TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN  DƢƠNG THỊ THẢO NHÓM HỮU HẠN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Hà Nội - 2015 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN  DƢƠNG THỊ THẢO NHÓM HỮU HẠN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học Ths. Dƣơng Thị Luyến Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Em xin trân trọng bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới cô Dƣơng Thị Luyến, cô đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành khóa luận. Em cũng trân trọng cảm ơn các thầy cô trong tổ Đại số và toàn thể các bạn sinh viên trong khoa đã nhiệt tình góp ý cộng tác giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận . Do trình độ chuyên môn còn hạn chế, thời gian nghiên cứu eo hẹp nên nội dung khóa luận này còn nhiều thiếu sót. Em kính mong nhận được sự phê bình góp ý của thầy cô cùng toàn thể các bạn để nội dung khóa luận trở nên hoàn thiện hơn. Em xin trân trọng cảm ơn. Hà Nội, ngày…tháng...năm 2015. Sinh viên Dƣơng Thị Thảo LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn. Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì công trình nào khác. Hà Nội, ngày…tháng….năm 2015. Sinh viên Dƣơng Thị Thảo MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU...............................................................................................1 Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị.....................................................................3 1.1 Nhóm.................................................................................................. 3 1.1.1 Định nghĩa .................................................................................... 3 1.1.2 Tính chất ....................................................................................... 3 1.2 Nhóm con ........................................................................................... 4 1.2.1 Định nghĩa nhóm con và các điều kiện tương đương................... 4 1.2.2 Nhóm con chuẩn tắc ..................................................................... 5 1.3 Nhóm thương ..................................................................................... 6 1.4 Tập sinh của nhóm, nhóm xyclic ....................................................... 6 1.5 Cấp của nhóm,cấp của phần tử trong nhóm ....................................... 7 1.6 Tổng trực tiếp , tích trực tiếp của các nhóm ..................................... 8 1.6.1 Tổng trực tiếp tích trực tiếp của hai nhóm ................................... 8 1.6.2 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp của nhiều nhóm .............................. 8 Chƣơng 2.Nhóm hữu hạn...........................................................................10 2.1 Định nghĩa ........................................................................................ 10 2.2 Tính chất .......................................................................................... 10 2.2.1 Định lí Lagrange......................................................................... 10 2.2.2 Hệ quả ........................................................................................ 11 2.3 Một số nhóm thường gặp ................................................................. 14 2.3.1 Nhóm đối xứng ........................................................................... 14 2.3.2 Nhóm thay phiên ........................................................................ 20 2.3.3 Nhóm con Sylow ........................................................................ 23 2.3.4 Một số bài tập ............................................................................. 29 KẾT LUẬN ................................................................................................ 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 43 LỜI NÓI ĐẦU Đại số là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong khoa học toán học. Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại. Ngày nay, khoa học kĩ thuật ngày càng phát triển, toán học nói chung và Đại số nói riêng cũng có những tiến bộ vượt bậc. Những tư tưởng, phương pháp và kết quả của Đại số đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực của toán học, từ tôpô và hình học tới giải tích và xác suất lượng tử, cũng như một số lĩnh vực của cơ học, vật lí lí thuyết, hóa học lượng tử… Có thể nói mọi ngành của toán học hiện đại ngày nay trong quá trình phát triển đều cần tới cấu trúc đại số và những hiểu biết về cấu trúc này. Trong đó, nhóm là một trong những đối tượng cơ bản nhất và cổ điển nhất của toán học. Nhóm hữu hạn là một nội dung quan trọng và có nhiều ứng dụng vào thực tiễn. Với lòng yêu thích, niềm say mê muốn được nghiên cứu, tìm hiểu về Đại số nói chung và cấu trúc nhóm nói riêng, em đã chọn đề tài “Nhóm hữu hạn” để nghiên cứu. Nội dung khóa luận gồm 2 chương: Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị Ở chương này trình bày những kiến thức cơ bản về nhóm, tổng trực tiếp, tích trực tiếp của hai hay nhiều nhóm. 1 Chương 2: Nhóm hữu hạn Đưa ra khái niệm nhóm hữu hạn, các tính chất, định lí, hệ quả của một số nhóm hữu hạn thường gặp và các bài tập áp dụng. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều song do chưa có kinh nghiệm, thời gian cũng như năng lực còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. 2 CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm 1.1.1 Định nghĩa Cho X là một tập hợp khác rỗng, (.) là một phép toán hai ngôi trên X. X là một nhóm khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn: i)  xy  z  x  yz  với mọi x, y, z   . ii) Tồn tại phần tử e  có tính chất : ex  xe  x, x  X . iii) x  X có một phần tử x   sao cho xx  xx  e . Ví dụ. Tập hợp các số nguyên  cùng với phép cộng thông thường là nhóm cộng các số nguyên. Cũng vậy, ta có nhóm cộng các số hữu tỉ,nhóm cộng các số thực, nhóm cộng các số phức. Chú ý:  Phần tử e được gọi là phần tử đơn vị của X.  Phần tử x thoả mãn (iii) được gọi là phần tử nghịch đảo của x .  Nhóm X được gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Aben) nếu thoả mãn điều kiện sau : xy  yx; x, y  X .  Một nhóm X được gọi là nhóm hữu hạn hay vô hạn nếu tập X hữu hạn hay vô hạn các phần tử. 1.1.2 Tính chất Cho X là một nhóm. Ta có các khẳng định sau: a) Phần tử đơn vị e của X được xác định duy nhất. b) Mỗi phần tử x  X chỉ tồn tại duy nhất 1 phần tử nghịch đảo x . c) Trong nhóm có luật giản ước có nghĩa là: 3 xy  zy  x  z xy  xz  y  z . d) Trong nhóm phương trình ax  b (tương ứng ya  b ) có nghiệm duy nhất x  a 1b ( tương ứng y  ba 1 ). e) Với mọi x1, x2 , x3 ,........., xn  X ta có :  x1x2 ...xn  1  xn1.xn11........x21x11 . Đặc biệt  x n    x 1   x  n ,( x 1 )1  x . 1 n 1.2 Nhóm con 1.2.1 Định nghĩa nhóm con và các điều kiện tương đương a) Định nghĩa Cho X là một nhóm, A là bộ phận ổn định của nhóm X. Khi đó, A được gọi là một nhóm con của X nếu A cùng với phép toán cảm sinh lập thành 1 nhóm. Ví dụ. Mỗi nhóm  G,., e  có hai nhóm con hiển nhiên là G và e . Nhóm con e gọi là nhóm con tầm thường. b) Tính chất  Giao của một họ tùy ý các nhóm con của X là nhóm con của X.  Hợp của 1 họ khác rỗng các nhóm con nói chung không phải là nhóm con của X. c) Điều kiện tương đương Cho X là một nhóm, A  X .Khi đó A là nhóm con của X khi và chỉ khi: (i) A là một bộ phận ổn định của nhóm X: x, y  , xy   . (ii) x   thì x 1   (với x 1 là phần tử nghịch đảo của x trong X). 4 d) Hệ quả Cho X- là nhóm ,   ,    .Các điều kiện sau tương đương: i. A là nhóm con của X. ii. Với mọi x, y   thì xy  , x 1   . iii. Với mọi x, y   thì xy 1   . 1.2.2 Nhóm con chuẩn tắc a) Định nghĩa Cho (X,.) là một nhóm, A là nhóm con của X. Khi đó A được gọi là nhóm con chuẩn tắc của X nếu và chỉ nếu : Với mọi x  , a   : x1ax   . Nhóm X được gọi là nhóm đơn nếu nó không có nhóm con chuẩn tắc nào khác e và X . Ví dụ. 1)Mỗi nhóm  G,., e  có hai nhóm con chuẩn tắc hiển nhiên là G và e . 2) Mọi nhóm con của nhóm Aben là chuẩn tắc. b) Điều kiện tương đương Cho A là một nhóm con của X. Khi đó ta nói nhóm A là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm X khi và chỉ khi với mọi x   ta có x  x với x   xa a   và x  ax a   . Chú ý :  Một nhóm X với phần tử đơn vị e bao giờ cũng có ít nhất 2 nhóm con chuẩn tắc là e và X.  Nếu X là nhóm Aben thì mọi nhóm con của X đều là nhóm con chuẩn tắc. 5 1.3 Nhóm thương Định nghĩa: Nếu A là 1 nhóm con chuẩn tắc của X thì: i) Quy tắc cho tương ứng cặp  x, y  với lớp trái xyA là một ánh xạ f :  ii)        . cùng với phép toán 2 ngôi :  x, y   xy là một nhóm gọi là nhóm thương của X trên A. Ví dụ:  là nhóm cộng các số nguyên, n là nhóm con chuẩn tắc của  gồm các số nguyên là bội của một số tự nhiên n cho trước. Khi đó nhóm thương  n là nhóm các lớp thặng dư theo môđun n. 1.4 Tập sinh của nhóm, nhóm xyclic a) Định nghĩa tập sinh của nhóm Cho (X, . )là một nhóm , U  X : i) Giao của tất cả các nhóm con của X chứa U là nhóm con nhỏ nhất trong số các nhóm con của X chứa U.Kí hiệu là . ii) Nếu tồn tại U, = X thì U được gọi là tập sinh của X. iii) Nếu X không được sinh bởi một tập con thực sự nào của U thì ta nói U là tập sinh cực tiểu của X. Nhận xét:  <  >= e , = S nếu S là một nhóm .  Một nhóm con có thể có 2 tập sinh cực tiểu với số phần tử khác      nhau: Ví dụ:  6 = < 1 > = < 2,3 >. 6 b) Nhóm xyclic Nhóm X được gọi là nhóm xyclic,nếu X được sinh bởi một i. phần tử a   , phần tử a được gọi là phần tử sinh của X. Kí hiệu:   a . Nếu X là nhóm bất kì, a  X thì a là 1 nhóm xyclic sinh ii. bởi phần tử a ,nó được gọi là nhóm con xyclic của nhóm X sinh bởi a . Ví dụ. Nhóm    ,   gồm các số nguyên dương là xyclic với phần tử sinh là 1. Nhận xét:  Nếu phép toán ngôi trong X là phép cộng thì: a  ka k  .  Nếu phép toán 2 ngôi trong X là phép (.) tổng quát thì a  a k k  . 1.5 Cấp của nhóm,cấp của phần tử trong nhóm Định nghĩa i) Cấp của một nhóm X là số phần tử của X nếu X có hữu hạn phần tử hay bằng vô cùng nếu X có vô hạn phần tử . Kí hiệu: Cấp của nhóm X là: X hoặc Card (X). ii) Cấp của a  X là cấp của a . Nhận xét :  Nếu a m  a n  m, n  , m  n  thì 7 a  .  Nếu m   nhỏ nhất : a m  1 thì a  m . Kí hiệu Ord (a) để chỉ cấp của a. 1.6 Tổng trực tiếp , tích trực tiếp của các nhóm 1.6.1 Tổng trực tiếp tích trực tiếp của hai nhóm Định nghĩa : i) Giả sử A và B là các nhóm với phép toán (.) . Trên tập tích Đề-các : A  B = (a, b) / a  , b  . Ta định nghĩa các phép toán như sau:  a, b  c, d    ac, bd  . Khi đó A  B cùng với phép toán hai ngôi lập thành một nhóm gọi là tích trực tiếp của A và B. Kí hiệu là : A  B. ii) Tổng trực tiếp của các nhóm A và B cũng được gọi là tổng trực tiếp của hai nhóm này. Kí hiệu là A  B. 1.6.2 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp của nhiều nhóm a) Định nghĩa Giả sử G i là một nhóm ( nhân) với mỗi i  . Trên tập tích G   a  iI i i iI  : ai  Gi , i  I . Ta định  ai iI  bi iI   aibi iI . Khi đó G nhóm Gi iI và được kí hiệu là  G , kí hiệu iI i  ai iI sao i iI nghĩa phép nhân i  Gi là nhóm con của iI : được gọi là tích trực tiếp của họ G . iI như sau Tổng trực tiếp của họ nhóm G iI i gồm tất cả các phần tử cho a i = e i (đơn vị) đối với hầu hết trừ ra 1 số hữu hạn chỉ số i. Các khái niệm tổng trực tiếp, tích trực tiếp chỉ khác nhau khi chúng được áp dụng cho một họ vô hạn các nhóm. 8 b) Tính chất i)      nhờ đẳng cấu  a, b    b, a  . ii)  A  B   C  A   B  C  nhờ đẳng cấu   a, b  , c    a, b.c   . iii) Có thể đồng nhất A( tương ứng với B) với mỗi nhóm con A  eB  (tương ứng với eA  B ) của A  B nhờ đơn cấu. A  A B a   a, eB   B  A B   b  e ,b  .  A   Với phép đồng nhất trên mỗi phần tử của A giao hoán với mọi phần tử của B trong   : ab   a, eB  eA , b    a, b    eA , b  a, eB   ba . iv) A  B  e v) Nhóm A  B sinh bởi tập A  B .  trong   . vi) A,B là các nhóm chuẩn tắc của   . vii) A  B  A  B , (A  B  B  A. Nhận xét : i) Giả sử N là 1 nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Nói chung  N. G  N G ii) Nếu các số nguyên dương m và n là nguyên tố cùng nhau thì     . m n mn iii) Giả sử A và B là các nhóm con chuẩn tắc trong G sao cho A  B  e và G là nhóm sinh bởi A  B . Khi đó G    . 9 2 CHƢƠNG 2. NHÓM HỮU HẠN 2.1 Định nghĩa Nhóm X được gọi là nhóm hữu hạn nếu nó có hữu hạn phần tử. Ngược lại ,nếu nó có vô hạn phần tử thì gọi là nhóm vô hạn. 2.2 Tính chất 2.2.1 Định lí Lagrange Giả sử G là một nhóm hữu hạn và H là một nhóm con của nó. Khi đó G là bội của H . Chứng minh: Trước hết ta chứng minh: aH  Ha  H với aH là lớp kề trái và Ha là lớp kề phải của H trong X. Thật vậy:  Cho x là một phần tử tùy ý của X . Xét ánh xạ: f: H  Hx h  hx .  F là đơn ánh vì với mọi h, h  H giả sử: hx  hx  h  h  Dễ thấy f cũng là 1 toàn ánh. Vậy f là song ánh.  Tương tự g : H  xH h  xh cũng là một song ánh. Do vậy aH  Ha  H . Hơn nữa tất cả các lớp kề trái ( hoặc phải ) lập thành một phân hoạch trên nhóm hữu hạn X. Do vậy X   aH   Ha tức là X là bội của H . aX aX 10 2.2.2 Hệ quả 2.2.2.1 Hệ quả 1 Cấp của mọi phần tử của một nhóm hữu hạn G đều là ước số của cấp của G. Chứng minh: Với mọi x  G , cấp x= cấp , cấp là ước của cấp X. *Định nghĩa số mũ của nhóm: Giả sử G là một nhóm. i. Nếu đối với phần tử a  G , có số m nguyên dương sao cho a m  e thì m được gọi là số mũ của a. ii. Số nguyên dương m được gọi là 1 số mũ của nhóm nếu nó là số mũ của mọi phần tử của G. 2.2.2.2 Hệ quả 2 Cấp của một nhóm hữu hạn G là một số mũ của nó. 2.2.2.3 Hệ quả 3 Mọi nhóm có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic. Nói cách khác ,trên một tập hợp hữu hạn với số phần tử là một số nguyên tố có duy nhất (sai khác đẳng cấu ) một cấu trúc nhóm , là nhóm xyclic. Chứng minh: Giả sử nhóm X có cấp X =p là một số nguyên tố. Vì p>1 nên có phần tử trong a  e trong X . Nhóm xyclic sinh bởi a có cấp n>1( vì a  e ) và n là một ước của p. Nhưng p nguyên tố nên ta có n = p. Do đó X=. 11 2.2.2.4 Hệ quả 4 Mọi nhóm với 4 phần tử đều đẳng cấu với 1 trong 2 nhóm  4 và  2   2 . Hai nhóm này không đẳng cấu với nhau. Chứng minh:  4 có một phần tử cấp 4 trong khi đó mọi phần tử khác không trong  2   2 đều có cấp 2.Vì thế hai nhóm này không đẳng cấu với nhau. Giả sử G là nhóm cấp 4. Nếu G chứa một phần tử cấp 4 thì nó là nhóm xyclic cấp 4, do đó G   4 . Trái lại thì mọi phần tử của G trừ đơn vị e đều có cấp 2(theo hệ quả 1). Trong trường hợp này G đẳng cấu với  2   2 . 2.2.2.5 Hệ quả 5 ( Định lí nhỏ của Fecma ) Nếu p là một số nguyên tố , a là số nguyên bất kì thì a p  a chia hết cho p. Chứng minh:  p    1,2,................, n  lập thành Trước hết ta chứng minh rằng  * một nhóm với phép nhân được định nghĩa như sau: x. y  xy Thật vậy :  Phép nhân được xác định như trên có tính chất kết hợp và có đơn vị là 1 .  Vì p là một số nguyên tố nên (p,x)=1( nếu trái lại thì x  0 trong  ). p Do đó có các số nguyên k và l để cho kx+lp=1. Tức là k.x  1 hay  x 1  k trong  . p 12  p  . Cấp của a là một ước   p  ). Do đó  a   1 trong Nếu a không chia hết cho p thì a   * * của p-1 ( số phần tử của nhóm  p  hay là a  * p 1 p 1  1 chia hết cho p nên a p  a  a.(a p1  1) cũng vậy. Còn nếu a chia hết cho p thì a p  a  a.(a p1  1) cũng chia hết cho p. 2.2.2.6 Tổng quát hóa của định lí Lagrange Giả sử A là một nhóm con của B và B là một nhóm con của X, trong đó X là một nhóm hữu hạn. Khi đó: [X : A] = [X : B] [B : A]. Chứng minh: Đây là một chứng minh không sử dụng kết quả của định lí 3.2.1.  Giả sử     x1, x2,.........., xm    y1, y2 ,..........., yn  trong đó m    : , n   :  . Và   x1  x2  ...............  xm ,   y1  y2   ..............  yn  . Suy ra: xi   xi y1  xi y2   .............  xi yn  m n    xi yi . i 1 j 1 Vậy x y i j  / i  1, m, j  1, n là một tập các đại diện của các lớp ghép trái của A trong X. Do đó   :   mn    :  :  . 13 2.3 Một số nhóm thường gặp 2.3.1 Nhóm đối xứng 2.3.1.1 Định nghĩa a) Định nghĩa nhóm đối xứng Giả sử X là một tập nào đó. Kí hiệu: S ( X )   f / f : X  X là song ánh }. i. S(X) cùng với phép toán nhân ánh xạ lập thành một nhóm gọi là nhóm đối xứng trên X. Nhóm con của S(X) gọi là nhóm các phép thế trên X. ii. Nếu X  n , không giảm tính tổng quát ta xét X={ 1,2,……..,n} thì S(X) được gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử . Kí hiệu Sn. Mỗi phần tử   Sn ta có thể biểu thị như sau: 2 . . n   1 .   (1)  (2) . .   n     b) Định nghĩa xích( hay chu trình) Giả sử x1,x2,…………..,xk là các phần tử đôi một khác nhau trong {1,2,3,…..,n} . Phép thế   Sn được gọi là một chu trình ( hay xích ) với độ dài k trên tập nền {x1,x2,……………,xn} nếu:  xi 1 khi1  i  k   ( xi )   x1 khi i  k .  x khi i  k  i Kí hiệu :    x1, x2 ,..............., xn  . c) Định nghĩa phép thế sơ cấp Ta gọi một phép thế sơ cấp( hay phép chuyển trí) là một phép thế sao cho: 14 Với i  j; k  i, j thì  f  xi   x j   f  x j   xi  x  f  xk  k 2.3.1.2 Tính chất a) Mệnh đề 3.3.1 Sn  n!  1.2................n . Chứng minh:  Ta cần tính xem có bao nhiêu phép thế khác nhau   Sn . Có n khả năng cho việc chọn  (1) từ n phần tử {1,2,…………,n}. Khi đó cố định  1 :  Có n-1 khả năng chọn   2  từ tập 1,2,.........., n /  1 .  Có n-2 khả năng chọn   3 từ tập 1,2,................, n / 1,  2 . ……………………………………  Cứ tiếp tục quá trình trên đến khi :  Có 2 khả năng chọn   n  1 .  Có 1 khả năng chọn   n  .  Số cách chọn ( hay số khả năng chọn)  1 ,   2  , .................,  n  chính là số phần tử của Sn. Do đó số phần tử của Sn là: Sn  n. n  1 n  2 .......2.1  n!. 15 b) Định lí 3.3.1 Với mọi phép thế   Sn đều là tích của tất cả các xích khác nhau của nó . Các tập nền của các xích này là các tập con rời nhau của tập {1,2,3,……,n}. Chứng minh :  Với mọi x1 1,2,..........., n , nếu   x1   x1 thì (x1) là một xích của  . Trái lại , nếu   x1   x1 , ta đặt x2    x 1  . Giả sử x1, x2    x1  ,.................., xk    xk 1  là những phần tử đôi một khác nhau còn   xk  thì trùng với một trong các phần tử x1,x2,………..,xk. Ta khẳng định rằng   xk   x1 . Thật vậy, nếu   xk   xi với i>1 thì   xk     xi1  . Do đó xi 1  xk . Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng x1,x2,……..,xk đôi một khác nhau. Vậy (x1,x2,………..,xn) là một xích của  .  Mỗi phần tử của tập {1,2,……….n} đều thuộc một tập con , là tập nền của một xích của  . Hai tập con như thế nếu có thì phải trùng nhau. Thật vậy , phương trình   x   y hoàn toàn xác định y theo x và x theo y ( do  là một song ánh). 16 Nhận xét : Khi viết một phép thế của Sn như là tích của các xích rời rạc , tức là các xích với tập nền rời nhau, thì thứ tự của các xích ở trong tích là không quan trọng. c) Định lí 3.3.2 Cấp của một phép thế  bằng bội chung nhỏ nhất của độ dài các xích rời rạc của  . Chứng minh: Giả sử (x1,x2,…….,xk) là một xích của  . Khi đó:  j  xi   xi  j ,ở đây i+ j được lấy theo modulo k , tức là không phân biệt i+ j với phần dư của nó trong phép chia cho k. Do đó,  t  xi   xi ( với mọi i) nếu và chỉ nếu t là một bội của k. Vì thế  t  x   x (x 1,2,....., n) nếu và chỉ nếu t là một bội của độ dài của mọi xích của  . Số dương nhỏ nhất có tính chất đó chính là cấp của  . d) Mệnh đề 3.3.2 Mọi phép thế đều là tích của một số phép thế sơ cấp. Chứng minh: Theo định lí 3.3.1 ta chỉ cần chứng minh mệnh đề trên cho các phép thế có dạng xích. Ta có :  x1, x2 ,................., xn    x1,.........., xk 1  xk 1, xk    x1, x2   x2 , x3 ....... xk 1, xk . 17 Ở đây , phép thế bên phải tác động trước theo định luật hợp thành các ánh xạ. e) Hệ quả 3.3.1 Nhóm Sn được sinh ra bởi các phép thế sơ cấp trong nó, n  2 . f) Bổ đề 3.3.1 Cho hai phép thế  và  như sau:    a11,.....a1r   a21,......, a2 s ....... am1,.........., amt  ;   aij   bij Khi đó:  1   b11,.........., b1r   b21,..........., b2 s ......... bm1,...................., bmt  . Chứng minh: Ta có  1  bij     aij     aij 1   bij 1 . Trong đó j+1 được lấy theo modulo độ dài của xích chứa aij . h) Mệnh đề 3.3.3 Hai phép thế liên hợp với nhau trong nhóm đối xứng khi và chỉ khi chúng có cùng số xích rời rác với mỗi độ dài đã cho. Chứng minh:  Điều kiện cần : được suy ra từ bổ đề 3.3.1.  Điều kiện đủ: Giả sử rằng:    a11 ,......, a1r   a21,..........., a2 s ... am1,.........., amt     b11 ,......., b1r   b21,..........., b2 s ... bm1,..........., bmt  là hai phép thế có cùng số xích với mỗi độ dài đã cho . Khi đó, ta định nghĩa phép thế  bởi công thức   aij   bij . Theo bổ đề 3.3.1 ,    1 . 18 Nhận xét: Trong một nhóm G bất kì , phép tịnh tiến trái bởi phần tử a  G (tức là ánh xạ x  ax ) là một song ánh từ G vào G. i) Định lí 3.3.3 Mọi nhóm G ( hữu hạn hay vô hạn ) đều đẳng cấu với một nhóm các phép thế nào đó trên các phần tử của G. Nói cách khác , có 1 đơn cấu nhóm G  S  G  từ G vào nhóm đối xứng trên tập hợp G. Chứng minh: Với mỗi a  G , ta xét phép tịnh tiến trái bởi a: L  a  : G  G . x  ax Ta chứng tỏ L(a) là một song ánh. Thật vậy:  L(a) là một đơn ánh vì: theo luật giản ước : ax=ay, kéo theo x=y.  L(a) là một toàn ánh vì: với mọi z  G , ta có L(a)  a 1z   z . Như thế L(a) S (G) .  Ta chứng minh rằng ánh xạ L : G  S (G) là một đồng cấu nhóm. a  L( a ) Thật vậy: với mọi a, b, x  G ta có: L  a  L  b  x  a bx    ab  x  L  ab  x .Như thế L  ab   L  a  L  b  . 19 Nghĩa là L là một đồng cấu nhóm. L là một đơn ánh vì nếu L(a) = L(b) thì a=L(a)e=L(b)e=b. Định lí được chứng minh. k) Hệ quả 3.3.2 Mỗi nhóm hữu hạn G đều đẳng cấu với một nhóm con của nhóm đối xứng Sn trong đó n  G . Chứng minh: Sử dụng định lí 3.3.3, ta chỉ cần chứng minh rằng S  G   Sn với n G . Thật vậy , cố định một song ánh h : G  1,2,........., n , tức là đánh số các phần tử của G. Khi đó , dễ dàng kiểm nghiệm rằng ánh xạ: S (G )  Sn   h h 1 là một đẳng cấu nhóm. 2.3.2 Nhóm thay phiên 2.3.2.1 Định nghĩa a) Dấu của phép thế, phép thế chẵn, phép thế lẻ Dấu của phép thế  ,kí hiệu bởi sgn   là số sau đây: sgn      i     j      1 . j i 1i  j  n    i) Nếu sgn    1 thì  là một phép thế chẵn. ii) Nếu sgn    1 thì  là một phép thế lẻ. 20 b) Định nghĩa nhóm thay phiên Nhóm An tất cả các phép thế chẵn trên tập { 1,2,….,n} được gọi là nhóm thay phiên trên n phần tử với n  2 . c) Định nghĩa nghịch thế Một nghịch thế của phép thế   Sn là một cặp i,j các phần tử của tập {1,2,……,n} sao cho i1 ,còn Z là số phần tử mà quỹ đạo của nó chỉ gồm một phần tử. Chứng minh bằng quy nạp theo G  Nếu G  p định lí hiển nhiên đúng.  Giả sử định lí đúng với mọi nhóm có cấp nhỏ hơn cấp X. Nếu X có một nhóm con thực sự H với chỉ số [G:H] là một số nguyên cùng nhau với p, thì mỗi p-nhóm con Sylow của H (tồn tại theo giả thiết quy nạp) cũng là một p - nhóm con Sylow thực sự. Vì thế ta có thể giả sử mọi nhóm con thực sự của G có chie số chia hết cho p. Khi đó , mỗi số hạng [G:Gx] trong tổng  ' nói trên đều chia hết cho p. Theo giả thiết G cũng chia hết cho p. Do đó Z cũng là một bội của p. Theo bổ đề 3.4.2, Z chứa một nhóm con xyclic H cấp p. Vì H nằm trong tâm Z nên H là một nhóm con chuẩn tắc của G. 27 Xét phép chính tắc  : G  G H . Nếu pn là lũy thừa cao nhất của p chia hết cho G thì pn-1 là lũy thừa cao nhất của p chia hết cho G Giả sử K  là một p-nhóm con Sylow của G H H . (nó tồn tại theo giả thiết quy nạp) . Đặt K   1 ( K ') . Khi đó K  H và  ánh xạ K lên K  nên ta có đẳng cấu nhóm K H  K ' . Do đó K  H K '  p. p n1  p n . Vậy K chính là một p - nhóm con Sylow của G. c) Định lí 3.4.3 Giả sử G là một nhóm hữu hạn . Khi đó , mọi p - nhóm con của G đều được chứa trong một p - nhóm con Sylow. Mọi p - nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau trong G. d) Định lí 3.4.4 Giả sử G là một p - nhóm . Khi đó G giải được . Nếu G >1 , thì G có tâm Z không tầm thường . Chứng minh:  Nếu G  1 , G tầm thường.  Giả sử G là một p - nhóm với cấp lớn hơn 1.Tương tự như trong chứng minh định lí 3.4.2 ta có : G  Z   ' G : Gx  Vì G là một p-nhóm nên G và mỗi [G:Gx]đều chia hết cho p nên Z cũng chia hết cho p. Do đó Z không tầm thường. 28 Để chứng tỏ rằng G giải được , ta sẽ chứng minh một khẳng định mạnh hơn nói rằng G thừa nhận dãy nhóm con e  G0  G1  ..........  Gn  G trong đó Gi là nhóm con chuẩn tắc trong G, và Gi 1 Gi là nhóm xyclic cấp p. Vì tâm Z của G không tầm thường nên theo bổ đề 3.4.2 Z chứa một nhóm con xyclic H cấp p. Vì H  Z , nên H là một nhóm con chuẩn tắc của G. Có thể giả thiết quy nạp rằng p-nhóm G H thừa nhận một dãy nhóm con có tính chất như nói ở trên. Bổ sung nhóm {e}vào dãy các nghịch ảnh của dãy đó bởi phép chiếu chính tắc  : G  G H ta thu được một dãy nhóm con phải tìm cho G. 2.3.4 Một số bài tập Bài 1. Trong nhóm GL3  R  , xét tập con H   A  GL3  R  det A  1 . Chứng minh rằng H là nhóm con chuẩn tắc của GL3  R  Giải Ta có H  vìI3  H và H  GL3  R  . Giả sử A, B  H khi đó det A  1,det B  1. Ta có det  AB   det A.det B  1.1  1. Suy ra A1  H . Ta có det A  1 nên tồn tại A1 và det A1  1 1   1. Suy ra A1  H . det A 1 Vậy H  GL3  R  . Giả sử C  GL3  R  , khi đó det C  1và det C 1  1 . Ta có det  CAC 1   det C.det A.det C 1 . Suy ra CAC 1  H . Vậy H  GL3  R  . 29 Bài 2. Cho G là nhóm. Chứng minh rằng: a) Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G và K là nhóm con của G thì HK  K  H và HK=KH. b) Nếu H i  G, i  1, n và H j  G, j  1, n  1 thì H1H 2 ...H n  n H i i 1 và Hi H k  H k Hi , i  k ; i, k  1, n . Giải a) Ta chứng minh KH  K  H . Thật vậy, ta có KH   ( do K , H   ). Lấy k1h1, k2h2 bất kỳ thuộc KH với k1, k2  K ; h1, h2  H . Khi đó  k1h1  k2h2  1  k1h1h21k21  k1k21  k2h1h21k21  .Vì K  G nên k1k2  K . Vì H  G nên h1h21  H , k2h1h21k21  H . Do đó  k1h1  k2h2   KH . Vậy KH  G . 1 Lấy x bất kỳ thuộc K  H . Khi đó x  K  x  H . Nếu x  K thì x  xe  KH ( vì e  H ). Nếu x  H thì x  ex  KH (vì e  K ). Suy ra x  KH hay K  H  KH . Giả sử tồn tại M là nhóm con của G chứa K  H . Lấy kh bất kì k  K  K  H  M thuộc KH với k  K , h  H . Khi đó  nên kh  M h  H  K  H  M (vì M  G ). Do đó KH  M . Vậy KH  K  H . 30 Ta chứng minh KH=HK. Thật vậy, lấy bất kỳ kh thuộc KH với kh  khk 1k . Vì k  K , h  H thì H G nên khk 1  H , do đó kh  khk 1k  HK . Suy ra KH  HK . Tương tự ta được HK  KH . Vậy HK=KH. b) k H Ta chứng minh H1H 2 ...H k  i (*) bằng phương pháp quy i 1 nạp theo n. Với n=1 thì (*) hiển nhiên đúng. Với n=2 thì (*) đúng do chứng minh trên. k H Giả sử ta luôn có H1H 2 ...H k  i , với k >1, trong đó i 1 H i  G, i  1, k , H j  G, j  1, k  1. Ta chứng minh H1H 2 ...H k 1  k 1 H i , trong đó i 1 H i  G, i  1, k  1, H j  G, j  1, k . Đặt H  H1H 2 ...H k 1 , S  k 1 H i . i 1 Theo giả thiết quy nạp thì H  S . Vì H1  G, H  G nên theo kết H1H  H1  H  H1  S quả câu a) ta có H1H 2 ...H k 1   H1  S . Vì thế k 1 H i . i 1 Vậy H1H 2 ...H n  n H i và Hi H k  H k Hi , i, k  1, n . i 1 31 Bài 3. Giả sử X là một nhóm xyclic cấp n sinh bởi phần tử a. Xét phần tử b  a k   . Chứng minh rằng: a) Cấp b bằng n với d là ước chung lớn nhất của n và k. d b) b là phần tử sinh của X khi và chỉ khi n và k nguyên tố cùng nhau. Giải a) Giả sử X  a có cấp n, b  a k   . Gọi s là ước chung lớn nhất của k và n. Khi đó n  n1d , k  k1d với n1 , k1 nguyên tố cùng nhau. Ta có: bn1   a k   a kn1  a k1dn1  ek1  e . n1 Hơn nữa, nếu bt  e hay a kt  e thì kt chia hết cho n. Do đó, kt  k1dt  n1ds hay k1t  n1s nghĩa là k1t chia hết cho n1 . Vì k1 và n1 nguyên tố cùng nhau nên t chia hết cho n1 . Vậy n1  n là cấp của d b  ak . b) Phần tử b  a k là phần tử sinh của nhóm X nếu và chỉ nếu cấp của b bằng cấp của X và bằng n. Theo câu a), cấp của b bằng n . Như vậy phần tử b là phâng tử d sinh của X khi và chỉ khi d=1 hay n,k nguyên tố cùng nhau. 32 Bài 4. Chứng minh rằng mọi nhóm có cấp con vô hạn đều có vô hạn nhóm con. Giải Nếu X  x là nhóm xyclic có cấp vô hạn thì với mỗi số tự nhiên n, ta có x n là nhóm con xyclic của X và nếu n  m thì x n  x m nên X có vô hạn nhóm con. Nếu X không là nhóm xyclic.  Nếu X có chứa một phần tử cấp vô hạn x thì A  x là nhóm con xyclic cấp vô hạn của X, A có vô hạn nhóm con nên X cũng có vô hạn nhóm con.  Nếu mỗi phần tử của X đều có cấp hữu hạn thì số các nhóm con xyclic sinh bởi các phần tử của X là vô hạn vì  x  X là tập vô xX hạn và x hữu hạn. Bài 5. Cho G là nhóm Aben hữu hạn sinh, trong đó mọi phần tử sinh của G đều có cấp hữu hạn. Chứng minh rằng G là nhóm hữu hạn. Giải Ta chứng minh bằng quy nạp theo số phần tử sinh của G. Với n =1 thì G  x1 nên G  x1  m   . 33 Vậy G là nhóm hữu hạn. Cho G là nhóm Aben sinh bởi tập hợp S  x1, x2 ,..., xk , k  1, trong đó xi  mi , i  1, k . Giả sử các nhóm Aben sinh bởi tập hợp có lực lượng bé hơn k và các phần tử sinh có cấp hữu hạn đều là nhóm hữu hạn(*). Ta sẽ chứng minh giả thiết (*) đúng cho trường hợp nhóm Aben hữu hạn sinh có lực lượng bằng k. Thật vậy, G  G x1,..., xk 1 x1,..., xk   xk  x1,..., xk 1  xk   H  H  với H  suy ra x1,..., xk 1 và H   xk . Vì G là nhóm Aben và G  H  H  nên G=H. H  . Do đó G  HH   H . H . H  H Theo giả thiết quy nạp thì H   .Mặt khác H   xk  mk   và H  H   H do vậy H .H   H . Vì thế G  n1.n2 . n3 Vậy G có cấp hữu hạn. Bài 6. Cho G là nhóm Aben hữu hạn sinh . Chứng minh rằng mọi dãy tăng các nhóm con của G đều bị dừng. Giải  Gọi G1  G2  ... là dãy tăng các nhóm con của G. Đặt G   Gi . , i 1 Lấy x, x bất kỳ thuộc G . Khi đó tồn tại i, j  sao cho x  Gi , x  G j . 34 Suy ra x, x  Gt với t  max i, j . Do Gt  G nên mới mọi m, m  ta đều có mx  mx  Gt . Hay mx  mx  G nên G  G . Vì G là nhóm Aben hữu hạn sinh nên G cũng là hữu hạn sinh. Do đó x1, x2 ,.., xn  G : G  x1, x2 ,.., xn . Nên tồn tại k1, k2 ,..., kn  sao xi  Gki , i  1, n . cho Suy xi  Gk với ra mọi i  với k  max k1, k2 ,.., kn  , Nên G  Gk mà Gk  G . Do đó G  Gk . Hay Gk  Gk 1  ... Vậy dãy trên bị dừng Bài 7. Chứng minh rằng mọi nhóm Abel cấp qp, với q,p là số nguyên tố , p  q đều la nhóm xyclic. Giải Ta có p,q là ước của pq nên theo định lý Cauchy thì tồn tại a,b thuộc G sao cho a  p, b  q , ta sẽ chứng minh ab  pq .Ta có  ab  pq  a pqb pq   a p   bq   e vì q nguyên k sao cho  ab  k p  a  p, b  q  . Giả sử tồn tại số  ab  pk  e b pk  e vì thế  qk kéo theo  e . Khi đó  qk a  e  ab   e  pk  Mq mà (p,q)=1 nên k=Mp và k=Mq nên k=Mpq.  qk  Mp  Do đó ab  pq  G vậy G  ab là nhóm xyclic sinh bởi ab. 35 Bài 8. Cho X là nhóm, x   . Chứng minh rằng: x    m, n  , m  n thì x m  x n . Giải    Giả sử tồn tại m, n, m  n : xm  xn  xmn  e . Đặt d = m-n , d > 0. Lấy y  x  y  a k  k   .Chia k cho d ta được k = dp + r với 0  r  d  1.  y  x k  x dp r   x d  x r  x r p  x   x r 0  r , d  1  x  x  Do đó x    m, n  sao cho m  n thì x m  x n .   Ta có x   x k k  . Do đó m, n sao cho m  n thì x m  x n  x    x . Từ đó suy ra x    m, n  sao cho m  n thì x m  x n . Bài 9. Chứng minh rằng  m   n là một nhóm xyclic khi và chỉ khi m và n nguyên tố cùng nhau. Giải Giả sử m và n là hai số nguyên tố cùng nhau . 36   Khi đó 1,1   m   n có cấp là m.n. Thật vậy,     mn 1,1  mn1, mn1       n m1 , m n1    0,0 k .1  1  m   m Giả sử k 1,1  0,0 khi đó k.1, k.1  0,0 hay  . k .1  1  n   n             Suy ra k chia hết cho m và k chia hết cho n. Vì  m, n   1 nên k chia   hết cho mn. Vậy  m   n là nhóm xyclic sinh bởi 1,1 . Đảo lại, giả sử  m   n là một nhóm xyclic. Khi đó tồn tại a, b thuộc  m   n có cấp mn. Mặt khác nếu  m, n là       bội chung nhỏ nhất của m và n thì  m, n a, b   m, n a, m, nb  0,0 . Từ đó suy ra  m, n chia hết cho mn. Vậy m,n nguyên tố cùng nhau. Bài 10. Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 15 đều là nhóm xyclic. Giải Giả sử   15  3.5 nên trong X tồn tại 3- nhóm con Sylow và 5nhóm con Sylow. 37  Trong X tồn tại 3- nhóm Sylow. Gọi r là số 3- nhóm con r  1 mod3 Sylow ta có   r  1 . Do đó tồn tại duy nhất 3r / 5  nhóm con Sylow H, H  3 . Suy ra H  X .  Tương tự trong X tồn tại 5- nhóm con Sylow của X. Nếu s là  s  1 mod5  số 5- nhóm con Sylow của X thì   s  1. Do s / 3  đó, tồn tại duy nhất 5- nhóm con Sylow K, K  5 . Suy ra KX. Ta thấy H  K  e . (1) Vì nếu H  K  1  H  K  3 ( điều này không thể xảy ra vì H  K  H , H  K  K và H  K  H nên H  K  H suy ra H  K mà H không là ước của K . Ta có HK  H K  15  X . H K Mặt khác, HK  X nên HK  X (2) Vì H,K là nhóm xyclic ( do H,K có cấp nguyê tố ) và  H , K   1 nên HK=X là nhóm xyclic. Bài 11. Giả sử X là nhóm, a và b là hai phần tử của nhóm X. 1. Chứng minh rằng cấp của ab bằng cấp của ba. 2. Giả sử ab = ba và cấp của a,b lần lượt là r,s. Khi đó, nếu  r , s   1 thì cấp của ab là rs. 38 Giải a) Giả sử ab cấp k. Khi đó,  ab   e  abab ... ab  e  k k  a  ba  a 1  e   ba   e k Nếu m là cấp của ba thì m là ước của k. k (1) Ta có  ba   e  baba ... ba  e  b  ab  b 1  e  m m m   ab   e . m Suy ra k là ước của m. (2) Từ (10 và (2) ta có m = k hay cấp của ab bằng cấp của ba. b) Do ab = ba nên  ab   a rsbrs  ee  e . rs Giả sử  ab   e hay at bt  e suy ra at  bt . Do đó: t ats  bts  e  tsr  t r (do  r , s   1) (3) atr  btr  e  tr  s  t  s  do  r , s   1 (4) t  r Từ (3) và (4) ta có   t  r . t  s Vậy rs là cấp của phần tử ab. Bài 12. Chứng minh rằng trong nhóm cộng các số nguyên  một bộ phận A của  là nhóm con của  nếu và chỉ nếu A có dạng A= m  ,m  . 39 Giải Giả sử A = m  ( với m là một số nguyên)    vì 0  m, 0 A. Lấy mk1và mk2 là hai phần tử bất kỳ của A, mk1  mk2  m  k1  k2    . Vậy A là một nhóm con của  . Đảo lại, giả sử A là một nhóm con của  . Nếu   0 thì ta có A= 0  với m = 0. Giả sử   0 , khi đó ta có a   là một số nguyên khác 0. Gọi m là số nguyên khác 0 thuộc A sao cho m  a ( với mọi a  0, a   ). Do đó A = m  . Thật vậy rõ ràng m   vì m  . Ngược lại giả sử a   là một số nguyên, ta có a = mq + r (1) với r = 0 hoặc r  m . Từ đẳng thức (1) suy ra r = a – mq  A do đó r = 0 hay a  mq  m . Vậy   m . Tóm lại có A = m  . Bài 13. Cho X và Y là những nhóm xyclic có cấp m và n. Chứng minh rằng X  Y là một nhóm xyclic khi và chỉ khi m và n nguyên tố cùng nhau. Giải Giả sử   x có cấp là m và Y  y có cấp là n, với m và n nguyên tố cùng nhau. 40 Ta sẽ chứng minh rằng   Y là nhóm xyclic sinh bởi phần tử (x,y). Vì X có m phần tử và Y có n phần tử nên X  Y có mn phần tử hay cấp X  Y = mn. Ta có :  x, y   x, y  Nếu k mn   x mn , y mn    eX , eY  .   eX , eY  k   x  eX thì  x , y    eX , eY    k . Suy ra k y  e   Y k k chia hết cho m và k chia hết cho n,vì m và n nguyên tố cùng nhau nên k chia hết cho mn. Do đó cấp (x,y) = mn bằng cấp của X  Y. Vậy X  Y là một nhóm xyclic sinh bởi ( x , y ). Đảo lại , giả sử X  Y là một nhóm xyclic sinh bởi phần tử  x , y  .Gọi M là bội chung nhỏ nhất của m và n ta có k l x , y  k l M   x kM , y lM    eX , eY  , điều này chứng tỏ M chia hết cho cấp của  x k , y l  hay M chia hết cho mn.Vậy m và n là nguyên tố cùng nhau. 41 KẾT LUẬN Khóa luận “Nhóm hữu hạn”đã trình bày một số cấu trúc nhóm hữu hạn. Tuy nhiên , do năng lực và thời gian còn hạn chế nên một số vấn đề của đại số như sự phân tích nhóm…chưa được đề cập đến. Hy vọng đề tài này được các bạn sinh viên tiếp tục quan tâm nghiên cứu về sau. Do đây là lần đầu tiên em làm quen với nghiên cứu khoa học nên trong quá trình hoàn thành khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong các thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để khóa luận em được hoàn chỉnh hơn. 