Chương 7 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT CÁC ĐIỂM CỦA THANH 7.1 CÁC TIÊN ĐỀ CƠ SỞ 1- Đặt vấn đề Để đánh giá khả năng làm việc của vật thể, ta cần xác đònh các ứng suất lớn nhất. Muốn vậy ta cần biết được trạng thái ứng suất của mọi điểm thuộc vật. Như đã trình bày trong phần 1 mục 5.2.1 chương 5, để biết được TTƯS tại mỗi điểm, ta cần biết được ứng suất trên 3 mặt cắt vuông góc nhau đi qua điểm khảo sát. Cần nhắc lại mô hình vật thể nghiên cứu trong giáo trình là thanh. Từ mục 5.1.5 chương 5 ta đã biết cách xác đònh các thành phần nội lực trên mặt cắt vuông góc với trục thanh sau khi biết toàn bộ hệ ngoại lực. Vấn đề tiếp theo cần được giải quyết trong chương này là tìm các thành phần ứng suất như hàm của các thành phần nội lực và của tọa độ. Để giải quyết vấn đề này người ta phải kết hợp khảo sát thực nghiệm với dẫn dắt lý thuyết. Trên cơ sở các kết luận rút ra được từ thực nghiệm người ta đưa ra các tiên đề về quan hệ giữa nội lực và ứng suất, giữa ứng suất và biến dạng, và về đặc điểm biến dạng gây bởi các thành phần nội lực. 2- Nguyên lý cộng tác dụng Nguyên lý cộng tác dụng, hay còn có tên là nguyên lý độc lập tác dụng phát biểu ở dạng tổng quát như sau: "Tác dụng của một hệ lực bằng tổng tác dụng của các lực thuộc hệ lực". Với nguyên lý này ta suy ra: 1- Biểu đồ nội lực của một hệ ngoại lực bằng tổng biểu đồ nội lực của từng ngoại lực. 2- Ứng suất (biến dạng) bằng tổng ứng suất (biến dạng) gây bởi từng thành phần nội lực riêng rẽ. Nhờ nhận đònh này mà vấn đề xác đònh ứng suất (biến dạng) được tách thành các bài toán xác đònh chúng khi mà trên các mặt cắt trên suốt chiều dài thanh chỉ có một loại thành phần nội lực. Trong kỹ thuật người ta gọi trường hợp thanh chòu tác dụng của hệ ngoại lực sao cho trên các mặt cắt chỉ có một loại thành phần nội lực nào đó là trường hợp chòu lực đơn giản. Các trường hợp chòu lực đơn giản có các tên gọi sau: a) Kéo (nén) đúng tâm, khi trên mặt cắt chỉ tồn tại thành phần N z ≠ 0. Nếu N z > 0, thì thanh chòu kéo đúng tâm, khi N z < 0 thì thanh chòu nén đúng tâm; b) Uốn thuần túy, khi trên mặt cắt chỉ tồn tại thành phần M x (hoặc M y ) khác không; c) Xoắn thuần túy, khi trên mặt cắt chỉ có M z khác không; d) Cắt, khi trên mặt cắt, hệ nội lực tương đương với 1 lực nằm trong mặt cắt có đường tác dụng đi qua khối tâm. Khi trên mặt cắt hệ nội lực chứa từ 2 thành phần trở lên thì ta nói rằng thanh chòu lực phức tạp. Để tính ứng suất (hay biến dạng) khi thanh chòu lực phức tạp, ta tính ứng suất (hay biến dạng) gây bởi từng thành phần nội lực, rồi cộng các thành phần ứng suất (hay biến dạng) tương ứng với nhau. Riêng trong trường hợp trên mặt cắt thanh hệ nội lực cho lực cắt và ngẫu lực mômen uốn cùng nằm trong 1 mặt quán tính chính trung tâm (Q y và M x hay Q x và M y ) thì thực nghiệm cho thấy không thể dùng nguyên lý độc lập tác dụng. Trường hợp thanh chòu lực như vừa nêu trên, gọi là chòu uốn ngang phẳng, được xét riêng. 3- Đònh luật Húc Trong kỹ thuật người ta công nhận giả thiết cho rằng trong quá trình làm việc thực tế thì đặc tính cơ học của vật liệu tuân theo đònh luật Húc (mục 5.4 chương 5), có nghóa cho rằng quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là tuyến tính và không tồn tại biến dạng dư sau khi ngoại lực thôi tác dụng. Vật liệu tuân theo đònh luật Húc được gọi là vật liệu đàn hồi tuyến tính. Lưu ý các kết quả thực nghiệm (trình bày trong phần 1 mục 6.1 chương 6) thì giả thiết này chỉ có thể được chấp nhận trong trường hợp giá trò biến dạng và ứng suất còn bé. Do vậy các công thức được thiết lập trên cơ sở đònh luật Húc, bao gồm các công thức thiết lập để tính ứng suất đưa ra trong chương này, chỉ đúng trong trường hợp thanh khảo sát dưới tác dụng của tải trọng có biến dạng bé. 4- Tiên đề mặt cắt ngang phẳng Quy luật biến thiên giá trò (hay gọi là quy luật phân bố) của các thành phần ứng suất trên mặt cắt có thể được quy đònh trước dựa và kết quả quan sát thực nghiệm về đặc điểm biến dạng. Một trong hai tiên đề về đặc điểm biến dạng của thanh được trình bày trong mục này là tiên đề mặt cắt ngang phẳng như sau "Các điểm nằm trên cùng một mặt cắt vuông góc với tiếp tuyến trục thanh trước khi thanh bò biến dạng thì sẽ tiếp tục nằm trong cùng một mặt phẳng vuông góc với tiếp tuyến trục thanh sau khi thanh bò biến dạng". Nhờ tiên đề này mà khi thực hiện thí nghiệm, thay vì phải khảo sát sự di chuyển của mọi điểm nằm trên tiết diện thì ta chỉ cần khảo sát sự di chuyển của các điểm nằm trên chu vi của hình phẳng tiết diện bằng cách khảo sát đường kẻ trên bề mặt thanh vuông góc với trục thanh. Tiên đề này thực ra không phù hợp cho trường hợp thanh ở trạng thái chòu lực uốn ngang phẳng. 5- Tiên đề các thớ dọc Để đưa ra tiên đề này, người ta quan niệm thanh được ghép lại bởi các sợi có cùng chiều dài, gọi là các thớ dọc. Tiên đề được phát biểu như sau: "Trong quá trình thanh bò biến dạng thì các thớ dọc không xô đẩy lẫn nhau". Nhờ tiên đề các thớ dọc mà ta cho rằng các thành phần ứng suất gây ra các biến dạng nằm trong mặt cắt bằng không, tức ta có được: σ = σ = τ = x y xy 0 (7.1) Vậy khi nghiên cứu lập biểu thức ứng suất của thanh ta chỉ quan tâm thiết lập biểu thức cho các thành phần ứng suất , , z zx zy σ τ τ (lưu ý quy đònh thiết lập hệ trục tọa độ xyz như trong phần 1 mục 5.4 chương 5). Kết hợp hai tiên đề về mặt cắt ngang phẳng và các thớ dọc cho phép chúng ta nhận đònh rằng khi thanh bò biến dạng thì các tiết diện thanh trước khi thanh bò biến dạng vuông góc với tiếp tuyến trục thanh (hay vuông góc với trục thanh nếu trục thanh là thẳng) sẽ chuyển động như một hình phẳng rắn tuyệt đối. Vấn đề là cần khẳng đònh tiếp trong các trường hợp chòu lực khác nhau thì các tiết diện thực hiện dạng chuyển động nào. Trình tự chung để lập biểu thức các thành phần ứng suất còn lại của thanh như sau: Bước 1: Dựa vào quan hệ giữa các thành phần ứng suất và thành phần nội lực (công thức 5.14) tiến hành thí nghiệm quan sát quy luật chuyển động, tức dạng chuyển động, của các tiết diện của thanh ở các trạng thái chòu lực mà tạo ra trên mặt cắt thanh các thành phần ứng suất tương ứng. Bước 2: Thiết lập biểu thức biến dạng như hàm của chuyển vò của tiết diện và tọa độ điểm khảo sát. Bước 3: Sử dụng đònh luật Húc (công thức 5.38) lập biểu thức ứng suất như hàm của chuyển vò của tiết diện và tọa độ của điểm. Bước 4: Sử dụng quan hệ giữa các thành phần nội lực và các thành phần ứng suất (công thức 5.14) để thiết lập biểu thức của chuyển vò tiết diện như hàm của nội lực. Bước 5: Sau khi có hàm của chuyển vò phụ thuộc vào nội lực, sử dụng biểu thức thiết lập ở bước 3 để viết lại biểu thức ứng suất như hàm của các thành phần nội lực trên tiết diện và tọa độ của điểm khảo sát. Trong mục 7.2.1. và phần 1 mục 7.3.2 tiếp theo, khi thiết lập biểu thức tính ứng suất pháp σ z và ứng suất tiếp trên tiết diện tròn gây bởi thành phần nội lực M z , ta sẽ sử dụng trình tự vừa nêu trên. 7.2 BIỂU THỨC TÍNH ỨNG SUẤT PHÁP σ σσ σ Z 7.2.1 Lập biểu thức Bước 1: Trong số các công thức ở (5.14) thì các công thức sau đây cho ta quan hệ giữa σ z với các thành phần nội lực: z z A N dA = σ ∫ (a) x z A M y dA = σ ∫ (b) y z A M x dA = − σ ∫ (c) Áp dụng nguyên lý độc lập tác dụng ta có thể tính riêng cho trường hợp chỉ có N z khác không, tính riêng cho trường hợp chỉ có M x khác không, và tính riêng cho trường hợp M y khác không, tức khảo sát các trường hợp chòu lực đơn giản độc lập nhau, rồi cộng các kết quả σ z của ba trường hợp đó lại với nhau. Cách thực hiện như vậy rất hay gặp trong các giáo trình Sức bền vật liệu. Để ngắn gọn, trong giáo trình này ta sẽ xét trường hợp tổng quát khi tồn tại trên các mặt cắt của thanh cả ba thành phần nội lực , , z x y N M M . Trường hợp thanh chòu lực như vậy có tên là chòu kéo (nén) lệch tâm. Khảo sát chuyển động của các tiết diện thanh khi thanh chòu kéo (nén) lệch tâm, khi biến dạng thanh còn bé thì thực nghiệm cho phép giả thiết chuyển động của chúng là hợp của ba chuyển động cơ bản sau: - Chuyển động tònh tiến dọc theo trục thanh (để đơn giản ta cho rằng trục thanh trước biến dạng là thẳng), chuyển vò trong chuyển động này ký hiệu là dl o (H.7.1). Hình 7.1: Chuyển vò của tiết diện thanh chòu kéo lệch tâm - Chuyển động quay quanh trục x, chuyển vò quay thể hiện bởi góc quay x d θ . - Chuyển động quay quanh trục y với chuyển vò y d θ . Bước 2. Thiết lập biểu thức biến dạng dài tại một điểm H có tọa độ x, y của tiết diện: chuyển vò của điểm H là hợp của chuyển vò của nó khi tiết diện thực hiện ba chuyển động. Ta ký hiệu véctơ chuyển vò của điểm H là δ uur H l , thì ( ) ( ) ( ) H H H H o x y l l dl l d l d δ = δ + δ θ + δ θ uur uur uur uur (d) trong đó ( ) H o l dl δ uur - chuyển vò của điểm H trong chuyển động tònh tiến của tiết diện, có phương theo phương của trục z, và có giá trò: ( ) H o o l dl dl δ = (e) ( ) H x l d δ θ uur - chuyển vò của điểm H trong chuyển động quay của tiết diện quanh trục x. Một cách gần đúng ta có thể cho chuyển vò này theo phương trục z, và có giá trò: ( ) . H x x l d y d δ θ = θ (f) ( ) H y l d δ θ uur - chuyển vò của điểm H trong chuyển động quay của tiết diện quanh trục y. Gần đúng, ta có thể cho rằng chuyển vò này theo phương trục z, lưu ý chiều dương quy đònh như trên hình 7.1 thì giá trò ( ) H y l d δ θ sẽ có dấu âm ( ) H y y l d x d δ θ = − θ (g) Vậy chuyển vò của điểm H, cho kết quả của (e) ÷ (g) vào biểu thức d), sẽ theo phương z và có giá trò bằng: H o x y l dl yd xd δ = + θ − θ (h) Cho khoảng cách giữa điểm H với một điểm lân cận kề nó theo phương z trước khi biến dạng là dz, thì biến dạng dài tuyệt đối của khoảng cách giữa chúng khi tiết diện chứa điểm H chuyển động sẽ được xác đònh bởi biểu thức h). Vậy biến dạng dài tương đối tại H theo phương z, tức z ε , bằng: y o x H z d dl d l y x dz dz dz dz θ θ δ ε = = + − (7.2) Bước 3. Biểu thò z σ như hàm của chuyển vò của tiết diện: Từ công thức 3 trong công thức (5.38), lưu ý các công thức (7.1) và (7.2) ta có: y o x z d dl d E y x dz dz dz θ   θ σ = + −     (7.3) Bước 4. Lập biểu thức tính các chuyển vò tương đối của tiết diện như hàm của các thành phần nội lực: cho biểu thức (7.3) vào các công thức (a), (b), (c). Lưu ý , , , y o x d dl d E dz dz dz θ θ không phụ thuộc tọa độ của điểm trên tiết diện, vậy các công thức (a) ÷ (c) trở nên:  θ θ  = + −   θ θ  = + −    θ θ  = − − +   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ y o x z A A A y o x x A A A y o x y A A A d dl d N E dA E ydA E x dA dz dz dz d dl d M E y dA E y dA E xy dA dz dz dz d dl d M E x dA E xy dA E x dA dz dz dz 2 2 (7.4) Trong hệ phương trình (7.4) các biểu thức tích phân chính là các đặc trưng hình học của mặt cắt. Với cách xây dựng hệ trục tọa độ theo quy đònh trong phần 1 mục 5.4 chương 5 thì hệ trục oxyz là hệ trục quán tính chính trung tâm. Ta có: ;  = =     = =   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ A A A A y x A A dA A ; ydA = xdA = xydA x dA J ; y dA J 2 2 0 (7.5) chú ý các kết quả (7.5), thì hệ (7.4) trở nên: . . .  =   θ  =   θ  =   o z x x x y y y dl N E A dz d M E J dz d M E J dz (7.6) Từ ba phương trình (7.6) ta tìm được 3 ẩn , , y o x d dl d dz dz dz θ θ = o z dl N dz EA (7.7) x x x d M dz EJ θ = (7.8) y y y d M dz EJ θ = (7.9) Trong các công thức (7.7) ÷ (7.9) thì: - EA gọi là độ cứng chống kéo (nén) - x y EJ EJ , gọi là các độ cứng chống uốn Bước 5. Viết biểu thức xác đònh σ z như hàm của các thành phần nội lực: sử dụng các biểu thức (7.7) ÷ (7.9) ta viết lại công thức (7.3): y z x z x y M N M y x A J J σ = + − (7.10) 7.2.2 Khảo sát phân bố giá trò σ σσ σ z trên tiết diện Công thức (7.10) cho thấy giá trò σ z tại mỗi tiết diện là hàm bậc nhất của tọa độ x, y về vò trí của điểm khảo sát trên tiết diện. Chúng ta sẽ khảo sát sự biến thiên giá trò σ z trên tiết diện gây bởi từng thành phần nội lực , , z x y N M M và tổ hợp của chúng. 1- Kéo (nén) đúng tâm Sau đây ta sẽ xét sự phân bố ứng suất trên tiết diện khi chỉ có thành phần N z khác không. Nếu trên mọi mặt cắt của thanh chỉ có giá trò của N z thì như trong phần 2 mục 7.1 ta có trường hợp thanh chòu lực đơn giản có tên gọi là chòu kéo (nén) đúng tâm. Khi trên mặt cắt chỉ có thành phần N z khác không, thì biểu thức (7.10) trở nên: z z N A σ = (7.11) Lúc này ứng suất tại mọi điểm trên mặt cắt như nhau, tức nội lực N z được phân bố đều như trên hình 7.2b. Trong thực tế, ta gặp thanh chòu kéo (nén) đúng tâm trong các trường hợp sau: Hình 7.2 Biểu đồ phân bố z σ a) Thanh chòu tải trọng tác dụng theo phương dọc trục. b) Ống trụ thành mỏng chòu áp suất. Sau đây ta sẽ thiết lập biểu thức ứng suất cho trường hợp ống trụ thành mỏng chòu áp suất. Sẽ có 2 loại ống chòu áp suất: ống hở và ống kín. b.1. Ống trụ hở Ta gọi ống trụ chòu áp suất là hở khi chiều dài b của ống rất lớn so với đường kính 2r của ống (H.7.3a). Lúc này bỏ qua biến dạng dài dọc trục (tức cho z σ = 0 ), và coi như áp suất tác dụng lên thành ống theo phương hướng kính (H.7.3b). Nếu ta cắt tưởng tượng ống trụ bằng mặt cắt chứa đường kính (H.7.3c), thì vì tính chất đối xứng của ống trụ, ứng suất trên các tiết diện a–a, b–b của mặt cắt chỉ có thể hướng theo phương vuông góc mặt cắt. Ta ký hiệu các ứng suất này là θ σ và gọi là ứng suất vòng. Khi bề dầy ống trụ rất bé so với đường kính t r   ≤     1 10 ta có thể coi θ σ phân bố đều trên a–a, b–b. Để tính θ σ ta dùng phương trình cân bằng lực theo phương y của nửa ống trụ: sin iy i F tb pbrd π θ = ⇔ − σ + θ θ = ∑ ∫ 0 0 2 0 [...]... trong công thức (7.43) và (7.44) là các đại lượng phụ thuộc tỷ số b/t cho trong bảng 7 .2 Bảng 7 .2 b/t 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4 6 8 10 ∞ α 0 ,20 8 0 ,23 1 0 ,23 9 0 ,24 6 0 ,25 6 0 ,26 7 0 ,28 2 0 ,29 9 0,307 0,313 0,333 γ 1,000 0,859 0, 820 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,7 42 0,7 42 0,7 42 7.3.3 Cắt ur Sau đây ta thiết lập biểu thức tính ứng suất tiếp khi trên mặt cắt chỉ tồn tại lực cắt Q, cho rằng Q có phương bất kỳ, không... 7 .20 b Hình 7 .20 : Tách phân tố để thiết lập công thức tính τzy Lực tác dụng lên phân tố bao gồm: ° Trên mặt (1): (σz)1, (τzx)1, (τzy)1 ° Trên mặt (2) : (σz )2, (τzx )2, (τzy )2 Trên mặt almd do đònh luật đối ứng ứng suất tiếp có ứng suất tiếp với độ lớn tuyệt đối bằng τzy nhưng tác dụng theo phương của trục z Trên hình 7 .20 b, ta ký hiệu ứng suất tiếp trên mặt almd bằng ký tự τzy ° Trong quá trình chứng... thanh chòu kéo đúng tâm b .2 Ống trụ kín Nếu 2 đầu ống trụ được bòt kín thì áp lực tác dụng lên 2 mặt đáy sẽ tạo ra thêm thành phần ứng suất dọc trục, ký hiệu σz, và gọi là ứng suất dọc trục (H.7.5a) Điều kiện cân bằng lực theo phương z giữa ứng suất tác dụng lên thành ống với áp suất trên mặt đáy cho ta phương trình: πr2 p = 2 rt.σ z Từ đây suy ra: σz = pr 2t (7.13) Trạng thái ứng suất của 1 điểm khi... chòu cắt chỉ xảy ra khi thanh chòu tác dụng của 2 lực cùng phương ngược chiều tại 2 mặt cắt rất gần nhau, cách nhau khoảng ∆l (H.7.18) Lúc này mặt cắt giữa 2 đường tác dụng của lực sẽ có nội lực gồm 2 thành phần là lực cắt và mômen uốn Song vì khoảng cách rất bé nên thành phần của mômen uốn có thể được bỏ qua Quan sát biến dạng thanh có thể đưa đến kết luận rằng ứng suất tiếp có ur phương chiều của Q... thẳng Hoàn toàn tương tự như đã phân tích trong phần 2 mục 7 .2. 2, đường trung hòa chia tiết diện làm hai phần, một phần có σz mang dấu (+), tức chòu kéo, một phần có σz mang dấu (–), tức chòu nén Các điểm nằm xa đường trung hòa nhất về phía kéo chòu ứng suất kéo lớn nhất nhất ( σn,max ) ( σk,max ) , các điểm nằm xa đường trung hòa nhất về phía nén chòu ứng suất nén lớn (các điểm D, B trên hình 7.9)... bên của phân tố trên hình 7 .20 b Điều kiện cân bằng lực của phân tố trên phương z cho ta: ∑F iz = 0 ⇔ −τ zy b( y) dz − ∫ A ( y) Vậy τ zy b( y) dz = ∫ (σ z)1 dA + ∫ (σ z )2 dA = 0 A ( y) (7.46) [ (σ z )2 − (σ z )1 ]dA A ( y) Áp dụng công thức (7.14), ta có: (σ z)1 = y ( M x )2 ( M x )1 ;(σ z )2 = y (7.47) Jx Jx với (Mx)1, (Mx )2 lần lượt là mômen uốn trên mặt 1 và 2, ngoài ra: (Mx )2 = (Mx)1 + dMx (7.48) Chú... tiết diện tồn tại lực cắt Qx, Qy và mômen xoắn Mz Tuy nhi n khảo sát thực nghiệm cho thấy phương véctơ ứng suất tiếp gây bởi các thành phần nội lực khác nhau rất khác nhau Do vậy việc sử dụng biện pháp khảo sát như đã sử dụng trong mục 7 .2 để xác đònh σz là không phù hợp Đối với việc lập biểu thức ứng suất tiếp, ta sẽ dùng nguyên lý độc lập tác dụng, xét riêng từng trường hợp chòu lực đơn giản: xoắn... suy ra: 2 θ tb = − pbr cos θ σθ = pr t π 0 (7. 12) = 2 pbr Hình 7.4: Trạng thái chòu lực của thành ống trụ hở thành mỏng chòu áp suất Tưởng tượng cắt ống trụ trên (H.7.3a) bằng 1 mặt cắt chứa đường kính trục trên 1 thành của nó (H.7.4a) và tách nhẹ 2 mép ra Ta sẽ được 1 tấm chiều dài 2 r , rộng b, dày t, chòu kéo với ứng suất pháp phân bố đều trên tiết diện b × t, có giá trò bằng σθ tính theo (7. 12) (H.7.4b)... tại hai phần chòu kéo và nén Còn khi trên tiết diện có cả ba thành phần Nz, Mx, My thì có khả năng mọi điểm trên tiết diện có σz cùng một dấu 7 .2. 3 Kiểm tra bền Lưu ý từ các công thức (a), (b), (c) (mục 7 .2. 1) thì trong trường hợp kéo (nén) lệch tâm (với các trường hợp riêng suy từ đây như kéo (nén) đúng tâm, uốn thuần túy, uốn xiên) thì trạng thái ứng suất các điểm chỉ chứa có một thành phần ứng suất... thái chòu lực uốn xiên Công thức (7.10) trở nên: σz = y My Mx −x Jx Jy (7 .23 ) Trong trường hợp này σz là hàm tuyến tính của cả hai tọa độ x và y Tương tự như trong các trường hợp xét ở phần 2 mục 7 .2. 2, ta suy ra các điểm cùng cách đều đường trung hòa sẽ có giá trò ứng suất như nhau, và điển càng xa đường trung hòa thì sẽ có giá trò ứng suất tuyệt đối càng lớn, biến đổi theo quy luật tuyến tính Do vậy, . quan hệ giữa nội lực và ứng suất, giữa ứng suất và biến dạng, và về đặc điểm biến dạng gây bởi các thành phần nội lực. 2- Nguyên lý cộng tác dụng Nguyên lý cộng tác dụng, hay còn có tên là. thức tính ứng suất pháp σ z và ứng suất tiếp trên tiết diện tròn gây bởi thành phần nội lực M z , ta sẽ sử dụng trình tự vừa nêu trên. 7 .2 BIỂU THỨC TÍNH ỨNG SUẤT PHÁP σ σσ σ Z 7 .2. 1 Lập biểu. chòu kéo đúng tâm. b .2. Ống trụ kín Nếu 2 đầu ống trụ được bòt kín thì áp lực tác dụng lên 2 mặt đáy sẽ tạo ra thêm thành phần ứng suất dọc trục, ký hiệu σ z , và gọi là ứng suất dọc trục (H.7.5a).