PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ DỰ KIẾN Đ Ề THI HS GIỎI TOÁN - LỚP 9 TRƯỜNG THCS MỸ HOÀ Năm học : 2010-2011- Thời gian 150 phút *************** Câu 1: Giải phương trình /x+1/ +3/x -1/ = x +2+ /x/ +2/x-2/ (3 đ) Câu2 :Chứng minh rằng : 2002 2002 2002 2002 1 2 3 2002+ + + + chia hết cho 11 (3đ) Câu3 : Chứng minh rằng nếu a,b,c là số đo ba cạnh của một tam giác thì : 2 a b c b c a c a b + + < + + + (3 đ) Câu 4:Rút gọn biểu thức A 2 3. 2 2 2 3 . 2 2 2 3= + + + + − + + . 2 2 3+ + (3 đ) Câu5: Một tam giác có số đo ba đường cao là những số nguyên và đường kính đường tròn nội tiếp bằng 1 .Chứng minh rằng tam giác đó đều . (4 đ) Câu 6: Chứng minh rằng tam giác có một đỉnh là giao điểm của hai cạnh đối c ủa một tứ giác lồi ,hai đỉnh kia là trung điểm hai đường chéo tứ giác đó có diện tích bằng ¼ diện tích tứ giác . (4 đ) H ết Đ ÁP ÁN V À THANG ĐI ỂM CH ẤM TO ÁN 9 C âu 1: Ta c ó x+1=0 ⇔ x= -1 x-1=0 ⇔ x=1 x-2 =0 ⇔ x=2 Lần lượt xét pt trong các khoảng sau :x <-1 , 1 x− ≤ <0 , 0 x≤ <1 , 1 x≤ <2 , 2 x≤ Khi x<-1 từ pt đã cho ⇒ và giải được x= -2 thoả đk Khi 1 x − ≤ <0 từ pt đã cho ⇒ 0x=2 pt vô nghiệm (1,5đ) Khi 0 x≤ <1 từ pt đã cho ⇒ và giải được x=-1 không thoả đk Khi 1 x ≤ <2 từ pt đã cho ⇒ và giải được x= 2 không thoả đk Khi 2 x≤ từ pt đã cho ⇒ và giải được 0x= 0 pt v ô s ố nghi êml ,v ậy 2 x≤ Kết luận nghiệm của pt là x=-2 và 2 x ≤ (1,5) Câu2 Theo định lí fermat 11 (mod11)a a≡ ⇒ 2002 (mod11)a a≡ (0,5đ) 2002 1 (mod11)≡ 2002 2 (mod11)≡ ……………. ……………. ……………. 2002 2002 (mod11)≡ (1đ) Vậy 2002 2002 2002 2002 1 2 3 2002+ + + + =(1+2+….+2002)(mod11) =(1+2002).1010(mod11) = 0(mod11) (1đ) Do dó tổng chia hết cho 11 (0,5đ) Câu3 Ta có 1 x x x k y y y k + < ⇒ < + (với x,y>0) (0,5đ) Do đó a a a b c a b c + < + + + b a c b b a b c + + < + + c c c a b a b c + < + + + (1đ) cộng 3 bdt trên ta được a b c b c a c a b + + + + + < 2 2 2a b c a b c a c b a b c + + + + + + + + (1đ) < 2( )a b c a b c + + + + < 2 (0,5đ) Câu 4 Ta có 2 2 2 3 . 2 2 2 3+ + + − + + = 2 2 3− + (1,5 đ) Vậy A = 2 2 3 . 2 2 3. 2 3+ + − + + = 2 3. 2 3+ − =1 (1,5 đ) Câu 5 A Đặt BC=a ,AC=c ,AB=c Gọi x, y,là độ dài các đường cao ứng với các cạnh a,b,c của tam giác ABC .Vì bán kính đt nội tiếp bằng 1nên x,.y,z>2 B j C Gỉa sử 2x y z≥ ≥ > Diện tích tam giác ABC :S=1/2xa =1/2by=1/2cz (1) mặt khác S= 1 ( ) 2 ABO AOC BOC a b c S S S + + = + + (2) (1 đ) tù (1)và (2) suy ra a+b+c= 1 1 1 1 1 1 a b c a b c x y z x y z + + = = = + + (1 đ) Suy ra 1 1 1 3 1 3 3 x y z z z z + + = ≤ ⇒ ≤ ⇒ = 1 1 1 1 1 2 1 3x y z x y + + = ⇒ + = hay 3(x+y)=2xy (1 đ) Suy ra (2x-3)(2y-3)=9.1 suy ra x=3,y=3 hoặc x=6,y=2 (loại ) Vậy x=y-z=3 khi đó a=b=c (1 đ) CÂU 6 Gọi M,N là trung điểm củ 2đường chéo BD,AC của tứ giác ABCD ,E là giao điểm của AD,BC Ta có EMN EDC EMD ENC DMC MNC S S S S S S = − − − − (1 Đ) 1 2 1 1 1 2 2 2 EDC MAC EBD EAC DBC S S S S S = − − − − (1 Đ) = ) 1 ( 2 EBD DBC EDC S S S − − + ) 1 ( 2 EAC AMC DEC S S S − − (1 đ) = 0 1 ) 4 1 ( 2 CDM ABCD ADM S S S + + = (1 đ) E D C . PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ DỰ KIẾN Đ Ề THI HS GIỎI TOÁN - LỚP 9 TRƯỜNG THCS MỸ HOÀ Năm học : 2010-2011- Thời gian 150 phút *************** Câu 1: Giải phương. ⇒ và giải được x= -2 thoả đk Khi 1 x − ≤ <0 từ pt đã cho ⇒ 0x=2 pt vô nghiệm (1,5đ) Khi 0 x≤ <1 từ pt đã cho ⇒ và giải được x=-1 không thoả đk Khi 1 x ≤ <2 từ pt đã cho ⇒ và. đường chéo tứ giác đó có diện tích bằng ¼ diện tích tứ giác . (4 đ) H ết Đ ÁP ÁN V À THANG ĐI ỂM CH ẤM TO ÁN 9 C âu 1: Ta c ó x+1=0 ⇔ x= -1 x-1=0 ⇔ x=1 x-2 =0 ⇔ x=2 Lần lượt xét pt