CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ A ĐẶT VẤN ĐỀ Phải nói rằng: Tốn học mơn khoa học tự nhiên lý thú Nó hút người từ cịn nhỏ Chính vậy, mong muốn nắm vững kiến thức toán học để học học giỏi mơn tốn nguyện vọng nhiều học sinh Trong giảng dạy mơn tốn, việc giúp học sinh nắm vững kiến thức bản, biết khai thác mở rộng kiến thức, áp dụng vào giải nhiều dạng tập điều quan trọng Từ giáo viên giúp cho học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, nhanh nhạy giải tốn từ học mơn đại số lớp Đó tiền đề để em học tốt môn đại số sau Trong toán học, “Toán luỹ thừa” mảng kiến thức rộng lớn, chứa đựng nhiều tốn hay khó Để làm tốn luỹ thừa khơng phải việc dễ dàng kể học sinh giỏi, học sinh lớp em làm quen với môn đại số tiếp cận với toán luỹ thừa nên chưa có cơng cụ phổ biến để thực phép biến đổi đại số, phương pháp, kĩ tính tốn Qua q trình cơng tác giảng dạy mơn tốn lớp nhiều năm, tơi nhân thấy em “sợ” dạng toán lũy thừa Đứng trước khó khăn học sinh tơi khơng khỏi băn khoăn, trăn trở làm để em có phương pháp giải mạnh dạn giải dạng toán lũy thừa Từ tơi mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Các phương pháp giải tập lũy thừa số hữu tỉ” với mong muốn giúp em học sinh giải toán lũy thừa nâng cao Bên cạnh đề tài nhằm cung cấp kiến thức bản, cần thiết kinh nghiệm cụ thể phương pháp giải toán luỹ thừa cho đối tượng học sinh, giúp em học sinh rèn luyện thao tác tư duy, phương pháp suy luận logic tạo say mê cho em học sinh yêu tốn nói chung tốn luỹ thừa nói riêng Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I TÌNH HÌNH CHUNG Thuận lợi Nhà trường trang bị đầy đủ phịng học thống mát, đầy đủ bàn ghế, máy vi tính Bên cạnh thân tơi cịn nhận quan tâm đạo kịp thời ban giám hiệu, hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình đồng nghiệp cơng tác giảng dạy Khó khăn Địa bàn dân cư nằm rải rác, kinh tế địa phương cịn nhiều khó khăn Trình độ dân trí cịn hạn chế, quan tâm đến việc học phụ huynh chưa mức, từ ảnh hưởng đến chất lượng học tập nói chung chất lượng học tập mơn tốn nói riêng Tận dụng thuận lợi vượt qua khó khăn trên, nghiên cứu chuyên đề với mong muốn giúp học sinh học tốt phần toán luỹ thừa, giúp em khơng cịn thấy sợ gặp tốn luỹ thừa, từ giúp em học tốn lũy thừa nói riêng mơn tốn nói chung tốt Hi vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh lớp học đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dạng tập II NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯỢC GIẢI QUYẾT Hệ thống hóa kiến thức Kiến thức mở rộng, nâng cao Một số dạng toán thường gặp phương pháp giải 3.1 Dạng1: Tìm số chưa biết 3.