BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dương Thanh Phong SỬ DỤNG HÀM H VÀO THỐNG KÊ NHIỀU CHIỀU VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tp.Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dương Thanh Phong SỬ DỤNG HÀM H VÀO THỐNG KÊ NHIỀU CHIỀU VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Đặng Đức Trọng Tp.Hồ Chí Minh – 2011 Mục Lục MỞ ĐẦU I LỜI CÁM ƠN III CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.HÀM GAMMA 𝚪 PHứC 1.2.PHÉP BIếN ĐổI MELLIN 1.3 THốNG KÊ NHIềU CHIềU 1.3.1 Phân phối nhiều chiều 1.3.2 Phân phối chuẩn nhiều chiều (Multivariate Normal Distribution) 1.3.3.Phân phối Wishart 1.3.4 Ước lượng tham số CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT HÀM H .17 2.1 ĐịNH NGHĨA 17 2.2 TÍNH CHấT CƠ BảN CủA HÀM H 35 2.3 TÍCH VÀ Tỉ Số CÁC BIếN NGẫU NHIÊN CÓ PHÂN PHốI H 38 2.4 CÁC TRƯờNG HợP ĐặC BIệT 42 CHƯƠNG 3: THỐNG KÊ WILKS 44 3.1 THốNG KÊ WILKS SUY RộNG VÀ THốNG KÊ WILKS 44 3.2 TÍCH VÀ Tỉ Số CủA THốNG KÊ WILKS SUY RộNG ĐộC LậP 53 3.3 HÀM MậT Độ CủA𝚲(𝐩, 𝐧, 𝐪)𝐭, 𝐭 > 55 CHƯƠNG 4: MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA HÀM H VÀO BÀI TOÁN TÌM HÀM MẬT ĐỘ 57 4.1 TIÊU CHUẩN KIểM ĐịNH BằNG NHAU CủA CÁC TRUNG BÌNH KHI BIếT CÁC PHÂN PHốI CÙNG MA TRậN HIệP PHƯƠNG SAI 57 4.2 TIÊU CHUẩN KIểM ĐịNH GIả THUYếT Về Sự ĐộC LậP CủA CÁC THÀNH PHầN 62 4.3 TIÊU CHUẩN KIểM ĐịNH Sự BằNG NHAU CủA CÁC HIệP PHƯƠNG SAI 68 4.4.TIÊU CHUẩN KIểM ĐịNH CÁC PHÂN PHốI LÀ CÙNG KÌ VọNG VÀ HIệP PHƯƠNG SAI 74 KẾT LUẬN 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 78 MỞ ĐẦU Năm 1961, nhà toán học Fox đưa định nghĩa hàm H- trường hợp tổng quát nhiều loại hàm Từ thời gian nay, có nhiều nhà toán học phát triển lý thuyết hàm H, phép biến đổi tích phân hàm H (chẳng hạn, Kilbas Saigo) ứng dụng ( chẳng hạn, Mathai Saxena) Một hướng ứng dụng lý thuyết hàm H lĩnh vực thống kê Đi đầu hướng ứng dụng phải nhắc đến Mathai Saxena, sách chuyên khảo Generalized Hypergeometric Function with Application in Statistics and Physical Sciences xuất 1973, hai ông sử dụng công cụ hàm H để tìm hàm mật độ nhiều toán kiểm định thống kê nhiều chiều Đến năm 2010, sách chuyên khảo The H- Function, Theory and Applications, MaThai, Saxena Haubold khái quát nhiều cấu trúc tổng quát biểu diễn hàm mật độ dạng hàm H tích tỉ số nhiều phân phối Gamma độc lập, tích tỉ số phân phối độc lập thuộc loại Beta loại I Beta loại II Ngoài ra, năm 2008 2009, GS Phạm Gia Thụ có hàng loạt báo ứng dụng hàm H thống kê như: Exact distribution of the generalized Wilks’s statistic and application hay (viết GS Turkan) Testing the equality of several covariance matrices,và Testing sphericity using small samples,… Quan tâm đến hướng ứng dụng hàm H vào thống kê, với đề tài Sử dụng hàm H vào thống kê nhiều chiều ứng dụng Chúng muốn trình bày cách chi tiết phần lý thuyết hàm H số ứng dụng hàm H vào thống kê, bao gồm thống kê Wilks toán tìm hàm mật độ số kiểm định giả thuyết thống kê nhiều chiều Nội dung luận văn bao gồm chương: Chương