Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán tìm giới hạn trong chương trình lớp 11 trung học phổ thông ( Ban cơ bản

Thực tiễn dạy học giải các bài toán tìm giới hạn trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 Trung học phổ thông Ban cơ bản.. Trên thực tế số lượng các bài tập của từng chương cũng rất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học : PGS TS NGUYỄN NHỤY

HÀ NỘI-2011

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Lịch sử nghiên cứu 2

2.1 Trên thế giới 2

2.1.1 Lịch sử về sự phát triển và phát sinh môn Giải tích 2

2.1.2 Tính liên tục và rời rạc, chuyển động và đứng yên trong lịch sử phát triển môn Giải tích 4

2.2 Ở Việt Nam 6

3 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 6

4 Đối tượng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu 7

5 Mẫu khảo sát 7

6 Vấn đề nghiên cứu 7

7 Giả thuyết khoa học 7

8 Phương pháp nghiên cứu 7

8.1 Nghiên cứu lí luận 7

8.2 Nghiên cứu thực nghiệm sư phạm 8

9 Cấu trúc luận văn 8

CHƯƠNG 1.CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 9

1.1 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học và những phương pháp dạy học tích cực 9

1.1.1 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông 9

1.1.2 Một số phương pháp dạy học tích cực 9

1.2 Kĩ năng 10

1.2.1 Khái niệm kĩ năng 10

1.2.1.1 Khái niệm 10

1.2.1.2 Đặc điểm của kĩ năng 11

1.2.2 Kĩ năng giải Toán 13

1.3 Thực tiễn dạy học giải các bài toán tìm giới hạn trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 Trung học phổ thông (Ban cơ bản) Những khó khăn của giáo viên và học sinh khi dạy và học phần giới hạn 15

1.3.1 Mục tiêu, nội dung của chương giới hạn lớp 11 THPT 15

1.3.2 Những khó khăn của học sinh do đặc thù môn học 16

1.3.3 Những kĩ năng cơ bản thuộc nội dung chương giới hạn lớp 11 Trung học phổ thông (Ban cơ bản) 17

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11 THPT (BAN CƠ BẢN) 18

2.1 Biện pháp 1 Phân tích định nghĩa khái niệm 18

2.2 Biện pháp 2 Phân tích nguyên nhân những sai lầm thường gặp của học sinh khi giải các bài toán tìm giới hạn 21

2.2.1 Sai lầm khi tìm giới hạn d¹ng 0 0 22

2.2.4 Sai lầm khi tìm giới hạn d¹ng 0  26

2.2.5 Sai lầm khi tìm giới hạn của tổng vô hạn các đại lượng vô cùng bé 27

2.3 Biện pháp 3 Hệ thống hóa các dạng toán tìm giới hạn 28

2.3.1 Giới hạn dãy số 28

2.3.1.1 Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số hữu hạn 28

2.3.1.2 Dạng 2: Tìm giới hạn vô cực của dãy số 33

2.3.2 Giới hạn hàm số 42

2.3.2.1 Dạng1: Giới hạn dạng xác định 42

2.3.3.3 Dạng 3: Ứng dụng của hàm số liên tục 72

2.5 Biện pháp 5 Rèn luyện kỹ năng tính toán 81

CHƯƠNG 3 TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ 85 3.1 Mục đích, tổ chức thử nghiệm 85

3.1.1.Mục đích thử nghiệm 85

3.1.2 Tổ chức thử nghiệm 85

3.3 Kết quả thử nghiệm và những kết luận rút ra từ thử nghiệm 96

3.3.1 Về khả năng lĩnh hội kiến thức của học sinh 96

3.3.2 Về kết quả kiểm tra 96

3.4 Đánh giá thử nghiệm 102

3.4.1 Giáo viên dạy thử nghiệm 102

3.4.2 Kết quả kiểm tra 103

KẾT LUẬN 105

TÀI LIỆU THAM KHẢO 106

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong các môn học ở nhà trường phổ thông, môn Toán có một vị trí rất quan trọng vì Toán học là công cụ ở nhiều môn học khác Môn Toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh óc tư duy trừu tượng, tư duy chính xác, và tư duy logic Qua đó có tác dụng lớn trong việc rèn luyện cho học sinh tính tư duy sáng tạo Trong những năm gần đây, đổi mới giáo dục là một đề tài được cả xã hội quan tâm và theo dõi

sự chuyển biến của nó, Đảng và Nhà nước đã đề ra nhiều chủ trương, chính sách nhằm phát triển giáo dục với mục tiêu là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có tri thức, phẩm chất tốt, có trình độ thẩm mĩ và lòng yêu nghề nghiệp, đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc trong thời

kỳ mới

Điều 28 khoản 2 của Luật giáo dục nêu rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông

phải phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ”

Nghị quyết Hội nghị lần thứ tư Ban chấp hành trung ương Đảng cộng sản Việt Nam khóa VII đã chỉ rõ nhiệm vụ quan trọng của ngành Giáo dục và Đào tạo là

“Phải khuyến khích học sinh tự học, phải áp dụng những phương pháp dạy học

hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh những năng lực tư duy sáng tạo , năng lực giải quyết vấn đề.”

Với mục tiêu đó thì đổi mới phương pháp dạy và học giáo dục diễn ra sâu rộng ở tất cả các bậc học và cấp học Từ đó đặt ra nhiệm vụ cho người giáo viên

là phải rèn kĩ năng giải toán cho học sinh Nếu học sinh không có kĩ năng giải toán thì bản thân họ sẽ không có năng lực thực hành Trong dạy học ở trường THPT, môn Toán được coi là một trong những môn học giúp phát triển trí tuệ

và tư duy logic cho học sinh Hoạt động giải toán là cơ hội tốt để học sinh được bộc lộ và phát triển khả năng sáng tạo qua quá trình đem những tri thức Toán

học đã được trang bị vào giải các bài toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn liên quan tới Toán học

Việc học tập môn Toán được diễn ra trong nhà trường phổ thông chủ yếu

là hoạt động giải toán Trong trình quá đi tìm tòi lời giải cho bài toán và trình bày lời giải đó, học sinh thường mắc một số sai lầm và lúng túng không biết sai lầm từ đâu khi giáo viên chưa nhấn mạnh đến việc khắc phục sai lầm và rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh Trên thực tế số lượng các bài tập của từng chương cũng rất nhiều, học sinh không thể giải từng bài một mà phải học từng dạng bài tập lớn nhờ sự trợ giúp của những kĩ năng giải đặc biệt là trong các bài toán tìm giới hạn ở lớp 11 chương trình Trung học phổ thông Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thường mắc một số sai lầm phổ biến khi tìm giới hạn của dãy số, của hàm số do không có kĩ năng giải toán Từ những kinh nghiệm qua giảng dạy, tôi đã phát hiện, sắp xếp một cách hệ thống các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải các bài toán tìm giới hạn trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 THPT

Chính vì những lý do trên nên tôi chọn tên đề tài là:

“Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán tìm giới hạn trong chương trình lớp

11 THPT ( Ban cơ bản ) ”

2 Lịch sử nghiên cứu

2.1 Trên thế giới

2.1.1 Lịch sử về sự phát triển và phát sinh môn Giải tích

Giải tích là một ngành Toán học, bao gồm hai tư tưởng lớn là phép tính vi phân và phép tính tích phân với các khái niệm cơ sở là khái niệm hàm số, giới hạn, dãy số, chuỗi số và liên tục Phép tính vi phân là lí thuyết về tốc độ của sự thay đổi nó bao gồm phép lấy vi phân; liên hệ đến các hàm số, vận tốc, gia tốc,

hệ số góc của một đường cong tại một điểm cho trước Phép tính tích phân bao gồm phép lấy tích phân; liên hệ đến các bài toán tính diện tích và thể tích các hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số

Trong thế kỉ XIV, nhiều nhà khoa học xem xét bài toán: Nếu một vật thể

di chuyển với vận tốc thay đổi, nó sẽ đi được một khoảng bao nhiêu trong một

thời gian cho trước? Một trong những người dẫn đầu tìm ra các câu hỏi trên là

Nicole Oesme (1323-1382) bằng biểu diễn hình học- một trong những ví dụ sớm nhất về “đồ thị của hàm số” trong lịch sử toán học Trước thế kỉ XVII, sự liên hệ cơ bản giữa bài toán diện tích và bài toán tiếp tuyến chưa được khám phá

Sang thế kỉ thứ XVII, phép tính vi tích phân được sáng tạo nhằm giải quyết nhiều vấn đề khoa học như:

Thứ nhất là vấn đề nghiên cứu chuyển động Cho vật thể chuyển động

theo một công thức là một hàm số theo thời gian, hãy tìm vận tốc và gia tốc của

nó ở một thời điểm bất kì; ngược lại cho biết gia tốc, vận tốc của một vật thể chuyển động là một hàm số theo thời gian, hãy tìm vận tốc và quãng đường đi được Vấn đề này xuất phát từ việc nghiên cứu chuyển động Trong chuyển động, vận tốc và gia tốc thay đổi từ thời điểm này đến thời điểm khác Nếu lấy vận tốc bằng quãng đường chia cho thời gian thì được vận tốc trung bình chứ chưa phải vận tốc chính xác tại mỗi thời điểmn nhưng tại mỗi thời điểm thì thời gian chuyển động và vận tốc đều bằng không, mà 0

0 là vô nghĩa Đối với bài toán ngược lại, thì gặp một khó khăn là nếu biết vận tốc là một hàm số của thời gian ta cũng không thể tìm được quãng đường đi được của vật thể chuyển động

vì vận tốc thay đổi từ thời điểm này đến thời điểm khác

Thứ hai là vấn đề tiếp tuyến của một đường cong Hướng chuyển động

của vật thể chuyển động ở bất kì điểm nào của quỹ đạo chính là hướng tiếp tuyến của quỹ đạo

Thứ ba là vấn đề tìm giá trị cực đại, cực tiểu của một hàm số Nghiên cứu

sự chuyển động của các hành tinh trong hệ mặt trời liên quan đến các bài toán cực trị; ví dụ, tìm khoảng cách ngắn nhất và dài nhất của một hành tinh và Mặt Trời trong một khoảng thời gian nhất định

Thứ tư là tìm số đo các đối tượng hình học chẳng hạn chiều dài của

đường cong, diện tích của hình giới hạn bởi các đường cong; thể tích của những khối giới hạn bởi những mặt,

Việc phát minh ra các phép tính vi phân và tích phân đã thu hút nhiều nhà Toán học về sau quan tâm và đã có những đóng góp to lớn cho sự phát triển Đến cuối thế kỉ thứ XVIII, khái niệm vô cùng bé được định nghĩa (có tính trực giác) trước đây của Leibniz không đáp ứng yêu cầu phát triển của ngành này, Cauchy và Weierstrass phát triển các khái niệm cơ bản của phép tính vi phân và tích phân trên cơ sở lập luận chặt chẽ và nhờ đó môn Giải tích trở thành một lĩnh vực Toán học có cơ sở vững chắc như ngày nay

2.1.2 Tính liên tục và rời rạc, chuyển động và đứng yên trong lịch sử phát triển môn Giải tích

Theo Democritus (thế kỉ V trước công nguyên), khái niệm nguyên tử- cái

mà mà không thể phân chia được thêm nữa thì đường thẳng được taọ thành bởi

vô hạn các nguyên tử Luận điểm này đã không đứng vững trước lập luận của Zéno (490-430) Theo Zéno, không thêm vào không vẫn bằng không; do đó tổng vô hạn các đại lượng bằng không vẫn bằng không: điều này vô lí Vậy đường thẳng có độ dài bằng không: điều này cũng vô lí Zéno kết luận rằng, đoạn thẳng (hay đường thẳng) sẽ không thể được phân chia thành vô hạn các phần tử hay nguyên tử

Aristotle đưa ra tư tưởng vô hạn tiềm năng là nói đến một quá trình không bao giờ kết thúc, vô hạn thực tại, có tính tĩnh tại và toàn vẹn, nó như một đối tượng Aristotle cho rằng: vô hạn thực tại không tồn tại vì chúng ta không bao giờ nhận thức các số tự nhiên như một cái toàn thể Chỉ có vô hạn tiềm năng, vì với bất kì một tập hợp hữu hạn cho trước luôn có một tập hợp hữu hạn lớn hơn Theo ông chỉ có các quá trình vô hạn chứ không có các đối tượng vô hạn

Cantor chống lại các quan điểm: Các vô hạn thực tại không hiện hữu của Aristotle Cantor cho rằng, khi ta nghĩ các số tự nhiên như tập hợp thì nó được xem như một thể vô hạn thực tại Ông khám phá ra rằng tập hợp số thực có số lượng lớn hơn tập các số tự nhiên

Ngày nay, các khái niệm giới hạn hay liên tục được định nghĩa theo ngôn ngữ của “  , ” có tính chất tĩnh; nhưng người ta vẫn thấy các yếu tố chuyển

động- dấu vết của lịch sử- liên quan đến các thuật ngữ dùng cho các khái niệm

đó như: hàm số f(x) dần tới L khi x dần tới a hay hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a Các khái niệm “dần tới” ngày nay đã được định nghĩa một cách chính xác Nhưng trong lịch sử, đề cập đến sự “dần tới” có tính chất chuyển động người ta gặp phải những nghịch lí nổi tiếng của Zéno Theo Zéno không

có chuyển động xảy ra nếu có sự phân chia một đại lượng liên tục thành vô hạn những đại lượng rời rạc

Khái niệm vô hạn đã gây nhiều khó khăn cho nhận thức của con người từ Zéno đến thế kỉ XVII Các khái niệm vô hạn được quan tâm trở lại bởi J.Kepler (1571-1630) khi ông dùng phương pháp vô cùng bé Công trình trên đã mở đường cho I.Newton (1642-1727) và G.W.Leibniz (1646-1716) phát triển môn phép tính vi phân và tích phân sau này B.Bolzano (1781-1848) vào năm 1817 ông đã đưa ra một định nghĩa chính xác về tính liên tục: Hàm số f (x) liên tục trong một khoảng nếu tại bất kì x nào trong khoảng đó thì hiệu f(x+) – f(x) có thể làm bé tùy ý miễn  dương đủ nhỏ

A.L.Cauchy (1789-1857) đã có công lớn trong việc làm chính xác hóa khái niệm giới hạn và liên tục, khi đưa ra một định nghĩa của khái niệm giới hạn

mà còn được sử dụng đến ngày nay Cho x là biến số thực, x được gọi là có giới hạn c nếu với bất kì số dương cho trước, thì giá trị tuyệt đối của x - c có thể làm nhỏ hơn một số dương cho trước Nhà toán học Đức K.Weierstrass (1815- 1897) đã đưa ra khái niệm hàm số liên tục: Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x =

a nếu với bất kì số dương  cho trước, tồn tại số dương  sao cho với mọi x thỏa mãn x a   thì f x( )  L  Một cách tương tự khái niệm giới hạn hàm

số của ông được định nghĩa: Hàm số y = f(x) có giới hạn là L tại điểm x = a nếu với bất kì số dương  cho trước, tồn tại số dương  sao cho với mọi x thỏa mãn 0< x a   thì f x( )  L 

Như vậy, B.Bolzano, A.L.Cauchy,K.Weierstrass đã loại bỏ tính chất

“chuyển động” trong định nghĩa các khái niệm cơ sở của môn phép tính tích phân và vi phân Các khái niệm liên tục, thuật ngữ “dần tới”, khái niệm “giới hạn” đã được các ông mô tả một cách chính xác Chúng được định nghĩa như là

đối tượng có tính tĩnh tại, nhờ đó mà ta có cơ sở để giải quyết các nghịch lí của Zéno và lí giải các vướng mắc khác liên quan đến khái niệm giới hạn, những điều chỉ dựa vào trực giác (quan điểm động) không sao lí giải được Chẳng hạn

Quá trình dạy học tiến hành bằng sự kết hợp giữa hoạt động dạy của thầy

và hoạt động học của trò Trong cách tiếp cận dạy học truyền thống người ta thường chú ý đến chất lượng của hoạt động dạy (chất lượng bài giảng, khả năng lôi cuốn học sinh, phong thái, cách trình bày bảng, ) xong lại xem nhẹ hoạt động học, chưa chú ý đến những sai lầm mà học sinh thường mắc hay rèn luyện

kĩ năng học tập bộ môn

Đã có một số công trình nghiên cứu gần gũi với đề tài này chẳng hạn :

“Giáo trình Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán,

NXB Sư phạm, Hà Nội, 2010” của Bùi Văn Nghị ; “Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán” của Trần Phương, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm

2006; Luận văn thạc sĩ của Vũ Thị Ninh “ Kĩ năng giải toán và sáng tạo bài

toán mới trong giảng dạy môn toán ở trường Trung học phổ thông ”, Trường

Đại học Giáo dục năm 2008 ;…

Đề tài này khác với những đề tài trên ở chỗ: Tập trung nghiên cứu những

kĩ năng giải các bài toán giới hạn trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 THPT (Ban cơ bản)

3 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu: Đề tài nhằm đề xuất một số biện pháp khả thi và

hiệu quả trong quá trình rèn luyện kĩ năng giải các bài toán giới hạn trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 THPT (Ban cơ bản)

Từ đó, đề tài có các nhiệm vụ nghiên cứu là :

+ Hệ thống hóa cơ sở lí luận về kĩ năng giải quyết vấn đề

+ Nghiên cứu nội dung mục tiêu dạy học “Giới hạn” được trình bày trong chương trình SGK Đại số và Giải tích lớp 11 THPT

(Ban cơ bản) Những khó khăn mà giáo viên và học sinh gặp trong quá trình dạy và học nội dung đó

+ Đề xuất một số biện pháp khả thi và hiệu quả trong quá trình rèn luyện kĩ năng giải các bài toán giới hạn trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 THPT (Ban cơ bản)

+ Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của

đề tài

4 Đối tượng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học các nội dung phần “giới hạn” ở

lớp 11 THPT (Ban cơ bản)

Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu các bài toán tìm giới hạn

Khách thể nghiên cứu: Tình hình dạy học ở trường THPT Nhân Chính,

Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán tìm giới hạn trong chương trình Đại số

và Giải tích lớp 11 THPT (Ban cơ bản) như thế nào để mang lại hiệu quả cao?

