BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hoàng Thị Ngọc Lan MỘT SỐ MÔ HÌNH CỦA CÁC SIÊU KHÔNG GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hoàng Thị Ngọc Lan MỘT SỐ MÔ HÌNH CỦA CÁC SIÊU KHÔNG GIAN Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số:60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Hà Thanh Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh.Trong trình học tập làm luận văn, thầy động viên giúp đỡ tác giả tiếp cận với hướng toán học đại, vấn đề lớn toán mở toán.Sự động viên hướng dẫn tận tình thầy giúp tác giả việc hoàn thành luận văn mà giúp tác giả có thêm cách nhìn nhận lĩnh vực khác nghiên cứu khoa học.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Th.S Võ Quốc Ấn giúp đỡ nhiều trình làm luận văn để tác giả hoàn thành tốt luận văn Xin chân thành cám ơn quý thầy trực tiếp giảng dạy lớp hình học tôpô khóa 22 quý thầy Tổ Hình học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu trình học cao học Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ Chức Hành chính, Phòng Khoa học Công nghệ Sau đại học, Phòng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thân gia đình quan tâm động viên khích lệ tác giả suốt trình học tập trình làm luận văn Hoàng Thị Ngọc Lan MỞ ĐẦU Lý thuyết siêu không gian hình thành từ năm 1900 với nghiên cứu F Hausdorff L Vietoris Vào năm 1922, L Vietoris trang bị cho siêu không gian X tập đóng không gian tôpô X cho trước tôpô mang tên ông ông chứng minh kết cấu trúc X liên hệ với continuum: tính compact Xkéo theo tính compact X ; X liên thông X liên thông Trong trường hợp X không gian metric họ tập đóng khác rỗng bị chặn X metric hóa nhờ vào metric Hausdorff mà đưa vào năm 1914 từ F Hausdorff Từ đến nay, lý thuyết siêu không gian phát triển mạnh mẽ với nhiều tính chất tôpô nghiên cứu siêu không gian với công cụ mạnh dùng để nghiên cứu siêu không gian, đặc biệt ánh xạ Whitney Đến nay, nhiều toán lý thuyết continuum siêu không gian toán mở giải triệt để kết mà chúng đem lại mang đến ứng dụng quan trọng toán học thực tiễn Do đó, lý thuyết continuum siêu không gian nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới K Kuratowski, J Charatonik, Kelley, K Bersuk, P Alexanderoff, W Sierpinski Đặc biệt năm gần siêu không gian quan tâm đặc biệt S.B.Nadler, A.Illanes,… Khái niệm tính chất siêu không gian trừu tượng, để có cách nhìn trực quan siêu không gian, mô hình cụ thể cần ý Với mong muốn tiếp cận sâu thêm mô hìnhsiêu không gian, luận văn trình bày khái niệm, hình dạng, tính chất siêu không gian.Do đề tài luận văn lựa chọn " Một số mô hình siêu không gian " Luận văn chia làm ba chương Chương trình bày sơ lược số kiến thức tôpô đại cương không gian metric,cùng tính chất hai tính chất compact liên thông liên quan tâm đặc biệt làm tảng cho việc nghiên cứu chương Chương trình bày lý thuyết continuum siêu không gian, ví dụ tính chất continuum Chương dành cho việc trình bày số phương pháp xây dựng tổng quát mô hình siêu không gian C X X Sau đưa số mô hình siêu không gian trình bày khái niệm hình dạng siêu không gian Cn ( X ) , C ( X ) , Fn ( X ) cập nhật mô hình phát triển siêu