bài tập chuỗi fourier
Trang 1Bài tập Giải tích 2 – Bộ môn Toán – Lý – Khoa Vật Lý – ðHSP TpHCM
CHUỖI FOURIER
Bài 1: Khai triển thành chuỗi Fourier các hàm số sau, biết chúng là những hàm tuần
hoàn với chu kỳ T = 2π
( )
2,0
x
f x
x
π π
− ≤ <
=
≤ ≤
sin(2 ),0 ( )
s t
x
π
≤ <
=
≤ ≤
( )
0,0
f x
x
π
+ − ≤ <
=
≤ ≤
( )
,0
x
f x
π π
− ≤ <
=
5
( ) 0,0
2 1,
2
x
x
π π
− − ≤ <
< ≤
2 ( )
1,0
2
f x
x
π
π
=
≤ <
( )
1,0
x
f x
x
π π
− − ≤ <
=
≤ ≤
, sử dụng khai triển này tính tổng của chuỗi: 0
( 1)
2 1
n
n n
∞
=
− +
∑
8 f x( )= sinx , trên ñoạn [-π ;π ] Sau ñó tính tổng: 1 1 1
1.3+3.5+5.7+
Bài 2: Khai triển thành chuỗi Fourier các hàm số sau:
1
1,0
2 ( )
0,
2
x
f x
x
π
≤ <
=
2
f x = +x π ≤ ≤x π
a theo các hàm cosin a theo các hàm cosin
3 f x( )=x( π −x),0≤ ≤x π theo các hàm số sin
4 f x( )=sin ,0x ≤ ≤x π theo các hàm số cos
5 f x( )=cos ,0x ≤ ≤x π theo các hàm số sin
6 f x( )=e x,0≤ ≤x π
( )
2 ,1 2
x
f x
≤ <
=
a theo các hàm số sin b theo các hàm cosin
Trang 2Bài 4: Xét hàm số
2 ( )
2
x
f x = −x trên [0; 2]
a) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm:
0
( ) n.cos
n
+∞
=
= ∑ với an là các hệ
số thực
b) Tìm khai triển Fourier nếu f(x) là hàm tuần hòan với chu kỳ T = 4
c) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm:
1
( ) sin
3
n n
n x
=
hệ số thực
Bài 5: Cho f(x) = x – x2 ; ∀x∈ [ 0 , 1 ]
a) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm: ∑+∞
=
= 0
sin )
(
n
c x
f π với cn là các hệ
số thực
b) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm:
0
( ) cos
2
n n
n x
=
các hệ số thực
Bài 6 Cho hàm số f x( )= ∀ ∈x; x [0,3]
a) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm: ∑+∞
=
= 0
cos )
(
n
c x
số thực
b) Sử dụng kết quả trên, tính tổng của chuỗi số :
5
1 3
1
1+ 2 + 2 +
c) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm:
0
( ) cos
3
n n
x
f x +∞d nπ
=
các hệ số thực
d) Biểu diễn f(x) dưới dạng chuỗi hàm:
1
( ) sin
4
n n
n x
=
hệ số thực