số kiến thức liên quan hàm Gamma, phép biến đổi Mellin kiến thức thống kê nhiều chiều i Chương lý thuyết hàm H, chứng minh tồn hàm H dựa vào điều kiện cho trước Đặt biệt chương chứng minh định lý phân phối tích tỉ số phân phối độc lập có hàm mật độ dạng hàm H Đây xem tảng cho ứng dụng hàm H vào thống kê Chương 3, định nghĩa thống kê Wilks cách tổng quát dựa vào loại phân phối thuộc dạng hàm H Đây định nghĩa thống kê Wilks suy rộng GS.Phạm Gia Thụ Cũng tính toán tích tỉ số thống kê Wilks suy rộng độc lập quan điểm phân phối dạng hàm H Trường hợp lũy thừa thống kê Wilks xem xét cách tỉ mỉ để ứng dụng cho chương sau Chương phần ứng dụng tổng hợp chương vào toán tìm hàm mật độ nhiều toán kiểm định Nhiều kết chương kết tương đối mới, công bố báo GS Phạm Gia Thụ năm 2008 2009 ii LỜI CÁM ƠN Tôi xin chân thành cám ơn hướng dẫn nhiệt tình tận tụy GS.TS Đặng Đức Trọng Tôi vô biết ơn lời khuyên lời dạy bảo người Thầy trình học tập Tôi xin chân thành cám ơn dạy Thầy khoa Toán – Tin, đại học Sư Phạm TP.HCM Cuối cùng, xin vô cám ơn gia đình người thân tạo điều kiện tốt cho trình học tập năm qua iii Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức có liên quan đến luận văn, phần kiến thức giải tích bao gồm hàm Gamma, phép biến đổi Mellin Phần lại kiến thức thống kê nhiều chiều mà trọng tâm phân phối chuẩn vector kết ước lượng tham số thống kê nhiều chiều Những định nghĩa, tính chất, định lý,… chương sử dụng chương sau 1.1.Hàm Gamma 𝚪 phức Định nghĩa 1.1 ∞ Γ(s) = � e−t t s−1 dt , Re(s) > 0 Sự tồn tích phân bên vế phải (1.1) chứng minh [2] Tính chất 1.2 i) 𝛤 (1) = 1, ii) 𝛤(𝑠) = (𝑠 − 1)𝛤 (𝑠 − 1), 𝑅𝑒(𝑠) > −1, iii) Công thức phản xạ iv) 𝛤 (𝑚𝑠) = (2𝜋) 1−𝑚 𝛤 (𝑠 )𝛤 (1 − 𝑠 ) = 𝜋 , 𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑠) 𝑚𝑚𝑠−2 𝛤(𝑠)𝛤 �𝑠 + � … 𝛤 �𝑠 + 𝑚 v) Công thức tính thặng dư 𝛤 (𝑠) cực điểm 𝑚−1 𝑚 𝛤 (𝑠)có cực điểm (đơn) 𝑠 = 0, −1, −2, −3, …, 𝑅𝑒𝑠 𝛤 (𝑧) = 𝑙𝑖𝑚 (𝑠 + 𝑘 )𝛤 (𝑠) = 𝑠=−𝑘 𝑠→−𝑘 � , 𝑚 = 1,2, …, (−1)𝑘 , 𝑘 = 0, 1, 2, 3, …, 𝑘! (1.1) vi) Công thức tiệm cận ∞ hàm Gamma (công thức Stirling) 1 𝑙𝑛𝛤 (𝑠) = �𝑠 − � 𝑙𝑛𝑠 − 𝑠 + 𝑙𝑛2𝜋 + 𝑂(𝑠 −1 ) ; |𝑎𝑟𝑔𝑠| < 𝜋, |𝑠| → ∞ 2 (1.2) Với kí hiệu Landau O định nghĩa sau Định nghĩa 1.3 Ta nói 𝑓 (𝑠) = 𝑂�𝑔(𝑠)�, 𝑠 → 𝑠0 tồn số M > cho |f(s)| ≤ M|g(s)| với |s − s0 | → 1.2.Phép biến đổi Mellin Định nghĩa 1.4 Phép biến đổi Mellin hàm khả tích địa phương f(x) (0, ∞) định nghĩa ∞ M[f; s] = ∫0 f(x)x s−1 dx (1.3) tích phân vế phải tồn Sự tồn tích phân (1.3), xem [8] Nếu f(x) = � O(x −a−ε ), x → 0+ O�x −b+ε �, x → ∞ ε > 0, a < b, (1.3) hội tụ tuyệt đối a < Re(s) < b Miền a < Re(s) < b gọi dải giải tích 𝑀[𝑓; 𝑠] Định nghĩa 1.5 Cho phép biến đổi Mellin M[f; s] dải giải tích a < Re(s) < b Khi công thức c+i∞ � x −s M[f; s]ds (a < c < b), f(x) = 2πi c−i∞ (1.4) gọi công thức phép biến đổi Mellin ngược phép biến đổi Mellin (1.3) Ví dụ 1.6 ∞ Γ(s) = � e−x x s−1 dx, Re(s) > 0 Do M[e−x ; s] = Γ(s) Định lý 1.7 Cho 𝑘 số thực, 𝑥 𝑘 𝑓 (𝑥), 𝑥 𝑘 𝑔(𝑥) ∈ 𝐿1 (0, ∞), đặt ∞ 𝑥 ℎ(𝑥) = � 𝑓 (𝑦)𝑔 � � 𝑑𝑦, 𝑦 𝑦 𝑥 𝑘 ℎ(𝑥) ∈ 𝐿1 (0, ∞) 𝑀[ℎ; 𝑠] = 𝑀[𝑓; 𝑠]𝑀[𝑔; 𝑠], với 𝑅𝑒(𝑠) = 𝑘 + 1.3 Thống kê nhiều chiều 1.3.1 Phân phối nhiều chiều Định nghĩa 1.8 Vector ngẫu nhiên kì vọng vector ngẫu nhiên Vector ngẫu nhiên ( random vector) p chiều ma trận cấp p × có phần tử biến ngẫu nhiên Cho vector ngẫu nhiên X = (X1 , X , … , X p )T kì vọng (expectation) X ( có), kí hiệu E(X) định nghĩa sau T E(X) = �E(X1 ), E(X ), … , E(X p )� Vậy kì vọng vector ngẫu nhiên p chiều vector ( không ngẫu nhiên) p chiều Định nghĩa 1.9 Ma trận hiệp phương sai ( covariance matrix) vector ngẫu nhiên X = (X1 , X , … , X p )T , kí hiệu cov(X), ma trận cấp p × p có phần tử thứ (j, k) cov�Xj , X k � = E��X j − E�X j ��[X k − E(X k )] � Như ta có cov(X) = �cov�X j , X k �� Từ định nghĩa ta thấy 𝑐𝑜𝑣(𝑋) ma trận j,k đối xứng, ma trận nửa xác định dương N L(µ, Σ) = � 1 p j=1 (2π)2 |Σ|2 T exp �− �xj − µ� Σ−1 �xj − µ�� Tính toán phần trước ta max L(µ, Σ) = (µ,Σ) với 1 �− exp pN�, 1 (2π)2pN |Σ∗ |2N N 1 T Σ = A = ��xj − x���xj − x�� N N ∗ Dưới giả thuyết H2 j=1 q L(µ, Σ0 ) = � Lk �µ(k) , Σkk �, k=1 N Lk �µ(k) , Σkk � = � j=1 q T (k) (k) (k) �x � �− exp − µ Σkk −1 �xj − µ(k) ��, 1 j (2π)2pk |Σkk |2 Lk �µ(k) , Σkk � max L(µ, Σ0 ) = � max (k) (µ,Σ0 ) k=1 = �kk Σ N �µ ,Σkk � �kk (2π)2pN ∏qk=1�Σ 1 exp �− pN�, N �2 T (k) (k) = ��xj − x� (k) ��xj − x� (k) � N j=1 Ta chia khối ∗ ∗ ∗ Σ11 Σ12 ⋯ Σ1q A11 A12 ⋯ A1q ∗ ∗ A22 ⋯ A2q A Σ ∗ Σ22 ⋯ Σ2q ⎞ �; Σ ∗ = ⎛ 21 A = � 21 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ∗ ∗ ∗ Aq1 Aq2 ⋯ Aqq ⎝ Σq1 Σq2 ⋯ Σqq ⎠ Suy A N kk ∗ �kk = Σkk Σ = Do Λ2 = max L(µ, Σ0 ) (µ,Σ0 ) max L(µ, Σ) (µ,Σ) = |Σ∗ |2N �kk �2N ∏qk=1�Σ = Ta tìm phân phối Λ2 |A|2N N q ∏k=1�Akk �2 Xét N A11 ⋯ A1,k−1 A1k ⋮ ⋮ ⋮ � � Ak−1,1 ⋯ Ak−1,k−1 Ak−1,k Ak1 ⋯ Ak,k−1 Akk Vk = , A11 ⋯ A1,k−1 ⋮ � ⋮ � |Akk | Ak−1,1 ⋯ Ak−1,k−1 k = 2, … , q Rõ ràng (Vk ) tỉ số hợp lí toán kiểm định giả thuyết H′k Σk1 = 0, … , Σk,k−1 = T Tức giả thuyết X (k) độc lập với �X (1) , … , X (k−1) � , k ≥ Bổ đề 4.2 Khi giả thuyết 𝐻′𝑘 𝑉𝑘 ~𝛬(𝑝𝑘 , 𝑛 − 𝑝̅𝑘 , 𝑝̅𝑘 ) 𝑛 = 𝑁 − 1, 𝑝̅𝑘 = 𝑝1 + ⋯ + 𝑝𝑘−1 , 𝑘 = 2, … , 𝑞 Chứng minh T Do A = ∑N � ��xj − x�� ~Wp (n, Σ) nên theo định nghĩa 1.16 ta có j=1�xj − x T A = ∑nj=1 Zj �Zj � Z1 , … , Zn độc lập phân phối Np (0, Σ) Ta chia khối Zj = T T T (1) (q) ��Zj � , … , �Zj � � , j = 1, … , n (k) Xét phân phối điều kiện Zj (1) Zj (1) (k−1) = zj , … , Zj (k) Theo tính chất vii 1.15., Zj (k−1) = zj , j = 1, … , n có phân phối chuẩn với (1) zj (k) E�Zj � = βk � ⋮ �, (k−1) zj (k) Cov�Zj � Trong Σ11 = Σkk − βk � ⋮ Σk−1,1 ⋯ ⋯ Σ1,k−1 ⋮ � ( βk ) T Σk−1,k−1 −1 Σ11 βk = �Σk1 ⋯ Σk,k−1 � � ⋮ Σk−1,1 ⋯ Σ1,k−1 ⋮ � Σk−1,k−1 A11 β�k = �Ak1 ⋯ Ak,k−1 � � ⋮ Ak−1,1 ⋯ A1,k−1 ⋮ � Ak−1,k−1 Ước lượng βk β�k (k) Cov�Zj � ước lượng Σ�Z Σ11 1 Σ�Z = Akk − β�k � ⋮ n n Σ Giả thuyết H′k βk = k−1,1 ⋯ ⋯ Khi H′k ta có (k) Cov�Zj � = Σkk ước lượng Σ�kk Σ�kk = A n kk ⋯ ⋯ −1 Σ1,k−1 T ⋮ � �β�k � Σk−1,k−1 Do đó, theo 4.1 ta có tiêu chuẩn tỉ số hợp lí H′k N Σ11 ⋯ Σ1,k−1 T 1� ⋮ � �β�k � �⎞ N ⎛�n Akk − n βk � ⋮ Σk−1,1 ⋯ Σk−1,k−1 � Σ�Z � ⎜ ⎟ � =⎜ � ⎟ �Σ�kk � � Akk � ⎜ ⎟ n ⎝ N A11 ⋯ A1,k−1 A1k ⋮ ⋮ ⋮ ⎛� �⎞ Ak−1,1 ⋯ Ak−1,k−1 Ak−1,k ⎜ ⎟ N Akk ⎟ ⎜ Ak1 ⋯ Ak,k−1 ( ) =⎜ = V k ⎟ A11 ⋯ A1,k−1 ⎜ ⎟ ⋮ � |Akk | ⎟ ⎜ � ⋮ Ak−1,1 ⋯ Ak−1,k−1 ⎝ ⎠ ⎠ (áp dụng tính định thức theo ma trận khối con.) Theo phần 4.1 Vk ~Λ(pk , n − p� k , p� k ) ∎ Bổ đề 4.3 Khi giả thuyết 𝐻2 ta có 𝛬2 = |𝐴|2𝑁 𝑁 ∏𝑞 𝑘=1�𝐴𝑘𝑘 � 𝑉2 , 𝑉3 , … , 𝑉𝑞 độc lập xác định 𝑁 = �𝑉2 … 𝑉𝑞 � , Chứng minh Xem [1, tr 388] Theo định nghĩa 3.2, hàm mật độ Vk ~Λ(pk , n − p� k , p� k ) fVk (x) p = KkH k pk n n−1 n − (pk − 1) ⎡ ⎤ � − 1,1� , � − 1,1� , … , � − 1,1� 2 ⎥ ⎢ � x ⎢ ⎥ pk � n − p n−p �k − n−p � k − (pk − 1) �k ⎢ � − 1,1� , � − 1,1� , … , � − 1,1�⎥ 2 ⎣ ⎦ × I(0,∞) (x), pk Kk = � j=1 h(x) = K Λ2 K Λ2 n+1−j � Γ� n−p �k + − j Γ� � Áp dụng định lý 2.9, hàm mật độ V2 … Vq p−p1 Hp−p1 p−p1 n−1 n − (p2 − 1) n − 1,1� , … , � − 1,1� ; � − 1,1� , � 2 �x � n − p1 n − p1 − n − p1 − (p2 − 1) � − 1,1� , � − 1,1� , … , � − 1,1� ; 2 n − �pq − 1� n n−1 ⎤ � − 1,1� , � − 1,1� , … , � − 1,1� ⎥ 2 × ⎥ I(0,∞) (x), n − p + pq−1 − n − p + pq−1 n−p+1 − 1,1� , � − 1,1� , … , � − 1,1�⎥⎦ � 2 n+1−j k ∏qk=2 ∏pj=1 � Γ� = � Kk = � � = n−p �k + − j n+1−j ∏pj=p +1 Γ � � � k=2 j=1 Γ � k=2 2 q q pk Hàm mật độ Λ2 fΛ2 (x) = K Λ2 p−p1 Hp−p1 n+1−j � Γ� p−p1 −2 n + −p2 n + −1 n + �,� , �,…,� , �;…; � , 2 2 2 �x � −p1 − n + −p1 − p2 n + −p1 − n + , �,� , �,…,� , �;…; � 2 2 2 −pq n + −2 n + −1 n + �,� , �,…,� , � � , 2 2 2 (x), (4.2) × �I −p + pq−1 − n + −p + pq−1 − n + −p n + (0,∞) � , �,� , �,…,� , � 2 2 2 K Λ2 n+1−j k ∏qk=2 ∏pj=1 � Γ� = � Kk = � � = n−p �k + − j n+1−j p ∏ � � k=2 j=1 Γ � k=2 j=p1 +1 Γ � 2 q q pk n+1−j � Γ� 4.3 Tiêu chuẩn kiểm định hiệp phương sai (k) (k) Cho xj , j = … Nk , k = 1, … , q, mẫu quan sát , xj ~Np �µ(k) , Σ (k) � Ta kiểm định giả thuyết H3 Σ (1) = ⋯ = Σ (q) � ngược lại Với đối giả thuyết H q Đặt N = ∑k=1 Nk , Nk (k) Ak = ��xj j=1 q (k) − x� (k) ��xj T − x� (k) � , A = � Ak k=1 Ta tìm tỉ số hợp lí Hàm hợp lí q Nk T −1 (k) (k) (k) ��x � �Σ(k) � �xj − µ(k) �� �− L=� exp − µ 1 j pNk (k) Nk |Σ |2 j=1 k=1 (2π)2 với Theo kết 1.3.4.2, ước lượng hợp lí cực đại cho µ(k) Σ(k) µ�(k) Σ� (k) µ�(k) = x� (k) , Σ� (k) = Giá trị hàm hợp lí tương ứng q � k=1 1 Nk �Σ� (k) �2 A , k = 1, … , q Nk k exp �− pN� (2π)2pN Trong trường hợp Σ (1) = ⋯ = Σ (q) = Σ, ước lượng cho µ(k) µ�(k) , hàm hợp lí tương ứng q q Nk T (k) (k) (k) � � ��x � �− exp − x � Σ−1 �xj − x� (k) �� 1 j pN N k=1 j=1 k=1 (2π)2 |Σ|2 Theo bổ đề (1.20), giá trị cực đại hàm hợp lí 1 �− exp pN� 1 pN � 2N (2π)2 �Σ� Với Σ� = A N Vậy tiêu chuẩn hợp lí Λ3 = Nk ∏qk=1�Σ�(k) �2 N �Σ��2 = ∏qk=1|Ak |2Nk |A|2N N 2pN ∏qk=1 Nk 2pNk Theo [7,tr296-298] , kích thước mẫu N1 , … , Nq không ước lượng tỉ số hợp lí Λ3 chệch Barlett đề nghị cải tiến Λ3 cách thay Nk nk = Nk − , thay N q n = ∑k=1 nk = N − q (tham khảo [1,tr.413],[7]) Khi đó, bỏ thừa số thứ 2, ta thống kê Λ∗ = Với Vk = ∏qk=1|Ak |2nk |A|2n q = � Vk k=2 |A1 + A2 + +Ak−1 |2(n1+n2+⋯+nk−1) |Ak |2nk |A1 + A2 + +Ak−1 + (n ) Ak |2 1+n2+⋯+nk , k = 2, … , q Khi Λ∗ thỏa mãn tính chất không chệch, chi tiết chứng minh xem [7,tr.299-tr.301] Trước tìm hàm mật độ Λ∗ ta xét bổ đề sau Bổ đề 4.4 𝑉2 , … , 𝑉𝑞 độc lập 𝛴 (1) = ⋯ = 𝛴 (𝑞) ; 𝑛𝑘 ≥ 𝑝, 𝑘 = 1, … , 𝑞 Chứng minh Xem [1, tr.417-tr.418] Bổ đề 4.5 Cho 𝐵~𝑊𝑝 (𝑚1 , 𝛴 ); 𝐶~𝑊𝑝 (𝑚2 , 𝛴 ); 𝑏, 𝑐 > tùy ý Ta có 𝑝 𝑝 𝑗=1 𝑗=2 |𝐵|𝑏 |𝐶 |𝑐 𝑐 ~ � 𝑋𝑗𝑏 �1 − 𝑋𝑗 � � 𝑌𝑗𝑏+𝑐 𝑏+𝑐 |𝐵 + 𝐶 | Trong 𝑋𝑗 , 𝑌𝑗 độc lập 𝑋𝑗 ~𝐵𝑒𝑡𝑎 � 𝑌𝑗 ~𝐵𝑒𝑡𝑎 � 𝑚1 − 𝑗 + 𝑚2 − 𝑗 + � , 𝑗 = 1, … , 𝑝, , 2 𝑚1 + 𝑚2 𝑗−1 � ; 𝑗 = 2, … , 𝑝 − 𝑗 + 1, 2 Chứng minh xem [1,tr.418-tr.420] Bổ đề 4.6 Cho 𝑋~𝐵𝑒𝑡𝑎(𝛼, 𝛽); 𝛼, 𝛽, 𝑏, 𝑐 > Hàm mật độ 𝑌 = 𝑋 𝑏 (1 − 𝑋 )𝑐 𝑔 (𝑦 ) = Chứng minh 𝛤 (𝛼 + 𝛽 ) 𝐻 𝛤 (𝛼 )𝛤 (𝛽 ) Momen bậc s > Y ∞ (𝛼 + 𝛽 − 𝑏 − 𝑐, 𝑏 + 𝑐 ) (𝑦 ) �𝑦 � �𝐼 (𝛼 − 𝑏, 𝑏); (𝛽 − 𝑐, 𝑐 ) (0,∞) Γ(α + β) � x bs (1 − x)cs x α−1 (1 − x)β−1 dx E(Y s ) = � y s g(y)dy = Γ(α)Γ(β) −∞ Γ(α + β) � x bs+α−1 (1 − x)cs+β−1 dx = Γ ( α) Γ ( β ) = Γ(α + β) Γ(α + bs)Γ(β + cs) Γ(α)Γ(β) Γ(α + β + [b + c]s) Mặt khác E(Y s ) = M[g; s + 1] Áp dụng công thức phép biến đổi Mellin ngược ta có γ+i∞ � M[g; s + 1]y −(s+1) ds , γ > 2πi g(y) = γ−i∞ γ+i∞ Γ(α + β) Γ(α + bs)Γ(β + cs) −(s+1) � = y ds Γ(α)Γ(β) Γ(α + β + [b + c]s) 2πi γ−i∞ Γ( α + β) H Γ(α)Γ(β) = (α + β − b − c, b + c) (y) �y � �I (α − b, b); (β − c, c) (0,∞) Bây ta tìm hàm mật độ Vk = 1 |A1 + A2 + +Ak−1 |2(n1+n2+⋯+nk−1) |Ak |2nk |A1 + A2 + +Ak−1 + Do H3 nên Ak ~Wp (nk , Σ ) Áp dụng bổ đề 4.5 p �k n Vk ~ � X j2 �1 j=1 X j , Yj độc lập − Xj (n ) Ak |2 1+n2+⋯+nk nk �2 p � k+1 n � Yj2 j=2 , k = 2, … , q , k = 2, … , q, n� k − j + nk − j + � , j = 1, … , p, , X j ~Beta � 2 Yj ~Beta � n� k+1 j−1 � ; j = 2, … , p − j + 1, 2 Với n� k = n1 + ⋯ + nk−1 , k = 2, … , q Lại áp dụng bổ đề 4.6 định lí 2.9 �k n nk ∏pj=1 X j2 �1 − X j �2 2p p K1 H �x � p 2p có hàm mật độ 1 � k+1 � ⋯ �−p + 1, n � � �0, n k+1 (x), �I nk n �k �k −p + nk (0,∞) −p + n ⋯ �0, � ; �0, � , � � , � � 2 2 2 n � Γ( k+1 − j + 1) K1 = � n −j+1 n �k − j + �Γ� k � j=1 Γ � 2 p ∏pj=2 Yj2 � k+1 n có hàm mật độ −p + 1 −1 � k+1 � ⋯ � , n � � � , n p−1 p−1 2 k+1 � I K2H �x � 2 (0,∞) (x), 1 p−1 p−1 � � ⋯ �−p + 1, n � � �−1, n k+1 k+1 −j+1 n � � Γ � k+1 K2 = � n � k+1 j=2 Γ � − j + 1� p Vậy hàm mật độ Vk 1 n � � ⋯ �−p + 1, n � � �0, k+1 3p − 2p − k+1 g Vk (x) = K Vk H �x � nk n �k �k −p + nk −p + n 2p − 3p − �0, � ; �0, � ⋯ � , � � , � 2 2 2 −1 −p + 1 � , n � k+1 � ⋯ � , n � � 2 k+1 � I × 2 (0,∞) (x), 1 � k+1 � ⋯ �−p + 1, n � k+1 � �−1, n 2 p K Vk = K1 K = � j=1 −j+1 n � � Γ � k+1 n �k − j + nk − j + Γ� �Γ� � 2 Khi giả thuyết H3 đúng, áp dụng bổ đề 4.4 kết với định lí 2.9 , hàm mật độ Λ∗ M fΛ∗ (x) = K Λ∗ H N −j + 1 ⎡ �−j + 1, n � k+1 � � , n � � k = 2, … , p ⎤ 2 k+1 j=2,p ���� ���� j=1,p N⎢ � ⎥ x� ⎢ ⎥ I(0,∞) (x), −j + n � n M k k ⎢ � , � ; �� �−j + 1, n � � k = 2, … , p⎥ 2 j=1,p 2 k+1 j=2,p ���� ���� ⎣ ⎦ (4.3) K Λ∗ = ∏qk=2 K Vk = ∏qk=2 ∏pj=1 � n −j+1 Γ� k+1 � � −j+1 n n −j+1 Γ� k �Γ� k � N = (q − 1)(2p − 1); M = (q − 1)(3p − 1) , , (4.4) (4.5) �−j + 1, n� k+1 � �−j + 1, n� k+1 � � −j+1 � 2 , n� k+1 � ���� j=1,p ���� j=2,p ���� j=2,p = �0, n� k+1 � , = �−1, n� k+1 � , =� −1 −j + n� k nk , � ; �� 2 j=1,p ���� = �0, , n� k+1 � , ⋯ n� k �, �0, ⋯ nk �, , �−p + 1, n� k+1 � , ⋯ ,� ⋯ (4.6) , �−p + 1, n� k+1 � , −p+1 (4.7) , n� k+1 � , (4.8) −p + nk −p + n� k ,� , �, � , � (4.9) 2 2 4.4.Tiêu chuẩn kiểm định phân phối kì vọng hiệp phương sai (k) (k) Cho xj , j = … Nk , k = … q mẫu quan sát , xj ~Np �µ(k) , Σ (k) � Ta kiểm định giả thuyết H4 µ(1) = ⋯ µ(q) ; Σ (1) = ⋯ = Σ (q) � ngược lại Với đối giả thuyết H q Đặt N = ∑k=1 Nk , Nk (k) j=1 q T (k) − x� (k) � , (k) − x�� − x� (k) ��xj Ak = ��xj A = � Ak , k=1 q Nk (k) B = � ��xj k=1 j=1 q − x���xj T T = A + � Nk �x� (k) − x���x� (k) − x� � k=1 = A + H Với q T H = � Nk �x� (k) − x���x� (k) − x�� k=1 Khi H4 đúng, áp dụng định lí 1.25 ta có tiêu chuẩn hợp lí q Λ4 = Λ1 Λ3 = �� k=1 Xét thống kê Λ∗4 = = |Ak |2Nk Nk Nk2 � N 2pN |B|2N ∏qk=1|Ak |2Nk |B|2N �A1 + ⋯ +Aq N �2 �A1 + ⋯ +Aq + = Λ1 Λ∗3 N H�2 �A1 ∏qk=1|Ak |2Nk + ⋯ +Aq (N1 +⋯+Nq ) �2 Khi thừa số độc lập [1,tr 420].Trong Λ1 thống kê xét 4.1, Λ∗3 Λ∗ xét 4.3 ta thay nk Nk = nk − Sử dụng định lí 2.9, kết phần 4.1 4.3, Λ∗4 có hàm mật độ fΛ∗4 (x) −2 n + q −p n + q −1 n + q �,� , �,…,� , �; � , M+p N 2 2 2 fΛ∗4 (x) = K Λ∗4 H �x � N+p M+p −q n + q −q − n + q −q − (p − 1) n + q � , �,� , �,…,� , �; 2 2 2 −j + 1 � k+1 � � � �−j + 1, N � , N k = 2, … , p ⎤ 2 k+1 j=2,p ���� ���� j=1,p ⎥ × −j + N � k Nk ⎥ I(0,∞) (x), � k+1 � , � ; �� �−j + 1, N k = 2, … , p⎥ � 2 j=1,p ���� j=2,p ���� ⎦ (4.10) p K Λ∗4 = K Λ1 K Λ∗ = � j=1 n+q−j � Γ� q p � −j+1 N � Γ � k+1 �� �k − j + n+1−j Nk − j + N Γ� � k=2 j=1 Γ � �Γ� � 2 Các tham số M, N định nghĩa (4.5) dãy tham số biểu thức hàm H định nghĩa giống (4.6),(4.7),(4.8),(4.9) với ý thay nk Nk − n� k � k = N1 + ⋯ + Nk−1 = n� k + k − N Kết (4.1) (4.2) có liên quan đến (6.1.3) [5,tr.191], nhiên (6.1.3) hàm mật độ cho Λ(p, n, q − 1), (4.1) (4.2) hàm mật độ cho n+q [Λ(p, n, q − 1)] Ngoài ra, (4.1) kết tính [9] Kết (4.3) có liên quan với (6.1.34) [5,tr.197], nhiên (6.1.34) N hàm mật độ cho V2 … Vq (4.3) tính toán cho �V2 … Vq � Ngoài (4.3) gặp [9] Lấy momen bậc h > thống kê có hàm mật độ (4.10) ta gặp lại công thức (16) [1,tr 421-422] hay (15) [7,tr.302] KẾT LUẬN Luận văn sử dụng kết hàm H để nghiên cứu số vấn đề thống kê nhiều chiều Các kết tương đối ngắn gọn so với kết truyền thống phương pháp xấp xỉ tiệm cận Các kết nghiên cứu [9] [10] Điểm mạnh phương pháp sử dụng hàm H vào thống kê sử dụng phương pháp số để tính toán mà chủ yếu sử dụng phần mềm toán học (chẳng hạn Maple) Qua sử dụng cỡ mẫu nhỏ để kiểm định, phương pháp xấp xỉ tiệm cận yêu cầu cỡ mẫu phải đủ lớn Luận văn phổ biến hàm H lĩnh vực thống kê, cho thấy nhiều phân phối biểu diễn dạng hàm H Luận văn tổng kết số kết chủ yếu tích tỉ số biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối dạng hàm H, kết hàm mật độ số toán kiểm định thống kê nhiều chiều TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Anderson, T.W., An Introduction to Multivariate Statistical Analysis, 3nd Ed., 2003, Wiley, New York [2] Bak, J and Newman, D.J., Complex Analysis, 2nd , Springer, 1997 [3] Casella, G and Berger, R.L., Statistical Inference, 2nd , Duxbury, 2002 [4] Kilbas, A.A and Saigo, M., H- Transforms, Theory and Application, Chapman and Hall/CRC , New York, 2004 [5] Mathai, A.M and Saxena, Generalized Hypergeometric Function with Application in Statistics and Physical Sciences, Lecture Notes no 348, Springer- Verlag, New York, 1973 [6] Mathai, A.M, Saxena and Haubold, H., The H- Function, Theory and Applications, Springer, 2010 [7] Muirhead, R., J., Aspects of Multivariate Statistical Theory, Wiley, New York, 1982 [8] Paris, R.B and Kaminski, D., Asymptotics and Mellin - Barnes integrals, Encyclopedia of Mathematics and its applications 85, Cambridge, 2001 [9] Pham - Gia, T., Exact distribution of the generalized Wilks’s statistic and application, J Multivariate Anal.99 (2008), pp 1698 - 1716 [10] Pham-Gia, T and Turkan, N., Testing the equality of several covariance matrices, J Statist Comput Simul (2008) [11] Rencher, A., Multivariate Statistical Inference and Applications, 2nd , Wiley, New York, 2002 [12] Sorensen, D and Gianola, D., Likelihood, Beyesian, and MCMC Methods in Quantitative Genetics, Springer, 2002 [...]... tại và một vài tính chất cơ bản của h m H Phần cuối chương là 2 định lý quan trọng ( định lý 2.8 và 2.9 ) về tích và tỉ số các thống kê có phân phối dạng h m H, 2 định lý này là nền tảng cơ bản cho chương 3 và chương 4 H m H được định nghĩa bằng tích phân đường với biểu thức lấy tích phân là tích và tỉ số của các h m Gamma Nó được xem là h m tổng quát của rất nhiều h m đặc biệt, chẳng h n như h m Meijer... 1.3.4.1 Phương pháp ước lượng h p lí cực đại ( maximal likelihood) Phân phối thực nghiệm là một ước lượng phân phối của X Nhưng phân phối thực nghiệm luôn là phân phối rời rạc và có thể không thỏa mãn một số tính chất mà X thỏa mãn, tức là không nằm trong h các phân phối mà X rơi vào, ví dụ h các phân phối chuẩn…Một trong những phương pháp phổ biến nhất để ước lượng phân phối xác suất của X bằng một phân... Tích phân ∫0 t [Re(µ)+γ∆] dt h i tụ, suy ra H p Định lý đã chứng minh xong ∎ m Hp (ap , αp ) n � tồn tại �x � q (bq , βq ) m Định lý 2.2 về sự tồn tại của h m H p (ap , αp ) n �x � � khẳng định h m q (bq , βq ) (ap , αp ) n � tồn tại khi ít nhất một điều kiện của định lý được thỏa Nhưng �x � q (bq , βq ) nếu như có nhiều h n một điều kiện được thỏa thì liệu khi tính tích phân bên vế phải của định nghĩa... thuộc không gian các tham số 𝛩 Cho 𝐻𝑎 là giả thuyết 𝜃 ∈ 𝛩𝑎 ⊂ 𝛩, cho 𝐻𝑏 là giả thuyết 𝜃 ∈ 𝛩𝑏 𝑣ớ𝑖 𝛩𝑏 ⊂ 𝛩𝑎 cho bởi 𝜃 ∈ 𝛩𝑎 , và 𝐻𝑎𝑏 là giả thuyết 𝜃 ∈ 𝛩𝑏 cho bởi 𝜃 ∈ 𝛩 Nếu 𝜆𝑎 là tiêu chuẩn h p lí cho kiểm định 𝐻𝑎 , 𝜆𝑏 cho kiểm định 𝐻𝑏 , 𝜆𝑎𝑏 cho kiểm định 𝐻𝑎𝑏 , các tiêu chuẩn xác định duy nhất với mẫu quan sát 𝑦, khi đó 𝜆𝑎𝑏 = 𝜆𝑎 𝜆𝑏 Chương 2: LÝ THUYẾT H M H Nội dung chương 2 là trình bày định nghĩa về h m H, ... phân phối xác suất trong một h nào đó là phương pháp h p lí cực đại Ý tưởng của phương pháp này là: Những gì quan sát được trong thực nghiệm thì phải dễ xảy ra h n không thấy, tức là xác suất xảy ra phải lớn h n những gì không thấy Phương pháp này được Ronald Fisher (1890 – 1962) đề nghị Nội dung cơ bản của phương pháp Giả sử (x1 , x2 , … , xn ) là mẫu quan sát độc lập của X có phân phối phụ thuộc vào. .. trận (không ngẫu nhiên) k × m chiều 1.3.2 Phân phối chuẩn nhiều chiều (Multivariate Normal Distribution) Định nghĩa 1.14 Cho 𝜇 ∈ ℝp , Σ là ma trận xác định dương cấp p Vector ngẫu nhiên X – p chiều được gọi là phân phối chuẩn 𝑝 chiều, kí hiệu X~Np (µ, Σ), nếu X có h m mật độ fX (x) = Tính chất 1.15 1 [x − µ]T Σ−1 [x − µ]�, ∀x ∈ ℝp �− exp p 1 2 (2π)2 |Σ|2 1 Cho 𝜇, 𝛴 như định nghĩa 1.14 i) Cho 𝑋~𝑁𝑝... tính X mà ta chưa biết phân phối F(x), tuy nhiên ta biết loại phân phối của X phụ thuộc vào các tham số θ1 , θ2 , … , θk Ta có thể tìm các giá trị θ�1 , θ� 2 , … , θ� k gần đúng của θ1 , θ2 , … , θk rồi xác định F(x, θ�1 , θ� 2 , … , θ� k ) thay cho F(x, θ1 , θ2 , … , θk ) Định nghĩa 1.18 Giả sử đặc tính X có phân phối chưa biết phụ thuộc vào tham số θ thuộc không gian các tham số Θ (tập các tham... Khi đó tỉ số λ= max L(x, θ) θ∈Θ0 max L(x, θ) θ∈Θ được gọi là tỉ số h p lí của bài toán kiểm định giả thuyết H0 : θ ∈ Θ0 với đối giả thuyết H1 : θ ∈ Θ0 c Từ tính chất h m mật độ và do Θ0 ⊂ Θ ta có 0 ≤ λ ≤ 1 Sử dụng bổ đề 1.23 ta thấy nếu giả thuyết H0 đúng thì λ → 1, nếu λ → 0 có nghĩa là X không có h m mật độ fX (x, θ) với tham số θ ∈ Θ0 , và như vậy giả thuyết H0 bị bác bỏ Khi H0 đúng, do λ phụ thuộc... bản của bài toán ước lượng tham số Mỗi phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X xác định một số h ng số đặc trưng như kì vọng, hiệp phương sai…Ngược lại, nếu ta biết loại phân phối của đặc tính X và một số tham số của nó ta có thể tìm được phân phối của X Chẳng h n, nếu ta biết X thuộc loại phân phối chuẩn, biết E(X), cov(X) thì phân phối của X hoàn toàn xác định Như vậy từ mẫu quan sát (x1 ,... nghĩa 2.1 bằng nhiều cách khác nhau (theo những điều kiện được thỏa) thì kết quả có như nhau không ? Câu trả lời là có Định lý 2.4 Sự duy nhất của định nghĩa 2.1 Nếu có nhiều h n một điều kiện trong các điều kiện (2.7), (2.8), (2.9), (2.10), 𝑚 (2.11), (2.12), (2.13), (2.14) được thỏa, thì giá trị của 𝐻 𝑝 (𝑎𝑝 , 𝛼𝑝 ) 𝑛 �𝑥 � � là xác 𝑞 (𝑏𝑞 , 𝛽𝑞 ) định duy nhất đối với mỗi 𝑥, 𝑎𝑟𝑔𝑥 cho trước thỏa (2.7), (2.8), ... h ớng ứng dụng h m H vào thống kê, với đề tài Sử dụng h m H vào thống kê nhiều chiều ứng dụng Chúng muốn trình bày cách chi tiết phần lý thuyết h m H số ứng dụng h m H vào thống kê, bao gồm thống. .. thống kê nhiều chiều i Chương lý thuyết h m H, chứng minh tồn h m H dựa vào điều kiện cho trước Đặt biệt chương chứng minh định lý phân phối tích tỉ số phân phối độc lập có h m mật độ dạng h m H. .. tảng cho ứng dụng h m H vào thống kê Chương 3, định nghĩa thống kê Wilks cách tổng quát dựa vào loại phân phối thuộc dạng h m H Đây định nghĩa thống kê Wilks suy rộng GS.Phạm Gia Thụ Cũng tính toán