AC AB Tia Cx vuông góc với AC tại điểm C, gọi D là một điểm bất kỳ thuộc tia Cx D không trùng với C.. Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số u, v bất kỳ trong dãy và v
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014 – 2015
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (1,5 điểm): Cho biểu thức: 3 16 7 1 7 2
A
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A 6.
Câu 2 (1,5 điểm): Cho hệ phương trình: 2 2
x my
(với m là tham số).
a) Giải hệ phương trình trên khi m 10.
b) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm x y; thỏa mãn hệ thức:
2
2
2015 14 8056 2014
4
x y
m
Câu 3 (3,0 điểm):
a) Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
P
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn: x(1 x x2) 4 ( y y 1)
Câu 4 (3,0 điểm): Cho đoạn thẳng AC có độ dài bằng a. Trên đoạn AC lấy điểm B sao cho
4
AC AB Tia Cx vuông góc với AC tại điểm C, gọi D là một điểm bất kỳ thuộc tia Cx (D
không trùng với C) Từ điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD
và CD lần lượt tại K, E.
a) Tính giá trị DC CE theo a
b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ nhất
c) Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên tia Cx thì đường tròn đường kính DE
luôn
có một dây cung cố định.
Câu 5 (1,0 điểm): Cho dãy gồm 2015 số: 1 1 1; ; ; ; 1 ; 1
Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số u, v bất kỳ trong dãy và viết thêm
vào dãy một số có giá trị bằng u v uv vào vị trí của u hoặc v. Cứ làm như thế đối với dãy
mới thu được và sau 2014lần biến đổi, dãy cuối cùng chỉ còn lại một số Chứng minh rằng giá trị của số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số u, v để xóa trong mỗi lần thực
hiện việc biến đổi dãy, hãy tìm số cuối cùng đó.
-Hết -Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………
Số báo danh:…….……… …
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GD&ĐT VĨNH
PHÚC
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014 – 2015
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
(05 trang)
I) Hướng dẫn chung:
1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định
2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo
không làm sai lệch
hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện với tất cả giám khảo
3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết
quả.
4) Với bài hình học nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm
phần đó
II) Đáp án và thang điểm:
Câu
1
(1,5
đ)
A
a) (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức A.
Điều kiện:
0
3 0
1 0
1
x
x x x x
Từ đó: x0;x1;x 4 0,25
Biến đổi:
2 6 7
2
0,25
A
b) (0,5 điểm) Tìm x để A 6.
Trang 3Biến đổi: 6 9 6 9 6 2
2
x
x
Câu
2
(1,5
đ)
Cho hệ phương trình: 2 2
x my
(với m là tham số) a) (0,5 điểm) Giải hệ phương trình trên khi m 10.
50 52
x-10y=10 x=15
0,25
x
Kết luận: với m 10 thì hệ có nghiệm duy nhất:
15 52 23 52
x y
0,25
b) (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm x y; thỏa mãn hệ
thức: 2014 2015 2 214 8056
4
x y
m
Dùng phương pháp thế, ta có:
2 2
x my
2 2
2 2
2
2
mx
y
mx
0,25
2 2
2
2 10 2
4 2
5 4 4
4
m
, m R m
m
2
2 10 4
5 4 4
m x
m y m
0,25
4
x y
m
2014m 7m 8050 2015m 14m 8056
0,25
m2 7m 6 0 m 1 m 6 0 1
6
m m
Kết luận: để hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y thỏa mãn hệ thức:
0,25
Trang 42 2
2015 14 8056 2014
4
x y
m
6
m m
Câu
3
(3,0
đ)
a) (1,5 điểm) Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị
P
Chứng minh:
(a2 b2c2)(x2 y2 z2) ( ax by cz )2, a b c x y z R, , , , , (1)
Thật vậy:
(1) (a y 2abxy b x ) ( a z 2acxz c z ) ( b y 2bcyz c z ) 0
(ay bx) (az cx) (by cz) 0
Dấu " "
ay bx
az cx
by cz
0,25
a
Dấu " " 1
3
a b c
0,25
c a
a
0,25
1
a b c
0,25
2
1
a b c
2
3
a b c
0,25
3
m
b) (1,5 điểm ) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn:
2
x x x y y Có: x(1 x x2) 4 ( y y 1) (x3x2) ( x1) 4 y2 4y1
(x1)(x21) (2 y 1)2 (1) 0,25
Giả sử (x1,x2 1) d d lẻ và x2 1 ;d x2 1d 2d d 1 0,25
Vì (x1)(x2 1) là số chính phương, (x1,x2 1) 1 nên (x 1)và(x 2 1)
cũng là hai số chính phương
0,25
Trang 5Do x 0 x2 x2 1 (x1)2 x2 1 (x1)2 x 0 0,25
1
y
y y
y
Vậy có hai cặp số nguyên x y thỏa mãn yêu cầu bài toán là: ; (0;0),(0;1)
0,25
Câu
4
(3,0
đ)
Cho đoạn thẳng AC có độ dài bằng a Trên đoạnAC lấy điểm B sao cho
4A
AC B Tia Cx vuông góc với AC tại điểm C, gọi D là một điểm bất kỳ
thuộc tia Cx (D không trùng với C) Từ điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với
AD cắt hai đường thẳng AD và CD lần lượt tại K, E.
a) (1,0 điểm) Tính giá trị DC CE theo a.
ACD
2
3
4
a
b) (1,0 điểm) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ nhất
1 2
S BC DE S nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất 0,25
4
a
DE DC EC DC EC a ( Theo chứng minh phần a)
Dấu " " 3
2
a
DC EC
0,5
(BDE)
S
2
8
a
2
a
c) (1,0 điểm) Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên tia Cx thì đường tròn
đường kính DE luôn có một dây cung cố định.
Trang 6Gọi giao điểm của đường tròn đường kính DE với đường thẳng AC là M, N
Hai tam giác AKM và AND đồng dạng (g-g)
0,25
T ừ (1) v à (2) suy ra
2
4
a
AM AN AC AB
2
4
a
2
0,25
,
M N
Câu
5
(1,0
đ)
Cho dãy gồm 2015 số: 1 1 1; ; ; ; 1 ; 1
Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số u, v bất kỳ trong dãy và
viết thêm vào dãy một số có giá trị bằng u v uv vào vị trí của u hoặc v. Cứ
làm như thế đối với dãy mới thu được và sau 2014lần biến đổi, dãy cuối cùng
chỉ còn lại một số Chứng minh rằng giá trị của số cuối cùng đó không phụ
thuộc vào việc chọn các số u,v để xóa trong mỗi lần thực hiện việc biến đổi dãy,
hãy tìm số cuối cùng đó.
Với hai số thực u,v bất kỳ ta luôn có:
Với dãy số thực bất kỳ a ;a ; ;a1 2 2015, ta xét “Tích thêm T”:
T a a a a
Áp dụng cách biến đổi dãy như trong đề bài kết hợp với nhận xét (*), ta nhận
0,25
T
0,25
Giả sử sau 2014 lần biến đổi tùy ý theo yêu cầu, dãy còn lại chỉ còn một số là
x thì “Tích thêm T” đối với dãy cuối là: T x 1
Vậy ta có: x 1 2016 x2015
bài toán ta thu được số 2015
0,25