về bất đẳng thức ostrowski

trình bày về bất đẳng thức ostrowski

Jf~t uJ' 1m11~ t1uLe Trang 41 rp Iuin pJm lq£

PHAN PHI) L I) C

(Comment Math He/v 10 (1938), p 226-227) m9t ba't d~ng thuc sau day

2

a+b

trong do I: [a,b]~ IR co d(;loham tren (a,b) va II: (a,b) ~ IR bi ch~n

trong (a, b), tuc la IIIIIL= supIII (t)/ <+00 va hang sO' ! la to't nha't theo

nghia rang khong th€ thay the' no bang m9t sf) nho bon.

Chung minh ba't d~ng thuc (1) trong cong trlnh gO'ccua Ostrowski [7] da: chung minh qua m9t sf) bu'oc dftn dih va trlnh bay ra't co d<;mg d day

chung Wi se tri€n khai va lam r61(;licua Ostrowski M~t khac, dtja vao d~ng thuc (1.3) ba't d~ng thuc Ostrowski (1) co th€ chung minh kha don gian hon

so voi [7].

Chu yrang

£)~t h(t) = I(a + (b - a)t), 0::; t::; 1.

Ta co

lIb

J~ uf M1l~ tJum Trang 42 rp hdn p/w '-¥£

V~y (1) tu'ang du'ang vdi

(2)

1

[

]

h(t) - fh(s)ds0 ::; - + (t - _)24 2 suplhl (0/, 'v"tE [0,1] 0<1<1 i) Bilt dAng thuc (2) hiJn nhien dung ne'u IlhlfJ = suplhl (01 = O 0<1<1

ii) Gia su IlhlfJ = suplhl (t)1:I;O Bang cach thay h bdi _

II

~

II

ta co thJ gia su

00

rang Ilhlt = 1 Ta chI c§n chung minh bilt dAngthuc

(3) h(t) - fh(s)ds ::;! + (t _!)2 , 'v"tE [0,1], vdi suplhl (01 = 1.

iii) f)~t

1

get) = h(t) - fh(s)ds, 'v"tE [0,1],

0

ta co

1

0 0<1<1

V~y ta se chung minh bilt dAng thuc

Ig(t)l::; -+ (t )2,4 2 'v"tE [0,1],

vdi mQi ham g: [0,1] ~ IR thoa cac di~u ki~n

(5)

1

fg(s)ds = 0, Igi(01::;1, 'v"tE (0,1), 0

va hang s6 ~ xuilt hi~n trong (4) la t6t nhilt theo nghla rang khong thJ thay the' no bang m9t s6 nho hall.

* Chung minh (4)

Cho t, s E [0,1], ta co

Ig(t) - g(s)1 = Igi (c)(t - s)l::; It - sl, c E (min{t,s },max {t,s}).

J~ W 1ffl1itdlU)- tJuLe Trang 43 rpIuin plw.~

V~y

(6) get) -It - s/ ~ g(s) ~ get) + It - sj, '\It,s E [0,1].

Tich phan ba't d£ng thuc cua (6) tren, ta du<;1c

get) - fIt - slds ~ f g(s)ds =0 ~ get) + fit - slds

hay

Ig(t)1~ fIt - slds =f(t - s)ds + f(s - t)ds

(

.

=-t +- I-t =-+(t

V~y (4) dung

* H~ng s6 ~ xua't hi~n trong (4) la t6t nha't

Gia sa C E IR thoa ba't d£ng thuc

(7) Ig(t)!~ C + (t )2 , '\It1 E [0,1]

2

voi mQi ham g: [0,1] ~ IR thoa cac di~u ki~n (5) Ta se chung minh r~ng

C;:::!

4'

Th~t v~y, chQnham get) = t - ~, ta co thoa cac di~u ki~n (5) va co

1

1

1 2

t-2 ~C+(t-2) ,'\ItE[O,l]

hay

(8)

(

)

m

.ax t - - - (t - -) =max (s - s ) =- ~ C

0,,;/,,;1 2 2 O";s,,;1 / 2 4

Jf~ ur {JiLtilLinIJ tJui'e Trang 44 rpIuin pJm, ~

Th~t fa, dt;1'avao dAng thuc (1.3), bfft dAng thuc Ostrowski (1) co th~ chung minh kha don gian hon so vdi [7] nhu sail

f(x) ff(t)dt =- f(t-a)fl(t)dt+ f(t-b)fl(t)dt

1

[

]

~ b - a f(t - a)dt + f(b - t)dt ~~~Ifl (t)1

=~

[

(x-a)2 + (X-b)2

] suplfl(t)/

(x - a + b)2

= I !.+ 2 2

I (b - a)suplfl (t)I, Vx E [a,b].

4 (b - a) a<l<b

* Nghi~m Ie;tih~ng s6 ~ xufft hi~n trong (1) Ia t6t nhfft

Gia sa C E IR tho a bfft dAng thuc

2

a+b

vdi mQi ham f: [a,b] »IR co de;toham tren (a,b) va fl : (a,b) »IR bi

ch~n trong (a, b) Ta se chung minh r~ng C 2 ~.

Th~t v~y, chQnham lex) = x - a; b , va thay vao (9), ta thu dU<;5c

2

a+b a+b

< c+ (x-z

J~ ur haL~ iJuI£ Trang 45 rpIuin phu, ~

V~y:

x - a + b

(X- a + b )

2

) -!

2