Một số kinh nghiệm giúp học sinh tránh những sai lầm khi các giải bài toán Hình học tọa độ trong không gian.

A.Lý do chọn đề tài: - Toán học thường được xem là bộ môn khoa học căn bản, tuy vậy mỗi giờ họctoán thường rất căng thẳng và thường học sinh quan niệm rằng toán học lànhững công thức, qu

Một số kinh nghiệm giúp học sinh tránh những sai lầm khi các giải bài

toán Hình học tọa độ trong không gian.

A.Lý do chọn đề tài:

- Toán học thường được xem là bộ môn khoa học căn bản, tuy vậy mỗi giờ họctoán thường rất căng thẳng và thường học sinh quan niệm rằng toán học lànhững công thức, quy tắc,…

- Cùng một vấn đề, toán học bao giờ cũng có thể luận giải được bằng phươngpháp giải tích, phương pháp đại số, phương pháp hình học, hoặc bằng sự kếthợp của các phương pháp đó

-Với phương pháp toạ độ trong không gian chúng ta đã có sự kết hợp của tất cảcác phương pháp trên Việc làm này đã làm cho việc học hình học không bắtbuộc phải tự dạy cụ thể và trực quan với những hình vẽ không gian 3 chiều,tránh được tính trừu tượng, nhằm đạt tới sự khái quát hoá của hình học khônggian nói riêng và của toán học nói chung

- Lý thuyết của phương pháp toạ độ trong không gian bao gồm tất cả những lýthuyết của phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và những lý thuyết mở rộngtrong không gian với một khối lượng kiến thức đáng kể

- Bài tập của PP toạ độ trong KG rất đa dạng, số lượng tương đối nhiều Muốngiải tốt các bài tập này đòi hỏi học sinh phải biết nhận dạng các đối tượng cơbản của HHKG, biết tìm sự liên hệ giữa chúng, biết kết hợp giữa PP toạ độ vớiHHKG

- Do thời gian phân phối chương trình cho phần này còn hạn chế: Có những bài

cả lý thuyết và bài tập chỉ có 1 tiết Bản thân một số giáo viên chưa nhiều kinhnghiệm Đa số học sinh học toán với kỹ năng tính toán kém, tư duy tưởng tượngHHKG không có, kiến thức HHKG lớp 11 nắm không vững , chỉ coi trọng côngthức, chưa hiểu đúng vai trò của lý thuyết với bài tập …

- Qua nhiều năm giảng dạy và qua theo dõi các bài làm, bài kiểm tra của họcsinh tôi nhận thấy các em có những sai lầm phổ biến sau:

1) Về lý thuyết:

Do trương trình sgk được viết ngắn gọn nên:

- Học sinh dễ ngộ nhận tất cả những khái niệm có trong HH phẳng là có trongHHKG Ví dụ như véc tơ pháp tuyến của đường thẳng

- Học sinh không biết nhận ra sự giống và khác nhau gữa các công thức tínhtheo toạ độ của PP toạ độ trong KG và PP toạ độ trong mặt phẳng Dẫn đến tâm

lý căng thẳng cho rằng công thức phải thuộc là quá nhiều, khó nhớ

- Các em không biết xâu chuỗi các kiến thức liên quan trong nhiều bài khácnhau

Ví dụ: có thể tìm được vtpt của mặt phẳng, nhưng khi tìm vtcp của đường thẳngthì lại khó khăn

- Kiến thức lý thuyết ở mỗi bài thường nhiều và tương đối khó, nhưng thời gian

để phân tích, chứng minh cho hs hiểu sâu lại không có

2) Về bài tập:

- Học sinh không nhớ nhiều các kiến thức về PP toạ độ trong mặt phẳng có liênquan đến PP toạ độ trong KG nên khi áp dụng làm các bài tập cụ thể gặp khókhăn

- Học sinh thường sử dụng công thức một cách khuôn mẫu, không biết vậndụng triệt để các kiến thức của hình học KG lớp 11 có liên quan

Ví dụ như khi tính thể tích một hình chóp học sinh thường áp dụng máy móc

công thức tính : [( , ) , ]

6

1

AD AC

AB mà đôi khi không ngĩ tới công thức tính thể tíchhình chĩp : V= 1/6.h.dt(đáy)

Công thức được sử dụng đơn giản hơn nhiều

- Kỹ năng trình bày, diễn đạt của Hs chưa tốt Nhiều khi đứng trước một nộidung đã hiểu nhưng lại không biết diễn đạt như thế nào, hoặc nếu có thì diễn đạtkhông đủ ý, nhiều khi còn lủng củng

- Đa số các em không biết phân loại các dạng bài tập và các phương pháp chungcho từng loại bài tập đó Vì thế khi gặp các bài tập tương tự nhưng hỏi theocách khác các em lại tưởng như đó là một loại bài tập mới

- Đứng trước một bài tập mà giả thiết cho là những toạ độ, phương trình của cácđối tượng cơ bản trong KG, các em không biết liên hệ giữa giả thiết với kết luậnnhư thế nào Tức là không biết bắt đầu từ đâu, không biết sử dụng trí tưởngtượng HHKG để vẽ hình và tìm mối liên hệ giữa các đối tượng đó.

Từ những nhận định trên, tôi xin đưa ra một số giải pháp nhằm khắc phụcnhững thiếu sót của hs, giúp các em hiểu và giải được những bài tập loại này

Từ đó giúp các em phấn khởi hơn khi học môn Toán, tự tin hơn khi bước vào

kỳ thi học kỳ II, kỳ thi TN THPT, kỳ thi Đại học Những kỳ thi ma các bài tậploại này luôn luôn có

Đó là lý do tôi chọn đề tài trên

- Ngoài ra nếu không đổi mới phương pháp dạy thì không có thời gian để củng

cố các kiến thức liên quan và đưa ra các dạng bài tập thường gặp, đồng thời chỉ

rõ những dạng bài tập đó được vận dụng lý thuyết tương ứng nào

Chính vì vậy yêu cầu giáo viên khi dạy phần lý thuyết này trước hết phải phân

biệt cho học sinh rõ trọng tâm của mỗi bài, phải thể hiện cách ghi bảng sao chohọc sinh ghi ít nhất nhưng trong tâm nhất để tránh mất thời gian

*) Khi dạy các công thức tính theo toạ độ như : biểu thức toạ độ của tích vô

hướng, độ dài vec tơ, góc giữa hai véc tơ, toạ độ véc tơ tổng, hiệu hai véc tơ,điều kiện vuông góc giữa hai véc tơ, điều kiện cùng phương giữa hai véc tơ,

phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng, phương trìnhmặt cầu, phương trình đường tròn,…Giáo viên có thể đặt câu hỏi: Các côngthức trên có quen không? Có những công thức nào không giống trong hình họcphẳng? Giúp các em trả lời được các câu hỏi trên, như vậy giáo viên đã gợi chohọc sinh thấy được sự giống và khác nhau với các công thức tương tự ở phươngpháp toạ độ trong mặt phẳng Từ đó giúp học sinh dễ nhớ các công thức vàtránh nhầm lẫn khi vận dụng.

*) Giáo viên phải hướng dẫn học sinh xâu chuỗi các kiến thức có liên quantrong nhiều bài khác nhau để có hướng chọn phương pháp khi gặp một bài tập

VD: Khi nhận biết về 3 véc tơ đồng phẳng thì có thể sử dụng định nghĩa nếu bài

toán có hình vẽ cụ thể cho trước, nhưng cũng có thể sử dụng định lý về điềukiện đồng phẳng của 3 véc tơ ( SGK.HH12.trang 71, dựa và tích có hướng củahai vectơ ) nếu giả thiết cho các véc tơ với những toạ độ của chúng

*) Ở mỗi một kiến thức lý thuyết cụ thể giáo viên có thể gợi ý cho học sinh cácdạng bài tập áp dụng để từ đó khi bắt tay vào giải bài tập các em có định hướng

rõ ràng hơn

VD: Khi học về phương trình mặt phẳng gio vin cần cho học sinh biết rằng

một mặt phẳng xẽ xc định được khi biết một đường thẳng có hướng vuông gócvới nó và một điểm nằm trên mặt phẳng, để học sinh biết được khi viết mộphương trình mặt phẳng cần phải biết những yếu tố gì

*) Khi dạy có thể sắp xếp lại thứ tự trình bày của kiến thức trong SGK cho hợp

lý hơn với thực tế vận dụng kiến thức đó vào bài tập

VD: Khi xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong KG không nên chỉ ra việc

cho 2 đt bởi PTCT như SGK mà cho:

2 đt cùng phương ( song song hoặc trùng) và 2 đ thẳng không cùng phương( cắt hoặc chéo ), sau đó mới phân biệt rõ 2 vị trí tương đối trong mỗi khả năngtrên Qua quá trình phân tích, so sánh các vị trí tương đối của các đt đi tới kếtluận:

,

' :' :' : :

0

0M M u u

c b a c b a

+) (d) và (d’) chéo nhau   u,u M0M0'  0

Chú ý việc tính  u,u M0M0' chỉ thực hiện khi hai véc tơ chỉ phương không cùngphương, tránh những phần tính toán thừa

*) Đổi mới phương pháp trong mỗi giờ dạy: Nếu bài lý thuyết quá dài không

thể đủ thời gian cho việc chứng minh các đlý, công thức một cách kỹ lưỡng thì

gv có thể chủ động soạn , dạy bằng giáo án điện tử

( tránh mất thời gian ghi bảng của cả gv và hs)

Ngoài ra còn có thể sử dụng được những hình vẽ sinh động minh hoạ cho phầnchứng minh

Ví dụ:

*) Lập công thức tính thể tích của tứ diện:

So sánh thể tích của một tứ diện ABCD và thể tích của một khối hộp có

3 cạnh xuất phát từ đỉnh B là BA, BC, BD:

Coi ABCD là một hình chóp đỉnh A, đáy là ABC, BCED là một đáy của

Hình hộp, ta thấy hình chóp và hình hộp có cùng

chiều cao AH Nên:

VABCD = AH S BCD AH S ABCD

2

1 3

1

-khi dạy xong một phần lý thuyết, ngoài việc củng cố những lý thuyết cơ bản,trọng tâm của bài , gv cần định hướng cho hs những thể loại bài tập có thể sẽ

A

B C

D

H

E

D’ E’ C’

gặp mà vận dụng lý thuyết vừa học Nêu vấn đề về phương pháp để hs cóhướng về nhà tự tìm hiểu và giải bài tập Trong giờ bài tập gv cùng các em giảiquyết các vấn đề đó và cuối cùng chốt lại thành phương pháp cụ thể cho từngloại

VD: Khi học xong bài PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU, qua các ví dụ được thể

hiện trong bài gv có thể gợi ý cho hs nêu lại các dạng bài tập có thể hỏi Cụ thể

là những dạng bài tập sau:

+) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu cho bởi pt dạng:

x2 + y2 + z2 -2ax – 2by – 2cz + d = 0 (1)

+) Tìm điều kiện của tham số để pt dạng (1) là pt của một mặt cầu

+) Xác định tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của một mặtphẳng và một mặt cầu cho trước phương trình

+) Lập phương trình mặt cầu có tâm I(a;b;c) và tiếp xúc với mp (P) chobởi pt :Ax + By + Cz + D = 0

+) Lập pt mặt cầu đi qua 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng

+) Xét vị trí tương đối giữa một mặt cầu và một mặt phẳng đã cho pt.+) Viết pt tiếp diện của một mặt cầu cho trước tại một điểm cho trướchoặc tiếp diện song song với một mặt phẳng cho trước

Đồng thời nêu phương pháp cơ bản cho từng loại

- Khi ôn tập cần phân loại các dạng bài tập thường gặp khi thi, nhắc lại phươngpháp giải cho từng loại, cho bài tập hs giải để ghi nhớ phương pháp và rènluyện kỹ năng Cụ thể có những loại bài tập sau:

a) Viết pt của đường thẳng trong KG.

b) Viết pt của mặt phẳng:

Phương pháp chung:

Từ giả thiết tìm được toạ độ một điểm và VTPT của mặt phẳng , sau đó sử dụngcông thức: A(x – x0) + B(y - y0) + C( z – z0) = 0

Hoặc dùng VTPT viết pt mp ở dạng Ax + By + Cz + D = 0, thế toạ độ của điểm

mà mp đó đi qua vào pt để tìm D Từ đó kết luận pt của mp

c) Viết pt của mặt cầu:

d) Viết pt, xác định tâm và tính bán kính của đường tròn trong KG:

Phương pháp chung: Tìm được đường tròn là giao tuyến của một mặt phẳng và

một mặt cầu nào đó,suy ra pt đường tròn:

2 2

2 2 2

D Cz By Ax

d cz by ax z

y x

Lập hệ pt tìm toạ độ tâm H của đường tròn:

tC c z

tB b y

tA a x

sử dụng trực tiếp công thức k/c giữa 2 đt chéo nhau Khi 2 đt trùng nhau thì k/cgiữa chúng bằng 0

Nếu là k/c giữa 2 mặt phẳng song song thì tính bằng k/c từ một điểm bất kỳ củamặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

+) Xác định góc: Cách nhớ tóm tắt: Khi tính góc giữa hai đối tượng giống nhauthì tính côsin của góc đó còn tính góc giữa hai đối tượng khác nhau thì tính sin.+) Đôi khi còn dựa vào diện tích tam giác, thể tích khối hộp, thể tích khối chóp

để tính k/c giữa 2 đường thẳng chéo nhau, k/c từ một điểm đến một đườngthẳng, k/c từ một điểm đến một mặt phẳng…

g) Tìm chu vi, diện tích tam giác, thể tích khối hộp, thể tích tứ diện.

Phương pháp chung: Sử dụng toạđộ của các véc tơ, tích vô hướng, tích cóhướng của hai véc tơ, độ dài véc tơ và các công thức:

AB AC BC BA CA CB

2

1 ,

2

1 ,

, BB

, AA

' ' '

DC DB CD

CB BD

BC AC

AB

V

DC DA CD

CB BA

BC AD

AB V

h) Loại bài tập chứng minh:

+) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp: Lấy lần lượt trên hai đt hai véc tơ khác véc tơ không, tính tích vôhướng của chúng và khẳng định được bằng 0

+) Chứng minh hai đt song song

Phương pháp: Lấy lần lượt trên hai đt các véc tơ chỉ phương, dùng toạ độ chỉ rahai véc tơ đó cùng phương và không cùng nằm trên một đt

Phương pháp: Lấy trên đt một véc tơ chỉ phương a, trên mặt phẳng lấy cặp véc

+) Chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng :

Phương pháp: Lấy trên đt một véc tơ chỉ phương a, trên mặt phẳng lấy cặp véc tơ chỉ phương  b, c Chứng minh: đt không thuộc mặt phẳng và a b,c , từ đó kết luận

II)Thời gian thực hiện:

- Tiết: 22 23 24 25: Hệ toạ độ ĐềCác vuông góc trong KG- toạ độ củavéc tơ và của đểm

- Tiết: 26, 27, 28: Phương trình tổng quát của mặt phẳng

- Tiết: 32, 33, 34, 35, 36, 37: Phương trình của đường thẳng

- Ôn tập chương

- Tiếp tục ôn trong thời gian học phụ đạo và ôn tập cuối năm

III) Một số sai lầm của học sinh khi giải bài tập và cách khắc phục:

Ví dụ 1: Viết pt mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-1;2;3) và có VTPT n( 4 ; 5 ; 6 )

Bài giải của HS Sai lầm – Cách khắc

0 ) 6 ( 3 ) 5 ( 2 )

x

z y

*) Khắc phục:

Để tránh sự nhầm lẫn này

Mặt phẳng (P) cóVTPT n( 4 ; 5 ; 6 ) nên có

pt dạng:

4x+5y +6z + D =0Điểm M (-1;2;3) thuộc(P) nên ta có :

4.(-1) +5.2 + 6.3 + D =

gv hướng dẫn học sinh sửdụng cách giải khác:

Sử dụng toạ độ VTPT viết

pt mp về dạng:

Ax+By+Cz+D=0Sau đó thế toạ độ củađiểm M vào pt tìm D rồikết luận ptmp

Bài tập tương tự: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;-2;5) và

vuông góc với đường thẳng có phương trình:

1 1

3 5

1

1 - z 3

9 - y 4

 là hình chiếu vuông góc của   trên mặt phẳng 

Bài giải của HS Sai lầm – Cách khắc phục Bài giải đúng

3

1

1 3

9 4

12

z y x

z y

và một VTPT của nó

Vì thế đã dùng một véc tơvuông góc với đt làm VTPT

và viết pt kiểu như phươngtrình tổng quát của đt trongmặt phẳng

3

1

1 3

9 4

12

z y x

z y

x

Tìm được nghiệm là ( 0;0;-2)

KG có thể vuông góc vớinhiều đt có phương khácnhau.

Sử dụng hình vẽ để minhhoạ điều này:

Từ đó phân tích để hs hiểuđược sự xác định của đt  '

Mp   đi qua điểm I

0 22 11 7

0 2 5

3

z y x

z y x

Bài tập tương tự: Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đt (d) :

114

Ví dụ 3: Lập phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng:

(d) :

1

9 2

3 1

1 7

và (d) suy ra (P) là

mp chứa (d) vàvuông góc với (d’),như vậy là đã ngộnhận rằng (d’) luôngóc với (d) Thực tế

2 đt (d) và (d’) giảthiết cho có thểvuông góc với nhaucũng có thể không,

và ở bài này làkhông

Tương tự hs đã sailầm ở sự xác địnhmặt phẳng (Q)

*) Khắc phục: GV

hướng dẫn hs :Trước hết phải kiểmtra xem (d) và (d’)

u d,u d' ( 8 ; 4 ; 16 )

Hay u 2 ; 1 ; 4

Gọi (P) là mp chứa   và (d) suy

ra (P) là mp qua M0 và nhận VTPTlà:  ,  ( 9 ;  6 ;  3 )



u

) 1

; 2

; 3 (  

Gọi (Q) là mp chứa   và (d’).Như vậy mp (Q) qua M0’ và cóVTPT  ' ,  ( 5 ; 34 ;  11 )



u

(Q) :5(x -3) + 34(y -1) -11 (z -1) = 0

0 16 3

em là đúng Cònnếu chúng chéonhau và khôngvuông góc thì thôngqua hình vẽ: Giả sử

đt   đã dựngđược

với   là đườngvuông góc chungcủa d và d’suy ra

  có VTCP là

u d,u d' ( 8 ; 4 ; 16 )

Tiếp đến gv chỉ racho hs thấy mp (P)chứa   và (d)chính là mp chứa

M0 và song song vớiphương của u nênnhận VTPT là

 u d,u  Tương tựcho mp (Q) qua M0’

và nhận VTPT là

 u d' ,u .Hoặc có thể viết

0 6 2

3 :

0 38 11 34 5

z y x

z y x pt

Q P

z y x

*) Cách 2: Gọi HK là đoạn vuông

góc chung của (d) và (d’) H thuộc(d) , K thuộc (d’)

t y

t x

9

2 3

s y

s x

3 1

2 1

7 3

 7 ; 2 ; 3

 u d

H là một điểm thuộc (d) và K làmột điểm thuộc (d’) suy ra:

t t t H

3 8

; 2 2 2

; 7 4

3 1

; 2 1

; 7 3

9

; 2 3

; 7

u KH

) 1

; 1

; 3 ( );

9

; 3

; 7 (

0

0 0

62 6 0

0 ) 3 8 ( 3

) 2 2 2 ( 2 ) 7 4 ( 7

0 ) 3 8 (

) 2 2 2 ( 2 ) 7 4 (

K H

s

t s

t

s t

s t

s t s

t

s t

s t s

phương trình đườngvuông góc chung

HK bằng cách tìm

cụ thể toạ độ của 2đầu đoạn vuông gócchung, với 2 giảthiết H,K lần lượtthuộc (d), (d’)và

HK cùng vuông gócvới (d), (d’).Từ đóviết pt của   theokiểu pt đt đi qua 2điểm phân biệt

Hướng dẫn hs thứ

tự trình bày bàitoán

t y

t x

4 9 3

2 7

Bài tập tương tự: Viết pt đường vuông góc chung của 2 đt (a) và (b)

(a) :

1

2 3

1 2

2 1

2 2

1 :     

trong KG Chưa hiểuđúng về vị trí đối xứngnày Không chỉ cần điều

M’

 