Bài giảng giải tích nhiều biến

HỆ TOẠ ĐỘ TRỤ, HỆ TOẠ ĐỘ CẦU • Hệ toạ độ trụ • Hệ toạ độ cầu • Các dạng toán cơ bản Ngoài hệ toạ độ vuông góc quen thuộc, chúng ta sẽ làm quen với hai hệ toạ độ khác trong không gian ba

GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ

Bài 2 PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO

§ 18.7 HỆ TOẠ ĐỘ TRỤ, HỆ TOẠ ĐỘ CẦU

• Hệ toạ độ trụ

• Hệ toạ độ cầu

• Các dạng toán cơ bản

Ngoài hệ toạ độ vuông góc quen thuộc, chúng ta sẽ làm

quen với hai hệ toạ độ khác trong không gian ba chiều giúp

ích cho việc giải quyết các bài toán đặc biệt là: Hệ toạ độ

trụ và hệ toạ độ cầu

1 Hệ toạ độ trụ

• P(x, y, z) trong toạ độ vuông góc

• x = rcosθ, y = rsinθ, z = z, 0 ≤ θ ≤ 2π ; θ = (OP, Ox)

b) • Giao của mặt phẳng r + z = 3 với mặt phẳng x = 0 là đường thẳng y + z = 3

• Giao của mặt phẳng r + z = 3 với mặt phẳng y = 0 là đường thẳng x + z = 3

• Phương trình khuyết θ nên mặt cong đối xứng với trục Oz

• Mặt cong là mặt nón được tạo thành khi quay đường thẳng y + z = 3 quanh trục Oz

Ví dụ 3 Tìm phương trình trong hệ toạ độ trụ cho:

• z = r2cos2θ

Chú ý Trong vật lý, hệ toạ độ trụ đặc biệt thuận lợi trong các bài toán có trục đối xứng Có hai lớp bài toán quan trọng: Một liên quan tới dòng nhiệt trong thanh trụ rắn, một là dao động của màng tròn như màng trống

2 Hệ toạ độ cầu

• P(x, y, z)

• x = ρsinφ cosθ , y = ρsinφ sinθ, z = ρcosφ,

• 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π, φ = (OP, Oz), θ = (OP', Ox)

• x2 + y2 + z2 = ρ2sin2φ cos2θ + ρ2sin2φ sin2θ + ρ2 cos2φ = ρ2sin2φ + ρ2cos2φ = ρ2

• ρ(ρ – 2a cosθ) = 0 ⇔ ρ = 0 hoặc ρ = 2acosθ ⇔ ρ = 2acosθ

là phương trình mặt cầu bán kính a và tiếp xúc với mặt phẳng

Oxy tại gốc toạ độ

x2 + y2 + (z – a)2 = a2

Ví dụ 2 a) Tìm toạ độ cầu cho điểm P( 2 ; 2 ; 2 3 )

b) Tìm toạ độ vuông góc của điểm có toạ độ cầu sau 6 ; ;

2

ππ

Ví dụ 3 Mô tả mặt cong sau biết phương trình trong toạđộ cầu của nó là ρ = 2a sinφ

• Ta biết mặt cong tròn xoay quanh trục Oz (vì khuyết θ)

• Trong mặt phẳng yOz, phương trình ρ = 2a sinφ biểu diễn

4 Tìm phương trình toạ độ cầu cho các mặt cong có phương trình trong toạ

độ vuông góc cho trước

• 13(tr 56) x2 + y2 + z2 = 16 (hình cầu)

+) x = ρ sinφ cosθ, y = ρ sinφ sinθ, z = cosφ

+) ρ2 sin2φ cos2θ + ρ2 sin2φ sin2θ + ρ2 cos2φ = 16

y x

− − > và

2 2

2

y x

2 2

12

y

x + < bỏ đi điểm (0 ; 0)

• MGT: ∀z ≠ 0

2 Liên tục

Định nghĩa Hàm số z = f(x, y) được gọi là liên tục tại (x0 ; y0) thuộc MXĐ ⇔ ∀ ε > 0

bé tuỳ ý, ∃ δ(ε) > 0: ∀ (x ; y) ∈ MXĐ sao cho (x−x0)2 +(y −y0)2 <δ ε( ) thì có

|f(x, y) – f(x0, y0)| < ε Hàm số được gọi là liên tục nếu như liên tục tại mọi điểm thuộc MXĐ

x y x y f x y f x y

1lim ( , ) lim

22

§ 19.2 Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, vi phân

x

f x x f x

y x

x

• Có cách nào vận dụng kỹ thuật trên để nghiên cứu hàm hai biến số?

• Cho hàm hai biến z = f(x, y), ta xét f(x, y0) với y0 cố định và xét

0(2 0) x y

y y

x yx e = = 2 0 02

0 0

d

dy = = = = 8ln2

Có thể mở rộng kết quả như trên cho hàm số với số lượng biến bất kỳ

Ví dụ 6. w(x, y, z, u, v) = xy2 + 2x3 + xyz + zu + tan(uv) Tính các đạo hàm riêng

nRT P

=+ +)

2

2

32

GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ

Bài 3

§ 4 Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, vi phân (19.2) (tiếp theo)

2 Đạo hàm riêng cấp cao

a) Đạo hàm riêng cấp hai. z = z(x, y)

Chứng minh. (xem trang 380)

b) Các đạo hàm riêng cấp lớn hơn 2. Cho hàm w = f(x, y, z), tương tự ta có định nghĩa

Nếu các đạo hàm riêng này liên tục thì luôn đổi được thứ tự mà không thay đổi kết quả

IV Số gia và vi phân Bổ đề cơ bản

Có thể phát triển tương tự kết quả trên cho hàm hai biến?

b) Cho hàm hai biến sốz = f(x, y) có f x(x y0, 0), f y(x y0, 0), có hay không biểu diễn sau?

∆z = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) – f(x0, y0) = f x(x y0, 0)∆x+f y (x y0, 0)∆y +ε ∆1 x+ε ∆2 y

ở đó ε1 và ε2 → 0 khi ∆x và ∆y → 0

Ta dẫn ra dưới đây một vài ví dụ chứng tỏ biểu diễn trên

Ví dụ 1. z = x + 2y, xét tại (x0, y0) tuỳ ý có

Thấy ngay ε1 = ∆x, ε2 = 0 → 0 khi ∆x và ∆y → 0

Ví dụ 4. z = 3x + |y| Tính (nếu có) các đạo hàm riêng cấp một tại điểm (1, 0)

riêng cấp một xác định trong lân cận của điểm (x0, y0)

và liên tục tại (x0, y0), khi đó luôn có

riêng cấp một trong lân cận điểm (x0, y0) và liên tục

tại (x0, y0) thì ta bảo hàm z khả vi tại (x0, y0) và có vi

phân là dz =f x(x y0, 0)dx +f y(x y0, 0)dy Hình C.13

a) Mặt phẳng y = 3 cắt mặt cong theo đường cong Tìm phương trình

đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại x = 2

b) Mặt phẳng x = 2 cắt mặt cong theo đường cong Tìm phương trình

đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại y = 3

§ 5 Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong (19.3.)

2 Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong

 Ngay cả khi hai đường cong C1, C2 đủ trơn để nó

Phương trình mặt phẳng chứa P0(x0, y0, z0) là a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0

Véc tơ chỉ phương của tiếp tuyến của đường cong C1: z = f(x, y0) là

Chú ý Đối với mặt cong có phương trình khó hoặc không thể giải ra đối với z, có

thể coi z là hàm ẩn để tính các đạo hàm riêng, xem ví dụ 3 trang 73

Dạng toán cơ bản: Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong

+) Tiếp diện tại P là z − 25 = 20(x − 1) + 40(y − 2) ⇔ 20x + 40y − z − 75 = 0

• 3(tr 74) z = sinx + sin2y + sin3(x + y), P(0 ; 0 ; 0)

∂ ∂ liên tục trong lân cận điểm (1, 2)

+) Tiếp diện tại P là 3 10( 1) 1( 2)

13

z − = − x − − y − hay 10x + 13y + 13z − 75 = 0

• 11(tr 74) Cho P0(x0 , y0 , z0), z0 > 0 là điểm trên mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2

Chứng minh rằng mặt phẳng tiếp xúc tại P0 vuông góc với véctơ bán kính tại đó

cùng phương ⇒ tiếp diện vuông góc với vectơ bán kính

Ghi nhớ. Tuần sau học các mục 19.5, 19.6 và C 16

GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ

Bài 4

§ 6 Trường vô hướng, đạo hàm theo hướng, gradient

• Trường vô hướng

• Đạo hàm theo hướng (mục 19.5)

• Gradient

• Dạng toán cơ bản

1 Trường vô hướng. Cho một trường vô hướng trong miền Ω ⊂ 3

, là cho một

hàm vô hướng w = f(x, y, z) xác định trên miền Ω

Ví dụ 1. Sự phân bố nhiệt độ trong vật thể tạo nên một trường vô hướng trong vật thể ấy vì mỗi điểm của vật thể đều có một nhiệt độ biểu thị bằng một số

Những trường vô hướng mà giá trị của w không phụ thuộc vào thời gian được gọi là

trường dừng

2 Đạo hàm theo hướng

Cho hàm số w = f(x, y, z) xác định trên Ω ⊂ 3

, P ∈ Ω, tốc

độ biến thiên của hàm f(x, y, z) khi P di chuyển theo hướng

dương của các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là f

x

∂

∂ ,

f y

∂

∂ ,

f z

∂

∂

Khi P biến thiên không theo hướng các trục toạ độ thì tốc

độ biến thiên của hàm f(x, y, z) sẽ như thế nào?

Cho P(x, y, z), R = xi + yj + zk là véc tơ chỉ vị trí của

P (x, y, z), hướng đang xét được xác định bởi véc tơ đơn

=

Ví dụ 2. u = x + y + z, tính đạo hàm tại P(0 ; 1 ; 2) theo hướng PQ



, ởđó Q = (1 ; 2 ; 1).1

=

u xy z

• Đạo hàm theo hướng của hàm nhiều biến là một số

Định lý. Hàm u(x, y, z) khả vi tại P0(x0, y0, z0) thì tại đó nó có đạo hàm theo mọi

hướng tại P0

3 Gradient

a) Định nghĩa. Cho hàm w = f(x, y, z) khi đó gradient của hàm f được định nghĩa

như sau: gradf f i f j f k

b) Các tính chất

1 df (gradf u)

ds= (xem hình 19.11)

2 Hướng của véc tơ gradf là hướng mà hàm f tăng nhanh nhất

3 Độ dài của véc tơ gradf là tốc độ tăng lớn nhất của f

Ví dụ 4 Cho f(x, y, z) = x2 – y + z2, tìm đạo hàm theo hướng df

ds tại điểm P(1 ; 2 ; 1) theo hướng của véc tơ 4i – 2j + 4k

Ví dụ 5. Nhiệt độ của không khí tại các điểm trong không gian được xác định bởi

hàm f(x, y, z) = x2 – y + z2 Một con muỗi đậu tại điểm P(1 ; 2 ; 1), để được mát

nhanh nhất, nó phải bay theo hướng nào?

Theo ví dụ 4, có gradf(P) = 2i – j + 2k

Từ tính chất 2 có hướng của gradf là hướng mà theo đó nhiệt độ tăng nhanh nhất

Để được mát nhanh nhất, con muỗi nên bay ngược hướng với gradf(P) tức là bay

theo hướng: – gradf(P) = – 2i + j – 2k

4 gradf(P0) là pháp tuyến của mặt mức của hàm f tại điểm P0

Điểm P(3 ; –2 ; 1) thuộc mặt cong đã cho

gradf = y2z3i + 2xyz3j + 3xy2z2k

gradf(P) = 4i – 12j + 36k

Hàm u = xy2z3 khả vi tại P(3 ; – 2 ; 1)

Phương trình tiếp diện là

4(x – 3) – 12(y + 2) + 36(z – 1) = 0

x – 3 – 3(y + 2) + 9(z – 1) = 0

Chú ý

• Đạo hàm theo hướng và gradient được sử dụng chủ yếu trong hình học và vật

lý trong không gian ba chiều Tương tự cũng nhận được các kết quả này trong không gian hai chiều

• Có thể viết gradient của hàm f dưới dạng toán tử

2 Đạo hàm theo hướng

• 2(tr 82). Tìm đạo hàm theo hướng của f tại P theo hướng vectơ đưa ra

a) f(x, y, z) = xy2 + x2z + yz, P = (1 ; 1 ; 2), theo hướ ng i + 2j − k

+) ( ) ( )( )

2

2grad

+) Vectơ PQ =(1; 2 ; 1)

2

2grad

• 3(tr 83) Tính giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng của f tại P và hướng mà

đạo hàm theo hướng đại giá trị lớn nhất

• 7(tr 83) Giả sử nhiệt độ T tại điểm P(x, y, z) được xác định bởi T = 2x2 − y2 + 4z2

Tìm tốc độ biến thiên của T tại (1 ; −2 ; 1) theo hướng của vectơ 4i − j + 2k Theo hướng nào T tăng nhanh nhất tại điểm này? Tốc độ tăng lớn nhất là bao nhiêu? +) gradT = 4x.i − 2y.j + 8z.k

• 9(tr 83) Chứng minh rằng tiếp diện của mặt bậc hai ax2 + by2 + cz2 = d tại P0(x0 ;

y0 ; z0) có phương trình là ax0x + by0y + cz0z = d

+) Mặt bậc hai là mặt mức của hàm f(x, y, z) = ax2 + by2 + cz2

+) gradf = 2ax.i + 2by.j + 2cz.k

+) gradf(P) = 2ax0.i + 2by0.j + 2cz0.k

+) Vectơ pháp tuyến tại P0 là N = 2ax0i + 2by0j + 2cz0k

+) Phương trình tiếp diện tại P0 là

2ax0(x − x0) + 2by0(y − y0) + 2cz0(z − z0) = 0 ⇔ ax0x + by0y + cz0z = d

§ 7 Quy tắc dây chuyền Đạo hàm dưới dấu tích phân

• Quy tắc dây chuyền (mục 19.6)

• Đạo hàm dưới dấu tích phân (mục C 16)

• Dạng toán cơ bản

1 Quy tắc dây chuyền đối với đạo hàm riêng. Quy tắc dây chuyền đối với hàm

một biến số chính là đạo hàm của hàm hợp: w = f(x), x = g(t) khi đó dw df dx

= (6cost + 2sint)(– sint) + (2cost – 2sint)cost

= 2cos2t – 2sin2t – 8sintcost = 2cos2t – 4sin2t

Có thể thay x = cost, y = sint vào w rồi tính đạo hàm

• w = f(x, y), y = y(x), khi đó dw f f dy

b) Quy tắc dây chuyền của hàm ba biến

• w = f(x, y, z), x = x(u, v), y = y(u, v), ở đó các hàm w, x, y có các đạo hàm

∂ ∂ , ở đó f(x, y) là sản lượng đo bằng đô la, x

là đơn vị của vốn, y là đơn vị của lao động, f , f

x y

∂ ∂

∂ ∂ lần lượt là sản phẩm vốn cận biên và sản phẩm lao động cận biên Ta có định lý trong kinh tế: "Tổng giá trị sản lượng bằng chi phí vốn cộng với chi phí lao động nếu như mỗi chi phí được trả theo sản phẩm cận biên của nó" Trong trường hợp này không có doanh thu thặng dư

Ví dụ 4 Giải phương trình đạo hàm riêng: Tìm hàm w = f(x, y) thoả mãn a w w

=

∂ ∂ Đặt u = x + ay, v = x – ay

∂

∂

đối với hàm w = f(x, y), chẳng hạn trong trường hợp đối với hàm sau:

w = f(x, y), ở đó y = g(x, t), nếu dùng các kí hiệu quen thuộc sẽ trở nên khó hiểu:

, 1 ≤ x ≤ 3

Chú ý. Ta có mở rộng kết quả trên là quy tắc Leibnitz: Cho hàm f(x, y), fx(x, y) liên

tục trên miền sau u y( ) x u y( )

u y

d

f x y dx f u y y u f u y y u dy

∂

∂ theo quy tắc dây chuyền và bằng cách khác, ở đó

2 Kiểm tra nghiệm của phương trình đạo hàm riêng

• 7(tr 89) Cho hàm f có các đạo hàm riêng liên tục, chứng minh rằng w = f(x2 − y2)

là một nghiệm của phương trình đạo hàm riêng (giả thiết có w x , w y)

GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ

Bài 5 PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO

§ 19.7 Bài toán giá trị cực đại và cực tiểu

Như vậy để hàm z = f(x, y) đạt cực đại tại P0(x0, y0) thì điều kiện cần là

Khi đó (x0, y0) được gọi là điểm tới hạn

Tương tự, cho hàm z = f(x, y) đạt cực tiểu tại P0(x0, y0) trong miền xác định

Bằng lập luận như trên hàm z = f(x, y), đạt cực tiểu tại P0(x0,

nhưng hàm z = f(x, y) không đạt cực tiểu hoặc cực đại tại

điểm này, ví dụ điểm P0(x0, y0) trên mặt yên ngựa

1 Định lý. z = f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên

tục trong lân cận điểm (x0, y0) trong miền xác định và giả sử:

D = fxx (x0, y0)f yy (x0, y0) – [f xy (x0, y0)]2

Khi đó:

• Nếu D > 0, fxx(x0, y0) < 0 thì f(x, y) đạt cực đại tại (x0, y0)

• Nếu D > 0, fxx (x0, y0) > 0 thì f(x, y) đạt cực tiểu tại (x0, y0)

• Nếu D < 0 thì f(x, y) không có cực trị tại (x0, y0) (Điểm

Các điểm tới hạn là (0, y), (x, 0)

x y

y y

x y

2 Giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất

• 11(tr 94). Chứng minh rằng hình hộp chữ nhất với nắp đậy có diện tích toàn phần không đổi, thì thể tích đạt giá trị lớn nhất nếu nó là hình lập phương

≥+)

+) Tìm giá trị lớn nhất của V = xyz, x > 0, y > 0, z > 0

+) Từ giả thiết có a > 0, b > 0, c > 0 và có 1=ax +by +cz≥33abc xyz

x a y b

chứng tỏ (0 ; 0) là điểm yên ngựa

§ 19.8 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN NHÂN TỬ LAGRANGE

• Tuy nhiên việc thay các điều kiện ràng buộc vào hàm ban đầu để đưa về bài toán

đã biết không phải luôn thuận lợi Ta cần khắc phục như thế nào?

• Xuất phát từ ý nghĩa hình học của gradient, phương pháp nhân tử Lagrange đã khắc phục được khó khăn trên, đây là công cụ quan trọng trong kinh tế, hình học vi phân và lý thuyết cơ học nâng cao

1 Phương pháp nhân tử Lagrange

a) Hàm hai biến với một điều kiện ràng buộc

Tìm giá trị cực đại của hàm số z = f(x, y) với ràng buộc g(x, y) = 0

∂ ∂ ∂ , ở đó biến λ được gọi là biến Lagrange

Như vậy bài toán tìm cực trị z = f(x, y) với điều kiện ràng buộc g(x,y)=0 được chuyển về bài toán cực trị của hàm L(x, y, λ) Đây là phương pháp nhân tử Lagrange

Phương pháp nhân tử Lagrange rất quan trọng trong lý thuyết, ngoài ra trong thực hành có ưu điểm sau:

• Không phải băn khoăn về tính đối xứng trong bài toán vì có thể lựa chọn một biến độc lập bất kì

• Việc đưa thêm vào λ như một biến khác sẽ khử đi một ràng buộc

• Dễ dàng mở rộng cho trường hợp nhiều biến hơn và nhiều ràng buộc hơn

Như vậy bài toán tìm cực trị của hàm w = f(x, y, z) với điều kiện g(x, y, z) = 0 được

chuyển về bài toán tìm cực trị của hàm: L(x, y, z, λ) = f(x, y, z) − λg(x, y, z)

Ví dụ 2. Tìm điểm nằm trên mặt phẳng x + 2y + 3z = 6 gần gốc toạ độ nhất

Tìm M(x, y, z) sao cho ρ = x2 +y2 +z2 nhỏ nhất với điều kiện: x + 2y + 3z – 6 = 0

y y

λλ

λλ

λλ

1

32

1

22

12

1

( )

x y z



1

32

1

22

12

⇔

x y z

λµ

là sản lượng (tính bằng đô la) biểu diễn qua x đơn vị của vốn và y đơn vị của lao động

4 Dạng toán cơ bản

1 Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất (phương pháp nhân tử Lagrange)

• 1(tr 103). Một hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục toạ độ nội tiếp trong một miền bị chặn bởi các trục toạ độ và đường thẳng x + 2y = 2 Tìm diện tích

x y

• 7(tr 103) Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của f(x, y) = x2 − xy + y2 trên đường tròn

GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN SỐ

Bài 6 PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO

§ 19.9 Các phương trình Laplace, truyền nhiệt, truyền sóng

PP = thoả mãn phương trình Laplace

Không mất tính tổng quát ta chỉ cần chứng minh 1

1

Gm

r r x x r

= + +
+ cũng thoả mãn phương trình Laplace

Ví dụ 1. Kiểm tra xem hàm số sau có thoả mãn phương trình Laplace:

• Hàm w thoả mãn phương trình Laplace

2 Phương trình truyền nhiệt

a) Định nghĩa. Phương trình truyền nhiệt trong không gian ba chiều

a

t x

=

∂

∂

Nghiên cứu sự truyền nhiệt trong vật thể dẫn nhiệt, vào năm 1822 nhà toán học

người Pháp: Fourier đã vận dụng nguyên lý cơ bản của vật lý để chứng tỏ rằng hàm nhiệt độ w thoả mãn phương trình truyền nhiệt (2)

b) Phương trình truyền nhiệt một chiều

Ta dẫn ra dưới đây các lập luận đơn giản của Fourier đối với phương trình truyền nhiệt một chiều

Nguyên lý cơ bản của vật lý

• Nhiệt độ truyền theo hướng giảm của nhiệt độ

• Tốc độ truyền nhiệt từ bên này sang bên kia của một vùng thì tỷ lệ với vùng đó và

tốc độ biến thiên của nhiệt độ phụ thuộc vào khoảng cách vuông góc với bề mặt (gọi

là suất dẫn nhiệt K)