1 MỤC LỤC Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Ký hiệu chung 1.2 Một số tính chất 1.3 Một số bất đẳng thức Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-liên kết âm theo khối 2.1 Một số khái niệm kết chuẩn bị 2.2 Luật mạnh số lớn Kolmogorov cho dãy biến ngẫu nhiên m-liên kết âm theo khối 13 2.3 Luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund cho dãy biến ngẫu nhiên m-liên kết âm theo khối 16 2.4 Luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy biến ngẫu nhiên m-liên kết âm theo khối 21 Luật logarithm lặp cho dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm 24 3.1 Một số khái niệm kiến thức chuẩn bị 24 3.2 Luật logarithm lặp cho dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm 25 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 MỞ ĐẦU Xác suất có ba viên ngọc quý: Luật số lớn, Luật logarithm lặp Định lý giới hạn trung tâm Luật số lớn đóng vai trò quan trọng Lý thuyết Xác suất Luật số lớn J Bernoulli công bố vào năm 1713 Về sau, kết Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng Luật số lớn Kolmogorov hoàn thiện năm 1926, chứng minh cho trường hợp dãy biến ngẫu nhiên độc lập Luật logarithm lặp định lí giới hạn lí thuyết xác suất có ý nghĩa gần gũi với luật số lớn Trong lý thuyết xác suất, luật logarithm lặp mô tả tầm quan trọng biến động trình ngẫu nhiên Kết ban đầu luật logarithm lặp Khinchin năm 1924 Sau đó, kết khác đưa Kolmogorov vào năm 1929 Cho tới nay, định lý giới hạn vấn đề có tính thời lý thuyết xác suất Các định lý giới hạn cổ điển lý thuyết xác suất thường quan tâm đến biến ngẫu nhiên độc lập Hiện nay, có nhiều báo nghiên cứu tính liên kết âm Khái niệm liên kết âm giới thiệu Alam Saxena năm 1981 Proschan năm 1983 Liên kết âm quan trọng có ứng dụng rộng rãi giải tích thống kê đa trị lý thuyết độ tin cậy Những kết biến ngẫu nhiên liên kết âm ngày công bố nhiều tạp chí quốc tế có uy tín Nổi bật số kết Newman năm 1984, Brikel năm 1988 Zhang năm 2000 định lý giới hạn trung tâm; Matula [8] năm 1992 định lý ba chuỗi; Shao năm 2000 bất đẳng thức cực đại dạng Rosenthal bất đẳng thức mũ Kolmogorov Năm 1999, Shao Su [11] thiết lập luật logarithm lặp cho biến ngẫu nhiên liên kết âm với phương sai hữu hạn Zhang [18] năm 2001 thiết lập luật logarithm lặp Strassen cho vectơ ngẫu nhiên liên kết âm Trên sở đọc tìm hiểu tài liệu tham khảo kể trên, nghiên cứu đề tài "Luật mạnh số lớn luật logarithm lặp cho dãy biến ngẫu nhiên m-liên kết âm" Luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức chuẩn bị để nghiên cứu kết Chương Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên mliên kết âm theo khối Trong phần này, nghiên cứu luật mạnh số lớn Kolmogorov luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy biến ngẫu nhiên m-liên kết âm theo khối Đồng thời, nghiên cứu luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund cho dãy biến ngẫu nhiên m-liên kết âm theo khối bị chặn ngẫu nhiên Các kết Chương Chương Luật logarithm lặp cho dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm Trong chương này, nghiên cứu luật logarithm lặp cho dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm Các kết chương thuộc Shao (1999) Ở đây, trình bày lại bước chứng minh chi tiết Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Lê Văn Thành Tác giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Lê Văn Thành, thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Quảng tận tình hướng dẫn tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập làm đề tài Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 19 XSTK, Ban chủ nhiệm thầy cô giáo khoa Toán, Phòng Sau đại học, Ban giám Hiệu trường THPT Diễn Châu 3, tập thể Cao học 19 XSTK giảng dạy, động viên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy cô giáo bạn đọc Vinh, tháng năm 2013 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ký hiệu chung Trong toàn luận văn, ta giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất cố định, m số tự nhiên, {βk , k 1} dãy số nguyên dương tăng ngặt với β1 = đặt Bk = [βk , βk+1 ) Ký hiệu C số dương, số không thiết phải giống lần xuất Kí hiệu [x] số nguyên lớn không vượt x Kí hiệu exp(x) ex 1.2 Một số tính chất Trước hết, đưa số tính chất kỳ vọng biến ngẫu nhiên 1.2.1 Bổ đề (tr 75 [5]) Giả sử X biến ngẫu nhiên không âm, α > EX α < ∞ Khi ∞ EX α = α xα−1 P (X > x) dx 1.2.2 Bổ đề Giả sử f (x) hàm số dương không giảm (0, ∞), X biến ngẫu nhiên dương Khi ∞ f (n)P (X n) E (Xf (X)) n=1 Chứng minh Đặt ∞ Y = jf (j)I(j j=1 X Khi đó, E|X|p < ∞ P (|X| > t) −→ t → ∞ Chứng minh Ta có E|X|p = |X|p dP Ω Do E|X|p < ∞ nên |X|p dP −→ t → ∞ (|X|>t) Hơn ta lại có P (|X| > t) = dP (|X|>t) |X|p dP (|X|>t) Từ suy điều phải chứng minh Bổ đề sau nêu lên tính chất covarian Tính chất sử dụng nghiên cứu luật logarithm lặp 1.2.4 Bổ đề (Đẳng thức Hoeffding, [11]) Giả sử f, g hàm số liên tục tuyệt đối X, Y biến ngẫu nhiên thỏa mãn Ef (X)+Eg (T ) < ∞ Khi ∞ ∞ Cov (f (X), g(X)) = f (x)g (y) P (X x, Y y)− −∞ −∞ − P (X x)P (Y y) dxdy Kế tiếp, đưa số tính chất liên quan đến hội tụ hầu chắn 1.2.5 Bổ đề ([14]) Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên p > Nếu ∞ E|Xn |p < ∞, n=1 lim Xn = h.c.c n→∞ Bổ đề sau thiết lập nhờ Bổ đề Borel-Cantelli ([5], [9]), kết dùng để thiết lập kết 1.2.6 Bổ đề Giả sử {Xn , n 1} {Yn , n 1} hai dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn ∞ P (Xn = Yn ) < ∞ (1.4) n=1 giả sử < bn ↑ ∞ thỏa mãn lim n→∞ bn Khi lim n→∞ bn n Xj = h.c.c (1.5) Yj = h.c.c (1.6) j=1 n j=1 Chứng minh Áp dụng Bổ đề Borel-Cantelli, từ (1.4) suy P lim sup(Xn = Yn ) = Do P lim inf(Xn = Yn ) = (1.7) Do < bn ↑ ∞ nên ta dễ dàng chứng minh    n  lim Xj = 0 lim inf(Xn = Yn ) ⊂  lim n→∞ bn n→∞ bn j=1  n Yj = 0 j=1 Từ (1.5), (1.7) ta thu (1.6) Kết sau nhận từ Định lý [3] 1, {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu 1.2.7 Bổ đề ([3]) Cho < r nhiên {bn , n 1} dãy số dương tăng đến vô hạn Khi đó, ∞ n=1 E |Xn |r Khi