BÀI TẬP VỀ LƯỢNG GIÁC ĐẦY ĐỦ

Chứng minh các biểu thức sau độc lập với x... Đơn giản các biêu thức sau đây: 19 tan... Chứng minh các đẳng thức sau: 1... Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x... Chứng min

BÀI TẬP VỀ CÁC HỆ THỨC CƠ BẢN 1.1 Tính các giá trị lượng giác của cung α biết:

b) sin 1,( 3 )

π

d) tan 7,(0 )

π

α = < <α

1.2 Cho cot15o = +2 3 Tính sin15 , os15 , tan15 o c o o

1.3 Biết sin 3, ( )

4 2

π

α = < <α π Tính giá trị của các biểu thức sau:

2 tan 3cot

os tan

A

c

−

=

+

os cot tan cot

c

+

=

−

1.4 Cho tan 3

5

α = Tính giá trị của các biểu thức sau:

sin os

sin os

c

A

c

+

=

sin os

c B

c

=

−

1.5 Cho sinα +cosα =m Tính giá trị của các biểu thức sau:

sin os

A= αc α B=sinα−cosα C=sin4α−cos4α D=tan2α+cot2α

1.6 Cho sin 1

3

α = Tính tan cot

tan cot

+

=

−

1.7 Cho tanα = −2 Tính 2sin 3cos

3sin 2cos

+

=

−

1.8 Cho cotα = −3 Tính

2

sin 3sin os 2cos

1 4sin

c

α

=

+

1.9 Cho tan 8cot 2, < <3

2

π

α− α = π α Tính giá trị các biểu thức:

sin os

os cot

B c

−

=

+

1.10 Chứng minh các đẳng thức sau:

1 sin4x c+ os4x= −1 2sin2xcos 2 x 2 sin4x c− os4x= −1 2cos 2x

3 sin6x c+ os6x= −1 3sin2 xcos 2x 4 tan2α−sin2α =tan2αsin2α

5 cot2α −cos2α =cot2αcos 2α 6 2 2 2

1 2cos

tan cot sin cos

−

2

1 sin

1 2 tan

1 sin

α

tan

x

x

+

9 sin 1 cos 2

+

sin cos 1 cos sin cos 1 1 sin

11 1 cos 1 cos 4 cot

1 cos 1 cos sin

1 cot 1 tan

(1 cos )(1 cot )

1 cos

x

tan tan sin cos

15 sin cos 1 2cos

2

2

1 sin 1 sin

4 tan

1 sin 1 sin

x

17

sin os

1 sin cos sin cos

1 2sin cos tan 1

19 sin2 sin 2 cos sin cos

+

21 1 sin cos

cos 1 sin

2 2

1

−

−

23 1 tan22 2 1 2

x

1 2sin cos tan 1

25

4

tan

os sin sin

x

6

sin tan

tan

os cot

x

−

27 sin2 sin cos2 sin cos

sin cos 1 tan

+

sin x c+ os x−sin x c− os x=sin xcos x

29 sin2xtanx c+ os cot2x x+2sin cosx x=tanx+cotx 30 1 sin+ x+cosx+tanx= +(1 cos )(1 tan )x + x

31 cos sin (sin cos )(tan cot 1)

tan cot

3

sin cos

1 tan tan tan

os

+

33 2sin2 x c− os (tan2x 2x+cot2 x) (tan+ x−cot )x 2+ =1 tan2x

34 sin (1 cot ) cos (1 tan ) sin3x + x + 3x + x = x+cosx 35 (1 tan 1 )(1 tan 1 ) 2 tan

36 (1 2sin cos )(tan+ x x x− =1) (sin2x c− os )(tan2x x+1) 37 cos (sinx x+cos )(1 tan )x − x =cos4x−sin4 x

1.11 Rút gọn các biểu thức sau đây:

(tan cot ) (tan cot )

A= x+ x − x− x B= −(1 sin2x) cot2x+ −1 cot2x

1 sin 1 sin

1 sin 1 sin

C

cos

1 sin

x

D = tanx+

x

+ 2

cos tan

cot cos sin

x

(1 cot )sin (1 tan ) cos

cot

H

x

=

sin tan

os cot

I

−

=

−

2

(sin cos ) 1 cot sin cos

J

=

−

1.12 Chứng minh các biểu thức sau độc lập với x.

os (2cos 3) sin (2sin 3)