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Tự Cường ( 2006 ), Đại số hiện đại- Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội. 2. Nguyễn hữu Việt Hưng ( 1998 ), Đại số đại cương- Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội. 3. Trần Trọng Huệ ( 2001 ), Đại số đại cương- Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội. 4. Ngô Thúc Lanh ( 1996 ), Đại số và Số học ( Tập 2 )- Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội. 5. Dương Quốc Việt ( 2006 ), Một số cấu trúc cơ bản cải đại số hiện đạiNhà xuất bản Đại học sư phạm. 43 [...]... 1 nhóm con chuẩn tắc của nhóm G Nói chung  N G  N G ii) Nếu các số nguyên dương m và n là nguyên tố cùng nhau thì     m n mn iii) Giả sử A và B là các nhóm con chuẩn tắc trong G sao cho A  B  e và G là nhóm sinh bởi A  B Khi đó G    9 2 CHƢƠNG 2 NHÓM HỮU HẠN 2.1 Định nghĩa Nhóm X được gọi là nhóm hữu hạn nếu nó có hữu hạn phần tử Ngược lại ,nếu nó có vô hạn phần tử thì gọi là nhóm. .. nguyên dương m được gọi là 1 số mũ của nhóm nếu nó là số mũ của mọi phần tử của G 2.2.2.2 Hệ quả 2 Cấp của một nhóm hữu hạn G là một số mũ của nó 2.2.2.3 Hệ quả 3 Mọi nhóm có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic Nói cách khác ,trên một tập hợp hữu hạn với số phần tử là một số nguyên tố có duy nhất (sai khác đẳng cấu ) một cấu trúc nhóm , là nhóm xyclic Chứng minh: Giả sử nhóm X có cấp X =p là một số nguyên... là một nhóm con của X và gọi là nhóm con dừng của X c) Định nghĩa nhóm giải được Nhóm G được gọi là giải được nếu nó có dãy nhóm con e  G0  G1   Gn  G Sao cho mỗi Gi là một nhóm con chuẩn tắc của Gi+1 và Gi+1/Gi là một nhóm Aben ( i-0,1,….,n-1) 24 2.3.3.2 Một số tính chất a) Bổ đề 3.4.2 Giả sử G là một nhóm abel hữu hạn cấp m và p là một số nguyên tố chia hết cho m Khi đó G chứa một nhóm con... một nhóm  Một nhóm con có thể có 2 tập sinh cực tiểu với số phần tử khác      nhau: Ví dụ:  6 = < 1 > = < 2,3 > 6 b) Nhóm xyclic Nhóm X được gọi là nhóm xyclic,nếu X được sinh bởi một i phần tử a   , phần tử a được gọi là phần tử sinh của X Kí hiệu:   a Nếu X là nhóm bất kì, a  X thì a là 1 nhóm xyclic sinh ii bởi phần tử a ,nó được gọi là nhóm con xyclic của nhóm X sinh bởi a Ví dụ Nhóm. .. X Ví dụ 1)Mỗi nhóm  G,., e  có hai nhóm con chuẩn tắc hiển nhiên là G và e 2) Mọi nhóm con của nhóm Aben là chuẩn tắc b) Điều kiện tương đương Cho A là một nhóm con của X Khi đó ta nói nhóm A là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm X khi và chỉ khi với mọi x   ta có x  x với x   xa a   và x  ax a   Chú ý :  Một nhóm X với phần tử đơn vị e bao giờ cũng có ít nhất 2 nhóm con chuẩn... e và X  Nếu X là nhóm Aben thì mọi nhóm con của X đều là nhóm con chuẩn tắc 5 1.3 Nhóm thương Định nghĩa: Nếu A là 1 nhóm con chuẩn tắc của X thì: i) Quy tắc cho tương ứng cặp  x, y  với lớp trái xyA là một ánh xạ f :  ii)        cùng với phép toán 2 ngôi :  x, y   xy là một nhóm gọi là nhóm thương của X trên A Ví dụ:  là nhóm cộng các số nguyên, n là nhóm con chuẩn tắc của... con chuẩn tắc của  gồm các số nguyên là bội của một số tự nhiên n cho trước Khi đó nhóm thương  n là nhóm các lớp thặng dư theo môđun n 1.4 Tập sinh của nhóm, nhóm xyclic a) Định nghĩa tập sinh của nhóm Cho (X, )là một nhóm , U  X : i) Giao của tất cả các nhóm con của X chứa U là nhóm con nhỏ nhất trong số các nhóm con của X chứa U.Kí hiệu là ii) Nếu tồn tại U, = X thì U được gọi là tập... [Sn:An]=2 Nhóm thương Sn An có hai phần tử nên nó là một nhóm xyclic cấp 2 (vì 2 là số nguyên tố) Theo định nghĩa của chỉ số ta có: An  Sn  Sn : An   n! 2 e) Định lí 3.3.4 Nhóm thay phiên An là một nhóm đơn trừ khi n=4 2.3.3 Nhóm con Sylow 2.3.3.1 Một số định nghĩa a) Định nghĩa nhóm con Sylow Giả sử p là một số nguyên tố i) Nhóm H được gọi là một p - nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa của p 23 ii) Nhóm. .. quả Cho X- là nhóm ,   ,    Các điều kiện sau tương đương: i A là nhóm con của X ii Với mọi x, y   thì xy  , x 1   iii Với mọi x, y   thì xy 1   1.2.2 Nhóm con chuẩn tắc a) Định nghĩa Cho (X,.) là một nhóm, A là nhóm con của X Khi đó A được gọi là nhóm con chuẩn tắc của X nếu và chỉ nếu : Với mọi x  , a   : x1ax   Nhóm X được gọi là nhóm đơn nếu nó không có nhóm con chuẩn... Giả sử K  là một p -nhóm con Sylow của G H H (nó tồn tại theo giả thiết quy nạp) Đặt K   1 ( K ') Khi đó K  H và  ánh xạ K lên K  nên ta có đẳng cấu nhóm K H  K ' Do đó K  H K '  p p n1  p n Vậy K chính là một p - nhóm con Sylow của G c) Định lí 3.4.3 Giả sử G là một nhóm hữu hạn Khi đó , mọi p - nhóm con của G đều được chứa trong một p - nhóm con Sylow Mọi p - nhóm con Sylow của G ... phần tử X có cấp hữu hạn số nhóm xyclic sinh phần tử X vô hạn  x  X tập vô xX hạn x hữu hạn Bài Cho G nhóm Aben hữu hạn sinh, phần tử sinh G có cấp hữu hạn Chứng minh G nhóm hữu hạn Giải Ta chứng... B nhóm chuẩn tắc G cho A  B  e G nhóm sinh A  B Khi G    CHƢƠNG NHÓM HỮU HẠN 2.1 Định nghĩa Nhóm X gọi nhóm hữu hạn có hữu hạn phần tử Ngược lại ,nếu có vô hạn phần tử gọi nhóm vô hạn. .. có x n nhóm xyclic X n  m x n  x m nên X có vô hạn nhóm Nếu X không nhóm xyclic  Nếu X có chứa phần tử cấp vô hạn x A  x nhóm xyclic cấp vô hạn X, A có vô hạn nhóm nên X có vô hạn nhóm 