Các định lý quan trọng của lý thuyết tích phân 5
Định lý 1.1 (Định lý hội tụ đơn điệu):
Cho dãy ( f n )là dãy tăng các hàm khả tích (Lesbesgue) trên tập IR N sao cho sup n f n Khi đó: f n hội tụ h.h trên về một hàm khả tích trên và f 1 f n =
f x dx x f n khi n Định lý 1.2 (Định lý hội tụ bị chặn):
Cho dãy ( f n )là dãy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên Giả sử:
(b) Tồn tại hàm f khả tích sao cho với mỗi n , f ( x ) g ( x ) h.h trên Khi đó f khả tích và f 1 f n =
f x dx x f n khi n Định lý 1.3 (Fubini): Cho f khả tích trên 1 x 2 Khi đó với hầu hết x
F khả tích trên 2 và x 2 F(x,y)dy khả tích trên 1
Kết luận tương tự khi đổi vai trò x cho y , 1 cho 2
1 dx 2 F(x,y)dy = 2 dy 1 F(x,y)dx = 1 2 f(x,y)dxdy Định lý 1.4 (Tonelli):
Giả sử: F ( x , y ) dy và 1 dx 2 F ( x , y ) dy < khi đó F khả tích trên 1 x 2
1.2.1 Định nghĩa: Cho p R Với 1 p ta định nghĩa:
L p = f : IR (hoặc C ); f đo được và f p khả tích
L p = f : R (hoặc C ); f đo được và f , f ( x ) C h.h và ký hiệu f p p p dx x f
1.2.2 Định lý Định lý 1.5: (Bất đẳng thức Holder):
Cho f L p và g L p ' với 1 p Khi đó: f g L 1 và
(a) L p là không gian Banach với 1 p
(b) Giả sử f n là dãy hội tụ về f trong không gian L p (1 p ), nghĩa là:
p n f f Thế thì có dãy con f n k k 1 , 2 sao cho
h.h với h là một hàm trong L p
Tích chập 6
Tích chập của hai hàm số f và g xác định trên R^N, được ký hiệu là f * g, được định nghĩa bởi công thức (f * g)(x) = ∫ R^N f(x - y) g(y) dy, với điều kiện rằng tích phân này tồn tại.
1.3.2.Định lý: Định lý 1.7: Giả sử f L p ( R N )với 1 p khi đó với mỗi x R N hàm số
( x y g y f y khả tích trên R N và f g L p ( R N ) Hơn nữa: f * g p f 1 g p
Với p thì kết quả rõ ràng
Trước hết ta xet trường hợp p=1 và đặt
Với mọi y ta có: F ( x , y ) dx f ( y ) f ( x y ) dx g ( y ) f 1 và dy F ( x , y ) dx f 1 g 1 áp dung dịnh lý Tonelli ta thấy F L 1 ( R N R N )) Theo định lý Fubini được:
ta đã chứng minh trong trường hợp p 1
Giả sử 1 p Theo kết quả trên ta biết rằng với mỗi x cố định hàm y p g y x f y ( ) ( ) là hàm khả tích nghĩa là:
1 y g y x f y p là hàm thuộc L p ( R N )Mặt khác :
( x y 1 / ' L ' R f y p p ( p 'là số liên hợp của p ) dựa vào bất đẳng thức Holder ta suy ra hàm:
( x y g y f x y p g y f x y p f y là khả tích và: f ( x y ) g ( y ) dy f ( x y ) g ( y ) p dy 1 / p ( f 1 ) 1 / p '
Nghĩa là f * g ( x ) p f * g p ( x ) f 1 p / p ' áp dụng kết quả trong trường hợp p 1 ta có:
Một số định lý về không gian Banach và không gian Hilbert 8
Định lý 1.8(ánh xạ mở):
Cho A là một ánh xạ từ không gian X đến không gian Y, giả sử A là tuyến tính và bị chặn Khi đó, A(U) là một tập mở trong Y, với U là một tập mở bất kỳ trong X Định lý 1.9 (Lax-Milgram) khẳng định rằng điều này đúng trong bối cảnh các không gian tuyến tính.
Cho H là không gian Hilbert và a: H H
(hoặc C ) là dạng song tuyến tính liên tục trên H Nghĩa là khi giữ cố định một biến thì a tuyến tính theo biến còn lại và: a ( u , v ) M u v , u , v H
Giả sử a cưỡng bức trên H , nghĩa là có số 0 sao cho :
Khi đó với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục l : H tồn tại duy nhất một
H u l phụ thuộc liên tục vào l , thoả mãn: a ( u l , v ) l , v , v H
Phép biến đổi Fourier 2.1 Chuỗi Fourier 9
Tích phân Fourier 10
Xét hàm f L 1 ( R ) ta đặt: a f t tdt
Ta cho f liên kết với tích phân sau, gọi là tích phân Fourier: f ( x ) ~ 0 ( a cos x b sin x ) d (2.5)
Ta thấy các công thức (3.1),(3.2), (3.3) tương tự như chuỗi Fourier của một hàm thuộc L 1 , Định lý 2.3 (Định lý về sự hội tụ của tích phân Fourier ):
Cho f L 1 ( L ) thoả mãn điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng mở hữu hạn Giả sử f ( x ) và f ( x ) tồn tại thì ta có:
Chứng minh: Tham khảo chứng minh trong [1]
Biến đổi Fourier 10
2.3.1 Định nghĩa: Xét hàm f L 1 ( R ) Vì f ( t ) cos ( t x ) dt là hàm chẵn theo nên ta có:
nếu f thoả mãn giả thiết của định lý 2.3 và giả thiết liên tục tại x
Tương tự hàm f ( t ) sin ( t x ) dt là lẻ theo nên
1 Định nghĩa: Cho f L 1 ( R ) là hàm xác định bởi:
được gọi là biến đổi Fourier của f Định lý 2.4: Giả sử f L 1 ( R ) thì f ˆ C 0 với C 0 là không gian các hàm số liên tục, tiến dần về 0 tại vô cực Hơn nữa: f f 1
Ta có bất đẳng thức trên được suy trực tiếp từ định nghĩa f ˆ khi t n t thì dx e e x f t f t f n it n x itx
Hàm dưới dấu tích phân ở trên bị chặn bởi 2 f ( x ) và hội tụ từng điểm tới không khi n Vì vậy f ˆ ( t n ) f ˆ ( t ) Do định lý hội tụ bị chặn Hay f ˆ liên tục
Với một hàm số x h (x ) ta ký hiệu h là hàm số x h ( x ), vì
Suy ra f ˆ tiến đến 0 khi
Bổ đề 2.1: Cho hàm số f xác định trên R với mỗi y R , đặt f y là tịnh tiến của f xác định bởi: f y ( x ) f ( x y ), x R
Nếu f L p ( R ), 1 p thì ánh xạ y f y từ R vào L p (R )là liên tục đều
Cho trước 0có C 0 ( R )trù mật trong L 1 ( R )nên ta tìm được hàm g lien tục trên R và triệt tiêu bên ngoài một đoạn bị chặn A, A sao cho f g p
Tính liên tục đều của g cho ta 1 số 0 , A thỏa mãn g ( s ) g ( t ) 3 A 1 , s , t R , s t
Vì vậy suy ra g s g t p Bằng cách đổi biến ta có: h p h p với h L p (R )Vậy:
Bổ đề này áp dụng để chứng minh định lý 2.4 Định lý 2.5: Giả sử f L 1 ( R ) và f ˆ L 1 ( R ).Đặt
(tích phân này được hiểu theo nghĩa Lesbesgue).khi đó:
(a) g C 0 với C 0 là không gian các hàm liên tục trên R và tiến dần về vô cực
(a): Được chứng minh đơn giản bằng cách suy ra từ bổ đề 2.1
(b): Chứng minh khá phức tạp, cần nhiều kiến thức nên ta có thể tham khảo trong [2]
Công thức trong định lý 2.5 dẫn đến khái niệm về biến đổi Fourier ngược:
2.3.2 Biến đổi Fuorier ngược: Định nghĩa: Hàm x F e i x dx
1 được gọi là biến đổi Fourier ngược của F Tích phân (Theo nghĩa Lesbesgue) là xác định nếu F L 1 ( R )
Xét biến đổi Fourier có dạng khác:
Xét hàm f L 1 ( R ) với f chẵn, thỏa mãn giả thiết của định lý 2.2 và f liên tục tại x Khi đó ta có:
Công thức trên dẫn đến khái niệm về phép biến đổi Fourier - Cosin của hàm thuộc L 1 ( R ) Cho f L 1 ( R ) ta định nghĩa phép biến đổi Fourier – Cosin của f là hàm: 2 0 ( ) cos
Vậy nếu f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu hạn a, b R và f liên tục tại x thì theo định lý 2.2 ta có:
Tương tự ta có định nghĩa biến đổi Fourier – sin của hàm f L 1 ( R ) là hàm
F xd Khi đó nếu f thỏa mãn giả thiết như đã nói ở trên thì:
Khi đó thì biến đổi Fourier – Cosin của f là:
Do f thỏa mãn giả thiết định lý 3.1 nên ta có 0 2 sin
2.3.3 Các tính chất của biến đổi Fourier:
Tính chất 1: Với x 0đặt f r ( x ) f ( rx ) Ta có
Tính chất 2: Với y R Đặt: f y ( x ) f ( x y ).Ta có:
Tính chất 3: Cho f L 1 ( R ) thỏa mãn sup f a , a Ta có f ˆ
Là hàm giải tích trên C
Tính chất 4: Cho dãy ( f n ) n 1 , 2 hội tụ trong L 1 ( R ).Khi đó dãy ( f ˆ n ) n 1 , 2 , hội tụ đều trên R
Tính chất 5: Cho f L 1 ( R ) Ta có f ˆ liên tục, bị chặn và f ˆ ( ) 0 khi
Chứng minh: Ta có f ˆbị chặn do f ˆ ( ) f ( x ) dx
Trường hợp f là hàm đặc trưng của a, b thì:
) ˆ ( và là hàm liên tục về tiến 0 khi
Nếu f là hàm bậc thang, thì nó có thể được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng Nhờ vào tính chất tuyến tính của phép biến đổi Fourier, hàm f ˆ cũng sẽ liên tục và tiến về 0 khi λ tiến đến vô cực.
Nếu hàm f thuộc L1(R), thì tập hợp các hàm bậc thang trù mật trong L1(R) cho phép chúng ta xây dựng một dãy các hàm bậc thang (fn) hội tụ trong L1(R) về f Áp dụng tính chất 4, dãy (f̂n) cũng hội tụ đều về f̂ trên R Do đó, f̂ là liên tục và tiến về 0 khi λ tiến đến vô cực.
Tính chất 6: Cho f L 1 ( R ) thỏa mãn tính chất f ' L 1 ( R )và f liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn Khi đó
Chứng minh: Vì f liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn nên:
f x f t dt x f ( ) ( 0 ) 0 ' ( ) Hơn nữa: f ' L 1 ( R ) nên vế phải của đẳng thức trên có giới hạn khi x .Ngoài ra giới hạn đó phải bằng 0 vì f L 1 ( R ) Vậy:
Tính chất 7: Nếu f có đạo hàm bậc càng cao trong L 1 ( R ) thì f hội tụ về 0 càng nhanh khi , nghĩa là: n f n f
Điều này có được nhờ tính chất 6
Tính chất 8: Cho f L 1 ( R ).Nếu f’’ tồn tại và f '' L 1 ( R ) thì f ˆ L 1 ( R )
Chứng ninh: f ˆ bị chặn do tính chất 5 và giản về 0 nhanh hơn 1 2
Do tính chất 7 từ đó f ˆ L 1 ( R )
Tính chất 9: Cho f L 1 ( R ) và thỏa mãn I f L 1 ( R ) với I là ánh xạ đồng nhất x x do đó người ta thường viết x.f(x) thay cho I f Khi đó f ˆ khả vi và
iIf d f d cũng có thể viết ( ixf )ˆ ( )
Điều này cho thấy nếu f giảm càng nhanh thì f ˆ càng trơn
Tính chất 10: Với f , g L 1 ( R ) và ( f g )( x ) f ( x t ) g ( x ) dx L 1 ( R ) Khi đó ta có : (f g)ˆ2fˆgˆ
Chứng minh: áp dụng định lý Fubini ta có: dx e dt t x g t f dx e x g f i x i x
f ( t ) g ( u ) e i u du e i t dt ( Sử dụng phép đổi biến: dx du t u x t x u , )
Tính chất 11: Gọi S là tập hợp các hàm khả vi vô hạn và giảm nhanh Nghĩa là : f C và: p , q N , M 0 , x , x p f ( q ) ( x ) M
Chứng minh: Cho p , q N bất kì ta có x p 2 f ( q ) ( x ) M
Bất đẳng thức trên cho thấy x p f ( q ) L 1 ( R ).Theo tính chất 9 thì
Tính chất 11 cho thấy phéo biến đổi Fourier là ánh xạ từ S vào S Người ta cũng chứng minh được đây là 1 song ánh
Ta xét hàm f L 1 ( R ) là hàm chẵn f ( x ) e x , 0 thì
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá khả năng mở rộng định nghĩa biến đổi Fourier cho hàm f thuộc Lp(R) với 1 < p ≤ 2, đặc biệt khi p=2, biến đổi Fourier bảo toàn cấu trúc không gian L2(R) Định lý 2.6 (Plancherel – 1910) khẳng định rằng đối với mọi hàm f thuộc L2(R), với N > 0, chúng ta có những kết quả quan trọng liên quan đến biến đổi Fourier.
(a) F N f hội tụ trong L 2 ( R ) đến một hàm F f khi N hơn nữa
) ( thì N hội tụ trong L 2 ( R ) đến f khi
(d) Toán tử F là một đẳng cấu từ L 2 ( R ) vào L 2 ( R )
Chứng minh : Với mọi f 1 , f 2 S Theo tính chất 11 ta có : ˆ , ˆ 1 ( )
Từ định lý 2.4 và định lý Fubini ta suy ra được :
( Trong đó f ( x ) là liên hợp của f (x ))
Trong không gian L2(R), với f thuộc L2(R) và triệt tiêu bên ngoài đoạn [-a, a], ta có f cũng thuộc L1(R) Các hàm Cc∞(-a, a) trù mật trong L2(-a, a), dẫn đến sự tồn tại của một dãy hàm (fn) trong Cc∞(-a, a) hội tụ về f.
L 2 , dẫn đến hội tụ trong L 1 ( a , a ) với bất đẳng thức Holder
Xét hàm f_n, ta có thể mở rộng miền xác định của nó lên toàn bộ R, với điều kiện f_n triệt tiêu bên ngoài khoảng (-a, a) Khi đó, f_n hội tụ về f trong không gian L^2(R) và L^1(R) Dựa vào tính chất thứ 4 của biến đổi Fourier, ta suy ra rằng f_n hội tụ đều về f̂ trên R.
2 2 ˆ ˆ n f m f n f m f do đó f ˆ n là dãy Cauchy trong L 2 ( R ) hội tụ trong L 2 ( R ) về một hàm g
Kết hợp ( ) và sử dụng định lý Fischer – Riesz ta có:
( ) Đúng cho hàm f bất kỳ trong L 2 ( R ) và triệt tiêu bên ngoài một đoạn bị chặn
Tiếp theo ta xét f L 2 ( R ) tuỳ ý Đặt:
là dãy cơ bản trong L 2 ( R ) nên hội tụ về một hàm F [ f ] trong L 2 ( R )
Xét trường hợp f L 2 ( R ) L 1 ( R ) Do f N hội tụ về f trong L 1 ( R )( Chính là
F N ) hội tụ đều về f ˆ bởi tính chất 4 của biến đổi Fourier)
Mặt khác F N f cũng hội tụ trong L 2 ( R ) về F f Vậy f ˆ F ( f ) h.h trên R Nghĩa là (b) được chứng minh
Chứng minh (c) hoàn toàn tương tự
Phần chứng minh tính chất toàn ánh của F tham khảo [2] Định lý 2.7: ( Housdorff – Young): Cho f L 2 ( R ) L 1 ( R ) Giả sử 1 p 2 và q là số thoả mãn 1 1 1
p q (q là số đối ngẫu của p) thì:
Với hàm f L p ( R ), 1 p 2 ta định nghĩa f ˆnhư là giới hạn trong L q (R ) của dãy hàm
ứng dụng của phép biến đổi Fourier
Giải phương trình trình truyền sóng 23
4.1.1.Hàm gốc: Định nghĩa: Cho hàm số f thoả mãn các tính chất sau:
(ii) f tăng không nhanh hơn một hàm mũ khi t , nghĩa là:
Chỉ số tăng của hàm f được xác định là số α₀ = inf α, với tất cả các α thỏa mãn điều kiện (ii) Cần lưu ý rằng điều kiện (ii) có thể không được thỏa mãn với α₀ Các tính chất (i) và (ii) được gọi là hàm gốc.
4.1.2 Định nghĩa biến đổi Laplace:
Cho hàm f là hàm gốc với chỉ số tăng 0 Hàm phức biến phức F xác định bởi:
Xác định trên miền Re p 0 , được gọi là biến đổi Laplace của f , và ký hiệu là F L ( f )
4.1.3 Ví dụ về phép biến đổi Laplace:
Ví dụ 4.1 : Xét hàm số đơn vị Heaviside:
Thì biến đổi Laplace của 0 là:
Ví dụ 4.2: Tìm biến đổi Laplace của hàm: f ( t ) e t
Phép biến đổi Laplace
Biến đổi Laplace 25
4.1.1.Hàm gốc: Định nghĩa: Cho hàm số f thoả mãn các tính chất sau:
(ii) f tăng không nhanh hơn một hàm mũ khi t , nghĩa là:
Số α₀ = inf α, với mọi α thỏa mãn điều kiện (ii), được gọi là chỉ số tăng của hàm f Cần lưu ý rằng điều kiện (ii) có thể không được thỏa mãn với α₀ Các tính chất (i) và (ii) được gọi là hàm gốc.
4.1.2 Định nghĩa biến đổi Laplace:
Cho hàm f là hàm gốc với chỉ số tăng 0 Hàm phức biến phức F xác định bởi:
Xác định trên miền Re p 0 , được gọi là biến đổi Laplace của f , và ký hiệu là F L ( f )
4.1.3 Ví dụ về phép biến đổi Laplace:
Ví dụ 4.1 : Xét hàm số đơn vị Heaviside:
Thì biến đổi Laplace của 0 là:
Ví dụ 4.2: Tìm biến đổi Laplace của hàm: f ( t ) e t
Giải: Ta có biến đổi Laplace của f (t ) là:
Ví dụ 4.3: Biến đổi Laplace của hàm f ( t ) t n là:
1 t e dt p dt n e t t n e p t pt n pt n pt n
Ví dụ 4.4 :Tìm biến đổi Laplace của hàm f ( t ) t , 1 , Q
du p u p e u Định lý 4.1: Cho f là hàm gốc có chỉ số tăng là 0 Khi đó biến đổi Laplace
F của f là hàm giả tích trong miền Re p 0
Chứng minh: Đặt F n là hàm định bởi:
Với Re p 0 , thì dãy ( F n ) n 1 , 2 , hội tụ đều về F trên miền Re p 0 2 , với
bất kỳ Thật vậy, với mọi p thuộc miền Re p 0 2 , ta có:
và bất đẳng thức không phụ thuộc vào p trong miền Re p 0 2 , suy ra sự hội tụ đều trên miền đó
Với mỗi n thuộc N, F_n được xác định trên miền Re p > α Cụ thể, khi p được cố định sao cho Re p > α, và áp dụng định nghĩa hội tụ bị chặn của Lebesgue, ta có thể khẳng định rằng F_h p p F.
n ht n pt h pt dt tf t e dt ht e e t tf
Theo định lý của Weierstrass, ch.1, hàm F cũng giải tích trên miền Re p 0
4.1.4 Tính chất của biến đổi Laplace:
Tính chất 1: (tính chất tuyến tính): Định lý 4.2: Cho các hàm gốc f k có các chỉ số tăng là k , biến đổi Laplace là n k
F k , 1 , 2 , , Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ hợp tuyến tính f của các hàm f k
( , c k là hằng số, là hàm F xác định bởi:
( với miền xác định Re p max k
Chứng minh: Suy ra từ định nghĩa và tính chất tuyến tính của tích phân
Ví dụ 4.5: Ta đã biết 1 , Re( p ) 0 e p
Từ tính chất 1 và đIều đã biết ở trên ta đI tìm biến đổi Laplace của các hàm thông dụng sau:
(b) Tương tự thì ta có:
Ví dụ 4.6: Cho f ( t ) 3 h ( t ) 2 cos 3 t Tìm L f
Ví dụ 4.7: Tìm hàm gốc của ảnh:
Giải: Ta viết biểu thức F ( p ) dưới dạng:
Tính chất 2 (Tính chất đồng dạng): Định lý 4.3(Định lý đồng dạng): Cho hàm gốc f có chỉ số tăng là
Ví dụ 4.8: Tìm biến đổi Laplace của hàm f ( t ) cos t
Tương tự ta có ngay với f ( t ) sin t thì 2 2 2
Tính chất 3: Định lý 4.4: Cho L f ( t ) F ( p ), Re p 0 Đặt:
Tính chất 4(Tịnh tiến ảnh): Định lý 4.5 (Định lý hỗn hợp): Cho L f F , f có chỉ số tăng là 0 , là hằng số Khi đó:
Ví dụ 4.9: Tìm ảnh của các hàm sau: a) e t cos t , b) e t sin t , c) e t
L nên theo tính chất 4 ta suy ra 2 2
L nên theo tính chất 4 ta suy ra 2 2
Ví dụ 4.10: Tìm hàm gốc của ảnh
Giải: Ta viết lại biểu thức trên như sau:
Tính chất 5 (Đạo hàm của hàm gốc): Định lý 4.6: Cho L f F Giả sử f ( k ) tồn tại và là hàm gốc, f ( k 1 ) ( 0 ) tồn tại, n k 1 ,
Sử dụng công thức tích phân từng phần, chúng ta có thể chứng minh rằng công thức này đúng với n = 1 Giả sử rằng công thức trên đúng với n.
Theo nguyên lý quy nạp ta có đIều phảI chứng minh
Ví dụ 4.11:Tìm nghiệm của phương trình vi phân sau:
Giải: Đặt: Y L y lấy biến đổi Laplace hai vế của phương trình (1) ta có:
Bằng phương pháp đồng nhất thức ta tìm được:
Tính chất 6( Đạo hàm của ảnh): Định lý 4.7: Cho L f F , f có chỉ số tăng là 0 thì ta có:
0 ( t ) n f ( t ) e pt dt tồn tại với mọi n 1 , 2 ,
Ngoài ra ta có : 0 e f ( t ) dt 0 ( t ) e f ( t ) dt dp d pt n pt n n
Trường hợp đặc biệt: F ' ( p ) L tf ( t )
Định lý 4.8 khẳng định rằng nếu \( f \) là một hàm liên tục trên đoạn \( [a, b] \) và \( F \) là hàm gốc của \( f \), thì ánh xạ \( t \mapsto \int_0^t f(\tau) d\tau \) cũng là một hàm gốc Điều này có nghĩa là nếu \( f \) liên tục, thì ánh xạ này chính là nguyên hàm của \( f \).
Chứng minh: Đặt g ( t ) 0 t f ( ) d thì g liên tục suy ra đo được Gọi 0 là chỉ số tăng của f thì 0 1 ta có t t t e t M
Vậy g là hàm gốc Đặt G L g thì F L f L g ' pG ( p ) p p p F
Tính chất 8( Tích phân của hàm ảnh): Định lý 4.9: Giả sử L f F và t t t f ( )
là hàm gốc Khi đó :
Vậy G là một nguyên hàm của F Ngoài ra g là hàm gốc với chỉ số tăng nên: 0
Ví dụ 4.13: a) Tìm biểu diễn của hàm t t t f sin
Giải: Ta có p arctgp p arctgq q q dq t
b) Tính tích phân 0 sin dt t
2 1 sin arctgp p arctgq q q dt dq t
Định lý 4.10 khẳng định rằng nếu L[f] = F và L[g] = G, với f và g là các hàm gốc có chỉ số tăng lần lượt là α₀ và β₀, liên tục từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của R⁺, thì tích chập g * f cũng là một hàm gốc có chỉ số tăng γ₀ ≤ max{α₀, β₀} Hơn nữa, ta có L[f * g] = F.G.
Bất đẳng thức sau cùng có được bằng cách tính trực tiếp tích phân
Vậy f g là hàm gốc có chỉ số tăng 0 max 0 , 0
Biến đổi Laplace ngược 34
Định lý 4.11: Cho hàm gốc f trơn từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của nửa trục t 0chỉ số tăng là 0 Khi đó ta có:
Tích phân trong (4.1) được hiểu theo nghĩa giá trị chính và công thức này gọi là công thức Mellin
Chứng minh: Với x 0 đặt g ( t ) e xt f ( t ) Ta có g cũng trơn từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của nửa trục t 0 Ngoài ra ta có:
Chọn 0 sao cho x 0 0 thì khi đó g khả tích áp dụng công thức tích phân Fourier và lưu ý g (u )triệt tiêu khi u 0 ta có:
( ( ) Đổi biến p x i ta được điều phải chứng minh
Chú thích: Do vế trái của công thức Mellin không phụ thuộc vào x (với x > α₀), tích phân ở vế phải có thể được thực hiện dọc theo một đường thẳng x = a tùy ý, miễn là a > α₀ Áp dụng định lý trên, ta có tính chất của phép biến đổi Laplace: Định lý 4.12 cho biết rằng nếu f và g là các hàm gốc trơn từng khúc trên nửa trục t ≥ 0 với chỉ số tăng lần lượt là α₀ và β₀, thì khi L[f] = F và L[g] = G, thì tích f · g cũng là hàm gốc với chỉ số tăng là α₀ + β₀.
Chứng minh: Theo giả thiết f , g là hàm gốc nên ta có: f ( t ) M 1 e t t 0 g ( t ) M 2 e t t 0 f ( t ) g ( t ) M 1 M 2 e ( ) t t 0 Đặt M M 1 M 2 có 0 inf , 0 inf nên 0 0 inf( ) g f
là hàm gốc có chỉ số tăng 0 0 áp dụng công thức Mellin ta có:
Định lý 4.12: Cho hàm f thoả mãn các điều kiện sau :
(i) F giải tích trong miền Re p 0
(ii) Khi p trong miền Re p 0 thì hàm F tiến về 0 đều theo
(iii) Với mọi x 0 x i i x F ( x iy ) dy M trong đó M là hằng số Khi đó hàm F xác định trên Re p 0 là biến đổi Laplace của hàm xác định bởi
Định lý 4.13 khẳng định rằng nếu thác triển giải tích của hàm F trên nửa mặt phẳng trái là một hàm giải tích đơn trị, thì L[f] = F và p = ∞ là điểm chính quy.
F nghĩa là F có khai triển tại vô cực như sau:
L do đó định lý cũng có nghĩa là:
Chứng minh: Ta đi khảo sát sự hội tụ của chuỗi (4.2) Giả sử chuỗi (4.1) hội tụ bên ngoài đường tròn bán kính R 0 Khi đó:
Từ đó ta có đánh giá hệ số c n 1 của (4.1) n
Vậy chuỗi (4.3) hội tụ tuyệt đối và đều trên N, N với N 0 tuỳ ý Hơn nữa tổng của chuỗi này là hàm gốc
Do tính hội tụ đều ta có:
N n n n n pt e t dt e t dt n dt c t n e dt c n c t e
Ta đi khảo sát chuỗi :
1 n ! N n n pt dt t n e c với Re p R 1 R 0 ta có
Suy ra với Re p R 1 R 0 chuỗi
1 n ! N n pt n e t dt n c hội tụ đều theo N
Mặt khác từng số hạng của chuỗi này tiến về 0 khi N nên từ (4.4) ta suy ra
( ! n n n n n n pt p dt c n c t e suy ra điều phải chứng minh
Tính không chỉnh của biến đổi Laplace 37
Bài toán tìm hàm gốc của F có thể xem như bài toán giải phương trình tích phân cấp 1 sau 0 e pt f ( t ) dt F ( p ) (4.5)
Xét phương trình toán tử Af = g, trong đó A là toán tử từ L²(R⁺) được định nghĩa bởi Af = pα ∫₀ⁿ e^(-pt) f(t) dt Bài toán tìm f thỏa mãn phương trình này được gọi là bài toán không chỉnh, vì nó có thể không có nghiệm hoặc có nghiệm không phụ thuộc liên tục vào g Điều này có nghĩa là sự nhiễu rất nhỏ của g có thể dẫn đến sự nhiễu lớn trong nghiệm f.
Người ta chứng minh được A là toán tử tự liên hợp nghĩa là: A A
Xét phương trình nhiễu sau: f A Af A g (4.7)
Và phương trình Af g viết lại dưới dạng:
Người ta chứng minh phương trình (4.7) tương đương với phương trình biến phân sau : ( f , v ) ( Af , Av ) ( g , Av ), v L 2 ( R ) (4.9)
Trong đó ( , ) là tích vô hương trong L 2 ( R ) phương trình trên có nghiệm duy nhất Định lý 4.14: Giả sử g g 2 (4.10) và f Au u L 2 ( R ) (4.11)
Chứng minh: v L 2 ( R )ta có ( Af , Av ) ( g , Av )
Trừ theo vế 2 đẳng thức trên được: ( f , v ) ( A ( f f ), Av ) ( g g , Av ), v L 2 ( R )
Do (4.11) và bất đẳng thức Cauchy – Schwartz ta có:
Từ đó suy ra (4.12) Mặt khác (4.9) tương đương với
f f A A f g f (4.13) nghĩa là f là điểm bất động của toán tử
B xác định bởi Bf f f A ( Af g ) (4.14)
người ta chứng minh được B là toán tử co với hệ số co là: 2
Nghĩa là f (m ) là nghiệm xấp xỉ của bài toán ban đầu.
Tích phân Duhamel 39
Định lý 4.14(Định lý Duhamel): Giả sử L f ( t ) F ( p ), L g ( t ) G ( p ) Khi đó ta có công thức: pF ( p ) G ( p ) L f ( t ) g ( 0 ) 0 t f ( ) g ' ( t ) d
Theo định lý về đạo hàm của hàm gốc ta có:
Nhận xét: Do tính giao hoán nê đổi vai trò của f (t ) và g (t )ta có công thức sau: p F ( p ) G ( p ) L g ( 0 ) f ( t ) 0 t g ' ( ) f ( t ) d
Các công thức trên được gọi là các công thức Duhamel hay các tích phân Duhamel rất thường gặp trong các bài toán tìm hàm gốc.
Bảng đối chiếu gốc và ảnh 41
ứng dụng của phép biến đổi Laplace
ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân 43 5.2 ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình tích phân 49
5.1.1 Giải phương trình vi phân tuyến tính có hệ số hằng số:
Trong đó a 0 0 thoả mãn điều kiện ban đầu:
Giả sử L y ( t ) Y ( p ); L f ( t ) F ( p ) (5.3) áp dụng định lý về đạo hàm của hàm gốc ta có:
Thay (5.4) vào (5.1) ta được phương trình toán tử
Giả sử đối với pha an thức
Khi đó theo tính chất 9 ta có: 1 ( ) ( ) ( ) t g t p f
Do đó nghiệm của phương trình vi phân được viết dưới dạng: q g f t y ( ) (5.9)
TRường hợp đặc biệt nếu y 0 y 0 ' y 0 ( n 1 ) 0 thì B ( p ) 0
Do đó phương trình được viết dưới dạng
Nghiệm của phương trình viết y ( t ) 0 t f ( ) g ( t ) d (5.12)
Ví dụ 5.1:Giải phương trình: y '' 4 y 2 với điều kiện ban đầu y 0 y 0 ' 0
Giải:Lấy ảnh Laplace 2 vế phương trình ban đầu ta được: p p
là nghiệm của phương trình ban đầu
Ví dụ 5.2: Giải phương trình vi phân sau: y " 4 y ' 13 y e 2 t với điều kiện ban đầu y ( 0 ) 2 , y ' ( 0 ) 3
Giải:Đặt L y ( t ) Y ( p ) Lấy ảnh Laplace 2 vế của phương trình đã cho ta được:
Lấy nghịch ảnh ta được nghiệm của phương trình:
5.1.2 Giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số bằng cách sử dụng công thức Duhamel:
Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình:
Trong đó a 0 0 với điều kiện ban đầu bằng không
Giải: Giả sử biết nghiệm y 1 ( t ) của phương trình
Có cúng vế trái như (5.13),vế phải bằng 1 và với điều kiện ban đầu cũng bằng không: y 1 ( 0 ) 0
Phương trình toán tử đối với phương trình (5.13) và (5.14) có dạng:
Từ đây ta suy ra Y ( p ) pY 1 ( p ) F ( p ) (5.17)
Do đó theo định lý Duhamel ta có:
Hơn nữa do y 1 ( 0 ) 0 ta nhận được nghiệm của phương trình (5.13) là
Ví dụ 5.3:Giải phương trình: e t y y
'' 1 với nđiều kiện ban đầu y ( 0 ) y ' ( 0 ) 0
Giải: Trước hết ta giải bài toán Cauchy:
Phương trình toán tử của phương trình thứ 2 là: p p
Theo công thức (3.18) ta có:
Đặt e u ta được 0 t e d e e 1 e t udu u 1 e t u u 1 du
Thay vào biểu thức trên ta được nghiệm của phương trình
5.1.3.Giải phương trình vi phân với hệ số biến thiên:
Ví dụ 5.4: Giải phương trình Bessel sau:
Giải: Lấy biến đổi Laplace 2 vế của nphương trình trên ta được:
( p 2 Y ' pY Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Giải phương trình này ta được:
1 lim ) ( lim Mặt khác lim pY ( p ) y 0 y ( 0 ) p
Do áp dụng định lý: Nếu f ( t ), f ' ( t ) đều là hàm gốc thì lim pF ( p ) f ( 0 ) p
Từ đây C y 0 y ( 0 ).Đặt y ( 0 ) 1 ta được nghiệm của phương trình Bessel là:
Ví dụ 5.5: Giải phương trình:
Giải: Lấy biến đổi Laplace 2 vế của phương trình trên ta được:
Khai triển và rút gọn ta được phương trình: p ( p 1 ) Y ' ( 3 p 2 ) Y 2 y ( 0 )
Giải phương trình này ta được:
Y trong đó c là hằng số tuỳ ý
5.1.4 Giải hệ phương trình vi phân dưới dạng chuẩn: Để đơn giản cho ký hiệu ta xét hệ 3 phương trình 3 ẩn sau:
Với điều kiện x i ( 0 ) b i trong đó i 1 , 2 , 3 , , b i là các hằng số
Lấy biến đổi Laplace hệ phương trình (5.19) ta được hệ:
Các phần phụ đại số của các phần tử trong cột một của định thức được gọi là i 1, được xác định sau khi thay thế cột một bằng cột các phần tử tự do từ định thức .
Ví dụ 5.6: Giải hệ sau:
' x y y x với điều kiện ban đầu: x ( 0 ) 1 , y ( 0 ) 1
Giải: Giả sử L x ( t ) X ( p ); L y ( t ) Y ( p ) Khi đó hệ phương trình tương đương với :
5.2 ứng dụng của phép biến đổi Laplace để giải phương trình tích phân
5.2.1 Giải phương trình vi tích phân:
Với điều kiện ban đầu y(0) = b0, trong đó b0, a0, a1, a2 là các hằng số, chúng ta có thể chuyển đổi phương trình này thành phương trình vi phân cấp 2 nếu hàm y(t) là liên tục và có đạo hàm riêng liên tục từng khúc Bài viết này sẽ trình bày phương pháp giải thông qua toán tử Laplace, sử dụng định lý về ảnh của tích phân.
ta nhận được phương trình :
Từ đây lấy nghịch ảnh ta thu được nghiệm y (t )của phương trình
Ví dụ 5.5: Tìm nghiệm của phương trình tích phân sau:
2 ( ) ( ) ( ) ( ) với diều kiện ban đầu y ( 0 ) 0 và f (t ) được cho dưới dạng:
Ta nhận được phương trình đối với ảnh của phương trình tích phân là: p p e p Y a a p a
Trong đó p 1 , p 2 là nghiệm của mẫu số
Theo định lý ta có thể viết hàm gốc dưới dạng:
Trong khoảng 0 t c nghiệm phải tìm có dạng:
Còn đối với t 0 nghiệm phải tìm có dạng:
Xét phương trình Voltterra loại 2:
Ta có phương trình toán tử sau:
Ví dụ 5.6: Giải phương trình tích phân sau:
Giải: Lấy biến đổi Laplace 2 vế của phương trình trên ta được:
Ví dụ5.7: Giải phương trình:
Phương trình đã cho chuyển thành:
Bằng phương pháp đồng nhất thức ta tìm được:
L ;số hang cuối có dạng:
2 , 1 p i ,ta tính được thặng dư tương ứng t e x x e x x x
Ví dụ 5.8: Giải phương trình:
Giải: Phương trình trên tương đương với:
Lấy biến đổi Laplace 2 vế của phương trình (5.30) ta được:
Ví dụ 5.9: Giải phương trình sau:
Khi đó lấy biến đổi Laplace 2 vế của phương trình (5.31) ta được:
Bằng phương pháp đồng nhất thức ta tìm được:
Ví dụ 5.10: Giải phương trình: ( x ) 1 0 x ( t x ) ( t ) dt (5.32)
Giải: Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:
khi đó lấy biến đổi
Laplace 2 vế của phương trình (5.33) ta được:
Ví dụ 5.11: Giải phương trình sau: ( x ) 1 x 4 x ( x t ) ( t ) dt (5.34)
Lấy biến đổi Laplace 2 vế của (5.34) ta được:
Dùng tích phân Duhamel ta suy ra: x t tdt dt x d x sin
tích phân từng phần 2 lần tích phân này ta được: cos 1
Xét phương trình Volterra loại 1 : 0 x K ( x , t ) ( t ) dt f ( x )
Ví dụ 5.12: Giải hệ phương trình sau:
x x t x x x x t dt t e dt t t x sh x dt t t x dt t e x x
Ví dụ 5.13:Tìm nghiệm của phương trình: y ' ( x ) y ( x 1 )(5.38) với hàm ban đầu y ( x ) y 0 const khi 1 x 0 , y ( 0 ) y 0 const
Giải: Nhân cả 2 vế của phương trình với e px và tích phân theo x với cận từ
Phương trình toán tử của phương trình trên là:
Ví dụ 5.14: Giải phương trình:
Ví dụ 5.15: Giải phương trình : x sin( x t ) ( t ) dt x sin x
Ví dụ 5.16: Tìm nghiệm của phương trình:
Giải: Đặt K ( x ) e 2 x khả vi và K ' ( 0 ) 0 Ta có:
Lấy biến đổi Laplace 2 vế của phương trình (5.40) ta được:
