BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH MAI THỊ THANH HỒNG IĐÊAN NỬA NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Mai Thị Thanh Hồng IĐÊAN NỬA NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60460 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên em xin chân thành gởi lời cảm ơn đến PGS.TS Bùi Tường Trí, người Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành luận văn Xin cảm ơn Thầy Cô khoa Toán Tin, đặc biệt thầy tổ Đại số cung cấp cho em tri thức quý báu để em vận dụng vào việc làm luận văn Xin cảm ơn gia đình, người thân bên, ủng hộ, giúp đỡ, tiếp sức cho trình làm luận văn Cám ơn người bạn tôi, bạn cho nhiều ý tưởng trình làm luận văn đồng thời chia sẻ, giúp đỡ để hoàn thành luận văn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 MÔĐUN 1.2 VÀNH VÀ MÔĐUN NOETHER 1.3 RADICAL NGUYÊN TỐ 10 1.4 RADICAL JACOBSON 12 CHƯƠNG 2: VÀNH CÁC THƯƠNG 14 2.1 VÀNH CÁC THƯƠNG 14 2.2 ĐỊNH LÍ GOLDIE 19 CHƯƠNG 3: IĐÊAN NỬA NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN 27 3.1 CHIỀU RÚT GỌN 27 3.2 TÍNH CHẤT ARTIN – REES 30 3.3 ĐỊA PHƯƠNG HÓA TẠI IĐÊAN NỬA NGUYÊN TỐ 34 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU , , , ,  : Các tập số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức (theo thứ tự) I R : I iđêan R A ⊆ B ( A ⊂ B) : A môđun (con thực sự) môđun B A ⊆e B : A môđun cốt yếu môđun B A≅ B : Môđun A đẳng cấu với môđun B A⊕ B : Tổng trực tiếp hai môđun A B E(M) : Bao nội xạ môđun M Imf : Ảnh đồng cấu f Kerf : Hạt nhân đồng cấu f EndM : Vành tự đồng cấu môđun M Hom(M,N) : Tập đồng cấu R –môđun từ M đến N PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong lí thuyết vành giao hoán, khái niệm khái niệm iđêan nguyên tố Cho R vành giao hoán, iđêan thực P gọi iđêan nguyên tố ∀a, b ∈ R mà ab ∈ P a ∈ P b ∈ P Điều tương đương với P iđêan nguyên tố R P miền nguyên Tuy nhiên, trường hợp vành không giao hoán, định nghĩa miền nguyên (giống vành giao hoán) vành khác không tích hai phần tử khác khác Thế nhưng, điều gặp khó khăn đề cập đến iđêan P vành thương R P miền nguyên Vì thế, định nghĩa iđêan nguyên tố vành không giao hoán thay tích hai phần tử tích hai iđêan đưa Krull năm 1928 Và iđêan nửa nguyên tố giao iđêan nguyên tố Vậy câu hỏi đặt vành không giao hoán (đặc biệt lớp vành Noether không giao hoán) iđêan nửa nguyên tố có tính chất gì? Một vành giao hoán địa phương hóa theo iđêan nguyên tố Nếu đặt giả thiết vành không giao hoán địa phương hóa theo iđêan nguyên tố nửa nguyên tố hay không? Do đó, chọn đề tài nghiên cứu là: “Iđêan nửa nguyên tố vành Noether không giao hoán” MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI Nghiên cứu vành Noether không giao hoán, iđêan nguyên tố, iđêan nửa nguyên tố vành Noether không giao hoán Từ đó, điều kiện iđêan vành Noether không giao hoán để vành địa phương hóa ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Vành Noether không giao hoán - Iđêan nửa nguyên tố vành Noether không giao hoán PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp tổng hợp, phân tích, so sánh PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 MÔĐUN 1.1.1 Định nghĩa: Cho R vành có đơn vị Nhóm cộng giao hoán M gọi R-môđun phải, M×R → M kí hiệu M R , tồn ánh xạ (m,r ) → mr thỏa ∀m,m1,m2 ∈ M; ∀a,b ∈ R : (i) m ( a + b ) = ma + mb (ii) (m1 + m )a =m1a + m 2a (iii) ( ma ) b = m ( ab ) (iv) m.1 = m Trong trường hợp không gây nhầm lẫn, ta kí hiệu M thay cho M R Nhóm N M R gọi môđun NR ⊆ N Hơn nữa, N môđun M ta xây dựng môđun thương M / N = {m + N | m ∈ M} với phép nhân với R định nghĩa ( m + N) r =mr + N 1.1.2 Môđun M gọi R-môđun trung thành Mr = ⇒ r = 1.1.3 Môđun M gọi R-môđun bất khả qui (đơn) M ≠ M có hai môđun M 1.1.4 Môđun M gọi R- môđun nửa đơn M tổng trực tiếp môđun đơn 1.2 VÀNH VÀ MÔĐUN NOETHER 1.2.1 Định nghĩa: Môđun M có tính chất mà dãy tăng môđun M M1 ⊆ M2 ⊆ Mn ⊆ Mn+1 ⊆ dừng lại sau hữu hạn bước M thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (ACC) Khi đó, M gọi môđun Noether Trong định nghĩa ta thay dãy tăng môđun dãy giảm môđun M gọi thỏa điều kiện dây chuyền giảm (DCC) M gọi môđun Artin Nếu RR môđun Noether (Artin) phải R vành Noether (Artin) phải Nếu R R môđun Noether (Artin) trái R vành Noether (Artin) trái R vành Noether (Artin) R vành Noether (Artin) hai phía 1.2.2 Mệnh đề Cho R- môđun M Các điều kiện sau tương đương: (i) MR môđun Noether; (ii) Mọi môđun M hữu hạn sinh; (iii) Mọi tập khác rỗng môđun M có phần tử tối đại 1.2.3 Hệ Cho vành R Các điều kiện sau tương đương: (i) R vành Noether phải; (ii) R thỏa điều kiện ACC iđêan phải; (iii) Mọi iđêan phải R hữu hạn sinh; (iv) Mọi tập khác rỗng iđêan phải R có phần tử tối đại 1.2.4 Mệnh đề Cho N môđun R – môđun M Khi đó, M R – môđun Noether N M/N R – môđun Noether 1.2.5 Hệ Tổng trực tiếp hữu hạn R – môđun Noether R – môđun Noether 1.2.6 Hệ Nếu R vành Noether phải R – môđun hữu hạn sinh môđun Noether 1.2.7 Hệ Cho S vành vành R Nếu S vành Noether phải R S – môđun hữu hạn sinh R vành Noether phải 1.2.8 Vành R gọi đơn R có hai iđêan R Điều tương đương với iđêan tối đại R 1.2.9 Iđêan I vành R gọi lũy linh tồn số nguyên dương n thỏa In = 1.2.10 Mệnh đề Các điều kiện sau vành R tương đương: (i) R tích trực tiếp hữu hạn vành Artin đơn; (ii) RR nửa đơn; (iii) Mọi R – môđun phải nửa đơn; (iv) R vành Artin phải R iđêan lũy linh; (v) R vành Artin phải giao iđêan tối đại R 1.2.11 Nếu R thỏa điều kiện R gọi vành (Artin) nửa đơn 1.3 RADICAL NGUYÊN TỐ 1.3.1 Vành R gọi miền nguyên tích hai phần tử khác khác Vành R gọi vành AR iđêan R thỏa tính chất AR trái AR phải 3.2.2 Mệnh đề Các điều kiện sau iđêan I vành Noether phải R tương đương: (i) I thỏa tính chất AR phải; (ii) Nếu M R – môđun phải hữu hạn sinh N môđun M tồn số nguyên n cho N ∩ MI n ⊆ NI ; (iii) Nếu M R – môđun phải hữu hạn sinh N môđun cốt yếu M thỏa NI = tồn số nguyên n cho MI n = Chứng minh: ( i ) ⇒ ( iii ) Giả sử I thỏa tính chất AR phải, M R – môđun phải hữu hạn sinh, N môđun cốt yếu M thỏa NI = Ta chứng minh tồn số nguyên n cho MIn = Vì M hữu hạn sinh nên ta cần chứng minh hệ sinh M bị linh hóa lũy thừa I Do I thỏa tính chất Lấy x ∈ M đặt K =∈ {r R xr ∈ N} Ta có xKI ⊆ NI = AR nên tồn số nguyên dương n cho K ∩ I n ⊆ KI Ta có n xI n ∩ N= x( K ∩ I n ) ⊆ xKI= Do N ⊆ e M nên xI = ( iii ) ⇒ ( ii ) Chọn K môđun M cho K môđun tối đại thỏa K∩N= NI Đặt N ảnh N M K Ta có NA = N ⊆ e M K Khi tồn số NI nguyên n cho ( M K ) In = ⇒ MIn ⊆ K Vậy MIn ∩ N ⊆ K ∩ N = ( ii ) ⇒ ( i ) Hiển nhiên.□ 3.2.3 Cho vành R phần tử a ∈ R gọi chuẩn tắc aR = Ra Nếu a chuẩn tắc aR iđêan R ( aR ) = a n R Hơn nữa, R vành nguyên tố n a ≠ a qui 3.2.4 Mệnh đề Cho R vành Noether phải iđêan I sinh phần tử chuẩn tắc Khi I thỏa tính chất AR phải Chứng minh: Chọn M R môđun hữu hạn sinh N môđun cốt yếu M thỏa NI = 0 Ta cần chứng minh ∃n : MIn = mx Giả sử x phần tử sinh chuẩn tắc I Đặt θ : M → M xác định θ ( m ) = Do xR = Rx nên ker θ k im θk môđun M với k Vì M R môđun Noether nên ker θ k = ker θ k+1 Vì vậy, ker θ k ∩ im θ k = Tuy nhiên, N ⊆ ker θ ⊆ ker θ k N môđun cốt yếu M Vậy im θk =0 Do đó, Mx k = Gọi x1, x , , x n hệ sinh chuẩn tắc I Với i, tồn k(i) cho Mx ik ( i ) = Đặt n = ∑ k ( i ) Khi đó, In ⊆ ∑ x ik (i ) R nên MIn = □ 3.2.5 Mệnh đề Cho R vành Noether phải I iđêan thỏa tính chất AR phải Đặt S= − I Khi đó: (i) S tập Ore phải S tập mẫu số bên phải (ii) I S ⊆ J ( Rs ) Chứng minh: Với r ∈ R, x ∈ I ta cần tìm r ' ∈ R, x ' ∈ I cho r (1 − x ' ) =(1 − x ) r ' ∞ Đặt u i = r (1 − x i ) − (1 − x i ) r U = ∑ u i R Ta có u i ∈ Ii nên U ⊆ I Do R vành i =1 n −1 Noether phải I thỏa tính chất AR phải nên tồn n đủ lớn để U = ∑ u i R i =1 U ∩ I n ⊆ UI Khi đó, u n = u1a1 + + u n −1a n −1 với a i ∈ I Do đó, ( ) ( ) ( r (1 − x ) − (1 − x ) r ) a r − x n − − x n r=  n −1   i =1  (( ) ( )) + + r − x n −1 − − x n −1 r a n −1 nên r 1 − x n − ∑ (1 − x i ) a i  =(1 − x ) r ' với r ' ∈ R Hơn 1 − x n − ∑ (1 − x i ) a i  ∈ − I n −1  nên S tập Ore phải Và R vành Noether phải nên S tập mẫu số bên phải (ii) Hiển nhiên.□ 3.2.6 Mệnh đề i =1  Cho R vành Noether phải I iđêan thỏa tính chất AR phải Giả sử với n, tập đóng nhân C ( I I n ) R I n tập Ore phải Khi đó, CR ( I ) tập Ore phải Chứng minh: Lấy r ∈ R, c ∈ CR ( I ) Do I thỏa tính chất AR phải nên tồn n cho ( rR + cR ) ∩ In ⊆ ( rR + cR ) I = rI + cI Do C ( I In ) tập Ore phải nên tồn r ' ∈ R, c ' ∈ CR ( I ) cho rc '− cr ' ∈ In Do đó, rc '− cr ' ∈ rI + cI ⇒ tồn a1, a ∈ I cho rc '− cr ' = ra1 + ca Vậy tồn c '− a1 ∈ CR ( I ) , a2 + r ' ∈ R cho r ( c '− a1 ) = c ( a + r ' ) □ 3.2.7 Bổ đề Cho R vành Noether AR phải B iđêan Khi đó, ρ ( BR ) = ⇔ ρ ( R B) = Chứng minh: Vì Giả sử ρ ( BR ) = R B hữu hạn sinh nên theo Mệnh đề 3.2.6 ta cần chứng minh tồn a ∈ C ( N ) cho Ba = , với N = N ( R ) Đặt A = rann B Ta có tồn n để B ∩ A n ⊆ BA =0 ⇒ A n B =0 Vì a ∈ A nên a n B = Theo Mệnh đề 3.2.6, ρ ( R B) = □ 3.2.8 Mệnh đề Cho R vành Noether AR phải I iđêan nửa nguyên tố Khi đó: (i) CR ( I ) thỏa điều kiện Ore trái điều kiện Ore phải ( ) (ii) Tồn RC ( I ) I C ( I ) = J RC ( I ) Chứng minh (i) Ta cần chứng minh: với n, C ( I In ) thỏa điều kiện Ore trái điều kiện Ore phải R I n Ta giả sử I radical nguyên tố R n số nguyên dương nhỏ cho In = Ta chứng minh C ( I In ) thỏa điều kiện Ore qui nạp Với n = , theo định lí Goldie ta có CR ( ) thỏa điều kiện Ore Giả sử, C ( I In −1 ) thỏa điều kiện Ore R In −1 Đặt B = {b ∈ R : ∃c ∈ C ( I ) , cb = 0} Ta có B đóng với phép nhân phải B⊆ I Chọn b, c r ∈ R Theo giả thiết qui nạp, R I n −1 ta có tồn Do đó, c ' rb = ⇒ B c ' ∈ C ( I ) , r ' ∈ R cho c ' r − r ' c ∈ In −1 Vì b ∈ I nên ( c ' r − r ' c ) b = đóng với phép nhân trái Chứng minh tương tự B đóng với phép cộng Vậy B iđêan R nên theo Bổ đề 3.3.7 ρ ( BR ) = Nếu c ∈ C ( I ) Hiển nhiên, ρ ( R B ) = ρ (R ) ⇒ Tuy nhiên, cR ≅ R rann c nên ρ ( cR ) = rann c ⊆ B Do đó, ρ ( rann c ) = ρ ( R cR ) = Vậy với r ∈ R tồn c1 ∈ C ( I ) cho rc1 ∈ cR (ii) Hiển nhiên ass C ( I ) ⊆ I nên không tính tổng quát ta giả sử ( ) ass C ( I ) = Khi đó, IC( I ) ⊆ J R C( I ) Tuy nhiên, R C( A ) IC( I ) ≅ ( R I )C( I ) Mà theo định lí Goldie ( R I )C( I) vành nửa đơn nên R C( I) IC( I) vành nửa đơn Do đó, ( ) ( ) ( ) J R C( I ) IC( I ) = ⇒ J R C( I ) ⊆ IC( I ) Vậy J R C( I ) = IC( I ) □ 3.3 ĐỊA PHƯƠNG HÓA TẠI IĐÊAN NỬA NGUYÊN TỐ 3.3.1 Định nghĩa: Bao nội xạ môđun M môđun nội xạ mở rộng cốt yếu M Với môđun M bao nội xạ môđun M tồn sai khác đẳng cấu Ta kí hiệu bao nội xạ M E(M) 3.3.2 Bổ đề Cho vành R môđun TR , FR Các điều kiện sau tương đương: (i) Hom (TR , E ( FR ) ) = 0; (ii) Với t ∈ T , ≠ f ∈ F , tồn r ∈ R cho tr = fr ≠ ; (iii) Hom ( tR, FR ) = , với t ∈ T Chứng minh: ( i ) ⇒ ( iii ) : hiển nhiên ( iii ) ⇒ ( ii ) : Giả sử ( ii ) không đúng, tồn t, f cho tr =0 ⇒ fr =0 Khi đó, tồn đồng cấu khác 0: tR → F, tr  fr Xét biểu đồ sau: Vì E ( F ) nội xạ nên Hom (TR , E ( FR ) ) ≠ ( ii ) ⇒ ( i ) Giả sử ( i ) không ≠ α ∈ Hom ( TR , E ( FR ) ) Chọn u ∈ T cho α ( u ) ≠ Ta có tồn s ∈ R cho ≠ α ( u ) s = α ( us ) ∈ F Đặt t = us f = α ( t ) Khi tr =0 ⇒ fr =0 □ 3.3.3 Môđun TR thỏa ba điều kiện gọi xoắn E ( FR ) 3.3.4 Mệnh đề Cho N iđêan nửa nguyên tố thỏa R N vành Goldie phải M R – môđun phải Khi M xoắn C(N) M xoắn E ( R N R ) Chứng minh: ( ⇒ ) Giả sử M xoắn C ( N ) t ∈ M,0 ≠ f ∈ R N Khi = f [ x + N ] với x ∈ R N Do M xoắn C ( N ) ) nên tồn c ∈ C ( N ) cho tc = Tuy nhiên c ∈ C ( N ) , xc ∉ N tức fc ≠ Theo Bổ đề 3.3.2, ta có M xoắn E ( R N R ) ( ⇐ ) Ngược lại, giả sử M xoắn = f E ( R N R ) t ∈ M,0 ≠ f ∈ R N Ta có [ x + N ] với x ∈ R N Áp dụng Bổ đề 3.3.2(ii) cho txr = xr ∉ N tx f , ta có r ∈ R cho Đặt D = {d ∈ R td =0} D + N N môđun cốt yếu R N Do đó, D ∩ C ( N ) ≠ ∅ Nếu d ∈ D ∩ C ( N ) td = Vậy M xoắn C ( N ) □ 3.3.5 Cho M R – môđun Nếu M ≠ ann M ' = ann M với M’ môđun khác M M gọi môđun nguyên tố Khi đó, ann M iđêan nguyên tố, ann M gọi nguyên tố nhánh M Nếu S M R song môđun M song môđun nguyên tố S M M R môđun nguyên tố 3.3.6 Bổ đề (i) Nếu R thỏa ACC iđêan môđun khác chứa môđun nguyên tố (ii) Nếu R, S thỏa ACC iđêan song môđun khác chứa song môđun nguyên tố (iii) Giả sử S vành Noether trái, S M R song môđun, S M hữu hạn sinh, M R môđun nguyên tố với nguyên tố nhánh P R P vành Goldie phải Khi đó, M R P – môđun không xoắn Chứng minh: (i) Ta có M ⊇ M1 ⊇ M ⊇ dãy giảm môđun M R ann M1 ⊆ ann M ⊆ dãy tăng iđêan R Nếu R thỏa điều kiện ACC với ann M n ann = M n +1 Tức M R chứa môđun iđêan nghĩa tồn n để = nguyên tố (ii) Chứng minh tương tự (iii) Lấy N môđun xoắn N= vói s ∈ CR P ( )} Ta chứng minh N = {m ∈ M ms = MR P Tức Ta có N ( S, R ) − song môđun Do S N môđun S M nên S N hữu hạn sinh Chọn c ∈ C ( P ) phần tử linh hóa hệ sinh N Ta có Nc = nên ann R N ⊃ P Vì N = □ 3.3.7 Mệnh đề Cho R vành Noether với S tập mẫu số bên phải Cho A, B iđêan R thỏa A ⊆ B B A ( R, R ) – song môđun nguyên tố với P nguyên tố nhánh bên phải Q nguyên tố nhánh bên trái Khi C ( P ) ⊇ S C ( Q ) ⊇ S Chứng minh: ( ⇒ ) Giả sử C ( P ) ⊇ S đặt I = ass S Chọn b ∈ I ∩ B bs= ∈ A với s ∈ S ⊆ C ( P ) Do Bổ đề 3.3.2(iii), B A không xoắn R P nên b ∈ A Do đó, B ∩ I = A ∩ I Hơn IB ⊆ B ∩ I ⊆ A nên I ⊆ Q tương tự BI ⊆ A nên I ⊆ P Ta giả sử I = nên S ⊆ CR ( ) Ta có ( ARS ∩ R ) A xoắn S nên ( ARS ∩ R ) A xoắn C ( P ) Do đó, ARS ∩ B = A Do đó, ARS BRS iđêan RS nên A ( R ∩ QRS ) B ⊆ B ∩ QBRS ⊆ B ∩ ARS = B nên S ⊆ C ( Q ) Suy R ∩ QRS = ( ⇐ ) Chứng minh tương tự.