Mục lục Mở đầu 3 1 Bất phương trình và hệ bất phương trình đại số 6 1.1 Đại cương về bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Bất phương trình và hệ bất phương trình đại số hữu tỷ . . . . . . 8 1.2.1 Bất phương trình bậc nhất một ẩn số . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn số . . . . . . . . . . 10 1.2.3 Bất phương trình bậc hai một ẩn số . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4 Hệ bất phương trình bậc hai một ẩn số . . . . . . . . . . . 12 1.2.5 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn số . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.6 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn số . . . . . . . . . . . 14 1.2.7 Hệ bất phương trình đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Bất phương trình, hệ bất phương trình đại số vô tỷ . . . . . . . . 20 1.3.1 Bất phương trình vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.2 Hệ bất phương trình vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.4 Bất phương trình và hệ bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.4.1 Bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . 40 1.4.2 Hệ bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . 48 2 Bất phương trình mũ và lôgarit 52 2.1 Bất phương trình mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.1.1 Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.1.2 Các phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2 Bất phương trình logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2.1 Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2.2 Các phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3 Bất phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số 74 3.1 Phương pháp sử dụng chiều biến thiên của hàm số . . . . . . . . . 74 3.2 Phương pháp tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.3 Phương pháp điều kiện cần và đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.4 Phương pháp hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 1 3.5 Các phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Kết luận 111 Tài liệu tham khảo 112 2 Mở đầu Chuyên đề về bất phương trình và hệ bất phương trình là một nội dung quan trọng của chương trình toán ở bậc Trung học phổ thông. Các khái niệm cơ bản về bất phương trình đã được học sinh biết đến từ cuối cấp trung học cơ sở. Việc nắm bắt, hiểu rõ lý thuyết cũng như thực hành giải bài toán bất phương trình và hệ bất phương trình là yêu cầu bất buộc đối với học sinh tốt nghiệp bậc Trung học phổ thông. Vì vậy, cũng dễ hiểu khi trong các đề thi tốt nghiệp THPT; đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng; đề thi học sinh giỏi; đề thi Olympic toán học 30/04 thường xuyên xuất hiện các bài toán về "Bất phương trình và hệ bất phương trình". Việc nâng cao kiến thức và giúp học sinh giải tốt các bài toán trên là động lực để tôi nghiên cứu đề tài này. Bản luận văn này được chia làm 3 chương. Chương 1. Bất phương trình và hệ bất phương trình đại số. Trong chương này, một số kiến thức cơ bản được nhắc lại. Luận văn trình bày một số phương pháp giải bất phương trình và hệ bất phương trình hữu tỷ; bất phương trình và hệ bất phương trình vô tỷ; bất phương trình và hệ bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Và đặc biệt trong chương này có đề cập đến ứng dụng của việc giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào một số bài toán kinh tế. Chương 2. Bất phương trình mũ và lôgarit. Ở chương này, luận văn đề cập đến các phương pháp giải bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit. Chương 3. Bất phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số. Luận văn trình bày các bài toán về bất phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số thường xuất hiện trong các đề thi Đại học, Cao đẳng và đề thi học sinh giỏi. Mặc dù bản thân đã cố gắng và nghiêm túc trong học tập và nghiên cứu khoa 3 học nhưng do thời gian có hạn, kiến thức bản thân còn hạn chế nên trong quá trình thực hiện luận văn không tránh khỏi những sơ suất. Rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn. 4 Lời cảm ơn Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Vũ Đỗ Long. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội; các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2011-2013; Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Trần Văn Lan huyện Mỹ Lộc, tỉnh Nam Định đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình đã luôn động viên tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Học viên Trần Thị Thu Phương 5 Chương 1 Bất phương trình và hệ bất phương trình đại số 1.1 Đại cương về bất phương trình a, Khái niệm bất phương trình một ẩn Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là D f và D g . Đặt D = D f ∩ D g . • Mệnh đề chứa biến có một trong các dạng: f(x) < g(x), f(x)  g(x), f(x) > g(x), f(x)  g(x) được gọi là bất phương trình một ẩn; x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D được gọi là tập xác định của bất phương trình đó. • Số x 0 ∈ D gọi là một nghiệm của bất phương trình f(x) < g(x) nếu f(x 0 ) < g(x 0 ) là mệnh đề đúng. • Khái niệm nghiệm cũng được định nghĩa tương tự cho các bất phương trình f(x)  g(x), f(x) > g(x), f(x)  g(x). • Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm (hay tập nghiệm) của bất phương trình đó. Khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm. • Trong thực hành, ta không cần viết rõ tập xác định D của bất phương trình mà chỉ cần nêu điều kiện để x ∈ D. Điều kiện đó được gọi là điều kiện xác định của bất phương trình, gọi tắt là điều kiện của bất phương trình. b, Bất phương trình tương đương Dưới đây, chúng ta nói tới bất phương trình dạng f(x) < g(x). Đối với các bất 6 phương trình dạng f(x)  g(x), f(x) > g(x), f(x)  g(x) ta cũng có các kết quả tương tự. • Hai bất phương trình (cùng ẩn) trên cùng một tập xác định D được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm; • Nếu f 1 (x) < g 1 (x) tương đương với f 2 (x) < g 2 (x) thì ta viết f 1 (x) < g 1 (x) ⇔ f 2 (x) < g 2 (x) • Khi muốn nhấn mạnh hai bất phương trình có cùng tập xác định D (hay có cùng điều kiện xác định mà ta ký hiệu là D) và tương đương với nhau ta nói: + Hai bất phương trình tương đương trên D; + Hoặc với điều kiện D, hai bất phương trình là tương đương với nhau. c, Biến đổi tương đương các bất phương trình • Phép biến đổi tương đương biến một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương với nó; • Một số phép biến đổi tương đương thường dùng: Cho bất phương trình f (x) < g(x) có tập xác định D, y = h(x) là một hàm số xác định trên D. Khi đó, trên D, bất phương trình f(x) < g(x) tương đương với mỗi bất phương trình sau: (i) f(x) + h(x) < g(x) + h(x); (ii) f(x)h(x) < g(x)h(x) nếu h(x) > 0 với mọi x ∈ D; (iii) f(x)h(x) > g(x)h(x) nếu h(x) < 0 với mọi x ∈ D; Lưu ý: +) Chuyển vế và đổi dấu một hạng tử trong một bất phương trình ta được một bất phương trình mới tương đương; +) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc ba f(x) < g(x) ⇔ [f(x)] 3 < [g(x)] 3 . +) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc hai: Nếu f(x) và g(x) không âm với mọi x thuộc D thì: f(x) < g(x) ⇔ [f(x)] 2 < [g(x)] 2 . +) Tương tự, ta cũng có quy tắc nâng lên lũy thừa bậc lẻ và nâng lên lũy thừa bậc chẵn. 7 1.2 Bất phương trình và hệ bất phương trình đại số hữu tỷ 1.2.1 Bất phương trình bậc nhất một ẩn số (i) Dấu của nhị thức bậc nhất • Nhị thức bậc nhất là biểu thức có dạng: f(x) = ax + b với a = 0. • Dấu của nhị thức bậc nhất: Định lý 1.1. (về dấu của nhị thức bậc nhất): Cho f(x) = ax + b với a = 0. Khi đó: + f(x) cùng dấu với hệ số a khi x ∈  − b a ; +∞  ; + f(x) trái dấu với hệ số a khi x ∈  −∞; − b a  . Định lý 1.2. Cho đa thức f(x) được biểu diễn dưới dạng tích các nhị thức bậc nhất. Gọi x i là nghiệm bội bậc k i của đa thức f(x). Khi đó: f(x) sẽ đổi dấu khi đi qua mốc x i nếu k i là số lẻ; f(x) sẽ không đổi dấu khi đi qua mốc x i nếu k i là số chẵn. Bài toán 1.1. Giải bất phương trình sau: 2x −1 5x + 3 > 3x −2 7x + 6 . (1.1) Lời giải. Điều kiện để bất phương trình (1.1) có nghĩa là: x = − 3 5 , x = − 6 7 . Với điều kiện trên ta có (1.1) ⇔ (2x −1)(7x + 6) − (3x − 2)(5x + 3) (5x + 3)(7x + 6) > 0 ⇔ −x 2 + 6x (5x + 3)(7x + 6) > 0. Vậy bất phương trình (1.1) có tập nghiệm là  − 6 7 ; − 3 5  ∪ (0; 6). 8 (ii) Bất phương trình bậc nhất một ẩn số • Dạng bất phương trình: ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0, trong đó x là ẩn, a và b là hằng số, a = 0. • Cách giải và biện luận: ax + b ≤ 0 (1) + Nếu a > 0 thì bất phương trình (1) có nghiệm x ≤ − b a , tập nghiệm S =  −∞; − b a  ; + Nếu a < 0 thì bất phương trình (1) có nghiệm x ≥ − b a , tập nghiệm S =  − b a ; +∞  ; + Nếu a = 0 và b > 0 thì bất phương trình (1) vô nghiệm, tập nghiệm S = ∅; + Nếu a = 0 và b ≤ 0 thì bất phương trình (1) có vô số nghiệm, tập nghiệm S = R. Bài toán 1.2. Giải và biện luận bất phương trình sau: m −3x + 5 > 3mx + m 2 . (1.2) Lời giải. Ta có (1.2) ⇔ 3(m + 1)x < −m 2 + m + 5. - Nếu m < −1 thì bất phương trình có tập nghiệm là  −m 2 + m + 5 3(m + 1) ; +∞  . - Nếu m = −1 thì bất phương trình có tập nghiệm là R. - Nếu m > −1 thì bất phương trình có tập nghiệm là  −∞; −m 2 + m + 5 3(m + 1)  . Bài toán 1.3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau xác định với mọi x ≥ −3: y =  (m −3)x + 2m − 5. (1.3) Lời giải. Điều kiện để hàm số đã cho có nghĩa là: (m −3)x + 2m − 5 ≥ 0 ⇔ (m − 3)x ≥ 5 −2m. 9 Hàm số đã cho xác định với mọi x ≥ −3 khi và chi khi:     m = 3    m > 3 5 −2m m −3 ≤ −3 ⇔     m = 3    m > 3 m −4 m −3 ≤ 0 ⇔ 3 ≤ m ≤ 4. Vậy với 3 ≤ m ≤ 4 thì hàm số đã cho xác định ∀x ≥ −3. 1.2.2 Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn số • Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn số là hệ gồm 2 hoặc nhiều bất phương trình bậc nhất một ẩn số. • Cách giải: + Giải từng bất phương trình của hệ; + Lấy giao tất cả các tập nghiệm của các bất phương trình trong hệ ta được tập nghiệm của hệ bất phương trình. Bài toán 1.4. Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm:  −x + 6 ≥ 0 (1.4.1) 3 −mx ≤ x + 4. (1.4.2) (1.4) Lời giải. - Giải bất phương trình (1.4.1) ta được tập nghiệm là (−∞; 6]. - Giải và biện luận bất phương trình (1.4.2): (1.4.2) ⇔ (m + 1)x ≥ −1. + Nếu m < −1 thì bất phương trình (1.4.2) có tập nghiệm là  −∞; −1 m + 1  . + Nếu m = −1 thì bất phương trình (1.4.2) có tập nghiệm là R. + Nếu m > −1 thì bất phương trình (1.4.2) có tập nghiệm là  −1 m + 1 ; +∞  . Suy ra hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi    m > −1 −1 m + 1 > 6 ⇔    m > −1 6m + 7 m + 1 < 0 ⇔    m > −1 − 7 6 < m < −1 (vô nghiệm). Vậy không có giá trị nào của tham số m để hệ bất phương trình (1.4) vô nghiệm. 10 [...]... 1 − 2 √ √ Vậy bất phương trình (1.21) có tập nghiệm là −∞; 1 − 2 ∪ 2; 1 + 2 4 Phương pháp đặt ẩn phụ - Dạng 3 Sử dụng hai ẩn phụ cho hai biểu thức trong bất phương trình và khéo léo biến đổi bất phương trình thành bất phương trình tích hoặc thành hệ bất phương trình Bài toán 1.22 Giải bất phương trình sau: √ 3 2x + √ 9 − 2x ≤ 3 (1.22) Lời giải 9 2 Điều kiện để bất phương trình (1.22) có nghĩa là:... của bất phương trình ax + by + c < 0; + Nếu ax0 + by0 + c > 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0 1.2.6 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn số • Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn số là hệ gồm 2 hoặc nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn số • Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình. .. vế trái của bất phương trình; + Tìm x làm cho vế trái mang dấu thỏa mãn dấu của bất phương trình Bài toán 1.5 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: mx2 + (m + 3)x + (m + 3) ≥ 0 Lời giải - Nếu m = 0 thì bất phương trình (1.5) trở thành: 3x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1 Suy ra m = 0 không thỏa mãn bài toán - Nếu m = 0 thì bất phương trình (1.5) là bất phương trình bậc hai Suy ra bất phương trình (1.5)... đúng với ∀x ∈ R khi và chỉ khi m>0 ∆ = (m + 3)2 − 4m(m + 3) ≤ 0 ⇔ m>0 m ≤ −3 ⇔ m>0 (m + 3)(3 − 3m) ≤ 0 ⇔ m ≥ 1 hoặc m ≥ 1 11 (1.5) Vậy với m ≥ 1 thì bất phương trình (1.5) nghiệm đúng với mọi x 1.2.4 Hệ bất phương trình bậc hai một ẩn số • Hệ bất phương trình bậc hai một ẩn số là hệ gồm 2 hoặc nhiều bất phương trình bậc hai một ẩn số • Cách giải: + Giải từng bất phương trình của hệ; + Lấy giao tất cả... hệ; + Lấy giao tất cả các tập nghiệm của các bất phương trình trong hệ ta được tập nghiệm của hệ bất phương trình Bài toán 1.6 (Đại học Cảnh sát - Khối D - 1999) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: x2 − 8x + 7 ≤ 0 (1.6.1) x2 − (2m + 1)x + m2 + m ≤ 0 (1.6.2) (1.6) Lời giải - Giải bất phương trình (1.6.1) ta được tập nghiệm là [1; 7] - Giải bất phương trình (1.6.2): Vế trái của (1.6.2) có ∆ = (2m... →| = − − − − u v u v 32 + (−4)2 = 5 Do đó bất phương trình (1.28) tương đương vớ bất phương trình − − − − |→| + |→| ≥ |→ + →| u v u v (luôn đúng) Vậy bất phương trình (1.28) nghiệm đúng ∀x ∈ R 35 Bài toán 1.29 Giải bất phương trình sau: 5 4x2 − 5x + 3 ≤ 2 4x2 + 5x + 3 − (1.29) Lời giải Tập xác định D = R Bất phương trình (1.29) tương đương với bất phương trình 5 2x + 4 √ 2 + 23 4 2 5 2x − 4 − √ 2... trình trong hệ là miền nghiệm của hệ • Cách giải: Để xác định miền nghiệm của hệ ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau: + Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ phần còn lại; + Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình của hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã... của bất phương trình (1.15) là: {−5; −1} • Đối với một số bất phương trình vô tỷ, ta có thể sử dụng đẳng thức liên hợp vào giải chúng Bài toán 1.16 (Đại học Mỏ - Địa chất 1999) Giải bất phương trình sau: 2x2 √ 3 − 9 + 2x 23 2 < x + 21 (1.16) Lời giải 9 2 Điều kiện để bất phương trình (1.16) có nghĩa là: x ≥ − ; x = 0 Với điều kiện trên thì nhân cả tử và mẫu của phân thức ở vế trái của bất phương √ trình. .. = 5 − − − − u v u v 2 2 − |→| = v Do đó bất phương trình (1.29) tương đương vớ bất phương trình − − − − |→| − |→| ≤ |→ − →| u v u v (luôn đúng) Vậy bất phương trình (1.29) nghiệm đúng ∀x ∈ R 1.3.2 Hệ bất phương trình vô tỷ Bài toán 1.30 (Olympic 30 tháng 04, lần thứ XVII - 2011 - Lớp 11 Trường THPT chuyên Phan Ngọc Hiển - Cà Mau đề nghị) Giải hệ bất phương trình sau:   2x2 y 2 − x4 y 4 = x2010 +... căn thức có nghĩa và nên sắp xếp lại các số hạng ở hai vế của bất phương trình để sau khi bình phương ẩn x nằm ngoài căn thức triệt tiêu hay có bậc thấp nhất, đồng thời để ý đến dấu của hai vế của bất phương trình Sau đó mới thực hiện lũy thừa để khử căn và quy về các dạng bất phương trình cơ bản, đồng thời chú ý việc kết hợp với điều kiện để chọn nghiệm thích hợp của bất phương trình Bài toán 1.13 . chương. Chương 1. Bất phương trình và hệ bất phương trình đại số. Trong chương này, một số kiến thức cơ bản được nhắc lại. Luận văn trình bày một số phương pháp giải bất phương trình và hệ bất phương trình. lục Mở đầu 3 1 Bất phương trình và hệ bất phương trình đại số 6 1.1 Đại cương về bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Bất phương trình và hệ bất phương trình đại số hữu. tỷ; bất phương trình và hệ bất phương trình vô tỷ; bất phương trình và hệ bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Và đặc biệt trong chương này có đề cập đến ứng dụng của việc giải hệ bất