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa 3.1.2 Tìm số mũ, thành phần số mũ luỹ thừa 3.1.3 Một số trường hợp khác 3.2 Dạng Tìm chữ số tận giá trị luỹ thừa 3.2.1 Tìm chữ số tận Người thực hiện: Trần Công Cảnh Năm học 2014 - 2015 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 3.2.2 Tìm hai chữ số tận 3.2.3 Tìm chữ số tận trở lên 3.3 Dạng So sánh hai luỹ thừa 3.4 Dạng Tính tốn luỹ thừa 3.5 Dạng Toán đố với luỹ thừ III PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Hệ thống hóa kiến thức Muốn học tốt kiến thức toán lũy thừa, em học sinh cần phải hiểu, nhớ công thức lũy thừa bản, từ vận dụng để giải tập từ đến nâng cao a) Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên: a.a .a an =      (n ∈ N*) n thừa số b) Một số tính chất: Với a, b, m, n ∈ N      am an = am+n, am : an = am-n (a ≠ 0, m > n) (a.b)m = am bm (m ≠ 0) (am)n = am.n (m,n ≠ 0) am an ap = am+n+p (p ∈ N) Quy ước:  a1 = a  a0 = (a ≠ 0) Với : x, y ∈ Q; m, n ∈ N; a, b ∈ Z x.x .x • xn =     (x ∈ N*) n thừa số n   •   = a b an (b ≠ 0, n ≠ 0) bn Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ • xo = • xm xn = xm+n xm = x m − n (x ≠ 0) • n x (x ≠ 0) xn • x-n = • (xm)n = xm.n • (x.y)m = xm ym n x xn ã ữ = n (y 0) y y Kiến thức mở rộng, nâng cao Đây kiến thức không giới thiệu sách giáo khoa toán giải tập nâng cao cần phải có kiến thức Với x, y, z ∈ Q: • x < y x + z < y + z • Với z > thì: x < y x z < y z • z < thì: x < y x z > y z Với x ∈ Q, n ∈ N: • (-x)2n = x2n; (-x)2n+1 = - x2n+1 Với a, b ∈ Q: • • • • a > b > => an > bn a > b a2n +1 > b2n + a > 1, m > n > => am > an < a < 1, m > n > => am < an Một số dạng toán thường gặp phương pháp giải 3.1 Dạng 1: Tìm số chưa biết 3.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa Phương pháp chung: Đưa hai lũy thừa số mũ Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Bài Tìm x biết rằng: a) x3 = -27 b) (2x – 1)3 = c) (x – 2)2 = 16 d) (2x – 3)2 = Phương pháp giải Đối với toán dạng này, học sinh cần nắm vững kiến thức dễ dàng làm được, lưu ý đối câu a) câu b), biểu thức có số mũ lẻ ta áp dụng công thức tổng quát: A2n + = B2n +  A = B a) x3 = -27 b) (2x – 1)3 =  x3 = (-3)3  (2x – 1)3 = 23  x = -3  2x – = Vậy x = -  2x = +  2x = x= Vậy x = Cịn câu c) câu d) biểu thức có số mũ chẵn nên ta áp dụng cơng thức tổng quát: A2n = B2n  A = B A = -B c) (2x – 3)2 = => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32 2 x − = x = ⇒ ⇔ Vậy x = x =  x − = −3 x = d) (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42  x − = −4  x = −2 ⇒ ⇔ Vậy x = -2 x = x − = x = Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Bài Tìm số hữu tỉ x biết: x2 = x5 Phương pháp giải Nếu học sinh làm thấy nhẹ nhàng đến khơng tránh khỏi băn khoăn, lúng túng: hai lũy thừa số chưa biết, số mũ biết lại khác Vậy phải làm cách đây? Nhiều học sinh “tìm mò” x = x = 1, cách không thuyết phục cịn số x thỏa mãn đề ? Giáo viên gợi ý: x = x2 = x = x  x – x =  x (x - 1) = =>  x − =  5 2 =>  x = =>  x = x = Đến giáo viên cho học sinh làm tập sau: Bài Tìm số hữu tỉ y biết: (3y - 1)10 = (3y - 1)20 (*) Phương pháp giải Hướng dẫn: Đặt 3y – = x Khi (*) trở thành: x10 = x20  x 10 = Giải tương tự ta được:  