□ 3.3.8 Định nghĩa: Cho P, Q iđêan nguyên tố vành Noether R Ta nói Q liên kết với P Q ∩ P QP có ảnh đồng cấu song môđun nguyên tố với P nguyên tố nhánh bên phải Q nguyên tố nhánh bên trái Kí hiệu Q → P Đồ thị liên kết đồ thị với đỉnh iđêan nguyên tố R mũi tên hướng từ Q đến P Q → P Cho R vành Noether Tập X SpecR gọi đóng với liên kết phải P ∈ X Q → P Q ∈ X 3.3.9 Cho M môđun vành Noether R Khi đó, tồn iđêan nguyên tố nhánh môđun M Iđêan nguyên tố gọi nguyên tố liên kết M, kí hiệu ass M Hiển nhiên, ass M nguyên tố nhánh ann M ( ass M ) 3.3.10 Bổ đề Cho R vành Noether M R môđun hữu hạn sinh thỏa MP ≠ , với P = ass M Đặt U = annM ' P Khi đó, tồn môđun M’ M thỏa (i) M ' ≠ U (ii) ann M' = ann N với N môđun M’ N ⊄ U (iii) M ' U môđun nguyên tố Chứng minh: Đặt U ' = ann M P Chọn M1 ⊆ M cho ann M1 tối đại M1 ⊄ U ' Đặt = U M1 ∩ U ' Gọi V môđun nguyên tố M1 U đặt M’ nghịch ảnh V M1 Ta có M’ thỏa (i), (ii), (iii).□ 3.3.11 Mệnh đề Cho R vành Noether P, Q ∈ Spec R Giả sử tồn dãy khớp R – môđun đều, hữu hạn sinh → U → M → V → , đó: = N ann = M A (i) Với N môđun M thỏa N ⊄ U ann (ii) V môđun nguyên tố với nguyên tố nhánh Q (iii) U môđun nguyên tố với nguyên tố nhánh P, U = annM P U R P không xoắn Khi QP ⊆ A ⊆ P ∩ Q A ⊂ P ∩ Q VR Q không xoắn Q → P Chứng minh: Hiển nhiên QP ⊆ A ⊆ P ∩ Q Giả sử A ⊂ P ∩ Q Ta chứng minh P ∩ Q A song môđun nguyên tố với nguyên tố nhánh P, Q Khi đó, Q → P Lấy I iđêan R thỏa A ⊂ I ⊆ P ∩ Q Ta cần chứng minh rann ( I A )R = P lann R ( I A ) = Q Do I ≠ A ⇒ MI ≠ MI ⊆ U Đặt T = lann R ( I A ) ⇒ TI ⊂ A ⇒ MTI ⊆ MA = ⇒ MTI = ⇒ ann MT ⊇ I ⊃ A Theo (i) MT ⊆ U ⇒ T ⊆ Q Vì QP ⊆ A I ⊆ P ⇒ QI ⊆ A ⇒ T ⊇ Q Vậy T = Q Chứng minh tương tự, ta rann ( I A )R = P Vậy Q → P Ta chứng minh VR Q không xoắn phản chứng Giả sử ngược lại Ta chọn m ∈ M \ U d ∈ C ( Q ) thỏa md ∈ U Vì d qui R (P ∩ Q A) nên d ( P ∩ Q ) + A A ≅ P ∩ Q A Do đó, ρR P ( P ∩ Q d ( P ∩ Q ) + A ) = Xét ánh xạ R → M, r  mr Hạt nhân ánh xạ chứa d ( P ∩ Q ) + A Vì vậy, ρR P ( m ( P ∩ Q ) ) = ⇒ m ( P ∩ Q ) ⊆ U Do UR P không xoắn nên mR ( P ∩ Q ) = (mâu thuẫn với (i)) Vậy VR Q không xoắn.□ 3.3.12 Định nghĩa: Iđêan P thỏa tính chất mệnh đề 3.3.11 gọi thỏa điều kiện lớp thứ hai Tập X Spec R gọi thỏa điều kiện lớp thứ hai iđêan P ∈ X thỏa điều kiện lớp thứ hai Vành R gọi thỏa điều kiện lớp thứ hai Spec R thỏa điều kiện lớp thứ hai 3.3.13 Một số ví dụ vành Noether thỏa điều kiện lớp thứ hai - Vành R gọi AR – tách phải với P,Q ∈ Spec R thỏa P ⊂ Q , tồn iđêan I thỏa P ⊂ I ⊆ Q I P thỏa tính chất AR phải R P Ta có R vành Noether AR – tách phải R thỏa điều kiện lớp thứ hai bên phải - Giả sử vành R có tính chất vành thương nguyên tố, iđêan cốt yếu phía chứa iđêan khác Vành R gọi vành FBN (fully bounded Noetherian) Đặc biệt, vành FBN bao gồm vành Noether giao hoán Vành FBN thỏa điều kiện lớp thứ hai 3.3.14 Định nghĩa: Cho R vành Noether N iđêan nửa nguyên tố R R gọi địa phương hóa theo C ( N ) C ( N ) tập Ore 3.3.15 Mệnh đề Cho R vành Noether, N iđêan nửa nguyên tố X tập iđêan nguyên tố tối tiểu N Giả sử X đóng liên kết X thỏa điều kiện lớp thứ hai Khi đó, R địa phương hóa theo C ( N ) Chứng minh: Đặt C = C ( N ) Ta chứng minh C thỏa điều kiện Ore phải Ta cần chứng minh với c ∈ C , R cR môđun xoắn C Giả sử ngược lại Khi đó, ta chọn ảnh M R cR M có tính chất: M không xoắn C vành thương thực M xoắn C Hiển nhiên M môđun Vì C =  C ( Pi ) nên tồn P ∈ X để M không xoắn