BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 NINH THỊ LIÊN PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO LƢỢNG TỬ CHO CÁC HỆ THẤP CHIỀU Chuyên ngành: Vật lí chất rắn Mã số: 60 44 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thế Lâm HÀ NỘI, 2013 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Thế Lâm.Thầy đã hướng dẫn và truyền cho tôi những kinh nghiệm quý báu trong học tập và trong nghiên cứu khoa học để động viên, khích lệ tôi vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn.Tôi đã từng bước tiến hành và hoàn thành luận văn với đề tài: “Phƣơng pháp Monte Carlo lƣợng tử cho các hệ thấp chiều” Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với thầy. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu trường ĐHSP Hà Nội 2, Khoa Vật lý, phòng sau đại học trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành chương trình cao học và luận văn tốt nghiệp. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình , các đồng chí đồng nghiệp và bạn bè đã tạo mọi điều kiện, động viên, đóng góp những ý kiến quý báu để tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Tác giả Ninh Thị Liên 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của tôi, không sao chép hoặc trùng với kết quả của bất kỳ tác giả nào đã công bố. Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, tháng 9 năm 2013 Tác giả Ninh Thị Liên 3 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN…………………………………………………………… 1 LỜI CAM ĐOAN………………………………………………………… 2 MỤC LỤC……………………………………………………………… 3 MỞ ĐẦU……………………………………………………………… … 4 Chƣơng 1.TỔNG QUAN VỀ CÁC VẬT LIỆU THẤP CHIỀU………….5 1.1.Tổng quan về vật liệu của hệ thấp chiều……………………… 5 1.1.1.Mở đầu……………………………………………………… 6 1.1.2.Vật liệu hai chiều…………………………………………… 7 1.1.3.Vật liệu một chiều…………………………………………….8 1.1.4.Vật liệu không chiều………………………………………….8 1.2.Hệ hai chiều………………………………………………………9 1.3.Hệ một chiều…………………………………………………….10 1.3.1.Dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn……………… 13 1.3.2.Dây lượng tử hình trụ với hố thế parabol………………… 14 1.3.3.Dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn………….15 1.4.Hệ không chiều………………………………………………….16 1.4.1.Chấm lượng tử hình lập phương…………………………….17 1.4.2.Chấm lượng tử hình cầu…………………………………… 18 Chƣơng 2.PHƢƠNG PHÁP MONTE CACRLO KHUẾCH TÁN LƢỢNG TỬ……………………………………………………………… 21 2.1.Mở đầu………………………………………………………… 21 2.2.Phƣơng pháp thực hiện…………………………………………23 2.3.Phƣơng trình schrodinger thời gian ảo……………………… 24 2.4.Công thức tích phân đƣờng…………………………………….25 2.5.Phƣơng pháp monte cacrlo…………………………………… 32 Chƣơng 3.PHƢƠNG PHÁP MONTE CACRLO KHUẾCH TÁN LƢỢNG TỬ CHO CÁC HỆ THẤP CHIỀU…………………………… 35 3.1.Thuật toán……………………………………………………….35 3.2.Lƣu đồ máy tính cho chƣơng trình………………………… 38 3.3.Dao động tử hai chiều………………………………………… 42 3.4.Giếng lƣợng tử……………………………………………… 43 3.5.Dây lƣợng tử…………………………………………………… 44 3.5.1.Dây thẳng………………………………………………… 45 3.5.2.Dây cong………………………………………………… 46 3.6.Chấm lƣợng tử………………………………………………… 47 KẾT LUẬN…………………………………………………………………48 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………50 PHỤ LỤC…………………………………………………………….…… 52 4 MỞ ĐẦUở đầu 1. Lý do chọn đề tài - Hiện nay các hệ thấp chiều đạng được sự tập chung nghiên cứu bởi các nhà khoa học trên thế giới và ở Việt Nam hướng nghiên cứu này cũng được khởi động mạnh mẽ trong một vài năm trở lại đây. Khi số chiều của một hệ vật lý giảm kéo thao sự thay đổi các tính chất vật lý và con người tìm được các tính chất vật lý mới cho quá trình ứng dụng chế tạo các thiết bị lượng tử (máy tính lượng tử, các linh kiện điện tử có hiệu ứng lượng tử…) - Các hệ thấp chiều cũng đã được nghiên cứu bởi các nhà lý thuyết song kết quả chỉ dừng lại ở các trường hợp đơn giản, các hệ có thế phức tạp vẫn còn chưa thực hiện được. Để giải quyết các khó khăn này thì máy tính là một giải pháp và đặc biệt là mô hình hóa. Phương pháp montecarlo là phương pháp sử dụng rất rộng rãi trên thế giới còn đối với việt nam thì phương pháp này còn rất mới lạ, ít người biết đến và hầu hết bằng tài liệu tiếng anh. - Trên cơ sở sử dụng con số ngẫu nhiên đã mở ra rất nhiều ứng dụng.một trong những ứng dụng đó là người ta có thể tính tích phân xác định, đặc biệt là các tích phân nhiều chiều và các điều kiện biên phức tạp. Phương pháp Monte Carlo thường thực hiện lặp lại một số lượng rất lớn các bước đơn giản song song với nhau. Một phương pháp phù hợp cho máy tính,kết quả của phương pháp này càng chính xác khi số lượng lặp các bước tăng. - Chính vì những lý do trên và những ứng dụng thiết thực của nó mà tôi lựa chọn đề tài ―Phƣơng pháp montecarlo lƣợng tử cho các hệ thấp chiều‖ để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm năng lượng và hàm sóng ở trạng thái cơ bản của các hệ thấp chiều như: giếng lượng tử, dây lượng tử và chấm lượng tử… 5 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu các mô hình lý thuyết về các hệ thấp chiều - Xây dựng chương trình máy tính để mô ta các hệ thấp chiều - So sánh các kết quả tìm được với các mô hình lý thuyết - Mở rộng bài toán cho các trường hợp tổng quát 4. Đối tƣợng nghiên cứu Các hệ thấp chiều: giếng lượng tử, dây lượng tử và chấm lượng tử… 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp lý thuyết - Phương pháp mô hình hóa bằng máy tính 6. Đóng góp mới -Xây dựng được chương trình máy tính tìm năng lượng và hàm sóng cho các hệ thấp chiều ở dạng tổng quát 6 Chƣơng 1 TỔNG QUAN VỀ CÁC VẬT LIỆU THẤP CHIỀU 1.1 . Tổng quan về vật liệu của hệ thấp chiều 1.1.1. Mở đầu Các tính chất vật lý của các hệ ba chiều đã được nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều năm qua, song khi một hoặc một số chiều khi giảm kích thước thì vật liệu lại xuất hiện các tính chất mới. Chính vì vậy có sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu từ các khối tinh thể sang các màng mỏng và cấu trúc nhiều lớp. Trong các đối tượng đó (ta gọi là hệ), hầu hết các tính chất điện tử đều thay đổi đáng kể. Đặc biệt, một số tính chất mới khác, ta gọi là hiệu ứng kích thước đã xuất hiện. Trong các cấu trúc có kích thước lượng tứ, nơi các hạt dẫn bị giam giữ trong các vùng kích thước đặc trưng cỡ bước sóng Do Broglie, các tích chất vật lý và điện tử thay đổi rất đặc biệt, ở đây, các quy luật lượng tử bắt đầu có hiệu lực, trước hết thông qua việc biến đổi đặc trưng cơ bản của hệ điện tử là phổ năng lượng của nó. Phổ năng lượng của điện tử trở nên gián đoạn dọc theo hướng tọa độ bị giới hạn. Dưới ảnh hưởng của trường ngoài hay các tâm tán xạ (phonon, tạp chất, ) thường chỉ hai mà không phải là ba thành phần động lượng của hạt dẫn có thể bị biến đổi. Do đó dáng điệu của các hạt dẫn trong cấu trúc kích thước lượng tử tương tự như trong khí hai chiều, thậm chí khi các hệ trên có quy mô xác định theo tất cả các tọa độ. Cấu trúc với khí điện tử hai chiều (hố lượng tử bán dẫn) có một loạt tích chất khác thường so với đặc tính của hệ điện tử và lỗ trống trong bán dẫn khối thông thường. Các cấu trúc tương tự được ứng dụng ngày càng phổ biến trong nhiều loại linh kiện bán dẫn mới, đặc biệt để đáp ứng các nhu cầu trong lĩnh vực quang điện tử. 7 Việc cấu trúc với khí điện tử hai chiều ngày nay trở thành trung tâm chú ý của các nhà vật lý có liên quan chặt chẽ tới sự phát triển mạnh mẽ và sâu rộng của công nghệ Epitaxy bằng chùm phân tử. một công nghệ rất thích hợp để tạo ra cấu trúc với phân bố thành phần tùy ý chính xác tới từng lớp đơn phân riêng lẻ. Ngày nay, bằng cách áp dụng phương pháp Epitaxy hiện đại như Epitaxy dòng phân tử, một hướng nghiên cứu mới đã được hình thành trong việc tạo nên các bán dần gồm nhiều lớp mỏng xen kẽ có độ dày cỡ nanô mét gọi là bán dẫn có cấu trúc nanô. Bán dẫn có cấu trúc nanô có những đặc tính mới so với bán dẫn thông thường do đó tạo ra được những linh kiện, thiết bị mới có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật và đời sống. Khác vói bán dẫn khối, trong cấu trúc trên, ngoài trường thế tuần hoàn của các nguyên tử, trong tinh thể còn tồn tại một thế phụ cũng tuần hoàn trong không gian cấu hình nhưng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so vói chu kỳ thay đổi thế năng của trường các nguyên tử trong mạng [7]. Trong cấu trúc đa lớp mà các lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp xen kẽ giữa các lớp có vùng cấm rộng, các hạt tải nằm trong một lớp bất kỳ của bán dẫn vùng cấm hẹp không thể xuyên qua để đi tới các lớp tiếp theo của bán dẫn vùng cấm hẹp. Các hạt tải bị định xứ mạnh, chúng bị cách ly trong các hố lượng tử hai chiều, tức trong các lớp mỏng của bán dẫn vùng cấm hẹp. Các lớp bán dẫn có bề rộng vùng cấm tạo nên một hàng rào thế (tể ngăn cản electron chuyển động trong một hố lượng tử không thể chuyển động qua các hố khác, cấu trúc đa lớp này gọi là cấu trúc hệ nhiều hố lượng tử và mỗi lớp riêng biệt gọi là các hố lượng tử. Trường hợp các: lớp ngăn cách của bán (lần vùng cấm rộng có độ dày không lớn có thể cho phép các hạt tải bằng hiệu ứng đường hầm xuyên qua hàng rào thế năng từ lớp bán dẫn vùng cấm hẹp sang 8 các lớp bán dẫn vùng cấm hẹp gần nhất, cấu trúc như vậy gọi là siêu mạng bán dẫn. Đặc điểm của hệ điện tử trong siêu mạng là chuyển động của hệ điện tử theo hướng 2 (hướng thay đổi của thế phụ tuần hoàn) bị lượng tử hóa, chỉ còn chuyển động tự do theo mặt phẳng (x,y). Do cấu trúc: của siêu mạng, các phản ứng của hộ điện tử đối với các tác dụng của trường ngoài (điện trường, sóng điện từ) xảy ra khác biệt so vói hệ điện tử ba chiều. Các phản ứng khác biệt này làm thay đổi đáng kể tính chất vật lý của các vật liệu và làm xuất hiện thêm những đặc tính mới ưu việt mà hệ điện tử ba chiều không có. 1.1.2. Vật liệu hai chiều Siêu mạng bán dẫn pha tạp:được tạo từ hai bán dẫn đồng nhất được pha tạp một cách khác nhau. Siêu mạng pha tạp được tạo nên do sự sắp xếp tuần hoàn của các lớp bán dẫn mỏng GaAs loại n (GaAsSi) và GaAs loại p (GaAsBe), ngăn cách bởi các lớp GaAs không pha tạp. Vì vậy được gọi lạ tinh thể n-i-p-i. Trong siêu mạng pha tạp sự phân bố điện tích đóng vai trò quyết định đối với việc tạo nên thế siêu mạng. Nếu mật độ các chất pha tạp không quá cao và số acceptor trong lớp p trùng với các donor trong các lớp n thì tất cả các tâm donor trong siêu mạng pha tạp đền tích điện dương còn tất cả các tâm acceptor đều tích điện âm. Siêu mạng bán dẫn hợp phần: được tạo nên từ các lớp mỏng bán dẫn gọi chung là A,có vùng cấm A g  hẹp,có độ dày a(chẳng hạn như GaAs) và cốc bán dẫn gọi chung là B có vùng cấm B g  rộng có độ dày b (chẳng hạn Al - As) xen kẽ nhau vô hạn dọc theo trục siêu mạng (trục z). Từ sự tương quan vị trí giữa đáy và đỉnh vùng dẫn của các bán dẫn người ta đã phân loại siêu mạng hợp phần như sau:  Loại I: Được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm hoàn toàn bao nhau. Trong siêu mạng, này tương tác giữa các hạy mang từ các lớp riêng 9 biệt chỉ xảy ra giữa các vùng năng lượng cùng loại, ở đây cả lỗ trống và diện tử đều bị giam nhốt trong cùng lớp A. Loại này được tạo bởi GaAs/Al x Ga 1 - x As, lớp GaAs có độ dày hơn 2nm, phần Al có mode ít hơn 0,3.  Loại II: Được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm nằm gàn nhau nhưng không bao nhau hoặc chỉ trùng nhau một phần. Trong trường hợp này các hạt mang khác loại có thể tương tác với nhau. Siêu mạng loại này lại được chia ra hai loại:  Loaị IIA: Bán dẫn khe vùng không gian gián tiếp. Lỗ trống bị giam trong cùng lớp A. điên tử bị giam trong cùng lớp B  Loại IIB: Hoặc không có hoặc có khe năng lượng rất nhỏ giữa các điện tử trong lớp B và các lỗ trống trong lớp A. 1.1.3. Vật liệu một chiều Đại diện các vật liệu một chiều có thể kể đến các vật liệu polime.polyme là những hợp chất có phân tử khối rất lớn do nhiều đơn vị nhỏ(gọi là mắt xích) liên kết với nhau do các mắt xích 26 [CH ]NH CO    liên kết với nhau tạo nên hệ số n được gọi là hệ số polyme hóa.Các phân tử tạo nên từng mắt xích của polyme được gọi là monome.Trong thực tế nó tồn tại một số mạch như sau: Mạch không phân nhánh ,ví dụ: a) polietilen, amilozo….b) mạch phân nhánh, ví dụ: amilopectin, glicogen…c) mạch mạng lưới, ví dụ: cao su lưu hóa,nhựa bakelit… 1.1.4. Vật liệu không chiều Vật liệu nano: là vật liệu trong đó ít nhất một chiều có kích thước nanomet.Vật liệu có ba trạng thái rắn, lỏng, khí.Vật liệu nano được tập trung nghiên cứu hiện nay là vật liệu rắn, sau đó mới đến lỏng và khí. Hình dạng vật liệu được chia ra các loại sau: Vật liệu nano không chiều (cả ba chiều đều có kích thước nano không còn chiều tự do nào cho điện tử) ví dụ như đám nano, hạt nano [...]... sóng của điện tử bị phản xạ mạnh tại các thành hố, do đó các điện tử bị giữ lại trong hố thế và phổ năng lượng của nó bị lượng tử hoá, các giá trị xung lượng được phép của điện tử theo chiều vuông góc với dị tiếp xúc cũng bị giới hạn Chính nhờ vào hiệu ứng lượng tử quan trọng này (sự lượng tử hóa năng lượng của điện tử trong hố lượng tử) mà người ta có thể điều chỉnh hoặc tối ưu hóa (bằng cách lựa chọn... tử điều hòa; x0   k y (m*c )  c k y (eB) là vị trí tâm quỹ đạo; Ly độ dài chuẩn hóa theo hướng 0y 1.3 Hệ một chiều Dây lượng tử là một ví dụ về hệ khí điện tử một chiều Dây lượng tử có thể được chế tạo nhờ phương pháp epitaxv MBE hoặc kết tủa hữu cơ kim loại MOCVD Một cách chế tạo khác là sử dụng các cong (gates) trên một transistor hiệu ứng trường, bằng cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều. .. trên hệ khí điện tử hai chiều Bài toán tìm phổ năng lượng và hàm sóng 15 điện tử trong dây lượng tử có thể được giải dễ dàng nhờ giải phương trình Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều: 2   H    * 2  V (r )  U (r )   E  2m  (1.8) Trong đó, U (r ) là thế năng tương tác giữa các điện tử V (r ) là thế năng giam giữ điện tử do sự giảm kích thước; m* là khối lượng hiệu dụng của điện tử (ta... chỉnh việc này, rõ rang là tạo giá trị xung quanh phần tử đơn vị w( x)  1  V ( x )  ER  (2.29) 2.5 Phƣơng phá Monte Cacrlo p Hệ năng lượng có một số bậc tự do Phương pháp DMC miêu tả ở trên có hiệu lực cho một hệ lượng tử với một bậc tự do x Tuy nhiên phương pháp có thể mở rộng ra cho nhiều hệ lượng tử với một vài bậc tự do.Ví dụ, những hệ này phát sinh tronh trường hợp một hạt đang chuyển động... vi.nhiều năng lượng phân tử và bán dẫn chịu sự chi phối của bởi phương trình này.Vì phương trình của Schrodinger chỉ được giải theo phép giải tích trong một số ít trường hợp lý tưởng cao :cho hầu hết các hệ thực tế,chúng ta cần đến mô tả số học.chúng tôi muốn giới thiệu một phương pháp số học tương đối gần đây trong giải phương trình Schrodinger ,phương pháp khuếch tá á sá Monte Carlo .phương pháp này phù... mặt phẳng xy; Như vậy, (lọc theo trục kz của mạng đảo, điện tử bị giam cầm trong hố lượng tử chỉ nhận các giá trị năng lượng gián đoạn, do đó trong cùng một vùng năng lượng xuất hiện các vừng con (subband) Sự gián đoạn của phổ năng lượng điện tử là đặc trưng nhất của điện tử bị giam cầm trong các hệ thấp chiều nói chung và trong hố lượng tử nói riêng Trong trường hợp xuất hiện từ trường đều B hướng... cơ n nh ng bản của nhiều hệ lượng tử Nghiệm của phương trình phụ thuộc thời gian Schrodinger được đưa ra như là sự tổ hợp tuyến tính của trạng thái tĩnh,trong đó sự phụ thuộc thời gian được đưa bởi hệ số pha exp(-iEnt/ ),En là cấp năng lượng n-th của hệ lượng tử đang tính.Thang năng lượng được chọn để tất cả năng lượng là dương.Trong phương pháp DMC,nên xem xét lời giải cho phương trình Schrrodinger... xung lượng trung bình), tức là: E2  E1 kBT ,  (1.1) Hì 2 Mật độ trạng thái trong hệ 2 chiều và 3 chiều nh Như đã biết, nếu như trong cấu trúc hệ điện tử ba chiều, mật độ trạng thái bắt đầu từ giá trị 0 và tăng theo quy luật E1/2 (E là năng lượng của điện tử) thì trong hố lượng tử cũng như trong các: cấu trúc thấp chiều khác, mật độ trạng thái bắt đầu tại giá trị nào đó khác 0 tại trạng thái năng lượng. .. trạng thái năng lượng cho phép thấp nhất (E = 0) và tăng theo quy luật khác E1/2 (dạng bậc thang) Sự thay đổi mật độ trạng thái cũng được coi lẩ một hiệu ứng lượng tử quan trọng xuất hiện trong các cấu trúc hố lượng tử cũng như trong các cấu trúc hệ thấp chiều khác do sự giam giữ điện tử Vì các dịch chuyển phụ thuộc vào mật độ trạng thái (hoặc trạng thái đầu hoặc trạng thái cuối), nên các dịch chuyển sẽ... ctể tìm trạng thái và phổ năng lượng của điện tử trong hố lượng tử ta giải phương trình Schrodinger hay nói theo cách khác theo định lí Wannier, hàm bao phải thoả mãn phương trình 2   2   2m * r 2  U ( z )  (r )  ( E  Ec ) (r )   (1.3) trong đó, U ( z)  U (r )  V (r ) là thế năng của hố lượng tử; E là năng lượng của điện tử trong hố lượng tử; Ec là năng lượng đáy vùng dẫn, có thể đặt . pháp montecarlo lƣợng tử cho các hệ thấp chiều để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm năng lượng và hàm sóng ở trạng thái cơ bản của các hệ thấp chiều như: giếng lượng tử, dây lượng tử. được với các mô hình lý thuyết - Mở rộng bài toán cho các trường hợp tổng quát 4. Đối tƣợng nghiên cứu Các hệ thấp chiều: giếng lượng tử, dây lượng tử và chấm lượng tử 5. Phƣơng pháp nghiên. tử và chấm lượng tử 5 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu các mô hình lý thuyết về các hệ thấp chiều - Xây dựng chương trình máy tính để mô ta các hệ thấp chiều - So sánh các kết quả