r n E Xi i=1 n E |Xi |r , cr i=1 cr = max(1; nr−1 ) 1.3.3 Bất đẳng thức Jensen (tr 45 [1]) Giả sử ϕ : R −→ R hàm lồi X, ϕ(X) biến ngẫu nhiên khả tích Khi ϕ(EX) Eϕ(X) CHƯƠNG LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN m-LIÊN KẾT ÂM THEO KHỐI 2.1 Một số khái niệm kết chuẩn bị Để thiết lập kết chương này, việc sử dụng số khái niệm, kí hiệu bổ đề trình bày Chương 1, cần sử dụng số khái niệm kết sau 2.1.1 Định nghĩa ([6], [12]) Một họ biến ngẫu nhiên {Xi , i n} gọi liên kết âm với tập A, B rời {1, 2, , n} hàm thực không giảm theo tọa độ f RA g RB ta có Cov(f (Xi , i ∈ A), g(Xj , j ∈ B)) 0, (2.1) với điều kiện covarian tồn 2.1.2 Định nghĩa Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi liên kết âm với n 1, họ biến ngẫu nhiên {Xi , i n} liên kết âm Định nghĩa sau mở rộng trường hợp liên kết âm 2.1.3 Định nghĩa Một họ biến ngẫu nhiên {Xi , ≤ i ≤ n} gọi m-liên kết âm n ≤ m + 1, n > m + với k ≥ i1 , i2 , , ik thỏa mãn |ih − il | > m, ∀1 ≤ h = l ≤ k ta có họ {Xi1 , Xi2 , , Xik } liên kết âm Với định nghĩa này, ta thấy m = dãy biến ngẫu nhiên m-liên kết âm dãy liên kết âm 10 2.1.4 Định nghĩa Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi m-liên kết âm theo khối khối {Bk , k ≥ 1} với k ≥ 1, họ biến ngẫu nhiên {Xi , i ∈ Bk } m-liên kết âm 2.1.5 Nhận xét Khi {Xi , ≤ i ≤ n} độc lập đẳng thức (2.1) xảy ra, tính m-phụ thuộc suy tính m-liên kết âm Đối với {βk , k 1} {Bk , k ≥ 1} nói đưa vào ký hiệu sau [15]: B (l) = {k ∈ N : 2l k < 2l+1 }, l (l) Bk = Bk ∩ B (l) , k 1, l 0, (l) Il = {k ≥ : Bk = ∅}, l (l) 0, 0, (l) rk = min{r : r ∈ Bk }, k ∈ Il , l 0, cl = card Il , l ≥ 0, (l) dl = max(card Bk ), l 0, k∈Il ∞ ϕ(n) = cl IB (l) (n), n 1, dl IB (l) (n), n 1, l=0 ∞ φ(n) = l=0 ψ(n) = max ϕ(k), n k n 1, với IB (l) hàm đặc trưng tập B (l) , l 2.1.6 Nhận xét ([15]) (i) Nếu βk = 2k−1 , k cl = 1, l 0; ϕ(n) = 1, n 1; 1, ψ(n) = 1, n (ii) Nếu βk = [q k−1 ] với k đủ lớn, q > 1, cl = O(1); (iii) Với dãy βk , k ϕ(n) ϕ(n) = O(1); ψ(n) = O(1) n, n 1; φ(n) 2n, n 1 29 [x] = ta có x→∞ x Sử dụng giới hạn lim nσm [n/m] Eu2i −→ n → ∞ i=1 Từ suy ra, với n đủ lớn, ta có [n/m] Eu2i n(1 + ε/2)σm i=1 Kết hợp (3.7) ta thu [n/m] Eu2i nσ (1 + ε)(1 + ε/2) nσ (1 + 2ε) (3.13) i=1 Theo Bổ đề 3.1.3 ta có {ui , i kết âm với Eui = |ui | 1} dãy biến ngẫu nhiên liên 2maim 2man , ∀ i [n/m] Áp dụng Bổ đề 3.1.5, từ (3.11) (3.13), với n đủ lớn ta nhận P max |Si,1 | i n P (1 + 8ε) 2σ n log log n max |Ui | i [n/m]    exp −  ε 1/2 (1 + 6ε) 2σ n log log n 1/2  (1 − ε)(1 + 6ε)2 σ n log log n (1 + 6ε)(2σ n log log n)1/2 2man + [n/m] i=1 (1 − ε)(1 + 6ε)2 log log n exp − ε 4(1 + 6ε)ε + + 2ε exp (−(1 + ε) log log n) ε Chọn θ cho ε2 σ (1 − ε) < θ < 2; + 2EX12 (1 + ε)2 Với k 0, đặt rk = θk n Rk = max rk ε 2σ rk log log rk   exp  − 2ε2 σ m 1/2 exp − x2 α (ax + (θ − 1)(1 + ε)EX12 )  ε2 σ rk (1 − ε) log log rk (rk rk+1 )1/2 + (θ − 1)(1 + ε)rk EX12    31     ε2 σ (1 − ε) log log rk   exp − 2  4ε σ + (θ − 1)(1 + ε)EX1 m ε2 σ (1 − ε) log log rk (vì ta chọn m đủ lớn) exp − 2(θ − 1)(1 + ε)EX12 ε2 σ (1 − ε) log log rk exp − 2(θ − 1)(1 + ε)EX12 exp (−(1 + ε) log log rk ) C k 1+ε Từ suy ∞ Rk P >ε (2σ rk log log rk )1/2 k=1 < ∞ Điều kéo theo Rk (2σ rk log log rk )1/2 Với n 1, tồn k −→ h.c.c k → ∞ cho rk < n |Sn,1 | |Sn,1 | (2σ n log log n)1/2 (2σ rk log log rk )1/2 |Srk ,1 | (2σ rk log log rk )1/2 |Srk ,1 | (2σ rk log log rk )1/2 (3.16) rk+1 Do + + |Sn,1 − Srk ,1 | (2σ rk log log rk )1/2 Rk (2σ rk log log rk )1/2 (3.17) Kết hợp (3.15), (3.16) (3.17) ta thu lim sup n→∞ |Sn,1 | (2σ n log log n)1/2 + 8ε h.c.c (3.18) Mặt khác, rõ ràng Sn = Sn,1 + Sn,2 Do đó, từ (3.10) (3.18) ta thu (3.5) Bây ta chứng minh (3.6) Đặt mk = 2k 1+ε , pk = k −2 2k 1+ε , nk = (mk + pk )k , k Với cách đặt này, ta có số tính chất sau: 32 mk k pk k i) lim = lim = k→∞ nk k→∞ nk ii) nk−1 = o (pk ) nk−1 = iii) lim k→∞ nk Thật vậy, tính chất i) hiển nhiên nhận Để chứng minh tính chất ii), trước hết, ta chứng minh k 1+ε − (k − 1)1+ε ∼ (1 + ε)(k − 1)ε Điều tương đương với k 1+ k−1 ε − k ∼ ε (3.19) Hơn nữa, x đủ bé ta có (1 + x)ε ∼ + xε Do đó, k đủ lớn ta có 1+ k−1 ε ∼1+ ε k−1 Từ suy (3.19) Điều dẫn tới nk−1 = o (pk ) Như tính chất ii) chứng minh Từ tính chất này, dễ dàng ta suy tính chất iii) Tiếp theo, ta chứng minh ∞ 1/2 (1 − 7ε) 2σ nk log log nk P Snk ,1 = ∞ (3.20) k=1 Với k 1, đặt (i−1)(mk +pk )+mk vi,1 = i(mk +pk ) Yj,1 , vi,2 = j=(i−1)(mk +pk )+1 Yj,1 , i k4, j=(i−1)(mk +pk )+mk +1 k4 Tk,1 = k4 vi,1 , Tk,2 = i=1 Từ tính chất i) ý < σ pk k nk vi,2 i=1 EX12 ta suy với k đủ lớn ε3 σ EX12 Hay pk k EX12 nk ε3 σ 33 Để ý |Yi,1 | 2ank , ∀ k4 i nk i(mk +pk ) EYj,1 k pk EX12 i=1 j=(i−1)(mk +pk )+mk +1 Áp dụng Bổ đề 3.1.5 cho dãy {Yj,1 , (i − 1) (mk + pk ) + mk + i (mk + pk ) , i k } với x = ε 2σ nk log log nk 1/2 j , a = 2ank , α = − ε ta nhận ∞ P k=1 max Ti,2 i k ε ε ε ε 2σ nk log log nk 1/2 ∞ x2 (1 − ε) exp − 2(ax + nk ε3 σ ) k=1 ∞ 1−ε exp − √ log log nk 2/m + ε k=1 ∞ exp − k=1 ∞ C 1−ε log log nk 2ε (vì chọn m đủ lớn) exp (− log log nk ) k=1 ∞ exp − log log 2k C k=1 ∞ C k=1 k 1+ε 1+ε < ∞ (3.21) Từ suy ∞ P |Tk,2 | ε 2σ nk log log nk 1/2 < ∞ k=1 Mặt khác, rõ ràng ta có Snk ,1 = Tk,1 + Tk,2 Tk,1 (1 − 6ε) 2σ nk log log nk 1/2 (1 − 7ε) 2σ nk log log nk ⊂ Snk ,1 ∪ |Tk,2 | ε 2σ nk log log nk 1/2 Do vậy, để chứng minh (3.20), ta chứng minh ∞ P Tk,1 k=1 (1 − 6ε) 2σ nk log log nk 1/2 = ∞ (3.22) 1/2 34 Tương tự chứng minh (3.12), ta có Evi,1 = σ2 i→∞ mk lim Sử dụng Bổ đề Toeplitz tính chất ii) ta thu nk σ k4 Evi,1 → k → ∞ i=1 Do đó, với n đủ lớn ta có k4 (1 − 2ε)nk σ 2 Evi,1 (1 + 2ε)nk σ i=1 Đặt Bk2 k4 = i=1 Evi,1 ,k P Tk,1 Khi 1/2 (1 − 6ε) 2σ nk log log nk P Tk,1 (1 − 6ε)(1 − 2ε)−1/2 (2 log log nk )1/2 Bk P Tk,1 (1 − 5ε)(2 log log nk )1/2 Bk Từ Bổ đề 3.1.6 ta nhận P Tk,1 (1 − 6ε) 2σ nk log log nk 1/2 − Φ + (1 − 5ε)(2 log log nk )1/2 − Jk,1 − Jk,2 , Jk,1 = CBk−2 |E (vi,1 vj,1 )|, k4 i=j k4 E|vi,1 |3 Jk,2 = CBk−3 i=1 Với x > 0, xét hàm số x2 f (x) = x exp − ∞ − (x + 1) t2 exp − dt x Ta có  f (x) = exp − ∞ x −x exp − x t  dt (3.23) 35 Mặt khác ∞ ∞ t exp − x dt x t2 t exp − x x2 = exp − Do f (x) dt Điều kéo theo y = f (x) hàm tăng Hơn nữa, lim f (x) = Từ suy f (x) Hay x→∞ ∞ 1 − Φ(x) = √ 2π t2 exp − dt x x x2 √ exp − 2π x2 + Suy ra, với x > đủ lớn ta có x+1 (x + 1)2 √ exp − 2π x2 + 2x + 2 x C exp − x − Φ(1 + x) Do ∞ − Φ + (1 − 5ε)(2 log log nk )1/2 k=1 ∞ C k=1 ∞ =C k=1 ∞ C k=1 (1 − 5ε)(2 log log nk )1/2 exp ((1 − 5ε)2 (log log nk )) (log log nk )1/2 exp (log log nk ) = ∞ k(log k)1/2 Để ý Yi,1 , i (3.24) k dãy liên kết âm nên theo Bổ đề 2.1.9 ta có (i−1)(mk +pk )+mk Evi,1 EYj,1 C j=(i−1)(mk +pk )+1 Do k4 Bk2 = k (i−1)(mk +pk )+mk Evi,1 i=1 EYj,1 C i=1 j=(i−1)(mk +pk )+1 nk EX12 = Cnk 36 Mặt khác, với k ak 1, l 1, áp dụng Bổ đề 1.2.5 ta có al E(Yk,1 Yl,1 ) = P (Xk x, Xl y) − P (Xk x)P (Xl y) dxdy P (Xk x, Xl y) − P (Xk x)P (Xl y) dxdy −ak −al ∞ ∞ −∞ −∞ = E(Xk Xl ) Để ý {Yk,1 , k 1} dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm kỳ vọng nên E(Yk,1 Yl,1 ) = Cov(Yk,1 Yl,1 ) (3.25) Do |E(Yk,1 Yl,1 )| Vì thế, với j > i |E(Xk Xl )| ta có (i−1)(mk +pk )+mk (j−1)(mk +pk )+mk E(vi,1 vj,1 ) = E(Ys,1 Yt,1 ) s=(i−1)(mk +pk )+1 t=(j−1)(mk +pk )+1 (i−1)(mk +pk )+mk (j−1)(mk +pk )+mk |E(Ys,1 Yt,1 )| = (theo (3.25)) s=(i−1)(mk +pk )+1 t=(j−1)(mk +pk )+1 (i−1)(mk +pk )+mk (j−1)(mk +pk )+mk |E(Xs Xt )| s=(i−1)(mk +pk )+1 t=(j−1)(mk +pk )+1 mk (j−i)(mk +pk )+mk |E(Xs Xt )| = ( tính chất dừng dãyXn ) s=1 t=(j−i)(mk +pk )+1 Từ ta có mk E|vi,1 vj,1 | k (j−1)(mk +pk )+mk Ck |E(Xs Xt ) s=1 j=2 t=(j−1)(mk +pk )+1 mk nk i=j k Ck |E (Xi Xj )| i=1 j=mk +pk Ck mk |E (X1 Xj )| pk j nk 37 Do Jk,1 |E (X1 Xj )| C pk j nk Mặt khác, nk−1 = o (pk ), ∞ ∞ Jk,1 E |(X1 Xj )| < ∞ C (3.26) k=1 nk−1 ank } Xnk | (nk )1/2 } + a3nk P {ank < |Xnk | (nk )1/2 } + a3nk P {|Xnk | > (nk )1/2 } C E |Xnk |3 I{ Xnk | (nk )1/2 } + E |Xnk |3 I{an (nk )1/2 } C E |Xnk |3 I{ C E |X1 |3 I{ Xnk | (nk )1/2 } X1 | (nk )1/2 } + a3nk P {|Xnk | > (nk )1/2 } + a3nk P {|X1 | > (nk )1/2 } Do k4 Jk,2 −3/2 Cnk 3/2 mk + mk E|X1 |3 I{|X1 | i=1 3/2 1/2 nk 1/2 } + nk P |X1 | > nk 38 −3/2 = C k (mk /nk )3/2 + k mk nk −1/2 C k −2 + nk E|X1 |3 I{|X1 | 1/2 1/2 nk } + k P |X1 | > nk 1/2 E|X1 |3 I{|X1 | 1/2 nk } + nk P |X1 | > nk Đặt n0 = ta có ∞ ∞ −1/2 nk E|X1 |3 I{|X1 | n1/2 } k k −1/2 nk = E|X1 |3 I{n1/2 1/2 nk P |X1 | C √ n n=1 ∞ k=1 =C n=1 EX12 P X12 n (theo Bổ đề 1.2.2) 39 < ∞ Từ đánh giá ta nhận ∞ Jk,2 < ∞ (3.27) k=1 Từ (3.23)-(3.27) ta suy (3.22) Như (3.20) chứng minh Từ đây, ta chứng minh (3.6) Thật vậy, với kỹ thuật tương tự chứng minh (3.21), sử dụng Bổ đề 3.1.5 tính chất iii) ta thu ∞ ε 2σ nk log log nk P Snk−1 ,1 1/2 < ∞ k=1 Điều kéo theo Snk−1 ,1 (2σ nk log log nk )1/2 −→ h.c.c k → ∞ (3.28) Mặt khác, ta có Snk ,1 (1 − 7ε) 2σ nk log log nk 1/2 ε 2σ nk log log nk ⊂ Snk−1 ,1 1/2 (1 − 8ε) 2σ nk log log nk ∪ Snk ,1 − Snk−1 ,1 1/2 Kết hợp với (3.20) ta suy ∞ (1 − 8ε) 2σ nk log log nk P Snk ,1 − Snk−1 ,1 1/2 k=1 ∞ (1 − 7ε) 2σ nk log log nk P Snk ,1 1/2 k=1 ∞ − ε 2σ nk log log nk P Snk−1 ,1 1/2 = ∞ (3.29) k=1 Do Snk ,1 − Snk−1 ,1 , k dãy liên kết âm nên với x > 0, y > 0, k = j , ta có P Snk ,1 − Snk−1 ,1 x, Snj ,1 − Snj−1 ,1 P Snk ,1 − Snk−1 ,1 y x P Snj ,1 − Snj−1 ,1 Sử dụng Bổ đề 1.2.8, từ (3.29) ta suy lim sup k→∞ Snk ,1 − Snk−1 ,1 (2σ nk 1/2 log log nk ) − 8ε h.c.c y 40 Từ ta thu lim sup k→∞ Snk (2σ nk log log nk )1/2 − 8ε h.c.c Từ suy (3.6) Định lý chứng minh 41 KẾT LUẬN Kết đạt Đề tài nghiên cứu luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-liên kết âm yếu theo khối Đề tài thiết lập luật mạnh số lớn Kolmogorov cho dãy biến ngẫu nhiên m-liên kết âm yếu theo khối khối {Bk , k 1} Kết đạt Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2 Đề tài thiết lập luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund cho dãy biến ngẫu nhiên m-liên kết âm yếu theo khối khối {Bk , k 1} Kết đạt Định lý 2.3.1 Đề tài thiết lập luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy biến ngẫu nhiên m-liên kết âm yếu theo khối khối {Bk , k 1} Kết đạt Định lý 2.4.1, Định lý 2.4.2 Đề tài nghiên cứu luật logarithm lặp cho dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm Kết đạt Định lý 3.2.1 Hướng phát triển luận văn • Lấy ví dụ minh họa kết thu Chương 2, Chương • Mở rộng luật logarithm lặp cho dãy biến ngẫu nhiên m-liên kết âm, m-liên kết âm theo khối 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội [2] A de Acosta (1993), A new proof of the Hartman-Wintner law of the iterated logarithm, Ann Probab, 11, 270-276 [3] M O Cabrera, A Volodin (2009), On Cantrell-Rosalsky’s strong laws of large numbers, Statistics and Probability Letters, 79, 842-847 [4] K Joag-Dev, F Proschan (1983), Negative association of random variables with applications Ann Statist 11, 286-295 [5] A Gut (2013), Probability: A Graduate Course, Springer Texts in Statistics Vol 75 2nd ed [6] T C Hu, C Y Chiang, R L Taylor (2009), On complete convergence for arrays of rowwise m-negatively associated random variables, Nonlinear Analysis: Theory, Methods, Applications, 71, 1075-1081 [7] S Kochen, C Stone (1964), A note on the Borel-Cantelli lemma, Illinois J Math, 8, 248-251 [8] P Matula (1992), A note on the almost sure convergence of sums of negatively dependent random variables, Statist Probab Lett, 15 , 209-213 [9] V V Petrov (1975), Sums of independent random variables, SpringerVerlag, Berlin Heidelberg, New York [10] N V Quang, L V Thanh (2006), Marcinkiewicz-Zygmund law of large numbers for sequences of blockwise adapted sequences, Bull Korean Math Soc, 43, 213-223 43 [11] Q M Shao, C Su (1999), The law of the iterated logarithm for negatively associated random variables, Stochastic Process Applications, 86, 139-148 [12] Q M Shao (2000), A comparison theorem on maximum inequalities between negatively associated and independent random variables, J theoret Probab, 13, 343-356 [13] G R Shorack (2000), Probability for statisticians, Springer, Bellingham, WA, U.S.A [14] L V Thanh (2005), Strong laws of large numbers for sequences of blockwise and pairwise m-dependent random variables, Bull Inst Math Acad Sinica, 33, 397-405 [15] L V Thanh (2006), On the Brunk-Chung type strong law of large numbers for sequences of blockwise m-dependent random variables, Bull Inst Math Acad Sinica, 10, 258-268 [16] L V Thanh, V N Anh (2011), A strong law limit theorem for sequences of blockwise and pairwise m-dependent random variables, Bull Korean Math Soc, 48, 343-351 [17] J A Yan (2006), A simple proof of two generalized Borel-Cantelli lemmas, In Memoriam Paul-André Meyer: Séminaire de Probabilités XXXIX, Lecture Notes in Mathematics Volume 1874, 77-79 [18] L X Zhang (2001), Strassen’s law of the iterated logarithm for negatively associated random vectors, Stochastic Process Applications, 95, 311-328 [...]... n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng phân phối Nếu E (|X1 |r ) < ∞, 1 r < 2 và {Xi , 1 i thì 1 lim n→∞ n n Xi = EX1 h.c.c i=1 n} là m-liên kết âm 21 2.4 Luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy các biến ngẫu nhiên m-liên kết âm theo khối 2.4.1 Định lý Cho p > 1 và {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên với kỳ vọng 0 Giả sử {bn , n 1} là dãy các số dương không giảm thỏa mãn b2n+1 b2n+1 > 1 và sup < ∞... đó {fn (Xn ), n 1} cũng là dãy các biến ngẫu nhiên m-liên kết âm Sau đây là bất đẳng thức cực đại cho dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm (khi m = 0) 1, {Xi , 1 2.1.9 Bổ đề ([12]) Cho p i n} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm với kỳ vọng 0 và E|Xi |p < ∞ Khi đó, tồn tại các hằng số Ap và Bp chỉ phụ thuộc vào p sao cho p k E max n Xi 1 k n E|Xi |p với 1 < p Ap i=1 2, i=1 và p k E max 1 k n Xi Bp ... nghĩa biến ngẫu nhiên liên kết âm, ta nhận được các tính chất sau 3.1.3 Bổ đề ([11]) Giả sử {Xn , n kết âm Nếu {fn , n 1} là dãy các biến ngẫu nhiên liên 1} là dãy các hàm không tăng thì {fn (Xn ), n 1} cũng là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm 3.1.4 Bổ đề Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên liên kết âm Khi đó, với mọi x, y ta có P (X x, Y y) P (X x)P (Y y) 25 Chứng minh Áp dụng định nghĩa cho hàm... mạnh số lớn Kolmogorov cho dãy các biến ngẫu nhiên m-liên kết âm theo khối 2.2.1 Định lý Cho 1 kỳ vọng 0 và {bn , n p 2 và {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên 1} là dãy số dương không giảm thỏa mãn b2n+1 b2n+1 > 1 và sup < ∞ 0 b2n n 0 b2n inf n (2.2) 14 Nếu {Xn , n ≥ 1} là m-liên kết âm theo khối đối với các khối {Bk , k 1} và ∞ n=1 E|Xn |p p−1 ϕ (n) < ∞, bpn (2.3) thì ta thu được luật mạnh số lớn. .. nghĩa ([10]) Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} được gọi là bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số C < ∞ sao cho P (|Xn | > t) CP (|X| > t) , t 0, n 1 Để thiết lập kết quả chính, chúng ta cần một số tính chất Tính chất sau dễ dàng nhận được từ định nghĩa m-liên kết âm 2.1.8 Bổ đề Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên m-liên kết âm Giả sử {fn , n 1} là dãy các hàm số không giảm... x) và hàm g(t) = y) ta thu được điều phải chứng minh Để nghiên cứu về luật logarithm lặp cho dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm, ta cần sử dụng thêm một số bổ đề Các bổ đề sau dây được trích từ các tài liệu tham khảo 3.1.5 Bổ đề ([12]) Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên liên k Xi , k kết âm kỳ vọng 0 và moment cấp 2 hữu hạn Đặt Tk = Bn2 = n i=1 1 và i=1 EXi2 Khi đó, với mọi x > 0, a > 0 và. .. các biến ngẫu nhiên có cùng phân phối thì chúng bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X1 Do đó ta có hệ quả sau 2.3.2 Hệ quả Cho {Xn , n ≥ 1} là các biến ngẫu nhiên cùng phân phối Nếu E (|X1 |r ) < ∞, 1 r < 2 và {Xn , n ≥ 1} là các biến ngẫu nhiên m-liên kết âm theo khối đối với các khối Bk = [2k−1 , 2k ), k 1 lim n→∞ n 1 thì n Xi = EX1 h.c.c i=1 Đặc biệt hơn nữa, ta có kết quả sau 2.3.3 Hệ quả Cho. .. Từ các khẳng định trên và bất đẳng thức Cr ta thu được p 2 n E|Xi | 2 n p E|Xi | + i=1 i=1 p/2 n 2 |Xi | 2E i=1 n 2n E|Xi |p p/2−1 i=1 Bổ đề được chứng minh Bằng cách sử dụng các kết quả trên và các phương pháp tương tự trong [10], [14], [15], [16], ta nhận được một số kết quả Sau đây, chúng ta sẽ thiết lập luật mạnh số lớn Kolmogorov cho dãy các biến ngẫu nhiên m-liên kết âm theo khối 2.2 Luật mạnh. .. > 2  Chúng ta sẽ mở rộng Bổ đề 2.1.9 sang trường hợp cho dãy các biến ngẫu nhiên m-liên kết âm 2.1.10 Bổ đề Cho 1 p 2 và {Xi , 1 i n} là dãy các biến ngẫu nhiên m-liên kết âm với EXi = 0 và E|Xi |p < ∞ Khi đó, tồn tại hằng số 0 < C < ∞ phụ thuộc vào m, p sao cho p k E max 1 k n Chứng minh Nếu n Xi i=1 n E|Xi |p C i=1 m + 1, Bổ đề 2.1.10 hiển nhiên đúng 12 Nếu n > m + 1, ta có p j E max 1 j n  m+1... (2.9) nhận được từ (2.10), (2.11) và bổ đề Toeplitz 2.3 Luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund cho dãy các biến ngẫu nhiên m-liên kết âm theo khối 2.3.1 Định lý Cho 1 r < 2 và {Xn , n ≥ 1} là dãy m-liên kết âm theo khối đối với các khối {Bk , k 1} Nếu {Xn , n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X sao cho E (|X|r ) < ∞, (2.12) thì 1 lim 1/r 1/2 n→∞ n ψ (n) n (Xi − EXi ) = 0 h.c.c (2.13) i=1 Chứng ... Chương Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên mliên kết âm theo khối Trong phần này, nghiên cứu luật mạnh số lớn Kolmogorov luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy biến ngẫu nhiên m-liên kết âm theo... nghiên cứu luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund cho dãy biến ngẫu nhiên m-liên kết âm theo khối bị chặn ngẫu nhiên Các kết Chương Chương Luật logarithm lặp cho dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm Trong... 41 KẾT LUẬN Kết đạt Đề tài nghiên cứu luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-liên kết âm yếu theo khối Đề tài thiết lập luật mạnh số lớn Kolmogorov cho dãy biến ngẫu nhiên m-liên kết âm yếu