Tổng hợp những câu hệ phương trình hay và được giải chi tiết có bình luận thích hợp cho học sinh 10 11 12 và ôn thi ĐH CĐ .
PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha 1. ( ) 2 2 (1 ) 1 (1 ) 1 1 1 2x x x x x + + + − − − = + − (Trích Đề số 35 của ĐTN-Mathlinks) Điều kiện: 1 1x − ≤ ≤ Page 1 Lời mở đầu PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha Đặt 2 2 1 ( , 0) 2 1 a x a b a b b x = + ≥ ⇒ + = = − Bất phương trình tương đương: ( ) 2 3 3 2 1 1 2a b x+ = + + − Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 3 1 1 0 1 2 1 2x x x x + − − = + − + − ≤ ⇒ + − + ≤ Mà 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3( ) 2 3.2 2 1 3 ; 1 3 2 2 2 a b a a a b b b a b + − − + + ≥ + + ≥ ⇒ + ≥ = = Dấu bằng xảy ra khi 0x = . 1. 2 2 1 1 6 1 ( 1) 8 ( 1) 1 x y x x xy y x y y x y x + = + + − − + + = + − − (Trích Đề số 34 của ĐTN-Mathlinks) Điều kiện: 0; 0x y ≠ ≠ Phương trình 1 tương đương: 2 2 6 1 1 1 xy y x x y x − − + + + = + 1 1 6 1 xy x y x ⇔ − − + = + + 1 (y 1) 6 ( 1) y x x y x − − ⇔ + + = − + Phương trình 2 tương đương: 8 ( 1) ( 1) 1 y x x y y x + + = − − Đặt ( 1) 1 ( 1) a x y y x b y x = + − − = + . Hệ phương trình tương đương : 2 6 4 8 4 2 a a b b a a b b = − + = − = − ⇒ = = − = − Với 2 4 a b = − = − x y = ⇒ = Với 4 2 a b = − = − x y = ⇒ = Page 2 PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha 2. [ ] [ ] 2015 2015 2015 2015 2016 2016 2016 2016 (3 15) (9 3 ) 15 ( 4) 9 ( 4)x x x x+ + − = + − + − − (Trích Đề số 36 của ĐTN-Mathlinks) Điều kiện xác định: [ ] 5;3x ∈ − Xét hàm số: 2015 2015 2016 2016 ( ) (15 ) (9 )f t t t= + + − [ ] , 15;9t∀ ∈ − Suy ra: 1 1 2016 2016 2015 '( ) ( 15) (9 ) 2016 f t t t − − = + − − , '( ) 0 3f t t = ⇔ = … Suy ra hàm số ( )f t đồng biến trên ( 15; 3) − − ; nghịch biến trên ( 3;9) − . Khi đó phương trình tương đương [ ] [ ] 2015 2015 2015 2015 2016 2016 2016 2016 (3 15) (9 3 ) 15 ( 4) 9 ( 4)x x x x+ + − = + − + − − (1) Với: [ ] 5;1x ∈ − , phương trình (1) tương đương 3 4x x = − 2x ⇔ = − (thoả) Với: ( ] 1;3x ∈ − , phương trình (1) tương đương 3 4x x = − 2x ⇔ = − (loại) Vậy phương trình có nghiệm 2x = − 3. 4 3 2 2 2 1 2 1 2( 1) 2 x x x x x x x x − + + + ≤ + − + − + (Trích Đề số 32 của ĐTN-Mathlinks) Phương trình tương đương 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 4 1 2 2 2 2 4 2 1 1 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + ≤ + − + − + ⇔ + + + + ≤ + + − + − + − + − + Giải từng cái bằng cách quy đồng với bình phương 2 2 2 1 4 2 2 1 2 x x x x x x + + ≥ + − + − + (1) Page 3 PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha 2 2 2 1 1 2 2 4 2 1 2 x x x x x x + ≥ − + − + 2 2 2 1 1 2 1 2 x x x x x x ⇔ + ≥ − + − + (2) Cả 2 cái (1) và (2) đều đúng vì 2 2 2 2 2 ( 1) (1) ( 1) 0 ( 1)( 2) x x x x x x x − ⇔ − + ≥ − + − + 2 4 2 (2) ( 1) ( 3 2) 0x x x x⇔ − + − + ≥ Từ (1) và (2) để dấu bằng xảy ra khi chỉ khi 1x = Vậy nghiệm của bất phương trình 1x = . 4. 2 9 1 11 3 2 3x x x x x+ − + − = + ( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế) Điều kiện : Phương trình tương đương: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 2 2 9 1 11 3 2 3 9 1 2 3 11 3 9 1 15 3 12 9 2(2 3) 11 3 3 14 3 10 2(2 3) 11 3 0 11 3 1 11 3 3 2 11 3 7 0 10 11 3 1 0 3 2 11 3 3 0 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − + − = + ⇔ + − = + − − ⇔ + − = − + + − + − ⇔ − − − + + − = ⇔ − − − − + − + = = − − = ⇔ ⇔ − − = = Thay lại thấy thoả mãn . 5. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 4 1 4 3 ( 1) 2 1 6 17 x y x y y x x y x x y + + − + = − + − − + = + − ( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế) Điều kiện: 3x ≥ − Phương trình 1 tương đương: Page 4 PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1 3 0 4 1 3 0 0 4 1 0 3 3 0 y x x y y x x y y x x x y y x y x + + − + + − + = ⇔ + − + + − + = ≥ + − + = ⇔ ⇔ = + − + = Thay 2 3y x= + vào phương trình 2 ta được ( ) 3 3 2 2 3 3 33 2 2 2 2 1 6 1 ( 1) ( 1) 6 1 6 1 x x x x x x x x x x x + − + = + + ⇔ + + + = + + + + + Xét hàm số 3 ( )f t t t= + , t R ∀ ∈ 2 '( ) 3 1.f t t⇒ = + Suy ra ( ) 3 2 ( 1) 6 1f x f x x+ = + + 3 2 1 6 1 ( 3)( 1) 0 x x x x x x ⇔ + = + + ⇔ + − = 0 3 3 0 1 2 x y x y x y = ⇒ = ⇔ = − ⇒ = = ⇒ = Vậy hệ phương trình trên có nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ; ) 0; 3 ; 3;0 ; 1;2x y = − 6. (5 4) 3 2 5 2 (6 1) 3x x x x x+ − + − = + + ( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế) Điều kiện: 2 2 3 x≤ ≤ . Phương trình tương đương: ( ) ( ) (5 4) 3 2 5 2 (6 1) 3 0 3 2 2 3 3 3 3 2 2 3 2 3 0 3 2 2 3 0 3 3 3 2 2 3 2 3 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − + − − + + = − + − − + + − − − − − + = − + − − + = + − − − − − + = Ta có: 3 2 2 3x x x− + − = + 1 2 2 3 2 2 3 25 13 x x x x x x = ⇔ + − − = + ⇔ = Page 5 PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha Ta lại có: 3 3 3 2 2 3 2 3 0x x x x x+ − − − − − + = 6 6 2 3 2 2 2 3 2 3x x x x x⇔ + = − − + − + Suy ra ( ) ( ) ( ) 6 6 3 2 2 3 2 6 1x x x x x+ ≤ − + − + − = + (Vô lí) Vậy phương trình có nghiệm 25 1; 13 x x = = 7. 2 1 2 2 3 ( 1)( 2)x x x x+ + + = − − (Đề thi thử ĐH Vinh 2014) Điều kiện: 1x ≥ − Nhận thấy 1x = − thoả mãn phương trình. Xét 1x > − , phương trình tương đương ( ) ( ) 3 2 2 2 4 1 2 2 2 3 3 2 12 4( 3) 4( 3) ( 3)( 2 4) 1 2 2 3 3 4 4 ( 3) ( 1) 3 0 1 2 2 3 3 x x x x x x x x x x x x x x x x + − + + − = − − − − − ⇔ + = − + + + + + + ⇔ − + − + − = ÷ + + + + Vì 1x > − nên 1 0; 2 3 1x x+ > + > . Suy ra 4 4 3 1 2 2 3 3x x + < − + + + + Hay 2 4 4 ( 1) 3 0 1 2 2 3 3 x x x + − + − < + + + + . Do đó phương trình tương đương: 3 0 3x x − = ⇔ = Vậy phương trình có 2 nghiệm 1x = − ; 3x = Page 6 PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha 8. 3 3 3 3 2 2 2( ) 1 2 2 1 y x x y x y y x x y x + − + = − − + = + ÷ (1) (2) (Trích Đề số 15 của ĐTN-Mathlinks) Điều kiện: ; 2x y ≥ − ; , 0x y ≠ ; 1 0x y + ≥ Nhận thấy 2x = − hoặc 2y = − không là nghiệm của hệ phương trình . Xét ; 2x y > − Phương trình 1 của hệ tương đương với: 3 3 2( ) 2 2 2 2 y x x y y x x y − − = + + + + Xét hàm số 3 2 4 2 2 ( ) '( ) 0 2 2 2 ( 2) t t t t t f t f t t t t + − + + = ⇒ = = > + + + , 2t ∀ > − Suy ra ( )f t đồng biến. TH1: ( ) ( )x y f y f x > ⇒ > (*) 0 (*) 0 VP PTVN VT > ⇒ ⇒ < TH2: ( ) ( )x y f y f x < ⇒ < (*) 0 (*) 0 VP PTVN VT < ⇒ ⇒ > TH3: ( ) ( )x y f y f x = ⇒ = (*) 0 (*) 0 VP VT = ⇒ = (thoả mãn hệ phương trình) Thay x y = vào phương trình 2: 3 3 1 2 2 1 x x x x x − + = + ÷ Điều kiện: 0x > Page 7 PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 3 2 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 2) 0 2 2 2 2 2 2 0 ( 1)( 2) 0 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y ⇔ + = + − ⇔ + − = − − + − − − ⇔ = + + − + − + ÷ ⇔ + − + = ÷ + + ÷ − + − + ⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔ = ⇒ = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) (1;1)x y = 9. 2 2 2 2 3 2 1 1 1 1 3 1 5 x y x y x y y x x x y + + + = + + + − − = − (1) (2) (Trích Đề số 16 của ĐTN-Mathlinks) Điều kiện: 2 5 0 5 5y y− ≥ ⇒ − ≤ ≤ . Phương trình 1 tương đương: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 . 2 2 1 1 0 1 1 1 1 . . 0 ( ) 0 1 1 1 1 ( ) 0 ( ) ( 1) 0 x y x y x xy y x xy y x y y x y x x y y x x y x y x y y x y x x y x x y y x y x y x y + + + + ⇔ + + = + + ⇔ − + − = ÷ ÷ + + + + − − ⇔ + = ⇔ − − = ÷ + + + + ⇔ − + − − = ⇔ − + + = ⇔ = Thay 2 2 x y= vào phương trình 2, ta có 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 5 3 2 5 1 4 2 ( 2)( 1) ( 2) ( 1) 0 5 1 5 1 ( 2) ( 1) 5 3 3 0 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y − − = − ⇔ − − = − − − + ⇔ − + = ⇔ − + + = − + − + ⇔ − + − + + + = ⇔ = ⇒ = ± Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ;y) (2;2);(2; 2)x = − Page 8 PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha 10. ( ) 2 3 2 5 4 1 2 4x x x x x+ < + + − . (Trích đề thi thử ĐH Vinh 2015) Điều kiện: 3 2 1 5 2 4 0 1 5 0 x x x x x ≥ − + + − ≥ ⇔ − − ≤ ≤ Bất phương trình tương đương: 2 2 ( 2 4) 3 4 ( 2 4)x x x x x x+ − + < + − TH1: 1 5 0x− − ≤ ≤ . Khi đó: 2 2 4 0;3 0x x x+ − ≤ ≤ . Hơn nữa hai biểu thức không đồng thời bằng 0. Vì vậy 2 2 ( 2 4) 3 0 4 ( 2 4)x x x x x x+ − + < ≤ + − Suy ra 1 5 0x− − ≤ ≤ thoả mãn bất phương trình đã cho. TH2: 1 5x ≥ − + . Khi đó 2 2 4 0x x + − ≥ . Đặt 2 2 4 0; 0a x x b x= + − ≥ = > . Bất phương trình trở thành: 2 2 3 4 ( )( 3 ) 0 3a b ab a b a b b a b+ < ⇔ − − < ⇔ < < 2 2 2 4 0 1 17 7 65 2 4 3 2 2 7 4 0 x x x x x x x x x + − > − + + ⇔ < + − < ⇔ ⇔ < < − − < Page 9 PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 17 7 65 ; 1 5 0 2 2 S x − + + = ∪ − − ≤ ≤ ÷ ÷ 11. 3 2 4 3 2 2 4 2 4 4 ( 1) 1x x x x x x − + − + = − + − (Trích đề thi thử ĐH Vinh 2015) Điều kiện: 2 4 0 2 2x x − ≥ ⇔ − ≤ ≤ Phương trình đã cho tương đương : 2 2 2 2 3 4 2 2 ( 2 ) 2x x x x x x+ − = − − − + (1) Ta có: ( ) 2 2 2 4 4 2 4 4,x x x x+ − = + − ≥ với mọi [ ] 2; 2x ∈ − Suy ra 2 4 2,x x + − ≥ với mọi [ ] 2; 2x ∈ − (2) Dấu “=” ở (2) xảy ra khi 0; 2x x = = ± . Đặt 3 2 2t x x= − . Điều kiện [ ] 1;2t ∈ − với mọi [ ] 2; 2x ∈ − Khi đó VP (1) chính là 3 2 ( ) 2 2,f t t t= − + [ ] 1;2t ∈ − 2 0 '( ) 3 4 0 4 3 t f t t t t = ⇒ = − = ⇔ = Hơn nữa, ta lại có 4 22 ( 1) 1, (0) 2, , (2) 2 3 27 f f f f − = − = = = ÷ Page 10 [...]... y ) 5 xy − 50 y 2 2 2 2 x + y = 51 12 xy ≥ 0 ( Trích Đề thi thử ĐH Hồng Quang 2015) Điều kiện: Hệ phương trình tương đương: 2 x 2 + 30 xy + 50 y 2 = 5( x + 5 y ) 5 xy 2( x + 5 y) 2 + 10 xy = 5( x + 5 y ) 5 xy ⇔ 2 2 2 2 2 x + y = 51 2 x + y = 51 xy = 0 Do x + 5y > 0 không thoả mãn, từ phương trình (1) suy ra Hệ phương trình t= x > 0; y > 0 nên x + 5y 5 xy 5 + = (1) 5 xy x... có hệ phương trình x + y = 2 x = 1 ⇔ xy = 1 y =1 ( x; y ) = (1;1) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 5 − 8 y2 8 y− x + = x 8( x 2 + y 2 ) + 1 = 5 xy ( 14 ) y 1 8 xy + ÷ x xy (1) (2) ( Đặng Thành Nam) Page 12 PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha x, y > 0 Điều kiện: 8( x 2 + y 2 ) + 1 1 = 5 ⇒ 5 − 8 y2 = 8x2 + xy xy Phương trình. .. xy 2 ≤ 0 ⇔ 2 x( x − y )2 ≤ 0 ⇔ x = y Page 24 PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha x= y Thay 4 vào phương trình 2 của hệ, ta có: x + 3 = x + 2x − 1 ⇔ ( ) 2 x − 4 x + 3 + ( x − 1) = 0 4 x2 − x + 3 + ( x − 1) = 0 A 4x + 3 ⇔ ( x − 1) + 1÷ = 0 A ⇔ x =1⇒ y =1 ⇔ ( x; y) = (1;1) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ) ( x − y − 1) (4 x + 4 y − 1) = 4 x 5 y −... =1 y −1 = 0 Page 29 PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha ( x; y ) = (1;1) Vậy hệ phương trình có nghiệm x 2y + =1 2 2 4x + 5y 4 y 2 + 5 xy xy 3 = 1 + x + 1 1 + 3 2 x + 1 ( 32 Điều kiện: )( xy ≥ 0 x ≥ −1 (1) ) (2) (Trích đề số 21 của ĐTN-Mathlinks) x= y=0 Nhận thấy không là nghiệm của hệ phương trình x = ty Đặt , ta có: PT (1) ⇔ ty... 3 ≥ 0 2 2 ⇔ x2 + 3 − 4 x x 2 + 3 + 4 x2 ≥ 0 ⇔ ( x2 + 3 − 2x ) 2 ≥0 Bất phương trình cuối đúng Suy ra 3 1 + 3x 4 ≥ 2 x 2 + 2 x x 2 + 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x =1 Vì bất phương trình dấu lớn hơn Page 33 PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha S = ¡ \ { 1} Vậy tập nghiệm bất phương trình 2x2 + 4 y2 2 3 = 4 − ÷( x + y) − 1 xy y x 2 x... x+ y =0 (luôn dương vì không thoả mãn hệ pt) 9 x 2 − 14 xy + 6 y 2 1 14 xy − 6 y 2 x3 + y 3 x= x − + 2 ≥ + ( x + y) 9 x + xy + y 2 3 3 2 Xét PT(2), ta có: Page 22 PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha ⇔ 9 x 2 − 14 xy + 6 y 2 ≤ 2 x − y ⇔ 5( x − y ) 2 ≤ 0 ⇔ x = y ( x = 2x − x 2 x= y Thay vào PT(1), ta được: Vậy hệ phương trình có nghiệm ) 2 x = 1⇒ y = 1 x... ĐTN-Mathlinks) Điều kiện: ( x + 1)(y + 1) ≥ ( x+ y ) 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: Page 11 PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 20 = ( x + 1)( y + 1)( xy + 4) ≥ ( xy + 4) Huỳnh Kim Kha ( x+ y ) 2 Từ phương trình 1 của hệ, ta có: ⇒ ( x+ y ) 2 ≤ 20 xy + 4 Từ phương trình 2 ta có: 2 ( x+ y ) 2 = xy + 12 − x 2 y 2 + 24 xy ≤ ) ( 40 xy + 4 ⇔ ( xy + 4 ) xy + 12 − x 2 y 2 + 24... (4 + 4) 2 = 9( x 2 + y 2 ) + 64 = VP x= y Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Page 27 PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha PT (1) ⇔ x 3 + 7 x 2 + 16 x + 5 = (1 − 2 x) 3 −3x 2 − 7 x + 5 ⇔ ( x + 2)3 + x 2 + 4 x − 3 = (1 − 2 x) 3 (1 − 2 x )( x + 2) − ( x 2 + 4 x − 3 ) x= y Thay (*) vào phương trình 1 của hệ, ta có: a = x + 2; b = 3 (1 − 2 x)( x + 2) − ( x 2 + 4 x −...PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 t ∈ [ −1; 2] f (t) ≤ 2 Suy ra Huỳnh Kim Kha với mọi x ∈ [ −2; 2] x 2 − 2 x − 2 3 ( x 2 − 2 x)2 + 2 ≤ 2 Do đó: với mọi x = 0; x = ±2 Dấu “=” xảy ra ở (3) khi (3) x = 0; x = ±2 Từ (2) và (3) chúng ta có nghiệm của phương trình (1) là x = 0; x = ±2 Vậy phương trình trên có 3 nghiệm 2 x 2 + 30 xy = 5( x +... x − 2 y 3 = 3 − (4) x ≥2 y Page 16 PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 2 y − x + 3x − 2 y 3 ≤ Mà ⇒ Huỳnh Kim Kha 2 y − x + 1 + 3x − 2 y 3 + 1 2 2 y − x + 1 + 3x − 2 y 3 + 1 ≥2 2 ⇔ y + x ≥ y 2 + 1 ≥ 2 y ⇒ x ≥ y (5) x= y Từ (4) và (5), ta suy ra x = y =1 Dấu “=” xảy ra các bất đẳng thức khi ( x; y ) = (1;1) Vậy hệ phương trình có nghiệm 29 x3 − y 3 2 x3 + 3y = 2 + 3 2 . mãn hệ phương trình) Thay x y = vào phương trình 2: 3 3 1 2 2 1 x x x x x − + = + ÷ Điều kiện: 0x > Page 7 PT-BPT-HPT mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. . 3;9) − . Khi đó phương trình tương đương [ ] [ ] 2015 2015 2015 2015 2016 2016 2016 2016 (3 15) (9 3 ) 15 ( 4) 9 ( 4)x x x x+ + − = + − + − − (1) Với: [ ] 5;1x ∈ − , phương trình (1) tương. mới và hiện đại nhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015. Huỳnh Kim Kha 2. [ ] [ ] 2015 2015 2015 2015 2016 2016 2016 2016 (3 15) (9 3 ) 15 ( 4) 9 ( 4)x x x x+ + − = + − + − − (Trích Đề số