10 x − =  x = x =  =>  10 =>  x = −1 x = x =  Rất học sinh dừng lại đây, tìm x Nhưng đề yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y • Với x = ta có : 3y -1 =  3y =  y = • Với x = ta có : 3y -1 =  3y =  y = • Với x = -1 ta có : 3y – = -1  3y =  y = Vậy y = ; ;0 3 Bài Tìm x biết: (x - 5)2 = (1 – 3x)2 Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Phương pháp giải Bài ngược với trên, hai lũy thừa có số mũ biết giống số chưa biết lại khác Lúc ta cần sử dụng tính chất: bình phương hai lũy thừa hai số đối   x − = − 3x x = ⇔ Ta có: (x - 5) = (1 – 3x) ⇔   x − = 3x −  x = −2  2 Bài Tìm x y biết: (3x - 5)100 + (2y + 1)200 ≤ (*) Phương pháp giải Với toán này, số số mũ hai lũy thừa không giống nhau, lại phải tìm hai số x y bên cạnh dấu “ ≤ ”, thật khó! Lúc cần gợi ý nhỏ giáo viên em giải vấn đề: so sánh (3x - 5) 100 (2y +1)200 với Ta thấy: (3x - 5)100 ≥ 0, ∀ x∈ Q (2y +1)200 ≥ 0, ∀ x∈ Q => Biểu thức (*) 0, khơng thể nhỏ Vậy: (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = => 3x – = 2y + = x= y = −1 Bài Tìm số nguyên x y cho: (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < Phương pháp giải Theo 3, học sinh nhận ngay: (x + 2)2 ≥ 0, ∀ x∈ 2(y – 3)2 ≥ 0, Z (1) ∀ x∈ Z (2) Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Nhưng nảy sinh vấn đề “ < ”, học sinh làm Giáo viên gợi ý: Từ (1) (2) suy ra, để: (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < xảy trường hợp sau:  x = −2 y = • Trường hợp 1: (x + 2)2 = (y – 3)2 = ⇒   x = −2  • Trường hợp 2: (x + 2)2 = (y – 3)2 = ⇒   y =  y =    x = −1  • Trường hợp 3: (x + 2)2 = (y – 3)2 = ⇒   x = −3 y =    x = −1   x = −3 • Trường hợp 4: (x + 2)2 = (y – 3)2 = ⇒   y =  y =  Vậy ta có bảng giá trị tương ứng x y thỏa mãn đề : x y -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 Thật toán phức tạp! Nếu khơng cẩn thận xét thiếu trường hợp, bỏ sót cặp giá trị x y thỏa mãn điều kiện đề Bây giáo viên cho học sinh làm toán tương tự sau: 1) Tìm x biết: a) (2x – 1)4 = 81 b) (x -2)2 = c) (x - 1)5 = - 32 d) (4x - 3)3 = -125 2) Tìm y biết : a) y200 = y b) y2008 = y2010 c) (2y - 1)50 = 2y – d) ( -5 )2000 = ( -5 )2008 y y Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 3) Tìm a, b, c biết : a) (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 ≤ b) (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 ≤ c) (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 ≤ d) (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 ≤ 3.1.2 Tìm số mũ, thành phần số mũ lũy thừa Phương pháp chung: đưa hai lũy thừa có số Bài Tìm n ∈ N, biết: a) 2008n = c) 32-n 16n = 1024 b) 5n + 5n+2 = 650 d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Phương pháp giải Đọc đề học sinh dễ dàng làm câu a a) 2008n =  2008n = 20080  n = Nhưng đến câu b, em vấp phải khó khăn: tổng hai lũy thừa có số khơng số mũ Lúc cần có gợi ý giáo viên: b) 5n + 5n+2 = 650  5n + 5n.52 = 650  5n.(1 + 25) = 650  5n = 650 : 26  5n = 25 = 52 n=2 Theo hướng làm câu b) học sinh biết cách làm câu c) d) c) 32-n 16n = 1024  (25)-n (24)n = 1024  2-5n 24n = 210  2-n = 210  n = -10 d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Người thực hiện: Trần Công Cảnh Năm học 2014 - 2015 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ  3n-1 + 3n-1 = 162  3n - = 162  3n-1 = 27 = 33 n–1=3 n=4 Bài Tìm hai số tự nhiên m, n biết: 2m + 2n = 2m+n Phương pháp giải Học sinh thực thấy khó gặp này, khơng biết phải làm để tìm hai số mũ m n Giáo viên gợi ý : 2m + 2n = 2m+n  2m+n – 2m – 2n =  2m.2n - 2m - 2n + =  2m(2n - 1) – (2n - 1) =  (2m - 1)(2n - 1) = (*) Vì 2m ≥ 1, 2n ≥ 1, ∀ m, n∈N 2 m − = 2 m = m =   Nên từ (*) =>  n =>  n =>  Vậy: m = n = 2 − = 2 = n =   Bài Tìm số tự nhiên n cho: a) < 3n ≤ 234 b) 8.16 ≥ 2n ≥ Phương pháp giải Đây dạng tốn tìm số mũ lũy thừa điều kiện kép Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa số lũy thừa có số a) < 3n ≤ 234  31 < 3n ≤ 35 => n ∈ { 2;3;4;5} b) 8.16 ≥ 2n ≥  23.24 ≥ 2n ≥ 22  27 ≥ 2n ≥ 22 => n ∈ { 2;3;4;5;6;7} Bài Tìm số tự nhiên n biết rằng: 415 915 < 2n 3n < 1816 216 Phương pháp giải Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh 10 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Với câu này, học sinh phải nhận cần đặt thừa số chung, đặt thừa số chung lại vấn đề Nếu đặt 313 làm thừa số chung buộc phải tính kết ngoặc, lâu dễ nhầm Khi đó, giáo viên hướng dẫn H = 3135 299 – 3136 36 H = 3135 299 – 3136 - 35 3136 H = 3135 (299 – 313) - 35 3136 H = 3135 14 - 35 3136 H = (3135 – 3136 ) 7 Bài Cho A = + 22 + 23 + … + 260 Chứng tỏ rằng: A 3, A 7, A 5 Phương pháp giải Với này, giáo viên hướng dẫn em nhóm lũy thừa thành nhóm 2; 3; lũy thừa cho sau đặt thừa số chung nhóm xuất số cần chứng tỏ A chia hết cho Ví dụ: A = + 22 + 23 + … + 260 = (2 + 22) + (23 + 24) + (25 + 26) + … + (257 + 258) + (259 + 260) = 2.(1 + 2) + 23.(1 + 2) + 25.(1 + 2) + … + 257.(1 + 2) + 259.(1 + 2) = (1 + 2).(2 + 23 + 25 + … + 257 + 259) = 3.(2+23+25+…+257+259) => A 3 Tương tự, ta có: A = (2 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + … + (258 + 259 + 260 ) = 2.(1 + + 22) + 24.(1 + + 22) + … + 258.(1 + + 22) = (1 + + 22).(2 + 24 + 27 + … + 258) = 7.(2 + 24 + 27 + … + 258) => A  A = (2 + 23) + (22 + 24) + … + (257 + 259) + (258 + 260) A = 2(1 + 22) +22(1 + 22) + … + 257(1 + 22) + 258(1 + 22) = (1 + 22).(2 + 22 + 25 + 26 + … + 257 + 258) = (2 + 22 + 25 + 26 + … + 257 + 258 => A 5 Người thực hiện: Trần Công Cảnh 32 Năm học 2014 - 2015 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Bài Chứng tỏ rằng: a) D = + 32 + 33 + 34 + … + 32007 13 b) E = 71 + 72 + 73 + 74 + … + 74n-1 + 74n 400 Phương pháp giải a) Ta thấy: 13 = + + 32 nên ta nhóm số hạng liên tiếp tổng thành nhóm sau: D = (3 + 32 + 33) + (34 +35 + 36) + … + (32005 + 32006.+ 32007) = 3.(1 + + 32) +34.(1 + + 32) + … + 32005.(1 + + 32) = 3.13 + 34.13 + …+ 32005.13 = (3 + 34 + …+ 32005) 13 => D 13 b) Tương tự câu a, có : 400 = + + 72 + 73 nên: E = (71 + 72 + 73 + 74) + 74 (71 + 72 + 73 + 74) + … + 74n-4 (71 + 72 + 73 + 74) = (71 + 72 + 73 + 74).(1+74 + 78 + … + 74n-4) = 7.(1 + 71 + 72 + 73).(1+74 + 78 + … + 74n-4) = 7.(1 + + 49 + 343).(1+74 + 78 + … + 74n-4) = 7.400.(1+74 + 78 + … +74n-4) 400 => E 400 Bài a) Tính tổng: Sn = + a + a2 + … + an b) Áp dụng tính tổng sau: A = + + 32+ … + 32008 B = + + 22 + 23 + … + 21982 C = 71 + 72 + 73 + 74 + … + 7n-1 + 7n Phương pháp giải a) Đây toán tổng quát, giáo viên gợi ý trực tiếp cho học sinh cách làm để thu gọn tổng lũy thừa này, ta nhân hai vế biểu thức với số lũy thừa * Xét a = 1, ta có: Sn = + + 12 + + 1n =(n +1).1 = n +1 * Xét a ≠ 1, ta có: Người thực hiện: Trần Cơng Cảnh Năm học 2014 - 2015 33 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Sn = + a + a2 + + an => a Sn = a + a2 + … + an+1 => a Sn - Sn = an+1 – a n +1 − => Sn = a −1 b) Học sinh dễ dàng tính tổng A, B, C nhờ công thức Sn A = + + 32 + … + 32008 = 2009 − B = + + 22 + 23 + … + 21982 = 21983 - 1 C=7 + +7 + +…+7 n-1 n +1 − +7 = n Bài Thu gọn tổng sau: M = - + 22 - 23 + … + 22008 Phương pháp giải Mặc dù có cơng thức tính tổng lũy thừa viết theo quy luật tính tổng M học sinh khơng tránh khỏi lúng túng với dấu ‘+’, ‘-‘ xen kẽ Nếu vận dụng máy móc cách tính tổng B câu b, 4: lấy 2M - M khơng thu gọn tổng M Giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu được: câu b) 4, ta tính hiệu hai biểu thức hai biểu thức có số hạng giống nhau; cịn hai tổng 2M M lại có số hạng đối nên ta xét tổng chúng: M = - + 22- 23 + … + 22008 => 2M = - 22 + 23 – 24 + … + 22009 => 2M + M = 22009 + 2009 + => M = Bài Tính: a) A = 1 1 + + + + 100 2 2 b) B = 1+ 1 1 + + + + 500 5 5 Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh 34 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Phương pháp giải Làm tương tự a) A = 1 1 + + + + 99 + 100 2 2 2 1 + + + 99 2 2 => 2A = 1+ + => 2A – A = (1+ + 2 => A = 1+ − + b) B = 1+ 1 1 1 + + + 99 ) – ( + + + + 100 ) 2 2 2 2 1 1 1 1 − + − + + 99 − 99 − 100 => A = - 100 2 2 2 2 1 1 + + + + 500 5 5 => 5B = 5+1+ 1 1 + + + + 499 5 5 => 5B – B = (5+1+  4B = 5+1-1+  4B =  B = (5 - 1 1 1 1 + + + + 499 ) – (1+ + + + + 499 ) 5 5 5 5 1 1 1 1 − + − + − + + 499 − 499 − 500 5 5 5 5 5 500 500 ):4 Bài Tính: B = 1002 - 992 + 982 – 972 + … + 22 - Phương pháp giải Với học sinh nghĩ tới việc nhóm số 100 2, 982, … 22 thành nhóm số cịn lại thành nhóm Nhưng nhóm khơng tính nhanh Để làm giáo viên cho học sinh chứng tỏ đẳng thức sau: Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh 35 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Với số tự nhiên a b, ta có: (a - b).(a + b) = a2 - b2 Thật vậy, ta có: (a - b).(a + b) = (a - b).a + (a - b).b = a2 – ab + ab - b2 = a2 - b2 Vậy: (a - b).(a + b) = a2 - b2 Áp dụng đẳng thức vào ta được: B = 1002 - 992 + 982 – 972 + …+ 22 – = (100 - 99).