RÈN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ A - ĐẶT VẤN ĐỀ 1.. Lí do chọn đề tài Phương trình bậc hai một ẩn số là một mảng rất quan trọng trong chương trình toán THCS nói
Trang 1RÈN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
A - ĐẶT VẤN ĐỀ
1 Lí do chọn đề tài
Phương trình bậc hai một ẩn số là một mảng rất quan trọng trong chương trình toán THCS nói chung và với lớp 9 nói riêng Nó có ứng dụng rất lớn trong giải toán, nó giữ vai trò không thể thiếu của chương trình toán 9 và luôn có mặt trong các đề thi tốt nghiệp THCS trước đây và đề thi vào lớp 10 THPT
Qua thực tế nhiều năm giảng dạy về phương trình bậc hai tôi nhận thấy các
em còn gặp rất nhiều lúng túng, mắc sai sót trong quá trình giải các bài tập có liên quan tới phương trình bậc hai, đặc biệt những bài toán có sử dụng tới định lí Viet Nguyên nhân cơ bản dẫn tới vấn đề trên là các em không nắm chắc lí thuyết và việc rèn luyện kỹ năng giải toán còn ít
Theo tôi để khắc những điểm yếu nói trên thì việc ôn tập kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán là hết sức cần thiết
Vấn đề đặt ra cho người thầy là giảng dạy như thế nào để học sinh dễ tiếp thu và nắm chắc kiến thức, vận dụng tốt vào giải toán, giảng dạy như thế nào để phù hợp với nhiều đối tượng học sinh Đó là vấn đề mà tôi luôn trăn trở, tìm tòi trong quá trình giảng dạy và luôn mong muốn được trao đổi với các bạn đồng nghiệp
Vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất một số giải pháp mà tôi đã thực hiện qua đề tài: “ Rèn kỹ năng giải bài tập về phương trình bậc hai một ẩn số”
2 Mục đích của đề tài:
1 Củng cố, khắc sâu kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn
2 Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải các dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn
2 Giúp các em tiếp thu kiến thức một cách có hệ thống, chủ động, sáng tạo, rèn khả năng tự học
3 Tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn, tránh được một số sai lầm khi giải toán về phương trình bậc hai một ẩn
4 Thông qua việc giải toán học sinh thấy rõ hơn mục đích của việc học tập toán, đồng thời góp phần nâng cao năng lực trí tuệ cho học sinh, nâng cao chất lượng giáo dục đại chà và bồi dưỡng học sinh giỏi
Trang 23 Đối tượng nghiên cứu và thực hiện:
Học sinh lớp 9
4 Phương pháp nghiên cứu:
1 Nghiên cứu kỹ chương trình SGK, đọc thêm STK(chương trình cũ và mới)
2 Điều tra tình hình học sinh khi làm các bài toán
3 Dùng phương pháp kiểm nghiệm thông qua việc ra đề kiểm tra
4 Trao đổi với các đồng nghiệp, học hỏi kinh nghiệm
B NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA ĐỀ TÀI
Phần I kiến thức cần nắm vững
- Hệ thống lại các kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn số
Phần II bài tập rèn luyện
I Toán trắc nghiệm
Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết
II Toán tự luận
Mục đích: - Rèn kỹ năng giải toán, phát triển năng lực tư duy, suy luận
- Cung cấp phương pháp giải
- Khắc phục những sai sót
- Rèn khả năng tự học
Bố trí nội dung:
- Phân loại các dạng toán (rèn kỹ năng tính toán, suy luận từ dễ đến khó phù hợp các đối tượng)
- Các bài toán được xắp xếp theo trình tự từ dễ đến khó
- Trong mỗi bài toán, các câu hỏi xếp theo trình tự từ dễ đến khó
- Các bài toán chỉ là đại diện (không mang tính đầy đủ) sau mỗi bài có các bài toán tương tự cho học sinh tự rèn
C NỘI DUNG CỤ THỂ CỦA ĐỀ TÀI
Phần I kiến thức cần nắm vững
Để học sinh làm được các bài tập về phương trình bậc hai, trước tiên giáo viên phải giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản sau
1 Công thức nghiệm:
Phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có = b2- 4ac
Trang 3+ Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
+ Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 2a b
+ Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =
a
b
2
; x2 =
a
b
2
2 Công thức nghiệm thu gọn:
Phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có ’=b’ 2- ac ( b =2b’ )
+Nếu ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm
+Nếu ’= 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = a b
+Nếu ’> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =
a
b '
; x2 =
a
b '
3 Hệ thức Vi-ét
a) Định lí Vi-ét:
Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 (a 0)
thì: S = x1+ x2 = a b; P = x1.x2 = a c
b) ứng dụng:
+Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = a c
+Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = a c
+ Định lí: (ĐL Vi-ét đảo)
Nếu hai số x1; x2 có x1+x2= S ; x1.x2 = P thì x1; x2 là nghiệm của phương trình : x2- S x+P = 0 (x1 ; x2 tồn tại khi S2 – 4P 0)
Chú ý: + Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình ax2 + bx + c = 0
(a 0) có nghiệm (tức là 0)
+ Nếu a và c trái dấu thì phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) luôn có hai nghiệm trái dấu
