TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN BÙI THỊ NGOAN MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học T.S TRẦN VĂN NGHỊ HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Trần Văn Nghị, người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành tốt khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng năm 2015 Sinh viên Bùi Thị Ngoan LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hoàn thành sau trình tự tìm hiểu, nghiên cứu thân hướng dẫn Th.S Trần Văn Nghị Trong khóa luận em có tham khảo kết nghiên cứu nhà khoa học nước Em xin cam đoan kết khóa luận không chép từ khóa luận Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, ngày 05 tháng năm 2015 Sinh viên Bùi Thị Ngoan i Mục lục MỞ ĐẦU 1 SƠ LƯỢC VỀ TẬP LỒI 1.1 Định nghĩa tính chất 1.2 Bao lồi bao lồi đóng MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT 2.1 Đoạn thẳng 2.2 Đơn hình 2.3 Hộp 2.4 Tập affine bao affine 10 2.4.1 Tập affine 10 2.4.2 Bao affine 12 Nón lồi 15 2.5.1 Nón 15 2.5.2 Nón lồi 15 2.5.3 Định lý Carathéodory 17 2.6 Nón pháp tuyến 18 2.7 Nón lùi xa 18 2.8 Phần tương đối 20 2.9 Tập lồi đa diện 22 2.10 Tập xác định hàm toàn phương lồi 23 2.5 ii 2.10.1 Hàm lồi 23 2.10.2 Tập xác định hàm toàn phương lồi 26 ỨNG DỤNG TÍNH LỒI VÀO BÀI TOÁN CỰC TRỊ 28 3.1 Bài toán lồi với ràng buộc đẳng thức 28 3.2 Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức 30 3.3 Bài toán quy hoạch toàn phương 30 Tài Liệu Tham Khảo 34 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tính lồi số tính chất quan trọng hình hình học Tính lồi xuất nhiều lĩnh vực Hình học lồi, Giải tích lồi, Quy hoạch lồi Với mong muốn tìm hiểu sâu tính lồi tập lồi đặc biệt ứng dụng chúng, em chọn đề tài "Một số tập lồi đặc biệt ứng dụng" để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu • Tìm hiểu sâu kiến thức tập lồi • Làm rõ tính chất tập lồi đặc biệt • Ứng dụng tính lồi vào số toán cực trị Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức tập lồi • Phạm vi nghiên cứu: Một số tập lồi đặc biệt ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu • Trình bày sở lý thuyết tập lồi • Trình bày tính chất số tập lồi đặc biệt • Trình bày số ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Phân tích tổng hợp kiến thức Cấu trúc khóa luận Khóa luận bao gồm ba chương: Chương 1: Sơ lược tập lồi Chương 2: Một số tập lồi đặc biệt Chương 3: Ứng dụng tính lồi vào toán cực trị Chương SƠ LƯỢC VỀ TẬP LỒI 1.1 Định nghĩa tính chất Giả sử X không gian tuyến tính, R tập số thực Định nghĩa 1.1 Tập A ⊂ X gọi lồi, ∀x1 , x2 ∈ A, ∀λ ∈ R : ≤ λ ≤ ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A Chú ý Theo định nghĩa trên, tập ∅ xem tập lồi Giả sử A ⊂ X; x1 , x2 ∈ A Định nghĩa 1.2 Đoạn nối x1 , x2 định nghĩa sau [x1 , x2 ] = {x ∈ A : x = λx1 + (1 − λ)x2 , ≤ λ ≤ 1} Nhận xét 1.1 Tập A lồi, ∀x1 , x2 ∈ A, ta có [x1 , x2 ] ⊂ A Ví dụ 1.1 Các nửa không gian tập lồi Các tam giác hình tròn mặt phẳng tập lồi Hình cầu đơn vị không gian Banach tập lồi Mệnh đề 1.1 Giả sử Aα ⊂ X (α ∈ I) tập lồi, với I tập số Khi đó, tập A = Aα lồi α∈I Chứng minh Lấy x1 , x2 ∈ A Khi đó, x1 , x2 ∈ Aα (∀α ∈ I) Với α ∈ I, Aα lồi, λx1 + (1 − λ)x2 ∈ Aα (∀λ ∈ [0, 1]) Suy λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A Từ Định nghĩa 1.1 ta nhận mệnh đề sau: Mệnh đề 1.2 Giả sử tập Ai ⊂ X lồi, λi ∈ R (i = 1, , m) Khi đó, λ1 A1 + + λm Am tập lồi Mệnh đề 1.3 Giả sử Xi không gian tuyến tính, tập Ai ∈ Xi lồi (i = 1, , m) Khi đó, tích Descartes A1 × × Am tập lồi X1 × × Xm Mệnh đề 1.4 Giả sử X, Y không gian tuyến tính, T : X → Y toán tử tuyến tính Khi đó, a) Nếu A ⊂ X lồi, T (A) lồi; b) Nếu B ⊂ Y lồi, nghịch ảnh T −1 (B) B tập lồi Định nghĩa 1.3 Vectơ x ∈ X gọi tổ hợp lồi vectơ m x1 , , xm ∈ X, ∃λi ≥ (i = 1, , m), m λi = 1, cho x = i=1 λ i xi i=1 Định lý 1.1 Giả sử tập A ⊂ X lồi; x1 , , xm ∈ A Khi đó, A chứa tất tổ hợp lồi x1 , , xm Chứng minh Ta chứng minh quy nạp m=2: với λ1 , λ2 ≥ 0, λ1 + λ2 = 1, x1 , x2 ∈ A, theo Định nghĩa 1.1, λ1 x1 + λ2 x2 ∈ A Giả sử kết luận với m ≤ k, ta chứng minh rằng: k+1 ∀x1 , ,xk+1 ∈ A, ∀λi ≥ 0(i = 1, , k + 1), λi = 1, i=1 x = λ1 x1 + · · · + λk xk + λk+1 xk+1 ∈ A Có thể xem λk+1 < 1, λk+1 = λ1 = = λk = ta có x ∈ A Khi đó, λi ≥0 − λk+1 − λk+1 = λ1 + + λk > 0; (i = 1, , k) k Vì i=1 λi = 1, nên theo giả thiết quy nạp ta có − λk+1 y= λ1 λk x1 + · · · + xk ∈ A − λk+1 − λk+1 Với điểm y ∈ A xk+1 ∈ A, ta có − λk+1 > 0, (1 − λk+1 ) + λk+1 = Do đó, x = (1 − λk+1 )y + λk+1 xk+1 ∈ A 1.2 Bao lồi bao lồi đóng Định nghĩa 1.4 Giả sử A ⊂ X Giao tất tập lồi chứa A gọi bao lồi (convex hull) tập A, ký hiệu coA Nhận xét 1.2 a) coA tập lồi Đó tập lồi nhỏ chứa A; b) Tập A lồi A = coA Định lý 1.2 coA trùng với tập tất tổ hợp lồi A Chứng minh Theo Nhận xét 1.2, coA lồi Bởi A ⊂ coA, coA chứa tất tổ hợp lồi A (Định lý 1.1) Mặt khác, tập tất tổ hợp lồi A lồi, chứa A Do đó, chứa coA Hệ 1.1 Tập A lồi A chứa tất tổ hợp lồi A Bây giả sử X không gian lồi địa phương Định nghĩa 1.5 Giả sử A ⊂ X Giao tất tập lồi đóng chứa A gọi bao lồi đóng tập A, ký hiệu coA Nhận xét 1.3 coA tập lồi đóng Đó tập lồi đóng nhỏ chứa A Suy (1 − λ)d1 + λd2 ∈ 0+ A Do đó, 0+ A lồi Vậy 0+ A nón lồi Ví dụ 2.3 X = R2 } x Khi 0+ C1 = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0} a) C1 = {(x, y) : x > 0, y ≥ b) C2 = {(x, y) : y ≥ x2 } Khi 0+ C2 = {(x, y) : x = 0, y ≥ 0} c) C3 = {(x, y) : x2 + y ≤ 1} Khi 0+ C3 = {(x, y) : x = y = 0} = {(0, 0)} d) C4 = {(x, y) : x > 0, y > 0} ∪ {(0, 0)} Khi dó 0+ C4 = C4 2.8 Phần tương đối Định nghĩa 2.19 Phần tương đối (relative interior) tập A ⊂ Rn phần A af f A, ký hiệu riA Các điểm thuộc riA gọi điểm tương đối tập A Nhận xét 2.9 intA = {x ∈ Rn : ∃ > 0, x + B ⊂ A}; riA = {x ∈ af f A : ∃ > 0, (x + B) ∩ af f A ⊂ A}, B hình cầu đơn vị đóng Rn Định nghĩa 2.20 Tập A \ riA gọi biên tương đối A Tập A gọi mở tương đối (relatively open), riA = A Định lý 2.13 Giả sử A tập lồi Rn ; x ∈ riA, y ∈ A Khi đó, (1 − λ)x + λy ∈ riA (0 ≤ λ < 1) Chứng minh Giả sử A tập lồi m-chiều Rn Theo Hệ 2.2, tồn ánh xạ affine − T : Rn → Rn cho T ánh xạ af f A lên không gian L 20 L = {x = (x1 , , xm , xm+1 , , xn ) : xm+1 = · · · = xn = 0} Không gian L đồng với Rm Vì vậy, để chứng minh định lý ta cần chứng minh cho trường hợp A n-chiều Khi đó, riA = intA Lấy λ ∈ [0, 1), ta tồn > cho (1 − λ)x + λy + B ⊂ A, B hình cầu đơn vị đóng Rn Thật vậy, y ∈ A, với > 0, y ∈ A + B Do x ∈ intA, với > đủ nhỏ, ta có (1 − λ)x + λy + B ⊂ (1 − λ)x + λ(A + B) + B = (1 − λ)[x + (1 + λ)(1 − λ)−1 B] + λA ⊂ (1 − λ)A + λA = A Hệ 2.5 Giả sử A tập lồi Rn Khi đó, riA lồi Định lý 2.14 Giả sử A tập lồi Rn Khi đó, af f (A) = af f A Chứng minh Hiển nhiên af f (A) ⊃ af f A Mặt khác, A ⊂ af f A = af f A Vì vậy, af f (A) = af f A Định lý 2.15 Giả sử A tập lồi, khác rỗng Rn Khi đó, riA = ∅ af f (riA) = af f A Hệ 2.6 Giả sử A tập lồi Rn Khi đó, af f (riA) = af f (A) Hệ 2.7 Giả sử A tập lồi Rn Khi đó, dimA = dim(riA) = dimA Nói riêng, A = ∅ riA = ∅ 21 Định lý 2.16 Giả sử A tập lồi Rn Khi đó, riA = A; riA = riA (2.6) Chứng minh Giả sử dimA = m ≤ n Không tính chất tổng quát ta xem O ∈ A Khi đó, af f A không gian ta đồng af f A với Rm Áp dụng Mệnh đề 1.5 cho không gian Rm ta nhận (2.6) Hệ 2.8 Giả sử A1 , A2 tập lồi Rn Khi đó, A1 = A2 ⇔ riA1 = riA2 2.9 Tập lồi đa diện Một tập lồi đa diện Rn tập biểu diễn giao hữu hạn nửa không gian đóng, nghĩa tập nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình có dạng < , x >≤ bi , i = 1, , m; ∈ Rn ; bi ∈ R Một tập lồi K gọi hữu hạn sinh tồn hệ hữu hạn vectơ {z , , z q } cho q tj z j : tj ≥ với j = 1, , q K= v= j=1 Ví dụ 2.4 a) Tập {(x1 , x2 ) ∈ R2 : 2x1 + x2 − ≤ 0; −x1 + 3x2 − ≤ 0} tập lồi đa diện R2 b) Tập nghiệm hệ phương  trình:   x + x2 − x3 − ≤   2x1 − x2 + x3 − ≤     x1 + 2x1 − x3 + ≤ tập lồi đa diện R3 Định lý 2.17 Tập lồi K đa diện K hữu hạn sinh 22 2.10 Tập xác định hàm toàn phương lồi 2.10.1 Hàm lồi Giả sử X không gian lồi địa phương, D ⊂ X, f : D → R ∪ {±∞} Định nghĩa 2.21 Trên đồ thị (epigraph) hàm f , ký hiệu epif , định nghĩa sau epif = {(x, r) ∈ D × R : f (x) ≤ r} Định nghĩa 2.22 Miền hữu hiệu (effective domain) hàm f , ký hiệu domf, định nghĩa sau domf = {x ∈ D : f (x) < +∞} Định nghĩa 2.23 Hàm f gọi thường (proper), domf = ∅ f (x) > −∞ (∀x ∈ D) Định nghĩa 2.24 Hàm f gọi lồi D (convex on D), epif tập lồi X × R Hàm f gọi lõm D (concave on D), −f hàm lồi D Nhận xét 2.10 Nếu f lồi domf lồi Ví dụ 2.5 Hàm affine f (x) =< x∗ , x > +α, (x∗ ∈ X ∗ , α ∈ R) hàm lồi X, X ∗ không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục X Ví dụ 2.6 Hàm (indicator function) δ(.|A) tập lồi A ⊂ X hàm lồi   δ(.|A) =  +∞ x ∈ A, x ∈ / A Ví dụ 2.7 Giả sử X ∗ không gian liên hợp X Hàm tựa s(.|A) tập lồi A ⊂ X ∗ hàm lồi s(.|A) = sup < x∗ , x > x∗ ∈A Định lý 2.18 Giả sử D tập lồi không gian X, hàm f : D → (−∞, +∞] Khi đó, f lồi D f (λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) 23 (∀λ ∈ [0, 1], ∀x, y ∈ D) Định lý 2.19 Giả sử f hàm lồi X, µ ∈ [−∞, +∞] Khi đó, tập mức {x : f (x) < µ} {x : f (x) ≤ µ} lồi Hệ 2.9 Giả sử fα hàm lồi X, λα ∈ R (∀α ∈ I), I tập số Khi đó, tập A = {x ∈ X : fα (x) ≤ λα , α ∈ I} tập lồi Định nghĩa 2.25 Hàm f xác định X gọi dương (positively homogeneous), ∀x ∈ X, ∀λ ∈ (0, +∞), f (λx) = λf (x) Định nghĩa 2.26 Hàm f gọi đóng, epif đóng X × R Định lý 2.20 Hàm f đóng tất tập mức có dạng {x : f (x) ≤ α} f đóng Tính liên tục hàm lồi Định lý 2.21 Giả sử f hàm lồi thường X Khi đó, khẳng định sau tương đương: (i) f bị chăn lân cận x; (ii) f liên tục x; (iii) int(epif ) = ∅; (iv) int(domf ) = ∅ f liên tục int(domf ) Đồng thời, int(epif ) = {(x, µ) ∈ X × R : x ∈ int(domf ), f (x) < µ} Bây ta lại giả sử X không gian lồi địa phương, f : X → R ∪ {±∞} Định nghĩa 2.27 a) Hàm f gọi nửa liên tục (lower semicontinuous) x ∈ X (với f (x) < ∞), với > 0, tồn lân cận U x cho: f (x) − ≤ f (y) 24 (∀y ∈ U ) (2.7) b) Nếu f (x) = +∞ f gọi nửa liên tục x, với N > 0, tồn lân cận U x cho f (y) ≥ N (∀y ∈ U ) (2.8) c) Hàm f gọi nửa liên tục dưới, f nửa liên tục x ∈ X Chú ý Nếu thay (2.7) (2.8) tương ứng (2.9) (2.10), ta định nghĩa hàm nửa liên tục x f (y) ≤ f (x) + (∀y ∈ U ), (2.9) (khi f (x) < +∞); f (y) ≤ −N (∀y ∈ U ) (2.10) (khi f (x) = −∞) Mệnh đề 2.4 f đóng nửa liên tục Định lý 2.22 Giả sử f hàm lồi thường Rn Khi đó, f liên tục ri(domf ) Đạo hàm theo phương Giả sử f hàm xác định không gian lồi địa phương Hausdorff X, |f (x)| < +∞ Định nghĩa 2.28 Đạo hàm hàm f theo phương d x, ký hiệu f (x; d), định nghĩa giới hạn sau f (x; d) := lim λ↓0 f (x + λd) − f (x) λ giới hạn tồn (có thể hữu hạn ±∞) Dưới vi phân Giả sử f hàm lồi X Định nghĩa 2.29 Phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ gọi gradient (subgradient) hàm f x ∈ X, f (x) − f (x) ≥< x∗ , x − x > 25 (∀x ∈ X) Định nghĩa 2.30 Tập tất gradient f x gọi vi phân (subdifferenttial) f x, ký hiệu ∂f (x), tức ∂f (x) = {x∗ ∈ X ∗ : f (x) − f (x) ≥< x∗ , x − x >, ∀x ∈ X} Định nghĩa 2.31 Hàm f gọi khả vi phân x, ∂f (x) = ∅ 2.10.2 Tập xác định hàm toàn phương lồi Định lý 2.23 Cho hàm toàn phương f (x) = xT Ax + bT x + c với A ∈ Rn×n , b ∈ Rn , c ∈ R Nếu ma trận A nửa xác định dương f hàm lồi Định nghĩa 2.32 Tập hợp M = {x ∈ Rn×n : fi (x) =xT Ai x + bi T x + ci ≤ 0; Ai ∈ Rn×n , bi ∈ Rn , ci ∈ R, i = 1, , m} gọi tập xác định hàm toàn phương Ví dụ 2.8 a) M = {x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x21 + x22 + x23 − ≤ 0} √ M hình cầu tâm O(0, 0, 0), bán kính b) M = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 − ≤ 0} √ √ M tập hợp {(x1 , x2 ) ∈ R2 : − ≤ x1 ≤ 3} 26 Nhận xét 2.11 a) Nếu Ai nửa xác định dương, i = 1, , m M tập xác định hàm toàn phương lồi, M tập lồi b) Nếu Ai = 0, i = 1, , m M trở thành tập lồi đa diện Do đó, tập lồi đa diện trường hợp đặc biệt tập xác định hàm toàn phương lồi 27 Chương ỨNG DỤNG TÍNH LỒI VÀO BÀI TOÁN CỰC TRỊ 3.1 Bài toán lồi với ràng buộc đẳng thức Giả sử X không gian lồi địa phương, hàm f xác định X, tập Q ⊂ X Xét toán (P ) min{f (x) : x ∈ Q} Định nghĩa 3.1 a) Điểm x ∈ Q gọi cực tiểu địa phương toán (P ), tồn lân cận U x cho f (x) ≤ f (x) (∀x ∈ Q ∩ U ) b) Điểm x ∈ Q gọi cực tiểu toàn cục (P ), f (x) ≤ f (x) (∀x ∈ Q) c) Điểm x ∈ Q gọi điểm chấp nhận (P ) Bài toán ràng buộc Giả sử X không gian lồi địa phương, f hàm lồi X Xét toán (P1 ) f (x) → 28 Mệnh đề 3.1 Để x ∈ X nghiệm toán (P1 ), điều kiện cần đủ ∈ ∂f (x) Chứng minh x nghiệm (P1 ) ⇔ f (x) ≤ f (x) (∀x ∈ X) ⇔ =< 0, x − x >≤ f (x) − f (x) (∀x ∈ X) ⇔ ∈ ∂f (x) Bài toán với ràng buộc đẳng thức Giả sử f hàm lồi X, C đa tạp tuyến tính song song với không gian M X Xét toán (P2 ) min{f (x) : x ∈ C} Định lý 3.1 a) Giả sử f liên tục điểm C, x nghiệm toán (P2 ) Khi đó, ∂f (x) ∩ M ⊥ = ∅ (3.1) b) Giả sử (3.1) x ∈ C Khi đó, x nghiệm toán (P2 ) Định lý 3.2 Cho X không gian Banach, x∗i ∈ X ∗ , αi ∈ R , (i = 1, , m) C = {x ∈ X :< x∗i , x >= αi , i = 1, , m} Giả sử f hàm lồi X liên tục điểm M Khi đó, x đạt cực tiểu hàm f C tồn λi ∈ R (i = 1, , m) cho λ1 x∗1 + · · · + λm x∗m ∈ ∂f (x) 29 3.2 Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức Giả sử X không gian lồi địa phương Hausdorff, f0 , , fm hàm hữu hạn X, tập A ⊂ X Xét toán    f0 (x)   (P 3) fi (x) ≤ 0, i = 1, , m     x ∈ A (1) (2) Hàm số sau gọi hàm Lagrange toán (P 3) m L(x; λ0 , , λm ) = λi fi (x) i=1 Định lý 3.3 (Định lý Kuhn - Tucker) Giả sử hàm f0 , , fm tập A lồi, x điểm chấp nhận toán (P 3) (tức thỏa mãn (1),(2)) Khi đó, a) Nếu x nghiệm toán (P 3), tồn λi ≥ 0(i = 0, 1, , m) không đồng thời cho: L(x; λ0 , , λm ) = L(x; λ0 , , λm ); (3.2) λi fi (x) = (i = 1, , m) (3.3) x∈A Hơn nữa, điều kiện Slater sau thỏa mãn ∃x0 ∈ A : fi (x0 ) < (i = 1, , m), λ0 > xem λ0 = b)Nếu (3.2), (3.3) thỏa mãn với λ0 = x nghiệm toán (P 3) Chú ý Điều kiện (3.2) gọi điều kiện Kuhn - Tucker; λ0 , , λm gọi nhân tử Lagrange 3.3 Bài toán quy hoạch toàn phương Xét toán quy hoạch toàn phương có dạng    f (x) = xT Qx + q T x (QP )   x ∈ C = {x ∈ Rn : g(x) = xT Qi x + qi T x + bi ≤ 0, i = 1, , m} 30 Q, Q1 , , Qm ma trận thực đối xứng; xT ma trận chuyển đơn vị x; q, q1 , , qm ∈ Rn ; b1 , , bm ∈ R Sự tồn nghiệm Năm 1956, Frank Wolfe chứng minh tồn nghiệm toán (QP ) cho trường hợp Q1 , , Qm ma trận không Định lý 3.4 (Định lý Frank - Wolfe) Xét toán   f (x) = xT Qx + q T x (QP 1)  x ∈ C = {x ∈ Rn : q T x + b ≤ 0, i = 1, , m} i i Nếu θ = inf {f (x) : x ∈ C1 } số thực hữu hạn toán (QP1 ) có nghiệm Năm 1999, Luo Zhang mở rộng Định lý Frank - Wolfe cho trường hợp Q1 nửa xác định dương (tức xT Q1 x ≥ 0, ∀x ∈ Rn ) Q2 , , Qm ma trận không Định lý 3.5 (Định lý Frank - Wolfe mở rộng) Xét toán   f (x) = xT Qx + q T x    (QP 2) x ∈ C2 = {x ∈ Rn : xT Q1 x + q1 T x + c1 ≤ 0;     qi T x + ci ≤ 0, i = 2, , m} Q1 nửa xác định dương Nếu θ = inf {f (x) : x ∈ C2 } số thực hữu hạn toán (QP 2) có nghiệm Điều kiện cực trị Năm 1971, Majthay đưa điều kiện cần đủ cho nghiệm địa phương toán (QP 1) năm 1980 Contesse hoàn thành chứng minh chi tiết cho định lý 31 Định lý 3.6 (Đinh lý Majthay - Contesse) Điều kiện cần đủ cho x nghiệm địa phương toán (QP 1) tồn λ ∈ Rm cho: i) Hệ  m   λi (Qi x + qi ) = Qx + q +     i=1   qi T x + ci ≤ 0, i = 1, , m    λi ≥ 0, i = 1, , m      λi (qi T x + ci ) = 0, i = 1, , m thỏa mãn ii) Nếu v ∈ Rn \ thỏa mãn qi T v = 0, ∀i ∈ I1 qi T v ≤ 0, ∀i ∈ I2 , với I1 = {i : qi T x − bi = 0; λi > 0}; I2 = {i : qi T x − bi = 0; λi = 0} xT Qv ≥ Mới đây, [1] [6] tác giả mở rộng kết Định lý Majthay - Contess cho toán (QP ) chứng minh chi tiết cho định lý Định lý 3.7 ([1], [6]) Xét toán (QP ) với I(x) = {i : gi (x) = 0} x ∈ C Giả sử với i ∈ I(x), gi hàm tựa lồi tập lồi D ⊃ C Nếu hai điều kiện thỏa mãn: i) (Qx + q)T v ≥ 0, ∀v ∈ T1 (x) = {u ∈ Rn :< Qi x + qi >T u ≤ 0, ∀i ∈ I(x)}; ii) v T Qv ≥ 0, ∀v ∈ T1 (x) ∩ < Qx + q >⊥ x nghiệm địa phương (QP ) 32 KẾT LUẬN Trong khóa luận, em trình bày vấn đề liên quan đến tập lồi, số tập lồi đặc biệt ứng dụng tính lồi vào toán cực trị Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hy vọng điều em trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề khác có liên quan hình học thuận lợi Vì thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận nhiều thiếu sót khó tránh khỏi Mong quý thầy cô bạn góp ý để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 33 Tài liệu tham khảo [1] J.M Borwein, Necessary and sufficienet conditions for quadratic minimality, Nummerical Functionnal Analysis and Optimization , 5(1982), pp 127 - 140 [2] F.H.Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley - Interscience, NewYork, 1983 [3] A.D.Ioffe, V.M.Tikhomirov, Lý thuyết toán cực trị, Nauka, Moskva, 1974 (tiếng Nga) [4] G.M.Lee, N.N.Tam, N.D.Yen, Quadratic Programming and affine variational inequality, Springer - Verlag, New York, 2005 [5] Đỗ Văn Lưu, Lý thuyết điều kiện tối ưu, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 1999 [6] T.V.Nghi, On optimallity condition of the local minimizer in quadratic program, manuscipt [7] R.T.Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970 34 [...]... là tập hợp {(x1 , x2 ) ∈ R2 : − 3 ≤ x1 ≤ 3} 26 Nhận xét 2.11 a) Nếu các Ai nửa xác định dương, i = 1, , m thì M là tập xác định bởi các hàm toàn phương lồi, do đó M là tập lồi b) Nếu các Ai = 0, i = 1, , m thì M trở thành tập lồi đa diện Do đó, tập lồi đa diện là trường hợp đặc biệt của tập xác định bởi các hàm toàn phương lồi 27 Chương 3 ỨNG DỤNG TÍNH LỒI VÀO BÀI TOÁN CỰC TRỊ 3.1 Bài toán lồi. .. x2 − 1 ≤ 0; −x1 + 3x2 − 3 ≤ 0} là một tập lồi đa diện trong R2 b) Tập nghiệm của hệ phương  trình:   x + x2 − x3 − 1 ≤ 0   1 2x1 − x2 + x3 − 5 ≤ 0     x1 + 2x1 − x3 + 7 ≤ 0 là một tập lồi đa diện trong R3 Định lý 2.17 Tập lồi K là đa diện khi và chỉ khi K hữu hạn sinh 22 2.10 Tập xác định bởi các hàm toàn phương lồi 2.10.1 Hàm lồi Giả sử X là không gian lồi địa phương, D ⊂ X, f : D → R ∪... là tập lồi trong Rn Khi đó, riA = A; riA = riA (2.6) Chứng minh Giả sử dimA = m ≤ n Không mất tính chất tổng quát ta có thể xem như O ∈ A Khi đó, af f A là không gian con và ta có thể đồng nhất af f A với Rm Áp dụng Mệnh đề 1.5 cho không gian Rm ta nhận được (2.6) Hệ quả 2.8 Giả sử A1 , A2 là các tập lồi trong Rn Khi đó, A1 = A2 ⇔ riA1 = riA2 2.9 Tập lồi đa diện Một tập lồi đa diện trong Rn là một. .. nhỏ nhất chứa A Chứng minh K là nón lồi có đỉnh tại O, bởi vì K đóng đối với phép cộng và phép nhân vô hướng Ta có K ⊃ A Hơn nữa, mọi nón lồi chứa A thì phải chứa K Định nghĩa 2.14 Giao của tất cả các nón lồi (có đỉnh tại O) chứa tập A và điểm O là một nón lồi và được gọi là nón lồi sinh bởi tập A, ký hiệu là KA Định nghĩa 2.15 Giao của tất cả các không gian con tuyến tính chứa tập A được gọi là bao... A là tập lồi trong Rn Khi đó, riA lồi Định lý 2.14 Giả sử A là tập lồi trong Rn Khi đó, af f (A) = af f A Chứng minh Hiển nhiên af f (A) ⊃ af f A Mặt khác, A ⊂ af f A = af f A Vì vậy, af f (A) = af f A Định lý 2.15 Giả sử A là tập lồi, khác rỗng trong Rn Khi đó, riA = ∅ và af f (riA) = af f A Hệ quả 2.6 Giả sử A là tập lồi trong Rn Khi đó, af f (riA) = af f (A) Hệ quả 2.7 Giả sử A là tập lồi trong... ∀α ∈ I} 15 là một nón lồi bởi vì K = Kα , trong đó α∈I Kα = {x ∈ Rn :< x, bα >≤ 0} là nón lồi Định lý 2.8 Tập K ⊂ X là một nón lồi có đỉnh tại O khi và chỉ khi x + y ∈ K, λx ∈ K, ∀x, y ∈ K, ∀λ > 0 Chứng minh i) Giả sử K là nón lồi Khi đó, do K là tập lồi, ta có 1 z = (x + y) ∈ K 2 Do K là nón có đỉnh tại O, ta lại có x + y = 2z ∈ K ii) Ngược lại, với ∀x ∈ K, ∀λ > 0 ta có λx ∈ K, vậy K là một nón có đỉnh... thẳng M N khi và chỉ khi −−→ −−→ −−→ P0 X = tP0 M + (1 − t)P0 N hay −−→ P0 X = m −−→ tλi + (1 − t)µi P0 Pi i=0 Ta có 0 ≤ t.λi ≤ t (vì t, λi ≥ 0 và t, λi ≤ 1) và 0 ≤ (1 − t)µi ≤ 1 − t (vì 0 ≤ 1 − t, µi ≤ 1) Vậy 0 ≤ tλi + (1 − t)µi ≤ t + 1 − t = 1 Điều đó chứng tỏ X thuộc m-hộp và vì vậy m-hộp là tập lồi 2.4 Tập affine và bao affine 2.4.1 Tập affine Định nghĩa 2.2 Tập A ⊂ Rn được gọi là tập affine, nếu... trên X Ví dụ 2.6 Hàm chỉ (indicator function) δ(.|A) của tập lồi A ⊂ X là hàm lồi   0 δ(.|A) =  +∞ nếu x ∈ A, nếu x ∈ / A Ví dụ 2.7 Giả sử X ∗ là không gian liên hợp của X Hàm tựa s(.|A) của tập lồi A ⊂ X ∗ là hàm lồi s(.|A) = sup < x∗ , x > x∗ ∈A Định lý 2.18 Giả sử D là tập lồi trong không gian X, hàm f : D → (−∞, +∞] Khi đó, f lồi trên D khi và chỉ khi f (λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) 23... + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) 23 (∀λ ∈ [0, 1], ∀x, y ∈ D) Định lý 2.19 Giả sử f là hàm lồi trên X, µ ∈ [−∞, +∞] Khi đó, các tập mức {x : f (x) < µ} và {x : f (x) ≤ µ} lồi Hệ quả 2.9 Giả sử fα là hàm lồi trên X, λα ∈ R (∀α ∈ I), I là tập chỉ số bất kỳ Khi đó, tập A = {x ∈ X : fα (x) ≤ λα , α ∈ I} là tập lồi Định nghĩa 2.25 Hàm f xác định trên X được gọi là thuần nhất dương (positively homogeneous),... MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT 2.1 Đoạn thẳng Định nghĩa 2.1 Cho hai điểm P và Q của không gian affine thực A Điểm M thuộc đường thẳng d đi qua P và Q khi và chỉ khi với điểm O tùy ý thì −−→ −→ −→ OM = λOP + µOQ với λ + µ = 1 hay là −−→ −→ −→ OM = λOP + (1 − λ)OQ, λ ∈ R −−→ −→ −→ Tập hợp những điểm M sao cho OM = λOP + (1 − λ)OQ, với 0 ≤ λ ≤ 1 được gọi là đoạn thẳng P Q Khi P ≡ Q, đoạn thẳng P Q gồm chỉ một ... Kiến thức tập lồi • Phạm vi nghiên cứu: Một số tập lồi đặc biệt ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu • Trình bày sở lý thuyết tập lồi • Trình bày tính chất số tập lồi đặc biệt • Trình bày số ứng dụng Phương... tài "Một số tập lồi đặc biệt ứng dụng" để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu • Tìm hiểu sâu kiến thức tập lồi • Làm rõ tính chất tập lồi đặc biệt • Ứng dụng tính lồi vào số toán... Sơ lược tập lồi Chương 2: Một số tập lồi đặc biệt Chương 3: Ứng dụng tính lồi vào toán cực trị Chương SƠ LƯỢC VỀ TẬP LỒI 1.1 Định nghĩa tính chất Giả sử X không gian tuyến tính, R tập số thực