(100 + 99) + (98 - 97).(98 + 97) +…+ (2 - 1).(2 + 1) = 100 + 99 + 98 + 97 +…+ + = 100.(100 + 1) : = 5050 Bài Chứng tỏ a) H = 1 1 + + + + + H = Mà 1 = − (n ∈ N*) n.(n + 1) n n + 1 1 1 1 + + + + + < + + + (*) 2 2 2007 2008 1.2 2.3 2007.2008 1 1 1 1 1 + + + = − + − + − + + − = 1− H < Qua tốn trên, giáo viên cho học sinh làm toán tổng quát sau: Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh 36 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Bài 10 Chứng tỏ: a) H = 1 1 + + + + + + < (n ∈ N * , n ≠ 1) 22 20032 n b) K = 1 1 1 1 + + + + + + < 2 10 12 14 Phương pháp giải a) H < 1 1 1 1 1 + + + − = 1− < = − + − + − + + 1.2 2.3 (n − 1).n 2 3 n −1 n n Nên H < b) K = 1 1 1 1 1 + + + + + + ) < (1+1) = 2 = ( 2 2 (Vì theo câu a, Vậy K < 1 1 1 + + + + + < 1) 2 Bây giáo viên cho học sinh làm số tập luyện tập sau: 1) Chứng tỏ biểu thức sau viết dạng số phương: M = 13+23 Q = 13+23+33+43+53 N = 13+23+33 R = 13+23+33+43+53+63 P = 13+23+33+43 K = 13+23+33+43+53+63+73 2) Tính A B hai cách trở lên: A = + + 22 + 23 + 24 + … + 2n (n ∈ N*) B = 70 + 71 + 72 + 73 + 74 + … + 7n+1 (n ∈ N) 3) Viết tổng sau dạng lũy thừa T = 22+ 22 + 23 +24+25+…+ 22008 4) So sánh: a) A = + + 22 + 23 + 24 + 25 +…+ 22008 B = 22009 – b) P = + + 32 + … + 3200 Q = 3201 c) E = + x + x2+ … + x2008 F = x2009 (x ∈ N*) Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh 37 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 5) Chứng tỏ rằng: a) 13 + 33 + 53 + 73  b) + 33 + 35 + 37 + … + 32n+1  (n ∈ N*) 30 c) + + 52 + 53 + … + 5403 + 5404  31 d) + + 42 + 43 + 44 + … + 499 B = 4100 6) Tìm số dư chia A cho 7, biết A = + + 22 + 23 + … + 22008 + 22002 7) Tính: a) 3S – 22003 biết S = – + 22 - 23 + … + 22002 b) E = 2100 – 299 – 298 – 297 - … - 22 - – c) H – K biết: H = + + 32 + 33 +…+ 320 K = 321 : 8) Tìm: a) Số tự nhiên n biết: 2A + = 3n Với A = + 32 + 33 + … + 3100 b) Chữ số tận M biết: M = + 22 + 23 + … + 220 9) Chứng tỏ rằng: a) 87 – 218  14 h) 122n+1 + 11n+2  133 c) 817 – 279 - 913  405 i) 70 + 71 + 72 + 73 +…+7101  b) 106 – 57  59 k) + 42 + 43 + 44 +…+ 416  d) 1099 + 23  l) 439 + 440 + 441  28 e) 1028 +  72 m) + 35 + 37 + … + 31991   13 41 10) Chứng tỏ rằng: a) 1 1 + + + + < 2 100 b) 1 1 1 < + + + + < 6 100 + + 52 + + 59 + + 32 + + 39 c) A > B với: A = ;B= + + 52 + + 58 + + 32 + + 38 Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh 38 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 3.5 Dạng 5: Toán đố với lũy thừa Dạng tốn đố với lũy thừa có số chủ yếu liên quan đến số phương (Số phương bình phương số tự nhiên) Phương pháp: Cần hiểu số kiến thức sau • Số phương có số tận 0, 1, 4, 5, 6, khơng thể có số tận 2, 3, 7, • Khi phân tích thừa số ngun tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ • Số lượng ước số phương số lẻ Ngược lại số có số lượng ước số lẻ số số phương Bài Trong buổi họp mặt đầu xuân Tân Mùi 1991, bạn Thủy đố bạn điền chữ số vào dòng chữ sau để phép tính MÙI MÙI = TÂN MÙI (*) Bạn trả lời giúp Phương pháp giải Đề hay, tìm câu trả lời thật khó Ta phải tìm câu trả lời thích hợp thay cho dịng chữ (*) MÙI số có chữ số Theo (*) (MÙI)2 có tận mùi có chữ số Đi tìm đáp án: Gọi MÙI = a Ta có: a2 = 1000 TÂN + a hay a2 – a = 1000 TÂN => a.(a - 1)  1000 Ta thấy a - a hai số liên tiếp 1000 = 125 với (125 ; 8) = Vậy xảy ra: • a 125 a –  => a = 625 Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh 39 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ • a  a -  125 => a = 376 Do đó: 625 625 = 390625 (thỏa mãn) 376 376 = 141376 (khơng thỏa mãn, chữ T khác chữ N) Vậy MÙI MÙI = TÂN MÙI 625 625 = 390625 Bài Đố bạn số phương có chữ số viết chữ số: 3; 6; 8; Phương pháp giải Với toán này, ta phải sử dụng phương pháp loại trừ để tìm đáp án: Gọi số phương phải tìm n2 Số phương khơng tận 3, nên n2 có tận Số tận 86 chia hết cho 2, khơng chia hết khơng phải số phương Vậy n2 có tận 36 Do số phương cần tìm 8836 Bài Bạn tìm số phương có chữ cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống Gợi ý: Gọi số cần tìm aabb => ∃ n ∈ N : n2 = aabb = 11 a0b => a0b = 11k2 (k ∈ N ) Ta có 100 ≤ 11k2 ≤ 909 => ≤ k ≤ Thử giá trị k có số 704 có chữ số hàng chục Vậy k = số cần tìm 7744 Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh 40 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ C KẾT LUẬN I KẾT QUẢ THỰC HIỆN Trong năm học vừa qua, kết hợp với công tác giảng dạy chuyên đề cho học sinh giỏi, hướng dẫn em học sinh khối học chuyên đề này, Kết cho thấy em giải tốt tốn lũy thừa mà cịn hào hứng với chuyên đề này, giúp em cảm thấy yêu thích mơn tốn nói chung tốn lũy thừa nói riêng Tôi cho 40 em học sinh khá, giỏi khối lớp làm kiểm tra khảo sát trước sau thực chuyên đề này, kết cho thấy: Năm học 2012 – 2013: (chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm) Tổng số Dưới 5  8  10 Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % Số luọng Tỉ lệ % 40 20 50 16 40 10 Năm học 2013 – 2014: (năm học áp dụng sáng kiến kinh nghiệm) Tổng số Dưới Số lượng Tỉ lệ % 40 12 30 Năm học 2014 – 2015: (học kì 1)  Số lượng Tỉ lệ % 20 50  10 Số luọng Tỉ lệ % 20 Tổng số Dưới Số lượng Tỉ lệ % 40 10  Số lượng Tỉ lệ % 22 55  10 Số luọng Tỉ lệ % 14 35 Các em học sinh sau học chuyên đề nắm vững dạng tập lũy thừa để tìm phương pháp giải hợp lý cho tập nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi Đặc biệt số em đội tuyển học sinh giỏi giải vận dụng linh hoạt, nhanh chọn phương pháp tối ưu giải toán II LỜI KẾT Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh 41 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Như giới thiệu, “Toán lũy thừa số hữu tỉ” mảng kiến thức rộng, chứa đựng nhiều tốn hay lí thú Để chiếm lĩnh khơng phải việc dễ làm Với hệ thống tập từ dễ đến khó dạng tốn, muốn cung cấp số phương pháp giải tập có liên quan đến lũy thừa, giúp em u thích học tốn đào sâu kiến thức mảng lũy thừa dạng tập Tùy theo khả mức độ nhận thức học sinh mà giáo viên truyền thụ kiến thức, phương pháp làm tập cho phù hợp với đối tượng Tuy cố gắng công việc nghiên cứu, vấn đề thời gian, kinh nghiệm hạn chế nên chuyên đề khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận tham gia đóng góp ý kiến từ đồng nghiệp để chuyên đề hoàn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn Bình Sơn, ngày 10 tháng năm 2015 Người viết Trần Công Cảnh Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh 42 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ D TÀI LIỆU THAM KHẢO Sưu tầm từ mạng internet Sưu tầm, học hỏi từ đồng nghiệp Phương pháp giải toán theo chủ đề phần đại số (Phan Văn Thoại) Chuyên đề bồi dưỡng toán THCS (Nguyễn Vũ Thanh) Bồi dưỡng học sinh giỏi toán (Trần Thị Vân Anh) Bài tập nâng cao số chuyên đề toán (Bùi Văn Tuyên) Toán bồi dưỡng học sinh giỏi (Vũ Hữu Bình – Tơn Thân – Đỗ Hoàng Hiếu) Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh 43 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Mục lục Trang A ĐẶT VẤN DỀ B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I TÌNH HÌNH CHUNG II NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯỢC GIẢI QUYẾT III PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Hệ thống hóa kiến thức Kiến thức mở rộng, nâng cao Một số dạng toán thường gặp phương pháp giải 3.1 Dạng 1: Tìm số chưa biết 3.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa 3.1.2 Tìm số mũ, thành phần số mũ luỹ thừa 3.1.3 Một số trường hợp khác .12 3.2 Dạng 2: Tìm chữ số tận giá trị luỹ thừa 14 3.2.1 Tìm chữ số tận 14 3.2.2 Tìm chữ số tận 19 3.2.3 Tìm chữ số tận trở lên .22 3.3 Dạng 3: So sánh hai luỹ thừa 23 3.4 Dạng Tính tốn luỹ thừa 30 3.5 Dạng 5: Toán đố với luỹ thừa 39 C KẾT LUẬN 41 I KẾT QUẢ THỰC HIỆN 41 II LỜI KẾT 42 D TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh 44 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ NHẬN XÉT – ĐÁNH GIÁ – XẾP LOẠI TỔ CHUYÊN MÔN HỘI ĐÔNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh 45 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ NHẬN XÉT – ĐÁNH GIÁ – XẾP LOẠI HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GIÁO DỤC Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh 46 ... Cảnh 38 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 3.5 Dạng 5: Toán đố với lũy thừa Dạng toán đố với lũy thừa có số chủ yếu liên quan đến số phương (Số phương bình phương số tự... Cảnh CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ Bài Tìm số hữu tỉ x biết: x2 = x5 Phương pháp giải Nếu học sinh làm thấy nhẹ nhàng đến khơng tránh khỏi băn khoăn, lúng túng: hai lũy. .. đưa dạng số có chữ số tận chữ số Năm học 2014 - 2015 Người thực hiện: Trần Công Cảnh 14 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ • Lưu ý: số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc