“Một số phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức

Vỡ thế việc rốn luyện cho học sinh kĩ năng giả bài tập về tỉ lệ thức là một điều cần thiết trong quỏ trỡnh giảng dạy toỏn ở chương trỡnh lớp 7.. Việc giỳp học sinh rốn kĩ năng giải bài t

I.Đặt vấn đề:

Tỉ lệ thức là kiến thức khỏ trọng tõm trong chương trỡnh toỏn lớp 7 và cũng là một mảng

kiến thức quan trọng trong chương trỡnh toỏn phổ thụng Vỡ thế việc rốn luyện cho học sinh

kĩ năng giả bài tập về tỉ lệ thức là một điều cần thiết trong quỏ trỡnh giảng dạy toỏn ở chương trỡnh lớp 7 Việc giỳp học sinh rốn kĩ năng giải bài tập về tỉ lệ thức giỳp học sinh hiểu sõu, nắm vững dạng toỏn này trong chương trỡnh lớp 7 ngoài ra cũn giỳp học sinh giải quyết tốt cỏc dạng toỏn cú liờn quan đến tỉ lệ thức ở chương trỡnh lớp trờn: cỏc dạng biến đổi về phõn thức đại số, chứng minh một đẳng thức, giải phương trỡnh cú hai vế là những phõn thức đại

số, toỏn chia hết, biến đổi cỏc biểu thức dạng tớch hai đoạn thẳng vớ dụ: MN.PQ=EF.GH hoặc EF2=MN.PQ…trong hỡnh học về đoạn thẳng tỉ lệ, định lý Thales hay tam giỏc đồng dạng Qua việc rốn kĩ năng giải bài tập về tỉ lệ thức gúp phần vào việc giỳp cỏc em học sinh hiểu bài từ đú cỏc em sẽ cú thúi quen nhận định tổng thể dạng bài tập, sau đú định hướng giải quyết theo phương phỏp đỳng đắn Khi nắm vững lớ thuyết, Được rốn luyện kĩ năng một cỏch thớch hợp đó phần nào thỳc đẩy được hứng thỳ trong giải bài tập, cỏc em sẽ bớt phần ngại khú, ngại giải bài tập Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập nhằm nõng cao chất lượng giảng dạy, nhằm nõng cao trỡnh độ chuyờn mụn nghiệp vụ cho bản thõn thụng qua đú giới thiệu cho bạn bố đồng nghiệp tham khảo, vận dụng vào quỏ trỡnh giảng dạy mụn Toỏn ở Trường THCS đạt hiệu quả cao và cú ý thức vận dụng linh hoạt sỏng tạo cỏc kiến thức kỹ năng đó thu nhận được.Từ đú hiệu quả giảng dạy sẽ tốt hơn

II.Giải quyết vấn đề:

1.Cơ sở lớ luận:

Tri thức khoa học của nhân loại càng ngày càng đòi hỏi cao Chính vì vậy, việc giảng dạy trong nhà trờng phổ thông ngày càng đòi hỏi nâng cao chất lợng toàn diện, đào tạo thế hệ trẻ cho đất nớc có tri thức cơ bản, một phẩm chất nhân cách, có khả năng t duy, sáng tạo, t duy độc lập, tính tích cực nắm bắt nhanh tri thức khoa học Môn Toán là môn học góp phần tạo ra những yêu cầu đó Việc hình thành năng lực giải Toán cho học sinh trung học cơ sở là việc làm chính không thể thiếu đợc của ngời thầy, rèn luyện cho các em có khả năng t duy sáng tạo, nắm chắc kiến thức cơ bản, gây đợc hứng thú cho các em yêu thích môn Toán Môn Toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong trờng phổ thông, có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trớ tuệ Toán học là một môn khoa học gây nhiều hứng thú cho học sinh, nó là một môn học không thể thiếu trong quá trình học tập, nghiên cứu và

cả trong cuộc sống hàng ngày Một nhà toỏn học đó núi: “Toán học được xem như là một khoa học minh”.

Thật vậy, do tính chất trừu tợng, tính chính xác, t duy suy luận logic Toán học đợc coi

là "môn thể thao trí tuệ" rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo Trong cỏc mụn học

ở trường phổ thụng, Toỏn học được coi như là một mụn học cơ bản, là nền tảng để cỏc em phỏt huy được năng lực bản thõn, gúp phần tạo điều kiện để cỏc em học tốt cỏc mụn khoa học tự nhiờn khỏc Vậy dạy như thế nào để học sinh khụng những nắm chắc kiến thức cơ bản một cỏch cú hệ thống mà cũn phải được nõng cao phỏt triển để cỏc em cú hứng thỳ say mờ học tập là một cõu hỏi mà mỗi thầy cụ luụn đặt ra cho mỡnh Tuy nhiờn để học tốt mụn toỏn thỡ người giỏo viờn phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến khú, từ cụ thể đến trừu tượng và phỏt triển thành tổng quỏt giỳp học sinh cú thể phỏt triển tư duy toỏn học, làm cho cỏc em trở lờn yờu thớch toỏn hơn từ đú cỏc em cú ý thức học tập đảm bảo yờu cầu của

thời đại mới Là một giỏo viờn dược phõn cụng giảng dạy lớp 7A2, 7A5 với đối tượng học

sinh khỏ giỏi, cỏc em cú tư duy nhạy bộn và nhu cầu hiểu biết ngày càng cao, làm thế nào để

0

phát huy được hết khả năng của các em đó là trách nhiệm của các giáo viên chúng ta Qua giảng dạy chương trình toán lớp 7 tôi nhận thấy đề tài về Tỉ lệ thức là một đề tài thật lý thú, phong phú đa dạng không thể thiếu ở môn đại số lớp 7

Việc giải bài toán về tỉ lệ thức là một dạng toán hay, với mong muốn cung cấp cho các

em một số phương pháp giải các bài toán về tỷ lệ thức, giúp các em làm bài tập tốt hơn nhằm tích cực hoá hoạt động học tập, phát triển tư duy, do đó trong năm học này tôi chọn đề tài

“Một số phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức”để thực hiện trong chương trình toán

lớp 7

2 Thực trạng của vấn đề :

2.1 Khó Khăn:

Lớp 7A2, 7A5 có số lượng học sinh không đồng đều về mặt nhận thức gây khó khăn cho giáo viên trong việc lựa chọn phương pháp phù hợp.Nhiều học sinh có hoàn cảnh khó khăn do đó việc đầu tư về thời gian và sách vở bị hạn chế và ảnh hưởng không nhỏ đến nhận thức và sự phát triển tư duy của các em Đa số các em hay thoả mãn trong học tập, các em cho rằng chỉ cần học thuộc lòng các kiến thức trong SGK là đủ Chính vì vậy mà các em tiếp thu kiến thức một cách thụ động, không tự mày mò, khám phá kiến thức mới

Hầu hết các em đều hấp tấp khi giải các bài tập dạng này

VD: Lời giải của em Nguyễn Thụy yến Vi - Lớp 7A5

(Bài 62 trang 31 – SGK NXBGD – 2003): Tìm hai số x, y biết: x y= ; xy=10

2 5

HS giải: Ta có:

x=2.9=18; y=5.9=45

















k 5 y

k 2 x k 5

y 2

x

Mà xy = 90  2k 5k = 9010k2 = 90k2 = 9 













3

k

3

k

* Với k =3  x = 2.3 = 6 ; y = 5.3=15 ; * Với k = -3 x = 2.(-3) = -6 ; y = 5.(-3)

= -15 ; Vậy (x; y) = (6; 15); (-6; -15)

(Học sinh mắc sai lầm do chưa hiểu rõ tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

Qua một thời gian tôi đã tiến hành điều tra cơ bản và thu được kết quả như sau:

+ Lớp 7A2: Số em lười học bài, lười làm bài tập chiếm khoảng 50%, số học sinh nắm được kiến thức và biết vận dụng vào bài tập chiếm khoảng 30%

+ Lớp 7A5 Số em lười học bài, lười làm bài tập chiếm khoảng 85%, số học sinh nắm được kiến thức và biết vận dụng vào bài tập chiếm khoảng 10%

2.2.Nguyên nhân:

Nguyên nhân của vấn đề trên là do các em chưa có ý thức tự giác học tập, chưa có kế hoạch thời gian hợp lý tự học ở nhà, học còn mang tính chất lấy điểm, chưa nắm vững hiểu sâu kiến thức toán học, không tự ôn luyện thường xuyên một cách hệ thống, không chịu tìm tòi kiến thức mới qua sách nâng cao, sách tham khảo, còn hiện tượng dấu dốt, không chịu

1

học hỏi bạn bố, thầy cụ Đứng trước thực trạng trờn tụi thấy cần phải làm thế nào để khắc phục tỡnh trạng trờn nhằm nõng cao chất lượng học sinh, làm cho học sinh thớch học toỏn hơn Vậy tụi thiết nghĩ đề tài của tụi nghiờn cứu về vấn đề này là bước đi đỳng

đắn với tỡnh trạng và sức học của học sinh hiện nay

3.Cỏc giải phỏp đó tiến hành để giải quyết vấn đề:

Từ thực tế trờn của học sinh mỡnh trực tiếp giảng dạy, tụi cảm nhận được việc rốn kĩ năng giải bài tập liờn quan về tỉ lệ thức là một nhiệm vụ cần thiết của người giỏo viờn để đạt hiệu quả giảng dạy Nhận thức về mục tiờu là như thế nhưng làm thế nào để nõng cao chất lượng hiệu quả giảng dạy cũn phụ thuộc rất nhiều vào mụi trường, đối tượng học sinh, cỏch truyền thụ của bản thõn giỏo viờn Sau một thời gian tự tỡm hiểu, học hỏi ở thầy cụ, đồng nghiệp, bản thõn toi đó tỡm ra một vài giải phỏp khi giảng dạy và rốn luyện cho học sinh về phần kiến thức trờn như sau:

+ giỳp học sinh nắm vững định nghĩa

+Gỳp học sinh nắm vững cỏc tớnh chất cơ bản về tỉ lệ thức,

+Nắm tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau

+Rốn kĩ năng giải một vài dạng bài tập cơ bản về tỉ lệ thức, biết cỏch định hướng biến đổi cỏc tỉ lệ thức một cỏch thớch hợp

+cho học sinh làm quen một số bài tập nõng cao, mở rộng về tỉ lệ thức

3.1

cỏc giải phỏp:

-Giỳp học sinh nắm vững định nghĩa, sau khi học sinh biết định nghĩa Tỉ lệ thức là một đẳng

thức của hai tỉ số a c

=

b d (hoặc a : b = c : d) tụi nhấn mạnh các số a, b, c, d đợc gọi là các số

hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay còn gọi là ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay còn gọi là trung tỉ

- Giúp học sinh nắm vững các tính chất cơ bản về tỷ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: Khi giảng dạy về tỉ lệ thức, tôi thờng cho học sinh chuẩn bị trớc ở nhà bảng câu hỏi gây chú ý: +thế nào là một tỉ lệ thức? Hay: tỉ lệ thức là gì? em hãy tự tìm một ví dụ về tỉ lệ thức Có đợc câu hỏi kích thích sự tò mò của học sinh kèm theo sự kiểm tra việc chuẩn bị sẵn

ở nhà nên khi đến lớp các em tiếp thu nhanh hơn

Khi giảng dạy tính chất cơ bản của tỉ lệ thức:

Tính chất 1: nếu a c

=

b d thì ad = bc; đối với tính chất này, để giúp các em dễ nhớ, tôi thờng giúp các em hình ảnh trực quan nh sau: a c

=

b d thì ad = bc và khắc sâu bằng lời nói: Tích hai

số ngoại tỉ bằng tích hai số trung tỉ

Tính chất 2: nếu ad= bc và a, b, c, d ≠ 0, thì ta có các tỉ lệ thức sau:

a c

=

b d,

a b

=

c d,

d c

=

b a,

d b

=

c ađối với tính chất này, để các em dễ nhớ, tôi thờng khắc sâu bằng cách sau: Từ tỉ lệ thức a c

=

b d suy ra

a b

=

c d tôi thờng dùng phấn màu khác nhau để viết hai số trung tỉ b, c và nói: cách biến đổi thứ nhất: giữ nguyên hai số ngoại tỉ, đổi chỗ hai so trung tỉ

2

Từ tỉ lệ thức : a c

=

b d, suy ra

d c

=

b a tôi thờng dùng phấn màu khác nhau để viết hai số ngoại tỉ a,

d và nói: cách biến đổi thứ hai: đổi chỗ hai số ngoại tỉ và đổi chỗ hai số trung tỉ

Sau đó lu ý các em sau khi viết xong luôn luôn kiểm tra xem tích hai số ngoại tỉ có bằng tích hai số trung tỉ hay không?

Đối với học sinh khá giỏi, tôi thờng hớng dẫn thêm cách chứng minh cho các trờng hợp tổng quát, học sinh đại trà tôi thờng cho các em nghiên cứu từ ví dụ rồi đi đến tổng quát

Qua thực tế giảng dạy ở những năm trớc đây, khi gặp tính chất này, học sinh thờng lúng túng khi giáo viên yêu cầu kiểm tra tính chất này, các em học thuộc máy móc nên khó tái hiện kiến thức Nhng nhờ kinh nghiệm nhỏ này, tôi thấy học sinh dễ nhớ hơn Thực tế khi kiểm tra về phần lý thuyết này ở lớp 7A2 trong năm học 2013-2014 có 38 em làm đợc trên trung bình với sĩ số lớp là 38 em

-Tính chất: Từ a=c

b d suy ra:

a c a+c a-c

= = =

b d b+d b-d

- Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:

a c e

= =

b d f suy ra:

a c e a+b+c a-b+c

b d f b+d+f b-d+f (giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa)

Chú ý: Khi có dãy tỉ số a b c

= =

2 3 5 ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5.

Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5

Sau khi học sinh đó nắm chắc được lý thuyết thỡ việc vận dụng lý thuyết vào giải bài tập là vụ cựng quan trọng, do vậy người giỏo viờn khụng chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho cỏc em biết suy nghĩ tỡm ra con đường hợp lý để giải bài toỏn

như nhà toỏn học Pụlia đó núi “Tỡm được cỏch giải một bài toỏn là một điều phỏt minh”.

-Rèn kỹ năng giải các bài tập cơ bản về tỉ lệ thức, biết cách định hớng biến đổi các tỉ lệ thức một cách thích hợp

Các bài tập về tỉ lệ thức rất đa dạng, tôi xin trình bày vài dạng thờng gặp trong quá trình giảng dạy

Dạng 1: lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trớc.

ví dụ: lâp tỉ lệ thức từ đẳng thức: 6.63 =9.42 cho trớc:

trớc đây, học thuộc lòng tính chất nên khi gặp bài tập này, các em thờng chỉ mò mẩm ra đợc

1 hoặc 2 tỉ lệ thức rồi lúng túng

để rèn luyền học sinh tránh tồn tại trên, khi dạy học sinh giải bài tập này, tôi thờng cho các

em định hớng giải nh sau:

+ xác định các số ngoại tỉ, số trung tỉ:

Số ngoại tỉ là: 6, 63 Số trung tỉ 9, 42 hoặc số ngoại tỉ là 9, 42, số trung tỉ là 6, 63

+ áp dụng tính chất 2: 6.63 = 9.42 => 6 42

9 63

+ tỉ số đợc thành lập 6 42

9 63 áp dụng tính chất 1 bằng cách nhớ đã trình bày trong phần

lý thuyết, học sinh dễ dàng suy ra các tỉ lệ còn lại: 6 9

42 63 ;

63 42

9 6 ;

9 63

6 42 + lu ý các em luôn kiểm tra tích hai số ngoại tỉ có bằng tích hai số trung tỉ hay không?

3

Dạng 2: tìm x trong tỉ lệ thức ( tìm số hạng cha biết trong tỉ lệ thức)

ví dụ 1: tìm x trong tỉ lệ thức 2

27 3,6

x 

 ; đối với học sinh khá giỏi, các em có thể giải quyết một cách dễ dàng nhng đối với các em khác thì thờng mắc sai lầm là các em thực hiện phép tính

chia : -2 : 3,6 trớc rồi sau đó mới tìm x, làm nh vậy nếu gặp phép chia không hết, bài toán sẽ

rờm rà và dễ dẫn đến sai số, còn 1 số em thì quy đồng mẫu số

Đễ giải bài toán trên, tôi đã định hớng cho các em nh sau:

27 3,6

x 

 nêu số ngoại tỉ, số trung tỉ; + trong tỉ lệ thức muốn tìm số ngoại tỉ ta làm nh thế nào?Muốn tìm số ngoại tỉ, ta lấy tích hai trung tỉ đã biết chia cho ngoại tỉ đã biết

Tơng tự cho trờng hợp tìm số trung tỉ

Nếu đề bài viết dới dạng: -0.52:x = -9,16:16,38 thì cách làm cũng tơng tự nh trên

Khi có phơng pháp giải, hiểu và biết cách làm, các em sẽ rất hứng thú khi làm bài và không ngại khó nữa Qua thử nghiệm, tôi thấy kết quả khả quan hơn các năm trớc, cụ thể ở học sinh lớp 7A5 khi gặp dạng bài tập này các em giải quyết tơng đối tốt hơn, khoảng 33/39 bài đạt trung bình trở lên

Bên cạnh việc rèn các kỹ năng trên, tôi luôn chú trọng đến việc khuyến khích các em luôn ôn kiến thức cũ, luyện kiến thức mới để sau không bị quên và bên cạnh những bài toán cơ bản, tôi còn cho các em làm các bài tập khó hơn

Ví dụ1 : cho tỉ lệ thức a=c 1

b d  với a, b, c, d ≠ 0 Chứng minh rằng

a-b c-d

=

Cách 1: học sinh thờng áp dụng tính chất 1để chứng minh rằng a-b c-d=

a c thì(a - b).c=a(c- d) Tuy nhiên giáo viên cần phải cho học sinh tập chứng minh tỉ lệ thức theo hớng khác tránh tình trạng giải bài tập một cách cứng nhắc theo một hớng mà cần rèn luyện trí thông minh sáng tạo trong quá trình biến đổi

Cách 2: ta đặt a c k

bd  suy ra a = kb, c= kd

Ta có a b kb b b k( 1) k 1(1)

Từ (1) và (2) suy ra a b c d

 ; Trong cách giải này, để chứng minh tỉ lệ thức a b c d

ta chứng minh hai tỉ số ở hai vế cùng bằng một tỉ số thứ ba Do đó ta đặt giá trị chung của

các tỉ số ở tỉ lệ thức đã cho là k, từ đó tính giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.

Cách 3: a c a b a b

b d c d c d



 Vậy: a b a a b c d

các trung tỉ của tỉ lệ thức đã cho, sau đó ta sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Cuối cùng, lại hoán vị các trung tỉ của tỉ lệ thức mới đợc tạo để đi đến cách chứng minh

Cách 4: vì a c

b d nên

b d

       ; Vậy: a b c d

Trong cách này, ta cần biến đổi tỉ số ở vế trái của tỉ lệ thức cần chứng minh thành vế phải

Đây là cách thờng dùng để chứng minh một tỉ lệ thức.

4

= 3,6 x=(-2) 27 x= 15

Cách 5: ta có a c b d 1 b 1 d a b c d

         Trong cách này, từ tỉ lệ thức đã cho

ta biến đổi dần thành tỉ lệ thức phải chứng minh bằng cách hoán vị, tính chất của đẳng thức

Ví dụ2 : cho a + d = b + c và a2 + d2 = b2 + c2 (b, d ≠ 0) Chứng minh rằng 4 số a, b, c, d có thể lập thành một tỉ lệ thức

Giải: từ a + d = b + c suy ra (a + d)2 = (b + c)2  a2 + 2ad + d2 = b2 + 2bc + c2 (1)

vì a2 + d2 = b2 + c2 nên từ (1)  2ad = 2bc hay ad = bc nên a c

b d

Ta đã dựa vào tính chất: nếu có 4 số, mà tích của hai số này bằng tích của hai số kia thì 4 số

đó lập thành một tỉ lệ thức

-Tuy nhiờn khi giải bài tập dạng này tụi khụng muốn dừng lại ở những bài tập SGK mà tụi muốn giới thiệu thờm một số bài tập điển hỡnh và một số phương phỏp giải cỏc bài tập đú giỳp cho học sinh làm quen một số bài tập nõng cao, mở rộng về tỉ lệ thức

Dạng I: Tìm giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.

Bài toán 1: Tìm hai số x và y biết

3 2

y x

 và xy 20 Giải:

Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt x y

= =k

2 3 ,  x=2k, y=3k; theo giả thiết:

x+y 20  2k+3k 20  5k 20  k=4; Do đó: x 2.4 8;  y 3.4 12  ; KL: x=8 , y=12

Cách 2 : ( Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng

nhau ta có: x y x+y 20= = = =4

2 3 2+3 5 ; Do đó: 4 8

x

; y 4 y=12

3  ; KL: x=8 , y=12

Cách 3: (phuơng pháp thế) Từ giả thiết x y 2y

2 3 3

3

3 ; KL: x 8 , y 12

Bài toán 3: Tìm x, y, z biết: x y

=

3 4 ,

y z

=

3 5 và 2x-3y+z=6 Giải:

Cách 1: Từ giả thiết:

12 9 4 3

y x y x





 (1) ; y z= y = z

3 5 12 20 (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

20 12 9

z y x



Ta có: x y z 2x 3y z 2x-3y+z 6

9 12 20 18 36 20 18-36+20 2 ; (áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng

nhau) Do đó: 3 27

x

y

; z

=3 z=60

20  ; KL: x=27; y=36; z=60

Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt x y z

= = =k

9 12 20 (sau đó giải như cách 1 của VD1).

5

Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) Từ giả thiết: y z 3z

3 5 5 ; 3z

3

2x-3y+z=6 2 -3 +z=6 =60 z=60

36

5

60

.

3





20

60 9





x ; KL: x=27; y=36; z=60

Bài toán 4: Tìm hai số x, y biết rằng: x y

=

2 5 và x.y=40; Giải:

Cách 1: (đặt ẩn phụ) Đặt x y

= =k 0

2 5  , suy ra x=2k, y=5k; Theo giả thiết:

2 4

40 10

40 5

2

40



















y

x

+ Với k  2 ta có: x=2.2=4 ; y=5.2=10; + Với k =-2 ta có: x=2.(-2)=-4;y=5.(-2)=-10

KL: x 4 , y  10 hoặc x  4 , y  10

Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) Hiển nhiên x 0; Nhân cả hai vế của 5

2

y

x

5

40 5 2

2





xy

2

5 4 5

2

4







2

5 4 5

2

4















y y

KL: x 4 , y  10 hoặc x  4 , y  10

Cách 3: (phương pháp thế) làm tơng tự cách 3 của ví dụ 1

Bài toán 5: Tìm x, y, z biết

a) 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158 b)2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z - 7y = 60 c) 2x = 3y = 5z và x + y - z = 95

Giải: Đối với bài toán 5 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên Song tôi đã nhắc các em

lu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc đến tính chất của đẳng thức

Từ đó các em có hớng giải và chọn lời giải cho phù hợp

Cách 1: Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích ta có lời giải sau:

Ta có: 3x = 5y 

24

y 40

x hay 8

1 3

y 8

1 5

x 3

y 5

x









5y = 8z 

15

z 24

y hay 3

1 5

z 3

1 8

y 5

z 8

y







79

158 15 24 40

z y x 15

z 24

y 40

x



















 x = 40 2 = 80; y = 24 2 = 48; z = 15 2 = 30; Vậy x = 80; y = 48; z = 30

Cách 2: Dựa vào tính chất của phép nhân của đẳng thức Các em đã biết tìm bội số chung

nhỏ nhất của 3; 5; 8 Từ đó các em có lời giải của bài toán như sau: ta có BCNN(3; 5; 8) = 120

Từ 3x = 5y = 8z 

120

1 z 8 120

1 y 5 120

1 x

79

158 15 24 40

z y x 15

z 24

y 40

x



















 (Tương tự như trên có ) Vậy x = 80; y = 48; z = 30

Cách 3: Tôi đã đặt vấn đề: Hãy viết tích giữa hai số thành 1 thơng Điều đó đã hớng cho các

em tìm ra cách giải sau:

6

Từ 3x = 5y = 8z  240

120 79 158 8

1 5

1 3 1

z y x 8 1 z 5 1 y 3 1

x



















x = 240 80

3

1

 ; y = 240 48

5

1

 ; z = 240 30

8

1

 ; Vậy x = 80; y = 48; z = 30 Qua ba hướng giải trên, đã giúp các em có công cụ để giải toán và từ đó các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic Cũng từ đó giúp các em phát huy thêm h ướng giải khác và vận dụng để giải các phần b và c

Để giải được phần b có điều hơi khác phần a một chút yêu cầu các em phải có t duy một chút để tạo lên tích trung gian nh sau:

+ Từ 2x = 3y  2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y (1)

+ Từ 5y = 7z  5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z (2)

 Từ (1) và (2) ta có: 10x = 15y = 21z

210 15 60 15

1 7 21

1 5 10

1 3

y z 5 x 21

1 z 15 1 y 10

1

x



















 x = 840 84

10

1

 ; y = 840 56

15

1

 ; z = 840 40

21

1



Vậy x = 84; y = 56; z = 40

Kết quả thu được: Các em đã tìm hướng giải cho phần c và tự cho được ví dụ về

dạng toán này

Bài toán 5 Tìm x, y, z biết rằng

2

2 z 3

2 y 5

1

x

















4

3 z 3

2 y 2

1 x

















Để tìm được lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làm thế nào để xuất hiện

đợc tổng x + 2y - z = 12 hoặc 2x + 3y - z = 50 hoặc2x + 3y- 5z =10

Với phơng pháp phân tích, hệ thống hoá đã giúp cho các em nhìn ra ngay và có

hớng đi cụ thể

Cách 1: Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy số bằng nhau có lời

giải của bài toán như sau:

a) Ta có : x-1 y-2 z-2 2(y-2) 2y-4

x-1+2y-4-(z-2) x+2y-z-3 12-3

 x - 1 = 5 x = 6; y - 2 = 3 y = 5; z - 2 = 2  z =4

Cách 2: Dùng phương pháp đặt giá trị của tỷ số ta có lời giải sau:

2

2 z 3

2 y 5

1

x













x - 1 = 5k x = 5k + 1; y - 2 = 3k  y = 3k + 2; z - 2

= 2k

 z = 2k + 2; Ta có: x + 2y - z = 12 2k + 1 + 2(3k + 2) - (2k + 2) = 12; 9k + 3 = 12;

 k = 1; Vậy x = 5 1 + 1 = 6; y = 3 1 + 2 = 5; z = 2 1 + 2 = 4

Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng để tự

giải phần (b) và của bài toán 5

7

Bài toán 6: Tìm x, y, z biết rằng:

z y x

1 z

3 y x y

2 z x x

1 z y























Đối với bài toán 6 có vẻ hơi khác lạ Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ đâu? đi từ kiến thức nào? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy có chọn lọc để xuất hiện

x + y + z Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau và đã

có lời giải của bài toán nh sau:

Giải:

2 z y x

) z y x ( 2 z

y x

3 y x 2 z x 1 z y z

3 y x y

2 z x

x

1

z

y



















































=2 x+y+z x+y+z =2 0,5

1

 x+y = 0,5 - z  y + z = 0,5 - x  x + z = 0,5 - y Thay các giá trị vừa tìm của x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có:

+) y+z+1 0,5-x+1

x   x  0,5-x+1=2x ;1,5=3  x = 0,5

+) x+z+2 0,5-y+2

2

y  y   2,5-y = 2y  2,5 = 3y  y = 6

5

    -2,5 - z = 2z  -2,5 = 3z  z =

6

5



Vậy (x; y; z) = ( 0,5;

6

5

; -6

5 )

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:

a) x y z

= =

10 6 21 và 5xy 2z28 b)

x y

=

3 4 ,

y z

=

5 7và 2x+3y-z 124

c) 2x 3y 4z

= =

3 4 5 và x+y+z=49 d) 2 3

y x

 và xy  54

e) x y

=

5 3 và

x -y =4 f) x y z

y+z+1 z+x+1 x+y-2

Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng:

a) 3x=2y; 7y=5z và x-y+z=32 b) x-1 y-2 z-3

2 3 4 và 2x+3y-z=50

c)2x=3y=5zvàx+y-z=95 d) x y z

= =

2 3 5 và xyz=810

Với các phương pháp trên, trong phương pháp giảng dạy học sinh giỏi môn toán 7 đã làm cho các em tư duy rất tốt, rèn luyện được ý thức tự tìm tòi độc lập suy nghĩ để nhớ kỹ, nhớ lâu và sáng tạo khi giải toán đạt hiệu quả cao Đó chính là công cụ giải toán của mỗi học sinh Ngoài ra phương pháp này còn là công cụ đặc biệt quan trọng cho các em giải dạng toán có lời văn về phần đại lượng tỷ lệ thuận, đại lượng tỷ lệ nghịch, dạng toán chia tỉ lệ

Dạng II Các bài toán về đại lƯợng tỷ lệ thuận, đại lƯợng tỷ lệ nghịch, chia tỉ lệ.

8

Bài toán 1: Học sinh lớp 7A được chia thành ba tổ, cho biết số học sinh tổ 1, tổ 2, tổ3 tỉ lệ

với 2; 3; 4 Tìm số học sinh mỗi tổ của lớp 7A biết số học sinh lớp 7A là 45 học sinh

Giải: Gọi số học sinh của tổ 1, tổ 2, tổ 3 lần lợt là x, y, z ( x, y, z  N* )

Theo đầu bài ta có :

2 3 4

x y z

  và x + y + z = 45; áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

ta có:

2 3 4

x y z

5

2 3 4 9

x y z 

  ; x = 2 5 = 10; y = 3 5 = 15; z = 4 5 = 20 Vậy số học sinh của tổ 1, tổ 2, tổ 3 lần lượt là: 10; 15; 20 học sinh

Bài toán 2 : Chia số 136 thành 3 phần tỉ lệ nghịch với 8 8 5

; ;

7 9 7 ?

Giải : Gọi 3 phần được chia bởi số 136 là x; y; z ( x; y; z  0)

Theo đề bài ta có: z

7

5 y 9

8 x 7

8



 (1) và x+ y + z = 136 (1)

Chia cả 3 tỷ số của (1) cho BCNN ( 8; 5 ) = 40 ta có: x y z x+y+z 136

35 45 56 35+45+56 136

x = 35 1 = 35; y = 45 1 = 45; z = 56 1 = 56; Vậy 3 phần được chia bởi số 136 là: 35; 45; 56

Bài toán 3: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 72 và các chữ số của nó

nếu xếp từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1; 2; 3

giải: Gọi a, b, c là các chữ số phải tìm xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn ta có:

a b c a+b+c

= = =

1 2 3 6 (1) Vì số phải tìm là bội của 72 nên a+b+c 9 ;

Mà 3 a+b+c 27   a+b+c {9,18, 27} (2) Từ (1) suy ra abc 6 (3)

Từ (2) và (3) suy ra a+b+c=18 suy ra: a=3.1=3; b=3.2=6; c=3.3=9

Vì số cần tìm chia hết cho 8 nên ta có số 936 thoả mãn điều kiện của đầu bài

Ngoài việc hướng dẫn học sinh tìm tòi những lời giải khác nhau cho bài toán, tôi còn hướng dẫn học sinh cách khai thác bài toán bằng cách thay đổi số liệu, dữ kiện để có bài toán mới với phương pháp giải tương tự

Dạng III: Tính giá trị của biểu thức.

Bài toán 1: Biết x y z

= = =4

a b c Tính A =

x-3y+2z a-3b+2c

Giải: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Ta có: x y z 3y 2z x-3y+2z

a b c 3b 2c a-3b+2c Vậy A = 4

Bài toán 2: Cho x+2y-3z

P=

x-2y+3z Tính giá trị của biểu thức P biết các số x, y, z lần lợt tỉ lệ với 5;

4; 3

Giải: Theo đầu bài ta có:

x y z y z x y z x y z x y z x y z

x-2y+3z 6

9