Trang 4Phần II bài tập rèn luyện
I Toán trắc nghiệm
(Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết)
Bài 1: Điền vào chỗ để có mệnh đề đúng
a) Phương trình mx2+nx+p = 0 (m 0) có =
Nếu thì phương trình vô nghiệm
Nếu thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
Nếu thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 =
b) Phương trình px2+qx+k = 0 (p 0) có ’= ( với q = 2q’ )
Nếu ’ thì phương trình vô nghiệm
Nếu ’ thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
Nếu ’ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 =
(gợi ý trả lời: đối chiếu các công thức nghiệm)
Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai
A Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 (a 0)
thì: S = x1+ x2 = a b; P = x1.x2 = a c
B Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 (a 0)
thì: S = x1+ x2 = a c; P = x1.x2 = a b
C Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = a c
D Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: a-b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = a c
E Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = a c
F Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = a c
Trang 5G Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình :
x2- S x+P = 0
H Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình :
x2- P x+S = 0
(đáp án: Đúng: A, C, E, G ; Sai: B, D, F, H)
Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn cùng tranh luận về các mệnh đề sau:
A.Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 có a+b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = a c
B.Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 có: a-b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = -1; x2 = a c
C.Phương trình ax2+bx+c=0 có tổng hai nghiệm làa b và tích hai nghiệm là a c D.Phương trình 2x2-x+3 = 0 có tổng hai nghiệm là 21và tích hai nghiệm là 23
Hùng nói: cả bốn mệnh đề đều đúng
Hải nói: cả bốn mệnh đề đều sai (Đáp số: Hải nói đúng )
Tuấn nói: A, B, C đúng còn D sai
Theo em ai đúng, ai sai? giải thích rõ vì sao?
GV: Cần khắc sâu hơn về a 0 và khi sử dụng ĐL viet thì phải có ĐK: 0)
II Toán tự luận
Mục đích:
- Rèn luyện kỹ năng vận dụng lí thuyết giải quyết các bài tập tính toán, suy luận từ đơn giản đến phức tạp
- Phát triển khả năng suy luận, tư duy cao
Loại toán rèn kỹ năng áp dụng công thức vào tính toán
Bài 1: Giải phương trình
a) x2 - 49x - 50 = 0
b) (2- 3)x2 + 2 3x – 2 – 3 = 0
Giải:
a) Giải phương trình x2 - 49x - 50 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
= (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601; = 51
Trang 6Do > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1
2
51 ) 49 (
1
2
51 ) 49 (
2
x
+ Lời giải 2: ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = 50
1
50
(lưu ý học sinh ở đây a = 1 khác 0)
+ Lời giải 3: = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601
Theo định lí Viet ta có :
50
1 50
).
1 ( 50 49
50 ) 1 ( 49
2
1 2
1
2 1
x
x x
x
x x
Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = 50
1
50
b) Giải phương trình (2- 3)x2 + 2 3x – 2 – 3 = 0
Giải:
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2- 3; b = 2 3; c = – 2 – 3)
= (2 3)2- 4(2- 3)(– 2 – 3) = 16; = 4
Do > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1
) 3 2 ( 2
4 3 2
) 3 2 ( 2
4 3 2
x
+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2- 3; b’ = 3; c = – 2 – 3)
’ = ( 3)2- (2- 3)(– 2 – 3) = 4; = 2
Do ’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1
3 2
2 3
3 2
2 3
2
x
+ Lời giải 3: ứng dụng của định lí Viet
Do a + b + c = 2- 3 + 2 3+ (- 2 - 3) = 0
Nên phương trình có nghiệm: x1 = 1; x1 = ( 7 4 3 )
3 2
3 2
*Yêu cầu:
+ Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức
+ áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)
+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán
* Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1 3x2 – 7x - 10 = 0
2 x2 – 3x + 2 = 0
3 x2 – 4x – 5 = 0
4 3x2 – 2 3x – 3 = 0
5 x2 – (1+ 2)x + 2 = 0
6 3x2 – (1- 3)x – 1 = 0
7 (2+ 3)x2 - 2 3x – 2 + 3 = 0
8 x2 – x – 6 = 0
Trang 7Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Do u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình
x2 – 42x + 441 = 0 (*)
Ta có: ’ = (- 21)2- 441 = 0 Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21 Vậy u = v = 21
*Bài tập tương tự:
1 Tìm hai số u và v biết:
a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24
c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10
2 Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m2
(Gợi ý: ý b) đưa về dạng tìm u và -v biết u+(-v) = 5 và u(-v) = -24)
Bài 3: Giải các phương trình sau
(phương trình quy về phương trình bậc hai)
a) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0
b) 2 1( 21)( 84)
x x x
x
c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 d) 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0 Giải
a) Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 (1)
(1) (x2 - 2)(x + 3) = 0 (x+ 2)(x- 2)(x + 3) = 0
x = - 2; x = 2; x = - 3
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = - 2; x = 2; x = - 3
b) Giải phương trình 2 1 ( 21)( 84)
x x x
x
(2) Với ĐK: x -1; x 4 thì
(2) 2x(x- 4) = x2 – x + 8 x2 – 7x – 8 = 0 (*)
Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm
x1 = -1(không thoả mãn ĐK) ; x2 = 8 (thoả mãn ĐK)
Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3)
Ta có: (3) 5x4 – 3x2 – 26 = 0
Đặt x2 = t (t 0) thì (3) 5t2 – 3t – 26 = 0
Xét = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529 = 23
Trang 8Nên t1 = (23.)523 135 (thoả mãn t 0) ; t2 = 2
5 2
23 ) 3 (
(loại)
t = 135 x2 = 135 x =
5
13
Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 =
5
13
; x2 =
5 13
d) Giải phương trình 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0 (4)
Đặt x2+x = t Khi đó (4) 3t2 – 2t – 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 Nên t1 = 1; t2 = 31
t1 = 1 x2+x = 1 x2 + x – 1 = 0
1 = 12 - 4.1.(-1) = 5 > 0 Nên x1 =
2
5 1
; x2 =
2
5 1
t2 = 31 x2+x = 31 3x2 + 3x + 1 = 0 (*)
2 = 32 - 4.3.1 = -3 < 0 Nên (*) vô nghiệm
Vậy phương trình (4) có nghiệm x1 =
2
5 1
; x2 =
2
5 1
* Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1 x3+3x2+3x+2 = 0
2 (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2
3 x4 – 5x2 + 4 = 0
4 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0
5 x3 + 2 x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2
6 10 1 3
x x
x
7 (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0
2
x
x x
x
2
6 3 5 2
Bài 4: Cho phương trình x2 + 3x - 5 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A =
2 2
1 1
x
x ; B = x12 + x22 ; C = 2
2
2 2
1 1
x
x ; D = x13 + x23 Giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Viet ta có:
x1 + x2 = 3; x1.x2 = 5
5
1 5
3
1 1
2 1
2 1 2 2
x x
x x x
B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= ( 3 ) 2 2 ( 5 ) 3 2 5
5
1 ) 5 (
5 2 3
2
2
1
2 2
2
1
x x
x x
;
D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = ( 3 )[ 3 2 5 ( 5 )] ( 3 3 3 15 )
* Bài tập tương tự:
Trang 9Cho phương trình x2 + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A =
2 2
1 1
x
x ; B = x12 + x22 ; C = 2
2
2 2
1 1
x
x ; D = x13 + x23
E =
2
3 1
3 2 1
2 2 2 1
2
1
5 5
6 10
6
x x x x
x x x x
; F =
2
2 1
2 2 1
2 2 2 1
2 1
4 4
3 5
3
x x x x
x x x x
Loại toán rèn kỹ năng suy luận
(Phương trình bậc hai chứa tham số)
Bài 1: (Bài toán tổng quát)
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có:
1 Có nghiệm (có hai nghiệm) 0
2 Vô nghiệm < 0
3 Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) = 0
4 Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
5 Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
6 Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0
7 Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0
8 Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 và P > 0
9 Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S < 0
12 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S > 0
(ở đó: S = x1+ x2 = a b ; P = x1.x2 = a c )
* Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ động khi giải loại toán này
Bài 2: Giải phương trình (giải và biện luận): x2- 2x+k = 0 ( tham số k)
Giải
’ = (-1)2- 1.k = 1 – k Nếu ’< 0 1- k < 0 k > 1 phương trình vô nghiệm
Nếu ’= 0 1- k = 0 k = 1 phương trình có nghiệm kép x1= x2=1
Nếu ’> 0 1- k > 0 k < 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = 1- 1 k ; x2 = 1+ 1 k
Kết luận:
Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm
Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1
Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1- 1 k; x2 = 1+ 1 k
Trang 10Bài 3: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)? Giải
a) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x = 23 (là nghiệm)
+ Nếu m 1 Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm ’ = 3m-2 0 m 32
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m 32 thì phương trình có nghiệm b) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x = 23 (là nghiệm)
+ Nếu m 1 Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm duy nhất ’ = 3m-2 = 0 m = 32 (thoả mãn m # 1)
Khi đó x = 1 3
3 2
1 1
1
m
+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 23
với m = 32 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 4m – 3 = 0 m = 43
Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 = 43-1= 41 # 0)
Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = 12 6
4 1
3 1
3
2
x m
Vậy m = 43 và nghiệm còn lại là x2 = 6
* Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài toán trở nên phức tạp và học sinh thường hay sai sót)
Bài 4: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm