PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài tập cảm ỨNG điện từ sử DỤNG TÍCH PHÂN và PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Trước thực tế đó tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Phương pháp giải bài tập cảm ứng điện từ sử dụng tích phân và phương trình vi phân” Với phương pháp dùng tích phân, phương trìn

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ SỬ DỤNG

TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

- Cơ sở khoa học của đề tài:

+ Cơ sở lí luận: Đề tài được thực hiện trên cơ sở lý luận và phương pháp luận

của chủ nghĩa Mác-Lênin, tư tưởng Hồ Chí Minh về giáo dục, các văn kiện Đại hộiĐảng.Vai trò và nhiệm vụ của giáo dục và đào tạo đã được thể hiện trong các vănkiện của Đại hội Đảng: “Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu” phát triển giáodục là nhằm “nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân lực, đào tạo nhân tài”

+ Cơ sở thực tiễn: Trong chương trình Vật lí chuyên phần điện từ học thường

được dạy vào đầu lớp 11, trước đó là từ trường, dòng điện không đổi, tĩnh điện, vàphần cơ học Ở phần này, các bài toán thường xuất hiện trong các kì thi học sinhgiỏi vòng 2, chọn đội tuyển quốc gia, các kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia vàthường có sử dụng đến tích phân, phương trình vi phân – một công cụ toán học rấtmạnh giúp giải các bài tập vật lí một cách ngắn gọn

Nhưng trong thực tế, giáo viên khi dạy cho các em học sinh còn gặp rất nhiềukhó khăn, phần vì kiến thức toán học của học sinh lớp 11 về tích phân và phươngtrình vi phân còn hạn chế, phần vì nguồn tài liệu viết một cách căn bản cho vấn đềnêu trên không nhiều

Trước thực tế đó tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Phương pháp giải

bài tập cảm ứng điện từ sử dụng tích phân và phương trình vi phân”

Với phương pháp dùng tích phân, phương trình vi phân, kết hợp với các địnhluật điện từ và các kiến thức nền tảng của cơ học, sẽ giúp các em học sinh, nắm bắtđược các dạng bài tập khó trong phần cảm ứng điện từ và quan trọng hơn là nắmbắt tốt và hiểu sâu sắc hơn về tích phân và phương trình vi phân, từ đó có thể vậndụng sang các phần khác của Vật lí, và hy vọng rằng sẽ có ích đối với các đồngnghiệp trong quá trình dạy và ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi

- Mục đích của đề tài: Nhằm đề xuất một số phương pháp hướng dẫn học

sinh giải bài tập về cảm ứng điện từ, có sử dụng các phép tính tích phân và giảiphương trình vi phân, đồng thời trang bị cho bản thân tác giả những kiến thức cơbản trong công tác ôn luyện và bồi dưỡng học sinh giỏi

Nghiên cứu các vấn đề lí luận liên quan đến việc vận dụng toán cao cấp đểgiải các bài tập vật lí nói chung và giải các bài tập về cảm ứng điện từ nói riêng,giải thích được nguyên nhân của thực trạng và đề xuất một số phương pháp dạy ônluyện học sinh giỏi

- Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Các bài tập vật lí đại cương, các tài

liệu ôn thi học sinh giỏi, phần cảm ứng điện từ, các phép toán cao cấpđược áp dụng vào vật lí, thực hiện ở lớp chuyên lí 11

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Thực trạng việc áp dụng tích phân và phương trình vi phân trong giải bài tập Vật lí nói chung và giải các bài tập điện từ nói riêng của học sinh lớp

10 trường THPT Chuyên Thái Nguyên

Với các kiến thức toán học về đạo hàm, vi, tích phân thì học sinh luôn gặpphải nhiều bài toán như chuyển động của vật chịu tác dụng của lực biến thiên,chuyển động của vật có khối lượng thay đổi, giải các bài toán chu trình biến đổicủa khí lí tưởng, giải bài toán về phân bố mật độ phân tử khí, sự truyền của ánhsáng trong môi trường có chiết suất biến thiên… khi đó, trước khi dạy mỗi chuyên

đề các thầy cô lại nhắc lại các kiến thức toán học có liên quan

1.2 Khó khăn

Thực chất việc trang bị kiến thức toán học cho các em học sinh ngay từ lớp 10

là điều hết sức cần thiết và quan trọng, tuy nhiên chỉ có số ít các em có thể nắm bắtđược các kiến thức đó một các có hệ thống và bài bản Phần lớn các em vẫn chưabiết được sau này các kiến thức đó sẽ được vận dụng vào đâu và vận dụng như thếnào Vì thế việc nhắc lại kiến thức toán liên quan trước khi dạy một chuyên đề mới

là cần thiết

Phần toán học về đạo hàm, vi phân, tích phân nằm trong chương trình giảitích cuối lớp 11 và lớp 12, nhưng ý nghĩa của các phép vi tích phân lại nằm trongcác hiện tượng Vật lí, vì vậy việc kết hợp toán học và Vật lí để dạy cho học sinhhiểu được phần này cũng có nhiều hạn chế

Riêng với các bài toán về cảm ứng điện từ, các quá trình xảy ra như sự xuấthiện suất điện động, chiều của dòng điện cảm ứng, sự đổi chiều của lực từ khidòng điện đổi chiều, sự biến thiên tuần hoàn của các đại lượng… không thể quansát thấy được bằng mắt thường mà học sinh phải hình dung trong đầu thông quacác kết quả toán học Phần này gần giống như tư duy của một nhà vật lí lí thuyết,nên các em vẫn còn lúng túng và gặp nhiều khó khăn

 12 cotsin x dx x C

Dạng tổng quát F x y y , , ', y'', , y n  0

- Giải phương trình vi phân là tìm dạng tường minh của hàm số y f x 

- Trong Vật lí các phương trình vi phân thường gặp là các hàm số của tọa độ phụ thuộc thời gian ví dụ như phương trình dao động điều hòa , các hàm số của dòng điện, hiệu điện thế, điện tích phụ thuộc thời gian

Một số dạng phương trình vi phân thường gặp

- Phương trình vi phân cấp 1 với biến số phân li

+ Dạng tổng quát: f x dx1  f y dy2 

Chú ý rằng ở vế trái chỉ chứa biến x và vi phân của nó, ở vế phải chỉ chứa biến y và vi phân của nó

+ Phương pháp giải: Lấy tích phân hai vế theo hai biến độc lập x và y

- Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất, khuyết y’

+ Dạng tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

Nghiệm tổng quát: y A cosx

2.2 Kiến thức vật lí

* Từ thông

- Một khung dây dẫn phẳng diện tích S được đặt trong từ trường đều có cảmứng từ B, khung gồm N vòng dây thì từ thông gửi qua khung được định nghĩa nhưsau

* Hiện tượng cảm ứng điện từ - Định luật Len-xơ về chiều dòng điện cảm ứng - Định luật Fa-ra-đây về cảm ứng điện từ

- Hiện tượng cảm ứng điện từ: Là hiện tượng xuất hiện một dòng điện cảm

ứng trong một mạch điện kín khi có sự biến thiên từ thông qua mạch

Chú ý rằng nếu mạch điện không kín thì trong mạch có xuất hiện một suất điện động nhưng không có dòng điện

- Định luật Len-xơ về chiều dòng điện cảm ứng: Dòng điện cảm ứng có

chiều sao cho từ trường do nó sinh ra có tác dụng chống lại sự biến thiên từ thôngqua mạch ( hoặc chống lại nguyên nhân sinh ra nó )

- Định luật Fa-ra-đây về cảm ứng điện từ: Suất điện động cảm ứng xuất

hiện trong một mạch điện kín tỉ lệ với tốc độ biến thiên từ thông qua mạch

c

d e

dt





* Lực từ tác dụng lên một đoạn dây dẫn mang dòng điện đặt trong từ trường đều

- Phương : Lực từ tác dụng lên đoạn dòng điện có phương vuông góc với

mặt phẳng chứa đoạn dòng điện và cảm ứng tại điểm khảo sát

- Chiều lực từ : Tuân the quy tắc bàn tay trái

Quy tắc bàn tay trái : Đặt bàn tay trái duỗi thẳng để các đường cảm ứng từxuyên vào lòng bàn tay và chiều từ cổ tay đến ngón tay trùng với chiều dòng điện.Khi đó ngón tay cái choãi ra 90o sẽ chỉ chiều của lực từ tác dụng lên đoạn dây dẫn

- Độ lớn (Định luật Am-pe) Lực từ tác dụng lên đoạn dòng điện cường độ I,

có chiều dài l hợp với từ trường đều B

* Hiện tượng tự cảm – Năng lượng từ trường của ống dây

Độ tự cảm:  Li ( L là hệ số tự cảm của mạch – đơn vị là Henri (H) )

Phần cuối cùng là một số bài tập để học sinh vận dụng phương pháp đã học được vào tự giải

Bài toán 1: Khung dây siêu dẫn chuyển động trong từ trường

Bài toán 2: Khung dây có điện trở chuyển động trong từ trường

Bài toán 3: Suất điện động trong mạch kín trong trường hợp một phần của mạch điện chuyển động trong từ trường

BÀI TOÁN 1: KHUNG DÂY SIÊU DẪN CHUYỂN ĐỘNG TRONG TỪ TRƯỜNG

BÀI 1

Một khung dây dẫn hình vuông siêu dẫn, có khối lượng m và cạnh a nằmtrong mặt phẳng ngang trong một từ trường không đều, có giá trị cảm ứng từ biếnthiên theo quy luật:

0

.0

Hỏi khung sẽ chuyển động như thế nào và ở đâu sau thời gian t kể từ lúc thả

LỜI GIẢI

Sử dụng tính chất bảo toàn từ thông đối với mạch điện siêu dẫn

* Ta đi chứng minh rằng đối với mạch điện siêu dẫn thì từ thông tổng cộng điqua diện tích của mạch được bảo toàn:

Xét một vòng dây siêu dẫn đặt trong từ trường ngoài biến thiên  trong vòngdây có một dòng điện cảm ứng, dòng điện này lại sinh ra một từ trường riêng Vậy

từ thông qua diện tích vòng dây là do hai từ trường tạo ra: từ trường ngoài và từtrường của dòng điện cảm ứng

Suất điện động cảm ứng trong vòng dây là: e c d

dt



 (1)

Mặt khác áp dụng ĐL Ôm cho toàn mạch ta có: e c i R 0 (2) ( Vì vòng dâysiêu dẫn nên R = 0 )

Từ (1) và (2)  d 0 const

dt



   

Kết luận: Từ thông qua diện tích vòng dây siêu dẫn được bảo toàn

* Xét trường hợp của bài toán: Tại một thời điểm t, từ thông qua diện tíchkhung dây được cho bởi từ thông của từ trường ngoài và từ thông do chính dòngđiện cảm ứng sinh ra:

Vậy theo tính chất bảo toàn từ thông ta có: a B2 0a2 .z Li a B 2 0 hay:

x y z

Dễ thấy rằng thành phần Bz gây ra lực từ tác dụng lên các cạnh của khung dây

sẽ cân bằng nhau Chỉ có thành phần Bx gây ra các lực từ tác dụng lên các cạnhsong song với trục Oy và lực từ này có phương thẳng đứng, lực tác dụng lên haicạnh này luôn cùng chiều

Lực từ tổng hợp tác dụng lên khung dây có độ lớn F 2 a x i a  2.i ( Vì

2 x a và i > 0 )

PT chuyển động của vòng là: mz'' mg a i 2 (4)

  

b) Xét theo phương pháp năng lượng

Xét thanh dịch chuyển xuống dưới một đoạn dz ( dz < 0 ) Chú ý rằng lực từ

tác dụng lên khung là

4 2 2

Một khung dây hình chữ nhật siêu dẫn, có các cạnh là a và b, khối lượng m và

hệ số tự cảm L, chuyển động với vận tốc ban đầu v trong mặt phẳng của nó0hướng dọc theo chiều dài khung từ vùng không có từ trường vào một vùng có từtrường đều B0 vuông góc với mặt phẳng khung dây Hãy mô tả chuyển động củakhung như là hàm số của thời gian

LỜI GIẢI

Chọn gốc tọa độ tại điểm tiếp xúc giữa vùng có từ trường và vùng không có

từ trường, chiều dương hướng theo chiều chuyển động của khung Chọn gốc thờigian là lúc khung bắt đầu chuyển động vào vùng có từ trường

Giả sử b > a  Khung hình chữ nhật sẽ chuyển động dọc theo cạnh b vàphương trình chuyển động của khung là:

m dv I

dI m d v

dt B a dt



 Thế biểu thức này vào pt (2) ta thu được pt vi phân với hàm

vận tốc phụ thuộc thời gian:

Giải điều kiện ban đầu:

0

v v

dv I

0 0

dây trùng với trục của thanh nam châm

Từ trường xung quanh chiếc vòng có tính

đối xứng trụ và được mô tả bởi hệ thức:

Trong đó B0,  , là những hằng số; z và r là tọa độ theo phương thăng đứng

và phương bán kính Ở thời điểm ban đầu không có dòng điện trong chiếc vòng.Khi được thả ra nó bắt đầu di chuyển xuống dưới và trục vẫn thẳng đứng Từ các

dữ kiện bên dưới, hãy xác định xem sau đó vòng nhẫn chuyển động thế nào Tínhcường độ dòng điện trong chiếc vòng

- Tọa độ ban đầu của tâm vòng nhẫn z0;r0

- Các thông số của từ trường:

m m

Theo tính chất bảo toàn từ thông đối với vòng dây siêu dẫn ta có:  const

Tại thời điểm ban đầu: z = 0 và I = 0    B r0 02

Từ đó ta rút ra biểu thức của dòng điện:

Lực tác dụng lên vòng nhẫn bao gồm lực từ và trọng lực, thành phần B gây z

ra lực từ theo phương nằm ngang nhưng tổng lực từ do thành phần này gây ra luônbằng không ở mọi vị trí của vòng, thành phần B gây ra lực từ tác dụng theo r

Phương trình vi phân này chứng tỏ chuyển động của vòng là một dao động

điều hòa với tần số góc k

Từ những dữ kiện đề cho ta xác định được:  31,2 rad/s và A = 1 cm

Dòng điện trong mạch có biểu thức

Dòng điện cực đại khi vòng ở vị trí thấp nhất và Imax = 39A

BÀI TOÁN 2: KHUNG DÂY CÓ ĐIỆN TRỞ CHUYỂN ĐỘNG TRONG

TỪ TRƯỜNG

BÀI 4

Một lực F không đổi tác dụng vào một thanh kim loại khối lượng m, có thểtrượt trên hai thanh ray, đầu của các thanh ray được nối với điện trở R Toàn bộ hệthống đặt nằm ngang, trong một vùng có từ trường đều, các đường sức hướngthẳng đứng Thanh được kéo từ trạng thái nghỉ Giả thiết rằng thanh trượt không

ma sát và bỏ qua hệ số tự cảm của khung, điện trở của thanh và các thanh ray.a) Xác định vận tốc của thanh là hàm số của thời gian

b) Xác định dòng điện chạy qua điện trở R là hàm số của thời gian

LỜI GIẢI

a) Kết quả thanh chuyển động trong vùng có từ trường đều là có một suất điệnđộng cảm ứng xuất hiện trong thanh e c Blv trong đó l là chiều dài của thanh và

v là vận tốc của nó Do vậy một dòng điên chạy trong thanh có độ lớn I Blv

R

 Vìvậy lực từ tác dụng lên thanh có độ lớn F BIl lực này ngược hướng với hướngchuyển động của thanh

Phương trình động lực học cho chuyển động của thanh là

trạng thái nghỉ từ thời điểm t = 0 ở ngay

phía trên có từ trường B0 được cho như

hình vẽ 3

Vòng dây có điện trở R, hệ số tự

cảm L và khối lượng m Xét khung dây

trong suốt khoảng thời gian mà cạnh

trên của khung ở trong vùng không có

a) Giả sử rằng độ tự cảm của vòng có thể bỏ qua nhưng điện trở của vòng thìkhông Tìm biểu thức của dòng điện và vận tốc của vòng như hàm số của thời gian b) Giả sử rằng điện trở của vòng có thể bỏ qua nhưng độ tự cảm thì không.Tìm biểu thức của dòng điện và vận tốc của vòng như hàm số của thời gian

LỜI GIẢI

Nếu khung dây có điện trở R và độ tự cảm L thì trong khung có hai suất điệnđộng Suất điện động sinh ra do cạnh dưới của khung chuyển động cắt các đườngsức từ, và suất điện động tự cảm trong khung do dòng điện biến thiên

Trong trường hợp này ta viết ĐL Ôm cho toàn mạch như sau:

IR

dI Blv L

Nếu khung không có điện trở thì vế phải của pt (1) bằng không Do vậy ta thu

Biểu thức của vận tốc có dạng v A cos t 

Ta giải điều kiện ban đầu Tại t = 0 thì I = 0 và v = 0 Vì I = 0 nên từ (2) suy

Hình 4

a) Hãy tìm biểu thức của dòng điện cảm ứng trong vành

b) Tìm biểu thức của gia tốc a và vận tốc v của vành Nêu nhận xét về độ lớncủa v, giả thiết độ cao của miền từ trường là đủ lớn

Suy ra suất điện động xuất hiện trong toàn bộ vành là: E  E Bv.2r

Dòng điện cảm ứng xuất hiện trong vành là:

.2

Bv r I

b) Do có dòng điện cảm ứng xuất hiện trong thanh nên phân tử l của thanh

sẽ chịu tác dụng của lực từ F BI l lực này hướng vuông góc với mặt phẳngcủa thanh lên trên ( Theo ĐL Len-xơ thì lực từ phải hướng lên trên để chống lạichuyển động rơi của vòng )

Lực điện tổng hợp tác dụng lên thanh có độ lớn:

22

Biến đổi pt trên về dạng:

dz

2) Một vòng dây tròn điện trở R bán kính r và khối lượng m rơi vào một vùng

có từ trường không đều có các đường sức đối xứng xung quanh trục của hình trụtâm của vòng tròn nằm trên trục hình trụ còn mặt phẳng vòng tròn vuông góc với

các đường sức từ, cảm ứng từ biến thiên dọc theo trục z dB z 0

LỜI GIẢI

1)

Ta đi chứng minh

2

r

r dB B

dz

Xét mặt trụ có bán kính tiết diện là r, chiều

Từ thông qua mặt bên là:  2 2 r z B r

Theo định lí Gau-xơ từ thông qua mặt kín bất

r dB B

Cường độ dòng điện trong vòng dây là:

dB r dt

ma mg   BlI

Phương trình này là giống nhau cho cả ba trường hợp Kết quả khác nhau là

do mối quan hệ giữa suất điện động và dòng điện trong mạch khác nhau ở mỗitrường hợp

a) Mạch điện được khép kín bởi một điện trở thuần R Dòng điện I và suấtđiện động cảm ứng e c Blv tuân theo ĐL Ôm cho toàn mạch:

Blv I

R



Và điều này chỉ ra rằng lực cản tăng dần tỉ lệ thuận với vận tốc Vậy thanh sẽchuyển động với gia tốc giảm dần xuống bằng không, và sau cùng nó chuyển độngthẳng đều

Ta dễ tính được: vmax mgR2 2sin

B l





b) Nếu mạch được khép kín bởi một tụ điện có điện dung C thì quan hệ giữasuất điện động và dòng điện trong mạch sẽ khác đi

Điện tích của tụ điện được xác định bởi: Q CBlv

Chú ý rằng dòng điện chạy trong thanh bằng đạo hàm của điện tích Q

mg a

m B l C





c) Nếu mạch được khép kín bởi một cuộn dây có độ tự cảm L thì quan hệ giữasuất điện động và dòng điện là:

Tại thời điểm ban đầu thì x = 0 và I = 0

Giản ước dt ở hai vế của pt trên và thực hiện lấy tích phân 2 vế ta được:

LI Blx

Thế vào pt chuyển động của thanh ta được:

2 2sin B l