0 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II ĐÀO THỊ TUYÊN LỜI CẢM ƠN Tơi xin chân thành bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Văn Hùng, người thầy hướng nghiên cứu, bảo tận tình, chu đáo, động viên giúp đỡ tơi q trình thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, thầy giáo, giáo Phịng Sau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, bạn bè người thân tạo điều kiện, động viên, khuyến khích, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2012 Tác giả Đào Thị Tuyên LỜI CAM ĐOAN Luận văn kết trình học tập, nghiên cứu thân bảo, dìu dắt thầy giáo, cô giáo, đặc biệt hướng dẫn nhiệt tình chu đáo T.S Nguyễn Văn Hùng Trong nghiên cứu, kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Luận văn với đề tài “Ứng dụng lí thuyết ổn định vào giải số tốn kinh tế” khơng có trùng lặp Người cam đoan Đào Thị Tuyên MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục MỞ ĐẦU Chương 1: GIỚI THIỆU VỀ LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH VÀ MỘT SỐ MƠ HÌNH KINH TẾ CỔ ĐIỂN 1.1 Tóm tắt lí thuyết ổn định 1.2 Sơ lược hệ thống kinh tế 12 1.3 Một số mơ hình kinh tế cổ điển 13 Chương 2: VAI TRỊ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ SAI PHÂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ 2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 19 2.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp 21 Chương 3: ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KINH TẾ 3.1 Giới thiệu xây dựng mơ hình kinh tế 25 3.2 Mơ hình có hệ số khuếch tán lao động không 32 3.2.1 Vấn đề tồn điểm cân dương 32 3.2.2 Tính hút điểm biên nghiệm 33 3.3 Mô hình có hệ số khuếch tán lao động dương 41 3.3.1 Sự tồn ổn định điểm cân dương 41 3.3.2 Tính hút tồn cục điểm cân dương 43 3.4 Bài toán áp dụng 51 KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều toán liên quan tới lí thuyết ổn định Vì việc nghiên cứu lí thuyết ổn định đóng vai trị quan trọng lí thuyết tốn học tốn học ứng dụng Chúng ta biết hệ thống kinh tế hệ thống phức tạp, chịu tác động nhiều yếu tố Thông thường để giải số vấn đề kinh tế ta phải mơ hình hóa mơ hình tốn học Các mơ hình thường mơ tả phương trình sai phân vi phân Trong mơ hình điều quan tâm tính ổn định mơ hình để khảo sát tính ổn định mơ hình ta sử dụng lí thuyết ổn định Luận văn nghiên cứu theo hướng này, xây dựng mơ hình kinh tế sau khảo sát tính ổn định mơ hình Đây mơ hình có nhiều điểm mang tính thời sự, chưa tìm hiểu nhiều Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết ổn định ứng dụng lí thuyết ổn định giải số toán kinh tế Nhiệm vụ nghiên cứu Các cách giải phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân Dựa vào lí thuyết ổn định để xét tính ổn định mơ hình kinh tế Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết ổn định, phương pháp nghiên cứu tính ổn định ứng dụng vào số mơ hình kinh tế Phương pháp nghiên cứu Phương pháp xét ổn định hệ phương trình vi phân hệ phương trình sai phân Giả thuyết khoa học (hoặc: dự kiến đóng góp mới, đề tài khơng thuộc chuyên ngành giáo dục học) CHƯƠNG GIỚI THIỆU VỀ LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH VÀ MỘT SỐ MƠ HÌNH KINH TẾ CỔ ĐIỂN 1.1 Tóm tắt lí thuyết ổn định 1.1.1 Khái niệm Xét hệ phương trình vi phân thường x  f (t , x ) (1.1) t  0, x  X (X nói chung khơng gian Banach, đơi lấy X = Rn), f : R   D  X D  X  f đủ tốt để thoả mãn điều kiện tồn nghiệm R   D Định nghĩa 1.1 Giả sử x  x  (t ) nghiệm hệ (1.1) Nói nghiệm ổn định nếu: t  ,   ,    ( , t ) cho nghiệm x(t) hệ (1.1) thoả mãn: x(t )  x  (t )   x(t )  x  (t )   , t  t Nếu x  x  (t ) ổn định có tính hút, nghĩa tồn   , cho: x(t )  x  (t )    x(t )  x  (t )  t   nghiệm nói (và thân hệ) gọi ổn định tiệm cận Nếu  ,  chọn khơng phụ thuộc vào t nghĩa ổn định gọi ổn định Để toán đơn giản, người ta thường cho thêm giả thiết f (t ,0)  t  Khi nghiệm x  x  (t ) thường lấy nghiệm tầm thường x  x  (t )  Nếu tồn N  ,   cho: x(t )  Ne  (t t0 ) t  t nói hệ ổn định mũ 1.1.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định Khi số chiều không gian không lớn dạng hệ đơn giản, tìm cơng thức nghiệm tổng qt khảo sát trực tiếp (được trình bày chương luận văn) Ngồi khảo sát tính ổn định phương pháp thứ nhất, phương pháp thứ hai Liapunov bất đẳng thức vi phân, tích phân (bất đẳng thức Gronwall-Belman bất đẳng thức mở rộng) a Phương pháp thứ Liapunov Tư tưởng phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ đơn giản trước sau phát triển kết cho hệ phức tạp hơn, theo thứ tự: - Hệ tuyến tính dừng - Hệ tuyến tính khơng dừng - Hệ tuyến tính - Hệ tựa tuyến tính - Hệ phi tuyến Hệ tuyến tính dừng Hệ tuyến tính dừng hệ có dạng x  Ax (1.2) t  0, x  X Phổ hệ (1.2) tập  ( A)    C : ( A  I ) không khả nghịch} Nếu A ma trận cỡ n  n  ( A)    C : det( A  I )  } Định lí 1.1 Nếu phần tử phổ  (A) có phần thực âm hệ (1.2) ổn định tiệm cận (hay trạng thái cân tầm thường x  ổn định tiệm cận) - Nếu phần tử phổ  (A) có phần thực khơng dương phần tử có phần thực nghiệm đơn hệ (1.2) ổn định - Nếu  (A) có phần tử với phần thực dương hệ khơng ổn định Tiêu chuẩn Hurwitz Với A mà trận cỡ n  n, việc tìm phổ  (A) khó, nhiều trường hợp người ta sử dụng dấu hiệu sau (định lí 1.2) để xét tính ổn định hệ (1.2) Định lí 1.2 Giả sử phương trình đặc trưng det( A  I )  hệ (1.2) là: f ( )  a  a1   a 2   a n 1 n 1  a n n có dạng chuẩn, nghĩa a0  a n  Khi phần tử phổ  (A) (hay nghiệm phương trình đặc trưng) có phần thực âm ma trận sau xác định dương (các định thức dương)  a1   a3  A =  a5   a  n 1 a0 0 a2 a1 a0 a4 a3 a2 a1     a 2n2 a n 3 a 2n4 a n 5 0  0 ,    an   as = s  s  n Hệ tuyến tính khơng dừng Hệ tuyến tính khơng dừng hệ có dạng x  A(t ) x (1.3) Với hệ này, ta khơng cịn khái niệm phương trình đặc trưng Do đó, ta xây dựng phổ theo cách khác (định nghĩa 1.2) Định nghĩa 1.2 Giả sử x  x (t ) nghiệm hệ (1.3), ta gọi giới hạn t  x   lim ln x(t ) t  số mũ Liapunov nghiệm Tập hợp số mũ Liapunov khác   tất nghiệm hệ (1.3) gọi phổ Liapunov hệ Định lí 1.3 Nếu A(t) ma trận hàm liên tục bị chặn R+ A(t )  C t  ( < C <  ) nghiệm khơng tầm thường hệ (1.3) có số mũ đặc trưng hữu hạn Trong trường hợp này, hệ (1.3) có n số mũ đặc trưng (khơng thiết khác nhau) Định lí 1.4 Hệ (1.3) ổn định tiệm cận số mũ đặc trưng cực đại âm  max  max (i )  (  i phần tử phổ A(t)) Hệ tuyến tính Hệ tuyến tính hệ có dạng x  A(t ) x  f (t ) (1.4) Nếu f (t ) hàm liên tục, giới nội R+ tính ổn định hệ (1.4) suy trực tiếp từ tính ổn định hệ (1.3) Hệ tựa tuyến tính Hệ tựa tuyến tính hệ có dạng x  A(t ) x  f (t , x) (1.5) 52 Giả sử ( R0 ; R1 ; L0 ) điểm cân hệ Khi ta có hệ phương trình  dR0  dt    dR1 0   dt  dL0  dt      R0  R02    R0  ( 2)     3  R1  3R1    R1  (3)  27 R  R R  R 1      Hệ vơ nghiệm Vậy hệ phương trình cho khơng có điểm cân Hay mơ hình lao động xác định hệ không ổn định Nhận xét: mơ hình có hệ số khuếch tán lao động 0, hệ số di cư lao động dương nên khơng tồn điểm cân mơ hình khơng thể ổn định, lượng lao động vùng nơng thơn cạn kiệt dần Bài tốn 2: Xét tính ổn định mơ hình lao động Cho mơ hình lao động xác định hệ phương trình sau:  dR0 R   R0  R02  1  (R - R )  - R  R0 L  ,  L0  dt  dR R    R1  3R13  1  (R - R )  - R  R0 L  ,   L0  dt  dL    (R - R )  - R  R0 L  dt  đó: L0 lượng lao động vùng nông thôn tỉnh R0; R1 tương ứng tỷ lệ vốn – lao động vùng nông thôn, vùng thành thị, dành cho lao động  Gọi P (R0; R1; L0) điểm cân hệ 53  R0 0  R0  R02  1  (R - R )  - R  R0 L  L0  2  R1  0  R1  3R  1  (R - R )  - R  R0 L   L0    (R - R ) - R  R L  0  0      R0  R02   2    R1  3R1    ( R0  R1 )   L0  2 | R1  R0 |       R  ( 2)     R1  (3)  27   L0  25  ˆ  Vậy: P   ; 27 ;  điểm cân dương hệ cho   25  Ma trận Jacobian hệ ban đầu điểm cân là:    25 25   2500  A   5625     25    33      Phương trình đặc trưng ma trận  A ( )    269 1625 75      16 Ma trận Hurwitz H có đa thức đặc trưng  A ( )  3  269 2  1625   75  269   75 1625 H   16       269   75    16 54 Mọi nghiệm phương trình đặc trưng có phần thực âm định thức ma trận Hurwitz dương, ta kiểm tra định thức ma trận Hurwitz dương ˆ Theo định lí Hurwitz ta có điểm cân P ổn định Vậy mơ hình lao động cho tồn điểm cân dương  ˆ  P   ; 27 ;  25   điểm cân ổn định.Vậy mơ hình lao động cho ổn định Nhận xét: Mô hình có hệ số khuếch tán lao động hệ số di cư lao động dương nên mô hình ổn định lực lượng lao động mơ hình trì ổn định Bài tốn 3: Xét tính ổn định mơ hình lao động Cho mơ hình lao động xác định hệ phương trình sau:  dR0   R0  R02   dt  dR1    R1  3R13   dt  dL0    dt  đó: L0 lượng lao động vùng nông thôn tỉnh R0; R1 tương ứng tỷ lệ vốn – lao động vùng nông thôn, vùng thành thị, dành cho lao động Khi điểm cân cịn hai thành phần ( R0 ; R1 ), xác định sau:   R0  R02    R0  (2)        R1  (3)  27    R1  3R13   55 Điểm cân ổn định R0 (t )  R1 (t )  27 t   Thật hai phương trình dR0 dR1   R0  R0   R1  3R1 phương dt dt trình Bernoulli có nghiệm R0 (t )  (c1e  t  2) ; R1 (t )  (c e  t  3) Cho t   R0 (t )  R1 (t )  27 Vậy mơ hình cho ổn định Nhận xét: mơ hình trường hợp đặc biệt hệ số di cư lao động hệ số khuếch tán lao động (khơng có chuyển dịch lao động vùng) tỷ lệ vốn – lao động trạng thái cân thành phố thực cao nơng thơn * Một số tốn xét tính ổn định số mơ hình kinh tế khác Bài tốn 4: Xét tính ổn định hàm sản xuất địa phương 1 Nền kinh tế tỉnh A có hàm sản xuất: Y  F ( K , L)  K L2 Trong K trữ lượng vốn L số lượng lao động Y mức sản lượng đầu a Tính mức sản lượng K  49, L  81 1 1 Ta có Y  F ( K , L)  K L2  49 81  49.81  63 Vậy sản lượng thu Y  63 b Hàm sản xuất có đặc trưng sinh lợi không đổi theo qui mô không ? Ta thấy vốn lượng lao động tăng gấp đơi mức sản lương tăng gấp đôi Y  F ( K ,2 L )  F ( K , L )  2.Y  2.63  126 56 Đây hàm sản xuất có đặc trưng sinh lợi khơng đổi theo qui mơ nhập lượng tăng lần xuất lượng tăng nhiêu lần c Viết lại hàm dạng quan hệ hàm sản xuất sản lượng lao động vốn lao động Từ nhận xét tính ổn định hàm Ta có: y  Y L K k L  F( K K ,1)  ( ) L L Vậy y  k Trong đó: y: sản lượng vốn lao động k: vốn lao động Ta có bảng giá trị sau: k y y  f (k  1)  f (k ) k 2,24 2,45 2,65 2,83 0,24 0,21 0,2 0,18 Nhận xét: Hàm sản xuất giảm dần qui mơ vốn lao động giảm dần tới y k tăng dần lên Như hàm sản xuất cho ổn định với điều kiện cho toán Bài tốn 5: Tìm điều kiện để doanh nghiệp có phương thức sản xuất ổn định thời gian định Một doanh nghiệp cần hai yếu tố sản xuất K L, để sản xuất sản phẩm X Biết doanh nghiệp chi khoản tiền 300 để mua hai yếu tố với giá PK  10, PL  20 Hàm sản xuất cho là: Y  K ( L  2) a Xác định hàm xuất biên hai yếu tố K L Ta có hàm sản xuất: Y  K ( L  2)  KL  K 57 Khi đó: hàm suất biên K là: MPK  hàm xuất biên L là: MPL  dY  L2 dK dY K dL b Tìm điều kiện để phương án sản xuất ổn định sản lượng đạt tối đa? u cầu tốn tối đa hóa sản lượng với hàm sản xuất: Y  K ( L  2) Trong điều kiện ràng buộc với tổng chi phí 300  10 K  20 L Khi ta có hàm mục tiêu: max l  K ( L  2)   (10 K  20 L  300) K, L Cực đại hàm số đạo hàm bậc 0, đạo hàm bậc hai âm Ta có l  L   10  K l  K  20  L l  300  10 K  20 L   Giải hệ gồm phương trình ta K=13, L=8,5,   13 20 c Nếu muốn sản xuất 120 sản phẩm với điều kiện có phương án sản xuất ổn định với chi phí tối thiểu bao nhiêu? Tương tự để tối thiểu hóa chi phí với mức sản lượng 120 sản phẩm, hàm mục tiêu sau: l  10 K  20 L   K ( L  2)  120 K, L Đạo hàm riêng theo K, L ta có: 58 l  10   ( L  2)  K l  20  K  L l  120  K ( L  2)   Giải hệ gồm ba phương trình ta có: K  240 , L   60 Và chi phí tối thiểu là: C  10 240  20.(2  60 )  350 Vậy với điều kiện K, L  tìm có phương án sản xuất ổn định với chi phí tối thiểu C  350 Bài tốn 6: Tìm mức đầu tư theo yêu cầu hiệu sản xuất ổn định Nền kinh tế nước mô tả hàm sản xuất sau: Y  K (EL) K trữ lượng vốn L lượng lao động E tình trạng công nghệ EL số lao động hiệu kinh tế  tỉ lệ khấu hao g E tốc độ cải thiện công nghệ g L tăng trưởng dân số lực lượng lao động s S : tỉ lệ tiết kiệm.(S: tiết kiệm) Y a.Tính mức sản lượng K  49, L  81, E  16 Ta có hàm sản xuất: : Y  K (EL) 2  49 (16.81)  252 Vậy mức sản lượng thu là: Y  252 59 b Khi trữ lượng vốn tăng lên lần, giữ nguyên lao động hiệu sản lượng có thay đổi khơng? Khi ta có: Y  (4 K ) ( EL) 2  K ( EL)  2.252  504 Vậy sản lượng tăng lên lần Do hàm sản xuất có lợi suất giảm dần theo vốn c Khi hiệu sản xuất trạng thái ổn định mức vốn lao động hiệu bao nhiêu? Khi đầu tư theo yêu cầu lao động bao nhiêu? Với g E  3%, g L  2%,   1% Ta có: hiệu sản xuất trạng thái ổn định (trạng thái dừng) k  Hay ( K t 1 K K K )  ( t )  s ( )  (  g E  g L )( )  EL EL EL EL  s( K )  (  g E  g L )( K ) EL EL Vậy đầu tư theo yêu cầu lao động trạng thái ổn định là: ( I yêu ) EL cầu  (  g E  g L )( K 49 )  (1%  3%  2%)  0,227% EL 81.16 (Mức đầu tư theo yêu cầu mức đầu tư cần thiết để bù trừ tác động khấu hao với tăng trưởng Nó trì mức vốn lao động khơng đổi) Bài tốn 7: Xác định mức vốn lao động kinh tế trạng thái ổn định Nền kinh tế huyện mô tả hàm sản xuất sau: Y  K (EL) K trữ lượng vốn L lượng lao động E tình trạng cơng nghệ EL số lao động hiệu kinh tế  tỉ lệ khấu hao 60 g E tốc độ cải thiện công nghệ g L tăng trưởng dân số lực lượng lao động s S Y : tỉ lệ tiết kiệm.(S: tiết kiệm) a Tính mức sản lượng Ta có hàm sản xuất: K  36, L  25, E  Y  K (EL) 2  36 (25.4)  60 Vậy mức sản lượng thu là: Y  60 b Xác định mức vốn lao động kinh tế trạng thái ổn định Ta có: hiệu sản xuất trạng thái ổn định (trạng thái dừng) Mức vốn lao động hiệu không đổi hay k  Hay ( K t 1 K K K )  ( t )  s ( )  (  g E  g L )( )  EL EL EL EL  s( K )  (  g E  g L )( K ) EL EL Vậy mức vốn lao động hiệu là: K s2 36 36     0,36 EL (  g L  g E ) 25.4 100 Mức sản lượng lao động hiệu là: Y s 60    0,6 EL   g L  g E 100 Bài toán 8: Xác định mức vốn thực tính tiền cơng lao động thực kinh tế trạng thái ổn định 1 Hai tỉnh A B có hàm sản xuất Y  40 K L khác trữ lượng vốn K lượng lao động L a Tìm mức sản lượng hai tỉnh cho bảng sau: 61 Hàm sản xuất Tỉnh Y  40 K L 1 Trữ lượng vốn K Y  40 K L Lượng lao động L A 400 100 B 100 400 Từ bảng số liệu ta tính mức sản lượng hai tỉnh là: Y  8000 b Tìm mức vốn thực tiền công thực kinh tế hai tỉnh trạng thái ổn định Mức vốn thực tỉnh A RA Y 1.8000    10 P KA 2.400 Mức vốn thực tỉnh B RB Y 1.8000    40 P KB 2.100 Tiền công thực tỉnh A Tiền công thực tỉnh B WA 8000.100  YLA   400000 P 2 W 8000.400  YLB   1600000 P 2 c Tổng thu nhập thực K L tỉnh bao nhiêu? Tổng thu nhập thực tỉnh A theo K L là: WA K A  400000.400  160000000 P WA G2  L A  400000.100  40000000 P G1  Tổng thu nhập thực tỉnh B theo K L là: WB K B  1600000.100  160000000 P WA G4  LB  1600000.400  640000000 P G3  62 Vì Y  8000 nên lợi nhuận kinh tế không Đây dạng hàm sản xuất có lợi suất khơng đổi theo qui mơ Bài tốn 9: Ảnh hưởng tỉ lệ tiết kiệm tới ổn định kinh tế Cho hàm sản xuất Y  K 2L Trong đó: K trữ lượng vốn, L lượng lao động a Hàm có dạng hiệu suất không đối theo qui mô không? 2 Với z số dương ta có: ( zK ) ( zL)  zK L3  zY Vậy hàm có dạng hiệu suất không đổi theo qui mô b Khi tỉ lệ khấu hao   0,08 tỉ lệ tiết kiệm s  0,32 tính sản lượng đơn vị lao động trạng thái ổn định Gọi y sản lượng đơn vị lao động, k vốn đơn vị lao động 1 Ta có: y  Y  ( K )  y  k L L s s 1 Ở trạng thái ổn định k *  ( )  y *  ( )  (   0,32 )  0,08 Khi tỉ lệ tiết kiệm cịn s  0,16 sản lượng lao động bao nhiêu? Hãy đưa nhận xét? s Khi sản lựơng lao động y *  ( )  (  0,16 )  0,08 Vậy tỉ lệ tiết kiệm thấp dẫn đến mức sản lượng bình qn lao động thấp ảnh hưởng đến thu nhập người lao động 63 Bài toán 10: Tiết kiệm tiêu dùng ảnh hưởng đến thu nhập người lao động kinh tế ổn định Cho hàm sản xuất có dạng: Y  K L đó: K trữ lượng vốn L lượng lao động a Tính tiết kiệm tiêu dùng lao động, biết tỉ lệ tiết kiệm s  30% cho K=49, L=36 Ta có mức sản lượng thu Y  49.36  42 Goi y sản lượng lao động, ta có y  Y 42   L 36 Khi tiết kiệm lao động M  s y  30%  35% Tiêu dùng lao động T  (1  s ) y  (1  0,3)  0,49 b Tính thu nhập lao động kiếm dành để tiết kiệm tiêu dùng kinh tế trạng thái ổn định Ta có: Thu nhập lao động = tiết kiệm + tiêu dùng  0,35  0,49  0,432 Vậy thu nhập lao động kinh tế trạng thái ổn định 0,432 64 KẾT LUẬN Luận văn trình bày tóm tắt khái niệm ổn định nghiệm phương trình vi phân, số phương pháp nghiên cứu tính ổn định giới thiệu số mơ hình kinh tế mơ tả phương trình vi phân, sai phân Luận văn chủ yếu tập trung vào xây dựng mô hình di cư lao động khảo sát tính ổn định mơ hình Tính ổn định mơ hình khảo sát cách trực tiếp, cách chia tập xác định hệ phương trình vi phân xác định mơ hình di cư lao động thành miền nhỏ khảo sát tính ổn định miền nhỏ Luận văn tính khơng tồn điểm cân dương hệ phương trình vi phân hệ số khuếch tán lao động khơng, có ổn định điểm cân dương hệ số khuếch tán lao động dương Từ rút vai trị khuếch tán lao động, thiếu lâu dài dẫn đến cạn kiệt lao động vùng nông thôn Đồng thời luận văn mối quan hệ yếu tố môi trường sản xuất trạng thái ổn định (thông qua tốn cụ thể) Tuy nhiên khn khổ luận văn thạc sĩ nên điểm hạn chế: chưa giải nhiều toán kinh tế Việt Nam Luận văn phát triển hướng khác đa dạng hóa hàm sản xuất đưa vào hệ thống có tác nhân điều khiển Nghiên cứu ứng dụng với đặc điểm kinh tế, trị xã hội Việt Nam 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO A.Tiếng việt 1.Nguyễn Quang Dong, Ngơ Văn Thứ, Hồng Đình Tuấn, Giáo trình mơ hình tốn kinh tế, NXB Giáo dục (2002) Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2007), Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, NXB Giáo dục, Hà Nội Lê Đình Thúy (2007), Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Đại học kinh tế quốc dân, Hà Nội Hồng Đình Tuấn, Lí thuyết mơ hình tốn kinh tế, NXB Khoa học kỹ thuật B.Tiếng anh Li Y M Zhu Y (2009) , The control and the reconfigurable control for prey – predator ecosystem with time delay, Applied Mathematical Modelling, 33, PP.148-160 Takeuchi Y.(2000),Global Dynamical properties of Lotka-Voolltera sys-tems, World Scientific 66 ... cứu lí thuyết ổn định ứng dụng lí thuyết ổn định giải số toán kinh tế Nhiệm vụ nghiên cứu Các cách giải phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân Dựa vào lí thuyết ổn định để xét tính ổn định. .. Chương 1: GIỚI THIỆU VỀ LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH VÀ MỘT SỐ MƠ HÌNH KINH TẾ CỔ ĐIỂN 1.1 Tóm tắt lí thuyết ổn định 1.2 Sơ lược hệ thống kinh tế 12 1.3 Một số mơ hình kinh tế cổ điển 13... toán học ứng dụng thường gặp nhiều tốn liên quan tới lí thuyết ổn định Vì việc nghiên cứu lí thuyết ổn định đóng vai trị quan trọng lí thuyết tốn học tốn học ứng dụng Chúng ta biết hệ thống kinh