A c= x x− + x x− B c= os4x+sin2xcos2x+sin2x

2 cos sin sin cos 3sin

C= x− x+ x x+ x D c= os (3 2cos ) sin4x − 2x + 4 x(3 2sin− 2 x)

2(sin os sin cos ) (sin os )

E= x c+ x+ x x − x c+ x F =3(sin8 x c− os ) 4( os8x + c 6x−2sin ) 6cos 6x + 4x

H

=

I

=

2

cot os sin cos

J

−

4 tan 4sin cos

x

K

−

tan 1 cot 1

x L

+

sin (1 cot ) os (1 tan )

M = x + x +c x − x N =sin2xtan2 x+2sin2 x−tan2 x c+ os2x

2 2 2 2

O

(1 sin cos )(1 sin cos )

sin (sin 1)

Q

=

−

2

4sin cos 1

os (tan c otx)

1 os

−

−

BÀI TẬP VỀ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CÁC CUNG LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT

1.13 Tính giá trị lượng giác của các cung sau đây:

a) 150 , 240 , 315 , 3180 , -300 , -1380o o o o o o

b) 11 , 29 , -16 , 1988 , -115 , -159

π

1.14 Cho sin 12

13

  Tính GTLG sau đây:

a) osc α b) sin( )

2

π α− c) os(c π α− ) d) tan( )

2

π α− e) cot(π α+ ) f) os(5 )

2

c π α+

1.15 Cho tan( ) 1 2, (3 2 )

2

a) Tính tan , cotx, sinx, cosx x

b) Tính cot( ), tan(5 ), sin(x-3 ), cos(7 )

1.16 Tính giá trị của các biểu thức sau:

os0o os20o os40o os160o

A c= +c +c + +c B c= os105 os75o c o−sin105 sin 750 0

0

tan10 tan 20 tan 30 tan 70 tan 80o o o o

tan1 tan 2 tan 3 tan 88 tan 89o o o o o

E= F =sin 102 o +sin 202 o +sin 302 o+ + sin 1802 0

1.17 Tính giá trị của các biểu thức sau:

sin 825 os( 15 )o o os75 sin( 195 ) tan155 tan 245o o o o

0

sin190o 4sin( 530 ) os280o tan170 os( 10 )o o

cot 585o 2cos1440o 2sin1125o

sin144 os126

o

c D

c

−

(cot 44 tan 226 ) os406

tan18 tan 72 os316

o

c E

c

+

1.18 Đơn giản các biêu thức sau đây:

19

tan( ) os(36 ).sin( 5 )

2

9 sin( ) os( 99 )

2

C

x c x

=

1 2sin 2550 os( 188 ) tan 368 2cos 638 os98

c D

c

−

+

sin( ) sin(2 ) sin(3 ) sin(100 )

3

3 3

G c= π− +x x− π − π +x π −x

3

K = x+π +c π − +x π − +x π −x

1.19 Chứng minh rằng:

a)

2

2 2

2

3

3 tan ( 2 ) tan ( )

2

π

sin 3

cot( )

c c

1.20 Cho A, B, C là ba đỉnh của một tam giác Chứng minh rằng:

a) sin(A B+ ) sin= C b) cosA c+ os(B C+ ) 0=

c) cosC c+ os(A B+ +2 ) 0C = d) sin os

c

+ =

2

A B C

f) sin 3 cos

2

C

g) os(c A B C+ − )= −cos2C h) tan 2 cot3

A B+ − C = C

i) os(c A B− )+cos(2B C+ ) 0= j) sin os( )

BÀI TẬP VỀ CÔNG THỨC CỘNG 1.21 Tính giá trị lượng giác của các cung sau đây:

a) 15 , 75 , 105 , 165 , 285 , 3045 0 0 0 o o o b) 7 , 13 , 19 , 103 , 299

1.22 Cho sin 12, (3 2 )

13 2

π

3

c π α−

1.23 Cho sin 40, ( 3 )

π

4

π

α −

1.24 Cho sin 4, (0 ), sinb= 8 , ( )

Tính : os(c a b+ ), sin(a-b), tan(a+b)

1.25 Cho os 3, ( ), sin =12, ( )

Tính os(c α β+ ), sin(α β− ), tan(α β+ )

1.26 Tính tan(α β+ ), từ đó suy ra α β+ , biết ,α β là hai góc nhọn và:

a) tan 1, tan 1

1.27 Cho hai góc nhọn x và y thỏa mãn: 4

tan tan 3 2 2

x y

π

 + =







Tính: tan(x y+ ), tanx+tany Từ đó tính tan , tanx y và suy ra x và y.

