BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Trí MỘT SỐ TÍNH CHẤT KIỂU ĐẦY ĐỦ CỦA CÁC NHÓM NỬA TÔPÔ VÀ CÁC KẾT QUẢ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH NGUYỄN MINH TRÍ MỘT SỐ TÍNH CHẤT KIỂU ĐẦY ĐỦ CỦA CÁC NHÓM NỬA TÔPÔ VÀ CÁC KẾT QUẢ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Hình học tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 i MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: 1.1 Các khái niệm mở đầu không gian tôpô: 1.1.1 Không gian tôpô: 1.1.2 Cơ sở, tiền sở tôpô: 1.1.3 Lân cận, sở lân cận: 1.1.4 Không gian tôpô: 1.1.5 Phần trong, bao đóng, biên: 1.1.6 Điểm hội tụ điểm cô lập: 1.1.7 Ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng: 1.1.8 Các tiên đề tách: 1.1.9 Các tiên đề đếm được: 1.2 Không gian compact: 1.2.1 Không gian compact: 1.2.2 Không gian compact đếm được: 10 1.2.3 Không gian compact địa phương k-không gian: 10 1.2.4 Compact hóa: 10 1.2.5 Ánh xạ đầy đủ: 11 1.2.6 Không gian Cech-đầy đủ: 11 1.2.7 Không gian giả compact: 11 1.3 Không gian mêtric, không gian mêtric hóa: 12 1.3.1 Không gian mêtric: 12 1.3.2 Không gian mêtric hóa được: 12 1.4 Không gian paracompact: 13 1.4.1 Không gian paracompact: 13 1.4.2 Không gian paracompact đếm được: 13 ii 1.5 Nhóm tôpô số cấu trúc liên quan: 13 1.5.1 Nhóm tôpô: 13 1.5.2 Bổ sung Raikov nhóm tôpô: 14 1.5.3 Nhóm tôpô Cech-đầy đủ: 15 1.5.4 M-không gian, p-không gian: 15 Chương 2: Các kiểu đầy đủ không gian tôpô: 17 2.1 Các kiểu đầy đủ khác không gian tôpô: 17 2.2 Chú ý: 21 2.3 Mệnh đề 2.3: 22 2.4 Mệnh đề 2.4: 23 2.5 Định lí 2.5: 23 2.6 Hệ 2.6: 26 2.7 Định lí 2.7: 26 2.8 Mệnh đề 2.8: 27 2.9 Mệnh đề 2.9: 27 2.10 Mệnh đề 2.10: 27 2.11 Mệnh đề 2.11: 28 2.12 Hệ 2.12: 29 2.13 Hệ 2.13: 29 2.14 Ví dụ: 29 Chương 3: Một số kết nhóm tôpô 31 3.1 Các kết ánh xạ tựa liên tục: 31 3.1.1 Mệnh đề 3.1.1: 32 3.1.2 Mệnh đề 3.1.2: 32 3.1.3 Hệ 3.1.3: 36 3.2 Các kết nhóm nửa tôpô với phép nhân tựa liên tục: 36 3.2.1 Bổ đề 3.2.1: 36 3.2.2 Bổ đề 3.2.2: 37 iii 3.3 Các kết nhóm tôpô, nhóm nửa tôpô, nhóm paratôpô: 38 3.3.1 Định lí 3.3.1: 38 3.3.2 Định lí 3.3.2: 40 3.3.3 Định lí 3.3.3: 42 3.3.4 Hệ 3.3.4: 42 3.3.5 Hệ 3.3.5: 43 3.3.6 Hệ 3.3.6: 43 3.3.7 Định lí 3.3.7: 44 3.3.8 Ví dụ: 44 3.3.9 Chú ý: 44 3.4 Các kết không gian giải tích với tính chất Baire: 45 3.4.1 Định lí 3.4.1: 45 3.4.2 Hệ 3.4.2: 46 3.4.3 Hệ 3.4.3: 47 3.4.4 Hệ 3.4.4: 47 3.4.5 Hệ 3.4.5: 47 3.4.6 Hệ 3.4.6: 47 3.4.7 Hệ 3.4.7: 47 3.4.8 Hệ 3.4.8: 47 3.5 Các kết lưới đếm hiệu nhóm nửa tôpô: 48 3.5.1 Định lí 3.5.1: 48 3.5.2 Bổ đề 3.5.2: 48 3.5.3 Định lí 3.5.3: 50 3.5.4 Ví dụ: 51 3.6 Các kết nhóm giả compact điểm: 51 3.6.1 Bổ đề 3.6.1: 52 3.6.2 Định lí 3.6.2: 52 iv 3.6.3 Định lí 3.6.3: 54 3.6.4 Hệ 3.6.4: 55 3.6.5 Ví dụ: 55 3.6.6 Chú ý: 56 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 MỞ ĐẦU Một nhóm paratôpô G nhóm G với tôpô thỏa phép nhân m : G × G → G liên tục nối, nhóm nửa tôpô G nhóm G với tôpô thỏa phép nhân m : G × G → G liên tục tách Một nhóm nửa tôpô G mà phép toán nghịch đảo In : G → G liên tục gọi nhóm tựa tôpô Việc nghiên cứu tính chất nhóm tôpô, nhóm paratôpô, nhóm nửa tôpô nhiều nhà toán học giới quan tâm Sự liên quan nhóm nửa tôpô tách được, nhóm nửa tôpô mêtric hóa với nhóm tôpô paratôpô quan tâm nhiều nhà toán học: Năm 1936, D.Montgomery chứng minh rằng: - Mọi nhóm nửa tôpô tách mêtric hóa mêtric đầy đủ nhóm tôpô - Mọi nhóm nửa tôpô mêtric hóa mêtric đầy đủ nhóm paratôpô Năm 1957, R.Ellis chứng minh nhóm nửa tôpô compact địa phương nhóm tôpô Năm 1960, W Zelazko kết luận nhóm nửa tôpô mêtric hóa đầy đủ nhóm tôpô Năm 1982, N Brand chứng minh nhóm paratôpô Cechđầy đủ nhóm tôpô Gần đây, số phát triển theo kết đưa A.Bouziad (1996), P Kenderov, I S Kortezov W Moors (2001), A V Arhangel’skii E A Reznichenko (2005) A Bouziad chứng minh nhóm nửa tôpô Cech-đầy đủ nhóm tôpô A V Arhangel’skii E A Reznichenko chứng minh nhóm paratôpô G nhóm tôpô Gδ -không gian không gian giả compact P Kenderov, I S Kortezov W B Moors giới thiệu lớp không gian Baire mạnh chứng minh nhóm nửa tôpô Baire mạnh nhóm tôpô Và số mối liên hệ đáng ý tính liên tục tách liên tục nối xây dựng từ Dựa kết trên, luận văn tiếp tục nghiên cứu số phương pháp tính chất kiểu đầy đủ mà A V Arhangel’skii đưa mở rộng định lí D Montgomery R Eliss lớp rộng không gian quạt-đầy đủ Lớp không gian quạt-đầy đủ lớn, có mối quan hệ với không gian quen thuộc, chẳng hạn: - Tất không gian compact, không gian compact đếm được, không gian giả compact không gian quạt-đầy đủ - Mọi Gδ -không gian trù mật không gian quạt-đầy đủ không gian quạt-đầy đủ - Ảnh không gian quạt-đầy đủ qua ánh xạ liên tục mở không gian quạt-đầy đủ - Một không gian quạt-đầy đủ địa phương không gian quạt-đầy đủ Quan tâm đến mối quan hệ trên, luận văn dành cho việc khảo sát không gian quạt đầy đủ tính chất chúng Luận văn dành cho việc nghiên cứu không gian mối quan hệ với: ánh xạ tựa liên tục, phép nhân tựa liên tục, nhóm nửa tôpô với phép nhân tựa liên tục, không gian giải tích với tính chất Baire,… Nội dung luận văn gồm ba chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc nghiên cứu sau Chương giới thiệu kiểu đầy đủ khác không gian tôpô tính chất chúng Chương đưa ứng dụng tính chất kiểu đầy đủ trên: ánh xạ tựa liên tục, nhóm nửa tôpô với phép nhân tựa liên tục, không gian giải tích với tính chất Baire,… Trong phần kết luận ta trình bày số nhận xét kết hướng mở rộng cho luận văn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh Trong trình học tập làm luận văn, thầy động viên giúp tác giả tiếp cận với hướng toán học đại, vấn đề lớn toán mở toán Sự động viên hướng dẫn tận tình thầy giúp tác giả việc hoàn thành luận văn mà giúp tác giả có thêm cách nhìn nhận lĩnh vực khác sống xã hội Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin chân thành cám ơn quý thầy trực tiếp giảng dạy lớp hình học tôpô khóa 21 quý thầy Tổ Hình học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu trình học cao học Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ Chức Hành chính, Phòng Khoa học Công nghệ Sau đại học, Phòng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn 49 Khẳng định: Họ B cở sở X điểm Y Thật vậy, lấy y ∈ Y , lấy O ( y ) lân cận mở tùy ý y X Do đó, cố định lân cận mở V y X thỏa không phần tử họ P chứa y chứa V Rõ ràng, giả sử V ⊂ O ( y ) Do S lưới X, tồn M ∈ S cho y ∈ M ⊂ V Khi đó, PM ∈P PM ⊂ V Bây từ việc chọn V mà y ∉ PM Vì y ∈ M , việc định nghĩa PM y ∈ Int ( M ) Chúng ta có Int ( M ) ∈B , Int ( M ) ⊂ V ⊂ O ( y ) Vậy khẳng định chứng minh Do đó, Y không gian qui với sở đếm được, nghĩa là, Y mêtric hóa tách Chúng ta tiếp tục chứng minh Định lí 3.5.1: Theo bổ đề 3.5.2, X= Y ∪ Z , với Y không gian mêtric hóa tách được, Z có lưới đếm P thỏa phần tử P không đâu trù mật X Quan sát thấy X trù mật tốt bG, không gian G không đâu compact địa phương Trường hợp 1: Y trù mật X Khi đó, Y trù mật bG, X trù mật bG Do Y có sở đếm được, suy bG có π -cơ sở đếm Do đó, G có π -cơ sở đếm được, G trù mật bG 50 Trường hợp 2: Y không trù mật X Kí hiệu U phần bù bG bao đóng Y bG Khi đó, U không gian mở khác rỗng bG Với P ∈P tùy ý, kí hiệu FP bao đóng P bG Do P không đâu trù mật X, suy FP không đâu trù mật bG Do đó, tập WP = U \ FP không gian mở trù mật U Vì U tự mở bG, bG compact, suy không gian H= ∩{WP : P ∈P } U không gian Cech-đầy đủ trù mật U Bây điều suy từ chứng minh chuẩn G có không gian Cech-đầy đủ trù mật Do đó, G tự nhóm tôpô Cech-đầy đủ Nếu nhóm tôpô G có compact hóa thỏa hiệu có lưới đếm được, G không gian mêtric hóa tách Trong trường hợp hiệu X Lindeloff p-không gian với Gδ -chéo, đó, X tách mêtric hóa Quan sát thấy rằng, G không gian kiểu đếm theo điểm, hiệu X Lindeloff Mặt khác, nhóm nửa tôpô Tychonoff với π -cơ sở đếm có Gδ -chéo Do đó, G đếm thứ 3.5.3 Định lí 3.5.3: Nếu nhóm nửa tôpô compact không địa phương G có hiệu mêtric hóa tách được, G tách mêtric hóa Chứng minh: Từ định lí 3.5.1 suy G có π -cơ sở đếm được, nên G có Gδ -chéo Chúng ta thấy G p-không gian Lindeloff, 51 G hiệu không gian mêtric hóa tách Nhớ lại rằng, p-không gian Lindelof với Gδ -chéo tách mêtric hóa 3.5.4 Ví dụ: Cho A tập tâp số hữu tỉ  không gian đường thẳng Sorgenfrey S Khi đó: - A nhóm paratôpô mêtric hóa được; - A nhóm tôpô; - A có compact hóa mêtric hóa Nhóm paratôpô B ví dụ 3.3.8 có tính chất Các không gian A, B,  đồng phôi, chúng đẳng cấu tôpô nhóm paratôpô 3.6 Các kết nhóm giả compact điểm: Một điểm x ∈ X gọi điểm có tính giả compact X tồn dãy dừng {U n : n ∈ ω} tập mở X thỏa x ∈  {U n : n ∈ ω} Một không gian X nói giả compact điểm điểm X điểm có tính giả compact Rõ ràng, không gian quạt-đầy đủ giả compact điểm Hơn nữa, q-không gian giả compact điểm Chúng ta nhắc lại Gδ -bao đóng ωcl X Y tập Y ⊆ X không gian tập tất điểm x ∈ X thỏa Gδ -tập H chứa x giao với Y Tập µ cl X H = ∪{cl X A : A ⊆ H , A tập bị chặn X } gọi µ -bao đóng H X 52 Không gian µ * X = µ clβ X X compact hóa Stone-Cech β X không gian Tychonoff X gọi µ -bổ sung X Hiển nhiên, µ * X không gian bổ sung Dieudonné µ X X Cho ρ G bổ sung Raikov nhóm tôpô G ρω G Gδ -bao đóng G ρ G Rõ ràng, ρω G nhóm ρ G 3.6.1 Bổ đề 3.6.1: Cho P tập đóng bị chặn nhóm tôpô G Khi ωclρG P = clρG P Chứng minh: Cho x ∈ clρG P \ ωclρG P Khi đó, tồn dãy {U n : n ∈ ω} tập mở ρ G thỏa x ∈  {U n : n ∈ ω} ,  {P ∩ U n : n ∈ ω} = ∅ G ∩ U n : n ∈ ω} họ clρGU n+1 ⊆ U n với n ∈ ω Khi đó, {Vn = hữu hạn địa phương mở tập G P ∩ Vn ≠ ∅ với n ∈ω Một không gian X gọi p-không gian paracompact nhận ánh xạ đầy đủ vào không gian mêtric hóa Một nhóm feathered nhóm tôpô mà không gian sở p-không gian paracompact Một nhóm tôpô nhóm feathered không gian kiểu đếm theo điểm 3.6.2 Định lí 3.6.2: Với nhóm tôpô G điều kiện sau tương đương: G không gian quạt-đầy đủ G có chứa không gian quạt-đầy đủ trù mật 53 ρωG không gian paracompact Cech-đầy đủ G Gδ -trù mật ρ G ρ G không gian paracompact Cech-đầy đủ G Gδ -tập không gian giả compact Z= G ∪ ( β G \ µ *G ) Chứng minh: Ta thấy → 2,5 → 1,3 → → hiển nhiên Cho G nhóm tôpô giả compact theo điểm Tồn dãy dừng {U n : n ∈ ω} tập mở G dãy {f n : G → [ 0,1] : n ∈ ω} hàm liên tục thỏa e ∈U n+1 = U n−+11 ⊆ clGU n2+1 ⊆ U n , U n+1 ⊆ f −1 ( ) G \ U n ⊆ f −1 (1) , với n ∈ ω Khi H = ∩{U n : n ∈ ω} nhóm đóng bị chặn G Bao đóng Φ H ρ G nhóm compact ánh xạ chiếu ϕ : ρ G → X , với= X ρ G / Φ ánh xạ liên tục mở đầy đủ vào không gian mêtric hóa X Cố định mêtric đầy đủ d không gian X Ta có: * G µ= G µ= G ϕ −1 ( ρ ( G ) ) Suy ρω G nhóm nhóm ρω= ρG Giả sử G Gδ -trù mật ρ G Khi đó, ρω= G ρ= G µ= G µ *G ρ G ⊆ β G Cho Z= G ∪ ( β G \ ρ G ) không gian β G Bằng cách xây dựng, G Gδ -tập Z β= Z β= G β Z Với không gian Tychonoff X, không gian 54 X ∪ ( β X \ µ * X ) ⊆ β X giả compact Từ đó, Z không gian giả compact Mệnh đề 2.3 G quạt-đầy đủ Như vậy, → 1và → chứng minh Giả sử Y không gian quạt-đầy đủ trù mật G Theo định lí 2.5 hệ 2.6, tồn không gian paracompact Cech-đầy đủ trù mật ρω G Theo định lí 3.3.3, nhóm tôpô ρω G Cech-đầy đủ Do đó, ρω G = ρ G Như vậy, → chứng minh Vậy, định lí chứng minh Giả sử nhóm tôpô G q-không gian Khi đó, phần chứng minh định lí 3.6.2 giả sử H tập compact đếm {U n : n ∈ ω} sở lân cận tập H ψ ϕ G :G → = Y ϕ ( G ) tựa đầy đủ, G Trong trường hợp ánh xạ= G M-không gian đầy đủ Hơn nữa, ánh xạ βψ Z : Z → β X tựa đầy đủ, Z compact đếm Do đó, chứng minh định lí sau: 3.6.3 Định lí 3.6.3: Với nhóm tôpô G, điều kiện sau tương đương: G M-không gian đầy đủ G q-không gian, G có không gian quạt-đầy đủ trù mật G q-không gian, ρω G không gian paracompact Cech-đầy đủ 55 G q-không gian, G Gδ -trù mật ρ G , không gian ρ G Cech-đầy đủ paracompact G Gδ -tập không gian compact đếm Z= G ∪ ( β G \ µ *G ) Cho X không gian chuẩn tắc Nếu {U n : n ∈ ω} dãy dừng tập mở, dãy { xn ∈U n : n ∈ ω} có chùm điểm {U n : n ∈ ω} X Đặc biệt, điểm giả compact q-điểm Do đó, định lí 3.6.2 hệ 2.12 cho ta kết sau: 3.6.4 Hệ 3.6.4: Giả sử G nhóm nửa tôpô, không gian G chuẩn tắc có không gian quạt-đầy đủ trù mật Khi đó: G M-không gian đầy đủ G nhóm tôpô G Gδ -tập không gian compact đếm Z= G ∪ ( β G \ µ *G ) Ví dụ sau nhóm tôpô mêtric hóa với tính chất Baire cần Cech-đầy đủ 3.6.5 Ví dụ: Cho  trường số thực  trường số hữu tỉ Khi đó, tồn nhóm cộng G  thỏa: G S =  \ G không gian trù mật với tính chất Baire Trong G S tập compact đếm G. = G 56 Một không gian M   -môđun M nhóm cộng  M  = M Nếu L ⊆  , kí hiệu m ( L )  môđun đại số sinh tập L Cho { Fα : α < c = 2ω } họ tất tập đóng không đếm  Giả sử F0 = [1, 2] Dùng phép đệ qui siêu hạng, xây dựng dãy { xα : α < c} { yα : α < c} theo cách sau: Cố định x0 = y0 ∈ F0 \  Giả sử < α < c , Lα = {x β , yβ : β < α } định nghĩa sẵn Vì m ( Lα ) < c , cố định xα ∈ Fα \ m ( Lα ) Cho M= Lα ∪ { xα } , cố định yα ∈ Fα \ m ( M α ) α Bây đặt X = ( { xα : α < c} ,Y = { yα : α < c} , ) Gα m { xβ : β ≤ α } , với α < c Khi G = = ∪{Gα : α < c}  -môđun sinh tập X Chúng ta khẳng định G ∩ Y = ∅ Do đó, G  -môđun ta muốn 3.6.6 Chú ý: Tồn không gian tuyến tính mêtric hóa đầy đủ tách L không gian tuyến tính trù mật B L thỏa: B Y = L \ B không gian trù mật không gian L; B Y không không gian mêtric hóa đầy đủ Thật vậy, lấy ξ ∈ βω \ ω = X {ξ } ∪ ω Chúng ta đặt L =  X = B CP ( X ) ⊆ L D.J.Lutzer R.A.McCoy chứng minh không gian B mêtric hóa đầy đủ có tính chất Baire Vì không gian B Cech-đầy đủ, không gian Y có tính chất Baire 57 KẾT LUẬN Như vậy, luận văn giới thiệu lớp rộng kiểu không gian đầy đủ : µ -đầy đủ, sàng-đầy đủ trù mật, sàng-đầy đủ, q-đầy đủ trù mật, q-đầy đủ, quạt-đầy đủ trù mật, quạt-đầy đủ, với tính chất đặc trưng chúng Luận văn đề cập số ứng dụng tính chất kiểu không gian đầy đủ không gian khác Chẳng hạn: Nhóm tôpô với tính chất đầy đủ: - Nếu nhóm paratôpô G có chứa không gian quạt-đầy đủ trù mật G nhóm tôpô - Nếu nhóm nửa tôpô G q-đầy đủ trù mật G nhóm tôpô - Cho X không gian trù mật chuẩn tắc nhóm nửa tôpô G Nếu X quạt-đầy đủ trù mật G nhóm tôpô Nhóm tôpô Cech-đầy đủ với tính chất đầy đủ: - Mọi không gian Cech-đầy đủ sàng-đầy đủ - Mọi không gian quạt-đầy đủ paracompact không gian Cech-đầy đủ - Nếu không gian µ -đầy đủ X có chứa không gian quạt-đầy đủ X có chứa không gian paracompact Cech-đầy đủ trù mật - Một không gian X sàng-đầy đủ trù mật có chứa không gian Cech-đầy đủ trù mật 58 - Cho G nhóm nửa tôpô kiểu đếm theo điểm Nếu G q-đầy đủ trù mật, G nhóm tôpô Cech-đầy đủ - G nhóm tôpô Cech-đầy đủ G không gian q-đầy đủ trù mật kiểu đếm theo điểm - G nhóm tôpô Cech-đầy đủ G nhóm paratôpô kiểu đếm theo điểm G có chứa không gian quạt đầy đủ trù mật - G nhóm tôpô Cech-đầy đủ G không gian µ -đầy đủ G có chứa không gian quạt-đầy đủ trù mật Các không gian giải tích với tính chất đầy đủ: - Một không gian Y q-giải tích Y A-FU-tập vài không gian q-đầy đủ - Một không gian Y yếu-giải tích Y A-FU-tập không gian quạt-đầy đủ - Cho X không gian trù mật với tính chất Baire nhóm nửa tôpô G Nếu X A-FU-tập không gian q-đầy đủ trù mật đó, G nhóm tôpô - Mọi không gian yếu-giải tích với tính chất Baire có chứa Gδ không gian quạt-đầy đủ trù mật Bên cạnh đó, luận văn đưa số kết quan trọng nhằm giúp cho việc chứng minh số kết A Bouziad, P Kenderov, I S Kortezov, W B Moors như: 59 - Mọi Gδ -không gian không gian giả compact không gian quạt-đầy đủ - Nếu nhóm nửa tôpô có chứa không gian Cech-đầy đủ trù mật nhóm tôpô Cech-đầy đủ - Mọi không gian Cech-giải tích với tính chất Baire có chứa Gδ không gian Cech-đầy đủ trù mật - Cho G nhóm nửa tôpô có chứa không gian Cech-giải tích trù mật với tính chất Baire Khi đó, G nhóm tôpô Cech-đầy đủ - Cho G nhóm paratôpô Nếu G có chứa không gian yếugiải tích trù mật với tính chất Baire, G nhóm tôpô Luận văn đưa phần lớn mối liên quan tính chất kiểu đầy đủ với số không gian khác Với kết đạt được, ta tiếp tục mở rộng thêm nhiều mối quan hệ khác tính chất kiểu đầy đủ với không gian khác 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A V Arhangel'skii, A class of spaces which contains all metric and all locally compact spaces, Matem Sb 67 (1965), 55-88 (English translation: Amer Math Soc Transl 92 (1970), 1-39) [2] A V Arhangel'skii, On ˇ Cech-complete topological spaces, Vestnik Moskov.Universiteta (1961), 37-40 [3] A V Arhangel'skii, Bicompact sets and the topology of spaces, Trudy Mosk.Matem Ob-va 13 (1965) 3-55 (English translation: Trans Mosk Math Soc 13 (1965), 1-62) [4] A V Arhangel'skii, Topological invariants in algebraic environment, In: Recent Progress in General Topology II, M Hu_sek and J van Mill, eds, North Holland, Amsterdam, 2002, pp 1-57 [5] A V Arhangel'skii, Remainders in compactifications and generalized metrizability properties, Topology and Appl 150 (2005), 79-90 [6] A V Arhangel'skii, The Baire property in remainders of topological groups and other results, Comment Math Univ Carolinae 50:2 (2009), 273-279 [7] A V Arhangelskii and M G Tkachenko, Topological groups and related structures, Atlantis Press Amsterdam-Paris, 2008 [8] A V Arhangelskii and E A Reznichenko, Paratopological and semitopological groups versus topological groups, Topology and its Appl 151 (2005),107-119 [9] A Bouziad, The Ellis theorem and continuity in groups, Topology and its Appl 50 (1993), 73-80 61 [10] A Bouziad, Every ˇ Cech-analytic Baire semitopological group is a topological group, Proceed Amer Math Soc 124:3 (1996), 953-959 [11] N Brand, Another note on the continuity of the inverse, Arch Math 39 (1982), 241-245 [12] L G Brown, Topological complete groups, Proc Amer Math Soc 35 (1972), 593-600 [13] J Chaber, M M.Coban and K Nagami, On monotonic generalizations of Moore spaces, ˇ Cech complete spaces and p-spaces, Fund Math 84 (1974), 107-119 [14] M Choban, The open mappings and spaces, Suplimente Rendicanti del Circolo Matematico di Palermo Serie II, numero 29 (1992), 51-104 [15] M Coban and P Kenderov, Dense Gateaux differentiability of the supnorm in C(T) and topological properties of T Comptes Rendue Acad Bulgare Sci 38, no 12 (1985), 1603-1604 [16] R Ellis, A note on the continuity of the inverse, Proc Amer Math Soc (1957), 119-125 [17] R Engelking, General Topology, PWN Warszawa, 1977 [18] Z Frolik, ˇ Cech analytic spaces, Comment Math Univ Carolinae 28 (1984), 367-368 [19] R V Fuller, Relations among continuous and various non continuous functions,Pacific J Math 25 (1968), 495-509 [20] G Hansel and J P Troallic, Quasicontinuity and Namioka’s Theorem, Topol Appl 46 (1992), 135-149 [21] M Henriksen and J R Isbel, Some properties of compactifications, Duke Math Jour 25 (1958), 83-106 [22] S Kempisty, Sur les fonctions quasicontinues, Fund Math 19 (1932), 184-197 62 [23] P Kenderov, I S Kortezov and W B Moors, Topological games and topological groups, Topol Appl 109 (2001), 157-165 [24] A V Korovin, Continuous actions of pseudocompact groups and axioms of topological group Comment Math Univ Carolinae 33 (1992), 335343 [25] J D Lawson, Joint continuity in semitopological semigroups, Illinois Math J 18 (1972), 275-285 [26] D J Lutzer and R A McCoy, Category in function spaces, Paci_c J Math 89 (1980), 1-24 [27] E Michael, A note on closed maps and compact sets, Israel J Math (1964), 173-176 [28] D Montgomery, Continuity in topological groups, Bull Amer Math Soc 42 (1936), 879-882 [29] K Morita, A survey of the theory of M-spaces, General Topology and Appl (1971), 49-55 [30] I Namioka, Separate continuity and joint continuity, Paci_c J Math 51 (1974), 515-531 [31] K Numakura, On bicompact semigroups, Math J Okayama Univ (1952), 99-108 [32] B A Pasynkov, Open mappings, Soviet Math Dokl (1967), 853-856 [33] H Pfister, Continuity of the inverse, Proc Amer Math Soc 95 (1985), 312-314 [34] E A Reznichenko, Extensions of functions defined on products of pseudocompact spaces and continuity of the inverse in pseudocompact groups, Topology Appl 59 (1994), 233-244 63 [35] H H Wicke, Open continuous images of certain kinds of M-spaces and completeness of mappings and spaces, General Topology and Appl (1971), 85-100 [36] H H Wicke and J M Worrell, On the open continuous images of paracompact ˇ Cech complete spaces, Pacific J Math 37 (1971), 265276 [37] A D Wallace, The structure of topological semigroups, Bull Amer Math Soc 61 (1955), 95-112 [38] W Zelazko, A theorem on B division algebras, Bull Acad Pol Sci (1960), 373-375 [...]... là phủ của X 16 (ii) Với mỗi x ∈ X ,  n st ( x, Un ) ⊂ X Nếu ta có thêm (iii)  n st ( x, Un ) =  n st ( x, Un ) , thì X được gọi là một p-không gian ngặt 17 Chương 2 CÁC KIỂU ĐẦY ĐỦ CỦA CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ Trong chương này chúng tôi sẽ giới thiệu một số kiểu đầy đủ của các không gian tôpô và một số tính chất quan trọng của chúng 2.1 Các kiểu đầy đủ khác nhau của các không gian tôpô: Cho một dãy... không gian sàng -đầy đủ - Mọi không gian con đóng của một không gian q -đầy đủ là không gian q -đầy đủ - Mọi không gian q -đầy đủ là không gian q -đầy đủ trù mật - Mọi không gian sàng -đầy đủ là không gian q -đầy đủ, và mọi không gian q -đầy đủ là không gian quạt -đầy đủ - Mọi không gian µ -đầy đủ, quạt -đầy đủ là không gian sàng -đầy đủ - Một không gian X là quạt -đầy đủ trù mật nếu và chỉ nếu nó chứa một không gian... mỗi x0 ∈ X và y0 ∈ Y , các hàm y  f ( x0 , y ) và x  f ( x, y0 ) là các hàm liên tục trên Y và X tương ứng Một nhóm paratôpô G là một nhóm G với một tôpô thỏa phép nhân là liên tục nối, một nhóm nửa tôpô G là một nhóm G với một tôpô thỏa phép nhân là liên tục tách Cho một nhóm G, ánh xạ nghịch đảo In : G → G được định nghĩa theo công thức In ( x ) = x −1 , với mỗi x ∈ G Một nhóm nửa tôpô với ánh... đảo liên tục được gọi là nhóm tựa tôpô Một nhóm tôpô G là một nhóm paratôpô G thỏa ánh xạ nghịch đảo In : G → G là liên tục Như vậy, G là một nhóm tôpô khi và chỉ khi ánh xạ từ G × G → G , ( x, y )  xy −1 là liên tục 1.5.2 Bổ sung Raikov của nhóm tôpô: Nhóm Raikov đầy đủ là nhóm tôpô có thể nhúng được vào một nhóm mà tất cả các lọc trong nó đều hội tụ * Mở rộng Raikov: Cho G là một họ tất cả các lọc... Y vào