C ( P ) Theo Mệnh đề 3.3.4, ta có tồn đồng cấu α khác α : M → E ( R PR ) Vì E ( R PR ) không xoắn C ( P ) nên α phép nhúng 0} Ta có U ' ≠ Ta chứng minh U ' = M Giả sử ngược Đặt U ' = {m ∈ M mP = lại Ta có, tồn M’ môđun M thỏa tính chất Bổ đề 3.3.10, với U= U '∩ M ' Đặt V = M ' U Ta có U, V môđun nguyên tố với nguyên tố nhánh P Q Áp dụng Mệnh đề 3.3.11, ta có VR Q không xoắn Q → P Do X đóng liên kết nên Q ∈ X Tuy nhiên theo cách chọn M M U xoắn C V xoắn C ( Q ) (mâu thuẫn với VR Q không xoắn) Vậy U ' = M Vậy MP = Do đó, ta nhúng M vào R P Tuy nhiên, M chứa phần tử khác không, xoắn C ảnh [1 + cR] Điều chứng tỏ R cR môđun xoắn C Khi đó, C tập Ore phải Chứng minh tương tự, ta có C tập Ore trái .Vậy R địa phương hóa theo C ( N ) □ 3.3.16 Định nghĩa: Nếu X tập iđêan nguyên tố không phân tích vành Noether R Đặt C ( X ) =  C ( P ) Ta nói R địa phương hóa theo C ( X ) nếu: P∈X (i) C ( X ) tập Ore (ii) Giả sử R’ vành thương iđêan nguyên thủy R’ PR ' với P ∈ X R ' PR ' ≅ Q ( R P ) 3.3.17 Định nghĩa: Cho X tập khác rỗng iđêan nguyên tố vành Noether R Ta nói X thỏa điều kiện giao phải I iđêan phải R thỏa I ∩ C ( P ) ≠ ∅ với P ∈ X I ∩ C ( X ) ≠ ∅ Ta có trường hợp đặc biệt X tập hữu hạn iđêan nguyên tố không phân tích vành Noether R X thỏa điều kiện giao phải 3.3.18 Mệnh đề Cho X tập iđêan nguyên tố không phân tích vành Noether R giả sử C ( X ) tập Ore Nếu X thỏa điều kiện giao phải R địa phương hóa theo C ( X ) Chứng minh Xem [1].□ 3.3.19 Mệnh đề Cho R vành Noether X tập iđêan nguyên tố không phân tích Hơn nữa, X thỏa điều kiện sau đây: (i) X đóng liên kết (ii) X thỏa điều kiện lớp thứ hai (iii) X thỏa điều kiện giao Khi R địa phương hóa theo C ( X ) Chứng minh: Theo Mệnh đề 3.3.15, C ( X ) tập Ore Theo Mệnh đề 3.3.18, R địa phương hóa theo C ( X ) □ KẾT LUẬN Một số kết mà luận văn đạt được: Đối với vành không giao hoán, việc địa phương hóa theo iđêan nguyên tố Định lí 2.1.14: Vành thương R theo S tồn S tập mẫu số bên phải Mệnh đề 2.2.12, Hệ 2.2.13, Định lí Goldie (Mệnh đề 2.2.14): Nếu R vành Noether nửa nguyên tố vành thương R theo CR ( ) tồn vành thương vành Artin nửa đơn Hơn nữa, R vành nguyên tố vành thương vành đơn Định lí 3.4.13 định lí 3.4.17: Mô tả điều kiện để vành Noether R địa phương hóa theo iđêan nửa nguyên tố TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]: K.R.Goodearl and R.B.Warfield, Jr., An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings, London Math, Soc Student Texts 16, Cambridge Press, Cambridge, 1989 [2]: C Hajarnavis, Annihilators in semiprime right Goldie rings, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society (1992) 35, 133-137 [3]: I N Herstein, Noncommutative Noetherian rings, Carus Mathematics Monographs 15, Wiley, NewYork, (10.4.8, 13.11.10) [4]: J E Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer –Verlag New York, Inc, 1972 [5]: A V Jategaonkar, Injective modules and classical localization in noncommutative Noetherian rings, Bull Amer Math Soc 79 (1973), 152-157 [6]: A V Jategaonkar, Injective modules and localization in noncommutative Noetherian rings, Trans Amer Math Soc 190 (1973), 109-123 [7]: A V Jategaonkar, Localization in Noetherian rings, London Math Soc Lecture Note Series 98, Cambridge Univ, Press, Cambridge, 1986 [8]: C H Kim, Second layer conditions in Noetherian rings, 1998 [9]: C.C Lai, Localization in Non – Noetherian rings, Taylor & Francis Journal, 1979, 1351-1376 [10]: T Y Lam, A first course in noncommutative rings, Springer –Verlag New York, Inc, 1991 [11]: J Lambek and G Michler, Localization of right Noetherian rings at semiprime ideal, Canadian J Math 26 (1974), 1069–1085 [12]: J Lambek and G Michler, Completions and classical localizations of right Noetherian rings, Pacific J Math Volume 48, Number (1973), 133-140 [13]: H Matsumura, Benjamin/Cummings, Reading, 1980 Commutative Algebra, Second Ed., [14]: J C McConnell and J C Robson, Noncommutative Noetherian rings, Revised Ed., Grad, Studies in Math 30, Amer Math Soc., Providence, 2001 [15]: B J Muller, Localization in Non Commutative Rings, Monografias Inst Mat 1, Univ Nacion Aut’onoma de M’exico, 1974 [16]: B J Muller, Localization of Non-Commutative Noetherian Rings at Semiprime Ideal, Algebra-Berichte, Seminar F Kasch and B Pareigis, Verlag Uni-Druck, Munchen, 1974 [17]: B J Muller, Localization in non-commutative Noetherian rings, Canad J Math 28 (1976), 600–610 [18]: B J Muller, Localization in fully bounded Noetherian rings, Pacific J Math 67(1976), 233–245 [19]: O Ore, Theory of non-commutative polynomials, Annals of Math 34 (1933), 480–508 [20]: D G Poole, Prime ideal and localization in Noetherian Ore extensions.J Algebra 128 (1990), no 2, 434–445 [21]: B Sirola, Artin-Rees property and Artin-Rees rings, Math Commun, Vol 15, No 2, pp 479-488 (2010) [22]: J T Stafford, The Goldie rank of a module, in Noetherian Rings and their Applications (L W Small, ed.), Math Surveys and Monographs 24, Amer Math Soc, Providence, 1987, pp 1–20 [23]: R B Warfield, Jr., Modules over fully bounded Noetherian rings, in Ring Theory Waterloo 1978 (D Handelman and J Lawrence, eds.), Lecture Notes in Math 734, Springer-Verlag, Berlin, 1979, pp 339–352 [...]... là vành nguyên tố Tập tất cả các iđêan nguyên tố của R kí hiệu là SpecR 1.3.5 Định nghĩa: Iđêan nguyên tố tối tiểu của vành R là iđêan nguyên tố của R mà không thực sự chứa iđêan nguyên tố nào khác của R Ta có mọi iđêan nguyên tố của R đều chứa một iđêan nguyên tố tối tiểu Do đó, ta xét I là iđêan của R và iđêan nguyên tố P ⊇ I Trong vành R I , iđêan nguyên tố P I chứa iđêan nguyên tố tối tiểu Q I của... N ( R ) = 0 1.3.8 Định nghĩa: Vành R thỏa một trong ba điều kiện trên được gọi là vành nửa nguyên tố 1.3.9 Định nghĩa: Iđêan I của vành R được gọi là iđêan nửa nguyên tố nếu R/I là vành nửa nguyên tố Một số định nghĩa khác của iđêan nửa nguyên tố mà ta thường gặp là: Iđêan nửa nguyên tố là giao của các iđêan nguyên tố Iđêan I của vành R được gọi là iđêan nửa nguyên tố khi và chỉ khi ∀x ∈ R thỏa xRx... Q I của R I Khi đó, Q là iđêan nguyên tố của R và Q ⊇ I và Q là phần tử tối tiểu trong tập các iđêan nguyên tố chứa I Iđêan Q được gọi là nguyên tố tối tiểu trên I 1.3.6 Radical nguyên tố của vành R là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của R Kí hiệu N(R) 1.3.7 Mệnh đề Các điều kiện sau của vành R là tương đương: (i) R không có iđêan phải lũy linh khác 0; (ii) R không có iđêan lũy linh khác 0; (iii)... RADICAL JACOBSON 1.4.1 Vành R được gọi là vành nguyên thủy nếu tồn tại một R – môđun đơn, trung thành 1.4.2 Mệnh đề (i) Vành đơn là vành nguyên thủy (ii) Vành nguyên thủy là vành nguyên tố 1.4.3 Iđêan