1.28 Tính os( )

3

c π α− biết sin 12 à 3

13v 4 2

π α

1.29 Cho cos 1, cos 1 ính A=cos( ) os( )

1.30 Cho a, b là hai góc nhọn với sin 8 , tan 5

a= b= Tính sin(a b− ), cos(a b+ ), tan(a-b)

3

a b− =π

Tính giá trị các biểu thức sau:

(cos cos ) (sin sin )

A= a+ b + a+ b B=(cosa+sin )b 2+(cosb−sin )a 2

1.32 Tính giá trị các biêu thức sau đây:

sin 20 os10o o sin10 os20o o

1 tan 25 tan 20

−

1 tan15

1 tan15

o

o

C= −

0

tan 225 cot 81 cot 69

cot 261 tan 201

+

0

3 sin15 cos15

3

o

1.33 Rút gon các biểu thức sau:

os( ) sin sin

os( ) sin sin

A

+ +

=

− −

sin( ) sin( ) sin( ) sin( )

B

=

sin( ) 2cos sin

2cos cos os( )

C

− +

=

sin(45 ) os(45 ) sin(45 ) os(45 )

D

=

2sin( )

tan

a b

+

sin( ) sin( )sin( )

2

H =c π +α c π −α + α

os( )sin( ) sin( )

I c= π −a π − −b a b−

sin( ) os( ) sin( ) os( )

K = x−π c π − +x π −x c x−π

sin 4 cot 2 os4

3

N c= x−π c x+π +c x+π c x+ π

tan tan( ) tan( ) tan( ) tan( ) tan

1.34 Chứng minh các đẳng thức sau:

1 cos(a b c+ ) os(a b− =) cos2a−sin2b c= os2b−sin2a 2 sin(a b c+ ) os(a b− =) sin cosa a+sin cosb b

3 sin(a b+ ).sin (a b− =) sin2a−sin2b c= os2b c− os2a 4 sin( ) sin( ) 2 sin

5 os( ) cot cot 1

os( ) cot cot 1

1 cos os( ) os( ) os3

x c π −x c π + =x c x

7 3sin15o+3tan 30 os15o c o = 6 8 sin 5 cos3 sin 3 cos5 sin

2cos

a a

9

tan 2 tan

t ana.tan 3

1 tan 2 tan

a

2 cos 2 cos( )

2sin( ) 2 sin 4

π π

= + −

sin (α β+ ) sin (+ α β− ) α β cos (2 α β+ )+cos (2 α β− ) α β

13 sin( ) sin( ) sin( ) 0

sin sin sin sin sin sin

14 1 t ana.tan os( )

1 t ana.tan os( )

15 t ana tan 2sin( )

a b b

+

sin( ).sin( ) tan tan

os os

os(a+b).cos( )

1 tan tan

os os

sin( ).sin( )

os sin

1 tan cot

−

19

tan tan

tan( ).tan( )

1 tan tan

os sin( ).sin( )

c x− π +x π − =x

21 tan tan tan tan 2 tan tan

+ − 22 tan(a b+ −) t ana tan− b=tan a tan tan(b a b+ )

23 sin cos 2 sin( )

4

24 os sin 2 os( )

4

c a± a= c amπ

25 cos sin(a b c− +) cos sin(b c a− +) cos sin(c a b− =) 0 26 t ana tan t ana tan 2 tan tan

tan( ) tan( )

27 tan( ) tan os( ) 1 t ana.tanb

tan( ) tan os( ) 1 t ana.tan

28 t ana tan tan t ana.tan tan sin( )

cos cos cos

a b c

+ +

29 tan( ) t ana tan tan t ana.tan tan

1 t ana.tan tan tan tan t ana

a b c

+ + =

1.35 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x.

tan tan( ) tan( ) tan( ) tan( ) tan

D= x c+ π −x c π +x

1.36 Cho A, B, C là ba đỉnh cảu một tam giác Chứng minh rằng:

1 sinA=sin osB c C+sin cosC B 2 osc A=sin sinB C c C− os cosB

3 sin os os sin sin

5 t anA tan tan t anA.tan tan ( , , )

2

7 cot cot cot cot cot cot

A+ B+ C = A B C 8 cot cotA B+cot cotB C+cot cotC A=1

BÀI TẬP VỀ CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI VÀ HẠ BẬC 1.37 Tính giá trị lượng giác của cung 2α biết:

a) os =- 5 , 3

1.38 Tính sin 2α biết:

a) sin 4,

5 2

π

α =  < <α π÷

1

c α =  < <α π 

c) tan 1

15

α+ α =  < <α π÷

1.39 Cho sin 2 5,

9 2

π

α = − < <α π Tính sin , và cosα α

1.40 Cho tanα =m Tính tan

2

α

theo m từ đó suy ra tan112 30o '

1.41 Cho tan 3 và Tính tan và tan2

1.42 Cho tan 2

2

α = Tính giá trị của biểu thức 2 os

4 5sin

c

α

+

=

−

1.43 Cho sin 1,0

π

α = < <α Tính sin 2 , tan4α α

1.44 Tính giá trị lượng giác của cung

8

π

1.45 ính cos2 ,T α biết sin os 1

1.46 Tính 1 sin22 theo cos2

os

x

+

=

1.47 Biết tan 2

15

α = Tính t an -sin

tan sin

=

+

1.48 Biết tan 3

4

α = Tính sin , os , tan

1.49 Chứng minh rằng: sin cos os2 os4 1sin 8

8

1.50 Tính giá trị các biểu thức sau:

sin15 os15 os30o o o

A= c c B c= os10 os20 os40 os80o c o c o c o

sin10 sin 50 sin 70o o o

os20 os40 os60 os80o o o o

E c= c c c F =16.sin10 sin 30 sin 50 sin 70 sin 90o o o o o

sin os os

H =c π c π c π

J =c π c π c π

1.51 Rút gọn các biểu thức sau:

sin cos os2

2 2

2cos 1

2 tan( ).sin ( )

a C

=

sin 2 os2 sin cos

D

os 6cos sin sin

sin cos

F

=

−

sin 3 os5 sin 5 os3

cos

G

a

−

a

+

−

2

cot 2

sin 4

a

J

a sin a

−

=

cot t ana

cot t ana

a

K

a

+

=

−

sin(60 ) 4sin(25 ).sin(75 )

o

a L

+

=

2

(sin cos )

1 sin 2

M

a

+

=

+

1 1 1 1 1 cos

,0

a

1.52 Chứng minh các đẳng thức sau:

1.cot t ana 2

sin 2

a

a

+ = 2 cota−t ana 2cot 2= a

3 cota−t ana 2 tan 2− a−4 tan 4a=8cot 8a 4 sin 2 t ana

1 os2

a

c a = +

5 os2 1 t ana

1 sin 2 1 t ana

a

−

=

2

1 cos

cot

a

−

7 1 sin cot( )

a

π

8 t ana 1 tan( )

a a

π

9 cos 1 cot

a a

a

4

a

11 cos4a−sin4a=cos 2a 12 cos (2 a b− −) cos (2 a b+ =) sin 2 sin 2a b

13 cos (2 a b− −) sin (2 a b+ =) cos2 os2a c b 14 (sin sin )2 (cos cos )2 4sin2

2

a b

15

1 sin 2

x

2

t ana

os2 1 2sin 2

−

17 sin cos cos sin 2 tan 2

cos sin cos sin

a

(1 t ana )(1 t ana )

a

19 sin 2 2sin tan2

2

1 sin 2sin ( )

2 4

a

21 cos4a=8cos4a−8cos2a+1 22 cota−t ana 2 tan 2− a−4 tan 4a=8cot 4a

23 sin sin( ).sin( ) 1sin 3

24 os os( ) os( ) 1 os3

c a c π −a c π + =a c a

25 tan tan( ).tan( ) tan 3

26 sin4 os4 1 os4 3

a c+ a= c a+

27 sin6 os6 3 os4 5

29 6 2cos 4 cot2 tan2

1 os4

x

sin 3 os 3

8cos 2

x

x − c x =

31 os2 os (2 ) os (2 ) 3

c α +c π +α +c π −α =

32 tan (1 1 ) t ana

a

a

33

(1 os4 )

1 sin 2

sin cos sin cos

x

+

35

(1 os4 ) 8

tan( ).tan( )

sin 2 os2 1 tan

x

1.53 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x.

sin 8 2cos (45o 4 )

B

sin , 0< )

1 cos 1 cos

sin sin ( ) sin ( ) sin ( )

3(sin os ) 2(sin os )

sin os sin os os 2

8

π

−

BÀI TẬP VỀ CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1.54 Biến đổi các biểu thức sau đây thành một tổng.

a 2sin(a b+ ).sin(a b− ) b 2 os(c a b c+ ) os(a b− ) c cos cos cosa b c

d 4 cos os2 os3x c x c x e sin(a b c− ) os(b a− ) f cos5 sin 3a a

g 8cos(a b c− ) os(b c c− ) os(c a− ) h os(c a b+ ).cosa i sin( ).sin( ) os2

x+π x−π c x

j sin sin 2 sin 3x x x k 4sin 2 sin 4 sin 6a a a l 4sin sin 2 sin 4x x x

1.55 Biến đổi thành tích.

a sina+sinb+sin(a b+ ) b sinx+sin 2x+sin 3x c cosa+cosb c+ os(a b+ +) 1

d sinx+sin 3x+2sin 2x e 1 sin+ a+cosa f 1 cos− a+sina

g sin2a−sin2b h 1 sin+ x c− os2x k cos cos

cos cos

+

−

l sin 7 sin 5

sin 7 sin 5

+

− m sinx+sin 3x+sin 5x+sin 7x n 1 sin+ a−cosa−t ana

o cosx c+ os2x c+ os3x c+ os4x p 1 cos+ x c+ os2x c+ os3x q sin os3x c x+sin 4 os2x c x

r sin2 x−sin 22 x+sin 32 x s cos2x c+ os 22 x c+ os 32 x−1

1.56 Chứng minh các đẳng thức sau đây:

1 os5 os3c x c x+sin 7 sinx x c= os2 os4x c x 2 sin 5x−2sin ( os2x c x c+ os4 ) sinx = x

3 os5 cosc x x+sin 3 sinx x c= os2 os4x c x 4 2(sin cos 2a a−sin 2 cos3 ) sin 5a a + a=sin 3a

5 sin 2a−sin 4a+sin 6a=4sin cos 2 cos3a a a 6 1 sin cos 2 2 os os( )

7 sin sin 3 tan 2

cos os3

a

1 cos os2 os3

2cos

2 cos cos 1

a

9 sin 2 sin 4 sin 6 2sin 2

a

2sin 2 sin 4

tan 2 cos 2(cos os3 )

+

11 sin 2 sin 3 sin 4 tan 3

a

os5 cos

2sin sin 4 sin 2

a

+

13 1 sin 2 os2 cot

1 sin 2 os2

a

os cos3 sin sin 3 os4

15 cos3 sin3 sin 3 os3 3sin 4

4

a a− ac a= a 16 sin2a+sin2b+2sin sin cos(a b a b+ =) sin (2 a b+ )

19 sin sin tan

sin sin ( ) sin sin( )

21.tan2 cot2 6 2cos 4

1 cos 4

x

x

+

− 22 4sin sin(x 3 x)sin(3 x) sin 3x

23 4cos os( ) os( ) os3

xc π −x c π + =x c x

24

2

8cos 2

t ana cot tan 3 cot 3

sin 6

a

a

25 cos os( ) os( ) 1 os3

xc π −x c π + =x c x

26 sin sin(a b c− +) sin sin(b c a− +) sin sin(c a b− =) 0

27 sin(a b− )sin(a b+ =) sin2a−sin2b 28 cos(a b c+ ) os(a b− =) cos2a−sin2b

29 tan 9o−tan 27o−tan 63o+tan 81o =4 30 sin(2 ) os( ) os(2 ) os(2 ) cos

x+π c x−π −c x+π c π − =x x

31 cos cos sin( ) 4cos os( )sin( )

1.57 Tính giá trị của các biểu thức sau:

os35o os85o os25o

A c= +c −c B c= os130o+cos110o−cos10o

os36 os72o o

C c= c D= tan 9o−tan 27o−tan 63o+tan 81o

F c= π +c π +c π

G c= π −c π +c π

os36o sin18o

4sin 70 sin10

o o

1.58 Cho A, B, C là ba đỉnh của một tam giác Chứng minh rằng:

1 sin sin sin 4cos cos cos

3 sin 2A+sin 2B+sin 2C=4sin sin sinA B C 4 os2c A c+ os2B c+ os2C+ = −1 4cos cos cosA B C

5 sin2 A+sin2 B+sin2C= +2 2cos cos cosA B C 6 cos2A c+ os2B c+ os2C= −1 2cos cos cosA B C

7 tanA+tanB+tanC=tan tan tanA B C