tiểu luận dao động tử điều hòa

Tuy nhiên bên cạnh đó nội dung cơ sở lý thuyết cũng như bài tập vận dụngcủa Cơ học lượng tử tương đối khá phức tạp, chỉ có một số ít bài toán có lời giảichính xác cho phương trình Schrod

Tuy nhiên bên cạnh đó nội dung cơ sở lý thuyết cũng như bài tập vận dụngcủa Cơ học lượng tử tương đối khá phức tạp, chỉ có một số ít bài toán có lời giảichính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là: Bàitoán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tửhiđrô (chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm) Nhưng trong đó Dao động tửđiều hòa là bài toán cơ bản nhất, có lời giải chính xác không những trong cổ điển

mà cả trong cơ học lượng tử và đây cũng là bài toán giải được chính xác trong cơhọc lượng tử Vì vậy em chọn đề tài này để nghiên cứu

II PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Trong Cơ học lượng tử, kiến thức về cơ sở lý thuyết khá rộng được phân bổthành nhiều chương Nhưng ở đây ta chỉ xét phần “Dao động tử điều hòa” Cụ thể

là nghiên cứu về năng lượng của dao động tử điều hòa lượng tử 1 chiều và 3 chiều

và các dạng toán liên quan đến dao động tử điều hòa

III MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu về Dao động tử điều hòa: khái niệm, các loại Dao động tử điều hòa,ứng dụng giải các bài tập

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Ở đây ta đi nghiên cứu về năng lượng của dao động tử điều hòa

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Thu thập thông tin, tài liệu từ các nguồn: Internet, tài liệu khác

- Phân tích và tổng hợp tài liệu.

- Dựa trên kiến thức lĩnh hội được trong quá trình học và các lý thuyết sẵncó

- Đưa ra các bài tập vận dụng

B NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I.1 Khái niệm Dao động tử điều hòa

Trong cơ học cổ điển, dao động tử điều hòa là một hệ thống cơ học thựchiện dao động mà chuyển động của có thể mô tả bởi những hàm số điều hòa củathời gian, mà cụ thể ở đây thường là hàm sin và cosin Năng lượng của dao động tửđiều hòa có thể nhận các giá trị liên tục và tần số bức xạ trùng với tần số dao động

cơ học của dao động tử điều hòa Ví dụ như dao động của con lắc đơn, con lắc lò

xo quanh vị trí cân bằng

Trong cơ học lượng tử, dao động điều hòa là khi một vi hạt thực hiện dao độngnhỏ điều hòa xung quanh vị trí cân bằng Năng lượng của các dao động tử điều hòa

có giá trị gián đoạn (khác với lý thuyết cổ điển) Ví dụ như dao động của nguyên tử

trong phân tử, dao động của các ion xung quanh nút mạng tinh thể v.v…

Chuyển động của dao động tử điều hòa gọi là dao động điều hòa Nó là mộthiện tượng rất quan trọng của vật lý nói chung và cơ học lượng tử nói riêng

I.2 Dao động tử điều hòa 1 chiều

Xét một hạt có khối lượng m chuyển động trên trục x chịu tác dụng của một lực

F tỉ lệ với x và trái dấu với x:

F = -kx

 Theo cơ học cổ điển:

Hạt sẽ dao động quanh vi trí cân bằng x = 0 vì thế ta gọi nó là dao động tử điềuhòa Phương trình của dao động tử điều hoà theo cơ học cổ điển là:

2 2

2 2 2 ˆ

U x = ∧ = ω ∧ = ω

Lưu ý ta dùng chỉ số n để kí hiệu thứ tự của mức năng lượng (n là số nguyên),

un(x) là nghiệm ứng với mức năng lượng En Giải phương trình này ta có thể tìmthấy nghiệm un(x) dưới dạng chuỗi lũy thừa, chuỗi này phải thỏa mãn một số điềukiện Từ các điều kiện có thể suy ra giá trị của năng lượng En

Đế giải bài toán này ta xem hai toán tử a+, a_ có dạng là:

1 2

2

1

( ) 2

Đến đây ta chứng minh nếu U(x) là nghiệm riêng nào đó thỏa mãn phương trình

Schrodinger với trị riêng E thì hàm

( )

a U x+

cũng thỏa mãn phương trìnhSchrodinger với năng lượng riêng là E+ h ω

Tương tự ta cũng chứng minh nếu U(x) là nghiệm riêng nào đó thỏa mãn

phương trình Schrodinger với trị riêng E thì hàm

( )

a U x−

cũng thỏa mãn phươngtrình Schrodinger với năng lượng riêng là E− h ω

lên một trạng thái uk(x) có mức năng lượng

Ek nào đó ta được một trạng thái 1

Dựa vào biểu thức

E = h ω

Đây chính là giá trị năng lượng ở mức cơ bản

Các mức năng lượng cao hơn được tìm thấy bằng cách tác dụng toán tử tăng lêntrạng thái cơ bản liên tục thì trị riêng của các trạng thái cao hơn (gọi là trạng tháikích thích) Như vậy năng lượng của các dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn

(khác với lý thuyết cổ điển) và có giá trị nhỏ nhất bằng

min

1 2

E = h ω

năng lượng này

được gọi là năng lượng không Các mức năng lượng kích thích là:

1 2

Từ (***) nếu dung điều kiện chuẩn hóa có thể tính được:

1 4 0

Ta có thể tìm được biểu thức của hàm song biểu diễn cho dao động tử điều hòa

uk(x) ứng với mức năng lượng thứ k là:

E = h ω

Điều này đã được thực nghiệm xác nhận bằng thí nghiệm tán xạcủa tia X qua tinh thể khi ở nhiệt độ thấp Tia X bị tán xạ là do các dao độngnguyên tử trong mạng tinh thể gây ra

Theo cơ học cổ điển, khi nhiệt độ càng giảm, biên độ dao động của các nguyên

tử giảm dần đến 0, do đó sự tán xạ của ánh sang phải biến mất

Nhưng thực nghiệm chứng tỏ, khi nhiệt độ giảm, cường độ tán xạ tiến tới mộtgiới hạn nào đó Điều đó có nghĩa là, ngay cả khi nhiệt độ tiến về không, sự tán xạánh sang vẫn xảy ra và các nguyên tử trong mạng tinh thể vẫn dao động, tương ứngvới năng lượng E0 nào đó.Như vậy thực nghiệm về tán xạ của tia X qua tinh thể ởnhiệt độ thấp đã chứng tỏ sự đúng đắn của cơ học lượng tử

Sự tồn tại của “năng lượng không” cũng phù hợp với những hệ thức bất địnhHeisenberg Thực vậy, nếu mức năng lượng thấp nhất của dao động bằng 0, nhưthế có nghĩa là hạt đứng yên và vận tốc và tọa độ của vi hạt được xác định đồngthời (đều bằng 0), điều này mâu thuẫn với hệ thức bất định Sự tồn tại của mứcnăng lượng "không" của dao động điều hòa là một trong những biểu hiện đặt trưngcủa lưỡng tính sóng hạt của vi hạt

I.3 Dao động tử điều hòa lượng tử 3 chiều

Bài 2:

Xét dao động tử điều hòa 1 chiều với phương trình Hamilton

Ta định nghĩa các toán tử mới:

Nên

a, Tính giao hoán tử

b, Với các toán tử và và được định nghĩa như sau:

Tính và với là hàm riêng của dao động tử với trạng thái năng lượng thứ

Bài giải:

a, Ta dùng mối quan hệ qiao hoán đã biết , nên:

b, Dùng kết quả đã đạt được ở câu a, ta có:

Nên ta kết luận rằng tỉ lệ với , tức là:

Bài 3: Cho một dao động tử điều hòa một chiều.

a) Xuất phát từ hệ thức bất định, xác định mức năng lượng thấp nhất có thể có củadao động tử điều hòa

b) Tính các giá trị trung bình

2 ,

x x

của dao động tử điều hòa ở trạng thái cơ bản

(trạng thái có mức năng lượng thấp nhất) ψ 0( )x

( )

2

ax 2 4

0 x a e ,a mω ψ

( ) ( )

2 4

3 4

ax ax

Tìm hàm sóng và các mức năng lượng của dao động tử điều hòa ba chiều.

và thay vào phương trình trên rồi chia cả hai vế

của phương trình vừa nhận được cho ψ( ) ( ) ( )x ψ y ψ z

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2

m

Y = ω y

h,

n

E = ω n + ÷

h

ω π

n

ω π

n

ω π

Bài 5: Viết toán tử Hamintơn của dao động tử điều hòa một chiều trong biểu

diễn xung lượng.Tìm hàm riêng và trị riêng của nó trong biểu diễn xung lượng

ˆ ( ) ( )

Hϕ p =Eϕ p

Đưa vào thông số không thứ nguyên

p m

ξ

ω

= h

và đặt

2E

λ ω

= h

, ta có:

2

2 2

( )

0

d d

n

ω π

 

= h ÷

Bài 6: Tìm hàm sóng của hạt trong xung lượng biểu diễn đối với dao động tử

điều hòa ở trạng thái cơ bản

2 2

1 2

mω

α  =  h÷

i

x px p

Trong đó

1 2

= h

b) Tìm phương trình chuyển động Heisenberg cho

b) Để tìm được phương trình chuyển động của

Bài 9: Xét một dao động tử điều hòa 3chiều đẳng hướng.

a, Thực hiện tách biến để tìm hàm sóng của dao động tử điều hòa

b, Tìm các mức năng lượng và tìm bội suy biến của các mức năng lượng

Bài giải:

a,Thế năng của dao động tử điều hòa ba chiều có dạng:

Trong đó: là những hằng số

Phương trình Schrodinger của dao động tử điều hòa ba chiều có dạng:

Đặt , thay vào phương trình trên rồi chia cả hai vế của phương trình vừa nhận đượccho ta có:

Từ đây suy ra

Với là hằng số và Các phương trình đối với hàm sóng là những phương trình daođộng tử điều hòa 1 chiều

Đặt , , ta có

Với và là các hệ số chuẩn hóa hàm sóng

Hàm sóng và năng lượng điều hòa ba chiều được xác định như sau: