DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT Phương trình PT Bất phương trình BPT Hệ phương trình HPT Hệ bất phương trình HBPT Tập xác định TXĐ Giá trị lớn nhất GTLN Giá trị nhỏ nhất GTNN Nhà xuất bản NXB Trung học phổ thông THPT Học sinh giỏi HSG Chứng minh rằng CMR Bất đẳng thức BĐT S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Hµ TiÕn Dòng 1 Phần I: MỞ ĐẦU I. Lí do chọn đề tài: Như chúng ta đã biết, ở bậc Trung học phổ thông có 3 dạng toán: giải PT, HPT, BPT, HBPT; tìm GTLN, GTNN của hàm số; chứng minh bất đẳng thức hay xuất hiện trong các Đề thi tuyển sinh vào Đại học Môn toán những năm gần đây. Đó là những dạng toán khó đối với học sinh, có nhiều bài không thể giải được bằng phương pháp đại số thông thường, kinh điển hoặc có thể giải được nhưng gặp nhiều khó khăn, phức tạp. Bên cạnh đó ứng dụng của đạo hàm đối với môn Toán cấp THPT rất lớn: xét tính đơn điệu của hàm số; tìm cực trị của hàm số; chứng minh bất đẳng thức; tìm GTLN, GTNN của hàm số; tính tổng hữu hạn; tìm giới hạn của hàm số; giải PT, HPT, BPT, HBPT Giữa PT, BPT, HPT, HBPT và hàm số có mối liên quan rất chặt chẽ. Khi định nghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta biết sử dụng hàm số để giải các bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Nhiều bài toán trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng, thi tuyển sinh sau đại học, thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế có thể ứng dụng đạo hàm để giải và phương pháp đó thường cho đáp án gọn hơn phương pháp đại số. Theo tác giả thống kê tại phụ lục, đáp án chính thức đề thi tuyển sinh vào Đại học môn Toán các khối A, B, D từ năm 2002 (năm bắt đầu thi theo đề chung của Bộ Giáo dục và Đào tạo) đến năm 2011 (không kể Cao đẳng, không kể bài đầu tiên về khảo sát hàm số và bài toán phụ trong bài đầu tiên) do Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố có tới 21 bài toán có thể sử dụng phương pháp ứng dụng đạo hàm để giải. Tuy nhiên tài liệu viết chuyên sâu, hệ thống về những ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán trong kỳ thi tuyển sinh vào Đại học không nhiều và học sinh thường gặp khó khăn, lúng túng trong việc nhận diện, giải quyết dạng toán. Hơn nữa năm học 2011-2012 là năm học đầu tiên toàn ngành Giáo dục Lai Châu thực hiện Nghị quyết 04/NQ-TU ngày 20/7/2011 của Ban chấp hành Đảng bộ tỉnh về tiếp tục phát triển và nâng cao chất lượng giáo dục trong giai đoạn mới; Nghị quyết số 31/2011/NQ- HĐND ngày 09/12/2011 của HĐND tỉnh về việc thông qua Đề án tiếp tục phát triển và nâng cao chất lượng tỉnh Lai Châu đến năm 2015. Từ năm học này Lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Lai Châu có chủ trương thực hiện đồng bộ nhiều giải pháp để đạt mục tiêu nâng cao tỉ lệ thi đỗ vào các trường Đại học, Cao đẳng. Do đó việc chọn lựa một đề tài sáng kiến kinh nghiệm nhằm góp phần thực hiện chủ trương lớn đó của tỉnh, của ngành là việc làm phù hợp với thực tiễn, thể hiện tình yêu nghề và trách nhiệm của người cán bộ, giáo viên trong ngành. Chính vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: "Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán ôn luyện thi vào Đại học môn Toán". II. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: - Tìm hiểu đối tượng học sinh ở một số trường THPT: Trung học phổ thông số 1 Than Uyên (nay là THPT Than Uyên), thị xã Lai Châu, Quyết Thắng, chuyên Lê S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Hµ TiÕn Dòng 2 Quý Đôn, Phổ thông DTNT tỉnh Lai Châu. Kết quả nghiên cứu được khảo sát trong các tiết giảng ôn luyện thi Đại học môn Toán cho các em học sinh. - Các dạng toán giải PT, BPT, HPT, HBPT; tìm GTLN, GTNN của hàm số; chứng minh bất đẳng thức trong chương trình toán phổ thông và trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, trong kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp (nêu trong phần khả năng ứng dụng, triển khai). - Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng. III. Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh nhận dạng được các PT, HPT, BPT, HBPT; tìm GTLN, GTNN của hàm số; chứng minh bất đẳng thức có thể ứng dụng đạo hàm để giải. Trang bị cho học sinh về một phương pháp mang lại hiệu quả rõ nét. - Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo. - Nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng và khả năng giải các bài toán trong kỳ thi tuyển sinh vào Đại học môn Toán. IV. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu: Điểm mới trong kết quả nghiên cứu: Hệ thống hoá các dạng toán, đưa ra phương pháp chung về việc ứng dụng đạo hàm để giải các dạng toán này. Giúp học sinh nhận thấy hiệu quả rõ rệt của phương pháp so với phương pháp đại số thông thường. Ví dụ: - Với các PT, BPT, HPT, HBPT không chứa tham số, ta sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải. - Với các PT, BPT, HPT, HBPT có chứa tham số, ta tìm cách cô lập tham số về một vế rồi sử dụng các mệnh đề để giải. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Hµ TiÕn Dòng 3 Phần II: NỘI DUNG A. CƠ SỞ LÍ LUẬN: Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh , điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh. Quá trình dạy học với các nhiệm vụ cơ bản là hình thành tri thức, rèn luyện các kỹ năng hoạt động nhận thức, hình thành thái độ tích cực được xây dựng trên quá trình hoạt động thống nhất giữa thầy và trò, trò và trò, tính tự giác, tích cực tổ chức, tự điều khiển hoạt động học nhằm thực hiện tốt các nhiệm vụ đã được đề ra. B. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ: Qua thực tiễn học tập và giảng dạy, tác giả nhận thấy ứng dụng của đạo hàm trong giải các bài toán cấp THPT rất lớn nhưng học sinh thường không mạnh dạn, tự tin sử dụng công cụ đắc lực này trong giải toán vì: - Đạo hàm là phần kiến thức mới với học sinh, gắn liền với toán học hiện đại, học sinh bắt đầu được làm quen ở cuối chương trình lớp 11. Trong khi đó từ cấp Trung học cơ sở đến cấp THPT học sinh đã được tiếp xúc với rất nhiều bài toán về giải PT, HPT, BPT, HBPT; tìm GTLN, GTNN của hàm số; chứng minh bất đẳng thức và đã quen sử dụng các phương pháp giải toán đại số kinh điển để giải. - Tài liệu viết về ứng dụng của đạo hàm không nhiều, học sinh không nhận diện được các dạng toán và chưa được hướng dẫn một cách hệ thống phương pháp để giải quyết bài toán trọn vẹn. - Số lượng các bài toán có thuộc 3 dạng toán nêu trên xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học những năm gần đây và phương pháp sử dụng để giải chủ yếu là sử dụng phương pháp ứng dụng của đạo hàm: Năm 2007 có 3 bài, năm 2008 có 2 bài, năm 2009 có 2 bài, năm 2010 có 3 bài, năm 2011 có 4 bài. C. CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh tác giả đã giúp học sinh hệ thống dạng toán và phương pháp giải các dạng toán theo các chương như sau: S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Hµ TiÕn Dòng 4 Chương I Phương pháp ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN của hàm số * Định nghĩa: Cho hàm số ( ) =y f x có TXĐ là D Số M được gọi là GTLN của hàm số nếu ( ) ( ) 0 0 : ≤ ∀ ∈    ∃ ∈ =   f x M x D x D f x M Kí hiệu ( ) ∈ = x D M Maxf x Số m được gọi là GTNN của hàm số nếu ( ) ( ) 0 0 : ≥ ∀ ∈    ∃ ∈ =   f x m x D x D f x m Kí hiệu ( ) ∈ = x D m Minf x Nhận xét: Theo đó GTLN, GTNN của hàm số có thể không tồn tại. Để tìm GTLN, GTNN của hàm số học sinh thường đã được làm quen với một số phương pháp như - Phương pháp sử dụng các BĐT. - Phương pháp tam thức bậc hai. - Phương pháp sử dụng tập giá trị của hàm số. Đó là những phương pháp đại số thông thường, tuy nhiên ta có thể sử dụng một phương pháp khá hiệu quả là sử dụng đạo hàm. * Dạng toán 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn I. Phương pháp Để tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) =y f x trên đoạn [ ] ,a b với ( ) =y f x là hàm số liên tục trên đoạn [ ] ,a b và có đạo hàm trong khoảng ( ) ,a b ta thực hiện theo các bước như sau: Bước 1: Tính đạo hàm 'y rồi tìm những giá trị của biến số trong khoảng ( ) ,a b làm cho ' 0=y . Giả sử ta tìm được các nghiệm là 1 2 , x x Bước 2: Tính các giá trị ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , f a f b f x f x Bước 3: Kết quả [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 2 , , , , , ∈ = x a b Min f a f b f x f x Miny [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 2 , , , , , ∈ = x a b Max f a f b f x f x Maxy II. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 20 20 sin cos= +y x x Lời giải: Cách 1 (phương pháp đại số): S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Hµ TiÕn Dòng 5 Ta có ( ) ( ) 10 10 2 2 2 2 sin cos sin cos 1 1= + ≤ + = ⇒ =y x x x x Maxy Áp dụng BĐT Cauchy cho 10 số ta có ( ) ( ) 10 90 10 10 2 2 2 10 9 1 1 10 sin 9 10 sin sin 2 2 2     + ≥ =  ÷  ÷     x x x ( ) ( ) 10 90 10 10 2 2 2 10 9 1 1 10 cos 9 10 cos cos 2 2 2     + ≥ =  ÷  ÷     x x x Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được ( ) ( ) ( ) 10 10 2 2 2 2 9 9 9 9 10 10 sin cos sin cos 2 2 2 + + ≥ + =x x x x Suy ra ( ) ( ) 10 10 2 2 9 9 1 1 sin cos 4 2 2 π   = + ≥ ⇒ = =  ÷   y x x Miny y Cách 2 (phương pháp ứng dụng đạo hàm): Nhận xét 20 20 20 20 sin cos sin cos 2 2 π π     + + + = +  ÷  ÷     x x x x Nên hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì 2 π =T Do đó ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một chu kì là đoạn 0, 2 π       Ta có ( ) 18 18 ' 20sin cos sin cos= × −y x x x x Do đó cos 0 2 ' 0 sin 0 0 sin cos 4 π π  =  =    = ⇔ = ⇔ =     =  =   x x y x x x x x Tính giá trị ( ) 9 1 0 1; ; 1 4 2 2 π π     = = =  ÷  ÷     y y y Từ đó suy ra 1=Maxy , 9 1 2 =Miny Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) sin 2 cos = = + x y f x x với [ ] 0, π ∈x Lời giải: Xét hàm số đã cho trên đoạn [ ] 0, π ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 cos 2 cos sin 1 2cos ' 2 cos 2 cos + + + = = + + x x x x y x x ( ) 2 1 2cos 1 2 ' 0 0 cos 2 3 2 cos π + = ⇔ = ⇔ = − ⇔ = + x y x x x S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Hµ TiÕn Dòng 6 Ta có ( ) ( ) 2 1 0 0, , 0 3 3 π π   = = =  ÷   f f f Vậy [ ] 0, 1 3 π ∈ = x Maxy đạt được khi 2 3 π =x [ ] 0, 0 π ∈ = x Miny đạt được khi 0=x hoặc π =x Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) 2 2= = + −y f x x x Lời giải: Điều kiện 2 2 0 2 2− ≥ ⇔ − ≤ ≤x x Suy ra tập xác định của hàm số đã cho là 2, 2   = −   D Ta có 2 2 2 2 2 0 2 ' ' 0 2 1 2 2 ≥  − −  = ⇒ = ⇔ − = ⇔ ⇔ =  − =  −  x x x y y x x x x x x Tính ( ) ( ) ( ) 2 2; 1 2; 2 2− = − = =f f f Vậy 2 1 ∈ = = x D khi x Maxy 2 2 ∈ = − = − x D khi x Miny III. Các bài toán trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học Bài 1. Câu IV.1 khối B năm 2003 Tìm GTLN và GTNN của hàm số 2 4y x x= + − Lời giải Tập xác định [ ] 2;2− . 2 2 2 2 0 ' 1 ; ' 0 4 2 4 4 x x y y x x x x x x ≥  = − = ⇔ − = ⇔ ⇔ =  − = −  Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2; 2 2 2; 2 2y y y− = − = = Vậy [ ] ( ) [ ] ( ) 2;2 2;2 max 2 2 2; min 2 2y y y y − − = = = − = − Bài 2. Câu IV.1 khối D năm 2003 Tìm GTLN và GTNN của hàm số 2 1 1 x y x + = + trên đoạn [ ] 1;2− . Lời giải: ( ) 3 2 1 ' ; ' 0 1 1 x y y x x − = = ⇔ = + . Ta có ( ) ( ) ( ) 3 1 0, 1 2, 2 5 y y y− = = = S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Hµ TiÕn Dòng 7 Vậy [ ] ( ) [ ] ( ) 1;2 1;2 max 1 2; min 1 0y y y y − − = = = − = Bài 3. Câu II.2 khối B năm 2004 Tìm GTLN và GTNN của hàm số 2 ln x y x = trên đoạn 3 1;e     . Lời giải: Mọi 3 1;x e   ∈   , ta có ( ) 3 2 2 3 1 1; ln 02 ln ln ' ; ' 0 ln 2 1; x e xx x y y x x x e e    = ∈ =−     = = ⇔ ⇔  =    = ∈     . Khi đó ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 4 9 1 0, ,y y e y e e e = = =         = = = = 3 3 2 2 1; 1; 4 Suy ra : min (1) 0; max ( ) e e y y y y e e Bài 4. Câu V khối D năm 2009 Cho các số thực không âm ,x y thay đổi và thoả mãn 1x y+ = . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức ( ) ( ) 2 2 4 3 4 3 25S x y y x xy= + + + . Lời giải Do 1x y+ = nên ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 2 2 16 12 9 25 16 12 3 34 16 2 12 S x y x y xy xy x y x y xy x y xy xy xy = + + + +   = + + − + +   = − + Đặt t xy= , ta được ( ) 2 2 1 1 16 2 12; 0 0; 4 4 4 x y S t t xy t +   = − + ≤ ≤ = ⇒ ∈     . Xét hàm số ( ) 2 16 2 12f t t t= − + trên đoạn 1 0; 4       ( ) ( ) 1 1 0; 0; 4 4 1 25 1 191 max ; min 4 2 16 16 f t f f t f                 = = = =  ÷  ÷     Giá trị lớn nhất của S bằng 25 2 khi ( ) 1 1 1 ; ; 1 2 2 4 x y x y xy + =     ⇔ =   ÷ =     . Giá trị nhỏ nhất của S bằng 191 16 khi ( ) ( ) 2 3 2 3 ; ; 1 4 4 1 2 3 2 3 16 ; ; 4 4 x y x y xy x y    + − =   ÷ + =      ⇔   =   − +    =  ÷     S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Hµ TiÕn Dòng 8 Bài 5. Câu VII.b khối D năm 2011 Tìm GTNN và GTLN của hàm số 2 2 3 3 1 x x y x + + = + trên đoạn [ ] 0; 2 . Lời giải ( ) 2 2 0 2 4 ' ; ' 0 2 1 x x x y y x x =  + = = ⇔  = − +  ; ( ) ( ) 17 0 3; 2 3 y y= = [ ] ( ) [ ] ( ) 0;2 0;2 17 max 2 ; min 0 3 3 y y y y= = = = IV. Bài tập tương tự 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) 24 cos12 3sin8= − −y x x x với , 6 6 π π   ∈ −     x b) 1 9= − + −y x x trên đoạn [ ] 3,6 2. Gọi 1 2 ,x x là các nghiệm của phương trình ( ) 2 2 2 2 1 4 3 0+ + + + + =x m x m m Tìm GTLN của ( ) 1 2 1 2 2= − +A x x x x Dạng toán 2: Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng I. Phương pháp Để tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) =y f x trên khoảng ta thực hiện theo các bước như sau: Bước 1: Tìm Miền xác định Bước 2: Tính đạo hàm 'y , sau đó giải phương trình ' 0=y Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số (thông thường trong trường hợp hàm số không đơn điệu trên tập cần tìm) Bước 4: Từ bảng biến thiên của hàm số ta kết luận được GTLN, GTNN II. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Tìm GTNN của ( ) 2 2 ( 1)− − + = x a x a f x x với ( ) 2 0 1 0< ≤ − + >x a a a Lời giải Ta có: 2 2 2 1 '( ) 1 1 − = − ≤ − + a a f x x a a * Nếu 2 1 '( ) 0 0 1 ( )≥ ⇒ ≤ ∀ < ≤ − + ⇒a f x x a a f x nghịch biến ( ) 2 2 2 2 1 ( ) 1 ( 1) 1 − + ⇒ ≥ − + = − − − + a a f x f a a a a a Với ( ) 2 1 1= − + ≥x a a a thì Min 2 2 2 1 ( ) 1 1 − + = − + − + a a f x a a a S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Hµ TiÕn Dòng 9 * Nếu 0 1 ( ) 0< < ⇒ =a f x có nghiệm =x a Từ bảng biến thiên suy ra: ( ) ( ) 1≥ = +f x f a a Với (0;1)= ∈x a thì inf ( ) 1= +M x a Ví dụ 2: Cho 2 2 x y 1. Tìm GTLN, GTNN+ = của A x 1 y y 1 x= + + + Lời giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 A x y 1 y 1 x 2 x y 2 2 x y 2 2≤ + + + + = + + ≤ + + = +     Với 1 x y thì A 2 2 2 = = = + Vậy Max A 2 2= + với 1 x y 2 = = Nếu [ ] [ ] x,y 0;1 A 0 xy 0 Min A 1 x,y 1;0 A 1 ∈ ⇒ >  ≥ ⇒ ⇒ = −  ∈ − ⇒ ≥ −  với x 1;y 0 x 0;y 1 = − =   = = −  Nếu xy 0< : Đặt ( ) 2 t 1 x y t xy 0 t 1;1 2 − + = ⇒ = < ⇒ ∈ − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 A x (1 y) 2xy 1 x 1 y y 1 x 1 xy(x y) 2xy 1 x y xy t 1 t 1 t 1 t 1 1 t. 2. 1 t 1 2 t 2 1 2 2 2 2 1 A f(t) 1 2 t 2t (1 2)t 2 2 2 3 1 2 1 2 1 2 Ta có : f ' t t 2t 0 t t ;t t 2 1 2 2 3 = + + + + + + = + + + + + + − − − −   = + + + + = + + +     ⇔ = = + + − + + −   + + + = + − = ⇔ = = − = = − S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Hµ TiÕn Dòng x 0 a 2 a a 1− + f’ - 0 + f a 1+ 10 [...]... thành: 2 + a = 2 + b ⇔ f ( a ) = f ( b ) 2 b = x − x t Xét hàm số: f ( t ) = 2 + t f ' ( t ) = 2 t ln 2 + 1 > 0; ∀t ∈ ¡ ⇒ f(t) là hàm số đồng biến trên ¡ f ( a ) = f ( b) ⇔ a = b ⇔ x − 1 = x2 − x ⇔ x = 1 Do đó: Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =1 III Các bài toán trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học Bài 1 Câu V khối D năm 2004 Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm x 5 − x 2 −... m x∈D MĐ6: Cho hàm số y = f ( x ) đơn điệu trên tập D Khi đó f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v (với mọi u , v ∈ D ) Dạng 1: Bài toán PT, HPT, BPT, HBPT không chứa tham số I Phương pháp Để giải phương trình f(x) = g(x) bằng phương pháp ứng dụng đạo hàm ta thường chứng minh hai miền giá trị của hai hàm f(x) và g(x) chỉ có chung đúng một phần tử x0 Từ đó kết luận x0 là nghiệm * Cụ thể: - Ta chứng minh f(x) ≥... y 2 + z 2 = 1 Tìm GTLN, GTNN của P = x + y + x + xy + yz + zx S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Hµ TiÕn Dòng 16 Chương II Phương pháp ứng dụng đạo hàm để giải PT, HPT, BPT, HBPT Để giải các PT, HPT, BPT, HBPT bằng phương pháp ứng dụng đạo hàm ta cần nắm cần nắm vững các mệnh đề (MĐ) sau: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên tập D MĐ1: Phương trình f ( x) = m có nghiệm x ∈ D ⇔ min f ( x ) ≤ m ≤ m ax f ( x ) x∈D... biến trên [ 1;2] Bảng biến thi n t 1 2 + f ( t ') 2 f ( t) 3 1 2 Từ bảng biến thi n, bất phương trình (1) có nghiệm x ∈ 0;1 + 3  khi và chỉ khi   bất phương trình (2) có nghiệm t ∈ [ 1;2] 2 Điều này xảy ra khi và chỉ khi m ≤ max f ( t ) = f ( 2 ) = ■ t∈[ 1;2] 3 III Các bài toán trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học Bài 1 Câu II khối A năm 2002 2 2 Cho phương trình: log 3 x + log 3 x + 1 − 2m... biến thi n suy ra : 2− 6 2+ 6 ≤S≤ 2 2 t = t1 = t -∞ f’(t) f(t) t1 - 0 t2 + 0 0 2+ 6 2 +∞ 0 2− 6 2 Với t = −3 − 6 3(4 − 6) −3 − 6 2− 6 ⇔y=± ;x= thì MinS = 3 20 3 2 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Hµ TiÕn Dòng 11 Với t = −3 + 6 3(4 + 6) −3 + 6 2+ 6 ⇔y=± ;x= thì MaxS = 3 20 3 2 Ghi chú: Bài tập này có thể dùng phương pháp điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm GTLN, GTNN III Các bài toán trong các kỳ thi. .. Dạng toán thường gặp là tìm giá trị tham số m để PT, BPT có nghiệm Với dạng toán này ta có thể thực hiện theo các bước như sau: Bước 1: Biến đổi PT, BPT về dạng f ( x ) = g ( m ) (hoặc f ( x ) ≥ g ( m ) , hoặc f ( x ) ≤ g ( m ) ) Bước 2: Tìm tập xác định D của hàm số f ( x ) Bước 3: Tính f ' ( x ) Bước 4: Lập bảng biến thi n của hàm số Bước 5: Xác định min f ( x ) và m∈ax f ( x ) x∈D x D Từ đó vận dụng. .. vận dụng một trong các mệnh đề đã nêu ở phần kiến thức bên trên rút ra kết luận cho bài toán Lưu ý: Trường hợp PT, BPT chứa các biểu thức phức tạp ta làm như sau: + Đặt t = ϕ ( x ) + Từ điều kiện rằng buộc của ẩn số x , tìm điều kiện của ẩn số t + Đưa PT, BPT ẩn số x về PT, BPT ẩn số t ta được f ( t ) = h ( m ) (hoặc f ( t ) ≥ h ( m ) , hoặc f ( t ) ≤ h ( m ) ) + Lập bảng biến thi n của hàm số f ( t... biến thi n: t 1 2 f’(t) 0 0 f(t) +∞ −∞ Từ bảng biến thi n, suy ra: f (t) < 0; ∀t > 2 mà t > 2 ⇒ log 2 t − 1 > 0 > f '(t) nên phương trình (2) vô nghiệm Do vậy, phương trình (2) chỉ có nghiệm t =2 với t = 2 ⇒ 2x = 2 ⇔ x = 1 Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =1 Ví dụ 2 Giải các phương trình sau: a) 8.3x + 3.2 x = 24 + 6 x (Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2000) ( b) log 7 x = log 3 2 + x ) (Đại học. .. cạnh đó ta cũng sử dụng kết quả: + Nếu hàm f(x) đồng biến và hàm g(x) nghịch biến (hoặc ngược lại) trên cùng một miền xác định thì đồ thị của hàm y = f(x) và y = g(x) nếu cắt nhau thì cắt nhau tại một điểm duy nhất Từ đó: phương trình f(x) = g(x) chỉ có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm + Nếu f(t) là hàm đơn điệu trên D thì f(x) = f(y) ⇔ x = y II Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1 Giải các phương trình: a)... hàm đơn điệu trên D thì f(x) = f(y) ⇔ x = y II Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1 Giải các phương trình: a) x + x log2 3 = x log 2 5 (Đại học Ngoại Thương năm 1996) b) (Đại học Ngoại Thương năm 1997) x 2 + 15 = 3 x − 2 + x 2 + 8 c) 2 x+1 − 4 x = x − 1 Lời giải a) x + x log2 3 = x log 2 5 (Đại học Ngoại Thương năm 1997) (1) Điều kiện : x > 0 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Hµ TiÕn Dòng 17 Phương trình (1) ⇔ x log 2 2 + x log2 . của người cán bộ, giáo viên trong ngành. Chính vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: " ;Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán ôn luyện thi vào Đại học môn Toán& quot;. II. Phạm vi và. sát trong các tiết giảng ôn luyện thi Đại học môn Toán cho các em học sinh. - Các dạng toán giải PT, BPT, HPT, HBPT; tìm GTLN, GTNN của hàm số; chứng minh bất đẳng thức trong chương trình toán. về những ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán trong kỳ thi tuyển sinh vào Đại học không nhiều và học sinh thường gặp khó khăn, lúng túng trong việc nhận diện, giải quyết dạng toán. Hơn