Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến có lời giải – phạm hồng phong

Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm A.. Viết phương trình các tiếp tuyến của  C tại những giao điểm của  C với trục hoành... Trong bài học này, chúng ta quan tâm nh

§1 Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm

A Tóm tắt lý thuyết

Cho y f x   C

1 Tiếp tuyến tại một điểm

Tiếp tuyến với  C tại M x 0;f x 0  là đường thẳng

:y f ' x0 xx0 f x  0

Ta cũng nói rằng  tiếp xúc với  C hay  C tiếp xúc , hoặc

 và  C tiếp xúc nhau

Chú ý Khi nói đến tiếp tuyến của  C tại M , ta phải hiểu rằng M thuộc  C và M là nơi xảy

ra sự tiếp xúc

2 Tiếp tuyến qua một điểm

Tiếp tuyến qua M của  C là tiếp tuyến với  C tại một điểm N nào đó Điểm M có thể thuộc  C hoặc không, trong trường hợp thuộc  C thì M lại có thể là tiếp điểm hoặc không (xem các hình vẽ ở dưới)

Bài toán Viết phương trình tiếp tuyến qua M x y của  1; 1  C

Phương pháp giải B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 của  C :

 0 0  0:y f ' x x x f x

B2  đi qua M khi và chỉ khi y1 f ' x0 x1x0 f x 0 Giải phương trình này để tìm x0

B3 Thay mỗi x0 tìm được ở bước 2 vào phương trình , ta được một tiếp tuyến qua M của

y  Suy ra phương trình tiếp tuyến với  C tại M là:

yx  x  x  C Viết phương trình các tiếp tuyến của  C tại những

giao điểm của  C với trục hoành

Giải Từ phương trình của  C , cho y0 ta được:

y  x  x suy ra y'  2 1, y'  1 0 Do đó phương trình tiếp tuyến với  C tại

các điểm M1, M2 lần lượt là:

:y 12x 12x x x 4x 6x 1

Điều kiện  đi qua M 1; 9 tương đương với

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

x x

4916

Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết rằng:

1)  C là đồ thị hàm số yx42x23 và hoành độ tiếp điểm bằng 2;

 và tiếp điểm là giao điểm của  C với trục tung;

4)  C là đồ thị hàm số y2x33x25 và tiếp tuyến đi qua 19; 4

12

A 

 ; 5)  C là đồ thị hàm số 3 2

yx  x  và tiếp tuyến đi qua A1; 4

Bài 2 Cho y2x33x212x1  C Tìm những điểm thuộc  C mà tiếp tuyến tại đó đi qua

gốc tọa độ

§2 Điều kiện tồn tại tiếp tuyến

A Tóm tắt lý thuyết

Xét bài toán sau đây

Bài toán Cho đồ thị hàm số y f x   C Tìm điều kiện của tham số để  C có tiếp tuyến

thỏa mãn một điều kiện nào đó

Phương pháp giải B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 của  C :

 2 0 0

0 0

12

:

11

x

x x

12

11

x x

x x

1

x x



 

 0  0 0

y x  mx  C Tìm m để  C có tiếp tuyến đi qua A1; 2 

Giải Phương trình tiếp tuyến với  C tại điểm có hoành độ x0 là:

 0 0  0:y y x' x x y x

Ví dụ 3 Cho 2 1

2

x y x

 2 0 0

0 0

5:

22

x

x x

Điểm A nằm trên đường thẳng x3  tọa độ A có dạng A 3;a

Qua A có tiếp tuyến tới  C khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với x0:

 2 0 0

0 0

5

22

x

x x

Trường hợp 2 a 2 0  a2 Khi đó  2 là phương trình bậc hai có     5a 35 Do đó, trong trường hợp này  1 có nghiệm khi và chỉ khi  2 có nghiệm, tức là

0



    5a 35 0  a7 Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là A 3;a a7

  C và d y: x Tìm m để  C tiếp xúc với d

Giải Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ x0 (x0 1) là:

 C tiếp xúc với d khi và chỉ khi tồn tại x0 sao cho hai đường thẳng  và d trùng nhau Tức là

hệ sau đây có nghiệm đối với x0

111

  x0 m là một nghiệm của  *   * có nghiệm Vậy

 C tiếp xúc với d khi và chỉ khi m1

Ví dụ 5 Cho 4 2

yx  x   C Tìm m để đường thẳng d y: 60xm tiếp xúc với  C

Với mỗi m tìm được, hãy chỉ ra hoành độ tiếp điểm của d và  C

Giải Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ x0 là:

 0 0  0:y y x' x x y x

     :yy x' 0 xx y x0 '   0 y x0

 C tiếp xúc với d khi và chỉ khi tồn tại x0 sao cho  và d trùng nhau, điều đó có nghĩa là hệ

sau đây có nghiệm đối với x0

1) Tìm trên trục tung những điểm mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới  C ;

2) Tìm những điểm trên đường thẳng y3 mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới  C

§3 Hệ số góc của tiếp tuyến

A Giới thiệu

Ta biết rằng f ' x0 là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x  tại điểm có hoành độ x0

Trong bài học này, chúng ta quan tâm nhiều hơn đến hệ số góc của tiếp tuyến

x x

y   Suy ra các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

Vậy tiếp tuyến vuông góc với d của  C là :y 6x10

Chú ý (Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc)

m m

y  m Do đó các tiếp tuyến của  C m tại A và B

vuông góc với nhau khi và chỉ khi

nhất của đồ thị là 10 Viết phương trình các tiếp tuyến đó

Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết rằng

1) [ĐHB06]  C là đồ thị hàm số

2

12

y x

y x  x mà tiếp tuyến tại đó

vuông góc với đường thẳng : 1 2

§4 Một số tính chất hình học của tiếp tuyến

A Tóm tắt lý thuyết

Phần này sử dụng một số kiến thức sau:

1 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho điểm M x y 0; 0 và đường thẳng :axby c 0 Ta có công thức tính khoảng cách từ

2 Giao điểm của hai đường thẳng

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ gồm các phương trình đường thẳng

x x

x x

10

x x

x x x x

31

 2  0 0

0 0

3 25

:

11

x

x x

x x





  

 2  0

0 0

11

x x

9

1

x x



  C Tìm tọa độ điểm M thuộc  C biết tiếp tuyến của  C

tại M cắt hai trục Ox , Oy tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1

4

Giải Ta có

 2

2'

22

:

11

x

x x

22

:

x x

:

22

0

A

x x

y

x y

:

22

0

B

x x

y

x x

21

x B

21

x OB

x



4 0 2 0

x



14

OAB

 

4 0 2 0

141

0 2

1

x x

; 22

Bài 3 Cho 1

x y

  tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn nhất

Bài 4 [ĐHA09] Cho 2

x y x





  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến cắt

các trục tọa độ tại các điểm A, B sao cho tam giác OAB cân tại O

Bài 5 Cho

 3

x y

x





  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến cắt các trục

tọa độ tại các điểm A, B sao cho trung trực của đoạn thẳng AB đi qua gốc tọa độ O

Bài 6 Cho 2

2

x y

x



  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết rằng tiếp tuyến cắt các

trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại hai điểm A, B phân biệt sao cho ABOA 2

y  x Bài 3 Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu

cầu bài toán là:y x 1, 7

3

y x Bài 4 Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài

toán là y  x 2 Bài 5 Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu bài toán là 3

§5 Điều kiện tiếp xúc

A Tóm tắt lý thuyết

1 Định nghĩa (Hình 1) Cho y f x   C và yg x   C '

 C và  C tiếp xúc với nhau tại điểm ' M x y 0; 0 nếu cả hai điều

kiện sau đây thỏa mãn:

 M là một điểm chung của  C và  C ; '

 Tiếp tuyến của hai đường cong tại M trùng nhau

Điểm M được gọi gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho

  C và  C tiếp xúc nhau '  hệ  * có nghiệm đối với x;

 Nghiệm của  * chính là hoành độ tiếp điểm;

 x0 là hoành độ tiếp điểm  tiếp tuyến chung của  C và  C tại điểm có hoành độ ' x0

yx  x  C và 2

2

yx  x  C' Chứng minh  C và  C 'tiếp xúc nhau và viết phương trình tiếp tuyến chung

y

x O

y0

x0 M

Giải Ký hiệu   3 5

ax b k x c m

k b x

  2  

Ví dụ 3 [SGKNC] Viết phương trình đường thẳng qua điểm A1; 2  và tiếp xúc với parabol 2

Giải Đường thẳng qua M , hệ số góc k có phương trình dạng :yk x  1 9

 là tiếp tuyến của  C khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm

  C và d y: x Tìm m để  C tiếp xúc với d

Giải  C tiếp xúc với d khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm đới với x

x x

m x

là nghiệm của

là nghiệm của

m

m m

Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến qua A của đồ thị  C trong các trường hợp sau:

y  x Bài 4 Chứng minh

tồn tại hai giá trị của k có tích bằng 1 sao cho hệ

 

2

' 2

11

1

k x x

k x