7 Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng những biện pháp đã đề xuất trong luận văn thì sẽ rèn luyện cho học sinh có kĩ năng giải toán, nâng cao hiệu quả học tập môn toán ở trường phổ thông

8 Phương pháp nghiên cứu

8.1 Nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến phương pháp dạy học môn toán nói chung Phân tích, tổng hợp, phân loại, hệ thống hóa, khái quát hóa các tài liệu có

liên quan đến đề tài

8.2 Nghiên cứu thực nghiệm sư phạm

Dùng thực nghiệm để kiểm chứng các giả thuyết

Thống kê số liệu của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng

Triển khai dạy thực nghiệm một số giáo án (Vận dụng một số biện pháp trong các biện pháp) để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài, kiểm định giả thuyết khoa học (để chứng tỏ giả thuyết đưa ra là đúng)

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận và khuyến nghị cùng danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm có 3 chương

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện kĩ năng giải các bài toán tìm giới hạn trong chương trình lớp 11 THPT (Ban cơ bản)

Chương 3: Tổ chức thực nghiệm và đánh giá kết quả

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học và những phương pháp dạy học tích cực

1.1.1 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông

Điều 28.2- Luật giáo dục đã ghi “Phương pháp giáo dục phổ thông phải

phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Với mục tiêu giáo dục phổ thông là “giúp học sinh phát triển toàn diện về

đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ năng cơ bản , phát triển năng lực

cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc” , đổi mới phương pháp dạy học cần khắc phục lối truyền thụ một chiều,

rèn luyện nếp tư duy, sáng tạo cho người học, áp dụng các phương tiện hiện đại , đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh Như vậy cốt lõi của đổi mới phương pháp dạy học là hướng tới hoạt động học tập, tích cực, chủ động, sáng tạo chống lại thói quen học tập chủ động

1.1.2 Một số phương pháp dạy học tích cực

Thực hiện dạy và học tích cực không có nghĩa là phủ nhận những phương pháp dạy học truyền thống mà cần kế thừa, phát triển những mặt tích cực của phương pháp dạy học quen thuộc, đồng thời vận dụng một số phương pháp mới phù hợp với hoàn cảnh và điều kiện dạy học ở nước ta Sau đây là một số phương pháp dạy học tích cực:

- Phương pháp đàm thoại phát hiện: Là phương pháp trong đó giáo viên đặt những câu hỏi để học sinh trả lời hoặc có thể tranh luận với nhau và với cả giáo viên, qua đó học sinh lĩnh hội được nội dung bài học

- Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề: Vấn đề cốt yếu của phương pháp này là thông qua quá trình gợi ý, dẫn dắt, nêu câu hỏi, giả định, giáo viên tạo điều kiện cho học sinh tranh luận, tìm tòi, phát hiện vấn đề thông qua các tình huống có vấn đề

- Phương pháp dạy học hợp tác trong nhóm nhỏ: Bằng cách nói ra điều đang nghĩ, mỗi người có thể nhận rõ trình độ hiểu biết của mình về chủ đề nêu

ra, thấy mình cần học hỏi hêm điều gì Bài học trở thành quá trình học hỏi lẫn nhau chứ không phải chỉ là sự tiếp thu thụ động từ giáo viên

- Phương pháp dạy học khám phá: Là phương pháp dạy học trong đó dưới

sự hướng dẫn của giáo viên, thông qua các hoạt động, học sinh khám phá ra tri thức

Trong lĩnh vực tâm lí học có nhiều công trình nghiên cứu, đề cập đến kĩ năng nhưng vẫn chưa có định nghĩa nào được sử dụng duy nhất Có thể tóm lược một số khái niệm về kĩ năng được sử dụng như sau:

Theo P.A Rudich cho rằng: “Kĩ năng là động tác mà cơ sở của nó là sự vận dụng thực tế các kiến thức đã tiếp thu để đạt được kết quả trong một hình thức hoạt động cụ thể” Ở đây tác giả đã quan niệm kĩ năng là hoạt động vật chất, hàm chỉ vận động vật chất cụ thể Với quan niệm như vậy thuận lợi cho việc hình thành những kĩ năng vận động, những thao tác kĩ thuật,

Quan niệm thứ hai coi kĩ năng là khả năng thực hiện một công việc hay việc thực hiện một hoạt động nào đó một cách có chất lượng và hiệu quả theo yêu cầu, theo mục đích xác định trong những điều kiện nhất định

(thời gian, phương tiện, môi trường hoạt động, nguồn lực, ) Hoặc kĩ năng là khả năng của con người thực hiện công việc một cách có hiệu quả và chất lượng trong một khoảng thời gian thích hợp, trong những điều kiện nhất định, dựa vào tri thức và thói quen hình thành được Như vậy, quan niệm kĩ năng là quan niệm rộng hơn, không chỉ coi kĩ năng đơn thuần là hành động vật chất hay là động tác

cụ thể, mà còn bao gồm cả hành động trí óc

Theo [11], “kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay các khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định”

Theo [12], “kĩ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kĩ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ thói quen nhất định, kĩ năng là khả năng làm việc một cách có phương pháp”

Như vậy, dù phát biểu dưới góc độ nào, các tác giả đều thống nhất rằng,

kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, )

để giải quyết nhiệm vụ đặt ra Nói đến kĩ năng là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt tới mục đích đã định Kĩ năng chính là kiến thức trong hành động

1.2.1.2 Đặc điểm của kĩ năng

Trong vận dụng, ta thường chú ý đến đặc điểm của kĩ năng:

- Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lí thuyết, đó là kiến thức, bởi vì cấu trúc của kĩ năng bao gồm: hiểu mục đích- biết cách thức đi đến kết quả- hiểu những điều kiện để triển khai những cách thức đó

- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động

- Kĩ năng của con người không phải là yếu tố bất biến trong suốt cuộc đời

mà phụ thuộc vào vào người học thông qua chính hoạt động của họ trong mối quan hệ của họ với cộng đồng Bởi vậy, nhà trường hiện đại

phải là nhà trường hoạt động , lấy hoạt động của người học làm động lực

chính để đạt mục đích đào tạo Việc dạy học trong nhà trường sẽ cung cấp

khả năng tạo những hoạt động đa dạng, phong phú và cần thiết nhằm mục đích phát triển kĩ năng cho người học, phù hợp với năng khiếu bẩm sinh của họ và yêu cầu của xã hội

Tuy nhiên thực tiễn giáo dục cho thấy, học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc vận dụng những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được để giải quyết những nhiệm vụ cụ thể Cái khó nằm ở chỗ, học sinh không biết phát hiện những dấu hiệu bản chất của đối tượng, từ đó phát hiện những mối liên hệ bản chất giữa tri thức đã có với đối tượng đó Trong trường hợp này, tri thức không biến thành công cụ của hoạt động nhận thức, và như vậy khối kiến thức mà họ có

là khô cứng, không gắn với thực tiễn, không biến thành cơ sở của các kĩ năng Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những thuộc tính khác nhau và những thuộc tính bản chất của các sự vật Như vậy để tri thức trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn cho các hành động thì cần biết lựa chọn tri thức một cách đúng đắn và hợp lí, nói cách khác, cần lựa chọn tri thức phản ánh thuộc tính bản chất, phù hợp với mục tiêu của hành động



Với bài toán này, cơ sở của kĩ năng là những kiến thức cơ bản về khử dạng

vô định của giới hạn hàm số Trước hết học sinh phải nhận dạng được đây là giới hạn của hàm số dạng 

 khi x dần tới  từ đó lựa chọn phương pháp thích hợp để

giải bài toán Sau đó học sinh sử dụng kết quả lim 0

x

c x

  , với c là hằng số

Trong thực tế, nhiều học sinh thuộc lí thuyết nhưng không biết vận dụng vào bài tập hoặc có học sinh làm rất tốt ví dụ vừa rồi nhưng không biết mình đã sử

dụng định lí nào để giải bài toán đó Hoặc nếu trong ví dụ đó ta thay x dần tới

bởi x dần tới 3

4thì lời giải có gì thay đổi không ? Thực tế học sinh rất lúng túng hoặc mắc phải những sai lầm thường gặp Nguyên nhân của hiện tượng đó là do kĩ năng của các em chưa được hình thành

1.2.2 Kĩ năng giải Toán

Trong Toán học, “kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện chứng

minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được” Kĩ năng giải toán được hiểu là kĩ năng vận dụng các tri thức Toán học để giải các

bài tập Toán học (bằng suy luận, chứng minh, )

Theo Polya : Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán , thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được

Như vậy, kĩ năng giải toán có cơ sở là các tri thức Toán học (bao gồm kiến thức, kĩ năng, phương pháp) Sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá trình luyện tập, củng cố kiến thức Toán học thì kỹ năng được hình thành, phát triển đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa kiến thức Toán học, hoạt động học tập môn Toán Kĩ năng Toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các hoạt động Toán học, hoạt động học tập trong môn Toán Kĩ năng cũng có thể được rút ngắn, bổ sung và thay đổi trong quá trình hoạt động Một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong dạy học Toán là học sinh phải nắm vững kiến thức , có kĩ năng, kĩ xảo vận dụng trong thực hành giải toán Tùy theo từng nội dung, kiến thức truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng tương ứng Trong chương trình Toán phổ thông, ta có thể chỉ

ra một số kĩ năng cần thiết khi giải toán

Kĩ năng tính toán: Bên cạnh việc rèn luyện tư duy, khả năng suy luận độc lập, sáng tạo, không xem nhẹ việc rèn luyện kĩ năng tính toán vì nó có vai trò quan trọng đối với học sinh trong việc học tập hiện tại và cuộc sống sau này Trong hoạt động thực tế ở bất kỳ lĩnh vực nào cũng đòi hỏi kĩ năng tính toán: tính đúng, tính nhanh và tính hợp lý

Kĩ năng vận dụng các qui tắc: Về mặt kĩ năng này thì yêu cầu các học sinh vận dụng một cách linh hoạt, tránh máy móc

Kĩ năng vận dụng tri thức vào giải toán: học sinh phải rèn luyện kĩ năng này trong quá trình họ tìm tòi lời giải toán Nên hướng dẫn học sinh thực hiện giải toán theo quy trình giải toán của Polya: Tìm hiểu nội dung bài toán; Xây dựng chương trình giải; Thực hiện chương trình giải; Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

Kĩ năng chứng minh Toán học: Theo Hoàng Chúng, để có kĩ năng chứng minh Toán học, học sinh cần phải đạt được: Hình thành động cơ chứng minh; Rèn luyện những hoạt động thành phần trong chứng minh; Truyền thụ những tri thức phương pháp về chứng minh, các phép suy luận

Kĩ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kĩ năng biến đổi xuôi chiều và ngược chiều: là một điều kiện quan trọng để học sinh nắm vững và vận dụng kiến thức, đồng thời nó cũng là một thành phần tư duy quan trọng của Toán học Bên cạnh đó cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi xuôi chiều

và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận

Kĩ năng đọc và vẽ hình, đo đạc: Đây là kĩ năng cần thiết và phải rèn luyện cho học sinh một cách cẩn thận Đặc biệt, với kĩ năng vẽ hình, học sinh phải hình thành và rèn luyện thói quen vẽ hình chính xác theo quy ước và phù hợp với lý thuyết biểu diễn hình, vẽ cẩn thận, đẹp

Kĩ năng Toán học hóa các tình huống thực tiễn: kĩ năng Toán học hóa các tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ thực tế đời sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết và vận dụng những kiến thức Toán học trong nhà trường gây hứng thú trong học tập, giúp học sinh nắm được thực chất nội dung vấn đề và tránh hiểu các sự kiện Toán học một cách hình thức

Kĩ năng hoạt động tư duy hàm: Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên quan đến sự tương ứng, những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần tử của một hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng Tư duy hàm đóng vai trò quan trọng và xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông Những hoạt động tư duy

hàm là: hoạt động phát hiện và thiết lập sự tương ứng, hoạt động nghiên cứu tương ứng

Kĩ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải thích và tránh sai lầm khi giải toán: “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” (Polya) Trong học tập giải toán việc phát hiện sai lầm và sửa sai lầm của lời giải là một thành công của người học toán Trên thực tế, có nhiều học sinh,

kể cả học sinh khá, giỏi vẫn mắc sai lầm khi giải toán Do vậy mà giáo viên cần giúp học sinh có khả năng và thói quen phát hiện những sai lầm nếu có sau mỗi bài tập, mỗi bài kiểm tra, phân tích những nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó Qua

đó học sinh cũng cần được rèn luyện kĩ năng trình bày lời giải chẳng hạn như : câu chữ, các ký hiệu, vẽ hình chính xác, hình thức Việc hình thành rèn luyện

kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá và tự điều chỉnh góp phần nâng cao thành tích, chất lượng dạy và học

1.3 Thực tiễn dạy học giải các bài toán tìm giới hạn trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 Trung học phổ thông (Ban cơ bản) Những khó khăn của giáo viên và học sinh khi dạy và học phần giới hạn

1.3.1 Mục tiêu, nội dung của chương giới hạn lớp 11 THPT

(Ban cơ bản)

Nội dung giới hạn của hàm số thuộc chương IV- Giới hạn trong chương trình lớp 11 Chương này gồm 3 bài: Giới hạn của dãy số, Giới hạn của hàm số, Hàm số liên tục

Khái niệm giới hạn của hàm số được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số

Giới hạn của dãy số có các khái niệm: giới hạn 0, giới hạn là một số thực, giới hạn là +, giới hạn là -, các định lí về giới hạn của dãy số

Giới hạn của hàm số có các khái niệm: giới hạn của hàm số tại một điểm, tại vô cực, giới hạn một bên của hàm số, giới hạn vô cực Tiếp đó là các khái niệm: hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, một đoạn; các định lí về giới hạn của hàm số; các quy tắc tìm giới hạn vô cực; một vài tính chất cơ bản của hàm số liên tục

Mục tiờu là học sinh biết cỏc định nghĩa, cỏc định lớ về giới hạn, cỏc quy tắc tỡm giới hạn và biết vận dụng chỳng để tớnh giới hạn của cỏc dóy số, hàm số đơn giản

Chỳ ý

Giới hạn là một khỏi niệm khú, nhưng lại hết sức quan trọng, là nền tảng cho cả một ngành khoa học - ngành Giải tớch Nếu như Đại số được đặc trưng bởi tư duy “hữu hạn” và “rời rạc”, thỡ Giải tớch được đặc trưng bởi tư duy “vụ

Khỏc với chương trỡnh trước đõy, chương trỡnh hiện nay khụng đưa vào định lớ về giới hạn của dóy kẹp giữa, định lớ Weierstrass về tồn tại giới hạn của

dóy số đơn điệu, bị chặn; đặc biệt chỉ dựng giới hạn

0

s inx lim

x x để xõy dựng đạo hàm của cỏc hàm số lượng giỏc, khụng đề cập đến cỏc giới hạn của cỏc hàm số

lượng giỏc

1.3.2 Những khú khăn của học sinh do đặc thự mụn học

Ngay từ bài đầu tiên của ch-ơng giới hạn, học về bài giới hạn dãy số, với tư tưởng “chuyển qua giới h³n” v¯ tư duy “vô h³n” đã là một khó khăn với học

sinh Các em đã quen với những kiểu t- duy chính xác : 1

đến 0 khi n  + đã là t- duy khó khăn để thích nghi với học sinh

Mặc dù theo tinh thần giảm tải, SGK mới đã bỏ ngôn ngữ , N trong định nghĩa giới hạn dãy số và đã có cách diễn đạt về định nghĩa dãy số có giới hạn 0 :

“khi n tăng thì c²c điểm biểu diễn chụm l³i quanh điểm 0”, “kho°ng c²ch

n

U n 1 từ điểm Un đến điểm 0 trở nên nhỏ bao nhiêu cũng đ-ợc miễn n đủ lớn” l¯ những c²ch diễn đ³t kh²c nhau cho d±y số có giới h³n 0 song do c²c em

đã quen với những kiểu t- duy chính xác: 1

1.3.3 Những kĩ năng cơ bản thuộc nội dung chương giới hạn lớp 11 Trung học phổ thụng (Ban cơ bản)

Để giỳp học sinh cú kĩ năng giải cỏc bài toỏn tỡm giới hạn trong chương trỡnh lớp 11 trước hết học sinh phải được trang bị hệ thống kiến thức lớ thuyết cơ bản và đầy đủ Giỏo viờn cần phõn loại bài tập một cỏch hệ thống Từ việc phõn dạng bài tập, xỏc định cỏc kĩ năng cơ bản, giỏo viờn xõy dựng cho học sinh qui trỡnh giải cỏc dạng toỏn, từ đú giỳp học sinh tớch lũy được những kinh nghiệm thụng qua quỏ trỡnh giải một dạng toỏn cụ thể Vỡ vậy trong đề tài này, chỳng tụi đặc biệt quan tõn đến việc xõy dựng một hệ thống bài tập theo chủ đề, sắp xếp

hệ thống bài tập từ dễ đến khú, từ đơn giản đến phức tạp Cụ thể là:

- Kĩ năng phõn tớch định nghĩa khỏi niệm

- Kĩ năng phõn tớch những sai lầm thường mắc phải trong quỏ trỡnh giải cỏc bài toỏn tỡm giới hạn

- Kĩ năng hệ thống húa cỏc dạng toỏn tỡm giới hạn

- Kĩ năng tớnh toỏn

- Kĩ năng đọc đồ thị

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11 THPT (BAN CƠ BẢN)

2.1 Biện pháp 1 Phân tích định nghĩa khái niệm

Trong môn Giải tích để hiểu thấu đáo một khái niệm cần phải tiến hành phân tích định nghĩa để rút ra các thuộc tính bản chất của khái niệm Khi phân tích định nghĩa một khái niệm trong môn Giải tích, ta cần phải:

- Chỉ ra các thuộc tính của khái niệm

- Chỉ ra đặc điểm của tập xác định, tập giá trị và nêu ý nghĩa hình học (đặc điểm của đồ thị ) của khái niệm, ý nghĩa vật lý (nếu có thể)…

- Chỉ ra mối liên hệ hoặc so sánh khái niệm đã học

- Từ ý nghĩa khác nhau của khái niệm, chỉ ra các khả năng vận dụng khái niệm Nhờ đó, giáo viên xây dựng một hệ thống ví dụ, phản ví dụ và bài tập để củng

cố, luyện tập vận dụng khái niệm và tìm ra các khả năng vận dụng khái niệm

Ví dụ 1 Phân tích khái niệm giới hạn của hàm số

Tập xác định: Hàm số có giới hạn là L khi x dần đến x0có thể không nhất thiết phải xác định tại x =x0 , nhưng phải xác định trong K\{x0} (với K là một khoảng chứa x0)

Tập giá trị: Có thể f(x0) không xác định Nếu f(x0) xác định thì có thể L = f(x0) và cũng có thể L  f(x0) (tức là L không nhất thiết phải bằng f(x0))

Qua phân tích trên ta thấy rằng: khái niệm giới hạn của hàm số là một khái niệm khó đối với người học Giáo viên sử dụng sơ đồ trên để biểu thị những khả năng có thể xảy ra khi một hàm số có giới hạn đối với tập xác định và tập giá trị của nó và dùng nhiều ví dụ và phản ví dụ để minh họa chẳng hạn như những ví dụ sau đây:

a) Hàm số

2

4 )

f không xác định tại x = 2 nhưng

2

  b) Hàm số f x( )  

Ví dụ 2 Phân tích khái niệm dãy số có giới hạn 0

Sách giáo khoa lớp 11 (Ban cơ bản) đưa ra khái niệm dãy số có giới hạn 0 như sau:

Dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực nếu u n có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

Có quan điểm cho rằng: vì học sinh rất khó khăn khi tiếp thu khái niệm giới hạn nên chỉ dạy lướt qua khái niệm, rồi mau chóng đưa ra kết quả về các phép toán giới hạn cơ bản cho học sinh thực hành tìm giới hạn Nếu làm như vậy học sinh không hề thấy cái hay của toán học, chỉ rèn cho học sinh trở thành những “người thợ” tính toán mà thôi Giáo viên cần phải đầu tư thời gian, công sức tạo ra các hoạt động để học sinh hiểu rõ các khái niệm

Ví dụ, dạy học dãy số có giới hạn 0

Cho dãy số u n ( 1)n

n





- Hãy biểu diễn trên trục 4 số hạng đầu tiên của dãy số trên

- Nếu biểu diễn số hạng thứ 5, 10, thì gặp khó khăn gì?

( Khó khăn vì các số 1

5

 ; 1

10 nhỏ quá )

- Có nhận xét gì về giá trị tuyệt đối của các số hạng trong dãy, khi n tăng lên? ( nhỏ dần tới 0)

- Với n như thế nào thì 1

Bài 1: Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát

Dãy số trên có limu n  0 đúng hay sai? Tại sao?

Bài 2: Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát

Dãy số trên có limu n  0 đúng hay sai? Tại sao?

Bài 3: Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát:

a) Dãy số trên có limu n  0 là đúng hay sai? Tại sao?

b) Dãy trên có limu n  1 là đúng hay sai? Tại sao?

Bài 4: Cho dãy số

1

3 2

b) Hãy chọn số tự nhiên N sao cho với mọi số tự nhiên n > N thì khoảng cách giữa un và 2 nhỏ hơn

Bài 6: Cho dãy số ( 12)

n u

n

n





Kể từ số hạng thứ bao nhiêu của dãy số trở đi thì u n  0 , 00001

Ví dụ 3 Một cách tương tự, ta phân tích khái niệm “dãy số dần tới vô cực” với

định nghĩa như sau:

“Ta nói rằng, dãy số (un) có giới hạn + khi n  +, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi”

Ví dụ với dãy số (un) cho bởi công thức un = n2

Giáo viên cho học sinh biểu diễn các số hạng của (un) trên trục số

Biểu diễn hình học này cho thấy, khi n tăng lên vô hạn thì un trở lên rất lớn Hơn nữa un có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi Chẳng hạn, un > 10.000 hay n2 > 10.000 khi n > 100

Khi tìm giới hạn, học sinh thường mắc những sai lầm sau:

- Không chu đáo trong trình bày: mất chữ lim, thừa chữ lim, không có x tiến tới đâu,

- Tính toán sai

- Thực hiện các phép tính giới hạn một cách tùy tiện

- Thực hiện các phép toán dạng vô định như các phép toán đại số

VÝ dô 4 T×m

2 1

2

3 1 lim 1

3 5 2 lim

1 1

2

x

x x x

x x

x x

=

2

1 2

Ghi nhí: nếu x1, x2 lµ nghiÖm cña phương trình ax2 + bx + c = 0 (a0) thì

ax2 + bx + c = a (x - x1) (x - x2) (a ≠ 0)

VÝ dô 5 Tìm

1

2 3 lim

2 3 lim

1 1

Lời giải đúng: Do giới hạn trên ở dạng

0

0

hơn nữa ta không thể tách tử, mẫu để làm xuất hiện nhân tử chung Vì vậy ta đem nhân cả tử mẫu với ( x 1 )( x 3  2) ta được:

x

x x

1 5

2 2

x

x

x x

2 2

1 5 lim

2 2

3 1 1 2

Nguyªn nh©n sai lÇm : Do häc sinh nhÇm c«ng thøc

1 1

1 1 3 2 lim 1

1

1 1 3 2

x x x x

x x

x vẫn dương, vì vậy các em đưa 2

x vào trong căn bậc hai đồng thời đặt dấu trừ trước căn bậc hai là sai

1

15 2

x x

Nguyên nhân sai lầm: học sinh nhầm ở trường hợp khi x  -

Khi x  - thì x2 - 5 > 0 Học sinh nhầm ở chỗ coi x2 - 5 < 0 nên đã biến đổi

2 2

1

5 2

x x

Nếu x  - thì  2 

    = -Nhận xét: ở lời giải 2, học sinh đã sai lầm khi coi x = x

Lời giải đúng:

Từ hai lời giải trên, sau khi nhấn mạnh những sai sút của học sinh giáo viên đưa

ra lời giải đúng sau:

≠ 0) rồi sử dụng quy tắc nhân dấu

Mặc dù đáp số của lời giải trên là đúng nhưng lời giải vẫn không được chấp nhận

2.2.5 Sai lầm khi tỡm giới hạn của tổng vụ hạn cỏc đại lượng vụ cựng bộ

Lời giải đúng

Ta có 1 + 2 + 3+ + n =

2

) 1 (n

n

nên I = lim

2

1 2

) 1 (



n

n n

2

1 1

1

Sai lầm thường gặp :

0 0

0 0

1 lim

2

1 lim 1

1

lim

3 3

2

1 1

1

3 3

+ Tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0 chưa chắc đã có giới hạn 0 + Thường sử dụng phép đánh giá kẹp giữa và phép biến đổi phân tích để tính toán các tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0

2.3 Biện phỏp 3 Hệ thống húa cỏc dạng toỏn tỡm giới hạn

2.3.1 Giới hạn dóy số

2.3.1.1 Dạng 1: Tỡm giới hạn của dóy số hữu hạn

Muốn tỡm giới hạn của một dóy số ta sử dụng định nghĩa, tớnh chất và cỏc định lý về giới hạn của dóy số

 Nếu un = c (c hằng số) thỡ lim un = lim c = c

 lim nk = + với k nguyờn dương

 lim qn = + nếu q > 1

Ví dụ 14 Tìm 2

2

1

3 lim

n

n n

Lời giải

Chia tử số và mẫu số cho n2, ta được

1

1 1

1 3 1

3

2 2

n n

n n

mà không chia cho n hoặc n3 ?

Nếu đem chia tử số và mẫu số cho n thì

n n

n n

n n

) (

n Q

n P

u n  đó là đem chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n Đây là một kĩ năng rất quan trọng từ sự phân tích trên mà ta có được trong quá trình tìm giới hạn của dãy số

Ví dụ 15

Tìm mỗi giới hạn sau:

a)

2 4 3

1 3 2

lim 3 2

2 3

n n

n

b)

2 2

1 lim 3

a) Ta có:

3

3 2 2

3

2

3

2 4 3

1 3 1 2 lim 2

4

3

1 3 2

lim

n n

n n n n

n

n n

0 0 0 2 ) 2 4

3

lim(

) 1 3 1

2

lim(

3

3 2

n n

b) Ta có:

3 2

2 3

2

2 1 2

1 1 lim 2

2

1

lim

n n

n n n

0 0 ) 2 1

2

lim(

) 1 1

lim(

3 2

) ( lim

n Q

n P

trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức theo n

Qua các ví dụ trên ta thấy:

-Nếu bậc của P(n) và Q(n) bằng nhau thì

b

a n Q

n

P 

) (

) ( lim với a, b lần lượt là

hệ số cao nhất của tử và mẫu

-Nếu bậc của P(n) < bậc của Q(n) thì 0

) (

) ( lim 

n Q n P

Ví dụ 16

Tìm mỗi giới hạn sau đây:

a)

n n

1 lim

c)

3 lim 3 2

2



n n

n

Lời giải

a)

n n n n

n n

n n

n

n

1 2

) 3

1 ( lim )

1 2 (

3 1 lim 2

3

1

lim

2 2

) 1

1 ( lim 3

2

1

lim

2 2 2

n n

n n

1 lim 3 lim

n n

3 4 lim

5 lim

Học sinh quan sát các luỹ thừa ở câu a: 3n

, 4n, từ đó suy ra có thể đem chia cả tử và mẫu cho 4n

để làm xuất hiện dãy số n

) 4

3

4

3 4

Từ đó có lời giải như sau:

a) Ta có:

4 ) 4

3 (

4 ) 4

3 ( 4 4 3

4 4 3 4 3

4 3

1 1

n n

n n

n n

(chia tử và mẫu cho 4n)

Vì lim ) 0

4

3 ( n  (do 1

4

nên lim

1 1

3 ( ) 4

4 ( 2

1 lim 5 4 2

5 lim





 n n n

1 5

4 2

10 4

n n

c)

2 3 5 ) 2 (

3 ) 2 ( lim 1

n n

2 5 12

1 4 3 lim

b

a a

là luỹ thừa có cơ số lớn nhất Từ đó ta chia cả tử và mẫu của biểu thức

3 (

1 ) 10

4 ( 4 10 10 3

10 4 4 10

3

10 4

1 1

n n

n n

n n

(vì lim(4) lim( )2 0; lim(3 ) 0

1 0 4 10 ) 10

3 (

1 ) 5

2 (

4 lim 10

3

10 4

n n

Đáp số: 4

d) Ta lưu ý rằng:

a

a a

a a

n n

1

1 2

(tổng n+1 số hạng của một cấp số nhân có u1 = 1; un+1 = an; q = a)

Tương tự:

b

b b

b b

n n

1

1 2

Vậy

a

b a

b b

a b

b b

a a

a

n n

1 1

1 lim

2

( Vì lim an+1= 0, lim bn+1 = 0 do a 1; b < 1)

2.3.1.2 Dạng 2: Tìm giới hạn vô cực của dãy số

Phương pháp giải

Sử dụng định lý 2 về giới hạn của dãy số được nêu ở dạng 1

Chú ý: Từ định lý 2 ta suy ra một số quy tắc tìm giới hạn vô cực sau:

Quy tắc 1: Nếu lim un =  và lim vn =  thì ta có lim (un vn) là:

Quy tắc 2: Nếu lim un =  và lim vn = L  0 thì lim (un vn) là:

Ngoài ra ta còn dễ dàng suy ra:

1 Nếu lim vn = 0 và vn  0 với mọi n thì lim 1

1 2 7 lim

8

7

4 6 lim

n n

n n







Lời giải

a) Trước khi giải câu a, học sinh quan sát biểu thức

un = -n6 + 7n + 1 và thấy rằng khi n  + thì –n6 là số âm có trị số tuyệt đối lớn hơn rất nhiều so với (7n +1) Từ đó dự đoán dãy số này dần tới -, nhưng làm thế nào để sử dụng được định lý 2 và các quy tắc tìm giới hạn vô cực?

Một hướng đặt ra là muốn sử dụng các quy tắc về giới hạn vô cực, ta phải tách biểu thức –n6

+ 7n + 1 ở dạng un.vn mà hoặc lim un = ; lim =   hoặc lim un = ; lim vn = L  0

Từ đó ta có thể biến đổi biểu thức –n6

+ 7n + 1 như sau:

) 1 7 1 ( 1

6

n n n

n

n      

Vì lim n6 = + ; lim(  1  75  16)   1  0

n n

nên theo quy tắc 2

2 )

1 1 2 ( 1

2

n n

n n

n n

nên theo quy tắc 2 suy ra: 3 2

lim 2n    n 1 c) Xét về hình thức, vì dãy số này có dạng

) (

) (

n Q

n P

mà bậc tử lớn hơn bậc mẫu, nên ta đem chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n là n2

Ta có:

2

2 2

2 3

1 2 7 2 3

1 2 7

n n

n n n

n n

nên theo quy tắc 3, ta có  

1 2 7 lim

2

n

n n

d) Lập luận giống câu c

Ta có: lim

8

6 4 7

7 (1 )

n

n n n

7 1

1 0 7

nên theo quy tắc 2, ta có  







2 3 8

7

4 6 lim

n n

n n

a) Đa số học sinh khi gặp biểu thức cần tìm giới hạn dạng A B thì các

em đem nhân và chia lượng liên hợp của nó là A B Khi đó:

3 lim

1 2

1 2 lim

n n

n n

(Đem cả tử, mẫu chia cho n)

0 2

0 1 1

2 1

Giáo viên nêu câu hỏi: Có thể biến đổi

)

1 1

2 1 ( )

1 1 ( )

2 1 ( 1 2

n n

n n

n n n n

tắc nhân dấu được không?

Khi đó vì lim u  còn lim( 1 2 1 1) 0

1 1

2

1

lim(     

n

n Khi đó kết quả là + theo quy tắc nhân dấu

GV cho học sinh thảo luận để được những ví dụ khác nhau

lim(2n n  3 )n lim n(2 1 3)

n

 