I của vành R là iđêan nguyên thủy nếu R/I là vành nguyên thủy 1.4.4 Radical Jacobson của vành R là giao của tất cả các iđêan nguyên thủy Kí hiệu J(R) 1.4.5 Mệnh đề Cho I là iđêan của vành R Các điều kiện... sau là tương đương: (i) I = J ( R ) ; (ii) I là giao của các iđêan phải tối đại của R; (iii) I là iđêan lớn nhất thỏa với mọi a ∈ I thì 1 − a khả nghịch 1.4.6 Nếu J(R) = 0 thì R là vành nửa nguyên thủy Iđêan I của vành R là iđêan nửa nguyên thủy nếu R/I là vành nửa nguyên thủy CHƯƠNG 2: VÀNH CÁC THƯƠNG 2.1 VÀNH CÁC THƯƠNG 2.1.1 Cho R là vành không giao hoán Phần tử x ∈ R được gọi là chính qui phải nếu... Giả sử J là iđêan khác 0 của R thì QIJ nguyên tố CHƯƠNG 3: IĐÊAN NỬA NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN 3.1 CHIỀU RÚT GỌN 3.1.1 Định nghĩa: S CR (0= ) Cho R là vành Goldie nửa nguyên tố, = {x ∈ R x chính qui trong R} và Q = R S là vành các thương của R theo S Theo định lí Goldie, ta có Q là vành Artin nửa đơn Nếu M là R – môđun thì M ⊗ Q là Q – môđun nửa đơn Chiều rút gọn của M được định... chứng minh: “R là vành Goldie phải nửa nguyên tố khi và chỉ khi tồn tại vành các thương phải Q của R và Q là vành Artin nửa đơn” ( ⇐ ) Do Q là vành Artin ⇒Q là vành Noether ⇒ Q là vành Goldie ⇒ R là vành Goldie (do R là vành con của vành Q) Ta chỉ cần chứng minh R là nửa nguyên tố Gọi N là iđêan lũy linh của R Ta có lann N là iđêan phải cốt yếu của R Thật vậy, lấy iđêan phải I của R và I ≠ 0 Chọn k.. .Iđêan I của vành R là iđêan nguyên tố hoàn toàn nếu R/I là miền nguyên 1.3.2 Mệnh đề Các điều kiện sau của vành R là tương đương: (i) Nếu 0 ≠ a, b ∈ R thì aRb ≠ 0; (ii) Nếu 0 ≠ I, J  RR thì IJ ≠ 0 ; (iii) Nếu 0 ≠ I, J  R thì IJ ≠ 0 1.3.3 Định nghĩa: Vành R thỏa mãn một trong ba điều kiện trên là vành nguyên tố 1.3.4 Định nghĩa: Iđêan I của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu R/I là vành nguyên. .. R là vành Goldie {x ∈ R x chính qui trong R} phải nửa nguyên tố Đặt Theo Mệnh đề 2.2.10, tồn tại vành các thương phải của R theo S Kí hiệu Q = RS 2.2.14 Mệnh đề (Định lí Goldie) R là vành Goldie phải nửa nguyên tố khi và chỉ khi tồn tại vành các thương phải Q của R và Q là vành Artin nửa đơn Hơn nữa, R là vành nguyên tố khi và chỉ khi Q là vành đơn Chứng minh: Đầu tiên ta chứng minh: “R là vành Goldie... gọi là môđun nguyên tố Khi đó, ann M là iđêan nguyên tố, ann M được gọi là nguyên tố nhánh của M Nếu S M R là song môđun thì M là song môđun nguyên tố nếu S M và M R là môđun nguyên tố 3.3.6 Bổ đề (i) Nếu R thỏa ACC đối với các iđêan thì mỗi môđun con khác 0 đều chứa môđun con nguyên tố (ii) Nếu R, S thỏa ACC đối với các iđêan thì mỗi song môđun con khác 0 đều chứa song môđun con nguyên tố (iii) Giả ... Iđêan nửa nguyên tố vành Noether không giao hoán MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI Nghiên cứu vành Noether không giao hoán, iđêan nguyên tố, iđêan nửa nguyên tố vành Noether không giao hoán Từ đó, điều kiện iđêan. .. tử tích hai iđêan đưa Krull năm 1928 Và iđêan nửa nguyên tố giao iđêan nguyên tố Vậy câu hỏi đặt vành không giao hoán (đặc biệt lớp vành Noether không giao hoán) iđêan nửa nguyên tố có tính chất... tiểu vành R iđêan nguyên tố R mà không thực chứa iđêan nguyên tố khác R Ta có iđêan nguyên tố R chứa iđêan nguyên tố tối tiểu Do đó, ta xét I iđêan R iđêan nguyên tố P ⊇ I Trong vành R I , iđêan