Phương pháp quy nạp cho bài toán chia hết

Một phương pháp giải bài toán chia hếtKhi gặp bài toán chứng minh F n .... Cụ thể các bước của phương pháp quy nạp là 1.. c Vậy ta có thể xem nó là một dạng khác của phương pháp quy nạp.

Một phương pháp giải bài toán chia hết

Khi gặp bài toán chứng minh F (n) A với n ∈ N ta vẫn thường sử dụng phương pháp quy nạp Cụ thể các bước của phương pháp quy nạp là

1 F (1) A

2 Giả sử F (n) A ta chứng minh F (n + 1) A.

Nhưng để ý rằng: Nếu a c thì b c ⇔ a − b c

Vậy ta có thể xem nó là một dạng khác của phương pháp quy nạp Tức

là để chứng minh F (n) A ta qua các bước

1 F (1) A

2 F (n + 1) − F (n) A

Sau đây ta xét một số bài toán áp dụng phương pháp trên

Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, n ≥ 1 thì

F (n) = 16n− 15n − 1 chia hết cho 225

Giải

Ta có ngay F (1) = 0 225.

Giả sử F (n) 225 ta chứng minh F (n + 1) − F (n) 225 Thật vây

F (n + 1) − F (n) = 15.16n− 15 = 15(16n− 1)

Vì 16n− 1 15 nên ta có F (n + 1) − F (n) 225 (đpcm).

Bài 2 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, n ≥ 1 thì

G(n) = 32n+3+ 40n − 27 chia hết cho 64

Ta có ngay G(1) = 256 64.

Giả sử G(n) 64 ta chứng minh G(n + 1) − G(n) 64 Thật vây

G(n + 1) − G(n) == 8.32n+3+ 40 = 8(32n+3+ 5)

Suy ra

G(n + 1) − G(n) 64 ⇔ F (n) = 32n+3

+ 5 8, ∀n ≥ 1, n ∈ N

Ta có F (1) = 248 8.

Giả sử F (n) 8 ta chứng minh F (n + 1) − F (n) 8.

Thật vậy

F (n + 1) − F (n) = 8.32n+3 8

Do đó, ta có G(n + 1) − G(n) 64 (đpcm).

Bài 3 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, n ≥ 1 ta có

1 10n+ 18n − 1 chia hết cho 27;

2 22n+1+ 1 chia hết cho 3;

3 10n− 4n+ 3n chia hết cho 9;

4 4n+ 15n − 1 chia hết cho 9;

Giải

1 Đặt F (n) = 10n+ 18n − 1

Ta có F (1) = 27 27.

Xét

F (n + 1) − F (n) = 9.10n+ 18 = 9(10n+ 2)

Nhận xét rằng

F (n + 1) − F (n) 27 ⇔ G(n) = 10n+ 2 3.

Có G(1) = 12 3 và G(n + 1) − G(n) = 9.10n 3

Dó đó, ta có F (n + 1) − F (n) 27 (đpcm).

2 Đặt H(n) = 22n+1+ 1 Ta có ngay

H(n + 1) − H(n) = 3.22n+1 3 (đpcm).

3 Đặt F (n) = 10n− 4n+ 3n Ta có

F (n + 1) − F (n) = 9.10n− 3.4n+ 3 = 3(3.10n− 4n+ 1) Suy ra

F (n + 1) − F (n) 9 ⇔ G(n) = 3.10n− 4n+ 1 3 Thật vậy, ta có

G(n + 1) − G(n) = 27.10n− 3.4n .3 Suy ra điều phải chứng minh

4 Đặt F (n) = 4n+ 15n − 1 Ta có

F (n + 1) − F (n) = 3.4n+ 15 = 3(4n+ 15) Suy ra

F (n + 1) − F (n) 9 ⇔ G(n) = 4n

+ 15 3 Thật vậy, ta có

G(n + 1) − G(n) = 3.4n 3 Suy ra điều phải chứng minh