Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI • ••• VŨ THỊ NGỌC TÍNH HYPERBOLIC VÀ HYPERBOLIC ĐẦY CỦA MIÈN HARTOGS BANACH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 • LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC • • Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ TÀI THU HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS. Lê Tài Thu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Lê Tài Thu, người quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn tác giả trình thực luận văn. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám Hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau Đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy chuyên ngành Toán giải tích tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu. Tác giả xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân động viên tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 20lị Vũ Thị Ngọc Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp TS. Lê Tài Thu. Trong trình nghiên cứu kế thừa thành khoa học nhà khoa học trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 20lị Vũ Thị Ngọc Mục lục Mở đầu 1. Lý chọn đề tài Lý thuyết không gian phức hyperbolic Kobayashi xây dựng lần vào năm 70 kỷ XX hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức. Trong năm gần đây, lý thuyết thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới. Những công trình nghiên cứu thúc đẩy hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ hình thành nên chuyên ngành giải tích toán học, giải tích phức hyperbolic. Từ tìm thấy mối liên hệ bất ngờ sâu sắc với nhiều lĩnh vực khác toán học, đặc biệt toán thác triển ánh xạ chỉnh hình giải tích phức toán tính hữu hạn tập tất ánh xạ phân hình hai lớp không gian phức. Theo quan điểm A. Weil, s. Lang P. Vojta, toán sau có liên quan mật thiết với hình học đại số hình học số học. Có thể nói giải tích phức hyperbolic lĩnh vực nghiên cứu nằm chỗ giao nhiều môn lớn toán học: Hình học vi phân phức, Giải tích phức, Hình học đại số Lý thuyết số. Một hướng nghiên cứu giải tích phức hyperbolic nghiên cứu tính chất hình học miền. Miền Hartogs nghiên cứu từ lâu giải tích phức. Việc nghiên cứu tính chất hình học miền Hartogs không gian phức hữu hạn chiều góc độ giải tích phức hyperbolic, đặc biệt tính hyperbolic đầy khảo sát tương đối chi tiết. Tuy nhiên việc khảo sát cách hệ thống tính chất hình học miền Hartogs không gian giải tích Banach chiều vô hạn quan tâm. Với lý trên, lựa chọn hướng nghiên cứu tính hyperbolic hyperbolic đầy miền Hartogs không gian giải tích Banach.Với tên đề tài là: “Tính Hyperbolic Hyperbolic đầy miền Hartogs Banach” Luận văn gồm chương: Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Chương 2. Tính hyperbolic, hyperbolic đầy miền Hartogs không gian phức. Chương 3. Tính hyperbolic, hyperbolic đầy miền Hartogs Ba- nach. 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại số kết biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy miền Hartogs không gian phức sau mở rộng số kết sang không gian giải 3. tích Banach. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dấu hiệu nhận biết tính hyperbolic hyperbolic đầy không gian phức, tính hyperbolic hyperbolic đầy miền Hartogs không gian phức mở rộng số kết sang không gian giải tích Banach. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu tính hyperbolic hyperbolic đầy miền Hartogs không gian phức không gian giải tích Banach. • Phạm vi nghiên cứu miền Hartogs không gian phức không gian giải tích Banach. 5. Phương pháp nghiên cứu Để giải nhiệm vụ đề tài vận dụng cách linh hoạt kết hình học giải tích phức, giải tích phức nhiều biến. Đặc biệt sử dụng kết kỹ thuật gần giải tích phức hyperbolic để khắc phục khó khăn nảy sinh trình nghiên cứu. 6. Những đóng góp Hệ thống lại số kết biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy miền Hartogs không gian phức. Mở rộng số dấu hiệu để nhận biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy miền Hartogs không gian giải tích phức sang không gian giải tích Banach. Chương Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương hệ thống số khái niệm giả khoảng cách Kobayashi, biểu diễn tích phân giả khoảng cách Kobayashi. Sau đưa định nghĩa không gian phức hyperbolic không gian phức hyperbolic đầy. Định nghĩa hàm điều hòa dưới, hàm đa điều hòa đưa định nghĩa miền Hartogs. 1.1. Giả khoảng cách Kobayashi 1.1.1. Giả khoảng cách Giả khoảng cách d tập X hàm d:X xX ^ X (x,y) ^ d(x,y) thỏa mãn ba điều kiện sau i) d ( x , y ) > với X , y € X ii) d(x,y) = d(y,x) với x,y £ X iii) d(x, y) < d(x, z) + d(z, y) với x,y,z £ X Nếu d thỏa mãn ii) iii) d(x, y) > với X , y £ X X Ỷ y d gọi khoảng cách X. 1.1.2. Khoảng cách Bergman Poincaré £) = {;zeC:|;z|[...]... khi chuyn t min Hartogs hu hn chiu lờn vụ han chiu Chng hn i vi min Hartogs trong khụng gian gii tớch Banach ta khụng cú c tớnh compact a phng cng nh khụng xõy dng c khỏi nim Taut theo kiu Wu cho lp min ny Mc ớch ca chng l nghiờn cu tớnh hyperbolic, hyperbolic y ca min Hartogs trong khụng gian gii tớch Banach Trc ht, chỳng tụi xin nờu li nh ngha min Hartogs trong khụng gian gii tớch Banach m cho ngn... Min Hartogs nh ngha 1.6.1 Gi s X l mt khụng gian phc v ip : X -Ơ [00, +oo) l mt hm na liờn tc trờn trờn X Khi ú, min Hartogs ^^(X) xỏc nh bi cụng thc ^(X) = I( Z ỡ u ) e X X c : M < e-^l c X X c Chng 2 Tớnh hyperbolic, hyperbolic y ca min Hartogs trong khụng gian phc Phn u ca chng, chỳng tụi nh li mt s tiờu chun nhn bit tớnh hyperbolic (hyperbolic y) Sau ú, chỳng tụi a ra mt s tiờu chun v tớnh hyperbolic. .. tớnh hyperbolic (hyperbolic y) ca min Hartogs trong khụng gian phc 2.1 Tớnh hyperbolic, hyperbolic y trong khụng gian phc Mnh 2.1.1 Gi s X v Y l cỏc khụng gian phc Khi ú X X Y l hyperbolic (y) khi v ch khi c X vY l hyperbolic (y) Mnh 2.1.2 Gi s X, Y l cỏc khụng gian phc v f : X Ơ Y l ỏnh x chnh hỡnh Y' l khụng gian phc con ca Y v X' = Nu X v Y' l hyperbolic y thỡ X' = f~1Yl cng l hyperbolic y Chng... (t\5)) l hyperbolic, thỡ X l hyperbolic Chng minh Vi mi p E X, mt lõn cn J vi {q G X',dx{p,q) < c bao hm trong 7T_1 ( u (7 ( p ) ; J ) ) bi vỡ 7T l gim khong cỏch Theo Mnh 2.1.4 thỡ X l hyperbolic nh lý c chng minh nh lý 2.1.8 Gi s X, Y l cỏc khụng gian phc v 7T : X Y l mt ỏnh x chnh hỡnh Nu Y l hyperbolic (hyperbolic y) v nu Y l mt ph m {Ui} sao cho mi 7r_1(i) l hyperbolic (hyperbolic y), thỡ X l hyperbolic. .. hyperbolic y Khụng gian phc X c gi l hyperbolic y nu X l hyperbolic v mi dóy Cauchy i vi khong cỏch dx u hi t trong X Vớ d: Cỏc a v a a l hyperbolic y nh lý 1.3.1 Nu X l mt khụng gian phc hyperbolic, thỡ dx c xỏc nh l tụpụ ca X Mnh 1.3.2 Cho X mt khụng gian con phc ca khụng gian phc Y (1) Nu Y l hyperbolic thỡ X cng l hyperbolic (2) Nu Y l hyperbolic y v X l tp úng thỡ X cng l hyperbolic y 1.4 Biu din tớch... (t/i) l hyperbolic y 1 + |/j _/ (zji Aj)| r\ W \ f j { Z j , Aj) I y, vỡ vy (X) cng l hyperbolic vi mi j > N nh ngha gi khong cỏch Carathộodory ca 7T (U) bi Cy-I/I 11^ 7 ^ 1/-'1x"U// J 7 1 /rr \ 1, A* L(tM1 Ta cú oo > limsupdw-i(l) { ( z j , j ), (2j,0)) j > 00 > limsupc*-!^) ( { Z j , \ j ) , { z j , 0) ) j->o Chng 3 Tớnh hyperbolic, hyperbolic y ca min Hartogs Banach Vic nghiờn cu tớnh hyperbolic. .. ca min Hartogs Banach Vic nghiờn cu tớnh hyperbolic v hyperbolic y ca min Hartogs trong khụng gian phc hu hn chiu di gúc ca gii tớch phc hyperbolic ó c nhiu tỏc gi quan tõm, c bit l tớnh hyperbolic y ó c kho sỏt tng i chi tit (xem [8]) Tuy nhiờn, vic kho sỏt mt cỏch h thng tớnh hyperbolic v hyperbolic y ca min Har- togs trong khụng gian gii tớch Banach chiu vụ hn cũn ớt c quan tõm Ta cú th thy ngay... Y Nu Y l hyperbolic thỡ X cng l hyperbolic Hay núi cỏch khỏc, khụng gian con ca mt khụng gian hyperbolic l hyperbolic Chng minh Vỡ phộp nhỳng chớnh tc i : X > Y l ỏnh x chnh hỡnh nờn theo tớnh cht gim khong cỏch ca gi khong cỏch Kobayashi ta cú ngay iu phi chng minh Vớ d: + a D r v a a D l hyperbolic + Mt min b chn trong D m l hyperbolic, vỡ nú l tp con m ca tớch cỏc a a 1.3 Khụng gian phc hyperbolic. .. 1.2 Khụng gian phc hyperbolic 1.2.1 Khụng gian phc hyperbolic Khụng gian phc X c gi l khụng gian Hyperbolic (theo ngha Kobayashi) nu gi khong cỏch Kobayashi d x l khong cỏch trờn X, tc l dx(p,q) = 0 p = q vi mi p, q e X 1.2.2 Mt s tớnh cht ca khụng gian phc hyperbolic Tớnh cht 1.2.1 Nu X, Y l cỏc khụng gian phc, thỡ X X Y l khụng gian hyperbolic nu v ch nu c X v Y u l khụng gian hyperbolic Chng minh... ) < Êô} l hyperbolic v {U a} l mt ph m ca X, thỡ X l hyperbolic Trong trng hp c bit, nu vi mi p G X tn ti s dng sao c h o ụ - l n c n c a u ( p ; ụ ) = { q G X ; d x ( p , q ) < } l h y p e r b o l i c t h ỡ X l hyperbolic Mnh 2.1.5 Gi s X l mt khụng gian phc Nu tn ti mt s dng J sao cho vi mi p G X, - lõn cn U(p', ) l hyperbolic y thỡ X l hyperbolic y Chng minh Theo Mnh 2.1.4, X l hyperbolic . tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền Hartogs trong không gian giải tích Banach. Với tên đề tài là: Tính Hyperbolic và Hyperbolic đầy của miền Hartogs Banach Luận văn gồm 3 chương: Chương. biết tính hyperbolic và hyperbolic đầy của không gian phức, tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền Hartogs trong không gian phức và mở rộng một số kết quả sang không gian giải tích Banach. 4 số kiến thức chuẩn bị. Chương 2. Tính hyperbolic, hyperbolic đầy của miền Hartogs trong không gian phức. Chương 3. Tính hyperbolic, hyperbolic đầy của miền Hartogs Ba- nach. 2. Mục đích nghiên