một không gian mêtric hóa đầy đủ Y thỏa f −1 ( y ) là compact đếm được Trong trường hợp này chúng ta nói rằng f là một ánh xạ tựa đầy đủ Mọi M-không gian đầy đủ là q -đầy đủ Định lí sau đây cho thấy một số tính chất của các kiểu không gian đầy đủ qua một ánh xạ liên tục mở và qua một mở rộng liên tục của ánh xạ đó 2.5 Định lí 2.5: Cho X là một không gian mêtric Cho f : X → Y là một ánh xạ liên. .. có tính chất (SC1), (SC2), (SC4) Một không gian X được gọi là sàng -đầy đủ trù mật nếu tồn tại trên nó một không gian con trù mật Y và một A-sàng trù mật với tính chất (C2) và (C4) Một không gian X được gọi là sàng -đầy đủ nếu tồn tại một A-sàng với tính chất (C2) và (C4) khi Y=X 20 Một không gian X được gọi là q -đầy đủ trù mật nếu tồn tại trên nó một không gian con Y và một A-sàng trù mật với tính chất. .. Cơ sở, tiền cơ sở của tôpô: Cho τ là một tôpô trên X Một họ β ⊂ τ gọi là một cơ sở của không gian tôpô ( X ,τ ) nếu mọi tập con mở khác rỗng của X đều bằng hợp của một họ các tập thuộc β Một họ σ ⊂ τ gọi là một tiền cơ sở của không gian tôpô ( X ,τ ) nếu họ tất cả các giao hữu hạn các tập thuộc σ là một cơ sở của τ Một tôpô hoàn toàn được xác định khi biết một cơ sở hay tiền cơ sở của nó 1.1.3 Lân... 2.6 Hệ quả 2.6: Nếu một không gian µ -đầy đủ X có chứa một không gian con quạt -đầy đủ thì X có chứa một không gian con paracompact Cech -đầy đủ trù mật Định lí tiếp theo thể hiện mối quan hệ của không gian quạt -đầy đủ với không gian Cech -đầy đủ: 2.7 Định lí 2.7: Mọi không gian quạt -đầy đủ paracompact là không gian Cech -đầy đủ Chứng minh: Nếu X là một không gian quạt -đầy đủ paracompact, thì tồn tại một. .. con quạt -đầy đủ trù mật Đối với một không gian quạt -đầy đủ thì tính chất đầy đủ được bảo toàn trên các Gδ -không gian con Điều đó thể hiện qua mệnh đề sau: 2.3 Mệnh đề 2.3: Mọi Gδ -không gian con của một không gian quạt -đầy đủ là không gian quạt -đầy đủ Đặc biệt, mọi không gian Cech -đầy đủ là sàng -đầy đủ Chứng minh: Cho u = {γ n ={Uα : α ∈ An } ,π n : An+1 → An : n ∈ ω} là một A-sàng với tính chất (C1)... quạt -đầy đủ Theo các định nghĩa ở trên ta thấy được tính di truyền của các kiểu không gian đầy đủ lên các không gian con đóng qua các phát biểu sau: - Mọi không gian Tychonoff là không gian con đóng của không gian giả compact nào đó, một không gian con đóng của một không gian quạt -đầy đủ không nhất thiết phải là không gian quạt -đầy đủ 22 - Mọi không gian con đóng của một không gian sàng -đầy đủ là ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH NGUYỄN MINH TRÍ MỘT SỐ TÍNH CHẤT KIỂU ĐẦY ĐỦ CỦA CÁC NHÓM NỬA TÔPÔ VÀ CÁC KẾT QUẢ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Hình học tôpô Mã số: 60 46... ngặt 17 Chương CÁC KIỂU ĐẦY ĐỦ CỦA CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ Trong chương giới thiệu số kiểu đầy đủ không gian tôpô số tính chất quan trọng chúng 2.1 Các kiểu đầy đủ khác không gian tôpô: Cho dãy {... mêtric đầy đủ nhóm tôpô - Mọi nhóm nửa tôpô mêtric hóa mêtric đầy đủ nhóm paratôpô Năm 1957, R.Ellis chứng minh nhóm nửa tôpô compact địa phương nhóm tôpô Năm 1960, W Zelazko kết luận nhóm nửa tôpô