬP LỚN

ĐÀN HỒI ỨNG DỤNG - PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

  

 Giải bài toán bằng phương pháp phần tử hưu hạn đối với các tấm chịu lực cho trên các sơ đồ kèm theo, số phần tử lấy bằng 4 theo gợi ý trên sơ đồ Cho biết E, q, a,

bề dày của tấm là h, lấy  = 0,25

 Số liệu được giao:

 Sơ đồ liên kết: 2

 Sơ đồ hình học: VII

 Sơ đồ tải trọng: B

 Trình tự thực hiện:

 Vẽ lại các tấm với các kích thước, liên kết và tải trọng theo các sơ đồ được giao

 Chia tấm thành 4 phần tử tam giác theo gợi ý trên sơ đồ Đánh số tên các phần tử, tên các nút

 Gọi tên các ẩn số chuyển vị nút, viết vecto chuyển vị nút

 Xác định ma trận độ cứng của từng phần tử, kèm theo ký hiệu của các thành phần trong ma trận

 Tìm ma trận độ cứng chung cho toàn tấm

 Tìm vecto ngoại lực nút

 Theo điều kiện biên, khử dạng suy biến của ma trận độ cứng, thu gọn dạng

phương trình để giải P = K.X

 Giải phương trình Viết lại kết quả của vecto chuyển vị nút

 Tính các ứng suất xx; yy; xy trong từng phần tử

 Tính ứng suất tại các nút theo các giá trị trung bình:

 = 1n r

Trang 2

 Chia phần tử, đánh số phần tử, số nút, số ẩn số, biểu diễn liên kết:

Tấm được chia làm 4 phần tử I, II, III, IV, có sáu nút 1, 2, 3, 4, 5, 6, mỗi nút có hai chuyển vị Được thể hiện trên hình 1

Hình 1

1 Phần tử I.

Tên gọi và thứ tự nút: 1, 5, 2 (ngược chiều kim đồng hồ)

Tọa độ nút: 1(0, 2a); 5(0, 0); 2(a, a)

Véc tơ ẩn số nút: T = {X1 X2 X3 X4 X5 X6} (theo thứ tự nút)

Diện tích phần tử:  = a2

Ma trận hình học B1:

BI = 12[b1 0 b2 0 b3 0

c1 b1 c2 b2 c3 b3]

Trong đó: bi = yj - yk

ci = xk - xj

với các chỉ số i, j, k được hoán vị vòng tròn

Trang 3

Ta có: b1 = - a ; b2 = - a ; b3 = 2a

c1 = a ; c2 = -a ; c3 = 0

BI = 2 a1 [−10 01 −10 −1 0 00 2 0

Ma trận vật lí D:

D = [ C1 C1C2 0

C1C2 C1 0

Với: C1= E

1− ❑2 , C2 =  cho ứng suất phẳng

C1= E ¿ ¿ , C2 = 1−❑¿ ¿ cho biến dạng phẳng

C12 = C1(1−C2)

Ta có:  = 0.25

Cho ứng suất phẳng:

C1 = E

1−0,25 2 = 1615E C2 = 0,25

C12 = 16 E (1−0,25)15.2 = 25E

D = 16 E15 [0,251 0,251 00

D = 2 E15 [8 2 02 8 0

Trang 4

D.BI = 2 E15 [8 2 02 8 0

0 0 3].2 a1 [−10 01 −10 −1 0 00 2 0

Ma trận độ cứng của phần tử k = t..BT.D.B

Ma trận độ cứng có thứ tự tên gọi và thành phần phù hợp với vecto ẩn số trong phần tử I được xác định như sau:

kI =[k11 k12 k13 k14 k15 k16

k21 k22 k23 k24 k25 k26

k31 k32 k33 k34 k35 k36

k41 k42 k43 k44 k45 k46

k51 k52 k53 k54 k55 k56

k61 k62 k63 k64 k65 k66]

kI = h.a2 2 a1 [−10 01 −11

0 0 2 ].15 a E [−8−2 28 −8 −2 16 0−2 −8 4 0

kI =30 a Eh [−115 −511 51 −1 −16−5 4 −66

2 Phần tử II.

Trang 5

Tên gọi và thứ tự nút: 2, 5, 6 (ngược chiều kim đồng hồ).

Tọa độ nút: 2(a, a); 5(0, 0); 3(2a, 0)

Véc tơ ẩn số nút: T = {X3 X4 X7 X8 X5 X6} (theo thứ tự nút) Diện tích phần tử:  = a2

BII = 12[b1 0 b2 0 b3 0

c1 b1 c2 b2 c3 b3]

ci = xk - xj

Ta có: b1 = 0 b2 = -a b3 = a

c1 = 2a c2 = -a c3 = -a

BII = 2 a1 [0 0 −10 2 0 −10 10 −10

D = [ C1 C1C2 0

C1C2 C1 0

Với: C1= E

C12 = C1(1−C2)

Ta có:  = 0.25

C1 = E

1−0,252 = 1615E C2 = 0,25

C12 = 16 E (1−0,25)

Trang 6

D = 16 E15 [0,251 0,251 00

D = 2 E15 [8 2 02 8 0

D.BII = 2 E15 [8 2 02 8 0

0 0 3].2 a1 [ [0 0 −10 2 0 −10 10 −10

= 15 a E [00 16 −2 −84 −8 −2 82 −2−8

kII = [k33 k34 k37 k38 k35 k36

k43 k44 k47 k48 k45 k46

k73 k74 k77 k78 k75 k76

k83 k84 k87 k88 k85 k86

k53 k54 k57 k58 k55 k56

k63 k64 k67 k68 k65 k66]

kII = h.a2 2 a1 [ 00 02 20

0 −1 1 ].15 a E [00 16 −2 −84 −8 −2 82 −2−8

Trang 7

kII =30 a Eh [120 320 −−64 −16−6 −64 −166

3 Phần tử III.

Tọa độ nút: 3(2a, 2a); 4(a, a); 6(2a, 0)

Véc tơ ẩn số nút: T = {X5 X6 X7 X8 X9 X10} (theo thứ tự nút) Diện tích phần tử:  = a2

BIII = 12[b1 0 b2 0 b3 0

c1 b1 c2 b2 c3 b3]

ci = xk - xj

Ta có: b1 = a ; b2 = -2a b3 = a

c1 = a ; c2 = 0 c3 = -a

BIII = 2 a1 [1 0 −20 1 0 00 10 −10

D = [ C1 C1C2 0

C1C2 C1 0

Với: C1= E

Trang 8

C12 = C1(1−C2)

Ta có:  = 0.25

C1 = E

1−0,252 = 1615E C2 = 0,25

C12 = 16 E (1−0,25)15.2 = 25E

D = 16 E15 [0,251 0,251 00

D = 2 E15 [8 2 02 8 0

D.BIII = 2 E15 [8 2 02 8 0

0 0 3].2 a1 1 0 −20 1 0 00 10 −10

= 15 a E [8 2 −162 8 −4 00 82 −2−8

Trang 9

kIII = [ k55 k56 k57 k58 k59 k5.10

k65 k66 k67 k68 k69 k6.10

k75 k76 k77 k78 k79 k7.10

k85 k86 k87 k88 k89 k8.10

k95 k96 k97 k98 k99 k9.10

k10.5 k10.6 k10.7 k10.8 k10.9 k10.10]

kIII = h.a2 2 a1 [ 10 01 11

kIII =30 a Eh [ 115 115 −16 −6− 4 −6 −1 −55 1

4 Phần tử IV.

Tọa độ nút: 3(2a, 2a); 6(2a, 0); 4(3a, a)

Véc tơ ẩn số nút: T = {X5 X6 X9 X10 X11 X12} (theo thứ tự nút)

Diện tích phần tử:  = a2

Ma trận hình học BIV:

BIV = 12[b1 0 b2 0 b3 0

c1 b1 c2 b2 c3 b3]

Trang 10

ci = xk - xj

Ta có: b1 = -a b2 = - a b3 = 2 a

c1 = a c2 = -a c3 = 0

BIV = 2 a1 [−10 01 −10 −1 0 00 2 0

D = [ C1 C1C2 0

C1C2 C1 0

Với: C1= E

C12 = C1(1−C2)

Ta có:  = 0.25

C1 = E

1−0,252 = 1615E C2 = 0,25

C12 = 16 E (1−0,25)15.2 = 25E

D = 16 E15 [0,251 0,251 00

D = 2 E15 [8 2 02 8 0

Trang 11

D.BIV = 2 E15 [8 2 02 8 0

0 0 3].2 a1 [−10 01 −10 −1 0 00 2 0

kIV = [ k55 k56 k59 k5.10 k5.11 k5.12

k65 k66 k69 k6.10 k6.11 k6.12

k95 k96 k99 k9.10 k9.11 k9.12

k10.5 k10.6 k10.9 k10.10 k10.11 k10.12

k11.5 k11.6 k11.9 k11.10 k11.11 k11.12

k12.5 k12.6 k12.9 k12.10 k12.11 k12.12]

kIV = h.a2 2 a1 [−10 01 −11

0 0 2 ].15 a E [−8−2 28 −8 −2 16 0−2 −8 4 0

kIV =30 a Eh [−115 −511 51 −1 −16−5 4 −66

* Ma trận độ cứng toàn hệ: K = Kij với Kij =kij

Trang 12

Phù hợp với các ẩn số nút, ma trận K có cấp 12x12 , viết theo thứ tự tên gọi các

ẩn số như sau:

K =

[k k1121 k k1222 k k1323 k k1424 k k1525 k k1626 k k1727 k k1828 k k1929 k k1.102.10 k k1.112.11 k k1.122.12

k31 k32 k33 k34 k35 k36 k37 k38 k39 k3.10 k3.11 k3.12

k41 k42 k43 k44 k45 k46 k47 k38 k39 k3.10 k3.11 k3,12

k51 k52 k53 k54 k55 k56 k57 k58 k59 k5.10 k5.11 k5.12

k61 k62 k63 k64 k65 k66 k67 k68 k69 k6.10 k6.11 k6.12

k71 k72 k73 k74 k75 k76 k77 k78 k79 k7.10 k7.11 k7.12

k81 k82 k83 k84 k85 k86 k87 k88 k89 k8.10 k8.11 k8.12

k91 k92 k93 k94 k95 k96 k97 k98 k99 k9.10 k9.11 k9.12

k10.1 k10.2 k10.3 k10.4 k10.5 k10.6 k10.7 k10.8 k10.9 k10.10 k10.11 k10.12

k11.1 k11.2 k11.3 k11.4 k11.5 k11.6 k11.7 k11.8 k11.9 k11.10 k11.11 k11.12

k12.1 k12.2 k12.3 k12.4 k12.5 k12.6 k12.7 k12.8 k12.9 k12.10 k12.11 k12.12]

K =30 a Eh

* Vecto tải trọng: Quy đổi tải trọng trên các cạnh về tải trọng tập trung tương đường đặt

tại nút, ta nhận được sơ đồ tải trọng của tấm như trên hình 2

Trang 13

Hình 2

Theo sơ đồ tải trọng, ta có:

P1 = 56 qa P2 = qa P3 = 0

P4 = 2qa P5 = 0 P6 = 2qa

P7 = 0 P8 = 1318.qa P9 = 76 qa

P10 =19.qa P11 = 0 P12 = 12.qa

PT = P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 

= qa 5/6; 1 ; 0; 2 ; 0; 2 ; 0; 1318 ; 7/6; 19; 0; 12 

* Phương trình viết cho toàn tấm: P = K.X

* Điều kiện biên Theo đề ra, ta có X1= X3 = X4= X6 = X12 = 0 , do đó cần:

Trang 14

+ Loại bỏ X1, X3, X4, X6, X12 trong vecto các ẩn số;

+ Loại bỏ P1, P3, P4, P6, P12, trong vecto tải trọng

+ Loại bỏ các dòng và các cột 1, 5, 6, 8, 10 trong ma trận độ cứng K Phương trình thu gọn lại:

[P2

P3

P4

P7

P9

P11

P12] = E h30 [114 764 −60 00 −22 −221 0 100

X5

X7

X8

X9

X10

X11]

qa18 [180

32

0

21

0

9] = E h30 [114 764 −60 00 −22 −221 0 100

X5

X7

X8

X9

X10

X11]

 [X2

X3

X4

X7

X9

X11

X12] = 3 Eh 5 qa[2,0570,703

1,672 0,621 2,589 0,877 1,461]

* Vecto chuyển vị nút: Viết đầy đủ là:

X = 0; 2,057; 0,703; 1,672; 0; 0; 0,621; 0; 2,589; 0; 0,877; 1,461

* Ứng suất trong các phần tử:

Trang 15

Phần tử I:

I = [❑xx

❑yy

❑xy] = D.B1.1 = D.B1 [X1

X2

X9

X10

X3

X4 ]

3 −3 −3 −3 0 6].3 Eh 5 qa[2,0570

2,589 0 0,703 1,672] = 9 h q [−5,35414,089

−3,911]

Phần tử II:

II = [❑xx

❑yy

❑xy] = D.BII.II = D.BII [X3

X4

X9

X10

X11

X12]

6 0 −3 −3 −3 3 ].3 Eh 5 qa[0,7031,672

2,589 0 0,877 0,461] = 9 h q [− 9,936

11,633

−1,799]

Phần tử III:

Trang 16

III = [❑xx

❑yy

❑xy] = D.BIII.III = D.BIII [X5

X6

X3

X4

X11

X12]

0,703 1,672 0,877 1,461] = 9 h q [−−7,15412,743

− 8,278]

Phần tử IV:

IV = [❑xx

❑yy

❑xy] = D.BIV. IV = D.B IV [X5

X6

X11

X12

X7

X8]

3 −3 −3 −3 0 6].3 Eh 5 qa[ 00

0,877 1,461 0,621

0 ] = 9 h q [− 1,776E-15

−10,955

* Ứng suất tại các nút:

Ứng suất tại nút I được tính theo công thức:

❑i=❑r

n

Trong đó: n là số phần tử có nút i

Trang 17

r là tên phần tử có nút I (I, II, III, IV)

 1 = I = 9 h q [−5,35414,089

−3,911]

 2 = 12 (I + II) = 9 h q [−7,64512,861

−2,855]

 3 = 12 (I + II + III + IV) = 9 h q [−−3,57711,849

−7,645 ]

 4 = 12 (II + III) = 9 h q [− 5,611

0,506

−5,25]

 5 = 12 (III + IV) = 9 h q [−1,776E-15−10,955

 6 = IV = 9 h q [−7,4814,327

− 4,663]

Trang 18

Em xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của thầy!

…….HẾT…….

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	113,64 KB