ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------- TRỊNH THỊ NGỌC TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ TUYẾN TÍNH KHÔNG ÔTÔNÔM VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐIỀU KHIỂN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Hà Nội – Năm 2015 Mục lục MỞ ĐẦU 2 1 CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 Hệ phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Hệ phương trình vi phân ôtônôm, không ôtônôm . 1.1.2 Các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . 1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . 1.2.1 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân . . . . . 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Tính ổn định của hệ phương trình vi 2.1 Hệ tuyến tính ôtônôm . . . . . . . . 2.1.1 Một số định lý cơ sở . . . . . 2.1.2 Bài toán ổn định hóa . . . . 2.2 Hệ tuyến tính không ôtônôm . . . . 2.2.1 Bài toán ổn định . . . . . . . 2.2.2 Bài toán ổn định hóa . . . . KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . 1 phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 6 7 7 7 10 12 . . . . . . . . 13 13 13 18 20 22 26 36 37 MỞ ĐẦU Bài toán ổn định là một trong những bài toán quan trọng trong lý thuyết định tính phương trình vi phân và tích phân. Nói một cách hình tượng, một hệ thống được gọi là ổn định tại trạng thái cân bằng nào đó nếu các nhiễu bé trong các điều kiện ban đầu hoặc trong cấu trúc của hệ thống không làm cho hệ thống đó thay đổi quá nhiều so với trạng thái cân bằng đó. Được bắt đầu nghiên cứu từ những năm cuối thế kỉ XIX bởi nhà toán học V. Lyapunov, đến nay lý thuyết ổn định Lyapunov đã trở thành một bộ phận nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết hệ thống và ứng dụng. Đặc biệt từ những năm 60 của thế kỉ XX, cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển, người ta cũng bắt đầu nghiên cứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi là tính ổn định hóa của các hệ điều khiển, do đó tính ổn định mà Lyapunov đề xướng trước kia càng thể hiện tầm quan trọng của mình trong sự phát triển liên tục của toán học.Vì những lý do vừa phân tích ở trên mà cho đến nay tính ổn định đã được nghiên cứu và phát triển như một lý thuyết toán học độc lập có nhiều ứng dụng hữu hiệu trong tất cả các lĩnh vực từ kinh tế đến khoa học kĩ thuật. Như chúng ta đã biết, có nhiều phương pháp để nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân. Chẳng hạn như: phương pháp thứ nhất Lyapunov (hay còn gọi là phương pháp số mũ đặc trưng), phương pháp thứ hai Lyapunov (hay còn gọi là phương pháp hàm Lyapunov), phương pháp xấp xỉ, phương pháp so sánh, ... Mỗi phương pháp đều có ưu nhược điểm riêng. Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định hệ tuyến tính không ôtônôm và ứng dụng trong điều khiển theo phương pháp thứ hai: phương pháp hàm Lyapunov. Luận văn được chia thành hai chương: Chương 1. Cơ sở toán học. Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở chuẩn bị cho nội dung chính của luận văn. Cụ thể là trình bày những 2 MỞ ĐẦU khái niệm cơ bản về hệ phương trình vi phân, bài toán ổn định, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân. Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính. Chương này trình bày một số kết quả về tính ổn định của hệ phương trình vi phân. Nội dung chính của chương này là trình bày các điều kiện cần và đủ tính ổn định của hệ tuyến tính không ôtônôm. Để chứng minh, chúng tôi đã sử dụng phương pháp hàm Lyapunov và các kĩ thuật đánh giá bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày ứng dụng của hệ không ôtônôm trong bài toán ổn định hóa hệ điều khiển. Đóng góp chính của chúng tôi trong luận văn là trình bày một cách hệ thống bài toán ổn định, ổn định hóa hệ tuyến tính không ôtônôm với các ví dụ minh họa mới. 3 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm khắc của GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2012- 2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại nhà trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt luận văn của mình. Hà Nội, tháng 2 năm 2015 Tác giả luận văn Trịnh Thị Ngọc 4 Bảng kí hiệu R Không gian số thực. Rn Không gian vecto n chiều R+ Tập hợp các số thực không âm. n×r R Không gian các ma trận n × r chiều. T A Ma trận chuyển vị của ma trận A. I Ma trận đơn vị. λ(A) Tập tất cả các giá trị riêng của A. λmax (A) max {Reλ, λ ∈ λ(A)}. A≥0 Ma trận A xác định không âm. A>0 Ma trận A xác định dương. + BM (0, ∞) Tập các hàm ma trận đối xứng, xác định không âm và bị chặn trên (0, ∞) C([a, b], Rn ) Tập tất cả các hàm liên tục trên [a, b] và nhận giá trị n trên R A Chuẩn phổ của ma trận A, A = λmax (AT A). BC([0, ∞), Rn×m ) Tập tất cả các ma trận hàm cấp n × m, liên tục và bị chặn trên [0, ∞). BC + ([0, ∞), Rn×m ) Tập tất cả các ma trận hàm đối xứng, xác định dương cấp n × m, liên tục và bị chặn trên R+ . L2 ([t, s], Rn ) Tập tất cả các không gian khả tích trên Rn và nhận giá trị trên [t, s]. 5 Chương 1 CƠ SỞ TOÁN HỌC Trong chương này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở về hệ phương trình vi phân: các khái niệm cơ bản về hệ ôtônôm, không ôtônôm và ổn định hệ phương trình vi phân, trong đó chúng tôi có trình bày phương pháp thứ hai của Lyapunov là phương pháp hàm Lyapunov đối với bài toán ổn định hệ phương trình vi phân. Chúng tôi cũng nhắc lại một số kết quả làm cơ sở cho nội dung nghiên cứu ở các chương sau. Nội dung chương này được trình bày từ tài liệu [1, 2, 5]. 1.1 1.1.1 Hệ phương trình vi phân. Hệ phương trình vi phân ôtônôm, không ôtônôm . Rất nhiều các quá trình trong tự nhiên, vật lý, cơ học, sinh học... được mô tả bởi các phương trình vi phân. Các phương trình vi phân này thể hiện mối quan hệ giữa biến thời gian, trạng thái của hệ thống và vận tốc thay đổi của trạng thái tại cùng một thời điểm. Ở đây ta phân ra làm hai loại: hệ phương trình vi phân ôtônôm và hệ phương trình không ôtônôm. Một hệ phương trình vi phân ôtônôm là hệ phương trình vi phân có dạng: x(t) ˙ = f (x), t ≥ 0, trong đó x ∈ Rn ; f (.) : Rn → Rn . Hay nói cách khác, hệ phương trình vi phân ôtônôm là hệ phương trình vi phân mà vế phải không phụ thuộc vào biến thời gian t. Ngược lại, hệ phương trình vi phân không ôtônôm là hệ phương trình vi phân mà vế phải phụ thuộc vào biến thời gian t, tức là phương trình của nó có dạng x(t) ˙ = f (t, x(t)), 6 t ≥ 0, (1.1) Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC với x ∈ Rn ; f (.) : [0, +∞) × Rn → Rn . 1.1.2 Các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Xét phương trình vi phân không ôtônôm (1.1), trong đó f xác định và liên tục trên miền G = (a, b) × {y ∈ Rn : y − y0 ≤ r} . Cùng với phương trình (1.1) ta xét bài toán Cauchy : t ≥ 0, x(t) ˙ = f (t, x(t)), x(t0 ) = x0 . (1.2) Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại nghiệm x(.) trong một lân cận của t0 . Định lý 1.1. (Định lý tồn tại địa phương) Giả sử f là ánh xạ liên tục từ G sang Rn thỏa mãn các điều kiện sau với mọi t ∈ (a, b), x, y ∈ B n (x0 ) = {x ∈ Rn : x − x0 ≤ η} f (t, x) ≤ M1 , f (t, x) − f (t, y) ≤ M2 x − y , trong đó M1 , M2 là các hằng số không phụ thuộc vào t, x, y . Khi đó, tồn tại số δ > 0 (δ = min Mη1 , M12 ) sao cho với mọi t0 ∈ (a, b), trong khoảng (t0 − δ, t0 + δ) ∩ (a, b) bài toán Cauchy (1.2) có đúng một nghiệm x(t) thỏa mãn φ(t) − x0 ≤ η. Định lý 1.2. (Định lý tồn tại toàn cục) Giả sử f (.) : R+ × Rn → Rn liên tục và thỏa mãn các điều kiện sau : f (t, x) ≤ M1 + M0 x , ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn , f (t, x) − f (t, y) ≤ M2 x − y , ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn . Khi đó, với bất kì điểm x0 ∈ Rn , t0 ∈ R+ , tồn tại duy nhất một nghiệm x(t) của bài toán Cauchy của phương trình (1.2) trên toàn khoảng R+ . 1.2 1.2.1 Tính ổn định hệ phương trình vi phân Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân không ôtônôm x(t) ˙ = f (t, x(t)), 7 t ≥ 0, (1.3) Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC trong đó f : R+ × Rn → Rn . Giả sử f thỏa mãn các điều kiện cần thiết để bài toán Cauchy (1.2) có nghiệm duy nhất trên R+ . Giả sử x = η(t) là nghiệm của (1.3) xác định trên R+ . Ta đặt y = x − η(t), tức y là độ lệch của nghiệm x với nghiệm η(t). Vì η(t) ˙ = f (t, η(t)) nên ta nhận được phương trình vi phân đối với y : y˙ = g(t, y), trong đó g(t, 0) = 0 nên hệ phương trình y˙ = g(t, y) có nghiệm tầm thường y = 0 ứng với nghiệm đã cho x = η(t) của phương trình x˙ = f (t, x). Như vậy việc nghiên cứu tính ổn định của nghiệm x = η(t) trong không gian Rn được đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm tầm thường y = 0 trong Rn . Do đó, không mất tính tổng quát, ta luôn giả sử phương trình (1.1) có nghiệm tầm thường x = 0, tức là f (t, 0) = 0. Định nghĩa 1.1. Nghiệm tầm thường x = 0 được gọi là ổn định nếu ∀ε > 0, ∀t0 ≥ 0, ∃δ = δ(ε, t0 ) > 0 sao cho từ bất đẳng thức x(t0 ) ≤ δ suy ra x(t) < ε, với ∀t ≥ t0 . Định nghĩa 1.2. Nghiệm tầm thường x = 0 được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và mọi nghiệm x(t) thỏa mãn: lim t→+∞ x(t) = 0. Định nghĩa 1.3. Nghiệm tầm thường x = 0 được gọi là ổn định mũ nếu ∃M > 0, α > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t) của phương trình (1.1) thỏa mãn: x(t) M x(t0 ) e−α(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 . Ta quy ước thay vì nói nghiệm tầm thường của hệ (1.1) là ổn định ( ổn định tiệm cận, ổn định mũ ) ta nói rằng hệ (1.1) là ổn định ( ổn định tiệm cận, ổn định mũ ). Ví dụ 1.1. Xét hệ phương trình vi phân sau trong Rn x(t) ˙ = αx(t), 8 t ≥ 0. Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC Nghiệm x(t), với x(t0 ) = x0 cho bởi công thức x(t) = x0 eαt , t ≥ 0. Khi đó hệ ổn định (tiệm cận, mũ) nếu α < 0. Nếu α = 0 thì hệ là ổn định. Ví dụ 1.2. Xét phương trình vi phân x(t) ˙ = a(t)x(t), t ≥ 0, trong đó, a(t) : R+ → R là hàm liên tục, nghiệm x(t) của hệ với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 cho bởi t a(t)dt. x(t) = x0 t0 Do đó dễ kiểm tra được hệ là ổn định nếu t a(τ )dτ ≤ µ(t0 ) < +∞, ∀t ≥ t0 t0 là ổn định tiệm cận nếu t a(τ )dτ = −∞. lim t→∞ t0 Để giải bài toán ổn định các hệ phi tuyến, Lyapunov đã đưa ra hai phương pháp: - Phương pháp thứ nhất: Nội dung chính của phương pháp này là nghiên cứu tính ổn định thông qua số mũ Lyapunov hoặc thông thường hơn là dựa vào hệ xấp xỉ tuyến tính. Nếu vế phải đủ tốt thì tính ổn định sẽ được rút ra từ tính ổn định của xấp xỉ tuyến tính. - Phương pháp thứ hai: Phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp này được xem là cách tiếp cận chính khi nghiên cứu về tính ổn định. Nội dung của phương pháp này là dựa vào sự tồn tại của một lớp hàm toàn phương đặc biệt (gọi là hàm Lyapunov) mà tính ổn định của hệ đã cho được kiểm tra trực tiếp qua dấu của đạo hàm (dọc theo quỹ đạo đang xét) của hàm Lyapunov tương ứng. Hiện nay chưa có một thuật toán tổng quát để tìm được hàm Lyapunov cho tất cả các phương trình. Sau đây chúng tôi xin trình bày những kết quả chính của phương pháp này. 9 Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov Xét hệ phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.4) trong đó: x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ, f : R+ × Rn → Rn là hàm vectơ cho trước, f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Kí hiệu κ là tập các hàm liên tục tăng chặt a(.) : R+ → R+ , a(0) = 0. Định nghĩa 1.4. Hàm V (t, x) : R+ × Rn → R, V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, khả vi liên tục được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.4) nếu (i) V (t, x) là hàm số xác định dương theo nghĩa ∃a(.) ∈ κ : V (t, x) ≥ a( x ), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn . ∂V ∂V (ii) V˙ (t, x(t)) = + f (t, x(t)) 0, với mọi nghiệm x(t) của hệ ∂t ∂x (1.4) Nếu hàm V (t, x) thỏa mãn thêm các điều kiện: (iii) ∃b(.) ∈ κ : V (t, x) b( x ), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn . (iv) ∃c(.) ∈ κ : V˙ (t, x(t)) −c( x(t) ), với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.4) thì ta gọi hàm V (t, x) là hàm Lyapunov chặt của hệ (1.4). Định lý 1.3. Nếu hệ (1.4) có hàm Lyapunov thì hệ là ổn định. Hệ (1.4) có hàm Lyapunov chặt thì hệ là ổn định tiệm cận. Ví dụ 1.3. Xét hệ phương trình vi phân x˙ = −(x − 2y)(1 − x2 − 3y 2 ), y˙ = −(x + y)(1 − x2 − 3y 2 ). Lấy V (x, y) = x2 + 2y 2 . Hàm này là xác định dương. Ta có V˙ (x, y) = −2(1 − x2 − 3y 2 )(x2 + 2y 2 ) ≤ 0 với x, y đủ bé. Vậy hệ đã cho là ổn định. Ví dụ 1.4. Xét hệ phương trình vi phân x˙ = −x + y + xy, y˙ = x − y − x2 − y 3 . 10 Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC Xét hàm V (x, y) = x2 + y 2 . Ta có V (x, y) ≥ 0, và V (0, 0) = 0. V˙ (x, y) = 2xx˙ + 2y y˙ = 2x(−x + y + xy) + 2y(x − y − x2 − y 3 ) = −2x2 + 2xy + 2x2 y + 2xy − 2y 2 − 2yx2 − 2y 4 = −2(x2 − 2xy + y 2 ) − 2y 4 = −2(x − y)2 − 2y 4 < 0, (x, y) = (0, 0) Vậy hệ là ổn định tiệm cận. Định lý 1.4. Giả sử tồn tại hàm V (t, x) : R+ × Rn → R+ thỏa mãn điều kiện: (i) ∃C1 , C2 > 0 : C1 x 2 V (t, x) C2 x 2 , ∀(t, x) ∈ R × Rn (ii) ∃C3 > 0 : V˙ (t, x(t)) ≤ −C3 x(t) 2 , ∀x(t) là nghiệm của phương trình (1.4) thì hệ đã cho là ổn định mũ và ta có đánh giá: C3 C2 − 2C e 2 t x0 . C1 x(t) Ví dụ 1.5. Xét hệ phương trình vi phân x˙1 = x2 − x1 , 1 1 x˙2 = − x1 − x2 . 3 3 Lấy V (x) = x21 + 3x22 , ta có x 2 V (x) 3 x 2. V˙ (x) = 2x1 x˙1 + 6x2 x˙2 1 1 = 2x1 (x2 − x1 ) + 6x2 (− x1 − x2 ) 3 3 2 = −2(x1 + x2 ). Theo định lý trên suy ra hệ đã cho ổn định mũ với M = Ví dụ 1.6. Xét hệ phương trình vi phân sau:  1   x˙ = − et x, 2 1   y˙ = − et y. 2 11 √ 1 3, α = . 3 Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC Lấy V (t, x, y) = x2 + y 2 . ta có: V˙ (t, x, y) = 2xx˙ + 2y y˙ = −et (x2 + y 2 ) −(x2 + y 2 ). Suy ra hệ phương trình vi phân thỏa mãn định lý với C1 = C2 = C3 = 1 1 do đó hệ đã cho ổn định mũ với M = 1, α = . 2 1.2.3 Một số bổ đề bổ trợ Ta nhắc lại một số bổ đề, bất đẳng thức sẽ sử dụng để chứng minh các kết quả chính trong các chương sau Bổ đề 1.1. ( Bất đẳng thức ma trận Cauchy ) Giả sử N ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương và x, y ∈ Rn , ta có 2 < x, y > < N x, x > + < N −1 y, y > . Bổ đề 1.2. ( Bất đẳng thức tích phân ) Giả sử M ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó với mọi số γ > 0 và với mọi hàm khả tích ω : [0, γ] −→ Rn , ta có T γ ω(s)ds γ M γ ω(s)ds 0 0 ω T (s)M ω(s))ds. γ 0 Bổ đề 1.3. (Bổ đề Schur ) Cho các ma trận đối xứng X, Y, Z ∈ Rn×n thỏa mãn X = X T , Y = Y T > 0. Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0 khi và chỉ khi X ZT Z −Y < 0 hoặc 12 −Y Z ZT X < 0. Chương 2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm, không ôtônôm và tính ổn định hóa hệ điều khiển không ôtônôm. Nội dung chương này được trình bày từ tài liệu [2,3,4,6,7]. 2.1 Hệ tuyến tính ôtônôm Xét hệ tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t), t ≥ 0, (2.1) trong đó A là (n × n)- ma trận. Nghiệm của hệ (2.1) xuất phát từ trạng thái ban đầu x(t0 ) = x0 cho bởi x(t) = eA(t−t0 ) x0 , 2.1.1 ∀t ≥ 0. Một số định lý cơ sở Định lý 2.1. Hệ (2.1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của ma trận A là âm, tức là Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A). Chứng minh. Từ lý thuyết về ma trận và theo công thức Sylvester [2] áp dụng cho f (λ) = eλ , ta có q t (Zk1 + Zk2 + ... + Zkα tαk −1 )eλk , eAt = k=1 13 Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính trong đó: λk là các giá trị riêng của A, αk là chỉ số mũ bội của các λk trong phương trình đa thức đặc trưng của A. Zki là các ma trận hằng số. Do đó ta có đánh giá sau q e At αk ti−1 eReλk t Zki . ≤ k=1 i=1 Vì Reλk < 0 nên x(t) → 0 khi t → +∞. Ngược lại, nếu hệ là ổn định mũ, khi đó mọi nghiệm x(t), x(t0 ) = x0 của hệ (2.1) thỏa mãn điều kiện x(t) ≤ µ x0 e−δ(t−t0 ) , t ≥ t0 , (2.2) với µ > 0, δ > 0 nào đó. Ta giả sử phản chứng rằng có một λ0 ∈ λ(A) sao cho Reλ0 ≥ 0. Khi đó với vectơ riêng x0 ứng với λ0 này ta có Ax0 = λ0 x0 và khi đó nghiệm của hệ với x0 (t) = x0 là x0 (0) = x0 eλ0 t , lúc đó ta có x0 (t) = x0 eReλ0 t , t ≥ 0, khi đó nghiệm x0 (t) → +∞ khi t → +∞, vô lý với điều kiện (2.2). Định lý được chứng minh. Ví dụ 2.1. Xét tính ổn định của hệ x˙ = −x + y, y˙ = 2x − 3y. Ta có: A= −1 1 2 −3 , và phương trình đặc trưng −1 − λ 1 2 −3 − λ = 0, √ √ có nghiệm λ1 = −2 − 3 < 0, λ2 = −2 + 3 < 0. Vậy hệ trên là ổn định tiệm cận. 14 Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Ví dụ 2.2. Xét tính ổn định của hệ : x˙ = 2x − y + 2z, y˙ = 5x − 3y + 3z, z˙ = −x − 2z. Ta có: A= 2 −1 2 5 −3 3 , −1 0 −2 và phương trình đặc trưng: 2−λ −1 2 5 −3 − λ 3 = −(λ + 1)3 = 0, −1 0 −2 − λ có nghiệm λ = −1(bội 3) Vì hệ trên có nghiệm λ = −1 < 0, nên hệ là ổn định tiệm cận. Định lý sau cho một tiêu chuẩn khác về tính ổn định hệ phương trình tuyến tính ôtônôm (2.1) thông qua phương trình Lyapunov. Xét phương trình Lyapunov dạng AT P + P A = −Q, (LE) trong đó P, Q là các ma trận (n × n) chiều và gọi là cặp nghiệm của (LE). Định lý 2.2. Hệ (2.1) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi với bất kì một ma trận Q đối xứng, xác định dương, phương trình Lyapunov LE : AT P + P A = −Q, có nghiệm P đối xứng, xác định dương. Chứng minh. Giả sử (LE) có nghiệm là ma trận P > 0, với Q > 0. Với x(t) là một nghiệm tùy ý của (2.1) với x(t0 ) = x0 , t0 ∈ R+ , ta xét hàm số V (x(t)) =< P x(t), x(t) >, t ≥ t0 . Ta có d V (x(t)) =< P x, ˙ x > + < P x, x˙ > dt =< (P A + AT P )x, x > = − < Qx(t), x(t) > . 15 Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Do đó t V (x(t)) − V (x(t0 )) = − < Qx(s), x(s) > ds. t0 Vì P là xác định dương nên V (x(t)) ≥ 0, với mọi t ≥ t0 và do đó t < Qx(s), x(s) > ds ≤ V (x0 ) =< P x0 , x0 > . t0 Mặt khác, vì Q xác định dương, nên tồn tại số α > 0 sao cho < Qx, x >≥ α x 2 , Do đó t x(s) 2 ds ≤ t0 ∀x ∈ Rn , < P x0 , x0 > . α Cho t → +∞ ta được +∞ x(s) 2 ds < +∞. (2.3) t0 Ta sẽ chứng minh Reλ < 0 với mọi λ ∈ λ(A). Thật vậy, giả sử có một số λ0 ∈ λ(A) mà Reλ0 ≥ 0. Lấy x0 ∈ Rn ứng với giá trị riêng λ0 này, thì nghiệm của hệ (2.1) sẽ cho bởi x1 (t) = eλ0 (t) x0 và do đó ∞ ∞ 2 x1 (t) dt = e2Reλ0 t x0 2 dt = +∞, t0 t0 vì Reλ > 0, vô lý với điều kiện (2.3). Ngược lại, giả sử A là ma trận ổn định, tức là Reλ < 0 với mọi λ ∈ λ(A). Với bất kì ma trận Q đối xứng, xác định dương, xét phương trình ma trận sau ˙ Z(t) = AT Z(t) + Z(t)A, ∀t ≥ t0 , (2.4) Z(t0 ) = Q. Nhận thấy rằng hệ (2.4) có một nghiệm riêng là T Z(t) = eA t QeAt . Đặt t Z(s)ds < ∞, P (t) = t0 16 Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính là xác định và do Q là đối xứng nên P cũng là đối xứng. Mặt khác, lấy tích phân hai vế phương trình (2.4) từ t đến t0 ta có Z(t) − Q = AT P + P A, ∀t ≥ t0 . Cho t → +∞ để ý rằng Z(t) → 0 khi t → +∞ và vì A là ổn định, nên ta được −Q = AT P + P A, hay các ma trận đối xứng P, Q thỏa mãn (LE). Ta chỉ còn chứng minh P là ma trận xác định dương. Thật vây, ta có ∞ T < QeA t x, eAt x > dt. < P x, x >= t0 Do Q > 0 và eAt là không suy biến nên < P x, x >> 0, x = 0. Định lý được chứng minh. Ví dụ 2.3. Xét tính ổn định của hệ:   x˙ = − 21 x + 2y − 3z, y˙ = −x − 41 y + 3z,  z˙ = x − 2y − 16 z. Ta có:  − 21 2 −3 A = −1 − 41 3  , 1 −2 − 16  Chọn ma trận : Q= 1 0 0 0 1 0 , 0 0 1 ta thấy Q là ma trận đối xứng, xác định dương. Thay vào phương trình Lyapunov LE: AT P + P A + Q = 0, ta tìm được nghiệm P là P= 1 0 0 0 2 0 , 0 0 3 17 Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính vì P là hàm đối xứng, xác định dương nên hệ là ổn định tiệm cận theo Lyapunov. Điều phải chứng minh. 2.1.2 Bài toán ổn định hóa Xét hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, (2.5) trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển, u(.) thuộc lớp hàm khả tích bậc hai trên các đoạn hữu hạn [0, s], ∀s ≥ 0 và lấy giá trị trong Rm , f : R+ × Rn × Rm → Rn là hàm vectơ cho trước được giả thiết thỏa mãn f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Định nghĩa 2.1. Hệ điều khiển (2.5) được gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm h(x) : Rn → Rm sao cho với u(t) = h(x(t)) hệ phương trình vi phân sau (thường gọi là hệ đóng, closed- loop system): x(t) ˙ = f (t, x(t), h(x(t)), ∀t ≥ 0, (2.6) là ổn định tiệm cận. Hàm u(t) = h(x(t)) thường được gọi là hàm điều khiển liên hệ ngược. Xét hệ tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), ∀t ≥ 0, (2.7) trong đó A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m là các ma trận hàm. Định lý 2.3. Hệ tuyến tính (2.7) ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận A + BK là ma trận ổn định, tức là các phần thực của giá trị riêng của (A + BK) là âm. Chứng minh. Lấy điều khiển liên hệ ngược u(t) = Kx(t), trong đó K ∈ Rm×n , ta có hệ đóng là x(t) ˙ = [A + BK]x(t), t ≥ 0. Do đó theo Định lý 2.1, hệ đóng là ổn định nếu Reλ(A + BK) < 0. Ví dụ 2.4. Xét tính ổn định hóa hệ điều khiển sau 1 2 −1 x(t) ˙ = 0 4 x(t) + −3 u(t), 18 t ≥ 0. Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Theo định nghĩa, ta tìm ma trận điều khiển ngược K = (k1 , k2 ) sao cho ma trận 1 2 −1 A + BK = 0 4 + −3 (k1 , k2 ) là ma trận ổn định, t.l. các phần thực các giá trị riêng của ma trận này là âm. Ta có 1−k 2−k A + BK = −3k 1 4 − 3k2 . 1 2 Do đó ta chọn k1 = 2, k2 = 2 thì K = (2, 2) và: −1 0 A + BK = −6 −2 , khi đó các giá trị riêng của ma trận A + BK là −1, −2, suy ra hệ là ổn định hóa được và hàm điều khiển liên hệ ngược là x u(t) = (2, 2) x1 2 = 2x1 (t) + 2x2 (t). Định lý sau cho một tiêu chuẩn ổn định hóa khác của hệ (2.7). Định lý 2.4. Hệ tuyến tính (2.7) ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận đối xứng, xác định dương P, Q thỏa mãn phương trình ma trận sau: AT P + P A − P BB T P + Q = 0, và ma trận điều khiển liên hệ ngược là: 1 u(t) = − B T P x(t), 2 t ≥ 0. (2.8) Chứng minh. Xét hàm liên hệ ngược (2.8), ta có hệ đóng là : 1 x(t) ˙ = [A − BB T P ]x(t), 2 t ≥ 0. (2.9) Xét hàm Lyapunov cho hệ đóng (2.9): V˙ (x(t)) =< P x(t), x(t) >, t ≥ 0. Ta chứng minh đây là hàm Lyapunov chặt cho hệ (2.9) và khi đó theo Định lý 1.3, hệ đóng là ổn định tiệm cận. Thật vậy, dễ thấy điều kiện (i), (ii) của Định nghĩa 1.4 thỏa mãn: λmin (P ) x 2 ≤ V (x) ≤ λmax (P ) x 2 . 19 Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Để kiểm tra điều kiện (iv) ta có: V˙ (x(t)) = 2 < P x(t), ˙ x(t) > 1 = 2 < P [A − BB T P ]x(t), x(t) > 2 T =< (A P + P A − P BB T P )x(t), x(t) > . Theo phương trình ma trận (2.8) ta có: x(t) ˙ = − < Qx(t), x(t) > ≤ −λmin (Q) x 2 . Suy ra điều kiên (iv) của Định nghĩa 1.4. Định lý được chứng minh. Ví dụ 2.5. Xét tính ổn định của hệ sau x˙ = 143 4 x + 9y y˙ = 62x + 142 4 y. 1 0 6 là ma trận đối xứng, xác định dương, và B = 0 2 6 Ta thấy phương trình LE : Chọn Q = AT P + P A − P BB T P + Q = 0, 2 0 0 2 , là đối xứng, xác định dương. Vậy hệ là ổn định hóa. có nghiệm : P = 2.2 Hệ tuyến tính không ôtônôm Xét hệ tuyến tính điều khiển không ôtônôm (LTV) sau: x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t), ∀t ∈ R+ , x(0) = x0 , (2.10) trong đó, A ∈ BC([0, ∞), Rn×n ), B ∈ BC([0, ∞), Rn×m ), ∀u(.) ∈ L2 ([0, t], Rm ), ∀t ≥ 0, nghiệm của (2.10) được cho bởi t x(t) = S(t)x0 + S(t)S −1 (s)B(s)u(s)ds, 0 20 Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính trong đó S(t) là ma trận nghiệm của hệ thuần nhất x˙ = A(t)x(t), t ∈ R+ . Nói cách khác, nghiệm được cho bởi dạng Cauchy t x(t) = U (t, 0)x0 + U (t, s)B(s)u(s)ds, 0 với U (t, s) = S(t)S −1 (s) là ma trận chuyển của hệ. Nghiệm của hệ LTV được xác định theo phương trình vi phân Riccati (RDE) sau P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)B T (t)P (t) + Q(t) = 0, ∀t ≥ 0. (2.11) Định nghĩa 2.2. [3] Cho Q ∈ BC([0, ∞), Rn×n ). Hệ tuyến tính (2.10) là Q− ổn định nếu với mọi trạng thái ban đầu x0 , có điều khiển u(.) ∈ L2 ([0, ∞), Rm ) sao cho hàm: ∞ [ u(t) 2 + < Q(t)x(t), x(t) >]dt, J(u) = 0 tồn tại và hữu hạn, trong đó x(t) là nghiệm của hệ. Mệnh đề 2.1. [3] Nếu hệ tuyến tính (2.10) là Q− ổn định, thì RDE (2.11) có nghiệm P ∈ BC + ([0, ∞), Rn×n ). Định nghĩa 2.3. Ma trận hàm P (.) là xác định dương đều (kí hiệu P >> 0), nếu ∃c > 0, ∀x ∈ Rn , ∀t ∈ R+ :< P (t)x, x >≥ c x 2 . Ví dụ 2.6. Ma trận P = e−t 0 , 0 e−2t là ma trận xác định dương, nhưng không xác định dương đều. Ma trận ecos P = 0 2 t 0 sin2 t e , là xác định dương đều, vì ta có: < P (t)x, x >≥ 2 x 2 , 21 ∀x ∈ R2 . Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Mệnh đề 2.2. [5] Cho x ∈ Rn , M ∈ Rm×n , P ∈ Rn×n , với P là đối xứng. Khi đó các điều kiện sau là tương đương (i) < P x, x >< 0, M x = 0, x = 0. (ii) ∃β ∈ R : P − βM T M < 0. (iii) ∃Q ∈ Rn×m : P + QM + M T QT < 0. 2.2.1 Bài toán ổn định Cho A ∈ BC([0, +∞), Rn×n ). Ta xét hệ tuyến tính không ôtônôm LTV sau: x(t) ˙ = A(t)x(t), ∀t ≥ 0. (2.12) Định nghĩa 2.4. Hệ LTV (2.12) là ổn định mũ nếu tồn tại số N > 0, δ > 0 sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ với x(s) = x0 thỏa mãn x(t) ≤ N x0 e−δ(t−s) , ∀t ≥ s ≥ 0. Ta đã biết với hệ ôtônôm mà A là ma trận hằng sao cho tất cả các phần thực của giá trị riêng là âm hoặc nếu có nghiệm P đối xứng, xác định dương của bất đẳng thức Lyapunov AT P + P A < 0, thì hệ ôtônôm là ổn định mũ. Điều này không còn đúng với hệ không ôtônôm, ngay cả khi ma trận A(t) là ổn định với mọi t. Ta xét điều kiện cần và đủ cho sự ổn định mũ của hệ LTV qua bất đẳng thức Lyapunov biến thiên. Cho A ∈ BC([0, ∞), Rn×n ), Q ∈ Rn×n , đặt MA = Q ∈ M + : Q − [A(t) + AT (t)] >> 0. Với mọi Q ∈ MA , xét bất đẳng thức Lyapunov biến thiên sau (LE + ) P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) + Q ≤ 0, t ≥ 0. Định lý 2.5. Với mọi A ∈ BC([0, ∞), Rn×n ), hai điều kiện sau tương tương (i) Hệ (2.12) là ổn định mũ. 22 Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính (ii) Bất đẳng thức Lyapunov (LE + ) có nghiệm P ∈ BC([0, ∞), Rn×n ) với mọi Q ∈ MA . Chứng minh. (i) → (ii). Cho A ∈ BC([0, ∞), Rn×n ), Q ∈ MA , xét hàm P (t) sau: ∞ U T (τ, t)QU (τ, t)dτ, P (t) = ∀t ≥ 0. t + Ta chứng minh P (t) chính là nghiệm của (LE + ). Thật vậy, dễ thấy ngay P (t) là ma trận đối xứng, xác định dương. Hơn nữa, từ giả thiết (i), vì hệ (2.12) là ổn định mũ nên ta có ∃N > 0, δ > 0 : U (t, s) ≤ N e−δ(t−s) , ∀t ≥ s ≥ 0, trong đó U (t, s) là ma trận chuyển của hệ. + Ta chứng minh P ∈ BC([0, ∞), Rn×n ). Ta có: ∞ ∞ T U (τ, t)QU (τ, t)dτ ≤ P (t) = t ∞ = t Q Ne −δ(τ −t) 2 N ∞ 2 dτ ≤ N Q t = U (τ, t) 2 dτ Q e−2δ(τ −t) dτ t 2 Q . 2δ Vậy P (t) là bị chặn. + Ta chứng minh P (t) là nghiệm của (LE + ). Thay U (τ, t) = S(τ )S −1 (t) trong (2.13), và nhận xét rằng: −1 U T (τ, t) = S T (t)S T (τ ), ta có ∞ P (t) = −1 S T (t)S T (τ )QS(τ )S −1 (t)dτ. t Vi phân hai vế của hàm trên theo t và sử dụng đẳng thức S˙ −1 (t) = −S −1 (t)A(t), −1 −1 S˙ T (t) = −AT (t)S T (t), 23 (2.13) Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính ta có ∞ d −1 P˙ (t) = −AT (t)P (t) − P (t)A(t) + S T (t) dt = −AT (t)P (t) − P (t)A(t) − Q. Vì: d dt S T (τ )QS(τ )dτ S −1 (t) t ∞ S T (τ )QS(τ )dτ = −S T (t)QS(t), t Vậy bất đẳng thức Lyapunov có nghiệm là P (t). (ii) → (i). Giả sử Q ∈ MA , và P ∈ BC([0, ∞), Rn×n ) sao cho P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) + Q = 0, ∀t ≥ 0. Xét hàm Lyapunov của hệ (2.12) : V (t, x) =< P (t)x, x > + x 2 , x ∈ Rn . Đặt p = supt∈Rn P (t) . Ta có x 2 ≤ V (t, x) ≤ (p + 1) x 2 , ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn . Lấy đạo hàm dọc theo nghiệm x(t) của hệ (2.12) ta được ∂V (.) ∂V (.) + A(t)x(t) V˙ (t, x(t)) = ∂t ∂x =< P˙ (t)x(t), x(t) > +2 < P (t)x(t), ˙ x(t) > +2 < x(t), ˙ x(t) > =< [P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)]x(t), x(t) > + < [AT (t) + A(t)]x(t), x(t)) > . ≤ − < [Q − (A(t) + AT (t))]x(t), x(t) > . Mặt khác, vì Q ∈ MA , tức là ma trận: Q − [A(t) + AT (t)] >> 0, nên ∃ > 0 sao cho : < (Q − [A(t) + AT (t)])x(t), x(t) >≥ Vậy ta có: V˙ (t, x(t)) ≤ − x 2 , 24 ∀t ≥ 0. x 2. Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Theo Định lý 1.4, hệ (2.12) là ổn định mũ. Ví dụ 2.7. Xét hệ LTV trong R2 x˙1 (t) = 12 (cost − esint )x1 (t) + sin2 t x2 (t), x˙2 (t) = −sin2 t x1 (t) + 21 (cost − esint )x2 (t). Khi đó A(t) = 1 2 (cost − esint ) −sin2 t sin2 t , 1 sint ) 2 (cost − e t ≥ 0. Đặt Q = I, ta thấy Q ∈ MA , từ I > A(t) + AT (t) = cost − esint 0 . 0 cost − esint Bằng tính toán đơn giản, ta chỉ ra rằng P (t) = e−sint 0 −sint , 0 e là nghiệm của (LE + ). Khi đó hệ là ổn định mũ. Ta xét hệ (2.12), trong đó A ∈ BC + ([0, ∞), Rn×n ), Đặt V (t, x) =< P (t)x, x > + x 2 . Lấy đạo hàm của V (t, x) dọc theo nghiệm x(t) của hệ (2.12) ta được ∂V (.) ∂V (.) V˙ (t, x(t)) = + A(t)x(t) ∂t ∂x =< P˙ (t)x(t), x(t) > +2 < P (t)x(t), ˙ x(t) > +2 < x(t), ˙ x(t) > =< P˙ (t)x(t), x(t) > +2 < P (t)x(t), ˙ x(t) > + < (AT (t) + A(t)x(t), x(t) > . Vậy, hệ (2.12) là ổn định mũ nếu với bất kì x(0) = x0 = 0 sao cho V˙ (t, x(t)) < 0, ∀x(t) = 0, x(t) ˙ = A(t)x(t), t ∈ R+ , Cho Q ∈ MA , ta đặt T z = [x(t), x(t)] ˙ , Nt = [A(t) − I], 25 Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính ˙ Q 0 Lt (P ) = P (t) P (t) + 0 0 . P (t) 0 Khi đó tính ổn định mũ của hệ tương đương với điều kiện z T Lt (P )z < 0, Nt z = 0, t ∈ R+ . Từ Mệnh đề 2.2 và Định lý 2.3, ta đưa ra hệ quả cho tính ổn định mũ của hệ LTV (2.12) sau Hệ quả 2.1. [7] Cho A ∈ BC([0, ∞)Rn×n ), khi đó các điều kiện sau là tương đương (i) Hệ LTV (2.12) là ổn định mũ, tức là z T Lt (P )z < 0, (ii) ∃β > 0, ∀t ∈ R+ : Nt z = 0, z = 0, t ∈ R+ . Lt (P ) − βNtT Nt < 0. (iii) ∃M ∈ R2n×n , ∀t ∈ R+ : Lt (P ) + M Nt + NtT M T < 0. 2.2.2 Bài toán ổn định hóa Xét hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t), , x(0) = x0 , ∀t ≥ 0. (2.14) trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển, A(t) ∈ Rn×n , B(t) ∈ Rn×m là ma trận hàm. Xét hệ điều khiển liên hệ ngược u(t) = K(t)x(t), t ≥ 0. (2.15) Định nghĩa 2.5. Hệ điều khiển (2.14) là ổn định hóa được nếu có hàm điều khiển liên hệ ngược (2.15) sao cho hệ đóng x(t) ˙ = [A(t) + B(t)K(t)]x(t), là ổn định tiệm cận. 26 t ∈ R+ (2.16) Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Định lý 2.6. Hệ (2.14) là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận P (t) đối xứng, xác định dương đều, bị chặn và ma trận hằng số Q > 0 thỏa mãn phương trình Riccati sau : P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)B T (t)P (t) + Q = 0, và hàm điều khiển liên hệ ngược là: 1 u(t) = − B T (t)P (t)x(t), 2 t ≥ 0. Chứng minh. Xét hàm Lyapunov cho hệ đóng (2.14): V (t, x(t)) =< P (t)x(t), x(t) >, ta có ngay: α2 x(t) 2 ≤ V (t, x(t)) ≤ α1 x(t) 2 , trong đó : α1 = sup P (t) . t≥0 α2 = c, (< P (t)x, x >≥ c x 2 , ∀t, ∀x). Đạo hàm theo t của hàm V (.) ta có: V˙ (t, x(t)) =< P˙ (t)x(t), x(t) > +2 < P (t)x(t), ˙ x(t) > =< P˙ (t)x(t), x(t) > + < (AT (t)P (t) + P (t)A(t))x(t), x(t) > − < P (t)B(t)B T (t)x(t), x(t) > = − < Qx(t), x(t) > ≤ −λmin (Q) x(t) 2 . Vậy V (t, x(t)) là hàm Lyapunov chặt của hệ đóng. Định lý được chứng minh. Ví dụ 2.8. Xét tính ổn định của hệ sau:  −et − 1   x˙ = x t 2e 2t t   y˙ = e − e − 1 y. 2et 27 Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Khi đó :  −et − 1 0 t   A(t) =  2e , 2t t e − e − 1 0 2et  Vì ma trận et 0 , 0 et P (t) = là ma trận đối xứng, xác định dương đều và ma trận hằng số 1 0 Q= 0 1 , t B(t) = 1 , thỏa mãn phương trình Riccati: P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)B T (t)P (t) + Q = 0, Vậy hệ trên là ổn định hóa. Sau đây ta xét bài toán ổn định hóa được thông qua điều khiển liên hệ ngược theo đầu ra u(t) = F y(t) cho hệ điều khiển quan sát sau x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t), y(t) = C(t)x(t), t ≥ 0, (2.17) trong đó, y(t) ∈ RP là biến quan sát đầu ra, C(t) ∈ Rp×n . Định nghĩa 2.6. Hệ (2.17) là ổn định hóa được bởi ma trận ổn định liên hệ ngược theo đầu ra u(t) = K(t)y(t), nếu hệ đóng: x(t) ˙ = [A(t) + B(t)K(t)C(t)]x(t), là ổn định tiệm cận. Ta giả sử ma trận hàm A(t), B(t), C(t) là liên tục trong t ∈ R+ , và hàm điều khiển u(t) ∈ L2 ([0, T ], Rm ), ∀T > 0. Do đó với mỗi x0 ∈ Rn và với mọi điều khiển u(t), nghiệm của hệ (2.17) được cho bởi t x(t) = Φ(t, 0)x0 + Φ(t, s)B(s)u(s)ds, 0 trong đó φ(t, s) là ma trận chuyển ổn định của hệ. 28 Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Định nghĩa 2.7. [6]. Hệ [A(t), B(t)] là điều khiển được hoàn toàn về 0 trong thời gian hữu hạn nếu với mọi x0 ∈ Rn , ∃T > 0 và điều khiển u(t) sao cho T Φ(N, 0)x0 + Φ(T, s)B(s)u(s)ds = 0. 0 Đặt N Φ(T, s)B(s)B T (s)ΦT (s)ds, CT = 0 M (t) = [M0 (t), M1 (t), ..., Mn−1 (t)], trong đó M0 = B(t), d Mi+1 (t) = −A(t)Mi (t) + Mi (t), i = 0, 1, ...., n − 2. dt Mệnh đề 2.3. [6] Hệ điều khiển [A(t), B(t)] là điều khiển được hoàn toàn về 0 trong thời gian hữu hạn nếu và chỉ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: (i) Ma trận CT là xác định dương với T > 0 nào đó. (ii) A(t), B(t) là hàm khả tích và rank M (t0 ) = n với t0 > 0. nào đó. Cùng với hệ [A(t), B(t)] ta xét RDE sau: P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)B T (t)P (t) + Q(t) = 0, (2.18) trong đó P (.), Q(.) ∈ Rn×n . Mệnh đề 2.4. [3] Nếu hệ [A(t), B(t)] là điều khiển được hoàn về 0 trong thời gian hữu hạn, thì với mọi ma trận Q(t) đối xứng, xác định dương phương trình RDE (2.18) có nghiệm P (t) ∈ M ([0, +∞), Rn+ ). Mệnh đề 2.5. [7] Với mọi ma trận thực A(t) ∈ Rn×n , tồn tại ma trận Q(t) ≥ 0 sao cho Q(t) − A(t) ≥ 0, ∀t ≥ 0. 29 Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Chứng minh. Cho αt = (α1 (t), α2 (t), ..., αn (t) ∈ Rn , t ∈ R+ , ta đặt   α1 (t) 0 0 ... 0  0 α2 (t) 0 ... 0  Q(αt ) =   ... 0 0 0 ... αn (t) Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại số αi (t), i = 1, 2, ..., n sao cho Q(α(t) − A(t) ≥ 0. Đặt A(t) = [aij (t)], i, j = 1, 2, ..., n. Với mọi vectơ x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , ta có n n a2ij (t)x2i < A(t)x, x >= + i=1 [aij (t) + aji (t)]xi xj . i=j Đặt 1 αi (t) = aii (t) + 4 n a2ij (t) + n − 1, j=i Ta thấy n < (Q(α(t)) − A(t))x, x >= 1 (xi − aji (t)xj )2 ≥ 0 2 i,j=1,i=j với mọi x ∈ Rn . Đặt αi (t) ≥ max {αi (t), 0}. Mệnh đề 2.6. [4] Cho A, B ∈ Rn×n là các ma trận thực. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) AB + BA ≥ 0, nếu A ≥ 0, B ≥ 0, (ii) λmin (A) ≥ 0, nếu A ≥ 0 và đối xứng. Xét hệ điều khiển tuyến tính (2.17), trong đó A(t) ∈ Rn×n , B(t) ∈ Rn×m là các hàm liên tục. Ta sẽ sử dụng giả thiết sau cho đầu ra của ổn định hóa: H.1 Hệ điều khiển tuyến tính [A(t), B(t)] là điều khiển được hoàn toàn về 0 trong thời gian hữu hạn H.2 Có D ∈ Rn×r sao cho DC là đối xứng và thỏa mãn. λmax (I − D(t)C(t)) ≤ 0 ∀t ∈ R+ . (2.19) Định lý sau chỉ ra rằng điều khiển được hoàn toàn về 0 đảm bảo cho tính ổn định hóa ngược của hệ (2.14). 30 Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Định lý 2.7. [7] Giả sử rằng giả thiết H.1 và H.2 thỏa mãn. Khi đó hệ tuyến tính (2.17) là ổn định. Điều khiển ngược ổn định được cho bởi : 1 u(t) = − B T (t)[P (t) + I]D(t)y(t), 2 ∀t ∈ R+ , trong đó P (t) là nghiệm của RDE (2.18) với Q(t) = Q(αt ) + I, > 0, thỏa mãn Q(αt ) ≥ A(t) + AT (t) − B(t)B T (t)D(t)C(t). (2.20) Chứng minh. Cho D(t) ∈ Rn×r là ma trận xác định từ giả thiết H.2. Từ Mệnh đề 2.6 có αt ≥ 0 sao cho ma trận Q(αt ) ≥ 0 thỏa mãn điều kiện (2.20). Với > 0, từ tính điều khiển được hoàn toàn về 0 của hệ [A(t), B(t)] cùng với hệ RDE (2.18), trong đó Q(t) = Q(αt ) + I, n ).Cho: từ Mệnh đề 2.5, có nghiệm P (t) ∈ M ([0, ∞), R+ sup P (t) ∞ = p < +∞. t∈R+ Xét hàm sau: V (t, x) =< P (t)x, x > + x 2 . Ta sẽ chỉ ra rằng hàm V (t, x) là hàm Lyapunov của hệ đóng (2.17) với điều khiển ngược 1 u(t) = − B T (t)[P (t) + I]H(t)x(t), 2 t ∈ R+ , trong đó H(t) = D(t)C(t). Thật vậy, ta có V (t, x) ≤ p x 2 + x 2 = (p + 1) x 2 . Mặt khác, từ P (t) ≥ 0, ta có V (t, x) =< P (t)x, x > + x 2 ≥ x 2, Khi đó x 2 ≤ V (t, x) ≤ (p + 1) x 2 , 31 ∀x ∈ Rn . Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Lấy đạo hàm của V (.) dọc theo nghiệm x(t) của hệ (2.17), ta được V˙ (t, x) =< P˙ x, x > +2 < P x, ˙ x > +2 < x, ˙ x> = − x 2 − < (Q − A − AT + BB T H)x, x > + < P BB T P x, x > − < P BB T P Hx, x > − < [P BB T H + BB T P H]x, x > = − x 2 − < (Q − A − AT + BB T H)x, x > + < W P BB T P x, x > − < RHx, x >, (2.21) trong đó W = I − H, R = P BB T + BB T P , chú ý rằng < RHx, x > =< P BB T (I − H)x, x > + < BB T P (I − H)x, x > − < (P BB T + BB T P )x, x > =< W BB T P x, x > + < W P BB T x, x > − < Rx, x > Vì P (t), H(t) là đối xứng. Khi đó từ (2.21) ta có V˙ (t, x) = − x 2 − < (Q − A − AT + BB T H)x, x > + < W P BB T P x, x > + < W BB T P x, x > + < W P BB T x, x > − < Rx, x > . Sử dụng mệnh đề 2.6 (ii), ta có V˙ (t, x) ≤ x 2 + < (Q − A − AT + BB T H)x, x > +λmax (W ) < P BB T P x, x > + λmax (W ) < P BB T x, x > +λmax (W ) < BB T P x, x > − < Rx, x > ≤ λmax (W )[< P BB T P x, x > + < Rx, x >]− < Rx, x > . (2.22) Hơn nữa, ta có : < Rx, x >=< [P (t)B(t)B T (t) + B(t)B T (t)P (t)]x(t), x(t) >≥ 0. Vì λmax (W ) ≤ 0, < P BB T x, x >≥ 0, < Rx, x >≥ 0, Từ (2.22) ta có: V˙ (t, x) ≤ − x 2 − < (Q − A − AT + BB T H)x, x > . Sử dụng điều kiện (2.19) và (2.20) và chọn Q(t) như trên, ta có V˙ (t, x) ≤ − x 32 2 < 0, ∀t, x, Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Mặt khác, do V (t, x) ≤ (p + 1) x 2 , ∀t ≥ 0 Nên ta có − V˙ (t, x(t)) ≤ − V (t, x(t)), p+1 ∀t ≥ 0. Định lý được chứng minh. Hệ quả 2.2. Nếu C(t) = I, thì ta có thể lấy D = I, và điều kiện (2.19) được thỏa mãn. Trong trường hợp này, Định lý 2.7 cũng chỉ ra rằng hệ [A(t), B(t)]- hệ điều khiển được hoàn toàn về 0 là ổn định bởi điều khiển liên hệ ngược. Tuy nhiên, nếu C(t) có hạng đầy, để C(t)C T (t) là khả nghịch, D = C T (CC T )−1 , ta có D(t)C(t) = I, tức là W = 0 và điều kiện (2.19) cũng thỏa mãn. Từ chứng minh của Định lý 2.7, ta cũng từng bước tìm được điều khiển ngược của hệ (2.15). Bước 1. Thử lại tính điều khiển được hoàn toàn về 0 của hệ (2.15) bởi những điều kiện trong Mệnh đề 2.4. Bước 2. Xác định D(t) thỏa mãn điều kiện H.2 và sau đó Q(αt ) ≥ 0 thỏa mãn điều kiện (2.20). Ma trận Q(αt ) có thể tìm được từ Mệnh đề 2.6. Bước 3. Giải RDE (2.18), trong đó Q(t) = Q(αt ) + I ∀ > 0. Bước 4. Điều khiển liên hệ ngược theo đầu ra được xác định bởi (2.16), trong đó 1 K(t) = − B T (t)[P (t) + I]D(t), t ∈ R+ . 2 Ví dụ 2.9. Xét hệ (2.14) trong R2 , trong đó 0.0625e−t − 0.5et + 0.5 0 , A(t) = −2t 0 0.5e − 0.5 0.5 0 B(t) = 0 e−t , C(t) = 0 1 (t + 1) 0 , 1 1 Vì A(t), B(t) khả vi, ta có rank M(0)=2 vì xét trong R2 thì M (0) = [M0 (0), M1 (0)] mà M0 (0) = B(0) = 0.5 0 0 1 , nên ta có rankM0 (0) = 2. 33 Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Hơn nữa: M1 (0) = −A(0)M0 (0) + d 0.46875 0 M0 (0) = 0 1 , dt nên rankM1 (0) = 2 Vậy rank M(0) = 2, tức là hệ [A(t), B(t)] bởi Mệnh đề 2.4 là điều khiển được hoàn toàn về 0. Với 0.0625 0 0 0 = 0.0625. λ(A(0)) = λ khi đó ma trận A(t) là không ổn định. 1 0 t+1 0 Tuy nhiên, ta tìm được D(t) = , H(t) = I, vì thế W (t) = 0. 1 0 0 Nếu ta lấy αt = (0.45, 0.95), ta có Q(αt ) ≥ A(t) + AT (t) − B(t)B T (t)H(t). Lấy = 0.05, cho Q(t) = Q(αt ) + 0.05I, RDE (2.18) có nghiệm P(t) = 0.5e−t 0 . 0 1 Vì thế, hệ là ổn định với điều khiển liên hệ ngược theo đầu ra u(t) = K(t)y(t), trong đó K(t) = 1 0 − t+1 (0.125e−t + 0.25) 0 . −e−t 0 0 Với điều khiển liên hệ ngược theo đầu ra trên, hệ đóng có nghiệm x(t), trong đó x(0) = (x10 , x20 ) là vectơ trạng thái ban đầu. Dễ dàng chỉ ra được rằng |x1 (t)| ≤ |x10 |e−0.125t , |x2 (t)| ≤ |x20 |e−0.5t Khi đó hệ đóng là ổn định mũ. Ví dụ 2.10. Xét hệ điều khiển (2.14), trong R2 , trong đó A(t), B(t) xác định như ví dụ trên và C(t) = 1+t 0 −1 −(1 + e−t ) . 34 Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Từ C(t)C T (t) khả nghịch, ta lấy D = C T (CC T )−1 với D= (1+t)(1+e−t )2 −(1+t) (1+t)2 (1+e−t )2 −(1+t)2 −(1+t)(1+e−t ) (1+t)2 (1+e−t )2 −(1+t)2 0 −(1+t) (1+e−t ) (1+t)2 (1+e−t )2 −(1+t)2 2 . Trong trường hợp này ta có DC = 1 0 0 −(1+e−t )2 (1+e−t )2 −1 0 W (t) = I − D(t)C(t) = 0 , 0 1 (1+e−t )2 Vậy điều kiện (2.19) được thỏa mãn.Điều khiển liên hệ ngược theo đầu ra là −0.125e−t − 0.25 0 u(t) = y(t). e−t (1+t)(1+e−t ) e−t (1+t)2 (1+e−t ) (1+t)2 (1+e−t )2 −(1+t)2 35 (1+t)2 (1+e−t )2 −(1+t)2 KẾT LUẬN Luận văn giới thiệu một cách tổng quan các vấn đề chính sau: 1. Các kiến thức cơ sở về hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân điều khiển, các khái niệm về tính ổn định, tính ổn định hóa của hệ phương trình vi phân ôtônôm và không ôtônôm. 2. Trình bày một số kết quả chính về tính ổn định bằng phương pháp hàm Lyapunov với các ví dụ minh họa mới.. 3. Một số kết quả về bài toán ổn định hóa các hệ điều khiển. 36 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn và Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB Giáo Dục, 2000 . [2] Vũ Ngọc Phát , Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001. [3] A. Bensoussan et al, Representation and Control of Infinite- Dimensional System , Vol. II, Birkhauser, Boston, 1993. [4] P. Finsler, Uber das Vokommen definiter und semidefiniter Formen in Scharen quadratischer Formen, Comment. Math. Helv. 9 (1973), 1432-1436. [5] J. Klamka, Controllability of Dynamical Systems, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, 1991. [6] V. N Phat, Global stabilization for linear continuous time-varying systems, Appl. Math. Comput. 175 (2006) 1730-1743. [7] V. N Phat and V. Jeyakumar, Stability, stabilization and duality for linear time-varying systems, optimization, 59 (2010), 447-460. 37 [...]... ra điều kiên (iv) của Định nghĩa 1.4 Định lý được chứng minh Ví dụ 2.5 Xét tính ổn định của hệ sau x˙ = 143 4 x + 9y y˙ = 62x + 142 4 y 1 0 6 là ma trận đối xứng, xác định dương, và B = 0 2 6 Ta thấy phương trình LE : Chọn Q = AT P + P A − P BB T P + Q = 0, 2 0 0 2 , là đối xứng, xác định dương Vậy hệ là ổn định hóa có nghiệm : P = 2.2 Hệ tuyến tính không ôtônôm Xét hệ tuyến tính điều khiển không ôtônôm. .. ) Cho các ma trận đối xứng X, Y, Z ∈ Rn×n thỏa mãn X = X T , Y = Y T > 0 Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0 khi và chỉ khi X ZT Z −Y < 0 hoặc 12 −Y Z ZT X < 0 Chương 2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm, không ôtônôm và tính ổn định hóa hệ điều khiển không ôtônôm Nội dung chương này... toán ổn định hóa Xét hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t), , x(0) = x0 , ∀t ≥ 0 (2.14) trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển, A(t) ∈ Rn×n , B(t) ∈ Rn×m là ma trận hàm Xét hệ điều khiển liên hệ ngược u(t) = K(t)x(t), t ≥ 0 (2.15) Định nghĩa 2.5 Hệ điều khiển (2.14) là ổn định hóa được nếu có hàm điều khiển liên hệ ngược (2.15) sao cho hệ đóng... + BK) là âm Chứng minh Lấy điều khiển liên hệ ngược u(t) = Kx(t), trong đó K ∈ Rm×n , ta có hệ đóng là x(t) ˙ = [A + BK]x(t), t ≥ 0 Do đó theo Định lý 2.1, hệ đóng là ổn định nếu Reλ(A + BK) < 0 Ví dụ 2.4 Xét tính ổn định hóa hệ điều khiển sau 1 2 −1 x(t) ˙ = 0 4 x(t) + −3 u(t), 18 t ≥ 0 Chương 2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Theo định nghĩa, ta tìm ma trận điều khiển ngược K... D(t)C(t)) ≤ 0 ∀t ∈ R+ (2.19) Định lý sau chỉ ra rằng điều khiển được hoàn toàn về 0 đảm bảo cho tính ổn định hóa ngược của hệ (2.14) 30 Chương 2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Định lý 2.7 [7] Giả sử rằng giả thiết H.1 và H.2 thỏa mãn Khi đó hệ tuyến tính (2.17) là ổn định Điều khiển ngược ổn định được cho bởi : 1 u(t) = − B T (t)[P (t) + I]D(t)y(t), 2 ∀t ∈ R+ , trong đó P (t) là nghiệm... 25 Chương 2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính ˙ Q 0 Lt (P ) = P (t) P (t) + 0 0 P (t) 0 Khi đó tính ổn định mũ của hệ tương đương với điều kiện z T Lt (P )z < 0, Nt z = 0, t ∈ R+ Từ Mệnh đề 2.2 và Định lý 2.3, ta đưa ra hệ quả cho tính ổn định mũ của hệ LTV (2.12) sau Hệ quả 2.1 [7] Cho A ∈ BC([0, ∞)Rn×n ), khi đó các điều kiện sau là tương đương (i) Hệ LTV (2.12) là ổn định mũ, tức... B(t)K(t)C(t)]x(t), là ổn định tiệm cận Ta giả sử ma trận hàm A(t), B(t), C(t) là liên tục trong t ∈ R+ , và hàm điều khiển u(t) ∈ L2 ([0, T ], Rm ), ∀T > 0 Do đó với mỗi x0 ∈ Rn và với mọi điều khiển u(t), nghiệm của hệ (2.17) được cho bởi t x(t) = Φ(t, 0)x0 + Φ(t, s)B(s)u(s)ds, 0 trong đó φ(t, s) là ma trận chuyển ổn định của hệ 28 Chương 2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Định nghĩa 2.7 [6] Hệ [A(t),... các điều kiện sau là tương đương: (i) AB + BA ≥ 0, nếu A ≥ 0, B ≥ 0, (ii) λmin (A) ≥ 0, nếu A ≥ 0 và đối xứng Xét hệ điều khiển tuyến tính (2.17), trong đó A(t) ∈ Rn×n , B(t) ∈ Rn×m là các hàm liên tục Ta sẽ sử dụng giả thiết sau cho đầu ra của ổn định hóa: H.1 Hệ điều khiển tuyến tính [A(t), B(t)] là điều khiển được hoàn toàn về 0 trong thời gian hữu hạn H.2 Có D ∈ Rn×r sao cho DC là đối xứng và thỏa... 0 1 ta thấy Q là ma trận đối xứng, xác định dương Thay vào phương trình Lyapunov LE: AT P + P A + Q = 0, ta tìm được nghiệm P là P= 1 0 0 0 2 0 , 0 0 3 17 Chương 2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính vì P là hàm đối xứng, xác định dương nên hệ là ổn định tiệm cận theo Lyapunov Điều phải chứng minh 2.1.2 Bài toán ổn định hóa Xét hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân x(t) ˙... (t) → +∞ khi t → +∞, vô lý với điều kiện (2.2) Định lý được chứng minh Ví dụ 2.1 Xét tính ổn định của hệ x˙ = −x + y, y˙ = 2x − 3y Ta có: A= −1 1 2 −3 , và phương trình đặc trưng −1 − λ 1 2 −3 − λ = 0, √ √ có nghiệm λ1 = −2 − 3 < 0, λ2 = −2 + 3 < 0 Vậy hệ trên là ổn định tiệm cận 14 Chương 2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Ví dụ 2.2 Xét tính ổn định của hệ : x˙ = 2x − y + 2z, y˙ = ... ma trận tuyến tính Ngoài ra, trình bày ứng dụng hệ không ôtônôm toán ổn định hóa hệ điều khiển Đóng góp luận văn trình bày cách hệ thống toán ổn định, ổn định hóa hệ tuyến tính không ôtônôm với... ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm, không ôtônôm tính ổn định hóa hệ điều khiển không ôtônôm Nội dung chương trình bày từ tài liệu [2,3,4,6,7] 2.1 Hệ tuyến tính ôtônôm Xét hệ tuyến. .. cứu tính ổn định hệ điều khiển hay gọi tính ổn định hóa hệ điều khiển, tính ổn định mà Lyapunov đề xướng trước thể tầm quan trọng phát triển liên tục toán học.Vì lý vừa phân tích mà tính ổn định