không gian Trong phần kết luận trình bày số nhận xét kết hướng mở rộng cho luận văn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Ví dụ 1.2 Không gian Hausdorff sở 1.2.1 Không gian Hausdorff 1.2.2 Cơ sở 1.2.3 Ánh xạ liên tục 1.2.4 Tập compact 1.2.5 Liên thông 10 1.3 Metric 11 CHƯƠNG 2: CONTINUUM VÀ SIÊU KHÔNG GIAN 14 2.1 Lý thuyết continuum 14 2.1.1 Định nghĩa 14 2.1.2 Ví dụ 14 2.2 Các khái niệm tổng quát siêu không gian .17 2.3 Metric Hausdorff H d 18 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ MÔ HÌNH CỦA CÁC SIÊU KHÔNG GIAN 20 3.1 Giới thiệu 20 3.2 Khoảng đơn vị, C ( X ) 22 3.3 Vòng tròn, C ( X ) 23 3.4 Triod đơn, C ( X ) 25 3.5 X Noose 26 3.6 Mô hình cho C ( X ) với X n-od đơn .29 3.7 Mô hình cho C ( X ) X điểm Sợi 32 3.8 Mô hình cho X X compactum vô hạn đếm 35 3.9 Noose, C ( X ) 39 3.10 Một số mô hình không liên thông địa phương cho C ( X )  40 3.11 Một số continuum X với C ( X ) nhúng vào 3 41 3.12 Continuum liên thông địa phương X với C ( X ) nhúng vào   44 3.13 Một số mô hình vô hạn chiều Cn ( X ) 45 3.14 Cn ([ 0,1]) với n ≥ .46 3.15 Cn ( S ) với n ≥ 47 X 3.16 Một số mô hình cho 48 3.17 Định lý [7] Cho X continuum Các kết sau tương đương 48 3.18 Khoảng đơn vị Fn ( X ) .48 3.19 Vòng tròn, Fn ( X ) 50 3.20 Triod đơn, F2 ( X ) 52 3.21 4-od đơn, F2 ( X ) 54 3.22 Noose, F2 ( X ) 55 3.23 Continuum hình số 8, F2 ( X ) 56 1 3.24 sin   − continuum, F2 ( X ) 58 x 3.25 Một số câu hỏi mở rộng 60 3.26 Khối lập phương Hilbert, Fn ( X ) 60 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 BẢNG KÍ HIỆU ≅ : phép đồng phôi ⊂ : phép bao hàm × ∏ : tích Đề lim: giới hạn A : bao đóng A Inf: cận lớn Sup: cận nhỏ Min: giá trị nhỏ Max: giá trị lớn [ ]  : lớp tương đương ∑ : phép lấy tổng CL ( X ) : tập tập đóng khác rỗng X 2X : tập tập compact CL ( X ) C(X ) : tập tập liên thông X Cn ( X ) : tập tập có tối đa n thành phần liên thông X Fn ( X ) : tập tập có tối đa n điểm X Hd : metric CL ( X ) TV : tôpô Vietoris CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương chủ yếu nhắc lại khái niệm, tính chất không gian tôpô Chương chương làm tảng cho việc nghiên cứu continuum siêu không gian hai chương 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Định nghĩa Một không gian tôpô cặp ( X , T ) X tập hợp khác rỗng T họ tập X (được gọi tôpô X ) mà phần tử gọi tập mở cho: i ∅, X ∈ T (tập rỗng X mở) ii Nếu {Uα }α ∈A ⊂ T iii Nếu {U i }i =1 ⊂ T k  Uα ∈ T với A (hợp vô hạn tập mở mở) α ∈A k U i ∈ T (giao hữu hạn tập mở mở) i =1 Với x ∈ X , tập mở chứa x gọi lân cận x Ta thường bỏ qua T kí hiệu thường nói đơn giản không gian tôpô X 1.1.2 Ví dụ a  với họ tập mở xây dựng từ cầu không gian tôpô b Cho tập X khác rỗng thì: P ( X ) họ tất tập X tôpô X , tôpô lớn X gọi tôpô rời rạc T0 = {∅, X } tôpô X , tôpô nhỏ X gọi tôpô thô 1.2 Không gian Hausdorff sở 1.2.1 Không gian Hausdorff Không gian tôpô X gọi không gian Hausdorff (hay không gian T2 ) với hai điểm khác chứa hai tập mở rời Tức là: ∀x, y ∈ X : x ≠ y , tồn U mở chứa x V mở chứa y cho U ∩ V ≠ ∅ 1.2.2 Cơ sở 1.2.2.1 Định nghĩa Cho không gian tôpô ( X , T ) , họ B tôpô T X gọi sởcủa T tập mở V T chứa X , tồn tập mở G B cho x ∈ G ⊂ V 1.2.2.2 Định lý Họ B T sở tập mở V T hợp thành phần tử B Tức ∀V ⊂ T ⇒ ∃Gα ⊂ B, ∀α ∈ I : V =  Gα α ∈I 1.2.2.3 Hệ Nếu T có sở B T tôpô nhỏ chứa B Mỗi sở xác định tôpô 1.2.2.4 Định lý Nếu họ B tập X thỏa: G= X i G∈B ii ∀G1 , G2 ∈ B x ∈ G1 ∩ G2 ⇒ ∃G ∈ B : x ∈ G ⊂ G1 ∩ G2 tồn tôpô X nhận làm sở 1.2.3 Ánh xạ liên tục 1.2.3.1 Định nghĩa Cho X , Y hai không gian tôpô f : X → Y Khi f gọi liên tục x0 ∈ X với V mở chứa f ( x0 ) , tồn U mở chứa x0 cho f (U ) ⊂ V f gọi liên tục X f liên tục điểm X 1.2.3.2 Định lý Cho X , Y hai không gian tôpô f : X → Y , mệnh đề sau tương đương: i f liên tục X L :  →  ϕ :  →  cho bởi: A ({ p, q} ) = cung ngắn hai cung nối p q S , m ({ p, q} ) = điểm A ({ p, q} ) , L ({ p, q} ) = độ dài A ({ p, q} ) ,    ϕ ({ p, q}=) 1 −  L ({ p, q} )   m ({ p, q} )    2π   ϕ đồng phôi  hình khuyên R =  z ∈  : rộng đến tập A=  < z ≤ 1 Nếu muốn mở  {{z, − z} ∈ F ( S ) : z ∈ S } , tính liên tục cách ta lấy xấp xỉ { z, − z} theo 1 phần tử , ta xác định ϕ ({ z , − z} ) với hai giá trị ϕ ({ z , − z} ) = ω −ω , với 2ω điểm thu cách quay z với góc quay π Ta xác định điểm ω −ω   1 2 Những điểm ω điểm hình tròn B =∈ u  : u =  Không gian thương thu từ R0= R ∪ B phép đồng dải Moebius M Trong hình 3.26 bước ta thu dải Bắt đầu với hình khuyên cắt chúng hai mũi tên a b Sau biến đổi hình đánh dấu hình 3.26 để có dải M 51 Hình 3.26 Dải Mobius Để việc sử dụng rộng rãi hơn, ta cần biểu diễn tập D p M= {{ p, z} : z ∈ S } Theo định nghĩa ϕ , ảnh tập bao gồm hai cung B1 B2 hình khuyên R0 Nếu tiếp tục phép biến đổi mà ta làm để thu dải Moebius đồng phôi với đường cong đóng đơn B M , ta thấy D p tiếp xúc với biên M điểm Đường cong đóng đơn biểu diễn đầu mút hình 3.22 Điều quan trọng vết biểu diễn dải Moebius, đường cong B vẽ lên hoàn toàn mà không bị đứt khúc Hình 3.27 Dải Mobius Như ta biết, số mô hình siêu không gian dễ xây dựng Tuy nhiên để xây dựng mô hình khó, ta đề cập đến lỗi sai K.Borsuk Trong [2], ông khẳng định F3 ( S ) đồng phôi với S × S với S n cầu đơn vị  n+1 Ba năm sau, R.Bott [4] sửa lại trường hợp cách chứng minh F3 ( S ) đồng phôi với S J.Mostovoy minh họa thú vị định lý Bott nút ( F1 ( S ) ) nhúng nút ba (xem định lý [23]) Mặc dù không xây dựng mô hình cho Fn ( S ) ( n ≥ ) , [25] [27] số tính chất tôpô không gian nghiên cứu 3.20 Triod đơn, F2 ( X ) Xét − od đơn Y Hình 3.28 52 L3 ∪ L1 L1 ∪ L2 , J= L2 ∪ L3 J= Cho J= F2 (T ) = F2 ( L1 ) ∪ F2 ( L2 ) ∪ F2 ( L3 ) Vì J i cung nên F2 ( J i ) xem tam giác lồi Do để thu mô hình cho F2 (Y ) ta cần lấy ba tam giác F2 ( J1 ) , F2 ( J ) F2 ( J ) đồng điểm biểu diễn thành phần F2 (Y ) xuất tam giác Ví dụ F2 ( J1 ) ∩ F2 ( J ) = F2 ( L2 ) tam giác hai tam giác F2 ( J1 ) F2 ( J ) Trong hình 3.28, ta vẽ tam giác F2 ( J1 ) , F2 ( J ) F2 ( J ) với phần cần đồng Không gian sinh tam giác lồi với ba cánh gắn liền với Hình 3.28 Triod đơn Gần E.Castaneda tìm mô hình cho F3 (Y ) [26] Ông F3 (Y ) hình nón hình xuyến với bốn đĩa gắn liền với nó, đĩa “xích đạo” ba đĩa lại “kinh tuyến” (Hình 3.29) 53 Hình 3.29 Mô hình Triod đơn F2 ( X ) 3.21 4-od đơn, Cho F2 ( X ) X − od đơn với đỉnh v Hình 3.30, với T triod đơn thu cách di chuyển chân L số chân Cho L từ X Theo ví dụ trước, F2 (T ) tam giác lồi với ba cánh Ta có F2 ( X ) = F2 (T ) ∪ F2 ( L ) ∪ T , L với T , L= {{ p, q} ∈ F ( X ) : p ∈ T , q ∈ L} Ta thấy T , L đồng phôi với T × L , T , L ∩ F2 (T ) = {{v, p} ∈ F ( X ) : p ∈ T } triod đơn đặt tam giác lồi T , L ∩ F2 ( L ) = {{v, q} ∈ F2 ( X ) : q ∈ L} tương ứng với cung T ×L Vì để thu mô hình cho F2 ( X ) ta phải đặt ba mảnh với gọi tam giác với cánh, T ×L tam giác lồi Mô hình cuối minh họa hình 3.30, với không gian (T × L ) ∪ F2 ( J ) gắn với tam giác với cánh triod đơn tam giác Hình 3.30 Mô hình cho − od đơn F2 ( X ) 54 3.22 Noose, F2 ( X ) Noose N hợp đường cong đóng đơn S cung J hợp lại điểm v đầu mút J F2 ( N ) = F2 ( S ) ∪ F2 ( J ) ∪ S , J với S , J= {{ p, q} ∈ F ( N ) : p ∈ S , q ∈ J } Ta có S , J đồng phôi với S × J S , J ∩ F2 ( S ) = {{v, q} ∈ F2 ( N ) : q ∈ S } đường cong đóng đơn F2 ( N ) giống đường cong ta xây dựng ví dụ dải Moebius (Hình 3.27) S , J ∩ F2 ( J ) = {{v, p} ∈ F ( N ) : p ∈ J } cung hình trụ S × J Ta thu mô hình cho F2 ( N ) giống minh họa hình 3.31, với mũi tên biểu thị cách đường cong đóng đơn dải gắn liền với đáy hình trụ Chú ý, ta xét đường cong dải, phần lại dải bị đẩy xuống giống cách ta thực không gian  Hình 3.31 Noose, F2 ( X ) 55 3.23 Continuum hình số 8, F2 ( X ) Cho Y continuum hình số Nghĩa Y hợp hai đường cong đóng đơn S1 S2 mà giao chúng tập điểm {v} Ta có F= F2 ( S1 ) ∪ F2 ( S ) S1 , S 2 (Y ) với S1 , S = {{ p, q} ∈ F (Y ) : p ∈ S , q ∈ S } Cho điểm p ∈ S1 , tập hợp điểm = Rp {{ p, q} : q ∈ S } đường cong đóng đơn Vì  {R p : p ∈ S1} hợp đường cong đóng đơn rời đôi Vì p chạy đường cong đóng đơn S1 , nên ta có S1 , S2 đồng phôi với tích S × S Do S1 , S2 hình xuyến Ta = có Rv = R {{ p, v} : p ∈ S } {{v, q} : q ∈ S } “xích đạo” hình xuyến S1 , S tập “kinh tuyến” hình xuyến Vì F2 ( S1 ) ∩ S1 , S2 = R, F2 ( S ) ∩ S1 , S = Rv F2 ( S1 ) ∩ F2 ( S ) = {{v}} , nên ta có F2 (Y ) hợp hình xuyến với hai dải Moebius gắn với R Rv Mô hình cho F2 (Y ) minh họa hình 3.32 Hình 3.32 Continuum hình số 56 Vì số tập R Rv dải Moebius hình dung được, nên mô hình cuối cho F2 (Y ) xây dựng  Để thấy điều thể hình dung sau: để gắn F2 ( S1 ) với hình xuyến tập R nằm mặt phẳng thẳng đứng F2 ( S1 ) sau P P R ta hình dung đường cong không gian  , sau ta đẩy phần lại F2 ( S1 ) số nửa  chia P F2 ( S1 ) ∩ P = R Sau ta di chuyển F2 ( S1 ) lên phần hình xuyến.Dải Moebius F2 ( S ) phải gắn với hình xuyến từ bên ống Ta phải chứng minh F2 (Y ) nhúng vào  E.Castaneda [5] chứng minh F2 ( − od đơn) chứa tôpô hình nón đồ thị đầy đủ K Sau cách sử dụng công cụ từ tôpô có số chiều thấp , ông chứng minh hình nón không nhúng vào  Vì vậy, F2 ( − od đơn) không nhúng vào  Ông F2 (continuum hình chữ H) chứa tôpô hình nón tôpô đồ thị hai nhánh đầy đủ K 3,3 Sau ông chứng minnh F2 (continuum hình chữ H) nhúng vào  Do đồ thị hữu hạn G chứa hai đỉnh chứa đỉnh bậc nhỏ , F2 ( G ) không nhúng vào  Hai phần lại tiếp tục định lý sau 3.23.1 Định lý [5, Định lý 3].Cho continuum liên thông địa phương nhúng vào  X X ta có F2 ( X ) nhúng vào continuum hình số 57 Hình 3.33 Continuum liên thông địa phương X cho F2 ( X ) nhúng vào  3.24 sin   − continuum, F2 ( X ) x Trong [5.Bài toán 2] E.Castaneda đặt câu hỏi định lý 18.1 mở rộng cho tất continuum X hay không?     Trong [16] tác giả xây dựng mô hình cho F2  sin − continuum  chứng x minh nhúng vào  Thật ông chứng minh X compact hóa tia [ 0, ∞ ) với cung phần dư F2 ( X ) nhúng vào  Để thấy tính phức tạp mô hình ta mô tả số bước 1 trình xây dựng F2 ( Z ) , với Z 3.24.1 Cho  × {0} (Hình 3.34) Z sin   − continuum x 1 Hình 3.34 sin   − continuum, F2 ( X ) x 3.24.2 Cho dãy {Z n }n =1 ∞ Z n R Z hội tụ đến Z phần dư tập Z − { R} , Z1 − { R} , Z − { R} ,…rời đôi (Hình 3.35) 58 1 Hình 3.35 sin   − continuum, F2 ( X ) x 3.24.3 Hợp nối số “đỉnh” “đáy” hình 3.3 biểu diễn hình 3.36 Bằng cách nhiều hình tứ giác xác định Một số hình tứ giác số chúng 1 Hình 3.36 sin   − continuum, F2 ( X ) x 3.24.4 Với hình tứ giác , cạnh đặt tam giác hình 3.32 Với hình tứ giác hướng lên, tam giác xây dựng  × [ 0, ∞ ) với số đỉnh  × {1} ; với hình tứ giác xuống dưới, tam giác xây dựng  × ( −∞, 0] với đỉnh  × {−1} Trên đoạn thẳng Z (Hình 3.29) ta đặt tam giác cho tam giác làm cho toàn tập đóng Trên đoạn thẳng 59 R, đặt hai tam giác T1 T2 cho tam giác với đỉnh thứ ba  × {1} tam giác  × {−1} Do ta thu continuum W  Cuối tam giác T1 T2 uốn (và đồng nhất) đến chúng trở thành tam giác đơn T chứa  × {0} có R cạnh Bằng cách này, ta thu ánh xạ ϕ :T1 ∪ T2 → T Phần lại W ( W − (T1 ∪ T2 ) ) theo sau liên tục chuyển động uốn theo cách ta mở rộng ϕ cho ϕ W −(T ∪T ) : W − (T1 ∪ T2 ) → ϕ ( W − (T1 ∪ T2 ) ) đồng phôi Continuum suy từ W sau đồng T1 T2 mô hình cho F2 ( Z ) 3.25 Một số câu hỏi mở rộng 3.25.1 Bài toán [16] Đặc trưng hóa đồ thị hữu hạn G cho F2 ( G ) nhúng vào  1 Hình 3.37 sin   − continuum, F2 ( X ) x 3.25.2 Bài toán [16] Với đồ thị hữu hạn G , có hay không F2 ( G ) nhúng vào  G nhúng vào  ? F2 ( K ) có nhúng vào  hay không? 3.26 Khối lập phương Hilbert, Fn ( X ) Kí hiệu Q khối lập phương Hilbert 60 V.V.Fedorchuk chứng minh với n ≥ , Fn ( Q ) đồng phôi với Q [9, trang 223] Tuy nhiên Q continuum trang 139] ta có X X với Fn ( X ) đồng phôi với Q Trong [18, hợp hai hình lập phương Hilbert giao điểm F2 ( X ) đồng phôi với Q Đây trường hợp mà ta hai không gian khác có tích đối xứng 3.26.1 Câu hỏi Có tồn hai continuum hữu hạn chiều không đồng phôi X Y cho F2 ( X ) đồng phôi với F2 (Y ) hay không? Kết hợp định lý Fedorchuk định lý 9.1 12.1, ta kết luận tất siêu không gian Q ( 2Q , Cn ( Q ) ) Fn ( Q ) đồng phôi với Q 3.26.2 Câu hỏi Có tồn hay không continuum phương Hilbert cho X X , không đồng phôi với hình lập đồng phôi với siêu không gian X , Cn ( X ) Fn ( X ) (với n )? 61 KẾT LUẬN Trong chương nhắc lại kiến thức không gian tôpô nhằm phục vụ cho nội dung luận văn chương chương Tiếp theo luận văn trình bày khái niệm lý thuyết continuum, với ví dụ tính chất continuum, siêu không gian CL ( X ) , X , C ( X ) , Cn ( X ) , Fn ( X ) cách xây dựng metric Hausdorff siêu không gian từ metric không gian cho trước Hơn nữa, cuối chương đưa mối liên hệ tính chất tôpô không gian tôpô với siêu không gian không gian tôpô Nội dung luận văn trình bày chương Trong chương nghiên cứu mô hình siêu không gian C ( X ) với X đoạn đơn vị I = [ 0,1] , đường tròn S , đồ thị hữu hạn (Noose, n-od …), xây dựng mô hình siêu không gian X X compactum vô hạn đếm bất kỳ, continuum liên thông địa phương đưa tính chất tương đương cho siêu không gian nhúng vào  , 5 Ngoài ra, luận văn đưa mô hình siêu không gian Fn ( X ) với n = 2,3, 4, X đoạn đơn vị I = [ 0,1] , đường tròn S , đồ thị hữu hạn (Noose, n-od …), continuum 1   hình số 8, sin   − continuum … x Tuy xây dựng mô hình cho số continuum tồn nhiều continuum mà chưa xây dựng mô hình cho chúng chưa khái quát đặc trưng Điều dẫn đến vấn đề cần phải giải tương lai như: Vấn đề 1.Liệu có đặc trưng cho đồ thị hữu hạn G mà F2 ( G ) nhúng vào  hay không? Vấn đề Với đồ thị hữu hạn G cho trước , có phải F2 ( G ) nhúng vào  G nhúng vào  hay không? 62 Vấn đề 3.Có tồn hai continuum hữu hạn chiều X , Y không đồng phôi với F2 ( X ) ≅ F2 (Y ) không? Vấn đề Có tồn hay không continuum X không đồng phôi với hình lập phương Hilbert đồng phôi với siêu không gian X , Cn ( X ) , Fn ( X ) ? Vấn đề ] Cho n ≥ continuum X Những điều sau có tương đương hay không? (c) n C ( X ) nhúng vào  , (d) dim ( C ( X ) ) ≤ n Vấn đề Có hay không C ( X ) nhúng vào C ( X ) nhúng vào  X nhúng vào  ? 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1.Cung Thế Anh,Nguyễn Thành Anh (2011), Giáo trình tôpô đại cương, Nxb Đại Học Sư phạm Hà Nội, Hà Nội 2.Võ Quốc Ấn (2011), Q-điểm Dendroit, Luận văn thạc sĩ Toán Học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh R N Andersen, M M Marjanovic and R M Schori(1993),Symmetric products and higher dimensional products, Topology Proc18,pp 7–17 K Borsuk(1949),On the third symmetric potency of the circumference,Fund Math 36,pp.235–244 K Borsuk and S Ulam(1931),On symmetric products of topological spaces,Bull Amer.Math Soc 37,pp.875–882 R Bott(1952),On the third symmetric potency of S1, Fund Math.39, pp.364–368 E Castañeda(2002), Embedding symmetric products in Euclidean spaces, Continuum Theory (Denton, TX, 1999),Lectures Notes in Pure and ApplMath230,pp.67–79, Dekker, New York D Curtis(1978),Growth hyperspaces of Peano continua, Trans Amer Math Soc 238, pp.271–283 D Curtis and R M Schori(1978), Hyperspaces of Peano continua are Hilbert cubes,Fund Math.101, pp.19–38 C Eberhart and S B Nadler, Jr.(1979),Hyperspaces of cones and fans, Proc Amer.Math Soc 77,pp 279–288 V V Fedorchuk(1981),Covariant functors in the category of compacta, absolute retracts,and Q–manifolds, Russian Math Surveys 36(3),pp.211–233 10 A Illanes (2013), Models of hyperspaces, Topology Pro.41,pp 39-64 11 A Illanes(2002), The hyperspace C2(X) for a finite graph X is unique,Glas Mat Ser.III 37(57),pp.347–363 12 A Illanes(2003), Finite graphs X have unique hyperspaces Cn(X),Topology Proc 27, pp.179–188 64 13 A Illanes(2004), A model for the hyperspace C2(S1),Questions Answers Gen Topology22, pp.117–130 14.A Illanes(2004), Hyperspaces of continua (Hiperespacios de continuos) (Spanish),Aportaciones Matemáticas, Textos 28 (Nivel Medio),Mexico Sociedad Matemática Mexicana 15 A Illanes(2006), Modelos de hiperespacios (Spanish),Aportaciones Matemáticas, Textos 31 (Nivel Medio) México: Sociedad Matemática Mexicana 16 A Illanes(2008), A tree-like continuum whose hyperspace of subcontinua admits a fixedpoint-free map, Topology Proc 32 ,pp 55–74 17 A Illanes(2008), A nonlocally connected continuum whose second symmetric product can be embedded in R3, Questions Answers Gen Topology 26 , pp.115–119 18 A Illanes and S B Nadler, Jr.