BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoài Phúc CHỈNH HÓA NGHIỆM MỘT BÀI TOÁN ĐÀN HỒI BA CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoài Phúc CHỈNH HÓA NGHIỆM MỘT BÀI TOÁN ĐÀN HỒI BA CHIỀU Chuyên Ngành : Toán Giải Tích Mã Số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh 2012 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Đặng Đức Trọng, người tận tâm giảng dạy, hướng dẫn giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tôi xin cảm ơn bạn Phùng Trọng Thực bạn Phan Thành Nam nhiệt tình giúp đỡ, góp ý cho suốt trình nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn bạn học viên Toán – Giải Tích khóa 21 hỗ trợ cho suốt khóa học Tp HCM, ngày tháng năm 2012 Nguyễn Hoài Phúc GIỚI THIỆU BÀI TOÁN Cho   0,1 0,1 0,1 biểu diễn vật thể đàn hồi đẳng hướng ba chiều cho T  khoảng thời gian quan sát Với x : x 1, x , x    , ta kí hiệu u(x , t )  u1(x , t ), u2 (x , t ), u (x , t ) độ chuyển dịch (displacement), u j độ chuyển dịch tính theo phương x j Như biết, u thỏa mãn hệ phương trình Lamé 2u  m u  (l  m ) div(u )  F , x  , t  0,T  t với F : F1, F2 , F3  lực thể tích, div(u )  u  u1 u2 u l, m   x x x số Lamé thỏa m  l  2m  Hệ liên kết với điều kiện đầu :  u1(x , 0), u2 (x , 0), u (x , 0)  g1(x ), g2 (x ), g (x ), x  , u u  u1   h (x ), h (x ), h (x ) , x  ,  ( x , 0), ( x , 0), ( x , 0)     t    t t    điều kiện biên vật thể đàn hồi bị kẹp chặt, nghĩa u (x, t ), u (x, t ), u (x, t )  0, 0, 0, x  , t  0,T  Chúng ta xét toán ngược tìm lực thể tích F Một toán ngược thường nghiên cứu nhiều khía cạnh tính nhất, tính ổn định vấn đề chỉnh hóa Vấn đề chỉnh hóa đánh giá sai số nghiệm điều cần thiết Trong năm 2005, Grasselli, Ikehata Yahamoto [2] chứng minh lực thể tích F x , t   j(t )f (x ) xác định từ phương trình   với điều kiện j  C 0,T  , j(0)  thời gian quan sát T  đủ lớn Mặc dù có tính vấn đề chỉnh hóa f chưa thỏa mãn, nghĩa với sai sót nhỏ kiện gây sai số lớn kết Vì vậy, điều quan trọng thực tế tìm trình chỉnh hóa nghiệm, cụ thể xây dựng giải pháp gần cách sử dụng kiện gần Gần đây, vấn đề chỉnh hóa giải phần [6], phương pháp chỉnh hóa phần f đưa từ việc sử dụng thông tin điều kiện cuối u x ,T  Điều kiện cuối đóng vai trò thiết yếu [6] từ cho phép tác giả tìm công thức rõ ràng cho việc biến đổi Fourier f , sau sử dụng thông tin để phục hồi f Còn lại vấn đề mở [6] (xem phần kết luận họ) tìm trình chỉnh hóa cho f Mục đích luận văn giải vấn đề cách hoàn chỉnh, việc tìm trình chỉnh hóa f mà không cần sử dụng đến điều kiện cuối Quá trình chỉnh hóa nghiệm nêu luận văn chủ yếu sử dụng phương pháp cắt ngắn chuỗi Fourier kết hợp với bất đẳng thức nội suy Lagrange, dựa theo phương pháp nội suy giới thiệu [7] tác giả xây dựng trình chỉnh hóa cho nguồn nhiệt phương trình nhiệt Trong luận văn này, để chỉnh hóa nghiệm toán, điều kiện đầu điều kiện biên bị kẹp ta cần có thêm sức ép bề mặt biên vật thể, nghĩa      s1 t12 t13  n1  X1  t s t  n   X  , x  , t  0,T    21 23      t t s n  X   31 32     n  n1, n2, n  vectơ pháp tuyến đơn vị hướng  sức ép s t định nghĩa  u j u   u t jk  m  j  k , s j  ldiv(u )  2m , j, k  1, 2, 3  x k x j  x j Luận văn chủ yếu trình bày lại báo [10] Và để rõ ràng hơn, luận văn chi tiết hóa phần chứng minh bổ đề 2.3 nhằm bổ trợ cho trình chứng minh tính nghiệm toán bổ đề 2.5 giúp chỉnh hóa nghiệm đồng thời ước lượng sai số cách dễ dàng Phần lại luận văn chia làm ba chương : Chương một: phần kiến thức chuẩn bị, bao gồm việc nhắc lại số kiến thức nêu vài kết cần thiết cho phần sau Chương hai: nêu số kí hiệu kết Sau chứng minh f chỉnh hóa f Chương ba: trình bày ví dụ cụ thể minh họa cho tính toán lý thuyết Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian hàm Trước hết, xin nhắc lại không gian Lp W 1,p Cho  tập đo  N Định nghĩa 1.1.1 Với ánh xạ đo f :     p   , ta kí hiệu f f p   p p     f (x ) dx     với  p   ,    inf h  : f (x )  h, x   Với  p   , ta gọi Lp () không gian gồm tất hàm f đo  cho f p   Định lý 1.1.1 Với  p   , Lp () không gian Banach với chuẩn  Lp ()   Đặc biệt, L2 () không gian Hilbert với tích vô hướng p f,g   f (x )g(x )dx  Chứng minh định lý dựa bất đẳng thức quan trọng sau Định lý 1.1.2 (Bất đẳng thức Holder) Cho p, q  (1, ) f  Lp (), q  Lq () f g  L1() 1   Nếu p q f g L1 ()  f Lp () g Lq () Bây cho  tập mở  N Ta kí hiệu C c () không gian hàm khả vi vô hạn có giá compact  Với c  C c () N a  a1, a2 , , aN   N với  0, i  1, 2, , N , Ta kí hiệu a   i 1 a  u a D u(x )  a a a  x 1 x  N x N (x ), x  x 1, x , , x N    Định nghĩa 1.1.2 Với  p   m nguyên dương, không gian Sobolev W m ,p () tập hợp tất hàm f  Lp () cho với a  a1, a2 , , aN   N với  0, i  1, 2, , N a  m , tồn g a  Lp () thỏa mãn  f (x )D a f(x )dx  (1)  a g a (x )f(x )dx , f  C c ()  a Khi ta kí hiệu  f a a a  x 1 x  N x N  ga Đặc biệt, ta đặt W m ,2 ()  H m () Định lý 1.1.3 Với  p   , m nguyên dương, W m ,p () không gian Banach với chuẩn f W m , p ( )      D a f  a m p   Lp ()   p Tiếp theo, ta nhắc lại không gian C m I , X  Lp I , X  , I khoảng (mở đóng)  X không gian Banach Một cách đơn giản, ta định nghĩa C I , X  tập hợp ánh xạ liên tục từ I vào X Định nghĩa 1.1.3 Cho I khoảng (mở đóng)  u :I X  Nếu I khoảng mở, ta nói u khả vi I tồn ánh xạ đạo hàm u : I  X cho t lim s t u(t )  u(s ) u  (s ), t s t s  I , với giới hạn tính theo chuẩn X Với số nguyên dương m, ta nói u khả vi m lần I ánh xạ đạo hàm sau tồn u 2u   u  m u   m1u  , :   , , m :  t t t  t  t  t m1  t  Nếu I khoảng đóng m nguyên dương, ta nói u khả vi m lần I tồn khoảng mở I  chứa I ánh xạ v : I   X khả vi m lần I  cho v |I  u Ta kí hiệu (Xem [9] trang 8) k u k u  t k t k với k  1, 2, m I Định nghĩa 1.1.4 Cho I khoảng (mở đóng) m số nguyên dương, ta kí hiệu C m I , X  tập hợp hàm u : I  X khả vi m lần mu  C I , X  I cho t m Định nghĩa 1.1.5 Cho I khoảng mở R u : I  X Ta nói u đo có dãy hàm un C c I , X  cho un (t )  u(t ) với t I (Trong C c I , X  tập hợp hàm liên tục có giá compact I) Định nghĩa 1.1.6 Cho I khoảng mở R  p   Ta kí hiệu Lp I , X  tập hợp (các lớp tương đương) hàm đo u : I  X cho hàm thực t  u(t ) X thuộc Lp (I ) , ta đồng u với v u(t )  v(t ) với t  I Định lý 1.1.4 Cho I khoảng mở R,  p   X không gian Banach Khi Lp I , X  không gian Banach với chuẩn  p p    u(t ) dt  u p L I ,X  X  I  1.2 Một số kết áp dụng Định lý 1.2.1 (Công thức Green) Cho  tập mở, bị chặn Rn có biên  C khúc Khi u v thuộc H 1() , ta có (i) r (w )  w L2 () r   (ii) Nếu w  H 1() r (w )  w H 1() (iii) Nếu w  H () r (w )  w L () r (w )  w H ()   p r 4 r w w H () H () Chứng minh (i) Sự hội tụ suy từ đồng thức Parseval w 2 L ()   k(m, n, p)  (w)(m p, n p, p p)   m ,n , p 0 r (w )  w 2 L ()   r   0 k(m, n, p)  (w)(m p, n p, p p)  m ,n , p r Vậy r (w )  w L2 () r   (ii) Bây giả sử w  H 1() Trong trường hợp ta có w H ()       p2 m  n  p k(m, n, p)  (w )(m p, n p, p p)   m ,n , p 0 r (w )  w H ()   m ,n , p r 1  p m 2   n  p k(m, n, p)  (w )(m p, n p, p p)  r (w )  w r    0 H () Và theo (i) ta có r (w )  w   L2 () 1  p2r   m ,n , p r  w 1  p m m ,n , p r  p2r k(m, n, p)  (w)(m p, n p, p p) 2   n  p k(m, n, p)  (w )(m p, n p, p p) H () Từ suy r (w )  w L ()  p r w H () (iii) Bây giả sử w  H () Nếu r  256 yêu cầu (iii) suy dễ dàng từ r (w )  w H ()  w H ()  w H () Vì ta chứng minh với giả thiết r  256 Sử dụng tích phân phần ta   p2 m  n  p  (w )(m p, n p, p p)   w(x1, x 2, x ) cos(m px1 ) cos(n px ) cos(p px )dx  1 +  (1) wx (1, x 2, x )  wx (0, x 2, x ) cos(n px ) cos(p px )dx 2dx +  (1) wx (x1,1, x )  wx (x1, 0, x ) cos(m px1 ) cos(p px )dx1dx +  (1) wx (x1, x 2,1)  wx (x1, x 2, 0) cos(m px1 ) cos(n px )dx1dx 1 0 1 m n p 3      Tiếp theo ta sử dụng bất đẳng thức a  b  c  d   a  b  c  d với a, b, c, d   ta p4  m ,n , p r  + +   n  p k(m, n, p)  (w )(m p, n p, p p)  w(x1, x 2, x ) cos(m px1) cos(n px ) cos(ppx )dx 2 m ,n , p r m  n  p  4k(m, n, p) 2 m n  p 2 m ,n , p r m  n  p m ,n , p r 4k(m, n, p)   4k(m, n, p) 2 m n  p    (1) 0 1 m   (1) 0 1 n   (1) 2 4k(m, n, p)  m ,n , p r + m p  wx (1, x 2, x )  wx (0, x 2, x ) cos(n px ) cos(ppx )dx 2dx 1  wx (x1,1, x )  wx (x1, 0, x ) cos(m px1 ) cos(ppx )dx1dx 2  wx (x1, x 2,1)  wx (x1, x 2, 0) cos(m px1 ) cos(n px )dx1dx 3 Đầu tiên ta có 4k(m, n, p)  2 m ,n , p r m  n  p  w(x1, x 2, x ) cos(m px1) cos(n px ) cos(ppx )dx    k(m, n, p)  w(x1, x 2, x ) cos(m px1) cos(n px ) cos(ppx )dx r m,n, pr   w r L2 () Để ràng buộc số hạng thứ 2, ta sử dụng đẳng thức Parseval L2 (0,1)  (0,1) ta có  k(p, p, p) p 0   (1) m  (1)m wx (1,,)  wx (0,,)  1    (1) 0 1  m L2 (0,1)     wx    1 L2 ()  wx x 1   , L2 ()   1 2  wx (x 1, x 2, x )dx1   (1)m x   x wx x (x 1, x 2, x )dx dx 2dx   wx (x1, x 2, x ) dx1    wx (1, x 2, x )  wx (0, x 2, x ) cos(n px ) cos(ppx )dx 2dx wx x (x1, x 2, x ) dx1 1  Trong bất đẳng thức cuối ta sử dụng 2a  b   a  b 2  a, b   Và từ định nghĩa k(m, n, p) ta có k(m, n, p)  2 k(p, p, p) Ta có  4k(m, n, p)   (1)  m wx (1, x 2, x )  wx (0, x 2, x ) cos(n px ) cos(p px )dx 2dx 1 m n  p 0 2  1   m     k(p, p, p)   (1) wx (1, x 2, x )  wx (0, x 2, x ) cos(n px ) cos(p px )dx 2dx   r  1  m ,n , p r  p 0 0   2  40    wx  wx x  1 L ()  r  L ()  m ,n , p r 2   Từ điều ta p4  m ,n , p r m   n  p k(m, n, p)  (w )(m p, n p, p p) 2 40  w  w L () r r  x1 158 w  H () r  wx x (Sử dụng đánh giá 1 L2 ()  w 2 L () L2 () 1 , w 2 L ()   L2 ()   wx x  wx L2 ()  w H () ) Do ta r (w )  w H ()  (1  p2 )  Hay r (w )  w  m m ,n , p r 158(1  p2 ) p H ()  w r 4 r w H () H ()   n  p k(m, n, p)  (w )(m p, n p, p p)  16 r w H () Bây ta chứng minh kết Chứng minh định lý 2.2 Đầu tiên ta ước tính sai số f je  r f j0 , r e định nghĩa bổ đề 2.5 Sau ta sử dụng bổ đề 2.5 để so sánh r f j0 e f j0 Kết luận sau rút từ bất đẳng thức tam giác Theo đó, C , C 1,C đứng cố định cho số phụ thuộc vào kiện xác, phát biểu e  đủ nhỏ nghĩa e  0, e0  với số e0  phụ thuộc vào kiện xác Bước : Ta có : f je  r f j0 e L2 ()   0m ,n , p re k(m, n, p)  j e (m, n, p)   ( f j0 )(m p, n p, p p) Áp dụng bổ đề 2.4 với w(z )   fj x1, x 2, x  cos(izx1) cos(n px ) cos(ppx )dx1dx 2dx ,  g(z )  H je (z , n p, p p) , ta :  j e (m, n, p)   ( f j0 )(m p, n p, pp)  L Br , g  (im p)  w(im p)  e  r 30r  f j e e  48ree e sup w(z )  g(z ) L () (2.21) z Br e với e  đủ nhỏ m, n, p  0, re  Sai số w(z )  g(z ) ràng buộc   cách tính toán trực tiếp Thật vậy, với z  Br cố định, ta có e w(z )  g(z )   ( f j0 )(iz , n p, p p)  H je (z , n p, p p)   ( f j0 )(iz , n p, p p)  H j0 (z , n p, p p)  H j0 (z , n p, p p)  H je (z , n p, p p)  E1*j iz , n p, p p D1(I ) iz , n p, p p   E2*j iz , n p, p p D2 (I ) iz, n p, p p E1 j (I ) iz , n p, p p  D1(I ) iz, n p, p p  E2 j (I ) iz, n p, p p D1(I ) iz , n p, p p (2.22) E1 j (I e ) iz , n p, p p D1(I e ) iz , n p, p p  E2 j (I e ) iz, n p, p p D2 (I e ) iz , n p, p p Mặt khác, từ bổ đề 2.2 công thức E1 j , E2 j , E1*j , E2*j , suy tồn C  0, C  0, e1  phụ thuộc vào kiện xác cho C 2re  D j (I )(iz , n p.p p)  C 1re2, D j (I e )(iz , n p.p p)  D j (I )(iz , n p.p p)   D j (I )(iz , n p.p p)  D j (I e )(iz , n p.p p)  C 1re  C 1re2e , E1 j (I e )(iz , n p.p p)  E1 j (I )(iz , n p.p p)  C 1re3e 29re e, 29re e, E2 j (I e )(iz , n p.p p)  E2 j (I )(iz , n p.p p)  C 1re3e E1 j (I )(iz , n p.p p)  C 1re3e 29re , E1 j (I )(iz , n p.p p)  C 1re3e 29re , E1*j (iz , n p.pp)  E2*j (iz , n p.p p)  C 1re3e 29re l 2 m Tre e 29r C 1re3e e e m Tre , với z  Br , e  đủ nhỏ Do đó, từ (2.21) (2.22) ta e e  j (m, n, p)   ( f j0 )(m p, n p, p p)  f j0 L1 () 60 e  48    1 3 1 3  3  1  1  1  59 60  2   C  ln(e ) 4C  ln(e ) e e   C  ln(e )    30   30   30      1    l 2 m T 59   m T 59   l 2 m T 59  C e 60  C 2e 60 C 2e 60     Hơn nữa, từ giả thiết (W2) ta có 1  60 60   601  601  l  2m T  59 ,  m T  59 , Kết hợp với kết ta suy e  j (m, n, p)   ( f j0 )(m p, n p, p p)   1  C ln(e ) e 60 , (2.23) với e  đủ nhỏ Bước : Kết luận (i) Sử dụng đẳng thức Parseval ước lượng (2.23) f je  r f j0 e   L2 () 0m ,n , p re  1 k(m, n, p)  j e (m, n, p)   ( f j0 )(m p, n p, p p)   C ln(e ) Vì f je  r f j0 e có f je  f j0 (ii) r f j0 e Giả  f j0 L () L2 () sử H () 11 e 30 (2.24)  theo (2.24) r f j0  f j0 L2 () e  theo bổ đề 2.5, ta  e  cách sử dụng bất đẳng thức tam giác  f j0  H 1() r f j0 e  f j0 Thì L2 () theo  bổ  1  C ln(e )  đề 2.5 f je  f j0 L2 ()  1   C ln(e )  ta có Kết hợp ước tính với (2.24), ta kết luận cách sử dụng bất đẳng thức tam giác với e  đủ nhỏ Hơn , sử dụng (2.23) đẳng thức Parseval H ta có f je  r f j0 e   0m ,n , p re  1 H ()  k(m, n, p)(1  p2 (m  n  p )  j e (m, n, p)   ( f j0 )(m p, n p, p p)   C ln(e ) 11 30 e  (2.25) Và áp dụng bất đẳng thức tam giác ta được: f je  f j0 H ()  (iii) Giả sử f j0  H () Thì theo bổ đề 2.5 ta có r f j0 e  f j0 H ()  1   C ln(e )  Ước lượng tiến hành với (2.25) bất đẳng thức tam giác ta f je Với e  đủ nhỏ  f j0 H ()  1   C ln(e )  Chương 3: VÍ DỤ MINH HỌA Trong phần này, ta kiểm tra trình chỉnh hóa nghiệm ví dụ rõ ràng Chọn m  1, l  1,T  30 xét hệ (2.1) – (2.4) với kiện xác   I  j 0, X 0, g 0, h sau : j (t )  23p2 cos(pt ), h10  h20  h30  0, X10 x1, x 2, x 3, t   cos(pt ) 4p sin(2px ) sin(2px )n1 2p sin(4px1 ) sin(2px )n2  2p sin(4px1 ) sin(2px )n , X 20 x1, x 2, x 3, t   cos(pt ) 2p sin(4px ) sin(2px )n1 4p sin(2px1 ) sin(2px )n2  2p sin(2px1 ) sin(4px )n , X 30 x1, x 2, x 3, t   cos(pt ) 2p sin(2px ) sin(4px )n1 2p sin(2px1 ) sin(4px )n2  4p sin(2px1 ) sin(2px )n , g10 x1, x 2, x   sin(4px1 ) sin(2px ) sin(2px ), g20 x1, x 2, x   sin(2px1 ) sin(4px ) sin(2px ), g 30 x1, x 2, x   sin(2px1 ) sin(2px ) sin(4px ) Chú ý ví dụ điều kiện (W1) (W2) thỏa mãn Nghiệm xác hệ (2.1) –(2 4) tính toán rõ ràng u10 x1, x 2, x 3, t   cos(pt ) sin(4px1 ) sin(2px ) sin(2px ), u20 x1, x 2, x 3, t   cos(pt ) sin(2px1 ) sin(4px ) sin(2px ), u30 x1, x 2, x 3, t   cos(pt ) sin(2px1 ) sin(2px ) sin(4px ), f10 x1, x 2, x   sin(4px1 ) sin(2px ) sin(2px ), f20 x1, x 2, x   sin(2px1 ) sin(4px ) sin(2px ), f30 x1, x 2, x   sin(2px1 ) sin(2px ) sin(4px ) Bây ta xét kiện đo đạc gần kiện xác sau, với n  , j  1, 2, 3 : jn  j, h jn  0, X jn  X j0  g nj  g j0  2p cos(pt ) sin(2n px ) sin(2n px )n1  n  sin(2n px1 ) sin(2n px )n2  sin(2n px1 ) sin(2n px )n , sin(2n px1 ) sin(2n px ) sin(2n px ) n Với kiện đo đạc hệ (2.1) – (2.4) có nghiệm u nj  u j0  cos(pt ) sin(2n px1 ) sin(2n px ) sin(2n px ) n  f j0 , 1  12n  sin(2n px ) sin(2n px ) sin(2n px )  f jn 3 23 n Ta thấy sai số kiện nhỏ : g nj  g j0 L ()  n , X jn  X j0 1 L (0,T ,L ()) (Thật ra, chí hội tụ đủ tiêu chuẩn thống nhất)  360p n Tuy nhiên, ta thấy nghiệm nhiễu xa so với nghiệm xác n tiến vô f jn  f j0 L2 ()  144n  24n  529n   Do sai số nhỏ kiện lại dẫn đến sai số lớn nghiệm toán Sự chỉnh hóa nghiệm cần thiết Bây ta xây dựng nghiệm chỉnh hóa với e  0.01 liệu bị nhiễu với n  10 Kết chỉnh hóa nghiệm đưa đến f1e x1, x 2, x   0.035  0.063 cos(px1 )  0.156 cos(px )  0.455 cos(px ) 0.033 cos(px1 ) cos(px )  0.027 cos(px1 ) cos(px ) 0.15 cos(px ) cos(px )  0.005 cos(px1 ) cos(px ) cos(px ) Sai lệch nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác : f1n  f10 L2 ()  0.273 Ta thấy kết tốt việc chỉnh hóa nghiệm, lưu ý nghiệm nhiễu tương ứng (với độ sai lệch kiện e  0.01 ) gây sai lệch lớn f j10  f j0 2 L ()  3.4  105 KẾT LUẬN Luận văn sử dụng phương pháp cắt ngắn chuỗi Fourier kết hợp với nội suy Lagrange để chỉnh hóa nghiệm cho toán đàn hồi ba chiều Ưu điểm phương pháp chỉnh hóa nghiệm toán đồng thời ước lượng sai số so với nghiệm xác mà không cần đến điều kiện cuối thời gian quan sát Tuy nhiên có nhược điểm sai số kiện nhỏ việc tính toán phức tạp Mặc dù kiến thức hạn hẹp mong muốn nghiên cứu toán học, ứng dụng toán học để phục vụ ngành có liên quan Trong thời gian tới hy vọng tìm nhiều phương pháp chỉnh hóa nghiệm khác nhau, để thu kết tốt thể chúng hình vẽ để minh họa kết cách rõ ràng TÀI LIỆU THAM KHẢO K Aki and P.G Richards, Quantitative Seismology Theory and Methods, Vol I, NewYork, Freeman (1980) M Grasselli, M Ikehata and M Yamamoto, An inverse source problem for the Lamé system with variable coefficients, Applicable Analysis 84 (4) (2005), 357-375 B.Y Levin, Lectures on Entire Functions, Trans Math Monographs, Vol 150, AMS,Providence, Rhole Island (1996) M.H Sadd, Elasticity Theory, Applications, and Numerics, Elsevier (2005) S Timoshenko and J.N Goodier, Theory of Elasticity, New York, Mc GrawHill (1970) D.D Trong, A.P.N Dinh, P.T Nam and T.T Tuyen, “Determination of the body force of a two-dimensional isotropic elastic body”, J Comput Appl Math 229 (2009), no.1,192-207 D.D Trong, A.P.N Dinh and P.T Nam, “Determine the spacial term of a two-dimensional heat source”, Applicable Analysis 88 (3) (2009) 457-474 D.D Trong, M.N Minh, A.P.N Dinh and P.T Nam, “Holder-Type approximation for the spatial source term of a backward heat equation”, Numer Funct Anal Optim 31 (12) (2010), 1386-1405 T.Cazenave, A Haraux, An introduction to semilinear evolution equation, Clarendon Press Oxford (1998) 10 D.D Trong, P.T Nam and P.T Thuc, “The body force in a threedimensional Lamé system: identification and regularization”, inverse Problems in Science and Engineering, volume 20, issue 4, 2012 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN GIỚI THIỆU BÀI TOÁN Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian hàm 1.2 Một số kết áp dụng 1.3 Hệ Lamé .11 1.4 Bài toán không chỉnh vấn đề chỉnh hóa 12 Chương 2: CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 13 2.1 Phát biểu toán 13 2.2 Các kết 14 2.3 Chứng minh tính nghiệm 20 2.4 Chỉnh hóa nghiệm 32 Chương 3: VÍ DỤ MINH HỌA 45 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 MỤC LỤC 50 [...]... 1.4 Bài toán không chỉnh và vấn đề chỉnh hóa Những bài toán phương trình đạo hàm riêng (đặc biệt là những bài toán có nguồn gốc từ vật lý) thường có dạng tìm nghiệm từ dữ kiện cho trước Xuất phát từ ý nghĩa thực tế của bài toán, khái niệm về chỉnh hóa bài toán được đặt ra, một bài toán được gọi là chỉnh nếu có ba tính chất:  Tính tồn tại: Bài toán có nghiệm  Tính duy nhất: Bài toán có nhiều nhất một. .. chỉnh hóa nghiệm đó Sự chỉnh hóa nghiệm tức là từ những dữ kiện đo đạc (có thể sai số so với dữ kiện chính xác) ta đi xây dựng nghiệm mới, gọi là nghiệm chỉnh hóa Nghiệm chỉnh hóa có thể không phải là nghiệm chính xác của bài toán (ứng với dữ kiện chính xác) nhưng ta có thể kiểm soát sai số của nghiệm chỉnh hóa với nghiệm chính xác nhỏ như mong muốn Chương 2: CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 2.1 Phát biểu bài toán. .. Bài toán có nhiều nhất một nghiệm  Tính ổn định: Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện Một bài toán được gọi là không chỉnh nếu thiếu một trong ba tính chất trên Về mặt toán học, việc tồn tại nghiệm có thể đạt được bằng cách mở rộng không gian nghiệm Nếu bài toán có nhiều hơn một nghiệm thì thường là thông tin về nghiệm bị thiếu, và bằng những thông tin bổ sung ta sẽ thu được nghiệm duy nhất Yêu cầu... của nghiệm, bởi nếu thiếu điều này thì dù một sai sót nhỏ của dữ liệu cũng có thể dẫn đến một sai số lớn của nghiệm Điều này làm cho chúng ta không thể tính được nghiệm (dù là xấp xỉ), bởi mọi dữ kiện đo đạc điều phải đi kèm với sai số Để khắc phục tính không chỉnh của bài toán, ta phải thực hiện công việc chỉnh hóa Tức là trước hết ta chứng tỏ bài toán tồn tại và duy nhất nghiệm và sau đó ta đi chỉnh. .. kiện vật lý và có liên quan chặt chẽ đến bài toán đàn hồi Trong không gian ba chiều với   0,1 0,1 0,1 như là vật thể đàn hồi, hệ Lamé được xác định bởi 2u  m u  (l  m ) div(u )  F , x  , t  0,T  t 2 ở đây u(x , t )  u1(x , t ), u2 (x , t ), u 3 (x , t ) thỏa mãn hệ Lamé, trong đó u j là độ chuyển dịch theo hướng j của vật thể đàn hồi và F (x , t )  F1(x , t ), F2 (x ,... cho sự duy nhất, trong khi điều kiện mạnh hơn là (W2’) thì cần thiết trong bước chỉnh hóa nghiệm Định lý 2.1 (Tính duy nhất) Giả sử các giả thiết (W1) và (W2) thỏa mãn Khi đó hệ (2.1) – (2.4) có nhiều nhất một nghiệm  u, f   C 2([0,T ]; L2())  L2(0,T ; H 2()) 3  ,(L2 ())3   Điểm chính trong chỉnh hóa nghiệm là tìm lại  ( f )(a) với a nhỏ từ giá trị gần đúng của  ( f )(a) với a...  k Định lý 2.2 (Chỉnh hóa nghiệm) Giả sử rằng (u 0, f 0 ) là nghiệm chính xác   của hệ (2.1) – (2.4) đối với dữ kiện chính xác I 0  j 0, X 0, g 0, h 0 , trong đó giả   thiết (W1) và (W2’) được thỏa mãn Xét dữ kiện xấp xỉ I e  j e , X e , g e , h e sao cho, với mọi j  1, 2, 3 , j0  je g je  g j0 e, X je  X j0 e , h je  h j0 1 L 2 L  L1 L2  e,  e  Nghiệm chỉnh hóa f je được xây dựng... định lý 2.1 đã được chứng minh xong 2.4 Chỉnh hóa nghiệm Bổ đề 2.1 và bổ đề 2.2 cho phép ta tính gần đúng  ( f )(a) với a đủ lớn Để tìm  ( f )(a) với a nhỏ, ta sẽ cần bất đẳng thức nội suy sau:  Bổ đề 2.4 ( Bất đẳng thức nội suy) Đặt Br  z j : z j  5r  j, j  1, 2, , 24r  với r  50 là một số nguyên Cho w :    là một hàm nguyên thỏa w(z )  Ae z với A là một hằng số Khi đó với bất kì hàm g :...  ba    , sup    sup     ln M f (r )  r a    a  ln k r  ln k  r a        đúng với mọi a  a0 Cho a   ta có lim sup r  ln f(r ) ln M f (r )  b  1 , mâu thuẫn với định lý Beurling Bây giờ ta chứng minh định lý 2.1     Giả sử u 1, f 1 và u 2, f 2 là hai nghiệm của hệ (2.1) – (2.4) với dữ kiện   I  j, X , g, h  Khi đó u, f  : u 1  u 2, f 1  f 2 là nghiệm. .. xác) nhưng ta có thể kiểm soát sai số của nghiệm chỉnh hóa với nghiệm chính xác nhỏ như mong muốn Chương 2: CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 2.1 Phát biểu bài toán Cho   0,1 0,1 0,1 và T  0 Chúng ta xét bài toán tìm u, F  thỏa mãn hệ phương trình 2u t 2  m u  (l  m ) div(u )  F , x  , t  0,T  (2.1) ở đây l, m là các hằng số Lamé thỏa m  0 và l  2m  0 Với các điều kiện đầu là  u1(x ... Sự chỉnh hóa nghiệm tức từ kiện đo đạc (có thể sai số so với kiện xác) ta xây dựng nghiệm mới, gọi nghiệm chỉnh hóa Nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác toán (ứng với kiện xác) ta kiểm soát sai số nghiệm. .. Fourier kết hợp với nội suy Lagrange để chỉnh hóa nghiệm cho toán đàn hồi ba chiều Ưu điểm phương pháp chỉnh hóa nghiệm toán đồng thời ước lượng sai số so với nghiệm xác mà không cần đến điều kiện... SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hoài Phúc CHỈNH HÓA NGHIỆM MỘT BÀI TOÁN ĐÀN HỒI BA CHIỀU Chuyên Ngành : Toán Giải Tích Mã Số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : GS TS