Mục lục Mở đầu 4 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHẠM TRÙ 6 1.1 Phạm trù - phạm trù con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Định nghĩa phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Phạm trù con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Nguyên lý đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Phạm trù đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Nguyên lý đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Đơn xạ - Toàn xạ - Song xạ - Đẳng xạ . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Đơn xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Toàn xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 Song xạ - Đẳng xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Vật con - Vật thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.1 Vật con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.2 Vật thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Đẳng hóa - Đối đẳng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.1 Đẳng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.2 Đối đẳng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6 Ảnh - Đối ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6.1 Ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6.2 Đối ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 Vật khởi đầu - Vật tận cùng - Vật không - Xạ không . . . . . . . 19 1.7.1 Vật khởi đầu - Vật tận cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7.2 Vật không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 1.7.3 Xạ không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8 Hạt nhân - Đối hạt nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.8.1 Hạt nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.8.2 Đối hạt nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8.3 Chuẩn tắc - Đối chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.9 Tổng trực tiếp - Tích trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.9.1 Tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.9.2 Tích trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.10 Cái kéo lại - Cái đẩy đi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.10.1 Cái kéo lại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.10.2 Cái đẩy đi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 MỘT SỐ PHẠM TRÙ CỤ THỂ CỦA ĐẠI SỐ 34 2.1 Phạm trù các tập hợp (Sets) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.1 Mô tả phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.2 Đơn xạ - Toàn xạ - Song xạ - Đẳng xạ . . . . . . . . . . . . 35 2.1.3 Đẳng hóa - đối đẳng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.4 Ảnh - Đối ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2 Phạm trù các nhóm (Nh) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.1 Mô tả phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.2 Đơn xạ - Toàn xạ - Song xạ - Đẳng xạ . . . . . . . . . . . . 41 2.2.3 Đẳng hóa - đối đẳng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.4 Ảnh - Đối ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.5 Vật không - xạ không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.6 Hạt nhân - Đối hạt nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.7 Chuẩn tắc - Đối chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.8 Cái kéo lại - Cái đẩy đi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3 Phạm trù các môđun trên vành giao hoán (Mod R ) . . . . . . . . . 53 2.3.1 Mô tả phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3.2 Đơn xạ - Toàn xạ - Song xạ - Đẳng xạ . . . . . . . . . . . . 54 2.3.3 Đẳng hóa - đối đẳng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.3.4 Ảnh - Đối ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.3.5 Vật không - xạ không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3.6 Hạt nhân - Đối hạt nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2 Tài liệu tham khảo 61 3 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài khóa luận Lý thuyết tập hợp, do G.Cantor (1845 – 1918) đề xướng và xây dựng từ 1874 tới 1895, đến đầu thế kỷ XX đã gặp một cơn khủng hoảng, vì người ta sớm phát hiện ra trong lý thuyết đó nhiều nghịch lý. Nổi tiếng nhất là nghịch lý do B.Russel (1872 – 1970) đề xuất trong một bức thư gửi cho Frege (1849 – 1925) năm 1908. Nội dung của nó như sau: Một tập hợp nói chung không tự chứa mình làm phần tử. Chẳng hạn như tập hợp các số tự nhiên không phải là một số tự nhiên. Tập hợp các tam giác không phải là một tam giác. Tuy nhiên, cũng có những tập hợp tự chứa mình làm phần tử. Chẳng hạn tập hợp các khái niệm trừu tượng là một khái niệm trừu tượng. Bây giờ ta hãy xét tập hợp M gồm tất cả các tập hợp X không tự chứa mình làm phần tử. {M = X | X /∈ X} Tập hợp M có tự chứa mình làm phần tử hay không ? Nếu M ∈ M thì theo định nghĩa của M, M /∈ M. Mâu thuẫn. Nếu M /∈ M thì lại theo định nghĩa M ∈ M. Mâu thuẫn. Để giải quyết những nghịch lý này, ta sẽ xem xét các khái niệm “lớp”, “thuộc”, “bằng nhau” như những khái niệm nguyên thủy. Xuất phát từ những khái niệm ấy người ta xây dựng những lý thuyết tiên đề về tập hợp. Từ đây khái niệm tập hợp được định nghĩa qua khái niệm lớp: Một lớp A là một tập hợp nếu và chỉ nếu nó là phần tử của một lớp B. Sau khủng hoảng của lý thuyết tập hợp, nhiều lý thuyết toán học mới ra đời. Một trong những lý thuyết có tác động lớn đến đại số hiện đại chính là lý thuyết phạm trù. Cùng với đại số đồng điều, lý thuyết phạm trù chiếm một vị trí ngày càng quan trọng trong sự phát triển của đại số hiện đại. Lý thuyết phạm trù là một nội dung cơ bản của đại số. Người được xem là cha đẻ của lý thuyết phạm trù với các thuật ngữ “phạm trù”, “hàm tử”, “biến đổi tự nhiên” là nhà toán học người Mỹ Saunders Mac Lane. Cùng với Sammy Eilenberg, ông tạo ra một lý thuyết mới, một ngôn ngữ mới và những cách nghĩ mới cho đại số hiện đại. Trong tương lai, những khái niệm cơ sở của lý thuyết ngày sẽ trở thành cần thiết cho một số lượng lớn các ngành toán học lý thuyết và ứng dụng, giống như quá trình đã từng diễn ra trước đây đối với lý thuyết tập hợp. Lý thuyết phạm 4 trù là một ngôn ngữ đại số hiện đại mang tính trừu tượng cao tổng quát. Vì thế, làm quen với lý thuyết này là một đòi hỏi thực tế của nhiều người làm toán hiện nay. Với những lý do trên tôi quyết định chọn : “ Một số phạm trù cơ sở của đại số hiện đại” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp. 2. Mục tiêu khóa luận - Cụ thể hóa các khái niệm cơ bản của lý thuyết phạm trù trong một số phạm trù cụ thể của đại số. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Bước đầu nghiên cứu cấu trúc đại số hiện đại đó là lý thuyết phạm trù, cụ thể là một số phạm trù cơ bản của đại số. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến lý thuyết phạm trù rồi phân hóa, hệ thống hóa các kiến thức. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên tham khảo tài liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu. - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của khóa luận. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Lý thuyết phạm trù. - Phạm vi: Một số phạm trù cơ bản của đại số. 6. Bố cục khóa luận - Chương 1: Các khái niệm cơ bản về phạm trù - Chương 2: Một số phạm trù cụ thể của đại số 5 Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHẠM TRÙ 1.1 Phạm trù - phạm trù con 1.1.1 Định nghĩa phạm trù Cho một phạm trù P là cho các dữ kiện sau: • Lớp P các phần tử của P gọi là các vật, kí hiệu A,B,C • ∀ A, B ∈ P, Mor[A, B] là tập hợp các ánh xạ (hay cấu xạ) từ A đến B. (Mor[A, B] có thể rỗng) Hai tập hợp Mor[A, B] và Mor[A  , B  ] bao giờ cũng rời nhau, trừ khi A ≡ A  và B ≡ B  thì Mor[A, B] = Mor[A  , B  ]. Với mỗi f ∈ Mor[A, B], f được gọi là xạ (hay cấu xạ) từ A đến B. Kí hiệu f : A → B hay A f → B • A, B, C ∈ P, cho ánh xạ: Mor[B, C] × Mor[A, B] → Mor[A, C] (g, f) → g ◦ f (hay gf) g ◦ f gọi là hợp thành của hai xạ f và g. Phép hợp thành phải thỏa mãn hai tiên đề: 1. Phép hợp thành có tính kết hợp. Tức là: ∀ f : A → B, g: B → C, h: C → D: (hg)f = h(gf) 2. ∀ A ∈ P, ∃1 A ∈ Mor[A, A] sao cho:  ∀f : A → B, f ◦ 1 A = f ∀g : C → A, 1 A ◦ g = g 1 A được gọi là xạ đồng nhất của vật A. Với mỗi vật A, xạ đồng nhất là duy nhất. Thật vậy, giả sử e cũng là xạ đồng 6 nhất của vật A thì: e = e ◦ 1 A = 1 A 1.1.2 Phạm trù con Phạm trù C gọi là phạm trù con của phạm trù P nếu: • Mọi vật của C đều là vật của P. • ∀ A, B ∈ C, Mor[A, B] C ⊂ Mor[A, B] P . • Phép hợp thành trong C trùng với phép hợp thành trong P. • ∀ A ∈ C: xạ 1 A trong C trùng với xạ 1 A trong P. 1.1.3 Ví dụ Phạm trù tập hợp T h Phạm trù tập hợp T h có • Vật là các tập hợp. • Xạ: Với hai tập hợp bất kì A, B: Mor[A, B]= {f : A → B|f là ánh xạ} (A; B = 0) Mor[A, ∅] = ∅ (A = ∅) Mor[∅, A] có một xạ duy nhất gọi là xạ rỗng. • Hợp thành của hai xạ chính là phép hợp thành của hai ánh xạ. Phạm trù các tập hợp được đánh dấu T h 0 : Phạm trù các tập hợp được đánh dấu T h 0 có: • Vật là các cặp thứ tự (A, a); trong đó A là một tập hợp, a là một phần tử của tập A. • Xạ: Với hai vật bất kì (A, a); (B, b): Mor[(A, a); (B, b)]= {f : A → B là ánh xạ |f(a) = b }. • Hợp thành của hai xạ chính là phép hợp thành của hai ánh xạ. Phạm trù các không gian tô pô T op: Phạm trù các không gian tô pô T op có: • Vật là các không gian tô pô. • Xạ: Với hai không gian tô pô bất kì X, Y : Mor[X, Y ]= {f : X → Y |f là ánh xạ liên tục}. • Hợp thành của hai xạ chính là phép hợp thành của hai ánh xạ. 7 Phạm trù các không gian tô pô được đánh dấu T op 0 : Phạm trù các không gian tô pô T op 0 có: • Vật là các cặp thứ tự (X, a), trong đó X là một không gian tô pô. a là một phần tử của không gian X. • Xạ: Với hai vật bất kì (X, a); (Y, b): Mor[(X, a); (Y, b)]= {f : X → Y | là ánh xạ liên tục |f(a) = b }. • Hợp thành của hai xạ chính là phép hợp thành của hai ánh xạ. Phạm trù các nhóm Nh: Phạm trù các nhóm Nh có: • Vật là các nhóm. • Xạ: Với hai nhóm bất kì A, B: Mor[A, B]= {f : A → B|f là đồng cấu nhóm }. • Hợp thành của hai xạ chính là phép hợp thành của hai đồng cấu nhóm. Nhận xét: • Tương tự như phạm trù các nhóm, ta cũng định nghĩa được: phạm trù các nhóm Abel Ab; phạm trù các vành V a; phạm trù các module Mod . . . • Phạm trù các nhóm Abel Ab là phạm trù con của phạm trù các nhóm Nh. • Phạm trù các nhóm Nh không phải là phạm trù con của các phạm trù các tập hợp T h, vì hay nhóm khác nhau có thể có cùng chung một tập hợp nền. Tương tự, các phạm trù T op, V a, Mod đều không phải là phạm trù con của phạm trù T h. Tập hợp S cùng với quan hệ thứ tự(S; ≤) • Vật là các phần tử thuộc tập hợp S. • Xạ: Với hai phần tử bất kì a, b: • Hợp thành của hai xạ được định nghĩa như sau:(b, c) ◦ (a, b) = (a, c) Với cách định nghĩa trên, (S; ≤) là một phạm trù. Phạm trù này không phải là phạm trù con của phạm trù T h. Ta có thể xây dựng một phạm trù từ bất kì một biểu đồ giao hoán nào. Giả sử xét hình vuông giao hoán như sau: A f GG 1 A ØØ k  h 44 B g  1 B ØØ D m GG 1 D ii C 1 C ii 8 • Vật là các đỉnh hình vuông A, B, C, D. • Xạ là các mũi tên. • Hợp thành các xạ: gf = h; mk = h. • Các xạ đồng nhất 1 A ; 1 B ; 1 C ; 1 D . 1.2 Nguyên lý đối ngẫu 1.2.1 Phạm trù đối ngẫu Giả sử P là một phạm trù. Xuất phát từ phạm trù P ta định nghĩa một phạm trù mới P ∗ như sau: • Các vật của P ∗ là các đối tử của các vật của P, tức là các phần tử nằm trong một tương ứng 1-1 cố định với các phần tử của P. Kí hiệu đối tử của A ∈ mathcalP ) là A ∗ ∈ mathcalP ∗ ) Thông thường, người ta lấy ngay P làm P ∗ , ánh xạ đồng nhất làm tương ứng nói trên. • A ∗ , B ∗ ∈ P ∗ : Mor[A ∗ , B ∗ ] P ∗ là tập hợp các đối tử của phần trong Mor[B, A] P . Kí hiệu đối tử của f : B → A là f ∗ : A ∗ → B ∗ . • Định nghĩa phép hợp thành của f ∗ : A ∗ → B ∗ và g ∗ : B ∗ → C ∗ dựa trên đối tử của phép hợp thành của g : C → B và f : B → A. Tức là: g ∗ f ∗ = (fg) ∗ . • Xạ đồng nhất: 1 A ∗ = (1 A ) ∗ 1.2.2 Nguyên lý đối ngẫu a) Nguyên lý: "Mỗi mệnh đề của lý thuyết phạm trù đều có một mệnh đề đối ngẫu." Như vậy, khái niệm trong phạm trù có khái niệm đối ngẫu, định lý trong phạm trù có định lý đối ngẫu. b) Quy tắc để xác định mệnh đề đối ngẫu: Ta giữ nguyên cấu trúc logic của mệnh đề đã cho, sau đó thay tất cả các xạ f ∗ : A ∗ → B ∗ bằng các xạ f ∗ : B ∗ → A ∗ , thay tất cả các hợp thành gf thành các hợp thành fg. Một khái niệm gọi là tự đối ngẫu khi và chỉ khi nó trùng với đối ngẫu của nó. 9 1.3 Đơn xạ - Toàn xạ - Song xạ - Đẳng xạ 1.3.1 Đơn xạ a) Định nghĩa: Xạ f : A → B gọi là đơn xạ nếu mọi cặp xạ α, β ∈ Mor[C, A] thỏa mãn fα= fβ thì α= β. b) Tính chất: 1. Hợp thành của hai đơn xạ là một đơn xạ. Chứng minh. Cho hai đơn xạ f : A → B và g : B → C. Ta xét xạ: gf : A → C. Lấy hai xạ α, β : D → A sao cho (gf)α=(gf)β ⇒ g(fα)= g(fβ) (do tính kết hợp của phép hợp thành) ⇒ fα= fβ (do g là đơn xạ) ⇒ α=β (do f là đơn xạ) Vậy gf là đơn xạ. 2. Nếu gf là đơn xạ thì f là đơn xạ. Chứng minh. Giả sử f : A → B và g : B → C là hai xạ thỏa mãn gf : A → C là đơn xạ. Lấy hai xạ α, β : D → A sao cho → fα= fβ. ⇒ g(fα)= g(fβ) ⇒ (gf)α)= (gf)β) (do tính kết hợp của phép hợp thành) ⇒ α= β (do gf là đơn xạ) Vậy f : A → B là đơn xạ. 1.3.2 Toàn xạ a) Định nghĩa: Xạ f : A → B gọi là toàn xạ nếu mọi cặp xạ α, β ∈ Mor[B, C] thỏa mãn αf = βf thì α = β. b) Tính chất: 1. Hợp thành của hai toàn xạ là một toàn xạ. 10 [...]... cũng là cái đẩy đi A f1 G α1 I k G g h  P f2 G  Q α2 biểu đồ H13 33 B G  B Chương 2 MỘT SỐ PHẠM TRÙ CỤ THỂ CỦA ĐẠI SỐ 2.1 Phạm trù các tập hợp (Sets) Phạm trù này lấy các tập hợp làm vật và lấy các ánh xạ làm mũi tên Tích của các mũi tên được xác định bởi phép hợp thành của các ánh xạ 2.1.1 Mô tả phạm trù Phạm trù tập hợp, kí hiệu T h được định nghĩa như sau: • Lớp T h gồm các vật là A, B, C ; trong... Cokerf để cho biểu đồ (H3) giao hoán A f GB α G Cokerf γ β  A G f   G B Cokerf biểu đồ H3 4 Một phạm trù có vật không mà mọi xạ đều có đối hạt nhân thì gọi là phạm trù có đối hạt nhân 1.8.3 Chuẩn tắc - Đối chuẩn tắc • Một phạm trù có vật không được gọi là chuẩn tắc nếu mọi đơn xạ đều là hạt nhân • Một phạm trù có vật không được gọi là đối chuẩn tắc nếu mọi toàn xạ đều là đối hạt nhân Chuẩn tắc và đối... song xạ Mặt khác, do phạm trù là cân bằng nên γ cũng là đẳng xạ Vậy I ≈ I Ta có đpcm 4 Phạm trù mà mọi xạ đều có ảnh được gọi là phạm trù có ảnh 18 1.6.2 Đối ảnh Đối ảnh là khái niệm đối ngẫu của khái niệm ảnh a) Định nghĩa: Cho xạ f : A → B Đối ảnh của xạ f là vật thương nhỏ nhất trong lớp các vật thương của A sao cho xạ f có thể phân tích được qua nó Nói cách khác, đối ảnh của xạ f là toàn xạ p... là phạm trù có đối ảnh 1.7 Vật khởi đầu - Vật tận cùng - Vật không - Xạ không 1.7.1 Vật khởi đầu - Vật tận cùng Vật khởi đầu và vật tận cùng là hai khái niệm đối ngẫu a) Vật khởi đầu: 19 • Vật A gọi là vật khởi đầu trong phạm trù P nếu ∀X ∈ P tập M or[A, X] chỉ có đúng một phần tử • Vật khởi đầu nếu có, là duy nhất, sai khác một phép tương đương Thật vật giả sử A, B là hai vật khởi đầu của phạm trù. .. = 0 do u = Kerf nên tồn tại duy nhất xạ γ : Kerf → Kerf để cho biểu đồ giao hoán 5 Một phạm trù có vật không mà mọi xạ đều có hạt nhân thi gọi là phạm trù có hạt nhân 1.8.2 Đối hạt nhân a) Định nghĩa: Đối hạt nhân là khái niệm đối ngẫu của khái niệm hạt nhân Trong phạm trù có vật không, cho xạ f : A → B Đối hạt nhân của xạ f là xạ p : B → Q thỏa mãn hai điều kiện: A f p GB G Q γ p 4  Q (i) pf = 0... duy nhất sai khác một đẳng xạ b) Tính chất: 1 Nếu xạ f là toàn xạ thì đối ảnh của xạ f chính là f : CoImf = f 2 Trong phạm trù có đối đẳng hóa, cho xạ f : A → B có thể phân tích qua đối ảnh như sau: p f f :A→Q→B Khi đó f là đơn xạ 3 Trong phạm trù cân bằng, cho xạ f có đối ảnh Nếu xạ f phân tích được p f dưới dạng f : A → Q → B , với p là toàn xạ và f là đơn xạ thì p = CoImf 4 Phạm trù mà mọi xạ đều... nhưng không phải là đẳng xạ 4 Một phạm trù gọi là cân bằng nếu mọi song xạ trong phạm trù đó đều là đẳng xạ 1.4 Vật con - Vật thương 1.4.1 Vật con a) Định nghĩa vật con: Vật A được gọi là vật con của vật A nếu tồn tại đơn xạ u : A → A b) Lớp các vật con của A : P (A): Trong P (A) có quan hệ thứ tự A1 γ  u ` G A v A2 Cho hai phần tử A1 (u : A1 → A) và A2 (v : A2 → A) của lớp P (A) A1 được gọi là đứng... nhất, sai khác một phép tương đương Vật không là khái niệm đối ngẫu 1.7.3 Xạ không • Trong phạm trù có vật không, xạ không là xạ phân tích được qua vật không • Cho hai vật A, B trong phạm trù P có vật không Khi đó: ∃!f : A → 0 ∃!g : 0 → A Vậy chỉ có duy nhất một xạ không từ vật A đến vật B , kí hiệu là 0AB , hoặc 0 (trong trường hợp không gây nhầm lẫn) • Hợp thành của hai xạ, trong đó có một xạ không,... Cho hai xạ α, β : A → B Khi đó α = β ⇔ CoKer(α, β) = 1B 4 Phạm trù mà mọi cặp xạ α, β : A → B đều có cái đối đẳng hóa được gọi là phạm trù có đối đẳng hóa 1.6 Ảnh - Đối ảnh 1.6.1 Ảnh a) Định nghĩa: 16 Cho xạ f : A → B Ảnh của xạ f chính là vật con nhỏ nhất trong lớp các vật con của B sao cho xạ f phân tích được qua nó Nói cách khác, ảnh của xạ f là đơn xạ u : I → B thỏa mãn hai điều kiện: f A G α... Hạt nhân a) Định nghĩa: Trong phạm trù có vật không, cho xạ f : A → B Hạt nhân của xạ f là xạ u : K → A thỏa mãn hai điều kiện: K y u G ` A f G B γ u K (i) f u = 0 (ii) Nếu có xạ u : K → A sao cho f u = 0 thì tồn tại duy nhất xạ γ : K → K sao cho u = uγ Kí hiệu u = Kerf Nhận xét: Ta có hạt nhân của xạ f chính là cái đẳng hóa của cặp xạ (f, 0AB ) nên ta có thể rút ra một số kết quả như sau: • Kerf là . “ Một số phạm trù cơ sở của đại số hiện đại làm đề tài khóa luận tốt nghiệp. 2. Mục tiêu khóa luận - Cụ thể hóa các khái niệm cơ bản của lý thuyết phạm trù trong một số phạm trù cụ thể của đại. vi: Một số phạm trù cơ bản của đại số. 6. Bố cục khóa luận - Chương 1: Các khái niệm cơ bản về phạm trù - Chương 2: Một số phạm trù cụ thể của đại số 5 Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHẠM TRÙ 1.1. đến đại số hiện đại chính là lý thuyết phạm trù. Cùng với đại số đồng điều, lý thuyết phạm trù chiếm một vị trí ngày càng quan trọng trong sự phát triển của đại số hiện đại. Lý thuyết phạm trù