(1999), Hyperspaces: Fundamentals and Recent Advances,Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, Vol 216, Marcel Dekker, Inc., New York and Basel 19 A Illanes, S Macías and S B Nadler, Jr.(1999), Symmetric Products and Qmanifolds,Geometry and Topology in Dynamics, Contemporary Math Series of Amer Math.Soc., Vol 246, Providence, RI, pp.137–141 20 S Macías(2003), Fans whose hyperspaces are cones, Topology Proc 27, pp.217–222 21 V Martínez-de-la-Vega (2006), Dimension of n-fold hyperspaces of graphs,Houston J.Math 32, pp.783–799 22 V Martínez-de-la-Vega and N Ordoñez(2002), Embedding hyperspaces,Topology Appl.159 , pp.2021–2232 23 R Molski(1957), On symmetric products,Fund Math.44 ,pp.165–170 24 J Mostovoy(2004), Latices in C and finite subsets of a circle,Amer Math Montly 111, pp.357–360 25 Sam B.Nadler, Jr.(1992) , Continuum Theory, An Introduction, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Math., Vol 158, Marcel Dekker, Inc., New York, N.Y 26 Stephen Willard(1970),General Topology, Addison-Wesley Pub Co., Reading, Mass 65 [...]... là một không gian tương đương tôpô, với những phần tử là những điểm thay vì là những tập con Từ quan điểm hình học, mô hình của các siêu không gian là một đề tài rất hấp dẫn.Hơn nữa, mô hình là một công cụ rất thuận tiện để đưa ra các thuộc tính và kết quả trên các siêu không gian. Tuy nhiên, chỉ có một số ít các siêu không gian có thể đưa ra được mô hình mà thôi Trong luận văn này, ta sẽ đưa ra một. .. , T ) là một không gian T1 Nếu ( CL ( X ) , TV ) là metric hóa được thì ( CL ( X ) , T ) là compact V 2.3.8 Hệ quả Nếu ( X , T ) là một không gian compact, metric hóa được thì ( C ( X ) , TV ) là compact 19 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ MÔ HÌNH CỦA CÁC SIÊU KHÔNG GIAN Trong chương 2 chúng ta đã biết sơ qua các phần tử của siêu không gian và cách xây dựng tôpô trên siêu không gian đó từ tôpô của không gian cho... mút của chúng Một đồ thị hữu hạn là một khối đa diện compact, liên thông có số chiều là không hoặc một ( trường hợp số chiều bằng không khi khối đa diện bao gồm chỉ một điểm) Trong lý thuyết siêu không gian việc xác định được hình dạng của các siêu không gian rất khó khăn, để dễ dàng hình dung được hình dạng của chúng như thế nào thì ta phải xây dựng cho chúng một mô hình hình học Việc xây dựng các mô. .. hình này khá phức tạp và trừu tượng, bằng cách nhúng các siêu không gian đó vào trong  2 hoặc  3 thì việc hình dung các mô hình siêu không gian sẽ dễ dàng và cụ thể hơn Như vậy muốn xây dựng một mô hình của siêu không gian thì công việc chúng ta phải làm là thực hiện phép nhúng các siêu không gian đó vào trong  2 và chủ yếu là thực hiện trong  3 , sau đó ta sẽ thực hiện một phép đồng phôi của siêu. .. , sau đó ta sẽ thực hiện một phép đồng phôi của siêu không gian đó với một không gian mà ta có thể xác định được hình dạng trong  2 và  3 Khi đó, theo tính chất của phép đồng phôi thì mô hình của siêu không gian cũng chính là mô hình hình học của không 21 gian xác định trong  2 và  3 Bây giờ ta sẽ xây dựng một vài mô hình cho các siêu không gian 3.2 Khoảng đơn vị, C ( X ) Continuum đơn giản nhất... khối đa diện trong hình 3.2 được cho là một không n gian thương gắn với không gian Fn ∪ f I n , không gian Fn ∪ f I n là không gian thu được từ 29 hợp rời của Fn và I n bằng cách lấy đồng phôi f của một cơ sở của Fn lên Y , với Y là một n-od đơn chuẩn Hình 3.7 Mô hình C(X) với X là n-od đơn Để chứng minh C ( X ) ≅ Fn ∪ f I n với X là một n-od đơn, ta kí hiệu đỉnh của X là v và cách cánh của X là S1 , ,... Hausdorff trên siêu không gian từ metric cho trước Tuy nhiên việc nghiên cứu các bất biến tôpô trên siêu không gian vẫn còn khó tiếp cận Trong chương này thông qua việc xây dựng các mô hình cho siêu không gian ta có thể thấy các bất biến tôpô trên siêu không gian dễ dàng hơn rất nhiều 3.1 Giới thiệu Trong chương này ta chỉ xây dựng các siêu không gian 2 X , Cn ( X ) , C ( X ) và Fn ( X ) của X với X là... 2 X là siêu không gian bao gồm tất cả các compactum con của compactum X và C ( X ) là siêu không gian gồm tất cả các continuum con của X Từ hệ quả 2.3.8 ta suy ra 2 X và C ( X ) cũng là compactum vì X là continuum metric Do 2 X và C ( X ) là metric hóa được nên chúng ta có thể dùng các dãy trong việc chứng minh các hàm là liên tục Trong lý thuyết siêu không gian, một mô hình cho siêu không gian đã... giác lồi được gắn lại với nhau như trong Hình 3.5 Hình 3.5 Mô hình C(X) với X là triod đơn 25 3.5 X là một Noose Một Noose là một đồ thị hữu hạn gồm một đường cong đóng đơn và một cung mà giao của chúng là một trong những điểm cuối của cung Hình 3.6 Mô hình C(X) với X là một Noose Ta chứng minh rằng khi X là một Noose , khối đa diện 3 chiều trong hình 3.6 là một mô hình cho C ( X ) Khi X= S 1 ∪ J , trong... gọi là đỉnh của n-od đơn và mỗi một n cung được gọi là một nan hoa của n-od đơn Một 3-od đơn được gọi là một triod đơn Một n-od đơn chuẩn là một n-od đơn nằm trên một không gian tuyến tính metric sao cho mỗi nan hoa của n-od đơn là một đoạn thẳng Một n-fin ( n ≥ 3) là một continuum hợp của n 2-tế bào (gọi là các fin) mà giao của tất cả các 2-tế bào này là một điểm đơn Bất kì n-fin F chứa một n-od đơn ... thuyết siêu không gian, mô hình cho siêu không gian cho κ ( X ) không gian tương đương tôpô, với phần tử điểm thay tập Từ quan điểm hình học, mô hình siêu không gian đề tài hấp dẫn.Hơn nữa, mô hình. .. không gian compact, metric hóa ( C ( X ) , TV ) compact 19 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ MÔ HÌNH CỦA CÁC SIÊU KHÔNG GIAN Trong chương biết sơ qua phần tử siêu không gian cách xây dựng tôpô siêu không gian. .. học Việc xây dựng mô hình phức tạp trừu tượng, cách nhúng siêu không gian vào   việc hình dung mô hình siêu không gian dễ dàng cụ thể Như muốn xây dựng mô hình siêu không gian công việc phải